- apotém- a szabályos gúla oldallapjának magassága, amelyet a tetejétől húzunk (továbbá az apotém a merőleges hossza, amelyet a szabályos sokszög közepétől annak 1 oldaláig leengedünk);
- oldalsó arcok (ASB, BSC, CSD, DSA) - a csúcsban összefutó háromszögek;
- oldalbordák ( MINT , BS , Cs , DS ) - az oldallapok közös oldalai;
- a piramis teteje (t. S) - az oldaléleket összekötő pont, amely nem az alap síkjában fekszik;
- magasság ( ÍGY ) - a merőleges egy szegmense, amelyet a piramis tetején keresztül az alap síkjába húznak (egy ilyen szakasz vége a piramis teteje és a merőleges alapja lesz);
- a piramis átlós metszete- a piramis szakasza, amely áthalad a tetején és az alap átlóján;
- bázis (ABCD) - egy sokszög, amely nem tartozik a piramis csúcsához.
Piramis tulajdonságai.
1. Ha minden oldalborda azonos méretű, akkor:
- könnyű leírni egy kört a piramis alapjához közel, míg a piramis teteje ennek a körnek a közepébe lesz vetítve;
- oldalsó bordák egyenlő szöget zárnak be az alapsíkkal;
- ráadásul fordítva is igaz, i.e. ha az oldalélek egyenlő szöget zárnak be az alapsíkkal, vagy ha egy kör írható le a gúla alapjához közel, és a gúla teteje ennek a körnek a középpontjába van vetítve, akkor a gúla összes oldaléle ugyanaz a méret.
2. Ha az oldallapok dőlésszöge az alap síkjához képest azonos nagyságú, akkor:
- könnyű leírni egy kört a piramis alapjához közel, míg a piramis teteje ennek a körnek a közepébe lesz vetítve;
- az oldallapok magassága egyenlő hosszúságú;
- az oldalfelület az alap kerülete és az oldalfelület magasságának szorzatának fele.
3. Leírható egy gömb a gúla közelében, ha a gúla alján olyan sokszög található, amely körül kör írható le (szükséges és elégséges feltétel). A gömb középpontja azoknak a síkoknak a metszéspontja lesz, amelyek átmennek a piramis rájuk merőleges éleinek felezőpontjain. Ebből a tételből arra a következtetésre jutunk, hogy egy gömb leírható bármely háromszög és bármely szabályos piramis körül.
4. A gúlába akkor írhatunk be gömböt, ha a gúla belső kétszögeinek felezősíkjai az 1. pontban metszik egymást (szükséges és elégséges feltétel). Ez a pont lesz a gömb középpontja.
A legegyszerűbb piramis.
A szögek száma alapján a piramis alapja háromszögre, négyszögre és így tovább oszlik.
A piramis akarat háromszög alakú, négyszögű, és így tovább, amikor a piramis alapja egy háromszög, egy négyszög stb. A háromszög alakú piramis egy tetraéder - egy tetraéder. Négyszögletű - ötszögletű és így tovább.
A háromszög alakú piramis olyan piramis, amelynek alapja háromszög. Ennek a piramisnak a magassága a merőleges, amelyet a piramis tetejétől az aljáig leeresztenek.
A piramis magasságának meghatározása
Hogyan lehet megtalálni a piramis magasságát? Nagyon egyszerű! Bármely háromszög alakú piramis magasságának meghatározásához használhatja a térfogati képletet: V = (1/3) Sh, ahol S az alap területe, V a piramis térfogata, h a magassága. Ebből a képletből származtassa a magassági képletet: a háromszög alakú piramis magasságának meghatározásához meg kell szorozni a piramis térfogatát 3-mal, majd el kell osztani a kapott értéket az alap területével, ez lesz: h = (3V) / S. Mivel a háromszög alakú piramis alapja egy háromszög, használhatja a képletet a háromszög területének kiszámításához. Ha tudjuk: az S háromszög területe és oldala z, akkor az S = (1/2) γh területképlettel: h = (2S) / γ, ahol h a gúla magassága, γ a háromszög éle; a háromszög oldalai és maguk a két oldal közötti szöget, majd a következő képlettel: S = (1/2) γφsinQ, ahol γ, φ a háromszög oldalai, megtaláljuk a háromszög területét. A Q szög szinuszának értékét az interneten elérhető szinusztáblázatban kell megtalálni. Ezután behelyettesítjük a területértéket a magassági képletbe: h = (2S) / γ. Ha a feladat egy háromszög alakú gúla magasságának kiszámítását igényli, akkor a gúla térfogata már ismert.
