प्राकृत संख्या nok के गुणज क्या होते हैं? भाजक और गुणज

लघुत्तम समापवर्त्य कैसे ज्ञात करें?

हमें उन दो संख्याओं में से प्रत्येक का प्रत्येक गुणनखंड ज्ञात करना होगा जिसके लिए हम लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करेंगे, और फिर पहली और दूसरी संख्या में मेल खाने वाले गुणनखंडों को एक-दूसरे से गुणा करेंगे। उत्पाद का परिणाम आवश्यक गुणक होगा.

उदाहरण के लिए, हमारे पास संख्याएँ 3 और 5 हैं और हमें एलसीएम (न्यूनतम समापवर्त्य) ज्ञात करने की आवश्यकता है। हम गुणा करने की जरूरत हैऔर तीन और पांच 1 2 3 से शुरू होने वाले सभी नंबरों के लिए...और इसी तरह जब तक हम दोनों स्थानों पर समान संख्या न देख लें।

तीन को गुणा करें और प्राप्त करें: 3, 6, 9, 12, 15

पाँच से गुणा करें और प्राप्त करें: 5, 10, 15

अभाज्य गुणनखंडन विधि कई संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (एलसीएम) ज्ञात करने की सबसे क्लासिक विधि है। यह विधि निम्नलिखित वीडियो में स्पष्ट रूप से और सरलता से प्रदर्शित की गई है:

जोड़ना, गुणा करना, विभाजित करना, एक सामान्य हर में घटाना और अन्य अंकगणितीय संक्रियाएँ एक बहुत ही रोमांचक गतिविधि हैं; ऐसे उदाहरण जो कागज की एक पूरी शीट लेते हैं, विशेष रूप से आकर्षक हैं।

तो दो संख्याओं का उभयनिष्ठ गुणज ज्ञात कीजिए, वह सबसे छोटी संख्या कौन सी होगी जिससे दोनों संख्याओं को विभाजित किया जाए। मैं यह नोट करना चाहूंगा कि आप जो खोज रहे हैं उसे ढूंढने के लिए भविष्य में सूत्रों का सहारा लेना जरूरी नहीं है, यदि आप अपने दिमाग में गिन सकते हैं (और इसे प्रशिक्षित किया जा सकता है), तो संख्याएं स्वयं आपके दिमाग में आ जाएंगी और तब अंश नट की तरह टूट जाते हैं।

आरंभ करने के लिए, आइए जानें कि आप दो संख्याओं को एक-दूसरे से गुणा कर सकते हैं, और फिर इस आंकड़े को कम कर सकते हैं और इन दो संख्याओं से बारी-बारी से विभाजित कर सकते हैं, जिससे हमें सबसे छोटा गुणज मिलेगा।

उदाहरण के लिए, दो संख्याएँ 15 और 6। गुणा करें और 90 प्राप्त करें। यह स्पष्ट है बड़ी संख्या. इसके अलावा, 15, 3 से विभाज्य है और 6, 3 से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि हम 90 को भी 3 से विभाजित करते हैं। हमें 30 मिलता है। हम 30 का प्रयास करते हैं, 15 को विभाजित करने पर 2 होता है। और 30 पर 6 को विभाजित करने पर 5 होता है। चूँकि 2 सीमा है, इसलिए यह बदल जाता है। इसमें से संख्याओं का न्यूनतम गुणज 15 है और 6 का गुणज 30 होगा।

बड़ी संख्या के साथ यह थोड़ा अधिक कठिन होगा। लेकिन यदि आप जानते हैं कि कौन सी संख्याएँ विभाजित या गुणा करने पर शून्य शेषफल देती हैं, तो, सिद्धांत रूप में, कोई बड़ी कठिनाइयाँ नहीं हैं।

• एनओसी कैसे पाएं

  यहां एक वीडियो है जो आपको लघुत्तम समापवर्तक (एलसीएम) ज्ञात करने के दो तरीके देगा। सुझाई गई विधियों में से पहली का उपयोग करने का अभ्यास करने के बाद, आप बेहतर ढंग से समझ सकते हैं कि लघुत्तम समापवर्त्य क्या है।

मैं लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने का एक और तरीका प्रस्तुत करता हूँ। आइए इसे एक स्पष्ट उदाहरण से देखें।

आपको एक साथ तीन संख्याओं का एलसीएम ज्ञात करना होगा: 16, 20 और 28।

• हम प्रत्येक संख्या को उसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में दर्शाते हैं:
• हम सभी प्रमुख कारकों की शक्तियां लिखते हैं:

16 = 224 = 2^24^1

20 = 225 = 2^25^1

28 = 227 = 2^27^1

• हम सबसे बड़ी घात वाले सभी अभाज्य भाजक (गुणक) का चयन करते हैं, उन्हें गुणा करते हैं और एलसीएम पाते हैं:

एलसीएम = 2^24^15^17^1 = 4457 = 560।

एलसीएम(16, 20, 28) = 560.

