समकोण त्रिभुज में कोण की ज्या क्या होती है? त्रिकोणमितीय फलन खोजने के नियम: साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट

इस लेख में हम बताएंगे कि कैसे देना है त्रिकोणमिति में किसी कोण और संख्या की ज्या, कोज्या, स्पर्शज्या और कोटैंजेन्ट की परिभाषाएँ. यहां हम नोटेशन के बारे में बात करेंगे, प्रविष्टियों के उदाहरण देंगे और ग्राफिक चित्रण देंगे। निष्कर्ष में, आइए हम त्रिकोणमिति और ज्यामिति में साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की परिभाषाओं के बीच एक समानांतर रेखा बनाएं।

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साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की परिभाषा

आइए देखें कि स्कूली गणित पाठ्यक्रम में साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट का विचार कैसे बनता है। ज्यामिति पाठों में, एक समकोण त्रिभुज में न्यून कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्शज्या और कोटैंजेन्ट की परिभाषा दी जाती है। और बाद में त्रिकोणमिति का अध्ययन किया जाता है, जो घूर्णन कोण और संख्या के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के बारे में बात करता है। आइए हम ये सभी परिभाषाएँ प्रस्तुत करें, उदाहरण दें और आवश्यक टिप्पणियाँ दें।

समकोण त्रिभुज में न्यूनकोण

ज्यामिति पाठ्यक्रम से हम एक समकोण त्रिभुज में न्यून कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्शज्या और कोटैंजेन्ट की परिभाषाएँ जानते हैं। इन्हें एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात के रूप में दिया गया है। आइए हम उनके सूत्रीकरण दें।

परिभाषा।

समकोण त्रिभुज में न्यून कोण की ज्याकर्ण के विपरीत भुजा का अनुपात है।

परिभाषा।

एक समकोण त्रिभुज में न्यून कोण की कोज्याआसन्न पैर का कर्ण से अनुपात है।

परिभाषा।

एक समकोण त्रिभुज में न्यूनकोण की स्पर्शरेखा- यह विपरीत भुजा का आसन्न भुजा से अनुपात है।

परिभाषा।

एक समकोण त्रिभुज में एक न्यून कोण का कोटैंजेंट- यह आसन्न भुजा का विपरीत भुजा से अनुपात है।

साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट के पदनाम भी वहां पेश किए गए हैं - क्रमशः पाप, कॉस, टीजी और सीटीजी।

उदाहरण के लिए, यदि ABC समकोण C वाला एक समकोण त्रिभुज है, तो न्यूनकोण A की ज्या विपरीत भुजा BC और कर्ण AB के अनुपात के बराबर है, अर्थात, syn∠A=BC/AB।

ये परिभाषाएँ आपको एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं की ज्ञात लंबाई के साथ-साथ एक न्यून कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मानों की गणना करने की अनुमति देती हैं। ज्ञात मूल्यज्या, कोज्या, स्पर्शज्या, कोटैंजेन्ट और एक भुजा की लंबाई का उपयोग करके अन्य भुजाओं की लंबाई ज्ञात करें। उदाहरण के लिए, यदि हम जानते हैं कि एक समकोण त्रिभुज में पैर AC 3 के बराबर है और कर्ण AB 7 के बराबर है, तो हम परिभाषा के अनुसार न्यून कोण A की कोज्या के मान की गणना कर सकते हैं: cos∠A=AC/ एबी=3/7.

वर्तन कोण

त्रिकोणमिति में, वे कोण को अधिक व्यापक रूप से देखना शुरू करते हैं - वे घूर्णन कोण की अवधारणा का परिचय देते हैं। न्यून कोण के विपरीत, घूर्णन कोण का परिमाण 0 से 90 डिग्री तक सीमित नहीं है; घूर्णन कोण को डिग्री (और रेडियन में) में −∞ से +∞ तक किसी भी वास्तविक संख्या द्वारा व्यक्त किया जा सकता है।

इस प्रकाश में, साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की परिभाषाएँ न्यून कोण की नहीं, बल्कि मनमाने आकार के कोण की दी गई हैं - घूर्णन का कोण। वे बिंदु A 1 के x और y निर्देशांक के माध्यम से दिए गए हैं, जिस पर तथाकथित प्रारंभिक बिंदु A(1, 0) बिंदु O के चारों ओर एक कोण α द्वारा घूमने के बाद जाता है - आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली की शुरुआत और यूनिट सर्कल का केंद्र।

परिभाषा।

घूर्णन कोण की ज्याα बिंदु A 1 की कोटि है, अर्थात, synα=y.