Szabályos háromszög alakú piramis
Határozzuk meg egy szabályos háromszög alakú gúla magasságát, azaz egy olyan gúlát, amelynek minden lapja egyenlő oldalú háromszög, ismerve a γ él értékét. Ebben az esetben a piramis élei egyenlő oldalú háromszögek oldalai. Egy szabályos háromszög alakú gúla magassága: h = γ√ (2/3), ahol γ egy egyenlő oldalú háromszög éle, h a gúla magassága. Ha az alap területe (S) ismeretlen, és csak a poliéder élének hossza (γ) és térfogata (V) van megadva, akkor az előző lépés képletében a szükséges változót ki kell cserélni. megfelelőjével, amelyet az él hosszával fejezünk ki. Egy háromszög területe (szabályos) egyenlő a háromszög oldalának hosszának 1/4-ével, négyzetgyökével 3 négyzetgyökével. Helyettesítse ezt a képletet az alap területe helyett a előző képletet, és a következő képletet kapjuk: h = 3V4 / (γ 2 √3) = 12V / (γ 2 √3). A tetraéder térfogata kifejezhető élének hosszával, ekkor az ábra magasságának számítására szolgáló képletből minden változó kivehető és az ábra háromszöglapjának csak az oldala maradhat meg. Egy ilyen piramis térfogata kiszámítható úgy, hogy a fazettájának kockahosszát elosztjuk a 2-12 négyzetgyökével.
Ha ezt a kifejezést behelyettesítjük az előző képletbe, a következő számítási képletet kapjuk: h = 12 (γ 3 √2 / 12) / (γ 2 √3) = (γ 3 √2) / (γ 2 √3) = γ √ (2/3) = (1/3) γ√6. Ezenkívül egy szabályos háromszög alakú prizma beírható egy gömbbe, és csak a gömb sugarát (R) ismerve megtalálhatja a tetraéder magasságát. A tetraéder élének hossza: γ = 4R / √6. Cserélje le a γ változót ezzel a kifejezéssel az előző képletben, és kapja meg a következő képletet: h = (1/3) √6 (4R) / √6 = (4R) / 3. Ugyanez a képlet megkapható a tetraéderbe írt kör sugarának (R) ismeretében. Ebben az esetben a háromszög élének hossza 12-szerese lesz a 6 négyzetgyökének és a sugárnak. Ezt a kifejezést behelyettesítjük az előző képletbe, és megkapjuk: h = (1/3) γ√6 = (1/3) √6 (12R) / √6 = 4R.
Hogyan találjuk meg a szabályos négyszög alakú piramis magasságát
Annak a kérdésnek a megválaszolásához, hogyan lehet megtalálni a piramis magasságának hosszát, száz ilyen szabályos piramist kell tudnia. A négyszög alakú piramis olyan piramis, amelynek alapja egy négyszög. Ha a probléma körülményei között van: a piramis térfogata (V) és alapterülete (S), akkor a poliéder (h) magasságának kiszámításának képlete a következő lesz - osszuk el térfogat szorozva 3-mal az S területtel: h = (3V) / S. A gúla ismert: adott térfogatú (V) és γ oldalhosszúságú négyzetes alapjával az előző képletben szereplő területet (S) helyettesítsük az oldalhossz négyzetével: S = γ 2; H = 3 V / γ 2. A h = SO szabályos gúla magassága éppen átmegy a kör középpontján, amely az alap közelében van leírva. Mivel ennek a piramisnak az alapja négyzet, az O pont az AD és a BC átlók metszéspontja. Van: OC = (1/2) BC = (1/2) AB√6. Továbbá egy SOC derékszögű háromszögben találjuk (a Pitagorasz-tétel alapján): SO = √ (SC 2 -OC 2). Most már tudja, hogyan találja meg a megfelelő piramis magasságát.