इस प्रकार, गणना का परिणाम संख्या 560 था। यह सबसे छोटा सामान्य गुणक है, अर्थात, यह शेष तीन संख्याओं में से प्रत्येक से विभाज्य है।

लघुत्तम समापवर्त्य वह संख्या है जिसे बिना कोई शेष छोड़े कई दी गई संख्याओं में विभाजित किया जा सकता है। ऐसे आंकड़े की गणना करने के लिए, आपको प्रत्येक संख्या लेने और उसे सरल कारकों में विघटित करने की आवश्यकता है। जो संख्याएँ मेल खाती हैं उन्हें हटा दिया जाता है। सभी को एक-एक करके छोड़ें, उन्हें बारी-बारी से आपस में गुणा करें और वांछित एक प्राप्त करें - सबसे छोटा सामान्य गुणक।

एनओसी, या न्यूनतम समापवर्तक, दो या दो से अधिक संख्याओं की सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या है जो बिना किसी शेषफल के दी गई प्रत्येक संख्या से विभाज्य होती है।

यहां एक उदाहरण दिया गया है कि 30 और 42 का लघुत्तम समापवर्त्य कैसे ज्ञात किया जाए।

• पहला कदम इन संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करना है।

30 के लिए यह 2 x 3 x 5 है।

42 के लिए, यह 2 x 3 x 7 है। चूँकि 2 और 3 संख्या 30 के विस्तार में हैं, इसलिए हम उन्हें काट देते हैं।

• हम संख्या 30 के विस्तार में शामिल कारकों को लिखते हैं। यह 2 x 3 x 5 है।
• अब हमें उन्हें लुप्त गुणनखंड से गुणा करना होगा, जो 42 का विस्तार करने पर हमारे पास होता है, जो कि 7 है। हमें 2 x 3 x 5 x 7 प्राप्त होता है।
• हम पाते हैं कि 2 x 3 x 5 x 7 किसके बराबर है और हमें 210 मिलता है।

परिणामस्वरूप, हम पाते हैं कि संख्या 30 और 42 का LCM 210 है।

लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना, आपको क्रम से कई सरल चरण निष्पादित करने होंगे। आइए उदाहरण के तौर पर दो संख्याओं का उपयोग करके इसे देखें: 8 और 12

1. हम दोनों संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करते हैं: 8=2*2*2 और 12=3*2*2
2. हम किसी एक संख्या के समान गुणनखंडों को कम करते हैं। हमारे मामले में, 2 * 2 संपाती हैं, आइए उन्हें संख्या 12 के लिए कम करें, फिर 12 में एक गुणनखंड बचेगा: 3।
3. शेष सभी कारकों का उत्पाद ज्ञात करें: 2*2*2*3=24

जाँच करने पर, हम यह सुनिश्चित करते हैं कि 24, 8 और 12 दोनों से विभाज्य है, और यह सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या है जो इनमें से प्रत्येक संख्या से विभाज्य है। यहाँ हम हैं लघुत्तम समापवर्तक पाया गया.

मैं एक उदाहरण के रूप में संख्या 6 और 8 का उपयोग करके समझाने की कोशिश करूंगा। लघुत्तम समापवर्त्य एक ऐसी संख्या है जिसे इन संख्याओं (हमारे मामले में, 6 और 8) से विभाजित किया जा सकता है और कोई शेष नहीं बचेगा।

तो, सबसे पहले हम 6 को 1, 2, 3, आदि से गुणा करना शुरू करते हैं और 8 को 1, 2, 3, आदि से गुणा करना शुरू करते हैं।

ऑनलाइन कैलकुलेटर आपको दो या किसी अन्य संख्या के लिए सबसे बड़ा सामान्य भाजक और सबसे छोटा सामान्य गुणक तुरंत खोजने की अनुमति देता है।

जीसीडी और एलसीएम खोजने के लिए कैलकुलेटर

जीसीडी और एलओसी खोजें

जीसीडी और एलओसी मिला: 5806

कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

• इनपुट फ़ील्ड में नंबर दर्ज करें
• यदि आप गलत वर्ण दर्ज करते हैं, तो इनपुट फ़ील्ड लाल रंग में हाइलाइट हो जाएगी
• "जीसीडी और एलओसी ढूंढें" बटन पर क्लिक करें

नंबर कैसे दर्ज करें

• संख्याओं को रिक्त स्थान, अवधि या अल्पविराम से अलग करके दर्ज किया जाता है
• दर्ज संख्याओं की लंबाई सीमित नहीं है, इसलिए लंबी संख्याओं का GCD और LCM ज्ञात करना कठिन नहीं है

जीसीडी और एनओसी क्या हैं?

