एवगेनी शिर्याव, शिक्षक और पॉलिटेक्निक संग्रहालय की गणित प्रयोगशाला के प्रमुख, शून्य से विभाजन के बारे में AiF.ru को बताया:
1. मुद्दे का क्षेत्राधिकार
सहमत हूँ, जो चीज़ नियम को विशेष रूप से उत्तेजक बनाती है वह है प्रतिबंध। यह कैसे नहीं किया जा सकता? प्रतिबंध किसने लगाया? हमारे नागरिक अधिकारों के बारे में क्या?
न तो रूसी संघ का संविधान, न ही आपराधिक संहिता, न ही आपके स्कूल का चार्टर उस बौद्धिक कार्रवाई पर आपत्ति करता है जिसमें हमारी रुचि है। इसका मतलब कोई प्रतिबंध नहीं है कानूनी बल, और कुछ भी आपको यहीं AiF.ru के पन्नों पर किसी चीज़ को शून्य से विभाजित करने का प्रयास करने से नहीं रोकता है। उदाहरण के लिए, एक हजार.
2. आइए सिखाए अनुसार विभाजित करें
याद रखें, जब आपने पहली बार विभाजित करना सीखा था, तो पहले उदाहरणों को गुणन की जाँच करके हल किया गया था: भाजक द्वारा गुणा किया गया परिणाम विभाज्य के समान होना चाहिए। यदि यह मेल नहीं खाता, तो उन्होंने निर्णय नहीं लिया।
उदाहरण 1। 1000: 0 =...
आइए एक पल के लिए निषिद्ध नियम को भूल जाएं और उत्तर का अनुमान लगाने के लिए कई प्रयास करें।
गलत वालों का चेक काट दिया जाएगा। निम्नलिखित विकल्प आज़माएँ: 100, 1, −23, 17, 0, 10,000। उनमें से प्रत्येक के लिए, चेक समान परिणाम देगा:
100 0 = 1 0 = - 23 0 = 17 0 = 0 0 = 10,000 0 = 0
शून्य को गुणा करने से हर चीज़ अपने आप में बदल जाती है, हजार में कभी नहीं। निष्कर्ष निकालना आसान है: कोई भी संख्या परीक्षा में उत्तीर्ण नहीं होगी। अर्थात्, किसी गैर-शून्य संख्या को शून्य से विभाजित करने पर कोई भी संख्या प्राप्त नहीं हो सकती। इस तरह का विभाजन निषिद्ध नहीं है, लेकिन इसका कोई परिणाम नहीं है।
3. सूक्ष्मता
हमने प्रतिबंध का खंडन करने का एक अवसर लगभग गँवा दिया। हाँ, हम स्वीकार करते हैं कि एक गैर-शून्य संख्या को 0 से विभाजित नहीं किया जा सकता है। लेकिन शायद 0 स्वयं कर सकता है?
उदाहरण 2. 0: 0 = ...
निजी तौर पर आपके क्या सुझाव हैं? 100? कृपया: 100 के भागफल को भाजक 0 से गुणा करने पर लाभांश 0 के बराबर होता है।
अधिक विकल्प! 1? फिट भी बैठता है. और -23, और 17, और बस इतना ही। इस उदाहरण में, परीक्षण किसी भी संख्या के लिए सकारात्मक होगा। और ईमानदारी से कहें तो, इस उदाहरण में समाधान को एक संख्या नहीं, बल्कि संख्याओं का एक समूह कहा जाना चाहिए। सब लोग। और इस बात पर सहमत होने में देर नहीं लगती कि ऐलिस ऐलिस नहीं है, बल्कि मैरी एन है, और वे दोनों एक खरगोश का सपना हैं।
4. उच्च गणित के बारे में क्या?
समस्या का समाधान हो गया है, बारीकियों को ध्यान में रखा गया है, बिंदु लगाए गए हैं, सब कुछ स्पष्ट हो गया है - शून्य से विभाजन वाले उदाहरण का उत्तर एक एकल संख्या नहीं हो सकता है। ऐसी समस्याओं का समाधान निराशाजनक एवं असंभव है। यानी... दिलचस्प! टेक टू।
उदाहरण 3. जानें कि 1000 को 0 से कैसे विभाजित किया जाए।
लेकिन कोई रास्ता नहीं. लेकिन 1000 को अन्य संख्याओं से आसानी से विभाजित किया जा सकता है। ठीक है, आइए कम से कम वह करें जो हम कर सकते हैं, भले ही हम हाथ में लिया गया कार्य बदल दें। और फिर, आप देखिए, हम बहक जाते हैं, और उत्तर अपने आप सामने आ जाएगा। आइए एक मिनट के लिए शून्य को भूल जाएं और सौ से भाग दें:
शतक शून्य से बहुत दूर है. आइए भाजक को कम करके इस ओर एक कदम बढ़ाएं:
1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.
