पक्षों पर त्रिभुजों के प्रकार स्केलीन समद्विबाहु समबाहु। त्रिभुजों, कोणों और भुजाओं के प्रकार

त्रिभुज

त्रिकोणएक आकृति एक आकृति कहलाती है जिसमें तीन बिंदु होते हैं जो एक सीधी रेखा पर नहीं होते हैं, और तीन खंड इन बिंदुओं को जोड़े में जोड़ते हैं। बिन्दु कहलाते हैं चोटियोंत्रिभुज, और खंड - इसके दलों।

त्रिभुजों के प्रकार

त्रिभुज कहलाता है समद्विबाहुयदि इसकी दोनों भुजाएँ बराबर हों। ये समान भुजाएँ कहलाती हैं पक्ष,और तीसरे पक्ष को कहा जाता है आधारत्रिकोण।

एक त्रिभुज जिसकी सभी भुजाएँ बराबर होती हैं, कहलाता है समभुजया सही।

त्रिभुज कहलाता है आयताकार,यदि इसका एक समकोण है, तो एक 90° का कोण होता है। समकोण के सम्मुख समकोण त्रिभुज की भुजा कहलाती है कर्णअन्य दो पक्षों को कहा जाता है पैर।

त्रिभुज कहलाता है तीव्र कोणयदि इसके तीनों कोण न्यूनकोण हैं, अर्थात 90° से कम हैं।

त्रिभुज कहलाता है कुटिल,यदि इसका एक कोण अधिक है, अर्थात 90° से अधिक है।

त्रिभुज की मुख्य रेखाएँ

मंझला

मंझलात्रिभुज एक रेखा खंड है जो त्रिभुज के शीर्ष को इस त्रिभुज की विपरीत भुजा के मध्य बिंदु से जोड़ता है।

त्रिभुज माध्यिका गुण

माध्यिका त्रिभुज को एक ही क्षेत्रफल के दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।

एक त्रिभुज की माध्यिकाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, जो उनमें से प्रत्येक को ऊपर से गिनते हुए 2:1 के अनुपात में विभाजित करती है। इस बिंदु को कहा जाता है ग्रैविटी केंद्रत्रिकोण।

संपूर्ण त्रिभुज को उसकी माध्यिकाओं द्वारा छह समान त्रिभुजों में विभाजित किया जाता है।

द्विभाजक

कोण द्विभाजकएक किरण है जो अपने शीर्ष से आती है, अपनी भुजाओं के बीच से गुजरती है और दिए गए कोण को समद्विभाजित करती है। त्रिभुज समद्विभाजकत्रिभुज के एक कोण के समद्विभाजक के एक शीर्ष को त्रिभुज के विपरीत दिशा में एक बिंदु से जोड़ने वाले खंड को कहा जाता है।

त्रिभुज द्विभाजक गुण

कद

कदत्रिभुज के शीर्ष से इस त्रिभुज की सम्मुख भुजा वाली रेखा पर खींचा गया लम्ब त्रिभुज कहलाता है।

त्रिभुज ऊंचाई गुण

वी सही त्रिकोणएक समकोण के शीर्ष से खींची गई ऊँचाई इसे दो त्रिभुजों में विभाजित करती है, एक जैसामूल।

वी न्यून त्रिकोणउसकी दो ऊँचाइयाँ उस से कटी हुई हैं एक जैसात्रिभुज।

माध्य लंबवत

किसी खंड के लम्ब के मध्य बिंदु से गुजरने वाली रेखा कहलाती है दंडवत द्विभाजकखंड के लिए .

त्रिभुज के लम्ब समद्विभाजकों के गुण

एक खंड के लंबवत द्विभाजक का प्रत्येक बिंदु इस खंड के सिरों से समान दूरी पर है। विलोम कथन भी सत्य है: खंड के सिरों से समदूरस्थ प्रत्येक बिंदु इसके लम्ब समद्विभाजक पर स्थित होता है।

लम्ब समद्विभाजकों का प्रतिच्छेद बिंदु एक त्रिभुज की भुजाएँ, केंद्र है इस त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त.

मध्य पंक्ति

त्रिभुज की मध्य रेखाइसकी दो भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाला रेखाखण्ड कहलाता है।

त्रिभुज की मध्य रेखा का गुण

किसी त्रिभुज की मध्य रेखा उसकी एक भुजा के समांतर होती है और उस भुजा के आधे के बराबर होती है।

सूत्र और अनुपात

त्रिभुजों की समानता के लक्षण

दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं यदि वे क्रमशः सर्वांगसम हों:

दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण;

दो कोने और उनसे सटे एक पक्ष;

तीन पक्ष।

समकोण त्रिभुजों की समानता के लक्षण

दो सही त्रिकोणबराबर हैं यदि वे क्रमशः बराबर हैं:

कर्णऔर न्यून कोण

टांगऔर विपरीत कोने;

टांगऔर आसन्न कोण;

दो टांग;

कर्णतथा टांग.

