पिरामिड का केंद्र चौराहे पर स्थित है। पिरामिड. कटा हुआ पिरामिड

परिभाषा। पार्श्व किनारा- यह एक त्रिभुज है जिसमें एक कोण पिरामिड के शीर्ष पर स्थित है, और विपरीत पक्ष आधार (बहुभुज) के पक्ष से मेल खाता है।

परिभाषा। पार्श्व पसलियाँ- यह सामान्य पहलूपार्श्व किनारे. एक पिरामिड में उतने ही किनारे होते हैं जितने एक बहुभुज के कोण होते हैं।

परिभाषा। पिरामिड की ऊंचाई- यह पिरामिड के ऊपर से आधार तक डाला गया एक लंब है।

परिभाषा। एपोथेम- यह पिरामिड के पार्श्व मुख का लंबवत है, जो पिरामिड के शीर्ष से आधार के किनारे तक उतारा गया है।

परिभाषा। विकर्ण खंड- यह पिरामिड के शीर्ष और आधार के विकर्ण से गुजरने वाले विमान द्वारा पिरामिड का एक खंड है।

परिभाषा। सही पिरामिडएक पिरामिड है जिसमें आधार एक नियमित बहुभुज है, और ऊंचाई आधार के केंद्र तक उतरती है।

पिरामिड का आयतन और सतह क्षेत्र

सूत्र. पिरामिड का आयतनआधार क्षेत्र और ऊंचाई के माध्यम से:

पिरामिड के गुण

यदि सभी पार्श्व किनारे समान हैं, तो पिरामिड के आधार के चारों ओर एक वृत्त खींचा जा सकता है, और आधार का केंद्र वृत्त के केंद्र के साथ मेल खाता है। साथ ही, ऊपर से गिराया गया एक लंब आधार (वृत्त) के केंद्र से होकर गुजरता है।

यदि सभी पार्श्व किनारे समान हैं, तो वे आधार के तल पर समान कोण पर झुके हुए हैं।

पार्श्व पसलियाँ तब बराबर होती हैं जब वे आधार के तल के साथ बनती हैं समान कोणया यदि पिरामिड के आधार के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है।

यदि पार्श्व फलक एक ही कोण पर आधार के तल पर झुके हुए हैं, तो पिरामिड के आधार में एक वृत्त अंकित किया जा सकता है, और पिरामिड के शीर्ष को उसके केंद्र में प्रक्षेपित किया जा सकता है।

यदि पार्श्व फलक आधार के तल पर एक ही कोण पर झुके हों, तो पार्श्व फलक के एपोथेम बराबर होते हैं।

एक नियमित पिरामिड के गुण

1. पिरामिड का शीर्ष आधार के सभी कोनों से समान दूरी पर है।

2. सभी पार्श्व किनारे बराबर हैं।

3. सभी पार्श्व पसलियाँ आधार से समान कोण पर झुकी हुई हैं।

4. सभी पार्श्व फलकों के अक्षर समान होते हैं।

5. सभी पार्श्व फलकों का क्षेत्रफल बराबर है।

6. सभी फलकों का डायहेड्रल (सपाट) कोण समान होता है।

7. पिरामिड के चारों ओर एक गोले का वर्णन किया जा सकता है। परिबद्ध गोले का केंद्र किनारों के मध्य से गुजरने वाले लंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा।

8. आप एक गोले को पिरामिड में फिट कर सकते हैं। अंकित गोले का केंद्र किनारे और आधार के बीच के कोण से निकलने वाले द्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा।

9. यदि उत्कीर्ण गोले का केंद्र परिचालित गोले के केंद्र के साथ मेल खाता है, तो शीर्ष पर समतल कोणों का योग π के बराबर है या इसके विपरीत, एक कोण π/n के बराबर है, जहां n संख्या है पिरामिड के आधार पर कोणों की संख्या.

पिरामिड और गोले के बीच संबंध

पिरामिड के चारों ओर एक गोले का वर्णन तब किया जा सकता है जब पिरामिड के आधार पर एक बहुफलक हो जिसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सके (एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति)। गोले का केंद्र पिरामिड के पार्श्व किनारों के मध्य बिंदुओं से लंबवत गुजरने वाले विमानों का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा।

किसी भी त्रिकोणीय या नियमित पिरामिड के चारों ओर एक गोले का वर्णन करना हमेशा संभव होता है।

यदि पिरामिड के आंतरिक डायहेड्रल कोणों के द्विभाजक विमान एक बिंदु (एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त) पर प्रतिच्छेद करते हैं तो एक गोले को पिरामिड में अंकित किया जा सकता है। यह बिंदु गोले का केंद्र होगा.

