"स्तंभ" ("कोने") द्वारा बहुपदों का विभाजन। एक कोने से बहुपदों का विभाजन व्यंजक को ऑनलाइन व्यंजक द्वारा विभाजित करें

कथन

शेष अधूरा निजी.

टिप्पणी

किसी भी बहुपद $A(x)$ और $B(x)$ ($B(x)$ की डिग्री 0 से अधिक है) के लिए अद्वितीय बहुपद $Q(x)$ और $R(x)$ हैं। दावे की स्थिति।

1. बहुपद $x^(4) + 3x^(3) +5$ को $x^(2) + 1$ से विभाजित करने के बाद शेष बचता है $3x + 4$:$x^(4) + 3x^(3) +5 = (x^(2) + 3x +1)(x^(2) + 1) +3x + 4.$
2. बहुपद $x^(4) + 3x^(3) +5$ को $x^(4) + 1$ से विभाजित करने के बाद शेष शेष है $3x^(3) + 4$:$x^(4) + 3x ^( 3) +5 = 1 \cdot (x^(2) + 1) +3x^(3) + 4.$
3. बहुपद $x^(4) + 3x^(3) +5$ को $x^(6) + 1$ से विभाजित करने के बाद शेष बचता है $x^(4) + 3x^(3) +5$:$x ^(4) + 3x^(3) +5 = 0 \cdot (x^(6) + 1) + x^(4) + 3x^(3) +5.$

कथन

किन्हीं दो बहुपदों $A(x)$ और $B(x)$ के लिए (जहां बहुपद $B(x)$ की डिग्री गैर-शून्य है), फॉर्म में एक बहुपद प्रतिनिधित्व $A(x)$ मौजूद है $A(x) = Q (x)B(x) + R(x)$, जहां $Q(x)$ और $R(x)$ बहुपद हैं और $R(x)$ की डिग्री से कम है $B(x).$ . की डिग्री

सबूत

हम बहुपद $A(x) की डिग्री पर प्रेरण द्वारा अभिकथन को सिद्ध करेंगे। इसे $n$ से निरूपित करें। यदि $n = 0$, तो कथन सत्य है: $A(x)$ को $A(x) = 0 \cdot B(x) + A(x).$ के रूप में दर्शाया जा सकता है। डिग्री के बहुपद $n \ leqm$। आइए $k= n+1 घात वाले बहुपदों के अभिकथन को सिद्ध करें।$

मान लीजिए कि बहुपद $B(x)$ की घात $m$ के बराबर है। तीन मामलों पर विचार करें: $k< m$, $k = m$ и $k >m$ और उनमें से प्रत्येक के लिए अभिकथन सिद्ध कीजिए।

1. $k< m$
   बहुपद $A(x)$ को के रूप में दर्शाया जा सकता है

   $A(x) = 0 \cdot B(x) + A(x).$

   अभिकथन किया गया है।

2. $ के = एम $
   माना बहुपद $A(x)$ और $B(x)$ का रूप है

   $A(x) = a_(n+1)x^(n+1) + a_(n)x^(n) + \dots + a_(1)x + a_(0), \: \mbox(जहां ) \: a_(n+1) \neq 0;$

   $B(x) = b_(n+1)x^(n+1) + b_(n)x^(n) + \dots + b_(1)x + b_(0), \: \mbox(जहां ) \: b_(n+1) \neq 0.$

   आइए $A(x)$ के रूप में प्रतिनिधित्व करते हैं

   $A(x) = \dfrac(a_(n+1))(b_(n+1))B(x) - \Big(\dfrac(a_(n+1))(b_(n+1)) बी(एक्स) - ए(एक्स)\बिग).$

   ध्यान दें कि बहुपद $\dfrac(a_(n+1))(b_(n+1))B(x) - A(x)$ की डिग्री अधिकतम $n+1$ है, तो यह प्रतिनिधित्व है वांछित एक और दावा संतुष्ट है।

3. $k > एम$
   हम बहुपद $A(x)$ को रूप में निरूपित करते हैं

   $A(x) = x(a_(n+1)x^(n) + a_(n)x^(n-1) + \dots + a_(1)) + a_(0), \: \mbox (जहां) \: a_(n+1) \neq 0.$

   बहुपद पर विचार करें $A"(x) = a_(n+1)x^(n) + a_(n)x^(n-1) + \dots + a_(1).$ को $A के रूप में दर्शाया जा सकता है" (x) = Q"(x)B(x) + R"(x)$, जहां बहुपद $R"(x)$ की डिग्री $m$ से कम है, तो $A(x) के लिए प्रतिनिधित्व $ को फिर से लिखा जा सकता है

   $A(x) = x(Q"(x)B(x) + R"(x)) + a_(0) = xQ"(x)B(x) + xR"(x) + a_(0) $

   ध्यान दें कि बहुपद $xR"(x)$ की डिग्री $m+1$ से कम है, यानी $k$ से कम है। फिर $xR"(x)$ आगमनात्मक धारणा को संतुष्ट करता है और इसे $ xR के रूप में दर्शाया जा सकता है" (x) = Q""(x)B(x) + R""(x)$, जहां बहुपद $R""(x)$ की डिग्री $m$ से कम है। $A के लिए प्रतिनिधित्व को फिर से लिखें (एक्स) $ कैसे