गतिशीलता स्पष्ट है: भाजक शून्य के जितना करीब होगा, भागफल उतना ही बड़ा होगा। इस प्रवृत्ति को भिन्नों की ओर ले जाकर और अंश को कम करना जारी रखकर आगे भी देखा जा सकता है:
यह ध्यान रखना बाकी है कि हम जितना चाहें शून्य के करीब पहुंच सकते हैं, भागफल को जितना चाहें उतना बड़ा बना सकते हैं।
इस प्रक्रिया में कोई शून्य नहीं है और कोई अंतिम भागफल नहीं है। जिस संख्या में हम रुचि रखते हैं, उसमें परिवर्तित होने वाले अनुक्रम के साथ संख्या को प्रतिस्थापित करके हमने उनकी ओर आंदोलन का संकेत दिया:
इसका तात्पर्य लाभांश के लिए एक समान प्रतिस्थापन से है:
1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }
यह अकारण नहीं है कि तीर दो तरफा हैं: कुछ अनुक्रम संख्याओं में परिवर्तित हो सकते हैं। तब हम अनुक्रम को उसकी संख्यात्मक सीमा के साथ जोड़ सकते हैं।
आइए भागफल के क्रम पर नजर डालें:
यह असीमित रूप से बढ़ता है, किसी संख्या के लिए प्रयास नहीं करता और न ही किसी से आगे निकल जाता है। गणितज्ञ संख्याओं में प्रतीक जोड़ते हैं ∞ ऐसे क्रम के आगे दो तरफा तीर लगाने में सक्षम होने के लिए:
उन अनुक्रमों की संख्या के साथ तुलना जिनकी एक सीमा है, हमें तीसरे उदाहरण का समाधान प्रस्तावित करने की अनुमति देती है:
1000 में परिवर्तित होने वाले अनुक्रम को 0 में परिवर्तित होने वाली धनात्मक संख्याओं के अनुक्रम से तत्ववार विभाजित करने पर, हमें ∞ में परिवर्तित होने वाला एक अनुक्रम प्राप्त होता है।
5. और यहां दो शून्य के साथ बारीकियां हैं
शून्य पर मिलने वाली सकारात्मक संख्याओं के दो अनुक्रमों को विभाजित करने का परिणाम क्या है? यदि वे समान हैं, तो इकाई समान है। यदि लाभांश अनुक्रम तेजी से शून्य में परिवर्तित हो जाता है, तो भागफल में अनुक्रम की शून्य सीमा होती है। और जब भाजक के तत्व लाभांश की तुलना में बहुत तेजी से घटते हैं, तो भागफल का क्रम बहुत बढ़ जाएगा:
अनिश्चित स्थिति. और इसे ही कहा जाता है: प्रकार की अनिश्चितता 0/0 . जब गणितज्ञ ऐसे अनुक्रम देखते हैं जो ऐसी अनिश्चितता के अनुकूल होते हैं, तो वे दो समान संख्याओं को एक-दूसरे से विभाजित करने में जल्दबाजी नहीं करते हैं, बल्कि यह पता लगाते हैं कि कौन सा अनुक्रम तेजी से शून्य तक चलता है और वास्तव में कितना। और प्रत्येक उदाहरण का अपना विशिष्ट उत्तर होगा!
6. जीवन में
ओम का नियम किसी सर्किट में करंट, वोल्टेज और प्रतिरोध से संबंधित है। इसे अक्सर इस रूप में लिखा जाता है:
आइए हम साफ-सुथरी भौतिक समझ को नजरअंदाज करें और औपचारिक रूप से दाहिनी ओर को दो संख्याओं के भागफल के रूप में देखें। आइए कल्पना करें कि हम बिजली पर एक स्कूल की समस्या का समाधान कर रहे हैं। स्थिति वोल्ट में वोल्टेज और ओम में प्रतिरोध देती है। प्रश्न स्पष्ट है, समाधान एक क्रिया में है।
अब आइए अतिचालकता की परिभाषा देखें: यह कुछ धातुओं का शून्य विद्युत प्रतिरोध होने का गुण है।
खैर, आइए सुपरकंडक्टिंग सर्किट की समस्या का समाधान करें? बस इसे सेट करें आर= 0 यह काम नहीं करेगा, भौतिकी ख़राब है दिलचस्प कार्य, जो स्पष्ट रूप से पीछे खड़ा है वैज्ञानिक खोज. और जो लोग इस स्थिति में शून्य से विभाजित करने में कामयाब रहे उन्हें प्राप्त हुआ नोबेल पुरस्कार. किसी भी निषेध को दरकिनार करने में सक्षम होना उपयोगी है!
स्कूल में भी, शिक्षकों ने हमारे दिमाग में सबसे सरल नियम थोपने की कोशिश की: "किसी भी संख्या को शून्य से गुणा करने पर शून्य ही होता है!", - लेकिन फिर भी उनके इर्द-गिर्द लगातार कई विवाद खड़े होते रहते हैं। कुछ लोग बस नियम को याद रखते हैं और खुद को इस सवाल से परेशान नहीं करते कि "क्यों?" "आप नहीं कर सकते और बस इतना ही, क्योंकि उन्होंने स्कूल में ऐसा कहा था, नियम ही नियम है!" कोई इस नियम को या, इसके विपरीत, इसकी अतार्किकता को सिद्ध करते हुए, सूत्रों से आधी नोटबुक भर सकता है।
आखिर कौन सही है?
इन विवादों के दौरान, विरोधी दृष्टिकोण वाले दोनों लोग एक-दूसरे को राम की तरह देखते हैं और अपनी पूरी ताकत से साबित करते हैं कि वे सही हैं। हालाँकि, यदि आप उन्हें बगल से देखते हैं, तो आप एक नहीं, बल्कि दो मेढ़ों को एक-दूसरे पर अपने सींग टिकाते हुए देख सकते हैं। उनमें फर्क सिर्फ इतना है कि एक दूसरे से थोड़ा कम पढ़ा-लिखा है।
अक्सर, जो लोग इस नियम को गलत मानते हैं वे इस तरह से तर्क की अपील करने की कोशिश करते हैं:
मेरी मेज पर दो सेब हैं, अगर मैं उन पर शून्य सेब रखूं, यानी एक भी न रखूं, तो मेरे दो सेब गायब नहीं होंगे! नियम अतार्किक है!