एक शंकु के साथ पिरामिड का कनेक्शन

एक शंकु को पिरामिड में अंकित कहा जाता है यदि उनके शीर्ष संपाती हों और शंकु का आधार पिरामिड के आधार में अंकित हो।

एक शंकु को पिरामिड में अंकित किया जा सकता है यदि पिरामिड के एपोथेम एक दूसरे के बराबर हों।

एक शंकु को पिरामिड के चारों ओर परिचालित कहा जाता है यदि उनके शीर्ष संपाती हों और शंकु का आधार पिरामिड के आधार के चारों ओर परिचालित हो।

एक शंकु को पिरामिड के चारों ओर वर्णित किया जा सकता है यदि पिरामिड के सभी पार्श्व किनारे एक दूसरे के बराबर हों।

पिरामिड और सिलेंडर के बीच संबंध

एक पिरामिड को सिलेंडर में अंकित कहा जाता है यदि पिरामिड का शीर्ष सिलेंडर के एक आधार पर स्थित है, और पिरामिड का आधार सिलेंडर के दूसरे आधार पर अंकित है।

यदि पिरामिड के आधार के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है, तो पिरामिड के चारों ओर एक सिलेंडर का वर्णन किया जा सकता है।

परिभाषा। काटे गए पिरामिड (पिरामिड प्रिज्म)एक बहुफलक है जो पिरामिड के आधार और आधार के समानांतर अनुभाग तल के बीच स्थित होता है। इस प्रकार पिरामिड का एक बड़ा आधार और एक छोटा आधार होता है जो बड़े पिरामिड के समान होता है। पार्श्व फलक समलम्बाकार हैं।

परिभाषा। त्रिकोणीय पिरामिड (चतुष्फलक)एक पिरामिड है जिसमें तीन फलक और आधार मनमाना त्रिभुज हैं।

एक चतुष्फलक के चार फलक और चार शीर्ष और छह किनारे होते हैं, जहां किन्हीं दो किनारों में उभयनिष्ठ शीर्ष नहीं होते हैं लेकिन वे स्पर्श नहीं करते हैं।

प्रत्येक शीर्ष पर तीन फलक और किनारे बने होते हैं त्रिकोणीय कोण.

चतुष्फलक के शीर्ष को विपरीत फलक के केंद्र से जोड़ने वाले खंड को कहा जाता है चतुष्फलक का माध्यिका(जीएम).

बिमेडियनविपरीत किनारों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाला एक खंड कहा जाता है जो स्पर्श नहीं करते (केएल)।

चतुष्फलक की सभी द्विमध्यरेखाएँ और मध्यिकाएँ एक बिंदु (S) पर प्रतिच्छेद करती हैं। इस मामले में, द्विमध्यरेखाओं को आधे में विभाजित किया जाता है, और शीर्ष से शुरू करके मध्यिकाओं को 3:1 के अनुपात में विभाजित किया जाता है।

परिभाषा। तिरछा पिरामिडएक पिरामिड है जिसका एक किनारा आधार के साथ एक अधिक कोण (β) बनाता है।

परिभाषा। आयताकार पिरामिडएक पिरामिड है जिसका एक पार्श्व फलक आधार से लंबवत है।

परिभाषा। न्यूनकोण पिरामिड- एक पिरामिड जिसमें एपोथेम आधार के किनारे की लंबाई के आधे से अधिक है।

परिभाषा। कुंठित पिरामिड- एक पिरामिड जिसमें एपोथेम आधार के किनारे की लंबाई के आधे से भी कम है।

परिभाषा। नियमित चतुष्फलक- एक चतुष्फलक जिसके चारों फलक समबाहु त्रिभुज हों। यह पाँच नियमित बहुभुजों में से एक है। एक नियमित चतुष्फलक में, सभी द्विफलकीय कोण (फलकों के बीच) और त्रिफलकीय कोण (शीर्ष पर) बराबर होते हैं।

परिभाषा। आयताकार चतुष्फलकशीर्ष पर तीन किनारों के बीच समकोण वाला एक चतुष्फलक है (किनारे लंबवत हैं)। तीन चेहरे बनते हैं आयताकार त्रिकोणीय कोणऔर फलक समकोण त्रिभुज हैं, और आधार एक मनमाना त्रिभुज है। किसी भी फलक का एपोटेम आधार के आधे हिस्से के बराबर होता है जिस पर एपोथेम गिरता है।

परिभाषा। समफलकीय चतुष्फलकचतुष्फलक कहलाता है जिसके पार्श्व फलक एक दूसरे के बराबर होते हैं और आधार होता है नियमित त्रिकोण. ऐसे चतुष्फलक के फलक होते हैं समद्विबाहु त्रिभुज.

परिभाषा। ऑर्थोसेंट्रिक टेट्राहेड्रोनचतुष्फलक कहलाता है जिसमें ऊपर से विपरीत फलक तक नीचे की ओर गई सभी ऊंचाइयां (लंब) एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

परिभाषा। तारा पिरामिडएक बहुफलक कहलाता है जिसका आधार एक तारा है।

परिभाषा। bipyramid- एक बहुफलक जिसमें दो अलग-अलग पिरामिड होते हैं (पिरामिड को काटा भी जा सकता है)। सार्वजनिक भूक्षेत्र, और शीर्ष साथ-साथ स्थित हैं अलग-अलग पक्षआधार के तल से.

