स्केलीन त्रिभुज परिभाषा त्रिभुज। संपूर्ण पाठ - ज्ञान हाइपरमार्केट

गणित का अध्ययन करते समय, छात्र विभिन्न प्रकार की ज्यामितीय आकृतियों से परिचित होने लगते हैं। आज हम विभिन्न प्रकार के त्रिभुजों के बारे में बात करेंगे।

परिभाषा

ऐसी ज्यामितीय आकृतियाँ जिनमें तीन बिंदु होते हैं जो एक ही सीधी रेखा पर नहीं होते हैं, त्रिभुज कहलाते हैं।

बिन्दुओं को जोड़ने वाले रेखाखंडों को भुजाएँ तथा बिन्दुओं को शीर्ष कहते हैं। शीर्षों को बड़े . से चिह्नित किया गया है लैटिन अक्षरों के साथउदाहरण के लिए: ए, बी, सी।

पक्षों को उन दो बिंदुओं के नामों से दर्शाया जाता है जिनमें वे शामिल हैं - एबी, बीसी, एसी। प्रतिच्छेद करते हुए, भुजाएँ कोण बनाती हैं। नीचे की ओर को आकृति का आधार माना जाता है।

चावल। 1. त्रिभुज एबीसी।

त्रिभुजों के प्रकार

त्रिभुजों को कोणों और भुजाओं के अनुसार वर्गीकृत किया जाता है। प्रत्येक प्रकार के त्रिभुज के अपने गुण होते हैं।

कोनों में तीन प्रकार के त्रिभुज होते हैं:

• तीव्र कोण;
• आयताकार;
• कुंद।

सभी कोण तीव्र कोणत्रिभुज न्यून होते हैं, अर्थात प्रत्येक का अंश माप 90 0 से अधिक नहीं होता है।

आयताकारत्रिभुज में एक समकोण होता है। अन्य दो कोण हमेशा न्यून होंगे, क्योंकि अन्यथा त्रिभुज के कोणों का योग 180 डिग्री से अधिक हो जाएगा, जो असंभव है। समकोण के विपरीत पक्ष को कर्ण कहा जाता है, और अन्य दो पैर। कर्ण हमेशा पैर से बड़ा होता है।

कुंठितत्रिभुज में एक अधिक कोण होता है। यानी 90 डिग्री से अधिक का कोण। ऐसे त्रिभुज में अन्य दो कोण न्यूनकोण होंगे।

चावल। 2. कोनों में त्रिभुजों के प्रकार।

पाइथागोरस त्रिभुज एक आयत है जिसकी भुजाएँ 3, 4, 5 हैं।

इसके अलावा, बड़ा पक्ष कर्ण है।

ऐसे त्रिभुजों का उपयोग अक्सर ज्यामिति में साधारण समस्याओं की रचना के लिए किया जाता है। इसलिए, याद रखें: यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाएँ 3 हैं, तो तीसरी निश्चित रूप से 5 होगी। इससे गणना सरल हो जाएगी।

भुजाओं पर त्रिभुजों के प्रकार:

• समबाहु;
• समद्विबाहु;
• बहुमुखी।

समभुजत्रिभुज एक त्रिभुज है जिसकी सभी भुजाएँ बराबर होती हैं। ऐसे त्रिभुज के सभी कोण 60 0 के बराबर होते हैं, अर्थात यह हमेशा न्यूनकोण होता है।

समद्विबाहुएक त्रिभुज एक त्रिभुज है जिसमें केवल दो बराबर भुजाएँ होती हैं। इन पक्षों को पार्श्व कहा जाता है, और तीसरा - आधार। इसके अलावा, एक समद्विबाहु त्रिभुज के आधार पर कोण बराबर और हमेशा न्यून होते हैं।

बहुमुखीया एक मनमाना त्रिभुज एक त्रिभुज है जिसमें सभी लंबाई और सभी कोण एक दूसरे के बराबर नहीं होते हैं।