   $A(x) = xQ"(x)B(x) + Q""(x)B(x) + R""(x) + a_(0) =$

   $= (xQ"(x)+xQ""(x))B(x) + R""(x) + a_(0).$

   बहुपद $R""(x) + a_(0)$ की घात $m$ से कम है, इसलिए कथन सत्य है।

अभिकथन सिद्ध हो चुका है।

इस मामले में, बहुपद $R(x)$ कहा जाता है शेष$A(x)$ को $B(x)$, और $Q(x)$ से विभाजित करने से - अधूरा निजी।

यदि $R(x)$ का शेष एक शून्य बहुपद है, तो $A(x)$ को $B(x)$ से विभाज्य कहा जाता है।

एक प्रमाण दिया जाता है कि बहुपदों से बनी एक अनुचित भिन्न को बहुपद और एक उचित भिन्न के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है। एक कोने से बहुपदों के विभाजन और एक स्तंभ द्वारा गुणा के उदाहरणों का विस्तार से विश्लेषण किया गया है।

विषय

प्रमेय

चलो Pk (एक्स)क्यूएन (एक्स) k n के साथ क्रमशः डिग्री k और n के चर x में बहुपद हैं। तब बहुपद P k (एक्स)केवल निम्नलिखित तरीके से प्रदर्शित किया जा सकता है:
(1) पी के (एक्स) = एस के-एन (एक्स) क्यू एन (एक्स) + यू एन -1 (एक्स),
जहां एस के-एन (एक्स)- डिग्री k-n , U n- का बहुपद 1 (एक्स)- डिग्री का बहुपद n से अधिक नहीं है- 1 , या शून्य।

सबूत

बहुपद की परिभाषा के अनुसार:
;
;
;
,
जहाँ p i , q i - ज्ञात गुणांक, s i , u i - अज्ञात गुणांक।

आइए संकेतन का परिचय दें:
.
में स्थानापन्न (1) :
;
(2) .
दायीं ओर का पहला पद k घात का बहुपद है। दूसरे और तीसरे पदों का योग अधिकतम k पर घात का बहुपद है - 1 . x k पर गुणांकों की बराबरी करें:
पी के = एस के-एन क्यू एन।
इसलिए एस के-एन = पी के / क्यू एन।

आइए समीकरण को रूपांतरित करें (2) :
.
आइए संकेतन का परिचय दें:।
चूँकि s k-n = p k / q n , तो x k पर गुणांक शून्य के बराबर है। इसलिए - यह अधिकतम k पर घात का बहुपद है - 1 ,। फिर पिछले समीकरण को फिर से लिखा जा सकता है:
(3) .

इस समीकरण का समीकरण के समान रूप है (1) , केवल k का मान बन गया 1 कम। इस प्रक्रिया को k-n बार दोहराते हुए, हमें समीकरण मिलता है:
,
जिससे हम बहुपद U n के गुणांक ज्ञात करते हैं- 1 (एक्स).

इसलिए, हमने सभी अज्ञात गुणांक s i , u l निर्धारित किए हैं। इसके अलावा, एस के-एन 0 . लेम्मा सिद्ध होता है।

बहुपदों का विभाजन

समीकरण के दोनों पक्षों को विभाजित करना (1) क्यू एन पर (एक्स), हम पाते हैं:
(4) .
दशमलव संख्याओं के अनुरूप, S k-n (एक्स)भिन्न या निजी का पूर्णांक भाग कहलाता है, U n- 1 (एक्स)- विभाजन के शेष। बहुपदों का वह भिन्न जिसमें अंश में बहुपद की घात हर में बहुपद की घात से कम हो, उचित भिन्न कहलाती है। बहुपदों का वह भिन्न जिसमें अंश में बहुपद की घात हर में बहुपद की घात से अधिक या उसके बराबर हो, अनुचित भिन्न कहलाती है।

समीकरण (4) दिखाता है कि बहुपद के किसी भी अनुचित अंश को पूर्णांक भाग और उचित भिन्न के योग के रूप में प्रस्तुत करके सरल बनाया जा सकता है।

उनके मूल में, पूर्णांक दशमलव संख्याएँ बहुपद होते हैं, जिनमें चर संख्या के बराबर होता है 10 . उदाहरण के लिए, आइए 265847 नंबर लें। इसे इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:
.
अर्थात्, यह से पाँचवीं डिग्री का बहुपद है 10 . संख्याएँ 2, 6, 5, 8, 4, 7 संख्याएँ 10 की घातों में संख्या के विस्तार के गुणांक हैं।

इसलिए, बहुपदों को एक कोने से विभाजन के नियम पर लागू किया जा सकता है (कभी-कभी एक कॉलम द्वारा विभाजन कहा जाता है), जो संख्याओं के विभाजन पर लागू होता है। अंतर केवल इतना है कि, बहुपदों को विभाजित करते समय, आपको नौ से बड़ी संख्याओं को उच्च अंकों में बदलने की आवश्यकता नहीं होती है। विशिष्ट उदाहरणों का उपयोग करते हुए बहुपदों को एक कोने से विभाजित करने की प्रक्रिया पर विचार करें।

बहुपद को एक कोने से विभाजित करने का एक उदाहरण

.