त्रिकोणीय पिरामिड एक ऐसा पिरामिड है जिसके आधार पर एक त्रिकोण होता है। इस पिरामिड की ऊँचाई वह लम्ब है जो पिरामिड के शीर्ष से उसके आधार तक उतारा जाता है।

पिरामिड की ऊंचाई ज्ञात करना

पिरामिड की ऊंचाई कैसे पता करें? बहुत सरल! किसी की ऊंचाई ज्ञात करने के लिए त्रिकोणीय पिरामिडआप आयतन सूत्र का उपयोग कर सकते हैं: V = (1/3)Sh, जहां S आधार का क्षेत्रफल है, V पिरामिड का आयतन है, h इसकी ऊंचाई है। इस सूत्र से, ऊँचाई का सूत्र प्राप्त करें: त्रिकोणीय पिरामिड की ऊँचाई ज्ञात करने के लिए, आपको पिरामिड के आयतन को 3 से गुणा करना होगा, और फिर परिणामी मान को आधार के क्षेत्रफल से विभाजित करना होगा, यह होगा: h = (3वी)/एस. चूँकि त्रिभुजाकार पिरामिड का आधार एक त्रिभुज है, आप त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं। यदि हम जानते हैं: त्रिभुज S और उसकी भुजा z का क्षेत्रफल, तो क्षेत्रफल सूत्र S=(1/2)γh के अनुसार: h = (2S)/γ, जहां h पिरामिड की ऊंचाई है, γ त्रिभुज का किनारा है; त्रिभुज की भुजाओं और दोनों भुजाओं के बीच का कोण, फिर निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके: S = (1/2)γφsinQ, जहां γ, φ त्रिभुज की भुजाएं हैं, हम त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं। कोण Q की ज्या का मान ज्या की तालिका में देखने की जरूरत है, जो इंटरनेट पर उपलब्ध है। इसके बाद, हम क्षेत्र मान को ऊंचाई सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं: h = (2S)/γ। यदि कार्य में त्रिकोणीय पिरामिड की ऊंचाई की गणना करने की आवश्यकता है, तो पिरामिड का आयतन पहले से ही ज्ञात है।

नियमित त्रिकोणीय पिरामिड

एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड की ऊंचाई ज्ञात करें, अर्थात, एक पिरामिड जिसमें सभी चेहरे समबाहु त्रिकोण हैं, किनारे γ के आकार को जानते हुए। इस मामले में, पिरामिड के किनारे समबाहु त्रिभुज की भुजाएँ हैं। एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड की ऊंचाई होगी: h = γ√(2/3), जहां γ समबाहु त्रिभुज का किनारा है, h पिरामिड की ऊंचाई है। यदि आधार (एस) का क्षेत्र अज्ञात है, और केवल किनारे की लंबाई (γ) और पॉलीहेड्रॉन की मात्रा (वी) दी गई है, तो पिछले चरण से सूत्र में आवश्यक चर को प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए इसके समतुल्य द्वारा, जिसे किनारे की लंबाई के रूप में व्यक्त किया जाता है। एक त्रिभुज का क्षेत्रफल (नियमित) 3 के वर्गमूल द्वारा वर्गित इस त्रिभुज की भुजा की लंबाई के गुणनफल के 1/4 के बराबर है। हम पिछले में आधार के क्षेत्रफल के बजाय इस सूत्र को प्रतिस्थापित करते हैं सूत्र, और हमें निम्नलिखित सूत्र प्राप्त होता है: h = 3V4/(γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3)। टेट्राहेड्रोन का आयतन उसके किनारे की लंबाई के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है, फिर किसी आकृति की ऊंचाई की गणना करने के सूत्र से, आप सभी चर हटा सकते हैं और आकृति के त्रिकोणीय चेहरे के केवल किनारे को छोड़ सकते हैं। ऐसे पिरामिड के आयतन की गणना उसके फलक की घन लंबाई के गुणनफल को 2 के वर्गमूल से विभाजित करके 12 से विभाजित करके की जा सकती है।

इस अभिव्यक्ति को पिछले सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें गणना के लिए निम्नलिखित सूत्र प्राप्त होता है: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ √(2 /3) = (1/3)γ√6. सही भी है त्रिकोणीय प्रिज्मएक गोले में अंकित किया जा सकता है, और केवल गोले की त्रिज्या (R) जानकर ही चतुष्फलक की ऊंचाई ज्ञात की जा सकती है। टेट्राहेड्रोन किनारे की लंबाई है: γ = 4R/√6। हम पिछले सूत्र में इस अभिव्यक्ति के साथ चर γ को प्रतिस्थापित करते हैं और सूत्र प्राप्त करते हैं: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3। चतुष्फलक में अंकित वृत्त की त्रिज्या (R) जानकर वही सूत्र प्राप्त किया जा सकता है। इस स्थिति में, त्रिभुज के किनारे की लंबाई बीच के 12 अनुपातों के बराबर होगी वर्गमूल 6 और त्रिज्या का. हम इस अभिव्यक्ति को पिछले सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं और हमारे पास है: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R।

एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड की ऊंचाई कैसे ज्ञात करें

पिरामिड की ऊंचाई की लंबाई कैसे ज्ञात करें, इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आपको यह जानना होगा कि एक नियमित पिरामिड क्या है। चतुर्भुज पिरामिड एक ऐसा पिरामिड है जिसके आधार पर एक चतुर्भुज होता है। यदि समस्या की स्थितियों में हमारे पास है: आयतन (V) और पिरामिड के आधार का क्षेत्रफल (S), तो बहुफलक की ऊंचाई (h) की गणना करने का सूत्र इस प्रकार होगा - आयतन को गुणा से विभाजित करें क्षेत्र S द्वारा 3 से: h = (3V)/S। दिए गए आयतन (V) और भुजा की लंबाई γ के साथ पिरामिड के वर्गाकार आधार को देखते हुए, पिछले सूत्र में क्षेत्रफल (S) को भुजा की लंबाई के वर्ग से बदलें: S = γ 2; एच = 3V/γ2. एक नियमित पिरामिड की ऊँचाई h = SO आधार के निकट परिचालित वृत्त के ठीक केंद्र से होकर गुजरती है। चूँकि इस पिरामिड का आधार एक वर्ग है, बिंदु O विकर्ण AD और BC का प्रतिच्छेदन बिंदु है। हमारे पास है: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6। अगला, हम अंदर हैं सही त्रिकोणहम SOC पाते हैं (पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके): SO = √(SC 2 -OC 2)। अब आप जानते हैं कि एक नियमित पिरामिड की ऊंचाई कैसे ज्ञात करें।

परिभाषा

पिरामिडएक बहुफलक एक बहुभुज \(A_1A_2...A_n\) और \(n\) त्रिभुजों से बना है, जिसका एक उभयनिष्ठ शीर्ष \(P\) है (बहुभुज के तल में नहीं है) और भुजाएं इसके विपरीत हैं, जो इसके साथ मेल खाती हैं। बहुभुज के किनारे.
पदनाम: \(PA_1A_2...A_n\) .
उदाहरण: पंचकोणीय पिरामिड \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

त्रिभुज \(PA_1A_2, \PA_2A_3\), आदि। कहा जाता है पार्श्व चेहरेपिरामिड, खंड \(PA_1, PA_2\), आदि। – पार्श्व पसलियाँ, बहुभुज \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – आधार, बिंदु \(P\) - शीर्ष.

ऊंचाईपिरामिड पिरामिड के शीर्ष से आधार के तल तक उतरा हुआ एक लंब है।

एक पिरामिड जिसके आधार पर एक त्रिभुज होता है, कहलाता है चतुर्पाश्वीय.

पिरामिड कहा जाता है सही, यदि इसका आधार एक नियमित बहुभुज है और निम्नलिखित में से एक शर्त पूरी होती है:

\((a)\) पिरामिड के पार्श्व किनारे बराबर हैं;

\((बी)\) पिरामिड की ऊंचाई आधार के निकट परिचालित वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है;

\((c)\) पार्श्व पसलियां आधार के तल पर एक ही कोण पर झुकी हुई हैं।

\((d)\) पार्श्व फलक आधार के तल पर एक ही कोण पर झुके हुए हैं।

नियमित चतुष्फलकएक त्रिभुजाकार पिरामिड है, जिसके सभी फलक समान समबाहु त्रिभुज हैं।

प्रमेय

स्थितियाँ \((a), (b), (c), (d)\) समतुल्य हैं।

सबूत

आइए पिरामिड \(PH\) की ऊंचाई ज्ञात करें। मान लीजिए \(\alpha\) पिरामिड के आधार का तल है।

1) आइए हम साबित करें कि \((a)\) से यह \((b)\) का अनुसरण करता है। मान लीजिए \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

क्योंकि \(PH\perp \alpha\), तो \(PH\) इस तल में पड़ी किसी भी रेखा पर लंबवत है, जिसका अर्थ है कि त्रिभुज समकोण हैं। इसका मतलब यह है कि ये त्रिभुज उभयनिष्ठ पाद \(PH\) और कर्ण \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) में बराबर हैं। इसका मतलब है \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . इसका मतलब है कि बिंदु \(A_1, A_2, ..., A_n\) बिंदु \(H\) से समान दूरी पर हैं, इसलिए, वे त्रिज्या \(A_1H\) के साथ एक ही वृत्त पर स्थित हैं। परिभाषा के अनुसार, यह वृत्त बहुभुज \(A_1A_2...A_n\) के चारों ओर परिचालित है।

2) आइए हम साबित करें कि \((b)\) का तात्पर्य \((c)\) है।

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)आयताकार और दो पैरों पर बराबर। इसका मतलब यह है कि उनके कोण भी बराबर हैं, इसलिए, \(\कोण PA_1H=\कोण PA_2H=...=\कोण PA_nH\).