त्रिभुजों की समानता

दो त्रिभुज समान हैयदि निम्न में से कोई एक शर्त पूरी होती है, तो कहा जाता है समानता के संकेत:

एक त्रिभुज के दो कोण दूसरे त्रिभुज के दो कोणों के बराबर होते हैं;

एक त्रिभुज की दो भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं के समानुपाती होती हैं, और इन भुजाओं से बनने वाले कोण बराबर होते हैं;

एक त्रिभुज की तीन भुजाएँ क्रमशः दूसरे त्रिभुज की तीनों भुजाओं के समानुपाती होती हैं।

समरूप त्रिभुजों में, संगत रेखाएँ ( ऊंचाइयों, माध्यिकाओं, समद्विभाजकआदि) आनुपातिक हैं।

ज्या प्रमेय

एक त्रिभुज की भुजाएँ सम्मुख कोणों की ज्याओं के समानुपाती होती हैं, और आनुपातिकता का गुणांक है व्यास एक त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त:

कोसाइन प्रमेय

एक त्रिभुज की एक भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है, जो उन भुजाओं के गुणनफल से उनके बीच के कोण के गुणनफल का दोगुना होता है:

ए 2 = बी 2 + सी 2 - 2बीसीक्योंकि

त्रिभुज क्षेत्र सूत्र

मनमाना त्रिकोण

ए, बी, सी -पक्ष; - भुजाओं के बीच का कोण एतथा बी; - अर्ध-परिधि; आर-परिचालित वृत्त की त्रिज्या; आर-खुदा वृत्त की त्रिज्या; एस-वर्ग; एच ए - ऊंचाई की ओर ए.

त्रिभुज - परिभाषा और सामान्य अवधारणाएँ

एक त्रिभुज एक ऐसा सरल बहुभुज है, जिसमें तीन भुजाएँ होती हैं और कोणों की संख्या समान होती है। इसके तल 3 बिंदुओं और 3 खंडों द्वारा सीमित हैं जो इन बिंदुओं को जोड़े में जोड़ते हैं।

किसी भी त्रिभुज के सभी शीर्ष, चाहे उसका प्रकार कुछ भी हो, बड़े अक्षरों से दर्शाया जाता है। लैटिन अक्षरों के साथ, और इसके पक्षों को विपरीत शीर्षों के संबंधित पदनामों द्वारा दर्शाया गया है, लेकिन नहीं बड़े अक्षर, लेकिन छोटा। तो, उदाहरण के लिए, ए, बी, और सी लेबल वाले शिखर वाले त्रिभुज में ए, बी, सी पक्ष होते हैं।

यदि हम यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक त्रिकोण पर विचार करते हैं, तो यह एक ऐसी ज्यामितीय आकृति है जो तीन बिंदुओं को जोड़ने वाले तीन खंडों का उपयोग करके बनाई गई है जो एक सीधी रेखा पर नहीं हैं।

ऊपर की तस्वीर को ध्यान से देखिए। इस पर बिंदु A, B और C इस त्रिभुज के शीर्ष हैं और इसके खंड त्रिभुज की भुजाएँ कहलाते हैं। इस बहुभुज का प्रत्येक शीर्ष इसके अंदर कोने बनाता है।

त्रिभुजों के प्रकार

आकार के अनुसार, त्रिभुजों के कोण, उन्हें इस प्रकार की किस्मों में विभाजित किया जाता है: आयताकार;
तीव्र-कोण;
कुंद।

समकोण त्रिभुज ऐसे त्रिभुज होते हैं जिनमें एक समकोण होता है और अन्य दो में न्यून कोण होते हैं।

न्यूनकोण त्रिभुज वे होते हैं जिनमें इसके सभी कोण न्यूनकोण होते हैं।

और यदि किसी त्रिभुज में एक अधिक कोण हो, और अन्य दो कोण न्यून हों, तो ऐसा त्रिभुज अधिक कोणों का होता है।

आप में से प्रत्येक इस बात से अच्छी तरह वाकिफ है कि सभी त्रिभुजों की भुजाएँ समान नहीं होती हैं। और इसकी भुजाओं की लंबाई के अनुसार त्रिभुजों को विभाजित किया जा सकता है:

समद्विबाहु;
समबाहु;
बहुमुखी।

कार्य: ड्रा विभिन्न प्रकारत्रिभुज। उन्हें एक परिभाषा दें। आप उनमें क्या अंतर देखते हैं?