A diákok már jóval a geometria tanulmányozása előtt szembesülnek a piramis fogalmával. Ez a híres nagy egyiptomi világcsodáknak köszönhető. Ezért, amikor elkezdi tanulmányozni ezt a csodálatos poliédert, a legtöbb diák már egyértelműen elképzeli. A fent említett tereptárgyak mindegyike megfelelő alakú. Mi történt helyes piramis, és milyen tulajdonságai vannak, és erről még lesz szó.
Kapcsolatban áll
Meghatározás
A piramisnak számos meghatározása létezik. Ősidők óta nagy népszerűségnek örvend.
Például Eukleidész testi alakként határozta meg, amely síkokból áll, amelyek az egyikből kiindulva egy bizonyos ponton összefolynak.
Heron pontosabb megfogalmazást adott. Ragaszkodott hozzá, hogy ez egy alak, aki van egy alapja és háromszög alakú síkjai, egy ponton konvergál.
A modern értelmezés alapján a piramist térbeli poliéderként mutatják be, amely egy bizonyos k-szögből és k háromszög alakú lapos alakból áll, amelyeknek egy közös pontja van.
Találjuk ki részletesebben, milyen elemekből áll:
- A k-gont tekintjük az ábra alapjának;
- 3 oldalas figurák az oldalsó rész oldalai;
- a felső részt, ahonnan az oldalelemek származnak, felsőnek nevezzük;
- minden csúcsot összekötő szakaszt élnek nevezünk;
- ha egy egyenest 90 fokos szögben leeresztünk az ábra síkjába felülről, akkor a belső térbe zárt része a piramis magassága;
- bármely oldalelemben a poliéderünk oldalára merőleges húzható, az úgynevezett apotém.
Az élek számát a 2 * k képlettel számítjuk ki, ahol k a k-szög oldalainak száma. Egy poliédernek, például egy piramisnak hány lapja határozható meg a k + 1 kifejezéssel.
Fontos! A szabályos alakú gúla egy sztereometrikus alakzat, melynek alapsíkja egy k-gon egyenlő oldalú.
Alaptulajdonságok
Helyes piramis számos tulajdonsággal rendelkezik, amelyek csak rá jellemzőek. Soroljuk fel őket:
- Az alap szabályos alakú figura.
- A gúla oldalelemeit határoló élei azonos számértékekkel rendelkeznek.
- Az oldalsó elemek egyenlő szárú háromszögek.
- Az ábra magasságának alapja a sokszög középpontjába esik, ugyanakkor a beírt és leírt középpontja.
- Minden oldalborda ugyanabban a szögben hajlik az alap síkjához.
- Minden oldalfelület azonos dőlésszöggel rendelkezik az alaphoz képest.
Mindezek a tulajdonságok jelentősen megkönnyítik a tagszámítások elvégzését. A fenti tulajdonságok alapján felhívjuk a figyelmet két jel:
- Abban az esetben, ha a sokszög egy körbe illeszkedik, az oldallapok egyenlő szöget zárnak be az alappal.
- Ha egy sokszöget körülvevő kört írunk le, a piramis csúcsából kilépő összes éle azonos hosszúságú és azonos szöget zár be az alappal.
Négyzeten alapul
Szabályos négyszög alakú piramis - egy négyzet alapú poliéder.
Négy oldallapja van, amelyek egyenlő szárúak.
Egy síkon négyzetet ábrázolnak, de ezek a szabályos négyszög összes tulajdonságán alapulnak.
Például, ha össze kell kötnie egy négyzet oldalát az átlójával, akkor használja a következő képletet: az átló egyenlő a négyzet oldalának és kettő négyzetgyökének szorzatával.
Alapja egy szabályos háromszög
A szabályos háromszög alakú gúla egy poliéder, amelynek alapja szabályos 3-szögű.
Ha az alap szabályos háromszög, és az oldalélek egyenlőek az alap éleivel, akkor egy ilyen ábra tetraédernek nevezzük.
A tetraéder minden lapja egyenlő oldalú háromszögű. Ebben az esetben ismernie kell néhány pontot, és nem kell rájuk időt pazarolnia a számítás során:
- a bordák bármely alaphoz viszonyított dőlésszöge 60 fok;
- az összes belső él mérete szintén 60 fok;
- bármely aspektus szolgálhat alapként;
- az ábra belsejébe rajzolt egyenlő elemek.