यहाँ अंश चौथी डिग्री का बहुपद है। हर दूसरी डिग्री का बहुपद है। क्यों कि 4 ≥ 2 , तो भिन्न सही नहीं है। हम बहुपदों को एक कोने (एक कॉलम में) से विभाजित करके पूर्णांक भाग का चयन करते हैं:

आइए हम विभाजन प्रक्रिया का विस्तृत विवरण दें। मूल बहुपद बाएँ और दाएँ स्तंभों में लिखे गए हैं। हर बहुपद के नीचे, दाहिने कॉलम में, हम एक क्षैतिज रेखा (कोने) खींचते हैं। इस रेखा के नीचे एक कोण पर भिन्न का एक पूर्णांक भाग होगा।

1.1 हम पूर्णांक भाग (कोने के नीचे) का पहला सदस्य पाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम अंश के उच्चतम पद को हर के उच्चतम पद से विभाजित करते हैं: .

1.2 गुणा 2x2 x . पर 2 - 3 x + 5:
. परिणाम बाएं कॉलम में लिखा गया है:

1.3 हम बाएं कॉलम में बहुपदों का अंतर लेते हैं:

.

तो, हमें एक मध्यवर्ती परिणाम मिला:
.

दायीं ओर की भिन्न गलत है क्योंकि अंश में बहुपद की घात ( 3 ) हर में बहुपद की घात से बड़ा या उसके बराबर है ( 2 ) हम गणना दोहराते हैं। अब केवल भिन्न का अंश बाएँ स्तंभ की अंतिम पंक्ति में है।
2.1 अंश के वरिष्ठ सदस्य को हर के वरिष्ठ सदस्य द्वारा विभाजित करें: ;

2.2 हम हर से गुणा करते हैं: ;

2.3 और बाएँ स्तंभ की अंतिम पंक्ति से घटाएँ: ;


इंटरमीडिएट परिणाम:
.

हम गणनाओं को फिर से दोहराते हैं, क्योंकि दाईं ओर एक अनुचित अंश है।
3.1 ;
3.2 ;
3.3 ;


तो हमें मिला:
.
सही भिन्न के अंश में बहुपद की घात हर बहुपद की घात से कम होती है, 1 < 2 . इसलिए, अंश सही है।

;
2 x 2 - 4 x + 1पूरा हिस्सा है;
एक्स- 8 - विभाजन के शेष।

उदाहरण 2

भिन्न के पूर्णांक भाग का चयन करें और शेष भाग ज्ञात करें:
.

हम पिछले उदाहरण के समान कार्य करते हैं:

यहाँ विभाजन का शेष भाग शून्य है:
.

एक स्तंभ द्वारा बहुपदों का गुणन

आप पूर्णांकों के गुणन के समान, बहुपदों को एक स्तंभ से गुणा भी कर सकते हैं। आइए विशिष्ट उदाहरणों पर विचार करें।

एक स्तंभ द्वारा बहुपदों को गुणा करने का एक उदाहरण

बहुपदों का गुणनफल ज्ञात कीजिए:
.

1

2.1
.

2.2
.

2.3
.
परिणाम एक कॉलम में लिखा गया है, जो x की शक्तियों को संरेखित करता है।

3
;
;
;
.

ध्यान दें कि केवल गुणांक लिखे जा सकते हैं, और चर x की शक्तियों को छोड़ा जा सकता है। फिर बहुपदों के एक स्तंभ से गुणा इस तरह दिखेगा:

उदाहरण 2

एक कॉलम में बहुपदों का गुणनफल ज्ञात कीजिए:
.

बहुपदों को एक स्तंभ से गुणा करते समय, चर x की समान घातों को एक दूसरे के नीचे लिखना महत्वपूर्ण है। यदि x की कुछ घातों को छोड़ दिया जाता है, तो उन्हें शून्य से गुणा करके या रिक्त स्थान छोड़ कर स्पष्ट रूप से लिखा जाना चाहिए।

इस उदाहरण में, कुछ डिग्री छोड़ी गई हैं। इसलिए, हम उन्हें शून्य से गुणा करके स्पष्ट रूप से लिखते हैं:
.
हम बहुपदों को एक स्तंभ से गुणा करते हैं।

1 हम एक कॉलम में एक दूसरे के नीचे मूल बहुपद लिखते हैं और एक रेखा खींचते हैं।

2.1 हम दूसरे बहुपद के सबसे छोटे पद को पहले बहुपद से गुणा करते हैं:
.
परिणाम एक कॉलम में लिखा गया है।

2.2 दूसरे बहुपद का अगला पद शून्य के बराबर है। इसलिए, पहले बहुपद से इसका गुणनफल भी शून्य के बराबर होता है। शून्य रेखा को छोड़ा जा सकता है।

2.3 हम दूसरे बहुपद के अगले पद को पहले बहुपद से गुणा करते हैं:
.
परिणाम एक कॉलम में लिखा गया है, जो x की शक्तियों को संरेखित करता है।

2.3 हम दूसरे बहुपद के अगले (उच्चतम) पद को पहले बहुपद से गुणा करते हैं:
.
परिणाम एक कॉलम में लिखा गया है, जो x की शक्तियों को संरेखित करता है।

3 दूसरे बहुपद के सभी पदों को पहले से गुणा करने के बाद, हम एक रेखा खींचते हैं और समान घात x वाले पदों को जोड़ते हैं:
.