3) आइए हम साबित करें कि \((c)\) का तात्पर्य \((a)\) है।

पहले बिंदु के समान, त्रिकोण \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)पैर और न्यूनकोण दोनों के साथ आयताकार। इसका मतलब है कि उनके कर्ण भी बराबर हैं, यानी, \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) ।

4) आइए हम साबित करें कि \((b)\) का तात्पर्य \((d)\) है।

क्योंकि एक नियमित बहुभुज में परिचालित और खुदे हुए वृत्तों के केंद्र संपाती होते हैं (सामान्यतया, इस बिंदु को एक नियमित बहुभुज का केंद्र कहा जाता है), तो \(H\) खुदे हुए वृत्त का केंद्र होता है। आइए बिंदु \(H\) से आधार की भुजाओं पर लंब बनाएं: \(HK_1, HK_2\), आदि। ये अंकित वृत्त की त्रिज्याएँ हैं (परिभाषा के अनुसार)। फिर, टीटीपी के अनुसार (\(PH\) समतल पर लंबवत है, \(HK_1, HK_2\), आदि भुजाओं के लंबवत प्रक्षेपण हैं) झुके हुए \(PK_1, PK_2\), आदि। \(A_1A_2, A_2A_3\), आदि भुजाओं के लंबवत। क्रमश। तो, परिभाषा के अनुसार \(\कोण PK_1H, \कोण PK_2H\)पार्श्व फलकों और आधार के बीच के कोण के बराबर। क्योंकि त्रिभुज \(PK_1H, PK_2H, ...\) बराबर हैं (दोनों तरफ आयताकार के रूप में), तो कोण \(\कोण PK_1H, \कोण PK_2H, ...\)बराबर हैं।

5) आइए हम साबित करें कि \((d)\) का तात्पर्य \((b)\) है।

चौथे बिंदु के समान, त्रिकोण \(PK_1H, PK_2H, ...\) बराबर हैं (पैर के साथ आयताकार और तीव्र कोण के रूप में), जिसका अर्थ है कि खंड \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) हैं बराबर। इसका मतलब है, परिभाषा के अनुसार, \(H\) आधार में अंकित वृत्त का केंद्र है। लेकिन क्योंकि नियमित बहुभुजों के लिए, उत्कीर्ण और परिबद्ध वृत्तों के केंद्र संपाती होते हैं, तो \(H\) परिबद्ध वृत्त का केंद्र होता है। Chtd.

परिणाम

एक नियमित पिरामिड के पार्श्व फलक समान समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं।

परिभाषा

किसी नियमित पिरामिड के शीर्ष से खींची गई पार्श्व सतह की ऊँचाई कहलाती है एपोटेम.
एक नियमित पिरामिड के सभी पार्श्व चेहरों के एपोथेम एक दूसरे के बराबर होते हैं और मध्यिका और समद्विभाजक भी होते हैं।

महत्वपूर्ण लेख

1. एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड की ऊँचाई आधार की ऊँचाइयों (या समद्विभाजक, या माध्यिका) के प्रतिच्छेदन बिंदु पर पड़ती है (आधार एक नियमित त्रिभुज है)।

2. एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड की ऊंचाई आधार के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु पर पड़ती है (आधार एक वर्ग है)।

3. एक नियमित षट्कोणीय पिरामिड की ऊंचाई आधार के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु पर पड़ती है (आधार एक नियमित षट्भुज है)।

4. पिरामिड की ऊंचाई आधार पर स्थित किसी भी सीधी रेखा के लंबवत होती है।

परिभाषा

पिरामिड कहा जाता है आयताकार, यदि इसका एक पार्श्व किनारा आधार के तल पर लंबवत है।

महत्वपूर्ण लेख

1. एक आयताकार पिरामिड में, आधार का लंबवत किनारा पिरामिड की ऊंचाई है। अर्थात, \(SR\) ऊंचाई है।

2. क्योंकि \(SR\) आधार से किसी भी रेखा पर लंबवत है \(\त्रिकोण एसआरएम, \त्रिकोण एसआरपी\)– समकोण त्रिभुज.

3. त्रिकोण \(\त्रिभुज SRN, \त्रिकोण SRK\)- आयताकार भी.
अर्थात् इस किनारे से बना कोई भी त्रिभुज और आधार पर स्थित इस किनारे के शीर्ष से निकलने वाला विकर्ण आयताकार होगा।

\[(\बड़ा(\पाठ(पिरामिड का आयतन और सतह क्षेत्र)))\]

प्रमेय

पिरामिड का आयतन आधार के क्षेत्रफल और पिरामिड की ऊंचाई के गुणनफल के एक तिहाई के बराबर है: \

नतीजे

मान लीजिए \(a\) आधार की भुजा है, \(h\) पिरामिड की ऊंचाई है।

1. एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड का आयतन है \(V_(\text(समकोण त्रिभुज.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड का आयतन है \(V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h\).