Egy poliéder metszetei
Bármely poliéderben vannak többféle szakasz repülőgép. Az iskolai geometria tanfolyamon gyakran kettőt dolgoznak fel:
- tengelyirányú;
- párhuzamos alapon.
Tengelyirányú metszetet kapunk, ha egy poliéder sík metszi a csúcsot, az oldalsó éleket és a tengelyt. Ebben az esetben a tengely a felülről húzott magasság. A vágási síkot az összes lap metszésvonala korlátozza, ami egy háromszöget eredményez.
Figyelem! Egy szabályos piramisban a tengelyirányú metszet egyenlő szárú háromszög.
Ha a vágási sík párhuzamosan fut az alappal, akkor az eredmény a második lehetőség. Ebben az esetben az alaphoz hasonló keresztmetszeti ábránk van.
Például, ha van egy négyzet az alapnál, akkor az alappal párhuzamos szakasz is négyzet lesz, csak kisebb méretű.
Az ilyen feltételek melletti problémák megoldása során az ábrák hasonlóságának jeleit és tulajdonságait használják, Thalész tétele alapján... Először is meg kell határozni a hasonlósági együtthatót.
Ha a sík párhuzamos az alappal, és levágja a poliéder felső részét, akkor az alsó részen szabályos csonka gúlát kapunk. Ekkor a csonka poliéder szárait hasonló sokszögeknek mondjuk. Ebben az esetben az oldallapok egyenlő szárú trapézok. A tengelymetszet is egyenlő szárú.
A csonka poliéder magasságának meghatározásához meg kell rajzolni a magasságot a tengelymetszetben, azaz a trapézben.
Felületi területek
Az iskolai geometriatanfolyamon megoldandó fő geometriai feladatok a következők a piramis felületének és térfogatának megtalálása.
Kétféle felületi érték létezik:
- az oldalsó elemek területe;
- a teljes felület területe.
Már a névből is kiderül, miről van szó. Az oldalfelület csak oldalelemeket tartalmaz. Ebből az következik, hogy a megtalálásához csak össze kell adni az oldalsíkok területeit, vagyis az egyenlő szárú 3-szögűek területeit. Próbáljuk meg levezetni az oldalelemek területének képletét:
- Egy egyenlő szárú 3-szög területe Str = 1/2 (aL), ahol a az alap oldala, L az apotém.
- Az oldalsíkok száma a k-edik gon típusától függ az alapnál. Például egy szabályos négyszög alakú piramisnak négy oldalsíkja van. Ezért össze kell adni a négy figura területeit S oldal = 1/2 (aL) +1/2 (aL) +1/2 (aL) +1/2 (aL) = 1/2 * 4а * L. A kifejezés ily módon leegyszerűsödik, mert a 4a = Rosn érték, ahol Rosn az alap kerülete. És az 1/2 * Rosn kifejezés a fél kerülete.
- Tehát arra a következtetésre jutunk, hogy egy szabályos piramis oldalelemeinek területe megegyezik az alap fél kerületének apotém szorzatával: Sbok = Rosn * L.
A piramis teljes felülete az oldalsíkok és az alapterületek összegéből áll: Sp.p. = Sside + Sbase.
Ami az alap területét illeti, itt a képletet a sokszög típusának megfelelően használják.
Szabályos piramis térfogata egyenlő az alapsík területének szorzatával a magassággal, osztva hárommal: V = 1/3 * Sbázis * H, ahol H a poliéder magassága.
Mi a helyes piramis a geometriában
Szabályos négyszög gúla tulajdonságai
Meghatározás
Piramis Egy poliéder, amely egy \ (A_1A_2 ... A_n \) és \ (n \) háromszögekből áll, amelyeknek közös csúcsa \ (P \) (amely nem a sokszög síkjában fekszik), és a szemközti oldalak egybeesnek a sokszög oldalaival. a sokszög.
Megnevezés: \ (PA_1A_2 ... A_n \).
Példa: ötszögletű piramis \ (PA_1A_2A_3A_4A_5 \).