एकपदी का सामान्य दृश्य

f(x)=axn, कहाँ पे:

-एक- गुणांक जो किसी भी सेट से संबंधित हो सकता है एन, जेड, क्यू, आर, सी

-एक्स- चर

-एनघातांक जो समुच्चय का है एन

दो मोनोमियल समान होते हैं यदि उनके समान चर और समान घातांक हों।

उदाहरण: 3x2तथा -5x2; आधा x 4तथा 2√3x4

एकपदी का योग जो एक दूसरे के समान नहीं होते, बहुपद (या बहुपद) कहलाते हैं। इस मामले में, एकपदी बहुपद के पद हैं। दो पदों वाले बहुपद को द्विपद (या द्विपद) कहते हैं।
उदाहरण: पी(एक्स)=3x2-5; एच (एक्स) = 5x-1
जिस बहुपद में तीन पद हों, उसे त्रिपद कहते हैं।

एक चर वाले बहुपद का सामान्य रूप

कहाँ पे:

• ए एन, ए एन -1, ए एन -2, ..., ए 1, ए 0बहुपद के गुणांक हैं। वे प्राकृतिक, पूर्णांक, परिमेय, वास्तविक या सम्मिश्र संख्याएँ हो सकती हैं।
• एक- उच्चतम घातांक वाले पद पर गुणांक (अग्रणी गुणांक)
• एक 0- सबसे छोटे घातांक वाले पद पर गुणांक (मुक्त पद, या स्थिरांक)
• एन- बहुपद डिग्री

उदाहरण 1
p(x)=5x 3 -2x 2 +7x-1

• गुणांक के साथ तीसरी डिग्री बहुपद 5, -2, 7 तथा -1
• 5 - प्रमुख कारक
• -1 - स्वतंत्र सदस्य
• एक्स- चर

उदाहरण 2
एच(एक्स)=-2√3x 4 +½x-4

• गुणांक के साथ चौथी डिग्री बहुपद -2√3.½तथा -4
• -2√3 - प्रमुख कारक
• -4 - स्वतंत्र सदस्य
• एक्स- चर

बहुपद विभाजन

पी (एक्स)तथा क्यू (एक्स)- दो बहुपद:
p(x)=a n x n +a n-1 x n-1 +...+a 1 x 1 +a 0
q(x)=a p x p +a p-1 x p-1 +...+a 1 x 1 +a 0

भागफल और भागफल ज्ञात करने के लिए पी (एक्स)पर क्यू (एक्स), आपको निम्न एल्गोरिथम का उपयोग करने की आवश्यकता है:

1. डिग्री पी (एक्स)से बड़ा या बराबर होना चाहिए क्यू (एक्स).
2. हमें दोनों बहुपदों को अवरोही क्रम में लिखना चाहिए। मैं फ़िन पी (एक्स)किसी भी डिग्री के साथ कोई शब्द नहीं है, इसे 0 के गुणांक के साथ जोड़ा जाना चाहिए।
3. प्रमुख सदस्य पी (एक्स)प्रमुख सदस्य में विभाजित क्यू (एक्स), और परिणाम विभाजन रेखा (हर में) के नीचे लिखा जाता है।
4. हम परिणाम को सभी पदों से गुणा करते हैं क्यू (एक्स)और शर्तों के तहत विपरीत संकेतों के साथ परिणाम लिखें पी (एक्स)संबंधित डिग्री के साथ।
5. हम समान अंश वाले पदों को पद दर पद जोड़ते हैं।
6. हम परिणाम के लिए शेष शर्तें असाइन करते हैं पी (एक्स).
7. हम परिणामी बहुपद के प्रमुख पद को बहुपद के प्रथम पद से भाग देते हैं क्यू (एक्स)और चरण 3-6 दोहराएं।
8. यह प्रक्रिया तब तक दोहराई जाती है जब तक कि नए प्राप्त बहुपद में डिग्री से कम डिग्री न हो क्यू (एक्स). यह बहुपद भाग का शेषफल होगा।
9. विभाजन रेखा के नीचे लिखा गया बहुपद भाग (भागफल) का परिणाम होता है।

उदाहरण 1
चरण 1 और 2) $p(x)=x^5-3x^4+2x^3+7x^2-3x+5 \\ q(x)=x^2-x+1$

3) x5 -3x4 +2x3 +7x2 -3x+5

4) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

5) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

6) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

/ -2x 4 -x 3 +7x 2 -3x+5

7) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

/ -2x 4 +x 3 +7x 2 -3x+5

2x4 -2x3 +2x2

/ -x 3 +9x 2 -3x+5

8) x5 -3x4 +2x3 +7x2 -3x+5

/ -2x 4 -x 3 +7x 2 -3x+5

2x4 -2x3 +2x2

/ -x 3 +9x 2 -3x+5

/ 6x-3 रोकें

x 3 -2x 2 -x+8 -> C(x) निजी

उत्तर: p(x) = x 5 - 3x 4 + 2x 3 + 7x 2 - 3x + 5 = (x 2 - x + 1) (x 3 - 2x 2 - x + 8) + 6x - 3