परिभाषा।

घूर्णन कोण की कोज्याα को बिंदु A 1 का भुज कहा जाता है, अर्थात, cosα=x।

परिभाषा।

घूर्णन कोण का स्पर्शरेखाα बिंदु A 1 की कोटि और उसके भुज का अनुपात है, अर्थात tanα=y/x।

परिभाषा।

घूर्णन कोण का कोटैंजेंटα बिंदु A 1 के भुज और उसकी कोटि का अनुपात है, अर्थात ctgα=x/y।

किसी भी कोण α के लिए ज्या और कोज्या को परिभाषित किया जाता है, क्योंकि हम हमेशा बिंदु का भुज और कोटि निर्धारित कर सकते हैं, जो प्रारंभिक बिंदु को कोण α द्वारा घुमाकर प्राप्त किया जाता है। लेकिन किसी भी कोण के लिए स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट परिभाषित नहीं हैं। कोण α के लिए स्पर्शरेखा को परिभाषित नहीं किया गया है, जिस पर प्रारंभिक बिंदु शून्य भुज (0, 1) या (0, −1) वाले बिंदु पर जाता है, और यह कोण 90°+180° k, k∈Z (π) पर होता है /2+π·k rad). वास्तव में, घूर्णन के ऐसे कोणों पर, अभिव्यक्ति tgα=y/x का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि इसमें शून्य से विभाजन होता है। जहां तक कोटैंजेंट की बात है, यह कोण α के लिए परिभाषित नहीं है, जिस पर शुरुआती बिंदु शून्य कोटि (1, 0) या (−1, 0) वाले बिंदु पर जाता है, और यह 180° k, k ∈Z कोणों के लिए होता है। (π·k rad).

तो, साइन और कोसाइन को किसी भी घूर्णन कोण के लिए परिभाषित किया गया है, स्पर्शरेखा को 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) को छोड़कर सभी कोणों के लिए परिभाषित किया गया है, और कोटैंजेंट को 180°·k को छोड़कर सभी कोणों के लिए परिभाषित किया गया है। , k∈Z (π·k rad).

परिभाषाओं में वे पदनाम शामिल हैं जो हमें पहले से ही ज्ञात हैं पाप, कॉस, टीजी और सीटीजी, उनका उपयोग रोटेशन के कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट को निर्दिष्ट करने के लिए भी किया जाता है (कभी-कभी आप स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के अनुरूप पदनाम टैन और कॉट पा सकते हैं) . तो 30 डिग्री के घूर्णन कोण की ज्या को syn30° के रूप में लिखा जा सकता है, प्रविष्टियाँ tg(−24°17′) और ctgα घूर्णन कोण -24 डिग्री 17 मिनट की स्पर्शरेखा और घूर्णन कोण α के कोटैंजेंट के अनुरूप हैं . याद रखें कि किसी कोण का रेडियन माप लिखते समय, पदनाम "रेड" अक्सर छोड़ दिया जाता है। उदाहरण के लिए, तीन पाई रेड के घूर्णन कोण की कोज्या को आमतौर पर cos3·π दर्शाया जाता है।

इस बिंदु के निष्कर्ष में, यह ध्यान देने योग्य है कि जब रोटेशन के कोण के साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट के बारे में बात की जाती है, तो वाक्यांश "रोटेशन का कोण" या "रोटेशन" शब्द अक्सर छोड़ दिया जाता है। अर्थात्, वाक्यांश "रोटेशन कोण अल्फा की साइन" के बजाय, वाक्यांश "अल्फा कोण की साइन" या इससे भी छोटा, "साइन अल्फा" आमतौर पर उपयोग किया जाता है। यही बात कोज्या, स्पर्शज्या और कोटैंजेंट पर भी लागू होती है।

हम यह भी कहेंगे कि एक समकोण त्रिभुज में न्यून कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की परिभाषाएँ 0 से 90 डिग्री तक के घूर्णन कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के लिए दी गई परिभाषाओं के अनुरूप हैं। हम इसे उचित ठहराएंगे.

नंबर

परिभाषा।

किसी संख्या की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट t, t रेडियन में घूर्णन कोण की क्रमशः ज्या, कोज्या, स्पर्शज्या और कोटैंजेन्ट के बराबर एक संख्या है।

उदाहरण के लिए, परिभाषा के अनुसार संख्या 8 π की कोज्या वह संख्या है कोसाइन के बराबर 8·π रेड का कोण. और 8·π रेड के कोण की कोज्या एक के बराबर होती है, इसलिए, संख्या 8·π की कोज्या 1 के बराबर होती है।

किसी संख्या की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट निर्धारित करने का एक और तरीका है। यह इस तथ्य में समाहित है कि प्रत्येक वास्तविक संख्या t आयताकार समन्वय प्रणाली के मूल में केंद्र के साथ इकाई वृत्त पर एक बिंदु से जुड़ी है, और साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट इस बिंदु के निर्देशांक के माध्यम से निर्धारित किए जाते हैं। आइए इसे और अधिक विस्तार से देखें।

आइए हम दिखाएँ कि किसी वृत्त पर वास्तविक संख्याओं और बिंदुओं के बीच पत्राचार कैसे स्थापित किया जाता है:

संख्या 0 को प्रारंभिक बिंदु A(1, 0) दिया गया है;
सकारात्मक संख्या t यूनिट सर्कल पर एक बिंदु से जुड़ी हुई है, जिसे हम तब प्राप्त करेंगे जब हम शुरुआती बिंदु से सर्कल के साथ वामावर्त दिशा में आगे बढ़ेंगे और लंबाई t के पथ पर चलेंगे;
ऋणात्मक संख्या t यूनिट सर्कल के बिंदु से जुड़ा हुआ है, जिसे हम तब प्राप्त करेंगे जब हम शुरुआती बिंदु से सर्कल के साथ दक्षिणावर्त दिशा में आगे बढ़ेंगे और लंबाई के पथ पर चलेंगे |t| .