Háromszögek \ (PA_1A_2, \ PA_2A_3 \) stb. hívják oldalsó arcok piramisok, szakaszok \ (PA_1, PA_2 \) stb. - oldalsó bordák, sokszög \ (A_1A_2A_3A_4A_5 \) - alapon, \ pont (P \) - csúcs.
Magasság A piramisok a piramis tetejéről az alap síkjára ejtett merőlegesek.
Olyan piramist, amelynek alapjában háromszög van, un tetraéder.
A piramist az ún helyes ha az alapja szabályos sokszög, és az alábbi feltételek egyike teljesül:
\ ((a) \) a gúla oldalélei egyenlőek;
\ (b) \) a gúla magassága átmegy az alap közelében leírt kör középpontján;
\ (c) \) oldalsó bordák ugyanabban a szögben dőlnek az alap síkjához.
\ ((d) \) oldallapok ugyanabban a szögben dőlnek az alap síkjához.
Szabályos tetraéder- ez egy háromszög alakú piramis, amelynek minden lapja egyenlő egyenlő oldalú háromszög.
Tétel
A \ (a), (b), (c), (d) \) feltételek egyenértékűek.
Bizonyíték
Rajzoljuk meg a piramis magasságát \ (PH \). Legyen \ (\ alfa \) a piramis alapjának síkja.
1) Bizonyítsuk be, hogy \ ((a) \) azt jelenti, hogy \ ((b) \). Legyen \ (PA_1 = PA_2 = PA_3 = ... = PA_n \).
Mivel \ (PH \ perp \ alpha \), akkor \ (PH \) merőleges bármely, ebben a síkban fekvő egyenesre, tehát a háromszögek téglalap alakúak. Ezért ezek a háromszögek egyenlőek a \ (PH \) közös lábban és a \ hipoténuszban (PA_1 = PA_2 = PA_3 = ... = PA_n \). Ezért \ (A_1H = A_2H = ... = A_nH \). Ez azt jelenti, hogy a \ (A_1, A_2, ..., A_n \) pontok azonos távolságra vannak a \ (H \) ponttól, tehát ugyanazon a \ (A_1H \) sugarú körön helyezkednek el. Definíció szerint ez a kör a \ sokszögre van körülírva (A_1A_2 ... A_n \).
2) Bizonyítsuk be, hogy \ ((b) \) magában foglalja \ ((c) \).
\ (PA_1H, PA_2H, PA_3H, ..., PA_nH \) téglalap alakú és két lábon egyenlő. Ezért a szögeik is egyenlőek, ezért \ (\ szög PA_1H = \ szög PA_2H = ... = \ szög PA_nH \).
3) Bizonyítsuk be, hogy \ ((c) \) magában foglalja \ ((a) \).
Az első ponthoz hasonlóan háromszögek \ (PA_1H, PA_2H, PA_3H, ..., PA_nH \) téglalap alakú és a láb és hegyesszög mentén. Ez azt jelenti, hogy a hipotenuszok is egyenlőek, azaz \ (PA_1 = PA_2 = PA_3 = ... = PA_n \).
4) Bizonyítsuk be, hogy \ ((b) \) magában foglalja \ ((d) \).
Mivel szabályos sokszögben a körülírt kör és a beírt kör középpontja egybeesik (általában ezt a pontot nevezzük a szabályos sokszög középpontjának), akkor \ (H \) a beírt kör középpontja. Rajzoljunk merőlegeseket a \ (H \) pontból az alap oldalaira: \ (HK_1, HK_2 \) stb. Ezek a beírt kör sugarai (definíció szerint). Ezután a TTP szerint (\ (PH \) - a síkra merőleges, \ (HK_1, HK_2 \) stb. - az oldalakra merőleges vetületek) ferde \ (PK_1, PK_2 \) stb. merőleges az oldalakra \ (A_1A_2, A_2A_3 \) stb. illetőleg. Tehát definíció szerint \ (\ PK_1H szög, \ PK_2H szög \) egyenlő az oldallapok és az alap közötti szögekkel. Mivel a \ háromszögek (PK_1H, PK_2H, ... \) egyenlőek (téglalapként két szárban), akkor a szögek \ (\ szög PK_1H, \ szög PK_2H, ... \) egyenlőek.