त्रिभुजों के मूल गुण

हालांकि ये साधारण बहुभुज कोणों या भुजाओं के आकार में एक दूसरे से भिन्न हो सकते हैं, लेकिन प्रत्येक त्रिभुज में मूल गुण होते हैं जो इस आकृति की विशेषता होते हैं।

किसी भी त्रिभुज में:

इसके सभी कोणों का योग 180º है।
यदि यह समबाहु का है, तो इसका प्रत्येक कोण 60º के बराबर है।
एक समबाहु त्रिभुज में एक दूसरे के समरूप और समान कोण होते हैं।
बहुभुज की भुजा जितनी छोटी होगी, उसके विपरीत कोण उतना ही छोटा होगा और इसके विपरीत बड़ा कोण बड़ी भुजा के विपरीत होगा।
यदि भुजाएँ समान हैं, तो उनके विपरीत स्थित हैं समान कोण, और इसके विपरीत।
यदि हम एक त्रिभुज लें और उसकी भुजा का विस्तार करें, तो अंत में हम एक बाहरी कोण बनाएंगे। यह आंतरिक कोणों के योग के बराबर होता है।
किसी भी त्रिभुज में, इसकी भुजा, चाहे आप किसी भी एक को चुनें, फिर भी अन्य 2 भुजाओं के योग से कम होगी, लेकिन उनके अंतर से अधिक होगी:

1.ए< b + c, a >बी-सी;
2.बी< a + c, b >एसी;
3.सी< a + b, c >ए-बी.

व्यायाम

तालिका त्रिभुज के पहले से ज्ञात दो कोणों को दर्शाती है। सभी कोणों का कुल योग जानने के बाद, त्रिभुज का तीसरा कोण किसके बराबर है और तालिका में दर्ज करें:

1. तीसरे कोण के कितने अंश होते हैं?
2. यह किस प्रकार के त्रिभुजों से संबंधित है?

तुल्यता त्रिभुज

मैं हस्ताक्षर करता हूँ

द्वितीय संकेत

तृतीय संकेत

त्रिभुज की ऊँचाई, समद्विभाजक और माध्यिका

त्रिभुज की ऊँचाई - आकृति के शीर्ष से उसकी विपरीत भुजा पर खींचा गया लम्ब त्रिभुज की ऊँचाई कहलाता है। त्रिभुज की सभी ऊँचाइयाँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। किसी त्रिभुज के सभी 3 शीर्षलंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु उसका लंबकेन्द्र होता है।

किसी दिए गए शीर्ष से खींचा गया खंड और इसे विपरीत दिशा के बीच में जोड़ना मध्यिका है। माध्यिकाएँ, साथ ही त्रिभुज की ऊँचाई, में एक समान प्रतिच्छेदन बिंदु होता है, जिसे त्रिभुज या केन्द्रक का तथाकथित गुरुत्वाकर्षण केंद्र कहा जाता है।

त्रिभुज का समद्विभाजक एक ऐसा खंड है जो एक कोण के शीर्ष और विपरीत दिशा में एक बिंदु को जोड़ता है, और इस कोण को आधा में भी विभाजित करता है। त्रिभुज के सभी समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, जिसे त्रिभुज में अंकित वृत्त का केंद्र कहते हैं।

त्रिभुज की दोनों भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को जोड़ने वाले खंड को मध्य रेखा कहते हैं।

इतिहास संदर्भ

त्रिभुज के रूप में ऐसी आकृति प्राचीन काल में जानी जाती थी। चार हजार साल पहले मिस्र के पपीरी पर इस आकृति और इसके गुणों का उल्लेख किया गया था। थोड़ी देर बाद, पाइथागोरस प्रमेय और हेरॉन के सूत्र के लिए धन्यवाद, त्रिभुज की संपत्ति का अध्ययन और अधिक हो गया उच्च स्तर, लेकिन फिर भी, यह दो हज़ार साल से भी पहले हुआ था।

15वीं-16वीं शताब्दी में एक त्रिभुज के गुणों पर बहुत शोध शुरू हुआ और परिणामस्वरूप, प्लैनिमेट्री जैसे विज्ञान का उदय हुआ, जिसे "न्यू ट्राएंगल ज्योमेट्री" कहा गया।

रूस के एक वैज्ञानिक एन.आई. लोबचेव्स्की ने त्रिभुजों के गुणों के ज्ञान में बहुत बड़ा योगदान दिया। उनके कार्यों को बाद में गणित और भौतिकी और साइबरनेटिक्स दोनों में आवेदन मिला।

त्रिभुजों के गुणों के ज्ञान के लिए धन्यवाद, त्रिकोणमिति जैसे विज्ञान का उदय हुआ। यह किसी व्यक्ति के लिए उसकी व्यावहारिक जरूरतों के लिए आवश्यक हो गया, क्योंकि इसका उपयोग केवल मानचित्रों को संकलित करते समय, क्षेत्रों को मापते समय और विभिन्न तंत्रों को डिजाइन करते समय भी आवश्यक होता है।