यदि समस्या में आकृति के बारे में कोई स्पष्टीकरण नहीं है, तो आमतौर पर यह स्वीकार किया जाता है कि हम एक मनमाना त्रिभुज के बारे में बात कर रहे हैं।

चावल। 3. भुजाओं पर त्रिभुजों के प्रकार।

एक त्रिभुज के सभी कोणों का योग, चाहे वह किसी भी प्रकार का हो, 1800 है।

बड़े कोण के विपरीत बड़ा पक्ष है। और साथ ही किसी भी भुजा की लंबाई उसकी अन्य दो भुजाओं के योग से हमेशा कम होती है। इन गुणों की पुष्टि त्रिभुज असमानता प्रमेय द्वारा की जाती है।

एक स्वर्ण त्रिभुज की अवधारणा है। इस समद्विबाहु त्रिकोण, जिसकी दो भुजाएँ आधार के समानुपाती हों और एक निश्चित संख्या के बराबर हों। ऐसी आकृति में, कोण 2:2:1 के अनुपात के समानुपाती होते हैं।

कार्य:

क्या कोई त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ 6 सेमी, 3 सेमी, 4 सेमी हैं?

समाधान:

इस कार्य को हल करने के लिए, आपको असमानता का उपयोग करने की आवश्यकता है a

हमने क्या सीखा?

5वीं कक्षा के गणित पाठ्यक्रम की इस सामग्री से हमने सीखा कि त्रिभुजों को भुजाओं और कोणों द्वारा वर्गीकृत किया जाता है। त्रिभुजों में कुछ गुण होते हैं जिनका उपयोग समस्याओं को हल करते समय किया जा सकता है।

त्रिकोणएक बहुभुज है जिसमें 3 भुजाएँ (या 3 कोने) हैं। त्रिभुज की भुजाओं को अक्सर छोटे अक्षरों से दर्शाया जाता है, जो के अनुरूप होते हैं बड़े अक्षरउल्टे शीर्षों को निरूपित करते हुए।

न्यून त्रिकोणत्रिभुज कहलाता है यदि तीनों कोण न्यूनकोण हों।

अधिक त्रिभुजएक त्रिभुज कहलाता है जिसमें एक कोण अधिक होता है।

सही त्रिकोणएक त्रिभुज कहलाता है, जिसमें एक कोण समकोण होता है, दूसरे शब्दों में यह 90 ° के बराबर होता है; एक समकोण बनाने वाली भुजाएँ a, b कहलाती हैं पैर; समकोण के विपरीत भुजा c को कहा जाता है कर्ण.

समद्विबाहु त्रिकोणएक त्रिभुज कहलाता है, जिसमें इसकी दो भुजाएँ बराबर होती हैं (a \u003d c); इन समान भुजाओं को कहा जाता है पार्श्व, तीसरा पक्ष कहा जाता है त्रिभुज का आधार.

समभुज त्रिकोणएक त्रिभुज कहलाता है, जिसमें इसकी सभी भुजाएँ समान होती हैं (a \u003d b \u003d c)। उस स्थिति में, त्रिभुज में इसकी कोई भी भुजा (abc) बराबर नहीं है, तो यह है असमान त्रिभुज.

त्रिभुजों की मुख्य विशेषताएं

किसी भी त्रिभुज में:

एक बड़ा कोण बड़ी भुजा के विपरीत होता है, और इसके विपरीत।

विरुद्ध बराबर पक्षझूठ समान कोण, और इसके विपरीत। अर्थात् एक समबाहु त्रिभुज में सभी कोण बराबर होते हैं।

एक त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है।

त्रिभुज की किसी एक भुजा को जारी रखते हुए, हमें बाहरी कोना मिलता है। किसी त्रिभुज का बहिष्कोण उसके निकट न लगे अंतःकोणों के योग के बराबर होता है।

इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि त्रिभुज की कौन सी भुजा 2 अन्य भुजाओं के योग से कम है और उनके अंतर से अधिक है (a b - c; b a - c; c a - b)।

त्रिभुजों की समानता के लक्षण

त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं, इस स्थिति में वे क्रमशः बराबर होते हैं:

दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण;

दो कोने और उनके बगल में;

तीन पक्ष।

समकोण त्रिभुजों की समानता के लक्षण

दो समकोण त्रिभुज समान होते हैं, इस स्थिति में निम्नलिखित में से एक मानदंड उत्पन्न होता है:

उनके पैर बराबर हैं;

पहले त्रिभुज का पैर और कर्ण दूसरे के पैर और कर्ण के बराबर हैं;

पहले त्रिभुज का कर्ण और न्यून कोण दूसरे त्रिभुज के कर्ण और न्यून कोण के बराबर हैं;

पहले त्रिभुज का पैर और आसन्न तीव्र कोण दूसरे के पैर और आसन्न तीव्र कोण के बराबर हैं;

पहले त्रिभुज का पैर और विपरीत न्यून कोण पैर के बराबर और दूसरे त्रिभुज का विपरीत न्यून कोण है।

कदत्रिकोणकिसी भी शीर्ष से गिराया गया एक लंबवत है विपरीत पक्ष(या इसकी निरंतरता)। इस पक्ष को कहा जाता है त्रिभुज का आधार. त्रिभुज की तीन ऊँचाइयाँ हमेशा एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, जिसे कहा जाता है त्रिभुज ऑर्थोसेंटर.

एक न्यून त्रिभुज का लम्बकेन्द्र त्रिभुज के अंदर रखा गया है, और एक अधिक त्रिभुज का लंबकेन्द्र बाहर रखा गया है; एक समकोण त्रिभुज का लंबकेन्द्र समकोण के शीर्ष के साथ मेल खाता है।

मंझलात्रिभुज के किसी भी शीर्ष को विपरीत भुजा के मध्य बिंदु से जोड़ने वाला एक रेखाखंड है। एक त्रिभुज की तीन माध्यिकाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, जो हमेशा त्रिभुज के अंदर स्थित होती है और इसका द्रव्यमान केंद्र होता है। यह बिंदु प्रत्येक माध्यिका को ऊपर से 2:1 विभाजित करता है।

द्विभाजक- यह शीर्ष से कोण के द्विभाजक का एक खंड है जो पीछे की ओर से चौराहे के बिंदु तक है। एक त्रिभुज के तीन समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, जो हमेशा त्रिभुज के अंदर स्थित होता है और उत्कीर्ण वृत्त का केंद्र होता है। द्विभाजक रिवर्स साइड को आसन्न पक्षों के आनुपातिक भागों में विभाजित करता है।

माध्य लंबवतखंड (भुजा) के मध्य बिंदु से खींचा गया एक लंबवत है। त्रिभुज के तीन माध्य लम्ब एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, जो परिबद्ध वृत्त का केंद्र है।

वी न्यून त्रिकोणयह बिंदु त्रिभुज के अंदर, एक अधिक त्रिभुज में - बाहर, एक आयताकार में - कर्ण के बीच में स्थित है। ऑर्थोसेंटर, द्रव्यमान का केंद्र, परिचालित सर्कल का केंद्र और खुदा हुआ सर्कल का केंद्र विशेष रूप से एक समबाहु त्रिभुज में मेल खाता है।

पाइथागोरस का अभिगृहीत

वी सही त्रिकोणकर्ण की लंबाई का वर्ग पैरों की लंबाई के वर्गों के योग के बराबर है।

पाइथागोरस स्वयंसिद्ध की पुष्टि

कर्ण AB को भुजा मानकर वर्ग AKMB की रचना कीजिए। फिर हम समकोण त्रिभुज ABC की भुजाओं को जारी रखते हैं ताकि वर्ग CDEF प्राप्त हो, जिसकी भुजा a + b है। अब यह स्पष्ट है कि वर्ग CDEF का क्षेत्रफल (a + b) 2 है। दूसरी ओर, यह क्षेत्रफल चार समकोण त्रिभुजों और वर्ग AKMB के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है, दूसरे शब्दों में,