5) Bizonyítsuk be, hogy \ ((d) \) magában foglalja \ ((b) \).
A negyedik ponthoz hasonlóan a \ (PK_1H, PK_2H, ... \) háromszögek egyenlőek (szárban és hegyesszögben téglalap alakúak), így a \ (HK_1 = HK_2 = ... = HK_n \) szakaszok egyenlőek. Ezért definíció szerint \ (H \) az alapra írt kör középpontja. De azóta szabályos sokszögeknél a beírt kör és a körülírt kör középpontja egybeesik, ekkor \ (H \) a körülírt kör középpontja. Thtd.
Következmény
Egy szabályos gúla oldallapjai egyenlő egyenlő szárú háromszögek.
Meghatározás
Egy szabályos gúla tetejéről húzott oldallapjának magasságát ún apotém.
A szabályos gúla összes oldallapjának apotémái egyenlőek egymással, és egyben mediánok és felezők is.
Fontos jegyzetek
1. Egy szabályos háromszög alakú gúla magassága az alap magasságainak (vagy felezőinek vagy mediánjainak) metszéspontjába esik (az alap szabályos háromszög).
2. Egy szabályos négyszög alakú gúla magassága az alap átlóinak metszéspontjába esik (az alap négyzet).
3. Egy szabályos hatszögletű gúla magassága az alap átlóinak metszéspontjába esik (az alap szabályos hatszög).
4. A piramis magassága merőleges az alján fekvő bármely egyenesre.
Meghatározás
A piramist az ún négyszögletes ha egyik oldaléle merőleges az alap síkjára.
Fontos jegyzetek
1. Egy téglalap alakú gúlában az alapra merőleges él a gúla magassága. Vagyis \ (SR \) a magasság.
2. Mert \ (SR \) merőleges az alaptól számított bármely egyenesre, tehát \ (\ háromszög SRM, \ háromszög SRP \)- derékszögű háromszögek.
3. Háromszögek \ (\ háromszög SRN, \ háromszög SRK \)- téglalap alakú is.
Ez azt jelenti, hogy bármely háromszög, amelyet ez az él és az ennek az élnek az alapon fekvő csúcsából kinyúló átló alkot, téglalap alakú lesz.
\ [(\ Nagy (\ szöveg (a piramis térfogata és felülete))) \]
Tétel
A piramis térfogata egyenlő az alapterület és a gúla magasságának szorzatának egyharmadával: \
Következmények
Legyen \ (a \) az alap oldala, \ (h \) a gúla magassága.
1. Egy szabályos háromszög alakú gúla térfogata a \ (V _ (\ szöveg (jobb háromszög pyr.)) = \ Dfrac (\ sqrt3) (12) a ^ 2h \),
2. Egy szabályos négyszög alakú gúla térfogata: \ (V _ (\ szöveg (jobb oldali négy pyr.)) = \ Dfrac13a ^ 2h \).
3. Egy szabályos hatszögletű gúla térfogata a \ (V _ (\ szöveg (jobb hex)) = \ dfrac (\ sqrt3) (2) a ^ 2h \).
4. A szabályos tetraéder térfogata az \ (V _ (\ szöveg (jobb oldali tet.)) = \ Dfrac (\ sqrt3) (12) a ^ 3 \).
Tétel
Egy szabályos gúla oldalfelülete megegyezik az alap kerületének az apotém félszorzatával.
\ [(\ Nagy (\ szöveg (Csonka piramis))) \]
Meghatározás
Tekintsünk egy tetszőleges \ piramist (PA_1A_2A_3 ... A_n \). Rajzoljunk a gúla alapjával párhuzamos síkot a gúla oldalélén fekvő ponton keresztül. Ez a sík a piramist két poliéderre osztja, amelyek közül az egyik egy piramis (\ (PB_1B_2 ... B_n \)), a másik pedig az ún. csonka piramis(\ (A_1A_2 ... A_nB_1B_2 ... B_n \)).
A csonka piramisnak két alapja van - sokszög \ (A_1A_2 ... A_n \) és \ (B_1B_2 ... B_n \), amelyek hasonlóak egymáshoz.