अब हम संख्या t की साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की परिभाषाओं पर आगे बढ़ते हैं। आइए मान लें कि संख्या t वृत्त A 1 (x, y) पर एक बिंदु से मेल खाती है (उदाहरण के लिए, संख्या &pi/2; बिंदु A 1 (0, 1) से मेल खाती है)।

परिभाषा।

संख्या की ज्या t, संख्या t के संगत इकाई वृत्त पर बिंदु की कोटि है, अर्थात, synt=y।

परिभाषा।

संख्या की कोज्या t को संख्या t के संगत इकाई वृत्त के बिंदु का भुज कहा जाता है, अर्थात लागत=x।

परिभाषा।

संख्या का स्पर्शरेखा t, संख्या t के संगत इकाई वृत्त पर एक बिंदु के भुज कोटि का अनुपात है, अर्थात, tgt=y/x। एक अन्य समतुल्य सूत्रीकरण में, किसी संख्या t की स्पर्शरेखा इस संख्या की ज्या और कोज्या का अनुपात है, अर्थात, tgt=sint/cost।

परिभाषा।

संख्या का कोटैंजेंट t, संख्या t के संगत इकाई वृत्त पर एक बिंदु की कोटि के भुज का अनुपात है, अर्थात, ctgt=x/y। एक अन्य सूत्रीकरण यह है: संख्या t की स्पर्शरेखा, संख्या t की कोज्या और संख्या t की ज्या का अनुपात है: ctgt=cost/sint।

यहां हम ध्यान दें कि दी गई परिभाषाएँ इस अनुच्छेद की शुरुआत में दी गई परिभाषा के अनुरूप हैं। दरअसल, यूनिट सर्कल पर संख्या t के अनुरूप बिंदु प्रारंभिक बिंदु को t रेडियन के कोण से घुमाने पर प्राप्त बिंदु से मेल खाता है।

यह बात अभी भी स्पष्ट करने लायक है। मान लीजिए कि हमारे पास प्रविष्टि पाप3 है। हम कैसे समझ सकते हैं कि हम संख्या 3 की ज्या की बात कर रहे हैं या 3 रेडियन के घूर्णन कोण की ज्या की? यह आमतौर पर संदर्भ से स्पष्ट है, अन्यथा संभवतः इसका मौलिक महत्व नहीं है।

कोणीय और संख्यात्मक तर्क के त्रिकोणमितीय कार्य

पिछले पैराग्राफ में दी गई परिभाषाओं के अनुसार, घूर्णन α का प्रत्येक कोण एक बहुत ही विशिष्ट मूल्य synα, साथ ही मूल्य cosα से मेल खाता है। इसके अलावा, 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad ) के अलावा अन्य सभी घूर्णन कोण tgα मानों के अनुरूप हैं, और 180°k, k∈Z (πk rad ) के अलावा अन्य मान - मान ctgα का। इसलिए synα, cosα, tanα और ctgα कोण α के फलन हैं। दूसरे शब्दों में, ये कोणीय तर्क के कार्य हैं।

हम संख्यात्मक तर्क के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के कार्यों के बारे में इसी तरह बात कर सकते हैं। दरअसल, प्रत्येक वास्तविक संख्या टी एक बहुत ही विशिष्ट मूल्य सिंत, साथ ही लागत से मेल खाती है। इसके अलावा, π/2+π·k, k∈Z के अलावा अन्य सभी संख्याएँ tgt मानों के अनुरूप हैं, और संख्याएँ π·k, k∈Z - ctgt मान हैं।

फलन sine, cosine, tangent और cotangent कहलाते हैं बुनियादी त्रिकोणमितीय कार्य.

यह आमतौर पर संदर्भ से स्पष्ट होता है कि क्या हम कोणीय तर्क या संख्यात्मक तर्क के त्रिकोणमितीय कार्यों से निपट रहे हैं। अन्यथा, हम स्वतंत्र चर को कोण के माप (कोणीय तर्क) और संख्यात्मक तर्क दोनों के रूप में सोच सकते हैं।

हालाँकि, स्कूल में हम मुख्य रूप से संख्यात्मक कार्यों का अध्ययन करते हैं, अर्थात्, ऐसे कार्य जिनके तर्क, साथ ही उनके संबंधित फ़ंक्शन मान, संख्याएँ हैं। इसलिए, यदि हम विशेष रूप से कार्यों के बारे में बात कर रहे हैं, तो त्रिकोणमितीय कार्यों को संख्यात्मक तर्कों के कार्यों के रूप में मानने की सलाह दी जाती है।

ज्यामिति और त्रिकोणमिति की परिभाषाओं के बीच संबंध

यदि हम 0 से 90 डिग्री तक के घूर्णन कोण α पर विचार करते हैं, तो त्रिकोणमिति के संदर्भ में घूर्णन कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की परिभाषाएं पूरी तरह से साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की परिभाषाओं के अनुरूप हैं। समकोण त्रिभुज में न्यूनकोण, जो ज्यामिति पाठ्यक्रम में दिए गए हैं। आइए इसे उचित ठहराएँ।

आइए हम आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली ऑक्सी में इकाई वृत्त को चित्रित करें। आइए प्रारंभिक बिंदु A(1, 0) को चिह्नित करें। आइए इसे 0 से 90 डिग्री तक के कोण α से घुमाएं, हमें बिंदु A 1 (x, y) मिलता है। आइए हम बिंदु A 1 से ऑक्स अक्ष पर लंबवत A 1 H छोड़ें।