सी 2 + 4 (एबी / 2) = सी 2 + 2 एबी,

सी 2 + 2 एबी = (ए + बी) 2,

और हमारे पास है:

सी 2 = ए 2 + बी 2।

एक यादृच्छिक त्रिभुज में पक्षानुपात

वी सामान्य मामला(एक यादृच्छिक त्रिभुज के लिए) हमारे पास है:

सी 2 \u003d ए 2 + बी 2 - 2 एबी * कॉस सी,

जहाँ C भुजा a और b के बीच का कोण है।

School-club.ru - त्रिकोण क्या हैं?

math.ru - त्रिभुजों के प्रकार;

raduga.rkc-74.ru - सभी छोटे लोगों के लिए त्रिकोण के बारे में।

साइट पर अतिरिक्त:

त्रिभुजों को कैसे वर्गीकृत किया जाता है?

त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें?

समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें?

त्रिभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या कैसे ज्ञात करें?

त्रिभुज के चारों ओर परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या कैसे ज्ञात करें?

कोज्या के अभिगृहीत को कैसे सिद्ध करें?

आज हम ज्यामिति के देश में जा रहे हैं, जहाँ हम विभिन्न प्रकार के त्रिभुजों से परिचित होंगे।

विचार करना ज्यामितीय आंकड़ेऔर उनमें से "अतिरिक्त" (चित्र 1) खोजें।

चावल। 1. उदाहरण के लिए चित्रण

हम देखते हैं कि आकृतियाँ संख्या 1, 2, 3, 5 चतुर्भुज हैं। उनमें से प्रत्येक का अपना नाम है (चित्र 2)।

चावल। 2. चतुर्भुज

इसका अर्थ है कि "अतिरिक्त" आकृति एक त्रिभुज है (चित्र 3)।

चावल। 3. उदाहरण के लिए चित्रण

त्रिभुज एक आकृति है जिसमें तीन बिंदु होते हैं जो एक ही सीधी रेखा पर नहीं होते हैं, और तीन रेखा खंड इन बिंदुओं को जोड़े में जोड़ते हैं।

बिन्दु कहलाते हैं त्रिभुज शीर्ष, खंड - उसका दलों. त्रिभुज की भुजाएँ बनती हैं त्रिभुज के शीर्षों पर तीन कोण होते हैं।

त्रिभुज की मुख्य विशेषताएं हैं तीन भुजाएँ और तीन कोने।त्रिभुजों को कोण के अनुसार वर्गीकृत किया जाता है तीव्र, आयताकार और तिरछा।

एक त्रिभुज को न्यूनकोण कहा जाता है यदि उसके तीनों कोण न्यूनकोण हों, अर्थात 90 ° से कम (चित्र 4)।

चावल। 4. तीव्र त्रिभुज

एक त्रिभुज को समकोण कहा जाता है यदि उसका एक कोण 90° का हो (चित्र 5)।

चावल। 5. समकोण त्रिभुज

एक त्रिभुज को अधिक कोण कहा जाता है यदि इसका एक कोण अधिक है, अर्थात 90° से अधिक (चित्र 6)।

चावल। 6. अधिक त्रिभुज

समान भुजाओं की संख्या के अनुसार त्रिभुज समबाहु, समद्विबाहु, स्केलीन होते हैं।

एक समद्विबाहु त्रिभुज एक त्रिभुज है जिसमें दो भुजाएँ बराबर होती हैं (चित्र 7)।

चावल। 7. समद्विबाहु त्रिभुज

इन पक्षों को कहा जाता है पार्श्व, तीसरा पक्ष - आधार. एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार पर कोण बराबर होते हैं।

समद्विबाहु त्रिभुज हैं तीव्र और कुंठित(चित्र 8) .