और सबसे ज्यादा क्या है प्रसिद्ध त्रिकोणआपको पता है? बेशक, यह बरमूडा ट्रायंगल है! 50 के दशक में इसका नाम किसके कारण पड़ा? भौगोलिक स्थितिबिंदु (त्रिकोण के कोने), जिसके भीतर, मौजूदा सिद्धांत के अनुसार, इससे जुड़ी विसंगतियाँ उत्पन्न हुईं। बरमूडा त्रिभुज की चोटियाँ बरमूडा, फ्लोरिडा और प्यूर्टो रिको हैं।

कार्य: के बारे में सिद्धांत क्या हैं बरमूडा त्रिकोणतुमने सुना?

क्या आप जानते हैं कि लोबचेवस्की के सिद्धांत में, त्रिभुज के कोणों को जोड़ने पर, उनके योग का परिणाम हमेशा 180º से कम होता है। रीमैनियन ज्यामिति में, त्रिभुज के सभी कोणों का योग 180º से अधिक होता है, जबकि यूक्लिड के लेखन में यह 180 डिग्री के बराबर होता है।

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क्रॉसवर्ड प्रश्न:

1. त्रिभुज के शीर्ष से विपरीत दिशा में स्थित सीधी रेखा पर खींचे गए लंब का क्या नाम है?
2. आप एक शब्द में त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई के योग को कैसे कह सकते हैं?
3. एक त्रिभुज का नाम बताइए जिसकी दो भुजाएँ बराबर हों?
4. उस त्रिभुज का नाम बताइए जिसका कोण 90° के बराबर हो?
5. त्रिभुज की सबसे बड़ी भुजा का नाम क्या है?
6. एक समद्विबाहु त्रिभुज की भुजा का नाम?
7. किसी भी त्रिभुज में हमेशा तीन होते हैं।
8. उस त्रिभुज का नाम क्या है जिसका एक कोण 90° से अधिक है?
9. हमारे आंकड़े के शीर्ष को विपरीत पक्ष के मध्य से जोड़ने वाले खंड का नाम?
10. एक साधारण बहुभुज ABC में, बड़ा अक्षरऔर है...?
11. त्रिभुज के कोण को आधे में विभाजित करने वाले खंड का नाम क्या है।

त्रिकोण के बारे में प्रश्न:

1. परिभाषा दीजिए।
2. इसकी कितनी ऊँचाई है?
3. त्रिभुज में कितने समद्विभाजक होते हैं?
4. इसके कोणों का योग क्या है?
5. आप किस प्रकार के इस साधारण बहुभुज को जानते हैं?
6. त्रिभुजों के उन बिन्दुओं के नाम लिखिए जिन्हें अद्भुत कहा जाता है।
7. कौन सा यंत्र कोण को माप सकता है?
8. अगर घड़ी की सूइयां 21 घंटे दिखाती हैं। घंटे की सूइयां किस कोण से बनती हैं?
9. यदि कोई व्यक्ति "बाईं ओर", "चारों ओर" आदेश दिया जाता है तो वह किस कोण पर मुड़ता है?
10. आप कौन सी अन्य परिभाषाएँ जानते हैं जो एक ऐसी आकृति से जुड़ी हैं जिसमें तीन कोण और तीन भुजाएँ हैं?

विषय > गणित > गणित ग्रेड 7

आज हम ज्यामिति के देश में जा रहे हैं, जहाँ हम विभिन्न प्रकार के त्रिभुजों से परिचित होंगे।

ज्यामितीय आकृतियों की जाँच करें और उनमें से "अतिरिक्त" खोजें (चित्र 1)।

चावल। 1. उदाहरण के लिए चित्रण

हम देखते हैं कि आकृतियाँ संख्या 1, 2, 3, 5 चतुर्भुज हैं। उनमें से प्रत्येक का अपना नाम है (चित्र 2)।

चावल। 2. चतुर्भुज

इसका अर्थ है कि "अतिरिक्त" आकृति एक त्रिभुज है (चित्र 3)।

चावल। 3. उदाहरण के लिए चित्रण

त्रिभुज एक आकृति है जिसमें तीन बिंदु होते हैं जो एक ही सीधी रेखा पर नहीं होते हैं, और तीन खंड इन बिंदुओं को जोड़े में जोड़ते हैं।

बिन्दु कहलाते हैं त्रिभुज शीर्ष, खंड - उसका दलों. त्रिभुज की भुजाएँ बनती हैं त्रिभुज के शीर्षों पर तीन कोण होते हैं।