यह देखना आसान है कि एक समकोण त्रिभुज में कोण A 1 OH होता है कोण के बराबरघूर्णन α, इस कोण से सटे पैर OH की लंबाई बिंदु A 1 के भुज के बराबर है, अर्थात, |OH|=x, कोने के विपरीत पैर A 1 H की लंबाई कोटि के बराबर है बिंदु A 1, अर्थात |A 1 H|=y, और कर्ण OA 1 की लंबाई एक के बराबर है, क्योंकि यह इकाई वृत्त की त्रिज्या है। फिर, ज्यामिति की परिभाषा के अनुसार, एक समकोण त्रिभुज A 1 OH में न्यून कोण α की ज्या विपरीत पाद और कर्ण के अनुपात के बराबर है, अर्थात, synα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. और त्रिकोणमिति की परिभाषा के अनुसार, घूर्णन कोण α की ज्या बिंदु A 1 की कोटि के बराबर है, अर्थात, synα=y। इससे पता चलता है कि एक समकोण त्रिभुज में न्यून कोण की ज्या का निर्धारण करना घूर्णन कोण α की ज्या निर्धारित करने के बराबर है जब α 0 से 90 डिग्री तक होता है।

इसी प्रकार, यह दिखाया जा सकता है कि न्यून कोण α के कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की परिभाषाएँ घूर्णन कोण α के कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की परिभाषाओं के अनुरूप हैं।

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इस लेख में हम एक व्यापक नज़र डालेंगे। बुनियादी त्रिकोणमितीय पहचान समानताएं हैं जो एक कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के बीच संबंध स्थापित करती हैं, और किसी को ज्ञात अन्य के माध्यम से इनमें से किसी भी त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को खोजने की अनुमति देती हैं।

आइए हम तुरंत उन मुख्य त्रिकोणमितीय पहचानों को सूचीबद्ध करें जिनका हम इस लेख में विश्लेषण करेंगे। आइए उन्हें एक तालिका में लिखें, और नीचे हम इन सूत्रों का आउटपुट देंगे और आवश्यक स्पष्टीकरण प्रदान करेंगे।

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एक कोण की ज्या और कोज्या के बीच संबंध

कभी-कभी वे उपरोक्त तालिका में सूचीबद्ध मुख्य त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं के बारे में नहीं, बल्कि एक एकल के बारे में बात करते हैं बुनियादी त्रिकोणमितीय पहचानदयालु . इस तथ्य की व्याख्या काफी सरल है: मुख्य त्रिकोणमितीय पहचान से इसके दोनों भागों को क्रमशः और, और समानताओं से विभाजित करने के बाद समानताएं प्राप्त की जाती हैं। और साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट की परिभाषाओं का पालन करें। हम इसके बारे में निम्नलिखित पैराग्राफ में अधिक विस्तार से बात करेंगे।

अर्थात्, यह वह समानता है जो विशेष रुचि रखती है, जिसे मुख्य त्रिकोणमितीय पहचान का नाम दिया गया था।

मुख्य त्रिकोणमितीय पहचान को सिद्ध करने से पहले, हम इसका सूत्रीकरण देते हैं: एक कोण की ज्या और कोज्या के वर्गों का योग समान रूप से एक के बराबर होता है। अब आइए इसे साबित करें।

मूल त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग अक्सर कब किया जाता है त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करना. यह एक कोण की ज्या और कोज्या के वर्गों के योग को एक से बदलने की अनुमति देता है। मूल त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग कम बार नहीं किया जाता है उल्टे क्रम: इकाई को किसी भी कोण की ज्या और कोज्या के वर्गों के योग से प्रतिस्थापित किया जाता है।

साइन और कोसाइन के माध्यम से स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट

देखने के एक कोण के साइन और कोसाइन के साथ स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट को जोड़ने वाली पहचान और साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट की परिभाषाओं का तुरंत पालन करें। वास्तव में, परिभाषा के अनुसार, साइन y की कोटि है, कोसाइन x का भुज है, स्पर्शरेखा कोटि का भुज से अनुपात है, अर्थात, , और कोटैंजेंट भुज और कोटि का अनुपात है, अर्थात, .

पहचान की ऐसी स्पष्टता के लिए धन्यवाद और स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट को अक्सर भुज और कोटि के अनुपात के माध्यम से नहीं, बल्कि साइन और कोसाइन के अनुपात के माध्यम से परिभाषित किया जाता है। तो किसी कोण की स्पर्शरेखा इस कोण की ज्या और कोज्या का अनुपात है, और कोटैंजेंट ज्या की कोज्या का अनुपात है।

इस पैराग्राफ के निष्कर्ष में, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि पहचान और उन सभी कोणों के लिए घटित होता है जिन पर उनमें शामिल त्रिकोणमितीय फलन अर्थपूर्ण होते हैं। तो सूत्र किसी के लिए भी मान्य है, इसके अलावा (अन्यथा हर में शून्य होगा, और हमने शून्य से विभाजन को परिभाषित नहीं किया है), और सूत्र - सभी के लिए, से भिन्न, जहां z कोई है।

स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के बीच संबंध

और भी स्पष्ट त्रिकोणमितीय पहचानपिछले दो की तुलना में, प्रपत्र के एक कोण की स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट को जोड़ने वाली पहचान है . यह स्पष्ट है कि यह इसके अलावा किसी भी कोण के लिए मान्य है, अन्यथा स्पर्शरेखा या कोटैंजेंट को परिभाषित नहीं किया गया है।

सूत्र का प्रमाण बहुत सरल। परिभाषा के अनुसार और कहाँ से . सबूत को थोड़ा अलग तरीके से पेश किया जा सकता था। तब से , वह .