महत्तम सामान्य भाजकअनेक संख्याएँ सबसे बड़ा प्राकृतिक पूर्णांक है जिससे सभी मूल संख्याएँ बिना किसी शेषफल के विभाज्य होती हैं। सबसे बड़े सामान्य भाजक को संक्षिप्त रूप में कहा जाता है जीसीडी.
न्यूनतम समापवर्तकअनेक संख्याएँ वह सबसे छोटी संख्या होती है जो बिना किसी शेषफल के प्रत्येक मूल संख्या से विभाज्य होती है। लघुत्तम समापवर्त्य को इस प्रकार संक्षिप्त किया जाता है अनापत्ति प्रमाण पत्र.

यह कैसे जांचें कि कोई संख्या किसी अन्य संख्या से बिना किसी शेषफल के विभाज्य है?

यह पता लगाने के लिए कि क्या एक संख्या बिना किसी शेषफल के दूसरी संख्या से विभाज्य है, आप संख्याओं की विभाज्यता के कुछ गुणों का उपयोग कर सकते हैं। फिर, उन्हें संयोजित करके, आप उनमें से कुछ की विभाज्यता और उनके संयोजन की जांच कर सकते हैं।

संख्याओं की विभाज्यता के कुछ लक्षण

1. किसी संख्या के लिए 2 से विभाज्यता परीक्षण
यह निर्धारित करने के लिए कि क्या कोई संख्या दो से विभाज्य है (चाहे वह सम हो), इस संख्या के अंतिम अंक को देखना पर्याप्त है: यदि यह 0, 2, 4, 6 या 8 के बराबर है, तो संख्या सम है, जिसका अर्थ है कि यह 2 से विभाज्य है।
उदाहरण:निर्धारित करें कि संख्या 34938 2 से विभाज्य है या नहीं।
समाधान:देखो पिछले अंक: 8 का अर्थ है कि संख्या दो से विभाज्य है।

2. किसी संख्या का 3 से विभाज्यता परीक्षण
कोई संख्या 3 से विभाज्य होती है जब उसके अंकों का योग तीन से विभाज्य हो। इस प्रकार, यह निर्धारित करने के लिए कि क्या कोई संख्या 3 से विभाज्य है, आपको अंकों के योग की गणना करने और यह जांचने की आवश्यकता है कि क्या यह 3 से विभाज्य है। भले ही अंकों का योग बहुत बड़ा हो, आप उसी प्रक्रिया को दोबारा दोहरा सकते हैं।
उदाहरण:निर्धारित करें कि संख्या 34938 3 से विभाज्य है या नहीं।
समाधान:हम संख्याओं का योग गिनते हैं: 3+4+9+3+8 = 27. 27 3 से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि संख्या तीन से विभाज्य है।

3. किसी संख्या के लिए 5 से विभाज्यता परीक्षण
कोई संख्या 5 से विभाज्य होती है जब उसका अंतिम अंक शून्य या पांच हो।
उदाहरण:निर्धारित करें कि संख्या 34938 5 से विभाज्य है या नहीं।
समाधान:अंतिम अंक देखें: 8 का अर्थ है कि संख्या पाँच से विभाज्य नहीं है।

4. किसी संख्या का 9 से विभाज्यता परीक्षण
यह चिन्ह तीन से विभाज्यता के चिन्ह के समान है: एक संख्या 9 से विभाज्य होती है जब उसके अंकों का योग 9 से विभाज्य होता है।
उदाहरण:निर्धारित करें कि संख्या 34938 9 से विभाज्य है या नहीं।
समाधान:हम संख्याओं का योग गिनते हैं: 3+4+9+3+8 = 27. 27, 9 से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि संख्या नौ से विभाज्य है।

दो संख्याओं का GCD और LCM कैसे ज्ञात करें

दो नंबरों की जीसीडी कैसे पता करें

अधिकांश सरल तरीके सेदो संख्याओं के सबसे बड़े सामान्य भाजक की गणना करने का अर्थ है इन संख्याओं के सभी संभावित भाजक ढूंढना और उनमें से सबसे बड़े का चयन करना।

आइए जीसीडी(28, 36) खोजने के उदाहरण का उपयोग करके इस विधि पर विचार करें:

1. हम दोनों संख्याओं का गुणनखंड करते हैं: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
2. हम सामान्य गुणनखंड ढूंढते हैं, अर्थात्, वे जो दोनों संख्याओं में हैं: 1, 2 और 2।
3. हम इन कारकों के उत्पाद की गणना करते हैं: 1 2 2 = 4 - यह संख्या 28 और 36 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है।

दो संख्याओं का एलसीएम कैसे ज्ञात करें

दो संख्याओं का लघुत्तम गुणज ज्ञात करने के दो सबसे सामान्य तरीके हैं। पहली विधि यह है कि आप दो संख्याओं के पहले गुणजों को लिख सकते हैं, और फिर उनमें से एक ऐसी संख्या चुन सकते हैं जो दोनों संख्याओं के लिए सामान्य हो और साथ ही सबसे छोटी हो। और दूसरा इन नंबरों की gcd ज्ञात करना है। आइए इस पर ही विचार करें।

एलसीएम की गणना करने के लिए, आपको मूल संख्याओं के उत्पाद की गणना करनी होगी और फिर इसे पहले पाए गए जीसीडी से विभाजित करना होगा। आइए समान संख्या 28 और 36 के लिए LCM ज्ञात करें:

1. संख्या 28 और 36 का गुणनफल ज्ञात कीजिए: 28·36 = 1008
2. जीसीडी(28, 36), जैसा कि पहले से ज्ञात है, 4 के बराबर है
3. एलसीएम(28, 36) = 1008/4 = 252।

कई संख्याओं के लिए जीसीडी और एलसीएम ढूँढना

सबसे बड़ा सामान्य भाजक केवल दो नहीं, बल्कि कई संख्याओं के लिए पाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, सबसे बड़े सामान्य भाजक के लिए पाई जाने वाली संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित किया जाता है, फिर इन संख्याओं के सामान्य अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल पाया जाता है। आप कई संख्याओं की gcd ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित संबंध का भी उपयोग कर सकते हैं: जीसीडी(ए, बी, सी) = जीसीडी(जीसीडी(ए, बी), सी).

एक समान संबंध लघुत्तम समापवर्त्य पर लागू होता है: एलसीएम(ए, बी, सी) = एलसीएम(एलसीएम(ए, बी), सी)

उदाहरण:संख्या 12, 32 और 36 के लिए जीसीडी और एलसीएम खोजें।

1. सबसे पहले, आइए संख्याओं का गुणनखंड करें: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
2. आइए सामान्य गुणनखंड खोजें: 1, 2 और 2।
3. उनका उत्पाद GCD देगा: 1·2·2 = 4
4. आइए अब एलसीएम ढूंढें: ऐसा करने के लिए, आइए पहले एलसीएम(12, 32): 12·32 / 4 = 96 ढूंढें।
5. तीनों संख्याओं का LCM ज्ञात करने के लिए, आपको GCD(96, 36) ज्ञात करना होगा: 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1·2· 2 3 = 12.
6. एलसीएम(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288.

लेकिन कई प्राकृतिक संख्याएँ अन्य प्राकृतिक संख्याओं से भी विभाज्य होती हैं।

उदाहरण के लिए:

संख्या 12 1 से, 2 से, 3 से, 4 से, 6 से, 12 से विभाज्य है;

संख्या 36, 1 से, 2 से, 3 से, 4 से, 6 से, 12 से, 18 से, 36 से विभाज्य है।

वे संख्याएँ जिनसे कोई संख्या पूरी से विभाज्य हो (12 के लिए ये 1, 2, 3, 4, 6 और 12 हैं) कहलाती हैं संख्याओं के विभाजक. डिवाइडर प्राकृतिक संख्या ए- एक प्राकृतिक संख्या है जो किसी दी गई संख्या को विभाजित करती है एएक का पता लगाए बिना। वह प्राकृत संख्या जिसमें दो से अधिक भाजक हों, कहलाती है कम्पोजिट .

कृपया ध्यान दें कि संख्या 12 और 36 में सामान्य गुणनखंड हैं। ये संख्याएँ हैं: 1, 2, 3, 4, 6, 12। इन संख्याओं का सबसे बड़ा भाजक 12 है। इन दोनों संख्याओं का उभयनिष्ठ भाजक एऔर बी- यह वह संख्या है जिससे दोनों दी गई संख्याओं को बिना किसी शेषफल के विभाजित किया जाता है एऔर बी.