A csonka gúla magassága a felső alap valamely pontjából az alsó alap síkjára húzott merőleges.
Fontos jegyzetek
1. A csonka gúla minden oldallapja trapéz.
2. A szabályos csonka gúla (vagyis egy szabályos gúla felvágásával kapott gúla) alapjainak középpontjait összekötő szakasz a magasság.
Itt alapvető információkat talál a piramisokról és a kapcsolódó képletekről és fogalmakról. Mindegyiket matematika oktatóval tanulják a vizsgára készülve.
Vegyünk egy síkot, egy sokszöget 
benne fekszik, és egy pont S, amely nem fekszik benne. Csatlakoztassa az S-t a sokszög összes csúcsához. A kapott poliédert piramisnak nevezzük. A vonalszakaszokat oldalbordáknak nevezzük. A sokszöget alapnak, az S pontot pedig a piramis csúcsának nevezzük. Az n számtól függően a piramist háromszögnek (n = 3), négyszögletesnek (n = 4), piramisnak (n = 5) és így tovább nevezik. A háromszög alakú piramis alternatív neve tetraéder... A piramis magasságát merőlegesnek nevezzük, a tetejétől az alap síkjába süllyesztve. 
A piramist helyesnek nevezzük, ha szabályos sokszög, és a piramis magasságának alapja (a merőleges alapja) a középpontja.
Tutor megjegyzés:
Ne keverje össze a "szabályos piramis" és a "helyes tetraéder" fogalmát. Egy szabályos piramisban az oldalélek nem feltétlenül egyenlőek az alap éleivel, de egy szabályos tetraéderben az élek mind a 6 éle egyenlő. Ez az ő meghatározása. Könnyen bebizonyítható, hogy az egyenlőség a sokszög P középpontjának egybeesését jelenti a magasság alapjával, tehát a szabályos tetraéder szabályos piramis.
Mi az Apothema?
A piramis apotémája az oldallap magassága. Ha a piramis helyes, akkor minden apotémája egyenlő. Ennek a fordítottja nem igaz. 
Matematikai oktató a terminológiájáról: a piramisokkal végzett munka 80%-ban kétféle háromszögből épül fel:
1) Apothem SK és magasság SP tartalma
2) Tartalmaz egy SA oldalsó élt és annak PA vetületét 
Az ezekre a háromszögekre való hivatkozások egyszerűsítése érdekében kényelmesebb, ha a matektanár az elsőt hívja meg. apotemikus, és a második tengerparti... Sajnos ezt a terminológiát egyik tankönyvben sem találod, a tanárnak egyoldalúan kell beírnia.
A piramis térfogatának képlete:
1) 
, ahol a piramis alapterülete és a piramis magassága
2), ahol a beírt gömb sugara, és a piramis teljes felülete.
3) 
, ahol MN bármely két keresztező él távolsága, és a négy fennmaradó él felezőpontjai által alkotott paralelogramma területe.
Piramis magasság alaptulajdonsága:
A P pont (lásd az ábrát) egybeesik a piramis alján lévő beírt kör középpontjával, ha az alábbi feltételek egyike teljesül:
1) Minden apotém egyenlő
2) Minden oldalfelület egyformán dől az alap felé
3) Minden apotém egyformán hajlik a piramis magasságára
4) A piramis magassága egyformán ferde minden oldallaphoz
Matematikatanári kommentár: Vegye figyelembe, hogy minden pontnak van egy közös tulajdonsága: így vagy úgy, az oldallapok mindenhol érintettek (apotémek az elemeik). Ezért az oktató ajánlhat egy kevésbé pontos, de a memorizáláshoz kényelmesebb megfogalmazást: a P pont egybeesik a piramis alján lévő beírt kör középpontjával, ha az oldallapjairól azonos információ áll rendelkezésre. Ennek bizonyításához elegendő megmutatni, hogy minden apotémikus háromszög egyenlő.
A P pont egybeesik a piramis alapja közelében leírt kör középpontjával, ha a három feltétel egyike teljesül:
1) Minden oldalél egyenlő
2) Minden oldalborda egyformán dől az alap felé
3) Minden oldalborda egyformán dől a magassághoz
Betöltés ...