उदाहरण 2
p(x)=x 4 +3x 2 +2x-8
क्यू (एक्स) = एक्स 2 -3x

एक्स 4 +0x 3 +3x 2 +2x-8

/ 3x 3 +3x 2 +2x-8

/ 38x-8आर (एक्स) बंद करो

x 2 +3x+12 -> C(x) भागफल

उत्तर: x 4 + 3x 2 + 2x - 8 = (x 2 - 3x) (x 2 + 3x + 12) + 38x - 8

प्रथम डिग्री बहुपद द्वारा विभाजन

यह विभाजन उपरोक्त एल्गोरिथम का उपयोग करके किया जा सकता है, या हॉर्नर की विधि का उपयोग करके और भी तेजी से किया जा सकता है।
यदि एक f(x)=a n x n +a n-1 x n-1 +...+a 1 x+a 0, बहुपद को फिर से लिखा जा सकता है f(x)=a 0 +x(a 1 +x(a 2 +...+x(a n-1 +a n x)...))

क्यू (एक्स)- पहली डिग्री बहुपद ⇒ क्यू(एक्स)=एमएक्स+एन
तब भागफल में बहुपद की एक घात होगी एन-1.

हॉर्नर की विधि के अनुसार, $x_0=-\frac(n)(m)$।
बी एन-1 =ए एन
ख n-2 =x 0 .b n-1 +a n-1
ख n-3 =x 0 .b n-2 +a n-2
...
बी 1 \u003d एक्स 0 .बी 2 + ए 2
बी 0 =x 0 .बी 1 +ए 1
r=x 0 .b 0 +a 0
कहाँ पे ख n-1 x n-1 +b n-2 x n-2 +...+b 1 x+b 0- निजी। शेष घात शून्य का एक बहुपद होगा, क्योंकि शेष में बहुपद की घात भाजक की घात से कम होनी चाहिए।
शेष . के साथ विभाजन p(x)=q(x).c(x)+r ⇒ p(x)=(mx+n).c(x)+rअगर $x_0=-\frac(n)(m)$
ध्यान दें कि p(x 0)=0.c(x 0)+r ⇒ p(x 0)=r

उदाहरण 3
p(x)=5x 4 -2x 3 +4x 2 -6x-7
क्यू (एक्स) = एक्स -3
p(x)=-7+x(-6+x(4+x(-2+5x)))
एक्स 0 =3

बी 3 \u003d 5
बी 2 \u003d 3.5-2 \u003d 13
बी 1 =3.13+4=43 ⇒ सी(एक्स)=5x 3 +13x 2 +43x+123; आर=362
बी 0 \u003d 3.43-6 \u003d 123
आर=3.13-7=362
5x 4 -2x 3 +4x 2 -6x-7=(x-3)(5x 3 +13x 2 +43x+123)+362

उदाहरण 4
p(x)=-2x 5 +3x 4 +x 2 -4x+1
क्यू(एक्स)=एक्स+2
p(x)=-2x 5 +3x 4 +0x 3 +x 2 -4x+1
क्यू(एक्स)=एक्स+2
एक्स 0 \u003d -2
p(x)=1+x(-4+x(1+x(0+x(3-2x))))

बी 4 \u003d -2          ख 1 =(-2).(-14)+1=29
ख 3 =(-2).(-2)+3=7 ख 0 =(-2).29-4=-62
b2=(-2).7+0=-14     आर=(-2).(-62)+1=125
⇒ सी(एक्स)=-2x 4 +7x 3 -14x 2 +29x-62; आर = 125
-2x 5 +3x 4 +x 2 -4x+1=(x+2)(-2x 4 +7x 3 -14x 2 +29x-62)+125

उदाहरण 5
p(x)=3x 3 -5x 2 +2x+3
क्यू(एक्स)=2x-1
$x_0=\frac(1)(2)$
p(x)=3+x(2+x(-5+3x))
बी2=3
$b_1=\frac(1)(2)\cdot 3-5=-\frac(7)(2)$
$b_0=\frac(1)(2)\cdot \left(-\frac(7)(2)\right)+2=-\frac(7)(4)+2=\frac(1)(4 )$
$r=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(4)+3=\frac(1)(8)+3=\frac(25)(8) \Rightarrow c(x)= 3x^2-\frac(7)(2)x+\frac(1)(4)$
$\Rightarrow 3x^3-5x^2+2x+3=(2x-1)(3x^2--\frac(7)(2)x+\frac(1)(4))+\frac(25) (8)$
निष्कर्ष
यदि हम एक से अधिक डिग्री वाले बहुपद से विभाजित करते हैं, तो हमें भागफल और शेष को खोजने के लिए एल्गोरिथ्म का उपयोग करने की आवश्यकता होती है 1-9 .
अगर हम पहली डिग्री के बहुपद से विभाजित करते हैं एमएक्स+एन, फिर भागफल और शेष को खोजने के लिए, आपको $x_0=-\frac(n)(m)$ के साथ हॉर्नर की विधि का उपयोग करने की आवश्यकता है।
यदि हम केवल शेष भाग में रुचि रखते हैं, तो यह खोजने के लिए पर्याप्त है पी(x0).
उदाहरण 6
p(x)=-4x 4 +3x 3 +5x 2 -x+2
क्यू (एक्स) = एक्स -1
एक्स 0 = 1
r=p(1)=-4.1+3.1+5.1-1+2=5
आर = 5