सामान्य गुणजअनेक संख्याएँ एक ऐसी संख्या है जो इनमें से प्रत्येक संख्या से विभाज्य होती है। उदाहरण के लिए, संख्या 9, 18 और 45 का सार्व गुणज 180 है। लेकिन 90 और 360 भी उनके सार्व गुणज हैं। सभी सामान्य गुणजों में हमेशा एक सबसे छोटा गुणज होता है इस मामले मेंयह 90 है। इस संख्या को कहा जाता है सबसे छोटासामान्य गुणक (सीएमएम).

एलसीएम हमेशा एक प्राकृतिक संख्या होती है जो उन सबसे बड़ी संख्याओं से अधिक होनी चाहिए जिनके लिए इसे परिभाषित किया गया है।

लघुत्तम समापवर्त्य (एलसीएम)। गुण।

क्रमपरिवर्तनशीलता:

साहचर्य:

विशेष रूप से, यदि और सहअभाज्य संख्याएँ हैं, तो:

दो पूर्णांकों का लघुत्तम समापवर्त्य एमऔर एनअन्य सभी सामान्य गुणजों का भाजक है एमऔर एन. इसके अलावा, उभयनिष्ठ गुणजों का समुच्चय एम, एनएलसीएम के गुणकों के सेट के साथ मेल खाता है( एम, एन).

इसके लिए स्पर्शोन्मुखता को कुछ संख्या-सैद्धांतिक कार्यों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है।

इसलिए, चेबीशेव समारोह. और:

यह लैंडौ फ़ंक्शन की परिभाषा और गुणों से निम्नानुसार है जी(एन).

अभाज्य संख्याओं के वितरण के नियम से क्या निष्कर्ष निकलता है?

लघुत्तम समापवर्तक (LCM) ज्ञात करना।

एनओसी( ए, बी) की गणना कई तरीकों से की जा सकती है:

1. यदि सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात है, तो आप एलसीएम के साथ इसके कनेक्शन का उपयोग कर सकते हैं:

2. दोनों संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडों में विहित अपघटन ज्ञात करें:

कहाँ पी 1 ,...,पी के- विभिन्न अभाज्य संख्याएँ, और डी 1 ,...,डी केऔर ई 1 ,...,ई के- गैर-नकारात्मक पूर्णांक (वे शून्य हो सकते हैं यदि संबंधित अभाज्य विस्तार में नहीं है)।

फिर एनओसी ( ए,बी) की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

दूसरे शब्दों में, एलसीएम अपघटन में संख्याओं के कम से कम एक अपघटन में शामिल सभी अभाज्य कारक शामिल होते हैं ए, बी, और इस गुणक के दो घातांकों में से सबसे बड़ा लिया जाता है।

उदाहरण:

कई संख्याओं के लघुत्तम समापवर्त्य की गणना को दो संख्याओं के एलसीएम की कई क्रमिक गणनाओं में घटाया जा सकता है:

नियम।संख्याओं की श्रृंखला का एलसीएम खोजने के लिए, आपको चाहिए:

- संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें;

- सबसे बड़े विस्तार (वांछित उत्पाद के कारकों का उत्पाद) को वांछित उत्पाद के कारकों में स्थानांतरित करें बड़ी संख्या मेंदिए गए से), और फिर अन्य संख्याओं के विस्तार से गुणनखंड जोड़ें जो पहली संख्या में प्रकट नहीं होते हैं या उसमें कम बार दिखाई देते हैं;

- अभाज्य गुणनखंडों का परिणामी उत्पाद दी गई संख्याओं का एलसीएम होगा।

किन्हीं दो या दो से अधिक प्राकृत संख्याओं का अपना LCM होता है। यदि संख्याएँ एक-दूसरे की गुणज नहीं हैं या विस्तार में समान गुणनखंड नहीं हैं, तो उनका LCM इन संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है।

संख्या 28 (2, 2, 7) के अभाज्य गुणनखंडों को 3 (संख्या 21) के गुणनखंड के साथ पूरक किया जाता है, परिणामी उत्पाद (84) सबसे छोटी संख्या होगी जो 21 और 28 से विभाज्य है।

सबसे बड़ी संख्या 30 के अभाज्य गुणनखंडों को संख्या 25 के गुणनखंड 5 द्वारा पूरक किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप उत्पाद 150 सबसे बड़ी संख्या 30 से बड़ा होता है और शेषफल के बिना सभी दी गई संख्याओं से विभाज्य होता है। यह सबसे कम उत्पादसंभावित (150, 250, 300...) में से, जिसमें दी गई सभी संख्याएँ गुणज हैं।

संख्याएँ 2,3,11,37 अभाज्य संख्याएँ हैं, इसलिए उनका LCM दी गई संख्याओं के गुणनफल के बराबर है।