वास्तव में, सेब कहीं भी गायब नहीं होंगे, लेकिन इसलिए नहीं कि नियम अतार्किक है, बल्कि इसलिए कि यहां थोड़ा अलग समीकरण का उपयोग किया जाता है: 2 + 0 = 2. तो आइए इस निष्कर्ष को तुरंत त्याग दें - यह अतार्किक है, हालांकि इसका लक्ष्य विपरीत है - तर्क को बुलाना।
गुणन क्या है
मूलतः गुणन नियमकेवल प्राकृतिक संख्याओं के लिए परिभाषित किया गया था: गुणन एक संख्या है जिसे अपने आप में एक निश्चित संख्या में जोड़ा जाता है, जिसका अर्थ है कि संख्या प्राकृतिक है। इस प्रकार, गुणन के साथ किसी भी संख्या को इस समीकरण में घटाया जा सकता है:
- 25×3 = 75
- 25 + 25 + 25 = 75
- 25×3 = 25 + 25 + 25
इस समीकरण से यह निष्कर्ष निकलता है वह गुणन एक सरलीकृत जोड़ है.
शून्य क्या है?
कोई भी व्यक्ति बचपन से जानता है: शून्य शून्यता है। इस तथ्य के बावजूद कि इस शून्यता का एक पदनाम है, इसमें कुछ भी नहीं होता है। प्राचीन पूर्वी वैज्ञानिकों ने अलग तरह से सोचा - उन्होंने इस मुद्दे को दार्शनिक रूप से देखा और शून्यता और अनंत के बीच कुछ समानताएं बनाईं और इस संख्या में एक गहरा अर्थ देखा। आखिर शून्य, जिसका अर्थ शून्यता है, किसी के भी बगल में खड़ा है प्राकृतिक संख्या, इसे दस गुना बढ़ा देता है। इसलिए गुणन के बारे में सारा विवाद - यह संख्या इतनी असंगतता रखती है कि भ्रमित न होना कठिन हो जाता है। इसके अलावा, दशमलव अंशों में खाली अंकों को परिभाषित करने के लिए शून्य का लगातार उपयोग किया जाता है, यह दशमलव बिंदु से पहले और बाद में दोनों बार किया जाता है।
क्या शून्यता से गुणा करना संभव है?
आप शून्य से गुणा कर सकते हैं, लेकिन यह बेकार है, क्योंकि गुणा करने पर भी कोई कुछ भी कह सकता है नकारात्मक संख्याएँयह अभी भी शून्य होगा. बस इस सरल नियम को याद रखना और यह प्रश्न दोबारा कभी न पूछना ही पर्याप्त है। वास्तव में, सब कुछ पहली नज़र में लगने से कहीं अधिक सरल है। जैसा कि प्राचीन वैज्ञानिकों का मानना था, इसमें कोई छिपे हुए अर्थ और रहस्य नहीं हैं। नीचे हम सबसे तार्किक व्याख्या देंगे कि यह गुणन बेकार है, क्योंकि जब आप किसी संख्या को इससे गुणा करेंगे, तब भी आपको वही चीज़ मिलेगी - शून्य।
बिल्कुल शुरुआत में लौटते हुए, दो सेबों के बारे में तर्क पर, 2 गुना 0 इस तरह दिखता है:
- यदि आप दो सेब पांच बार खाते हैं, तो आप 2×5 = 2+2+2+2+2 = 10 सेब खाते हैं
- यदि आप उनमें से दो को तीन बार खाते हैं, तो आप 2×3 = 2+2+2 = 6 सेब खाते हैं
- अगर आप दो सेब शून्य बार खाएंगे तो कुछ नहीं खाएंगे - 2×0 = 0×2 = 0+0 = 0
आख़िरकार, एक सेब 0 बार खाने का मतलब एक भी सेब न खाना है। यह आपको भी स्पष्ट हो जायेगा एक छोटे बच्चे को. कोई कुछ भी कहे, परिणाम 0 ही होगा, दो या तीन को बिल्कुल किसी भी संख्या से बदला जा सकता है और परिणाम बिल्कुल वही होगा। और सीधे शब्दों में कहें तो शून्य कुछ भी नहीं है, और आपके पास कब है वहां कुछ भी नहीं है, फिर चाहे आप कितना भी गुणा कर लें, यह अभी भी वही है शून्य होगा. जादू जैसी कोई चीज़ नहीं है, और किसी भी चीज़ से सेब नहीं बनेगा, भले ही आप 0 को दस लाख से गुणा कर दें। यह शून्य से गुणन के नियम की सबसे सरल, सबसे समझने योग्य और तार्किक व्याख्या है। ऐसे व्यक्ति के लिए जो सभी सूत्रों और गणित से दूर है, ऐसी व्याख्या सिर में चल रही विसंगति को दूर करने और सब कुछ ठीक करने के लिए पर्याप्त होगी।
विभाजन
उपरोक्त सभी से एक और बात निकलती है महत्वपूर्ण नियम:
आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते!