3. एक नियमित षट्कोणीय पिरामिड का आयतन होता है \(V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. एक नियमित चतुष्फलक का आयतन होता है \(V_(\text(right tetr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

प्रमेय

एक नियमित पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल आधार और एपोथेम की परिधि के आधे उत्पाद के बराबर होता है।

\[(\बड़ा(\पाठ(फ्रस्टम)))\]

परिभाषा

एक मनमाना पिरामिड \(PA_1A_2A_3...A_n\) पर विचार करें। आइए हम पिरामिड के पार्श्व किनारे पर स्थित एक निश्चित बिंदु के माध्यम से पिरामिड के आधार के समानांतर एक विमान बनाएं। यह समतल पिरामिड को दो पॉलीहेड्रा में विभाजित करेगा, जिनमें से एक पिरामिड (\(PB_1B_2...B_n\)) है, और दूसरे को पिरामिड कहा जाता है छोटा पिरामिड(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

काटे गए पिरामिड के दो आधार हैं - बहुभुज \(A_1A_2...A_n\) और \(B_1B_2...B_n\) जो एक दूसरे के समान हैं।

एक काटे गए पिरामिड की ऊंचाई ऊपरी आधार के किसी बिंदु से निचले आधार के तल तक खींची गई एक लंबवत रेखा है।

महत्वपूर्ण लेख

1. काटे गए पिरामिड के सभी पार्श्व फलक समलम्ब चतुर्भुज हैं।

2. एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड (अर्थात, एक नियमित पिरामिड के क्रॉस-सेक्शन द्वारा प्राप्त पिरामिड) के आधारों के केंद्रों को जोड़ने वाला खंड ऊंचाई है।

परिचय

जब हमने स्टीरियोमेट्रिक आंकड़ों का अध्ययन करना शुरू किया, तो हमने "पिरामिड" विषय को छुआ। हमें यह विषय इसलिए पसंद आया क्योंकि पिरामिड का उपयोग अक्सर वास्तुकला में किया जाता है। और चूँकि वास्तुकला का हमारा भावी पेशा इस आकृति से प्रेरित है, हमें लगता है कि वह हमें उत्कृष्ट परियोजनाओं की ओर प्रेरित कर सकती है।

वास्तु संरचनाओं की मजबूती उनका सबसे महत्वपूर्ण गुण है। ताकत को जोड़ने से, सबसे पहले, उन सामग्रियों के साथ जिनसे वे बनाए जाते हैं, और दूसरी बात, डिजाइन समाधानों की विशेषताओं के साथ, यह पता चलता है कि संरचना की ताकत सीधे ज्यामितीय आकार से संबंधित है जो इसके लिए बुनियादी है।

दूसरे शब्दों में, हम एक ज्यामितीय आकृति के बारे में बात कर रहे हैं जिसे संबंधित वास्तुशिल्प रूप का एक मॉडल माना जा सकता है। यह पता चला है कि ज्यामितीय आकार एक वास्तुशिल्प संरचना की ताकत भी निर्धारित करता है।

प्राचीन काल से, मिस्र के पिरामिडों को सबसे टिकाऊ वास्तुशिल्प संरचनाएं माना जाता रहा है। जैसा कि आप जानते हैं, इनका आकार नियमित चतुर्भुज पिरामिड जैसा होता है।

यह वह ज्यामितीय आकृति है जो बड़े आधार क्षेत्र के कारण सबसे बड़ी स्थिरता प्रदान करती है। दूसरी ओर, पिरामिड का आकार यह सुनिश्चित करता है कि जैसे-जैसे जमीन से ऊंचाई बढ़ती है, द्रव्यमान कम होता जाता है। ये दो गुण हैं जो पिरामिड को स्थिर बनाते हैं, और इसलिए गुरुत्वाकर्षण की स्थिति में मजबूत बनाते हैं।

परियोजना का उद्देश्य: पिरामिडों के बारे में कुछ नया सीखें, अपने ज्ञान को गहरा करें और व्यावहारिक अनुप्रयोग खोजें।

इस लक्ष्य को प्राप्त करने के लिए निम्नलिखित कार्यों को हल करना आवश्यक था:

· पिरामिड के बारे में ऐतिहासिक जानकारी जानें

· पिरामिड को ऐसे समझें ज्यामितीय आकृति

· जीवन और वास्तुकला में अनुप्रयोग ढूंढें

· में स्थित पिरामिडों के बीच समानताएं और अंतर खोजें विभिन्न भागस्वेता

सैद्धांतिक भाग

ऐतिहासिक जानकारी

पिरामिड की ज्यामिति की शुरुआत प्राचीन मिस्र और बेबीलोन में हुई थी, लेकिन इसे सक्रिय रूप से विकसित किया गया था प्राचीन ग्रीस. पिरामिड का आयतन स्थापित करने वाले पहले व्यक्ति डेमोक्रिटस थे, और कनिडस के यूडोक्सस ने इसे साबित किया था। प्राचीन यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड ने अपने तत्वों के XII खंड में पिरामिड के बारे में ज्ञान को व्यवस्थित किया, और पिरामिड की पहली परिभाषा भी निकाली: एक ठोस आकृति जो विमानों से घिरी होती है जो एक विमान से एक बिंदु तक मिलती है।