तो, एक ही कोण की स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट जिस पर वे समझ में आते हैं।

साइन और कोसाइन मूल रूप से समकोण त्रिभुजों में मात्राओं की गणना करने की आवश्यकता से उत्पन्न हुए। यह देखा गया कि यदि किसी समकोण त्रिभुज में कोणों की डिग्री माप नहीं बदली जाती है, तो पहलू अनुपात, चाहे इन भुजाओं की लंबाई में कितना भी परिवर्तन हो, हमेशा वही रहता है।

इस प्रकार साइन और कोसाइन की अवधारणाएँ पेश की गईं। एक समकोण त्रिभुज में न्यून कोण की ज्या कर्ण के विपरीत भुजा का अनुपात है, और कोज्या कर्ण के आसन्न भुजा का अनुपात है।

कोज्या और ज्या के प्रमेय

लेकिन कोसाइन और साइन का उपयोग केवल समकोण त्रिभुजों से अधिक के लिए किया जा सकता है। किसी त्रिभुज के अधिक कोण या न्यून कोण या भुजा का मान ज्ञात करने के लिए, कोसाइन और साइन के प्रमेय को लागू करना पर्याप्त है।

कोज्या प्रमेय काफी सरल है: "त्रिभुज की एक भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है, जिसमें उन भुजाओं के गुणनफल का दोगुना और उनके बीच के कोण की कोज्या को घटाया जाता है।"

साइन प्रमेय की दो व्याख्याएँ हैं: छोटी और विस्तारित। नाबालिग के अनुसार: "एक त्रिभुज में, कोण विपरीत भुजाओं के समानुपाती होते हैं।" इस प्रमेय को अक्सर त्रिभुज के परिबद्ध वृत्त के गुण के कारण विस्तारित किया जाता है: "एक त्रिभुज में, कोण विपरीत भुजाओं के समानुपाती होते हैं, और उनका अनुपात परिबद्ध वृत्त के व्यास के बराबर होता है।"

संजात

व्युत्पन्न एक गणितीय उपकरण है जो दर्शाता है कि कोई फ़ंक्शन अपने तर्क में परिवर्तन के सापेक्ष कितनी तेज़ी से बदलता है। डेरिवेटिव का उपयोग ज्यामिति और कई तकनीकी विषयों में किया जाता है।

समस्याओं को हल करते समय, आपको त्रिकोणमितीय कार्यों के व्युत्पन्नों के सारणीबद्ध मूल्यों को जानना होगा: साइन और कोसाइन। साइन का व्युत्पन्न कोसाइन है, और कोसाइन एक साइन है, लेकिन एक ऋण चिह्न के साथ।

गणित में अनुप्रयोग

ज्या और कोज्या का उपयोग विशेषकर समकोण त्रिभुजों और उनसे संबंधित समस्याओं को हल करने में किया जाता है।

साइन और कोसाइन की सुविधा प्रौद्योगिकी में भी परिलक्षित होती है। जटिल आकृतियों और वस्तुओं को "सरल" त्रिकोणों में तोड़कर, कोसाइन और साइन प्रमेय का उपयोग करके कोणों और भुजाओं का मूल्यांकन करना आसान था। जो इंजीनियर अक्सर पहलू अनुपात और डिग्री माप की गणना करते हैं, उन्होंने गैर-सारणीबद्ध कोणों की कोसाइन और साइन की गणना करने में बहुत समय और प्रयास खर्च किया।

तब ब्रैडिस तालिकाएँ बचाव के लिए आईं, जिनमें विभिन्न कोणों के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के हजारों मूल्य शामिल थे। में सोवियत कालकुछ शिक्षकों ने अपने छात्रों को ब्रैडिस तालिकाओं के पन्ने याद करने के लिए मजबूर किया।

रेडियन एक चाप का कोणीय मान है जिसकी लंबाई त्रिज्या या 57.295779513° डिग्री के बराबर होती है।

डिग्री (ज्यामिति में) - वृत्त का 1/360वाँ भाग या समकोण का 1/90वाँ भाग।

π = 3.141592653589793238462… (पीआई का अनुमानित मान)।

कोणों के लिए कोसाइन तालिका: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

कोण x (डिग्री में)	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	210°	225°	240°	270°	300°	315°	330°	360°
कोण x (रेडियन में)	0	π/6	π/4	π/3	π/2	2 x π/3	3 x π/4	5 x π/6	π	7 x π/6	5 x π/4	4 x π/3	3 x π/2	5 x π/3	7 x π/4	11 x π/6	2 एक्स π
क्योंकि x	1	√3/2 (0,8660)	√2/2 (0,7071)	1/2 (0,5)	0	-1/2 (-0,5)	-√2/2 (-0,7071)	-√3/2 (-0,8660)	-1	-√3/2 (-0,8660)	-√2/2 (-0,7071)	-1/2 (-0,5)	0	1/2 (0,5)	√2/2 (0,7071)	√3/2 (0,8660)	1