नियम. अभाज्य संख्याओं के एलसीएम की गणना करने के लिए, आपको इन सभी संख्याओं को एक साथ गुणा करना होगा।

एक अन्य विकल्प:

कई संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक (LCM) ज्ञात करने के लिए आपको चाहिए:

1) प्रत्येक संख्या को उसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में प्रस्तुत करें, उदाहरण के लिए:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) सभी अभाज्य कारकों की शक्तियां लिखें:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 3 2 7 1,

3) इनमें से प्रत्येक संख्या के सभी अभाज्य भाजक (गुणक) लिखिए;

4) उनमें से प्रत्येक की सबसे बड़ी डिग्री चुनें, जो इन संख्याओं के सभी विस्तारों में पाई जाती है;

5) इन शक्तियों को गुणा करें।

उदाहरण. संख्याओं का LCM ज्ञात करें: 168, 180 और 3024।

समाधान. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

हम सभी अभाज्य भाजक की सबसे बड़ी घातें लिखते हैं और उन्हें गुणा करते हैं:

एनओसी = 2 4 3 3 3 5 1 7 1 = 15120।

सामान्य गुणज

सीधे शब्दों में कहें तो, कोई भी पूर्णांक जो दी गई प्रत्येक संख्या से विभाज्य है सामान्य एकाधिकदिए गए पूर्णांक.

आप दो या दो से अधिक पूर्णांकों का सार्व गुणज ज्ञात कर सकते हैं।

उदाहरण 1

दो संख्याओं के सामान्य गुणज की गणना करें: $2$ और $5$।

समाधान.

परिभाषा के अनुसार, $2$ और $5$ का सामान्य गुणज $10$ है, क्योंकि यह संख्या $2$ और संख्या $5$ का गुणज है:

संख्याओं $2$ और $5$ के सामान्य गुणज भी $-10, 20, -20, 30, -30$, आदि संख्याएँ होंगी, क्योंकि उन सभी को $2$ और $5$ संख्याओं में विभाजित किया गया है।

नोट 1

शून्य किसी भी गैर-शून्य पूर्णांक संख्या का एक सामान्य गुणज है।

विभाज्यता के गुणों के अनुसार, यदि एक निश्चित संख्या कई संख्याओं का एक सामान्य गुणज है, तो चिह्न के विपरीत संख्या भी दी गई संख्याओं का एक सामान्य गुणज होगी। इसे विचारित उदाहरण से देखा जा सकता है।

दिए गए पूर्णांकों के लिए, आप हमेशा उनका सामान्य गुणज ज्ञात कर सकते हैं।

उदाहरण 2

$111$ और $55$ के सामान्य गुणज की गणना करें।

समाधान.

आइए दी गई संख्याओं को गुणा करें: $111\div 55=6105$। यह सत्यापित करना आसान है कि संख्या $6105$, संख्या $111$ और संख्या $55$ से विभाज्य है:

$6105\div 111=$55;

$6105\div 55=$111.

इस प्रकार, $6105$, $111$ और $55$ का एक सामान्य गुणज है।

उत्तर: $111$ और $55$ का सामान्य गुणज $6105$ है।

लेकिन, जैसा कि हम पिछले उदाहरण से पहले ही देख चुके हैं, यह सामान्य गुणज एक नहीं है। अन्य सामान्य गुणक $-6105, 12210, -12210, 61050, -61050$, आदि होंगे। इस प्रकार, हम निम्नलिखित निष्कर्ष पर पहुंचे:

नोट 2

पूर्णांकों के किसी भी सेट में अनंत संख्या में सामान्य गुणज होते हैं।

व्यवहार में, वे केवल धनात्मक पूर्णांक (प्राकृतिक) संख्याओं के सामान्य गुणज खोजने तक ही सीमित हैं, क्योंकि गुणकों का समुच्चय दिया गया नंबरऔर इसका विपरीत संयोग होता है.

लघुत्तम समापवर्त्य का निर्धारण

दी गई संख्याओं के सभी गुणजों में से, लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) का उपयोग सबसे अधिक बार किया जाता है।

परिभाषा 2

दिए गए पूर्णांकों का सबसे छोटा धनात्मक उभयनिष्ठ गुणज है न्यूनतम समापवर्तकये नंबर.

उदाहरण 3

$4$ और $7$ संख्याओं का LCM परिकलित करें।

समाधान.

क्योंकि ये संख्याएँ नहीं हैं सामान्य विभाजक, फिर $NOK(4,7)=28$।

उत्तर: $NOK (4,7)=28$.