मिस्र के फिरौन की कब्रें। उनमें से सबसे बड़े - एल गीज़ा में चेप्स, खाफ़्रे और मिकेरिन के पिरामिड - प्राचीन काल में दुनिया के सात आश्चर्यों में से एक माने जाते थे। पिरामिड का निर्माण, जिसमें यूनानियों और रोमनों ने पहले से ही राजाओं के अभूतपूर्व गौरव और क्रूरता का एक स्मारक देखा था, जिसने मिस्र के पूरे लोगों को अर्थहीन निर्माण के लिए बर्बाद कर दिया था, सबसे महत्वपूर्ण पंथ कार्य था और जाहिर तौर पर इसे व्यक्त करना था। देश और उसके शासक की रहस्यमयी पहचान। देश की आबादी कृषि कार्य से मुक्त वर्ष के कुछ समय में मकबरे के निर्माण पर काम करती थी। कई ग्रंथ इस बात की गवाही देते हैं कि राजाओं ने स्वयं (यद्यपि बाद के समय में) अपने मकबरे के निर्माण और उसके निर्माताओं पर ध्यान और देखभाल दी थी। यह उन विशेष पंथ सम्मानों के बारे में भी जाना जाता है जो पिरामिड को ही दिए गए थे।

बुनियादी अवधारणाओं

पिरामिडएक बहुफलक कहलाता है जिसका आधार एक बहुभुज होता है, और शेष फलक त्रिभुज होते हैं जिनका एक उभयनिष्ठ शीर्ष होता है।

एपोथेम- एक नियमित पिरामिड के पार्श्व फलक की ऊंचाई, उसके शीर्ष से खींची गई;

पार्श्व चेहरे- एक शीर्ष पर मिलने वाले त्रिकोण;

पार्श्व पसलियाँ- पार्श्व चेहरों के सामान्य पक्ष;

पिरामिड का शीर्ष- पार्श्व पसलियों को जोड़ने वाला और आधार के तल में न पड़ा हुआ एक बिंदु;

ऊंचाई- पिरामिड के शीर्ष से होकर उसके आधार के तल तक खींचा गया एक लंबवत खंड (इस खंड के सिरे पिरामिड के शीर्ष और लंबवत के आधार हैं);

पिरामिड का विकर्ण खंड- आधार के शीर्ष और विकर्ण से गुजरने वाला पिरामिड का खंड;

आधार- एक बहुभुज जो पिरामिड के शीर्ष से संबंधित नहीं है।

एक नियमित पिरामिड के मूल गुण

पार्श्व किनारे, पार्श्व फलक और एपोथेम क्रमशः बराबर हैं।

आधार पर द्विफलकीय कोण बराबर होते हैं।

पार्श्व किनारों पर द्विफलकीय कोण बराबर होते हैं।

प्रत्येक ऊंचाई बिंदु आधार के सभी शीर्षों से समान दूरी पर है।

प्रत्येक ऊँचाई बिंदु सभी पार्श्व फलकों से समान दूरी पर है।

बुनियादी पिरामिड सूत्र

पिरामिड की पार्श्व और कुल सतह का क्षेत्रफल.

एक पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल (पूर्ण और छोटा) उसके सभी पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों का योग होता है, कुल सतह क्षेत्रफल उसके सभी पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों का योग होता है।

प्रमेय: एक नियमित पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल आधार की परिधि और पिरामिड के एपोथेम के आधे उत्पाद के बराबर होता है।

पी- आधार परिधि;

एच- एपोटेम।

काटे गए पिरामिड की पार्श्व और पूर्ण सतहों का क्षेत्रफल।

पी 1, पी 2 - आधार परिधि;

एच- एपोटेम।

आर- एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड का कुल सतह क्षेत्र;

एस ओर- एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्र;

एस 1 + एस 2- आधार क्षेत्र

पिरामिड का आयतन

रूप वॉल्यूम यूला का उपयोग किसी भी प्रकार के पिरामिड के लिए किया जाता है।

एच- पिरामिड की ऊंचाई.

पिरामिड कोने

पिरामिड के पार्श्व फलक और आधार से बने कोणों को पिरामिड के आधार पर डायहेड्रल कोण कहा जाता है।

एक द्विफलकीय कोण दो लंबों से बनता है।

इस कोण को निर्धारित करने के लिए, आपको अक्सर तीन लंबवत प्रमेय का उपयोग करने की आवश्यकता होती है.

पार्श्व किनारे और आधार तल पर इसके प्रक्षेपण से बनने वाले कोण कहलाते हैं पार्श्व किनारे और आधार के तल के बीच का कोण.

दो पार्श्व किनारों से बनने वाला कोण कहलाता है पिरामिड के पार्श्व किनारे पर डायहेड्रल कोण।

पिरामिड के एक फलक के दो पार्श्व किनारों से बनने वाला कोण कहलाता है पिरामिड के शीर्ष पर कोण.

पिरामिड खंड

पिरामिड की सतह एक बहुफलक की सतह होती है। इसका प्रत्येक फलक एक समतल है, इसलिए काटने वाले तल द्वारा परिभाषित पिरामिड का खंड एक टूटी हुई रेखा है जिसमें अलग-अलग सीधी रेखाएँ होती हैं।

विकर्ण खंड

एक समतल द्वारा पिरामिड का वह भाग जो दो पार्श्व किनारों से होकर गुजरता है जो एक ही सतह पर नहीं होते हैं, कहलाते हैं विकर्ण खंडपिरामिड.