त्रिभुज की मुख्य विशेषताएं हैं तीन भुजाएँ और तीन कोने।त्रिभुजों को कोण के अनुसार वर्गीकृत किया जाता है तीव्र, आयताकार और तिरछा।

एक त्रिभुज को न्यूनकोण कहा जाता है यदि उसके तीनों कोण न्यूनकोण हों, अर्थात 90 ° से कम (चित्र 4)।

चावल। 4. तीव्र त्रिभुज

एक त्रिभुज को समकोण कहा जाता है यदि उसका एक कोण 90° का हो (चित्र 5)।

चावल। 5. समकोण त्रिभुज

एक त्रिभुज को अधिक कोण कहा जाता है यदि इसका एक कोण अधिक है, अर्थात 90° से अधिक (चित्र 6)।

चावल। 6. अधिक त्रिभुज

संख्या के अनुसार बराबर पक्षत्रिभुज समबाहु, समद्विबाहु, स्केलीन हैं।

एक समद्विबाहु त्रिभुज एक त्रिभुज है जिसमें दो भुजाएँ बराबर होती हैं (चित्र 7)।

चावल। 7. समद्विबाहु त्रिभुज

इन पक्षों को कहा जाता है पार्श्व, तीसरा पक्ष - आधार. एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार पर कोण बराबर होते हैं।

समद्विबाहु त्रिभुज हैं तीव्र और कुंठित(चित्र 8) .

चावल। 8. न्यून और अधिक समद्विबाहु त्रिभुज

एक समबाहु त्रिभुज कहलाता है, जिसकी तीनों भुजाएँ बराबर होती हैं (चित्र 9)।

चावल। 9. समबाहु त्रिभुज

एक समबाहु त्रिभुज में सभी कोण बराबर हैं. समबाहु त्रिभुजहमेशा तीव्र कोण वाला।

एक त्रिभुज बहुमुखी कहलाता है, जिसमें तीनों भुजाओं की अलग-अलग लंबाई होती है (चित्र 10)।

चावल। 10. विषमकोण त्रिभुज

कार्य पूरा करें। इन त्रिभुजों को तीन समूहों में बाँटिए (चित्र 11)।

चावल। 11. कार्य के लिए चित्रण

सबसे पहले, कोणों के आकार के अनुसार वितरित करते हैं।

तीव्र त्रिभुज: संख्या 1, संख्या 3।

समकोण त्रिभुज: #2, #6।

अधिक त्रिभुज: #4, #5।

इन त्रिभुजों को समान भुजाओं की संख्या के अनुसार समूहों में बांटा गया है।

विषमकोण त्रिभुज: संख्या 4, संख्या 6।

समद्विबाहु त्रिभुज: संख्या 2, संख्या 3, संख्या 5।

समबाहु त्रिभुज: संख्या 1।

रेखाचित्रों की समीक्षा करें।

इस बारे में सोचें कि प्रत्येक त्रिभुज किस तार के टुकड़े से बना है (अंजीर। 12)।

चावल। 12. कार्य के लिए चित्रण

आप इस तरह बहस कर सकते हैं।

तार का पहला टुकड़ा तीन बराबर भागों में बांटा गया है, ताकि आप इससे एक समबाहु त्रिभुज बना सकें। इसे चित्र में तीसरा दिखाया गया है।

तार के दूसरे टुकड़े को तीन अलग-अलग भागों में बांटा गया है, इसलिए इसे बनाया जा सकता है विषमबाहु त्रिकोण. इसे पहले चित्र में दिखाया गया है।

तार के तीसरे टुकड़े को तीन भागों में बांटा गया है, जहाँ दोनों भाग समान लंबाई के हैं, इसलिए आप इससे एक समद्विबाहु त्रिभुज बना सकते हैं। इसे चित्र में दूसरा दिखाया गया है।

आज के पाठ में हम विभिन्न प्रकार के त्रिभुजों से परिचित हुए।

ग्रन्थसूची

1. एम.आई. मोरो, एमए बंटोवा और अन्य गणित: पाठ्यपुस्तक। ग्रेड 3: 2 भागों में, भाग 1। - एम।: "ज्ञानोदय", 2012।
2. एम.आई. मोरो, एमए बंटोवा और अन्य गणित: पाठ्यपुस्तक। ग्रेड 3: 2 भागों में, भाग 2। - एम।: "ज्ञानोदय", 2012।
3. एम.आई. मोरो। गणित पाठ: दिशा-निर्देशशिक्षक के लिए। ग्रेड 3 - एम .: शिक्षा, 2012।
4. नियामक दस्तावेज। सीखने के परिणामों की निगरानी और मूल्यांकन। - एम .: "ज्ञानोदय", 2011।
5. "रूस का स्कूल": के लिए कार्यक्रम प्राथमिक स्कूल. - एम .: "ज्ञानोदय", 2011।
6. एस.आई. वोल्कोव। गणित: सत्यापन कार्य. ग्रेड 3 - एम .: शिक्षा, 2012।
7. वी.एन. रुडनित्सकाया। परीक्षण। - एम .: "परीक्षा", 2012।