यह नियम भी बचपन से ही हमारे दिमाग में लगातार ठूंसा जाता रहा है। हम बस इतना जानते हैं कि अपने दिमाग में अनावश्यक जानकारी भरे बिना सब कुछ करना असंभव है। यदि आपसे अप्रत्याशित रूप से यह प्रश्न पूछा जाए कि शून्य से भाग देना क्यों वर्जित है, तो बहुमत भ्रमित हो जाएगा और सबसे सरल प्रश्न का स्पष्ट उत्तर नहीं दे पाएगा। स्कूल के पाठ्यक्रम, क्योंकि इस नियम को लेकर इतना विवाद और विवाद नहीं है।
सभी ने बस नियम को याद कर लिया और शून्य से विभाजित नहीं किया, इस बात पर संदेह नहीं किया कि उत्तर सतह पर छिपा हुआ था। जोड़, गुणा, भाग और घटाव असमान हैं; उपरोक्त में से, केवल गुणा और जोड़ ही मान्य हैं, और संख्याओं के साथ अन्य सभी जोड़-तोड़ उन्हीं से निर्मित होते हैं। अर्थात्, प्रविष्टि 10:2, समीकरण 2 * x = 10 का संक्षिप्त रूप है। इसका मतलब यह है कि प्रविष्टि 10: 0, 0 * x = 10 का वही संक्षिप्त रूप है। इससे पता चलता है कि शून्य से भाग देना एक कार्य है एक संख्या ढूंढें, 0 से गुणा करने पर, आपको 10 मिलता है और हम पहले ही पता लगा चुके हैं कि ऐसी कोई संख्या मौजूद नहीं है, जिसका अर्थ है कि इस समीकरण का कोई समाधान नहीं है, और यह प्राथमिक रूप से गलत होगा।
मैं आपको बता दूँ,
ताकि 0 से भाग न हो!
1 को अपनी इच्छानुसार लम्बाई में काटें,
बस 0 से विभाजित न करें!
एवगेनी शिर्याएव, शिक्षक और पॉलिटेक्निक संग्रहालय की गणित प्रयोगशाला के प्रमुख, एआईएफ को शून्य से विभाजन के बारे में बताया:
1. मुद्दे का क्षेत्राधिकार
सहमत हूँ, जो चीज़ नियम को विशेष रूप से उत्तेजक बनाती है वह है प्रतिबंध। यह कैसे नहीं किया जा सकता? प्रतिबंध किसने लगाया? हमारे नागरिक अधिकारों के बारे में क्या?
न तो संविधान, न ही आपराधिक संहिता, और न ही आपके स्कूल का चार्टर उस बौद्धिक कार्रवाई पर आपत्ति करता है जिसमें हमारी रुचि है। इसका मतलब यह है कि प्रतिबंध में कोई कानूनी बल नहीं है, और कुछ भी आपको यहीं, एआईएफ के पन्नों पर किसी चीज़ को शून्य से विभाजित करने की कोशिश करने से नहीं रोकता है। उदाहरण के लिए, एक हजार.
2. आइए सिखाए अनुसार विभाजित करें
याद रखें, जब आपने पहली बार विभाजित करना सीखा था, तो पहले उदाहरणों को गुणन जांच के साथ हल किया गया था: भाजक द्वारा गुणा किए गए परिणाम को लाभांश के साथ मेल खाना था। यह मेल नहीं खाता - उन्होंने निर्णय नहीं लिया।
उदाहरण 1। 1000: 0 =...
आइए एक पल के लिए निषिद्ध नियम को भूल जाएं और उत्तर का अनुमान लगाने के लिए कई प्रयास करें।
गलत वालों का चेक काट दिया जाएगा। निम्नलिखित विकल्प आज़माएँ: 100, 1, −23, 17, 0, 10,000। उनमें से प्रत्येक के लिए, चेक समान परिणाम देगा:
100 0 = 1 0 = - 23 0 = 17 0 = 0 0 = 10,000 0 = 0
शून्य को गुणा करने से हर चीज़ अपने आप में बदल जाती है, हजार में कभी नहीं। निष्कर्ष निकालना आसान है: कोई भी संख्या परीक्षा में उत्तीर्ण नहीं होगी। अर्थात्, किसी गैर-शून्य संख्या को शून्य से विभाजित करने पर कोई भी संख्या प्राप्त नहीं हो सकती। इस तरह का विभाजन निषिद्ध नहीं है, लेकिन इसका कोई परिणाम नहीं है।
3. सूक्ष्मता
हमने प्रतिबंध का खंडन करने का एक अवसर लगभग गँवा दिया। हाँ, हम स्वीकार करते हैं कि एक गैर-शून्य संख्या को 0 से विभाजित नहीं किया जा सकता है। लेकिन शायद 0 स्वयं कर सकता है?
उदाहरण 2. 0: 0 = ...
निजी तौर पर आपके क्या सुझाव हैं? 100? कृपया: 100 के भागफल को भाजक 0 से गुणा करने पर लाभांश 0 के बराबर होता है।
अधिक विकल्प! 1? फिट भी बैठता है. और -23, और 17, और बस इतना ही। इस उदाहरण में, परीक्षण किसी भी संख्या के लिए सकारात्मक होगा। और, ईमानदारी से कहें तो, इस उदाहरण में समाधान को एक संख्या नहीं, बल्कि संख्याओं का एक समूह कहा जाना चाहिए। सब लोग। और इस बात पर सहमत होने में देर नहीं लगती कि ऐलिस ऐलिस नहीं है, बल्कि मैरी एन है, और वे दोनों एक खरगोश का सपना हैं।
4. उच्च गणित के बारे में क्या?