सबसे पहले, त्रिज्या 1 और केंद्र (0;0) वाले एक वृत्त पर विचार करें। किसी भी αЄR के लिए, त्रिज्या 0A खींची जा सकती है ताकि 0A और 0x अक्ष के बीच के कोण का रेडियन माप α के बराबर हो। वामावर्त दिशा सकारात्मक मानी जाती है। माना त्रिज्या A के अंत में निर्देशांक (a,b) हैं।

साइन की परिभाषा

परिभाषा: वर्णित तरीके से निर्मित इकाई त्रिज्या की कोटि के बराबर संख्या b, synα द्वारा निरूपित की जाती है और इसे कोण α की ज्या कहा जाता है।

उदाहरण: पाप 3π cos3π/2 = 0 0 = 0

कोसाइन की परिभाषा

परिभाषा: वर्णित तरीके से निर्मित इकाई त्रिज्या के अंत के भुज के बराबर संख्या a, cosα द्वारा निरूपित की जाती है और कोण α की कोज्या कहलाती है।

उदाहरण: cos0 cos3π + cos3.5π = 1 (-1) + 0 = 2

ये उदाहरण इकाई त्रिज्या और इकाई वृत्त के अंत के निर्देशांक के संदर्भ में कोण की ज्या और कोज्या की परिभाषा का उपयोग करते हैं। अधिक दृश्य प्रतिनिधित्व के लिए, आपको एक यूनिट सर्कल बनाने और उस पर संबंधित बिंदुओं को प्लॉट करने की आवश्यकता है, और फिर कोसाइन की गणना करने के लिए उनके एब्सिस्सा को गिनें और साइन की गणना करने के लिए कोर्डिनेट्स को गिनें।

स्पर्शरेखा परिभाषा

परिभाषा: x≠π/2+πk, kЄZ के लिए फलन tgx=sinx/cosx, कोण x का कोटैंजेंट कहलाता है। फ़ंक्शन tgx की परिभाषा का क्षेत्र x=π/2+πn, nЄZ को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं।

उदाहरण: tg0 tgπ = 0 0 = 0

यह उदाहरण पिछले वाले के समान है. किसी कोण की स्पर्शरेखा की गणना करने के लिए, आपको किसी बिंदु की कोटि को उसके भुज से विभाजित करना होगा।

कोटैंजेंट की परिभाषा

परिभाषा: x≠πk, kЄZ के लिए फ़ंक्शन ctgx=cosx/sinx को कोण x का कोटैंजेंट कहा जाता है। फ़ंक्शन ctgx = की परिभाषा का क्षेत्र बिंदु x=πk, kЄZ को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं।

आइए एक नियमित समकोण त्रिभुज का उपयोग करते हुए एक उदाहरण देखें

यह स्पष्ट करने के लिए कि कोसाइन, साइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट क्या हैं। आइए कोण y और के साथ एक नियमित समकोण त्रिभुज का उपयोग करके एक उदाहरण देखें पक्ष ए, बी, सी. क्रमशः कर्ण c, पाद a और b। कर्ण c और पाद बाय y के बीच का कोण।

परिभाषा:कोण y की ज्या कर्ण के विपरीत भुजा का अनुपात है: syny = a/c

परिभाषा:कोण y की कोज्या निकटवर्ती पाद और कर्ण का अनुपात है: आरामदायक = v/c

परिभाषा:कोण y की स्पर्शरेखा विपरीत भुजा और आसन्न भुजा का अनुपात है: tgy = a/b

परिभाषा:कोण y का कोटैंजेंट आसन्न भुजा और विपरीत भुजा का अनुपात है: ctgy=in/a

साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट को त्रिकोणमितीय फलन भी कहा जाता है। प्रत्येक कोण की अपनी ज्या और कोज्या होती है। और लगभग हर किसी की अपनी स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट होती है।

ऐसा माना जाता है कि यदि हमें कोई कोण दिया जाए तो उसकी ज्या, कोज्या, स्पर्शज्या और कोटैंजेन्ट हमें ज्ञात हो जाती है! और इसके विपरीत। क्रमशः एक ज्या, या किसी अन्य त्रिकोणमितीय फलन को देखते हुए, हम कोण जानते हैं। यहां तक कि विशेष तालिकाएं भी बनाई गई हैं जहां प्रत्येक कोण के लिए त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन लिखे गए हैं।

त्रिकोणमिति गणितीय विज्ञान की एक शाखा है जो त्रिकोणमितीय कार्यों और ज्यामिति में उनके उपयोग का अध्ययन करती है। त्रिकोणमिति का विकास प्राचीन काल में शुरू हुआ प्राचीन ग्रीस. मध्य युग के दौरान, मध्य पूर्व और भारत के वैज्ञानिकों ने इस विज्ञान के विकास में महत्वपूर्ण योगदान दिया।

यह लेख त्रिकोणमिति की बुनियादी अवधारणाओं और परिभाषाओं के लिए समर्पित है। यह बुनियादी त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषाओं पर चर्चा करता है: साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट। इनका अर्थ ज्यामिति के सन्दर्भ में समझाया एवं दर्शाया गया है।

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प्रारंभ में, त्रिकोणमितीय फलनों की परिभाषाएँ, जिनका तर्क एक कोण है, एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात के रूप में व्यक्त की गई थीं।

त्रिकोणमितीय फलनों की परिभाषाएँ

किसी कोण की ज्या (sin α) इस कोण के विपरीत पैर और कर्ण का अनुपात है।

कोण की कोज्या (cos α) - आसन्न पैर का कर्ण से अनुपात।

कोण स्पर्शरेखा (टी जी α) - विपरीत पक्ष का आसन्न पक्ष से अनुपात।

कोण कोटैंजेंट (सी टी जी α) - आसन्न पक्ष का विपरीत पक्ष से अनुपात।

ये परिभाषाएँ समकोण त्रिभुज के न्यूनकोण के लिए दी गई हैं!