चावल। 8. न्यून और अधिक समद्विबाहु त्रिभुज

एक समबाहु त्रिभुज कहलाता है, जिसकी तीनों भुजाएँ बराबर होती हैं (चित्र 9)।

चावल। 9. समबाहु त्रिभुज

एक समबाहु त्रिभुज में सभी कोण बराबर हैं. समबाहु त्रिभुजहमेशा तीव्र कोण वाला।

एक त्रिभुज बहुमुखी कहलाता है, जिसमें तीनों भुजाओं की अलग-अलग लंबाई होती है (चित्र 10)।

चावल। 10. विषमकोण त्रिभुज

कार्य पूरा करें। इन त्रिभुजों को तीन समूहों में बाँटिए (चित्र 11)।

चावल। 11. कार्य के लिए चित्रण

सबसे पहले, कोणों के आकार के अनुसार वितरित करते हैं।

तीव्र त्रिभुज: संख्या 1, संख्या 3।

समकोण त्रिभुज: #2, #6।

अधिक त्रिभुज: #4, #5।

इन त्रिभुजों को समान भुजाओं की संख्या के अनुसार समूहों में बांटा गया है।

विषमकोण त्रिभुज: संख्या 4, संख्या 6।

समद्विबाहु त्रिभुज: संख्या 2, संख्या 3, संख्या 5।

समबाहु त्रिभुज: संख्या 1।

रेखाचित्रों की समीक्षा करें।

इस बारे में सोचें कि प्रत्येक त्रिभुज किस तार के टुकड़े से बना है (अंजीर। 12)।

चावल। 12. कार्य के लिए चित्रण

आप इस तरह बहस कर सकते हैं।

तार का पहला टुकड़ा तीन बराबर भागों में बांटा गया है, ताकि आप इससे एक समबाहु त्रिभुज बना सकें। इसे चित्र में तीसरा दिखाया गया है।

तार का दूसरा टुकड़ा तीन अलग-अलग हिस्सों में बांटा गया है, ताकि आप इससे एक स्केलीन त्रिकोण बना सकें। इसे पहले चित्र में दिखाया गया है।

तार के तीसरे टुकड़े को तीन भागों में बांटा गया है, जहाँ दोनों भाग समान लंबाई के हैं, इसलिए आप इससे एक समद्विबाहु त्रिभुज बना सकते हैं। इसे चित्र में दूसरा दिखाया गया है।

आज के पाठ में हम विभिन्न प्रकार के त्रिभुजों से परिचित हुए।

ग्रन्थसूची

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होम वर्क

1. वाक्यांश समाप्त करें।

a) त्रिभुज एक ऐसी आकृति है जिसमें ..., एक ही सीधी रेखा पर न पड़े हुए हों, और ..., इन बिंदुओं को जोड़ियों में जोड़ते हैं।

b) बिन्दु कहलाते हैं … , खंड - उसका … . त्रिभुज की भुजाएँ त्रिभुज के शीर्षों पर बनती हैं ….

c) कोण के आकार के अनुसार त्रिभुज ..., ..., .... होते हैं।

d) बराबर भुजाओं की संख्या के अनुसार त्रिभुज ..., ..., ... होते हैं।

2. ड्रा

ए) एक सही त्रिकोण

बी) एक तीव्र त्रिकोण;

ग) एक अधिक त्रिभुज;

घ) एक समबाहु त्रिभुज;

ई) स्केलीन त्रिकोण;

ई) एक समद्विबाहु त्रिभुज।

3. अपने साथियों के लिए पाठ के विषय पर एक कार्य बनाएं।

शायद ज्यामिति में सबसे बुनियादी, सरल और दिलचस्प आकृति एक त्रिभुज है। मैं जानती हूँ उच्च विद्यालयइसके मुख्य गुणों का अध्ययन किया जाता है, लेकिन कभी-कभी इस विषय पर ज्ञान अधूरा बनता है। त्रिभुजों के प्रकार प्रारंभ में उनके गुणों का निर्धारण करते हैं। लेकिन यह दृश्य मिश्रित रहता है। तो आइए अब इस विषय पर करीब से नज़र डालते हैं।