समस्या का समाधान हो गया है, बारीकियों को ध्यान में रखा गया है, बिंदु लगाए गए हैं, सब कुछ स्पष्ट हो गया है - शून्य से विभाजन वाले उदाहरण का उत्तर एक एकल संख्या नहीं हो सकता है। ऐसी समस्याओं का समाधान निराशाजनक एवं असंभव है। यानी... दिलचस्प! टेक टू।
उदाहरण 3. जानें कि 1000 को 0 से कैसे विभाजित किया जाए।
लेकिन कोई रास्ता नहीं. लेकिन 1000 को अन्य संख्याओं से आसानी से विभाजित किया जा सकता है। ठीक है, चलो कम से कम वही करें जो काम करता है, भले ही हम कार्य बदल दें। और फिर, आप देखिए, हम बहक जाते हैं, और उत्तर अपने आप सामने आ जाएगा। आइए एक मिनट के लिए शून्य को भूल जाएं और सौ से भाग दें:
शतक शून्य से बहुत दूर है. आइए भाजक को कम करके इस ओर एक कदम बढ़ाएं:
1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.
गतिशीलता स्पष्ट है: भाजक शून्य के जितना करीब होगा, भागफल उतना ही बड़ा होगा। इस प्रवृत्ति को भिन्नों की ओर ले जाकर और अंश को कम करना जारी रखकर आगे भी देखा जा सकता है:
यह ध्यान रखना बाकी है कि हम जितना चाहें शून्य के करीब पहुंच सकते हैं, भागफल को जितना चाहें उतना बड़ा बना सकते हैं।
इस प्रक्रिया में कोई शून्य नहीं है और कोई अंतिम भागफल नहीं है। जिस संख्या में हम रुचि रखते हैं, उसमें परिवर्तित होने वाले अनुक्रम के साथ संख्या को प्रतिस्थापित करके हमने उनकी ओर आंदोलन का संकेत दिया:
इसका तात्पर्य लाभांश के लिए एक समान प्रतिस्थापन से है:
1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }
यह अकारण नहीं है कि तीर दो तरफा हैं: कुछ अनुक्रम संख्याओं में परिवर्तित हो सकते हैं। तब हम अनुक्रम को उसकी संख्यात्मक सीमा के साथ जोड़ सकते हैं।
आइए भागफल के क्रम पर नजर डालें:
यह असीमित रूप से बढ़ता है, किसी संख्या के लिए प्रयास नहीं करता और न ही किसी से आगे निकल जाता है। गणितज्ञ संख्याओं में प्रतीक जोड़ते हैं ∞ ऐसे क्रम के आगे दो तरफा तीर लगाने में सक्षम होने के लिए:
उन अनुक्रमों की संख्या के साथ तुलना जिनकी एक सीमा है, हमें तीसरे उदाहरण का समाधान प्रस्तावित करने की अनुमति देती है:
1000 में परिवर्तित होने वाले अनुक्रम को 0 में परिवर्तित होने वाली धनात्मक संख्याओं के अनुक्रम से तत्ववार विभाजित करने पर, हमें ∞ में परिवर्तित होने वाला एक अनुक्रम प्राप्त होता है।
5. और यहां दो शून्य के साथ बारीकियां हैं
शून्य पर मिलने वाली सकारात्मक संख्याओं के दो अनुक्रमों को विभाजित करने का परिणाम क्या है? यदि वे समान हैं, तो इकाई समान है। यदि कोई लाभांश अनुक्रम तेजी से शून्य पर परिवर्तित होता है, तो विशेष रूप से यह शून्य सीमा वाला अनुक्रम है। और जब भाजक के तत्व लाभांश की तुलना में बहुत तेजी से घटते हैं, तो भागफल का क्रम बहुत बढ़ जाएगा:
अनिश्चित स्थिति. और इसे ही कहा जाता है: प्रकार की अनिश्चितता 0/0 . जब गणितज्ञ ऐसे अनुक्रम देखते हैं जो ऐसी अनिश्चितता के अनुकूल होते हैं, तो वे दो समान संख्याओं को एक-दूसरे से विभाजित करने में जल्दबाजी नहीं करते हैं, बल्कि यह पता लगाते हैं कि कौन सा अनुक्रम तेजी से शून्य तक चलता है और वास्तव में कितना। और प्रत्येक उदाहरण का अपना विशिष्ट उत्तर होगा!