चलिए एक उदाहरण देते हैं.

समकोण C वाले त्रिभुज ABC में, कोण A की ज्या भुजा BC और कर्ण AB के अनुपात के बराबर है।

साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की परिभाषा आपको त्रिभुज की भुजाओं की ज्ञात लंबाई से इन कार्यों के मूल्यों की गणना करने की अनुमति देती है।

याद रखना महत्वपूर्ण है!

साइन और कोसाइन के मानों की सीमा -1 से 1 तक होती है। दूसरे शब्दों में, साइन और कोसाइन का मान -1 से 1 तक होता है। स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मानों की सीमा संपूर्ण संख्या रेखा होती है, अर्थात्, ये फ़ंक्शन कोई भी मान ले सकते हैं।

ऊपर दी गई परिभाषाएँ न्यून कोणों पर लागू होती हैं। त्रिकोणमिति में, एक घूर्णन कोण की अवधारणा पेश की जाती है, जिसका मान, एक न्यून कोण के विपरीत, 0 से 90 डिग्री तक सीमित नहीं है। डिग्री या रेडियन में घूर्णन कोण को - ∞ से + ∞ तक किसी भी वास्तविक संख्या द्वारा व्यक्त किया जाता है .

इस संदर्भ में, हम मनमाने परिमाण के कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट को परिभाषित कर सकते हैं। आइए हम एक इकाई वृत्त की कल्पना करें जिसका केंद्र कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के मूल में है।

निर्देशांक (1, 0) के साथ प्रारंभिक बिंदु A एक निश्चित कोण α के माध्यम से इकाई वृत्त के केंद्र के चारों ओर घूमता है और बिंदु A 1 पर जाता है। परिभाषा बिंदु A 1 (x, y) के निर्देशांक के संदर्भ में दी गई है।

घूर्णन कोण की ज्या (पाप)।

घूर्णन कोण α की ज्या बिंदु A 1 (x, y) की कोटि है। पाप α = y

घूर्णन कोण का कोसाइन (cos)।

घूर्णन कोण α की कोज्या बिंदु A 1 (x, y) का भुज है। क्योंकि α = x

घूर्णन कोण की स्पर्शरेखा (टीजी)।

घूर्णन कोण α की स्पर्श रेखा बिंदु A 1 (x, y) की कोटि और इसके भुज का अनुपात है। टी जी α = वाई एक्स

घूर्णन कोण का कोटैंजेंट (सीटीजी)।

घूर्णन कोण α का कोटैंजेंट बिंदु A 1 (x, y) के भुज और उसकी कोटि का अनुपात है। सी टी जी α = x y

किसी भी घूर्णन कोण के लिए ज्या और कोज्या को परिभाषित किया गया है। यह तर्कसंगत है, क्योंकि घूर्णन के बाद किसी बिंदु का भुज और कोटि किसी भी कोण पर निर्धारित किया जा सकता है। स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के साथ स्थिति भिन्न है। जब कोई बिंदु घूर्णन के बाद शून्य भुज (0, 1) और (0, - 1) वाले बिंदु पर जाता है तो स्पर्शरेखा अपरिभाषित होती है। ऐसे मामलों में, स्पर्शरेखा t g α = y x के लिए अभिव्यक्ति का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि इसमें शून्य से विभाजन होता है। कोटैंजेंट के साथ भी स्थिति ऐसी ही है। अंतर यह है कि कोटैंजेंट को उन मामलों में परिभाषित नहीं किया जाता है जहां किसी बिंदु की कोटि शून्य हो जाती है।

याद रखना महत्वपूर्ण है!

साइन और कोसाइन को किसी भी कोण α के लिए परिभाषित किया गया है।

स्पर्शरेखा को α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) को छोड़कर सभी कोणों के लिए परिभाषित किया गया है।

कोटैंजेंट को α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z) को छोड़कर सभी कोणों के लिए परिभाषित किया गया है।

व्यावहारिक उदाहरणों को हल करते समय, "घूर्णन कोण की ज्या α" न कहें। शब्द "घूर्णन कोण" को आसानी से हटा दिया गया है, जिसका अर्थ है कि संदर्भ से यह पहले से ही स्पष्ट है कि क्या चर्चा की जा रही है।

नंबर

किसी संख्या की ज्या, कोज्या, स्पर्शज्या और कोटैंजेन्ट की परिभाषा के बारे में क्या, न कि घूर्णन के कोण के बारे में?

किसी संख्या की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा, कोटैंजेंट

किसी संख्या की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट टीएक संख्या है जो क्रमशः ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के बराबर है टीरेडियन.