त्रिभुजों के प्रकार कोणों की डिग्री माप पर निर्भर करते हैं। ये आकृतियाँ न्यून, आयताकार और तिरछी हैं। यदि सभी कोण 90 डिग्री से अधिक नहीं हैं, तो आकृति को सुरक्षित रूप से न्यूनकोण कहा जा सकता है। यदि त्रिभुज का कम से कम एक कोण 90 डिग्री है, तो आप एक आयताकार उप-प्रजाति के साथ काम कर रहे हैं। तद्नुसार, अन्य सभी मामलों में, जो माना जाता है उसे अधिक कोण वाला कहा जाता है।

तीव्र कोण वाली उप-प्रजातियों के लिए कई कार्य हैं। बानगीद्विभाजक, माध्यिका और ऊँचाई के प्रतिच्छेदन बिंदुओं का आंतरिक स्थान है। अन्य मामलों में, यह शर्त पूरी नहीं हो सकती है। आकृति "त्रिकोण" के प्रकार का निर्धारण करना मुश्किल नहीं है। उदाहरण के लिए, प्रत्येक कोण की कोज्या जानना पर्याप्त है। यदि कोई मान शून्य से कम, इसलिए त्रिभुज किसी भी स्थिति में तिरछा है। शून्य घातांक के मामले में, आकृति का एक समकोण होता है। सभी सकारात्मक मूल्यों को आपको यह बताने की गारंटी है कि आपके पास एक तीव्र कोण वाला दृष्टिकोण है।

के बारे में नहीं कहा जा सकता सही त्रिकोण. यह सबसे आदर्श दृश्य है, जहाँ माध्यिका, समद्विभाजक और ऊँचाई के सभी प्रतिच्छेदन बिंदु मेल खाते हैं। उत्कीर्ण और परिबद्ध वृत्तों का केंद्र भी एक ही स्थान पर स्थित है। समस्याओं को हल करने के लिए, आपको केवल एक पक्ष जानने की जरूरत है, क्योंकि शुरू में कोण आपके लिए निर्धारित होते हैं, और अन्य दो पक्ष ज्ञात होते हैं। यानी आंकड़ा केवल एक पैरामीटर द्वारा दिया गया है। वे हैं मुख्य विशेषता- आधार पर दो भुजाओं और कोणों की समानता।

कभी-कभी यह प्रश्न होता है कि दी गई भुजाओं वाला कोई त्रिभुज है या नहीं। आप वास्तव में क्या पूछ रहे हैं कि क्या यह विवरण मुख्य प्रजातियों में फिट बैठता है। उदाहरण के लिए, यदि दो भुजाओं का योग तीसरे से कम है, तो वास्तव में ऐसी कोई आकृति नहीं होती है। यदि कार्य 3,5,9 भुजाओं वाले त्रिभुज के कोणों की कोज्या खोजने के लिए कहता है, तो यहाँ स्पष्ट को जटिल गणितीय तरकीबों के बिना समझाया जा सकता है। मान लीजिए आप बिंदु A से बिंदु B तक जाना चाहते हैं। एक सीधी रेखा में दूरी 9 किलोमीटर है। हालाँकि, आपको याद आया कि आपको स्टोर में बिंदु C पर जाने की आवश्यकता है। ए से सी की दूरी 3 किलोमीटर है, और सी से बी - 5। इस प्रकार, यह पता चला है कि जब आप स्टोर से गुजरते हैं, तो आप एक किलोमीटर कम चलेंगे। लेकिन चूंकि बिंदु C रेखा AB पर स्थित नहीं है, इसलिए आपको एक अतिरिक्त दूरी तय करनी होगी। यहां एक विरोधाभास पैदा होता है। बेशक, यह एक काल्पनिक व्याख्या है। गणित यह साबित करने के एक से अधिक तरीके जानता है कि सभी प्रकार के त्रिभुज मूल पहचान का पालन करते हैं। यह कहता है कि दो भुजाओं का योग तीसरे की लंबाई से अधिक होता है।