1. Nsportal.ru ()।
2. Prosv.ru ()।
3. Do.gendocs.ru ()।

होम वर्क

1. वाक्यांश समाप्त करें।

a) त्रिभुज एक ऐसी आकृति है जिसमें ..., एक ही सीधी रेखा पर न पड़े हुए हों, और ..., इन बिंदुओं को जोड़ियों में जोड़ते हैं।

b) बिन्दु कहलाते हैं … , खंड - उसका … . त्रिभुज की भुजाएँ त्रिभुज के शीर्षों पर बनती हैं ….

c) कोण के आकार के अनुसार त्रिभुज ..., ..., .... होते हैं।

d) बराबर भुजाओं की संख्या के अनुसार त्रिभुज ..., ..., ... होते हैं।

2. ड्रा

ए) सही त्रिकोण;

बी) एक तीव्र त्रिकोण;

ग) एक अधिक त्रिभुज;

घ) एक समबाहु त्रिभुज;

ई) स्केलीन त्रिकोण;

ई) एक समद्विबाहु त्रिभुज।

3. अपने साथियों के लिए पाठ के विषय पर एक कार्य बनाएं।

आज हम ज्यामिति के देश में जा रहे हैं, जहाँ हम विभिन्न प्रकार के त्रिभुजों से परिचित होंगे।

ज्यामितीय आकृतियों की जाँच करें और उनमें से "अतिरिक्त" खोजें (चित्र 1)।

चावल। 1. उदाहरण के लिए चित्रण

हम देखते हैं कि आकृतियाँ संख्या 1, 2, 3, 5 चतुर्भुज हैं। उनमें से प्रत्येक का अपना नाम है (चित्र 2)।

चावल। 2. चतुर्भुज

इसका अर्थ है कि "अतिरिक्त" आकृति एक त्रिभुज है (चित्र 3)।

चावल। 3. उदाहरण के लिए चित्रण

त्रिभुज एक आकृति है जिसमें तीन बिंदु होते हैं जो एक ही सीधी रेखा पर नहीं होते हैं, और तीन खंड इन बिंदुओं को जोड़े में जोड़ते हैं।

बिन्दु कहलाते हैं त्रिभुज शीर्ष, खंड - उसका दलों. त्रिभुज की भुजाएँ बनती हैं त्रिभुज के शीर्षों पर तीन कोण होते हैं।

त्रिभुज की मुख्य विशेषताएं हैं तीन भुजाएँ और तीन कोने।त्रिभुजों को कोण के अनुसार वर्गीकृत किया जाता है तीव्र, आयताकार और तिरछा।

एक त्रिभुज को न्यूनकोण कहा जाता है यदि उसके तीनों कोण न्यूनकोण हों, अर्थात 90 ° से कम (चित्र 4)।

चावल। 4. तीव्र त्रिभुज

एक त्रिभुज को समकोण कहा जाता है यदि उसका एक कोण 90° का हो (चित्र 5)।

चावल। 5. समकोण त्रिभुज

एक त्रिभुज को अधिक कोण कहा जाता है यदि इसका एक कोण अधिक है, अर्थात 90° से अधिक (चित्र 6)।

चावल। 6. अधिक त्रिभुज

समान भुजाओं की संख्या के अनुसार त्रिभुज समबाहु, समद्विबाहु, स्केलीन होते हैं।

एक समद्विबाहु त्रिभुज एक त्रिभुज है जिसमें दो भुजाएँ बराबर होती हैं (चित्र 7)।

चावल। 7. समद्विबाहु त्रिभुज

इन पक्षों को कहा जाता है पार्श्व, तीसरा पक्ष - आधार. एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार पर कोण बराबर होते हैं।

समद्विबाहु त्रिभुज हैं तीव्र और कुंठित(चित्र 8) .