उदाहरण के लिए, संख्या 10 π की ज्या 10 π rad के घूर्णन कोण की ज्या के बराबर है।

किसी संख्या की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट निर्धारित करने का एक और तरीका है। आइए इस पर करीब से नज़र डालें।

कोई वास्तविक संख्या टीयूनिट सर्कल पर एक बिंदु आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के मूल में केंद्र से जुड़ा हुआ है। इस बिंदु के निर्देशांक के माध्यम से साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट निर्धारित किए जाते हैं।

वृत्त पर प्रारंभिक बिंदु बिंदु A है जिसका निर्देशांक (1, 0) है।

सकारात्मक संख्या टी

ऋणात्मक संख्या टीउस बिंदु से मेल खाता है जिस पर प्रारंभिक बिंदु जाएगा यदि यह सर्कल के चारों ओर वामावर्त दिशा में घूमता है और पथ टी से गुजरता है।

अब जब एक संख्या और एक वृत्त पर एक बिंदु के बीच संबंध स्थापित हो गया है, तो हम साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की परिभाषा पर आगे बढ़ते हैं।

टी का साइन (पाप)।

किसी संख्या की ज्या टी- संख्या के अनुरूप इकाई वृत्त पर एक बिंदु का कोटि टी। पाप टी = वाई

टी का कोसाइन (कॉस)।

किसी संख्या की कोज्या टी- संख्या के अनुरूप इकाई वृत्त के बिंदु का भुज टी। क्योंकि t = x

टी की स्पर्शरेखा (टीजी)।

किसी संख्या की स्पर्शरेखा टी- संख्या के अनुरूप इकाई वृत्त पर एक बिंदु के भुज कोटि का अनुपात टी। टी जी टी = वाई एक्स = पाप टी क्योंकि टी

नवीनतम परिभाषाएँ इस पैराग्राफ की शुरुआत में दी गई परिभाषा के अनुरूप हैं और इसका खंडन नहीं करती हैं। संख्या के अनुरूप वृत्त पर बिंदु अंकित करें टी, उस बिंदु से मेल खाता है जिस पर एक कोण से मुड़ने के बाद प्रारंभिक बिंदु जाता है टीरेडियन.

कोणीय और संख्यात्मक तर्क के त्रिकोणमितीय कार्य

कोण α का प्रत्येक मान इस कोण की ज्या और कोज्या के एक निश्चित मान से मेल खाता है। ठीक उसी तरह जैसे α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) के अलावा अन्य सभी कोण एक निश्चित स्पर्शरेखा मान के अनुरूप होते हैं। जैसा कि ऊपर कहा गया है, कोटैंजेंट को α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z) को छोड़कर सभी α के लिए परिभाषित किया गया है।

हम कह सकते हैं कि पाप α, cos α, t g α, c t g α कोण अल्फा के कार्य हैं, या कोणीय तर्क के कार्य हैं।

इसी प्रकार, हम संख्यात्मक तर्क के कार्यों के रूप में साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के बारे में बात कर सकते हैं। प्रत्येक वास्तविक संख्या टीकिसी संख्या की ज्या या कोज्या के एक निश्चित मान से मेल खाता है टी. π 2 + π · k, k ∈ Z के अलावा अन्य सभी संख्याएँ एक स्पर्शरेखा मान के अनुरूप हैं। इसी तरह, कोटैंजेंट को π · k, k ∈ Z को छोड़कर सभी संख्याओं के लिए परिभाषित किया गया है।

त्रिकोणमिति के बुनियादी कार्य

साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट बुनियादी त्रिकोणमितीय कार्य हैं।

यह आमतौर पर संदर्भ से स्पष्ट होता है कि हम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन (कोणीय तर्क या संख्यात्मक तर्क) के किस तर्क से निपट रहे हैं।

आइए शुरुआत में दी गई परिभाषाओं और अल्फा कोण पर वापस लौटें, जो 0 से 90 डिग्री तक की सीमा में है। साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की त्रिकोणमितीय परिभाषाएँ एक समकोण त्रिभुज के पहलू अनुपात द्वारा दी गई ज्यामितीय परिभाषाओं के साथ पूरी तरह से सुसंगत हैं। चलिए दिखाते हैं.

आइए एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में एक केंद्र के साथ एक इकाई वृत्त लें। आइए प्रारंभिक बिंदु A (1, 0) को 90 डिग्री तक के कोण से घुमाएं और परिणामी बिंदु A 1 (x, y) से भुज अक्ष पर एक लंबवत खींचें। परिणामी समकोण त्रिभुज में, कोण A 1 O H घूर्णन कोण α के बराबर है, पैर O H की लंबाई बिंदु A 1 (x, y) के भुज के बराबर है। कोण के विपरीत पैर की लंबाई बिंदु A 1 (x, y) की कोटि के बराबर है, और कर्ण की लंबाई एक के बराबर है, क्योंकि यह इकाई वृत्त की त्रिज्या है।

ज्यामिति की परिभाषा के अनुसार, कोण α की ज्या विपरीत भुजा और कर्ण के अनुपात के बराबर होती है।

पाप α = ए 1 एच ओ ए 1 = वाई 1 = वाई

इसका मतलब यह है कि पहलू अनुपात के माध्यम से एक समकोण त्रिभुज में न्यून कोण की ज्या का निर्धारण करना घूर्णन कोण α की ज्या निर्धारित करने के बराबर है, जिसमें अल्फा 0 से 90 डिग्री की सीमा में होता है।

इसी प्रकार, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के लिए परिभाषाओं का पत्राचार दिखाया जा सकता है।

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