6. जीवन में
ओम का नियम किसी सर्किट में करंट, वोल्टेज और प्रतिरोध से संबंधित है। इसे अक्सर इस रूप में लिखा जाता है:
आइए हम साफ-सुथरी भौतिक समझ को नजरअंदाज करें और औपचारिक रूप से दाहिनी ओर को दो संख्याओं के भागफल के रूप में देखें। आइए कल्पना करें कि हम बिजली पर एक स्कूल की समस्या का समाधान कर रहे हैं। स्थिति वोल्ट में वोल्टेज और ओम में प्रतिरोध देती है। प्रश्न स्पष्ट है, समाधान एक क्रिया में है।
अब आइए अतिचालकता की परिभाषा देखें: यह कुछ धातुओं का शून्य विद्युत प्रतिरोध होने का गुण है।
खैर, आइए सुपरकंडक्टिंग सर्किट की समस्या का समाधान करें? बस इसे सेट करें आर= 0 यदि यह काम नहीं करता है, तो भौतिकी एक दिलचस्प समस्या सामने लाती है, जिसके पीछे, जाहिर है, एक वैज्ञानिक खोज है। और जो लोग इस स्थिति में शून्य से भाग देने में कामयाब रहे उन्हें नोबेल पुरस्कार मिला। किसी भी निषेध को दरकिनार करने में सक्षम होना उपयोगी है!
स्कूल में वे हमें सब पढ़ाते हैं सरल नियम, जिसे शून्य से विभाजित नहीं किया जा सकता। उसी समय, जब हम प्रश्न पूछते हैं: "क्यों?", तो वे हमें उत्तर देते हैं: "यह सिर्फ एक नियम है और आपको इसे जानना आवश्यक है।" इस लेख में मैं आपको यह समझाने की कोशिश करूंगा कि आप शून्य से भाग क्यों नहीं दे सकते। वे लोग गलत क्यों हैं जो कहते हैं कि आप शून्य से भाग दे सकते हैं और फिर अनंत प्राप्त होता है?
आप शून्य से भाग क्यों नहीं दे सकते?
औपचारिक रूप से, गणित में, केवल दो क्रियाएँ होती हैं। संख्याओं का जोड़ और गुणा. तो घटाव और विभाजन के बारे में क्या? आइए इस उदाहरण पर विचार करें. 7-4=3, हम सभी जानते हैं कि सात घटा चार तीन के बराबर होगा। वास्तव में, इस उदाहरण को, औपचारिक रूप से, समीकरण x+4=7 को हल करने का एक तरीका माना जा सकता है। यानी, हम एक संख्या चुनते हैं, जिसे चार में जोड़ने पर 7 आएगा। तब हमें ज्यादा देर सोचने की जरूरत नहीं पड़ेगी और पता चलेगा कि यह संख्या तीन के बराबर है। विभाजन के साथ भी ऐसा ही है. मान लीजिए 12/3. यह x*3=12 के समान होगा।
हम एक संख्या चुनते हैं, जिसे 3 से गुणा करने पर हमें 12 प्राप्त होगा इस मामले मेंमी जो चार बनाता है. यह बिल्कुल स्पष्ट है. 7/0 जैसे उदाहरणों के बारे में क्या? यदि हम सात को शून्य से विभाजित करके लिखें तो क्या होगा? इसका मतलब यह है कि हम 0*x=7 के रूप का एक समीकरण हल कर रहे हैं। लेकिन इस समीकरण का कोई हल नहीं है, क्योंकि यदि शून्य को किसी भी संख्या से गुणा किया जाए, तो परिणाम हमेशा शून्य ही होता है। यानी कोई समाधान नहीं है. यह या तो इन शब्दों के साथ लिखा जाता है कि कोई समाधान नहीं है, या एक आइकन के साथ जिसका अर्थ है एक खाली सेट।
दूसरे शब्दों में
इस नियम का यही मतलब है. आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते क्योंकि संबंधित समीकरण, शून्य गुना x सात के बराबर है या जो भी संख्या हम शून्य से विभाजित करने का प्रयास कर रहे हैं, उसका कोई समाधान नहीं है। सबसे चौकस लोग कह सकते हैं कि यदि हम शून्य को शून्य से विभाजित करें, तो यह काफी उचित होगा कि यदि 0*X=0। सब कुछ बढ़िया है, हम शून्य को किसी संख्या से गुणा करते हैं, हमें शून्य मिलता है। लेकिन फिर हमारा समाधान कोई भी संख्या हो सकता है। यदि हम x=1, 0*1=0, x=100500, 0*100500=0 को देखें। यहां कोई भी संख्या काम करेगी.