समानांतर खंड

प्रमेय:

यदि पिरामिड को आधार के समानांतर एक विमान द्वारा प्रतिच्छेद किया जाता है, तो पिरामिड के पार्श्व किनारों और ऊंचाइयों को इस विमान द्वारा आनुपातिक भागों में विभाजित किया जाता है;

इस तल का खंड आधार के समान एक बहुभुज है;

खंड और आधार के क्षेत्रफल शीर्ष से उनकी दूरी के वर्ग के रूप में एक दूसरे से संबंधित हैं।

पिरामिड के प्रकार

सही पिरामिड- एक पिरामिड जिसका आधार एक नियमित बहुभुज है, और पिरामिड का शीर्ष आधार के केंद्र में प्रक्षेपित है।

एक नियमित पिरामिड के लिए:

1. पार्श्व पसलियाँ बराबर होती हैं

2. पार्श्व फलक बराबर हैं

3. एपोथेम बराबर हैं

4. आधार पर द्विफलकीय कोण बराबर होते हैं

5. पार्श्व किनारों पर द्विफलकीय कोण बराबर होते हैं

6. ऊंचाई का प्रत्येक बिंदु आधार के सभी शीर्षों से समान दूरी पर है

7. प्रत्येक ऊंचाई बिंदु सभी पार्श्व किनारों से समान दूरी पर है

कटा हुआ पिरामिड- पिरामिड का वह भाग जो इसके आधार और आधार के समानांतर काटने वाले तल के बीच घिरा हुआ है।

काटे गए पिरामिड के आधार और संगत खंड को कहा जाता है एक काटे गए पिरामिड के आधार.

एक आधार के किसी बिंदु से दूसरे आधार के तल पर खींचा गया लंब कहलाता है एक काटे गए पिरामिड की ऊंचाई.

कार्य

नंबर 1. एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड में, बिंदु O आधार का केंद्र है, SO=8 सेमी, BD=30 सेमी। पार्श्व किनारा SA ज्ञात करें।

समस्या को सुलझाना

नंबर 1. में सही पिरामिडसभी फलक और किनारे समान हैं।

OSB पर विचार करें: OSB एक आयताकार आयत है, क्योंकि।

एसबी 2 =एसओ 2 +ओबी 2

एसबी 2 =64+225=289

वास्तुकला में पिरामिड

पिरामिड एक साधारण नियमित ज्यामितीय पिरामिड के रूप में एक स्मारकीय संरचना है, जिसमें भुजाएँ एक बिंदु पर मिलती हैं। अपने कार्यात्मक उद्देश्य के अनुसार, प्राचीन काल में पिरामिड दफन या पंथ पूजा के स्थान थे। पिरामिड का आधार त्रिकोणीय, चतुष्कोणीय, या मनमाने ढंग से शीर्षों की संख्या के साथ बहुभुज के आकार में हो सकता है, लेकिन सबसे आम संस्करण चतुष्कोणीय आधार है।

यहां काफी संख्या में पिरामिड बने हुए हैं विभिन्न संस्कृतियां प्राचीन विश्वमुख्यतः मन्दिरों या स्मारकों के रूप में। बड़े पिरामिडों में मिस्र के पिरामिड भी शामिल हैं।

पूरी पृथ्वी पर आप पिरामिडों के रूप में स्थापत्य संरचनाएँ देख सकते हैं। पिरामिड की इमारतें प्राचीन काल की याद दिलाती हैं और बेहद खूबसूरत लगती हैं।

मिस्र के पिरामिडमहानतम स्थापत्य स्मारक प्राचीन मिस्र, जिनमें से "दुनिया के सात अजूबों" में से एक चेप्स का पिरामिड है। तलहटी से शीर्ष तक इसकी ऊंचाई 137.3 मीटर है, और शीर्ष खोने से पहले इसकी ऊंचाई 146.7 मीटर थी।

उल्टे पिरामिड जैसा दिखने वाला स्लोवाकिया की राजधानी में रेडियो स्टेशन की इमारत 1983 में बनाई गई थी। कार्यालयों और सेवा परिसरों के अलावा, वॉल्यूम के अंदर एक काफी विशाल कॉन्सर्ट हॉल है, जो स्लोवाकिया के सबसे बड़े अंगों में से एक है।

लौवर, जो "पिरामिड की तरह शांत और राजसी है," बनने से पहले सदियों में कई बदलाव हुए हैं सबसे बड़ा संग्रहालयशांति। इसका जन्म एक किले के रूप में हुआ था, जिसे 1190 में फिलिप ऑगस्टस ने बनवाया था, जो जल्द ही एक शाही निवास बन गया। 1793 में महल एक संग्रहालय बन गया। वसीयत या खरीद के माध्यम से संग्रह को समृद्ध किया जाता है।