प्रत्येक प्रकार में निम्नलिखित गुण होते हैं:

1) सभी कोणों का योग 180 डिग्री होता है।

2) हमेशा एक ऑर्थोसेंटर होता है - तीनों ऊंचाइयों का प्रतिच्छेदन बिंदु।

3) आंतरिक कोणों के शीर्षों से खींची गई तीनों माध्यिकाएं एक ही स्थान पर प्रतिच्छेद करती हैं।

4) किसी भी त्रिभुज के चारों ओर एक वृत्त परिबद्ध किया जा सकता है। एक वृत्त को अंकित करना भी संभव है ताकि उसके संपर्क के केवल तीन बिंदु हों और वह बाहरी पक्षों से आगे न जाए।

अब आप मुख्य गुणों से परिचित हो गए हैं कि विभिन्न प्रकारत्रिभुज। भविष्य में, यह समझना महत्वपूर्ण है कि किसी समस्या को हल करते समय आप किससे निपट रहे हैं।

त्रिभुज

त्रिकोणएक आकृति एक आकृति कहलाती है जिसमें तीन बिंदु होते हैं जो एक सीधी रेखा पर नहीं होते हैं, और तीन खंड इन बिंदुओं को जोड़े में जोड़ते हैं। बिन्दु कहलाते हैं चोटियोंत्रिभुज, और खंड - इसके दलों।

त्रिभुजों के प्रकार

त्रिभुज कहलाता है समद्विबाहुयदि इसकी दोनों भुजाएँ बराबर हों। ये समान भुजाएँ कहलाती हैं पक्ष,और तीसरे पक्ष को कहा जाता है आधारत्रिकोण।

एक त्रिभुज जिसकी सभी भुजाएँ बराबर होती हैं, कहलाता है समभुजया सही।

त्रिभुज कहलाता है आयताकार,यदि इसका एक समकोण है, तो एक 90° का कोण होता है। समकोण के सम्मुख समकोण त्रिभुज की भुजा कहलाती है कर्णअन्य दो पक्षों को कहा जाता है पैर।

त्रिभुज कहलाता है तीव्र कोणयदि इसके तीनों कोण न्यूनकोण हैं, अर्थात 90° से कम हैं।

त्रिभुज कहलाता है कुटिल,यदि इसका एक कोण अधिक है, अर्थात 90° से अधिक है।

त्रिभुज की मुख्य रेखाएँ

मंझला

मंझलात्रिभुज एक रेखा खंड है जो त्रिभुज के शीर्ष को इस त्रिभुज की विपरीत भुजा के मध्य बिंदु से जोड़ता है।

त्रिभुज माध्यिका गुण

माध्यिका त्रिभुज को एक ही क्षेत्रफल के दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।

एक त्रिभुज की माध्यिकाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, जो उनमें से प्रत्येक को ऊपर से गिनते हुए 2:1 के अनुपात में विभाजित करती है। इस बिंदु को कहा जाता है ग्रैविटी केंद्रत्रिकोण।

संपूर्ण त्रिभुज को उसकी माध्यिकाओं द्वारा छह समान त्रिभुजों में विभाजित किया जाता है।

द्विभाजक

कोण द्विभाजकएक किरण है जो अपने शीर्ष से आती है, अपनी भुजाओं के बीच से गुजरती है और दिए गए कोण को समद्विभाजित करती है। त्रिभुज समद्विभाजकत्रिभुज के एक कोण के समद्विभाजक के एक शीर्ष को त्रिभुज के विपरीत दिशा में एक बिंदु से जोड़ने वाले खंड को कहा जाता है।