तो हम उनमें से किसी एक को क्यों चुनें? हमारे पास वास्तव में ऐसा कोई विचार नहीं है जिसके द्वारा हम इनमें से किसी एक संख्या को ले सकें और कह सकें कि ये समीकरणों के समाधान हैं। इसलिए, इसके अनंत रूप से कई समाधान हैं और यह एक अस्पष्ट समस्या भी है जिसमें यह माना जाता है कि इसका कोई समाधान नहीं है।
अनंत
ऊपर मैंने आपको बताया कि आप क्यों बंटवारा नहीं कर सकते, अब मैं आपसे किस बारे में बात करना चाहता हूं। आइए सावधानी के साथ शून्य ऑपरेशन द्वारा डिवीजन से संपर्क करने का प्रयास करें। आइए सबसे पहले संख्या 5 को दो से विभाजित करें। हम जानते हैं कि क्या होगा दशमलव 2.5. अब हम भाजक को कम करेंगे और 5 को 1 से विभाजित करेंगे तो 5 आएगा। अब हम 5 को 0.5 से विभाजित करेंगे। यह पांच को एक आधे से विभाजित करने के समान है, या 5 * 2 के समान है, तो यह 10 होगा। कृपया ध्यान दें कि विभाजन का परिणाम, यानी भागफल, बढ़ता है: 2.5, 5, 10।
अब 5 को 0.1 से विभाजित करते हैं, यह 5*10=50 के समान होगा, भागफल फिर से बढ़ गया है। साथ ही, हमने भाजक को कम कर दिया। यदि हम 5 को 0.01 से विभाजित करें तो यह 5*100=500 के समान होगा। देखना। हम भाजक को जितना छोटा करेंगे, भागफल उतना ही बड़ा होगा। यदि हम 5 को 0.00001 से विभाजित करते हैं, तो हमें 500000 प्राप्त होता है।
संक्षेप
यदि आप इसे इस अर्थ में देखें तो शून्य से विभाजन क्या है? ध्यान दें कि हमने अपना भागफल कैसे कम किया? यदि आप एक अक्ष बनाते हैं, तो आप उस पर देख सकते हैं कि पहले हमारे पास दो थे, फिर एक, फिर 0.5, 0.1, इत्यादि। हम दाहिनी ओर शून्य के और करीब पहुँच रहे थे, लेकिन हम कभी भी शून्य तक नहीं पहुँच पाए। हम कम और कम लेते हैं कम संख्याऔर हमारे भागफल को इससे विभाजित करें। यह और भी बड़ा होता जा रहा है. इस मामले में वे लिखते हैं कि हम 5 को X से विभाजित करते हैं, जहाँ x अपरिमित रूप से छोटा है। यानी यह शून्य के करीब और करीब होता जा रहा है। बस इस स्थिति में, पाँच को X से विभाजित करने पर हमें अनन्त प्राप्त होता है। अंतहीन बड़ी संख्या. यहीं पर एक सूक्ष्मता उत्पन्न होती है।
यदि हम दाईं ओर से शून्य की ओर बढ़ते हैं, तो यह अतिसूक्ष्म धनात्मक होगा और हमें धन अनंत प्राप्त होगा। यदि हम बायीं ओर से हमें ऋणात्मक भागफल प्राप्त होगा। और फिर पांच को x से विभाजित किया जाता है, जहां x अतिसूक्ष्म होगा, लेकिन बाईं ओर, ऋण अनंत के बराबर होगा। इस मामले में वे लिखते हैं: x दाईं ओर से शून्य की ओर प्रवृत्त होता है, 0+0, यह दर्शाता है कि हम दाईं ओर से शून्य की ओर प्रवृत्त होते हैं। मान लें कि यदि हम दाहिनी ओर तीन को लक्ष्य कर रहे थे, तो इस मामले में हम लिखते हैं कि X बाईं ओर लक्ष्य कर रहा है। तदनुसार, हम बाईं ओर तीन का लक्ष्य रखेंगे, इसे इस प्रकार लिखेंगे कि x की प्रवृत्ति 3-0 की ओर होती है।
फ़ंक्शन ग्राफ़ कैसे मदद कर सकता है
किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़, जिसे हमने स्कूल में पढ़ा था, हमें इसे बेहतर ढंग से समझने में मदद करता है। फ़ंक्शन को व्युत्क्रम संबंध कहा जाता है, और इसका ग्राफ़ एक अतिपरवलय है। अतिशयोक्ति इस प्रकार दिखती है: यह एक वक्र है जिसके अनंतस्पर्शी बिंदु x-अक्ष और y-अक्ष हैं। अनंतस्पर्शी वह रेखा है जिस तक वक्र जाता है लेकिन कभी पहुंचता नहीं है। ऐसा है गणितीय नाटक. हम देखते हैं कि जितना हम शून्य के करीब पहुंचते हैं, हमारा मूल्य उतना ही बड़ा हो जाता है। X जितना छोटा होता जाता है, यानी, जैसे-जैसे X दाहिनी ओर शून्य की ओर बढ़ता है, गेम बड़ा और बड़ा होता जाता है, और प्लस अनंत की ओर बढ़ता जाता है। तदनुसार, जब x बायीं ओर से शून्य की ओर प्रवृत्त होता है, जब x बायीं ओर से शून्य की ओर प्रवृत्त होता है, अर्थात x 0-0 की ओर प्रवृत्त होता है, तो हम शून्य से अनंत की ओर प्रवृत्त होते हैं। सही है ऐसा लिखा है. Y शून्य से अनंत की ओर प्रवृत्त होता है, जबकि X बाईं ओर शून्य की ओर प्रवृत्त होता है। तदनुसार, हम लिखते हैं कि y धन अनंत की ओर प्रवृत्त होता है, जबकि x दाईं ओर शून्य की ओर प्रवृत्त होता है। अर्थात्, संक्षेप में, हम शून्य से विभाजित नहीं होते हैं, हम एक अतिसूक्ष्म मान से विभाजित होते हैं।