चावल। 8. न्यून और अधिक समद्विबाहु त्रिभुज

एक समबाहु त्रिभुज कहलाता है, जिसकी तीनों भुजाएँ बराबर होती हैं (चित्र 9)।

चावल। 9. समबाहु त्रिभुज

एक समबाहु त्रिभुज में सभी कोण बराबर हैं. समबाहु त्रिभुजहमेशा तीव्र कोण वाला।

एक त्रिभुज बहुमुखी कहलाता है, जिसमें तीनों भुजाओं की अलग-अलग लंबाई होती है (चित्र 10)।

चावल। 10. विषमकोण त्रिभुज

कार्य पूरा करें। इन त्रिभुजों को तीन समूहों में बाँटिए (चित्र 11)।

चावल। 11. कार्य के लिए चित्रण

सबसे पहले, कोणों के आकार के अनुसार वितरित करते हैं।

तीव्र त्रिभुज: संख्या 1, संख्या 3।

समकोण त्रिभुज: #2, #6।

अधिक त्रिभुज: #4, #5।

इन त्रिभुजों को समान भुजाओं की संख्या के अनुसार समूहों में बांटा गया है।

विषमकोण त्रिभुज: संख्या 4, संख्या 6।

समद्विबाहु त्रिभुज: संख्या 2, संख्या 3, संख्या 5।

समबाहु त्रिभुज: संख्या 1।

रेखाचित्रों की समीक्षा करें।

इस बारे में सोचें कि प्रत्येक त्रिभुज किस तार के टुकड़े से बना है (अंजीर। 12)।

चावल। 12. कार्य के लिए चित्रण

आप इस तरह बहस कर सकते हैं।

तार का पहला टुकड़ा तीन बराबर भागों में बांटा गया है, ताकि आप इससे एक समबाहु त्रिभुज बना सकें। इसे चित्र में तीसरा दिखाया गया है।

तार का दूसरा टुकड़ा तीन अलग-अलग हिस्सों में बांटा गया है, ताकि आप इससे एक स्केलीन त्रिकोण बना सकें। इसे पहले चित्र में दिखाया गया है।

तार के तीसरे टुकड़े को तीन भागों में बांटा गया है, जहाँ दोनों भाग समान लंबाई के हैं, इसलिए आप इससे एक समद्विबाहु त्रिभुज बना सकते हैं। इसे चित्र में दूसरा दिखाया गया है।

आज के पाठ में हम विभिन्न प्रकार के त्रिभुजों से परिचित हुए।

ग्रन्थसूची

1. एम.आई. मोरो, एमए बंटोवा और अन्य गणित: पाठ्यपुस्तक। ग्रेड 3: 2 भागों में, भाग 1। - एम।: "ज्ञानोदय", 2012।
2. एम.आई. मोरो, एमए बंटोवा और अन्य गणित: पाठ्यपुस्तक। ग्रेड 3: 2 भागों में, भाग 2। - एम।: "ज्ञानोदय", 2012।
3. एम.आई. मोरो। गणित के पाठ: शिक्षकों के लिए दिशानिर्देश। ग्रेड 3 - एम .: शिक्षा, 2012।
4. नियामक दस्तावेज। सीखने के परिणामों की निगरानी और मूल्यांकन। - एम .: "ज्ञानोदय", 2011।
5. "रूस का स्कूल": प्राथमिक विद्यालय के लिए कार्यक्रम। - एम .: "ज्ञानोदय", 2011।
6. एस.आई. वोल्कोव। गणित: परीक्षण कार्य। ग्रेड 3 - एम .: शिक्षा, 2012।
7. वी.एन. रुडनित्सकाया। परीक्षण। - एम .: "परीक्षा", 2012।

1. Nsportal.ru ()।
2. Prosv.ru ()।
3. Do.gendocs.ru ()।

होम वर्क

1. वाक्यांश समाप्त करें।

a) त्रिभुज एक ऐसी आकृति है जिसमें ..., एक ही सीधी रेखा पर न पड़े हुए हों, और ..., इन बिंदुओं को जोड़ियों में जोड़ते हैं।

b) बिन्दु कहलाते हैं … , खंड - उसका … . त्रिभुज की भुजाएँ त्रिभुज के शीर्षों पर बनती हैं ….

c) कोण के आकार के अनुसार त्रिभुज ..., ..., .... होते हैं।

d) बराबर भुजाओं की संख्या के अनुसार त्रिभुज ..., ..., ... होते हैं।

2. ड्रा

ए) एक सही त्रिकोण

बी) एक तीव्र त्रिकोण;

ग) एक अधिक त्रिभुज;

घ) एक समबाहु त्रिभुज;

ई) स्केलीन त्रिकोण;

ई) एक समद्विबाहु त्रिभुज।

3. अपने साथियों के लिए पाठ के विषय पर एक कार्य बनाएं।

गणित का अध्ययन करते समय, छात्र विभिन्न प्रकार से परिचित होने लगते हैं ज्यामितीय आकार. आज हम बात करेंगे विभिन्न प्रकार केत्रिभुज।

परिभाषा

ऐसी ज्यामितीय आकृतियाँ जिनमें तीन बिंदु होते हैं जो एक ही सीधी रेखा पर नहीं होते हैं, त्रिभुज कहलाते हैं।

बिन्दुओं को जोड़ने वाले रेखाखंडों को भुजाएँ तथा बिन्दुओं को शीर्ष कहते हैं। शीर्षों को बड़े लैटिन अक्षरों से दर्शाया जाता है, उदाहरण के लिए: ए, बी, सी।