इसकी आवश्यकता होने दें

(2x 3 - 7x 2 + x + 1) ÷ (2x - 1)।

गुणनफल (2x 3 - 7x 2 + x + 1) और एक गुणनखंड (2x - 1) को देखते हुए, आपको दूसरा गुणनखंड खोजने की आवश्यकता है। इस उदाहरण में, यह तुरंत स्पष्ट है (लेकिन यह सामान्य रूप से स्थापित नहीं किया जा सकता है) कि दूसरा, वांछित, कारक या भागफल भी एक बहुपद है। यह स्पष्ट है क्योंकि इस उत्पाद में 4 पद हैं, और यह गुणक केवल 2 है। हालांकि, पहले से यह कहना असंभव है कि वांछित गुणक के कितने पद हैं: 2 पद, 3 पद आदि हो सकते हैं। यह याद रखना कि उच्चतम पद गुणनफल का गुणनफल हमेशा एक गुणनखंड के उच्चतम पद को दूसरे के उच्चतम पद से गुणा करने पर प्राप्त होता है (देखें बहुपद को बहुपद से गुणा करना) और इस तरह के पद नहीं हो सकते हैं, हमें यकीन है कि 2x 3 (का उच्चतम पद) यह उत्पाद) वांछित गुणक के अज्ञात अग्रणी पद से 2x (इस कारक का उच्चतम पद) को गुणा करने से आएगा। अंतिम खोजने के लिए, इसलिए, हमें 2x 3 को 2x से विभाजित करना होगा - हमें x 2 मिलता है। यह प्राइवेट का वरिष्ठ सदस्य है।

याद रखें कि जब एक बहुपद को एक बहुपद से गुणा किया जाता है, तो एक बहुपद के प्रत्येक पद को दूसरे के प्रत्येक पद से गुणा करना होता है। इसलिए, यह गुणनफल (2x 3 - 7x 2 + x + 1) भाजक (2x - 1) और भागफल के सभी पदों का गुणनफल है। लेकिन अब हम भाजक का गुणनफल और भागफल के पहले (उच्चतम) सदस्य का पता लगा सकते हैं, अर्थात (2x - 1) ∙ x 2; हमें 2x 3 - x 2 मिलता है। भागफल के सभी पदों से भाजक का गुणनफल जानना (यह = 2x 3 - 7x 2 + x + 1) घटाव हम निजी के पहले सदस्यों को छोड़कर, अन्य सभी द्वारा भाजक का गुणनफल प्राप्त कर सकते हैं। प्राप्त

(2x 3 - 7x 2 + x + 1) - (2x 3 - x 2) = 2x 3 - 7x 2 + x + 1 - 2x 3 + x 2 = -6x 2 + x + 1.

इस शेष गुणनफल का उच्चतम पद (-6x 2) भाजक के उच्चतम पद (2x) और भागफल के शेष पद (प्रथम पद को छोड़कर) के उच्चतम पद का गुणनफल होना चाहिए। यहाँ से हम शेष भागफल का वरिष्ठ पद ज्ञात करते हैं। हमें -6x 2 ÷ 2x चाहिए, हमें -3x प्राप्त होता है। यह वांछित भागफल का दूसरा पद है। हम फिर से भाजक (2x - 1) का गुणनफल पा सकते हैं और दूसरा, अभी पाया गया, भागफल पद, अर्थात -3x।

हमें (2x - 1) (-3x) \u003d -6x 2 + 3x मिलता है। इस पूरे उत्पाद से, हमने भागफल के पहले पद से भाजक के गुणनफल को पहले ही घटा दिया है और शेषफल -6x 2 + x + 1 प्राप्त कर लिया है, जो कि पहले पदों को छोड़कर, भाजक का गुणनफल है। भागफल का। इसमें से गुणनफल -6x 2 + 3x को घटाकर, हमें शेषफल मिलता है, जो कि भागफल के 1 और 2 को छोड़कर, अन्य सभी द्वारा भाजक का गुणनफल है:

-6x 2 + x + 1 - (-6x 2 + 3x) = -6x 2 + x + 1 + 6x 2 - 3x = -2x + 1.

इस शेष गुणनफल (-2x) के वरिष्ठ पद को भाजक (2x) के वरिष्ठ पद से विभाजित करने पर, हमें शेष भागफल का वरिष्ठ पद या इसका तीसरा पद (-2x) ÷ 2x = -1 मिलता है। यह भागफल का तीसरा पद है।

भाजक को इससे गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं

(2x - 1) ∙ (-1) = -2x + 1.

भाजक के इस गुणनफल को अब तक बचे हुए कुल गुणनफल से भागफल के तीसरे पद से घटाना, अर्थात्

(-2x + 1) - (-2x + 1) = -2x + 1 + 2x - 1 = 0,

हम देखेंगे कि हमारे उदाहरण में उत्पाद को बाकी हिस्सों में विभाजित किया गया है, 1, 2 और 3 को छोड़कर, भागफल के सदस्य = 0, जिससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि भागफल में कोई और सदस्य नहीं है, अर्थात।

(2x 3 - 7x 2 + x + 1) ÷ (2x - 1) = x 2 - 3x - 1.