और जो लोग कहते हैं कि आप शून्य से विभाजित कर सकते हैं, हमें बस अनंत मिलता है, उनका सीधा सा मतलब है कि आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते हैं, लेकिन आप शून्य के करीब एक संख्या से विभाजित कर सकते हैं, यानी एक अनंत मान से। यदि हम अतिसूक्ष्म धनात्मक से भाग देते हैं तो हमें धन अनंत प्राप्त होता है और यदि अतिसूक्ष्म ऋणात्मक से भाग देते हैं तो ऋण अनंत प्राप्त होता है।
मुझे आशा है कि इस लेख ने आपको उस प्रश्न को समझने में मदद की है जो बचपन से ही अधिकांश लोगों को परेशान करता रहा है, कि आप शून्य से भाग क्यों नहीं दे सकते। क्यों हमें कोई नियम सीखने के लिए मजबूर किया जाता है, लेकिन कुछ भी समझाया नहीं जाता है। मुझे आशा है कि लेख ने आपको यह समझने में मदद की है कि आप वास्तव में शून्य से विभाजित नहीं कर सकते हैं, और जो लोग कहते हैं कि आप शून्य से विभाजित कर सकते हैं, उनका वास्तव में मतलब यह है कि आप एक अनंत मान से विभाजित कर सकते हैं।
स्कूल अंकगणित पाठ्यक्रम में, सभी गणितीय संक्रियाएँ वास्तविक संख्याओं के साथ की जाती हैं। इन संख्याओं के समुच्चय (या एक निरंतर क्रमित फ़ील्ड) में कई गुण (स्वयंसिद्ध) होते हैं: गुणन और जोड़ की क्रमविनिमेयता और साहचर्यता, शून्य, एक, विपरीत और व्युत्क्रम तत्वों का अस्तित्व। इसके अलावा क्रम और निरंतरता के सिद्धांत भी लागू होते हैं तुलनात्मक विश्लेषण, आपको वास्तविक संख्याओं के सभी गुणों को निर्धारित करने की अनुमति देता है।
चूँकि विभाजन गुणन की व्युत्क्रम संक्रिया है, वास्तविक संख्याओं को शून्य से विभाजित करने पर दो अघुलनशील समस्याएँ अनिवार्य रूप से उत्पन्न होती हैं। सबसे पहले, गुणन का उपयोग करके शून्य से भाग के परिणाम की जाँच करने पर कोई संख्यात्मक अभिव्यक्ति नहीं होती है। भागफल चाहे कोई भी संख्या हो, यदि उसे शून्य से गुणा किया जाए तो लाभांश प्राप्त करना असंभव है। दूसरे, उदाहरण 0:0 में उत्तर बिल्कुल कोई भी संख्या हो सकता है, जिसे भाजक से गुणा करने पर हमेशा शून्य हो जाता है।
उच्च गणित में शून्य से विभाजन
के अनुसार, शून्य से विभाजित करने की सूचीबद्ध कठिनाइयों के कारण इस ऑपरेशन पर प्रतिबंध लगा दिया गया कम से कम, एक स्कूल पाठ्यक्रम के भाग के रूप में। हालाँकि, में उच्च गणितइस प्रतिबंध से बचने के उपाय खोजें।
उदाहरण के लिए, परिचित संख्या रेखा से भिन्न, एक अलग बीजगणितीय संरचना का निर्माण करके। ऐसी संरचना का एक उदाहरण एक पहिया है। यहां कानून और नियम हैं. विशेष रूप से, विभाजन गुणन से बंधा नहीं है और एक बाइनरी ऑपरेशन (दो तर्कों के साथ) से एक यूनरी ऑपरेशन (एक तर्क के साथ) में बदल जाता है, जिसे प्रतीक /x द्वारा दर्शाया जाता है।
वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र का विस्तार हाइपररियल संख्याओं की शुरूआत के कारण होता है, जो असीम रूप से बड़ी और अनंत मात्राओं को कवर करता है। यह दृष्टिकोण हमें "अनंत" शब्द को एक निश्चित संख्या के रूप में मानने की अनुमति देता है। इसके अलावा, जब संख्या रेखा का विस्तार होता है, तो यह संख्या अपना चिह्न खो देती है, और इस रेखा के दोनों सिरों को जोड़ने वाले एक आदर्श बिंदु में बदल जाती है। इस दृष्टिकोण की तुलना दिनांक रेखा से की जा सकती है, जब दो समय क्षेत्रों UTC+12 और UTC-12 के बीच चलते समय आप स्वयं को इसमें पा सकते हैं अगले दिनया पिछले वाले में. इस स्थिति में, किसी भी x≠0 के लिए कथन x/0=∞ सत्य हो जाता है।
अनिश्चितता 0/0 को खत्म करने के लिए, पहिये के लिए एक नया तत्व ⏊=0/0 पेश किया गया है। साथ ही, इस बीजगणितीय संरचना की अपनी बारीकियाँ हैं: 0 x≠0; x-x≠0 वी सामान्य मामला. इसके अलावा x·/x≠1, क्योंकि भाग और गुणा को अब व्युत्क्रम संक्रिया नहीं माना जाता है। लेकिन पहिये की इन विशेषताओं को वितरणात्मक कानून की पहचान का उपयोग करके अच्छी तरह से समझाया गया है, जो ऐसी बीजगणितीय संरचना में कुछ अलग तरीके से संचालित होता है। अधिक विस्तृत स्पष्टीकरण विशेष साहित्य में पाए जा सकते हैं।
बीजगणित, जिसका हर कोई आदी है, वास्तव में, अधिक का एक विशेष मामला है जटिल प्रणालियाँ, उदाहरण के लिए, वही पहिया। जैसा कि आप देख सकते हैं, उच्च गणित में शून्य से भाग देना संभव है। इसके लिए संख्याओं, बीजीय संक्रियाओं और उन कानूनों के बारे में पारंपरिक विचारों की सीमाओं से परे जाने की आवश्यकता है जिनका वे पालन करते हैं। हालाँकि ये काफी है प्राकृतिक प्रक्रिया, नए ज्ञान की किसी भी खोज के साथ।
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