जीसीडी के माध्यम से एनओसी ढूँढना

क्योंकि एलसीएम और जीसीडी के बीच एक कनेक्शन है, इसकी मदद से आप गणना कर सकते हैं दो धनात्मक पूर्णांकों का LCM:

नोट 3

उदाहरण 4

$232$ और $84$ संख्याओं के एलसीएम की गणना करें।

समाधान.

आइए GCD के माध्यम से LCM ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग करें:

$LCD (a,b)=\frac(a\cdot b)(GCD (a,b))$

आइए यूक्लिडियन एल्गोरिथम का उपयोग करके संख्याओं $232$ और $84$ की GCD खोजें:

$232=84\cdot 2+64$,

$84=64\cdot 1+20$,

$64=20\cdot 3+4$,

वे। $जीसीडी(232,84)=4$।

आइए $एलसीसी (232, 84)$ खोजें:

$NOK (232.84)=\frac(232\cdot 84)(4)=58\cdot 84=4872$

उत्तर: $NOK (232.84)=$4872.

उदाहरण 5

$LCD(23, 46)$ की गणना करें।

समाधान.

क्योंकि $46$, $23$ से विभाज्य है, तो $gcd (23, 46)=23$। आइए LOC खोजें:

$NOK (23.46)=\frac(23\cdot 46)(23)=46$

उत्तर: $NOK (23.46)=$46.

इस प्रकार, कोई सूत्रीकरण कर सकता है नियम:

नोट 4

महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्तक प्रमुख अंकगणितीय अवधारणाएँ हैं जो आपको सहजता से काम करने की अनुमति देती हैं साधारण अंश. एलसीएम और का उपयोग अक्सर कई भिन्नों के सामान्य हर को खोजने के लिए किया जाता है।

बुनियादी अवधारणाओं

एक पूर्णांक X का विभाजक एक अन्य पूर्णांक Y होता है जिससे X को बिना कोई शेष छोड़े विभाजित किया जाता है। उदाहरण के लिए, 4 का भाजक 2 है, और 36 का भाजक 4, 6, 9 है। पूर्णांक X का गुणज एक संख्या Y है जो बिना किसी शेषफल के X से विभाज्य है। उदाहरण के लिए, 3, 15 का गुणज है और 6, 12 का गुणज है।

संख्याओं के किसी भी जोड़े के लिए हम उनके सामान्य भाजक और गुणज ज्ञात कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, 6 और 9 के लिए, सामान्य गुणज 18 है, और सामान्य भाजक 3 है। जाहिर है, जोड़ियों में कई भाजक और गुणज हो सकते हैं, इसलिए गणना सबसे बड़े भाजक जीसीडी और सबसे छोटे गुणज एलसीएम का उपयोग करती है।

सबसे छोटा भाजक अर्थहीन है, क्योंकि किसी भी संख्या के लिए यह हमेशा एक ही होता है। सबसे बड़ा गुणज भी अर्थहीन है, क्योंकि गुणजों का क्रम अनंत तक जाता है।

जीसीडी ढूँढना

सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात करने की कई विधियाँ हैं, जिनमें से सबसे प्रसिद्ध हैं:

• विभाजकों की क्रमिक खोज, एक जोड़ी के लिए सामान्य विभाजकों का चयन और उनमें से सबसे बड़े की खोज;
• संख्याओं का अविभाज्य कारकों में अपघटन;
• यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म;
• बाइनरी एल्गोरिदम.

आज इस समय शिक्षण संस्थानोंसबसे लोकप्रिय अभाज्य गुणनखंडन की विधियाँ और यूक्लिडियन एल्गोरिथम हैं। उत्तरार्द्ध, बदले में, डायोफैंटाइन समीकरणों को हल करते समय उपयोग किया जाता है: पूर्णांकों में संकल्प की संभावना के लिए समीकरण की जांच करने के लिए जीसीडी की खोज करना आवश्यक है।

एनओसी ढूंढी जा रही है

लघुत्तम समापवर्त्य का निर्धारण अनुक्रमिक खोज या अविभाज्य कारकों में अपघटन द्वारा भी किया जाता है। इसके अलावा, यदि सबसे बड़ा भाजक पहले ही निर्धारित किया जा चुका है तो एलसीएम खोजना आसान है। संख्या X और Y के लिए, LCM और GCD निम्नलिखित संबंध से संबंधित हैं:

एलसीडी(एक्स,वाई) = एक्स × वाई / जीसीडी(एक्स,वाई)।

उदाहरण के लिए, यदि जीसीएम(15,18) = 3, तो एलसीएम(15,18) = 15 × 18/3 = 90। एलसीएम का उपयोग करने का सबसे स्पष्ट उदाहरण सामान्य हर को ढूंढना है, जो कि सबसे छोटा सामान्य गुणक है। दिए गए भिन्न.