पिछले से हम देखते हैं: 1) लाभांश और भाजक की शर्तों को अवरोही शक्तियों में व्यवस्थित करना सुविधाजनक है, 2) गणना करने के लिए किसी प्रकार का क्रम स्थापित करना आवश्यक है। इस तरह के एक सुविधाजनक क्रम को वह माना जा सकता है जिसका उपयोग अंकगणित में बहु-मूल्यवान संख्याओं को विभाजित करते समय किया जाता है। इसके बाद, हम पिछली सभी गणनाओं को निम्नानुसार व्यवस्थित करते हैं (अधिक संक्षिप्त विवरण पक्ष में दिए गए हैं):

यहां जिन घटावों की आवश्यकता है, वे सबट्रेंड की शर्तों के संकेतों को बदलकर किए जाते हैं, और इन चर संकेतों को शीर्ष पर लिखा जाता है।

हाँ लिखा है

इसका मतलब है: सबट्रेंड 2x 3 - x 2 था, और संकेत बदलने के बाद, हमें -2x 3 + x 2 मिला।

गणना की स्वीकृत व्यवस्था के कारण, इस तथ्य के कारण कि लाभांश और भाजक की शर्तें अवरोही शक्तियों में व्यवस्थित हैं, और इस तथ्य के कारण कि दोनों बहुपदों में अक्षर x की डिग्री हर बार 1 से नीचे जाती है, यह बदल गया कि ऐसे पद एक दूसरे के नीचे लिखे गए हैं (उदाहरण के लिए: -7x 2 और +x 2) उन्हें कास्ट करना आसान क्यों है। यह ध्यान दिया जा सकता है कि गणना के प्रत्येक क्षण में लाभांश के सभी सदस्यों की आवश्यकता नहीं होती है। उदाहरण के लिए, जिस समय भागफल का दूसरा पद पाया गया था, उस समय +1 शब्द की आवश्यकता नहीं है, और गणना के इस भाग को सरल बनाया जा सकता है।

और ज्यादा उदाहरण:

1. (2a 4 - 3ab 3 - b 4 - 3a 2 b 2) ÷ (b 2 + a 2 + ab)।

अक्षरों को अवरोही शक्तियों और लाभांश और भाजक में व्यवस्थित करें:

(ध्यान दें कि यहां, लाभांश में 3 के साथ एक शब्द की अनुपस्थिति के कारण, पहले घटाव में यह पता चला है कि समान शब्द नहीं -ए 2 बी 2 और -2 ए 3 बी एक दूसरे के तहत हस्ताक्षरित हैं। बेशक, वे एक पद तक कम नहीं किया जा सकता है और दोनों को वरिष्ठता में रेखा के नीचे लिखा जाता है)।

दोनों उदाहरणों में, समान शब्दों के प्रति अधिक चौकस होना चाहिए: 1) समान शब्द अक्सर एक-दूसरे के नीचे नहीं लिखे जाते हैं, और 2) कभी-कभी (जैसे, उदाहरण के लिए, अंतिम उदाहरण में, शब्द -4a n और - a n पहले घटाव पर) समान शब्द एक दूसरे के नीचे नहीं लिखे जाते हैं।

बहुपदों के विभाजन को एक अलग क्रम में करना संभव है, अर्थात्: हर बार निम्नतम पद या संपूर्ण या शेष भागफल की तलाश करना। इस मामले में इन बहुपदों को किसी अक्षर की आरोही घातों में व्यवस्थित करना सुविधाजनक है। उदाहरण के लिए:

यह लेख तर्कसंगत अंशों पर विचार करेगा, इसके पूर्णांक भागों का आवंटन। अंश सही और गलत हैं। जब अंश भिन्न में हर से कम होता है, तो यह एक उचित भिन्न होता है, और इसके विपरीत।

उचित भिन्नों के उदाहरणों पर विचार करें: 1 2, 9 29, 8 17, अनुचित: 16 3, 21 20, 301 24.

हम उन भिन्नों की गणना करेंगे जिन्हें कम किया जा सकता है, अर्थात 12 16 3 4 है, 21 14 3 2 है।

पूर्णांक भाग का चयन करते समय, अंश को हर से विभाजित करने की प्रक्रिया की जाती है। फिर इस तरह के एक अंश को एक पूर्णांक और एक भिन्नात्मक भाग के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहां भिन्नात्मक भाग को शेष भाग और हर का अनुपात माना जाता है।

उदाहरण 1

27 को 4 से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।

समाधान

एक कॉलम से विभाजन करना आवश्यक है, तो हमें वह मिलता है

तो, 27 4 \u003d पूर्णांक भाग + शेष n और m और खनिक \u003d 6 + 3 4

उत्तर:शेष 3.