पक्षों को उन दो बिंदुओं के नामों से दर्शाया जाता है जिनमें वे शामिल हैं - एबी, बीसी, एसी। प्रतिच्छेद करते हुए, भुजाएँ कोण बनाती हैं। नीचे की ओर को आकृति का आधार माना जाता है।

चावल। 1. त्रिभुज एबीसी।

त्रिभुजों के प्रकार

त्रिभुजों को कोणों और भुजाओं के अनुसार वर्गीकृत किया जाता है। प्रत्येक प्रकार के त्रिभुज के अपने गुण होते हैं।

कोनों में तीन प्रकार के त्रिभुज होते हैं:

• तीव्र कोण;
• आयताकार;
• कुंद।

सभी कोण तीव्र कोणत्रिभुज न्यून होते हैं, अर्थात प्रत्येक का अंश माप 90 0 से अधिक नहीं होता है।

आयताकारत्रिभुज में एक समकोण होता है। अन्य दो कोण हमेशा न्यून होंगे, क्योंकि अन्यथा त्रिभुज के कोणों का योग 180 डिग्री से अधिक हो जाएगा, जो असंभव है। समकोण के विपरीत पक्ष को कर्ण कहा जाता है, और अन्य दो पैर। कर्ण हमेशा पैर से बड़ा होता है।

कुंठितत्रिभुज में एक अधिक कोण होता है। यानी 90 डिग्री से अधिक का कोण। ऐसे त्रिभुज में अन्य दो कोण न्यूनकोण होंगे।

चावल। 2. कोनों में त्रिभुजों के प्रकार।

पाइथागोरस त्रिभुज एक आयत है जिसकी भुजाएँ 3, 4, 5 हैं।

इसके अलावा, बड़ा पक्ष कर्ण है।

ऐसे त्रिभुजों का उपयोग अक्सर ज्यामिति में साधारण समस्याओं की रचना के लिए किया जाता है। इसलिए, याद रखें: यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाएँ 3 हैं, तो तीसरी निश्चित रूप से 5 होगी। इससे गणना सरल हो जाएगी।

भुजाओं पर त्रिभुजों के प्रकार:

• समबाहु;
• समद्विबाहु;
• बहुमुखी।

समभुजत्रिभुज एक त्रिभुज है जिसकी सभी भुजाएँ बराबर होती हैं। ऐसे त्रिभुज के सभी कोण 60 0 के बराबर होते हैं, अर्थात यह हमेशा न्यूनकोण होता है।

समद्विबाहुएक त्रिभुज एक त्रिभुज है जिसमें केवल दो बराबर भुजाएँ होती हैं। इन पक्षों को पार्श्व कहा जाता है, और तीसरा - आधार। इसके अलावा, एक समद्विबाहु त्रिभुज के आधार पर कोण बराबर और हमेशा न्यून होते हैं।

बहुमुखीया एक मनमाना त्रिभुज एक त्रिभुज है जिसमें सभी लंबाई और सभी कोण एक दूसरे के बराबर नहीं होते हैं।

यदि समस्या में आकृति के बारे में कोई स्पष्टीकरण नहीं है, तो आमतौर पर यह स्वीकार किया जाता है कि हम एक मनमाना त्रिभुज के बारे में बात कर रहे हैं।

चावल। 3. भुजाओं पर त्रिभुजों के प्रकार।

एक त्रिभुज के सभी कोणों का योग, चाहे वह किसी भी प्रकार का हो, 1800 है।

बड़े कोण के विपरीत बड़ा पक्ष है। और साथ ही किसी भी भुजा की लंबाई उसकी अन्य दो भुजाओं के योग से हमेशा कम होती है। इन गुणों की पुष्टि त्रिभुज असमानता प्रमेय द्वारा की जाती है।

एक स्वर्ण त्रिभुज की अवधारणा है। यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें दो भुजाएँ आधार के समानुपाती और एक निश्चित संख्या के बराबर होती हैं। ऐसी आकृति में, कोण 2:2:1 के अनुपात के समानुपाती होते हैं।

कार्य:

क्या कोई त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ 6 सेमी, 3 सेमी, 4 सेमी हैं?

समाधान:

इस कार्य को हल करने के लिए, आपको असमानता का उपयोग करने की आवश्यकता है a

हमने क्या सीखा?

5वीं कक्षा के गणित पाठ्यक्रम की इस सामग्री से हमने सीखा कि त्रिभुजों को भुजाओं और कोणों द्वारा वर्गीकृत किया जाता है। त्रिभुजों में कुछ गुण होते हैं जिनका उपयोग समस्याओं को हल करते समय किया जा सकता है।