सहअभाज्य संख्याएँ

यदि संख्याओं के किसी युग्म में कोई उभयनिष्ठ भाजक न हो तो ऐसे युग्म को सहअभाज्य कहते हैं। ऐसे युग्मों के लिए gcd हमेशा एक के बराबर होता है, और विभाजक और गुणकों के बीच संबंध के आधार पर, सहअभाज्य युग्मों के लिए gcd उनके उत्पाद के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, संख्याएँ 25 और 28 अपेक्षाकृत अभाज्य हैं, क्योंकि उनमें कोई उभयनिष्ठ भाजक नहीं है, और एलसीएम(25, 28) = 700, जो उनके उत्पाद से मेल खाता है। कोई भी दो अविभाज्य संख्याएँ हमेशा अपेक्षाकृत अभाज्य होंगी।

सामान्य भाजक और एकाधिक कैलकुलेटर

हमारे कैलकुलेटर का उपयोग करके आप मनमाने ढंग से चुनने योग्य संख्याओं के लिए जीसीडी और एलसीएम की गणना कर सकते हैं। सामान्य भाजक और गुणकों की गणना करने के कार्य 5वीं और 6वीं कक्षा के अंकगणित में पाए जाते हैं, लेकिन जीसीडी और एलसीएम गणित में प्रमुख अवधारणाएं हैं और संख्या सिद्धांत, प्लैनिमेट्री और संचारी बीजगणित में उपयोग किए जाते हैं।

वास्तविक जीवन के उदाहरण

भिन्नों का सामान्य हर

कई भिन्नों का उभयनिष्ठ हर ज्ञात करते समय लघुत्तम समापवर्त्य का उपयोग किया जाता है। भीतर आएं अंकगणितीय समस्याआपको 5 भिन्नों का योग करना होगा:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

भिन्नों को जोड़ने के लिए, अभिव्यक्ति को एक सामान्य हर में घटाया जाना चाहिए, जिससे एलसीएम खोजने की समस्या कम हो जाती है। ऐसा करने के लिए, कैलकुलेटर में 5 संख्याओं का चयन करें और उचित कक्षों में हर के मान दर्ज करें। प्रोग्राम एलसीएम (8, 9, 12, 15, 18) = 360 की गणना करेगा। अब आपको प्रत्येक भिन्न के लिए अतिरिक्त कारकों की गणना करने की आवश्यकता है, जिन्हें एलसीएम और हर के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है। तो अतिरिक्त गुणक इस तरह दिखेंगे:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

इसके बाद, हम सभी भिन्नों को संबंधित अतिरिक्त गुणनखंड से गुणा करते हैं और प्राप्त करते हैं:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

हम ऐसे भिन्नों का योग आसानी से कर सकते हैं और परिणाम 159/360 प्राप्त कर सकते हैं। हम भिन्न को 3 से कम करते हैं और अंतिम उत्तर देखते हैं - 53/120।

रैखिक डायोफैंटाइन समीकरणों को हल करना

रैखिक डायोफैंटाइन समीकरण ax + by = d के रूप की अभिव्यक्ति हैं। यदि अनुपात d / gcd(a, b) एक पूर्णांक है, तो समीकरण पूर्णांकों में हल करने योग्य है। आइए यह देखने के लिए कुछ समीकरणों की जाँच करें कि क्या उनके पास पूर्णांक समाधान है। सबसे पहले, आइए समीकरण 150x + 8y = 37 की जाँच करें। कैलकुलेटर का उपयोग करके, हम GCD (150.8) = 2 पाते हैं। 37/2 = 18.5 से विभाजित करें। संख्या एक पूर्णांक नहीं है, इसलिए समीकरण में पूर्णांक मूल नहीं हैं।

आइए समीकरण 1320x + 1760y = 10120 की जांच करें। जीसीडी (1320, 1760) = 440 खोजने के लिए कैलकुलेटर का उपयोग करें। 10120/440 = 23 को विभाजित करें। परिणामस्वरूप, हमें एक पूर्णांक मिलता है, इसलिए, डायोफैंटाइन समीकरण पूर्णांक गुणांक में हल करने योग्य है .

निष्कर्ष

जीसीडी और एलसीएम संख्या सिद्धांत में एक बड़ी भूमिका निभाते हैं, और अवधारणाओं का गणित के विभिन्न क्षेत्रों में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। गणना करने के लिए हमारे कैलकुलेटर का उपयोग करें सबसे बड़े विभाजकऔर किसी भी संख्या का सबसे छोटा गुणज।