उदाहरण 2

पूरे भाग 331 12 और 41 57 का चयन करें।

समाधान

हम कोने का उपयोग करके हर को अंश से विभाजित करते हैं:

इसलिए, हमारे पास वह 331 12 \u003d 27 + 7 12 है।

दूसरा भिन्न सही है, जिसका अर्थ है कि पूर्णांक भाग शून्य के बराबर है।

उत्तर:पूर्णांक भाग 27 और 0।

बहुपदों के वर्गीकरण पर विचार करें, दूसरे शब्दों में, एक भिन्नात्मक परिमेय फलन। अंश का अंश हर की घात से कम होने पर इसे सही माना जाता है, अन्यथा इसे गलत माना जाता है।

परिभाषा 1

एक बहुपद द्वारा एक बहुपद का विभाजनएक कोण से विभाजन के सिद्धांत के अनुसार होता है, और पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों के योग के रूप में कार्य का प्रतिनिधित्व करता है।

एक बहुपद को एक रैखिक द्विपद में विभाजित करने के लिए हॉर्नर योजना का उपयोग किया जाता है।

उदाहरण 3

x 9 + 7 x 7 - 3 2 x 3 - 2 को एकपदी 2 x 2 से भाग दें।

समाधान

भाग के गुणधर्म का प्रयोग करके हम लिखते हैं कि

x 9 + 7 x 7 - 3 2 x 3 - 2 2 x 2 = x 9 2 x 2 + 7 x 7 2 x 2 - 3 2 x 3 2 x 2 + x 2 2 x 2 - 2 2 x 2 = = 1 2 x 7 + 7 2 x 5 - 3 4 x + 1 2 - 2 2 x - 2।

अक्सर इस प्रकार का परिवर्तन इंटीग्रल लेते समय किया जाता है।

उदाहरण 4

एक बहुपद को एक बहुपद से भाग दें: 2 x 3 + 3 को x 3 + x से।

समाधान

विभाजन चिह्न को 2 x 3 + 3 x 3 + x के रूप में भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है। अब आपको पूरे हिस्से को सेलेक्ट करना है। हम इसे एक कॉलम से विभाजित करके करते हैं। हमें वह मिलता है

तो, हम पाते हैं कि पूर्णांक भाग का मान - 2 x + 3 है, तो संपूर्ण व्यंजक 2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 + - 2 x + 3 x 3 + x के रूप में लिखा जाता है।

उदाहरण 5

2 x 6 - x 5 + 12 x 3 - 72 x 2 + 3 को x 3 + 2 x 2 - 1 से विभाजित करने के बाद भाग दें और शेषफल ज्ञात करें।

समाधान

आइए हम 2 x 6 - x 5 + 12 x 3 - 72 x 2 + 3 x 3 + 2 x 2 - 1 के रूप का एक भिन्न नियत करें।

अंश का अंश हर की डिग्री से अधिक होता है, जिसका अर्थ है कि हमारे पास एक अनुचित अंश है। कॉलम द्वारा भाग का प्रयोग करते हुए, पूरे भाग का चयन करें। हमें वह मिलता है

आइए फिर से विभाजन करें और प्राप्त करें:

यहाँ से हमें शेषफल - 65 x 2 + 10 x - 3 प्राप्त होता है, इसलिए:

2 x 6 - x 5 + 12 x 3 - 72 x 2 + 3 x 3 + 2 x 2 - 1 = 2 x 3 - 5 x 2 + 10 x - 6 + - 65 x 2 + 10 x - 3 x 3 + 2 x 2 - 1

ऐसे मामले हैं जहां विभाजित करते समय शेष को प्रकट करने में सक्षम होने के लिए अतिरिक्त रूप से भिन्न रूपांतरण करना आवश्यक है। यह इस तरह दिख रहा है:

3 x 5 + 2 x 4 - 12 x 2 - 4 x 3 - 3 = 3 x 2 x 3 - 3 - 3 x 2 x 3 - 3 + 3 x 5 + 2 x 4 - 12 x 2 - 4 x 3 - 3 = = 3 x 2 x 3 - 3 + 2 x 4 - 3 x 2 - 4 x 3 - 3 = 3 x 2 + 2 x 4 - 3 x 2 - 4 x 3 - 3 = 3 x 2 + 2 x x 3 - 3 - 2 x x 3 - 3 + 2 x 4 - 3 x 2 - 4 x 3 - 3 = = 3 x 2 + 2 x (x 3 - 3) - 3 x 2 + 6 x - 4 x 3 - 3 = 3 x 2 + 2 x + - 3 x 2 + 6 x - 4 x 3 - 3

इसका अर्थ है कि 3 x 5 + 2 x 4 - 12 x 2 - 4 को x 3 - 3 से विभाजित करने पर शेषफल - 3 x 2 + 6 x - 4 का मान प्राप्त होता है। जल्दी से परिणाम खोजने के लिए, संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग किया जाता है।

उदाहरण 6

8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 को 2 x + 3 से भाग दें।

समाधान

आइए भाग को भिन्न के रूप में लिखें। हम पाते हैं कि 8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 2 x + 3। ध्यान दें कि अंश में, योग घन सूत्र का उपयोग करके व्यंजक को जोड़ा जा सकता है। हमारे पास वह है

8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 2 x + 3 = (2 x + 3) 3 2 x + 3 = (2 x + 3) 2 = 4 x 2 + 12 x + 9

दिया गया बहुपद शेषफल के बिना विभाज्य है।

समाधान के लिए, एक अधिक सुविधाजनक समाधान विधि का उपयोग किया जाता है, और बहुपद द्वारा बहुपद का विभाजन सबसे सार्वभौमिक माना जाता है, इसलिए, पूर्णांक भाग का चयन करते समय इसका उपयोग अक्सर किया जाता है। अंतिम प्रविष्टि में विभाजन से परिणामी बहुपद होना चाहिए।

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