त्रिभुज द्विभाजक गुण

कद

कदत्रिभुज के शीर्ष से इस त्रिभुज की सम्मुख भुजा वाली रेखा पर खींचा गया लम्ब त्रिभुज कहलाता है।

त्रिभुज ऊंचाई गुण

वी सही त्रिकोणएक समकोण के शीर्ष से खींची गई ऊँचाई इसे दो त्रिभुजों में विभाजित करती है, एक जैसामूल।

वी न्यून त्रिकोणउसकी दो ऊँचाइयाँ उस से कटी हुई हैं एक जैसात्रिभुज।

माध्य लंबवत

किसी खंड के लम्ब के मध्य बिंदु से गुजरने वाली रेखा कहलाती है दंडवत द्विभाजकखंड के लिए .

त्रिभुज के लम्ब समद्विभाजकों के गुण

एक खंड के लंबवत द्विभाजक का प्रत्येक बिंदु इस खंड के सिरों से समान दूरी पर है। विलोम कथन भी सत्य है: खंड के सिरों से समदूरस्थ प्रत्येक बिंदु इसके लम्ब समद्विभाजक पर स्थित होता है।

त्रिभुज की भुजाओं पर खींचे गए मध्यलंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु केंद्र है इस त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त.

मध्य पंक्ति

त्रिभुज की मध्य रेखाइसकी दो भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाला रेखाखण्ड कहलाता है।

त्रिभुज की मध्य रेखा का गुण

किसी त्रिभुज की मध्य रेखा उसकी एक भुजा के समांतर होती है और उस भुजा के आधे के बराबर होती है।

सूत्र और अनुपात

त्रिभुजों की समानता के लक्षण

दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं यदि वे क्रमशः सर्वांगसम हों:

दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण;

दो कोने और उनसे सटे एक पक्ष;

तीन पक्ष।

समकोण त्रिभुजों की समानता के लक्षण

दो सही त्रिकोणबराबर हैं यदि वे क्रमशः बराबर हैं:

कर्णऔर न्यून कोण

टांगऔर विपरीत कोने;

टांगऔर आसन्न कोण;

दो टांग;

कर्णतथा टांग.

त्रिभुजों की समानता

दो त्रिभुज समान हैयदि निम्न में से कोई एक शर्त पूरी होती है, तो कहा जाता है समानता के संकेत:

एक त्रिभुज के दो कोण दूसरे त्रिभुज के दो कोणों के बराबर होते हैं;

एक त्रिभुज की दो भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं के समानुपाती होती हैं, और इन भुजाओं से बनने वाले कोण बराबर होते हैं;

एक त्रिभुज की तीन भुजाएँ क्रमशः दूसरे त्रिभुज की तीनों भुजाओं के समानुपाती होती हैं।

समरूप त्रिभुजों में, संगत रेखाएँ ( ऊंचाइयों, माध्यिकाओं, समद्विभाजकआदि) आनुपातिक हैं।

ज्या प्रमेय

त्रिभुज की भुजाएँ विपरीत कोणों की ज्याओं के समानुपाती होती हैं, और आनुपातिकता का गुणांक है व्यास एक त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त:

कोसाइन प्रमेय

एक त्रिभुज की एक भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है, जो उन भुजाओं के गुणनफल से उनके बीच के कोण के गुणनफल का दोगुना होता है:

ए 2 = बी 2 + सी 2 - 2बीसीक्योंकि

त्रिभुज क्षेत्र सूत्र

मनमाना त्रिकोण

ए, बी, सी -पक्ष; - भुजाओं के बीच का कोण एतथा बी; - अर्ध-परिधि; आर-परिचालित वृत्त की त्रिज्या; आर-खुदा वृत्त की त्रिज्या; एस-वर्ग; एच ए - ऊंचाई की ओर ए.