Hogyan változtassuk meg a logaritmus alapját. A logaritmusok tulajdonságai és megoldási példái. Átfogó útmutató (2019)

Meghatározásából következik. És így a szám logaritmusa b alapján A Az a kitevő, amelyre egy számot emelni kell a hogy megkapja a számot b(a logaritmus csak pozitív számoknál létezik).

Ebből a megfogalmazásból az következik, hogy a számítás x=log a b, egyenértékű az egyenlet megoldásával a x =b. Például, log 2 8 = 3 mert 8 = 2 3 . A logaritmus megfogalmazása lehetővé teszi annak igazolását, hogy ha b=a c, majd a szám logaritmusa b alapján a egyenlő Val vel. Az is világos, hogy a logaritmus témaköre szorosan kapcsolódik a szám hatványainak témájához.

A logaritmusokkal, mint minden számmal, megteheti összeadás, kivonás műveleteiés minden lehetséges módon átalakul. De mivel a logaritmusok nem teljesen közönséges számok, itt saját speciális szabályaik érvényesek, amelyeket ún. főbb tulajdonságait.

Logaritmusok összeadása és kivonása.

Vegyünk két azonos bázisú logaritmust: naplózzon egy x-etÉs log a y. Ezután lehetséges az összeadás és kivonás műveletek végrehajtása:

log a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

log a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = naplózzon egy x-et 1 + naplózzon egy x-et 2 + naplózzon egy x-et 3 + ... + log a x k.

Tól től logaritmus hányados tétel A logaritmusnak még egy tulajdonsága érhető el. Köztudott, hogy log a 1=0 tehát

log a 1 /b= log a 1 - napló a b= - log a b.

Ez azt jelenti, hogy egyenlőség van:

log a 1 / b = - log a b.

Két reciprok szám logaritmusa ugyanazon okból kizárólag előjelben különböznek majd egymástól. Így:

Log 3 9= - log 3 1/9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

Megadjuk az ln x függvény természetes logaritmusának, gráfjának, definíciós tartományának, értékkészletének, alapképleteinek, deriváltjának, integráljának, hatványsor-bővítésének és komplex számokkal történő ábrázolásának alapvető tulajdonságait.

Meghatározás

Természetes logaritmus az y = függvény ln x, az x = e y exponenciális inverze, és az e szám alapjának logaritmusa: ln x = log e x.

A természetes logaritmust széles körben használják a matematikában, mert származéka a legegyszerűbb: (ln x)′ = 1/x.

Alapján definíciók, a természetes logaritmus alapja a szám e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Az y = függvény grafikonja ln x.

A természetes logaritmus grafikonja (függvények y = ln x) az exponenciális gráfból az y = x egyeneshez viszonyított tükörreflexióval kapjuk meg.

A természetes logaritmus az x változó pozitív értékeire van definiálva. Meghatározási területén monoton módon növekszik.

x-nél → 0 a természetes logaritmus határa mínusz végtelen (-∞).

Mint x → + ∞, a természetes logaritmus határa plusz a végtelen (+ ∞). Nagy x esetén a logaritmus meglehetősen lassan növekszik. Bármely x a hatványfüggvény, amelynek pozitív kitevője a, gyorsabban növekszik, mint a logaritmus.

A természetes logaritmus tulajdonságai

Meghatározási tartomány, értékkészlet, szélsőség, növekedés, csökkenés

A természetes logaritmus monoton növekvő függvény, így nincs szélsőértéke. A természetes logaritmus főbb tulajdonságait a táblázat tartalmazza.

ln x érték

ln 1 = 0

Természetes logaritmusok alapképletei

Az inverz függvény definíciójából következő képletek:

A logaritmus fő tulajdonsága és következményei

Alaphelyettesítő képlet

Bármely logaritmus kifejezhető természetes logaritmusban az alaphelyettesítési képlet segítségével:

Ezeknek a képleteknek a bizonyítása a „Logaritmus” részben található.

Inverz függvény

A természetes logaritmus inverze a kitevő.

Ha akkor

Ha akkor.

Származék ln x

A természetes logaritmus származéka:
.
Az x modulus természetes logaritmusának deriváltja:
.
Az n-edik rend származéka:
.
Képletek származtatása >>>

Integrál

Az integrál kiszámítása részenkénti integrációval történik:
.
Így,

Komplex számokat használó kifejezések

Tekintsük a z komplex változó függvényét:
.
Fejezzük ki a komplex változót z modulon keresztül rés érvelés φ :
.
A logaritmus tulajdonságait felhasználva a következőket kapjuk:
.
Vagy
.
A φ argumentum nincs egyértelműen definiálva. Ha felteszed
, ahol n egy egész szám,
ugyanaz a szám lesz a különböző n-ekhez.

Ezért a természetes logaritmus, mint egy komplex változó függvénye, nem egyértékű függvény.

Teljesítménysorozat bővítése

Amikor a bővítés megtörténik:

Referenciák:
BAN BEN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematika kézikönyve mérnökök és főiskolai hallgatók számára, „Lan”, 2009.

Folytatjuk a logaritmusok tanulmányozását. Ebben a cikkben fogunk beszélni logaritmusok számítása, ezt a folyamatot hívják logaritmus. Először megértjük a logaritmusok definíciós számítását. Ezután nézzük meg, hogyan találhatók meg a logaritmusok értékei tulajdonságaik segítségével. Ezt követően a logaritmusok kiszámítására fogunk összpontosítani más logaritmusok kezdetben megadott értékein keresztül. Végül tanuljuk meg a logaritmustáblák használatát. Az egész elmélet példákkal és részletes megoldásokkal van ellátva.

Oldalnavigáció.

Logaritmusok számítása definíció szerint

A legegyszerűbb esetekben meglehetősen gyorsan és egyszerűen elvégezhető a logaritmus definíció szerinti megtalálása. Nézzük meg közelebbről, hogyan történik ez a folyamat.

Lényege, hogy a b számot a c formában ábrázolja, amelyből a logaritmus definíciója szerint a c szám a logaritmus értéke. Vagyis értelemszerűen a következő egyenlőséglánc felel meg a logaritmus megtalálásának: log a b=log a a c =c.

Tehát a logaritmus definíció szerinti kiszámítása egy c szám megtalálásához vezet, ahol a c = b, és maga a c szám a logaritmus kívánt értéke.

Figyelembe véve az előző bekezdésekben található információkat, amikor a logaritmusjel alatti számot a logaritmusalap bizonyos hatványa adja, azonnal jelezheti, hogy a logaritmus mivel egyenlő - egyenlő a kitevővel. Mutassunk megoldásokat példákra.

Példa.

Keresse meg a log 2 2 −3 értéket, és számítsa ki az e 5,3 szám természetes logaritmusát is.

Megoldás.

A logaritmus definíciója lehetővé teszi, hogy azonnal azt mondjuk, hogy log 2 2 −3 =−3. Valójában a logaritmus előjele alatti szám egyenlő a -3 hatványának 2-es bázisával.

Hasonlóképpen megtaláljuk a második logaritmust is: lne 5.3 =5.3.

Válasz:

log 2 2 −3 =−3 és lne 5,3 =5,3.

Ha a logaritmus jele alatti b szám nincs megadva a logaritmus alapjának hatványaként, akkor alaposan meg kell vizsgálnia, hogy lehetséges-e a b szám a c formában történő ábrázolása. Ez az ábrázolás gyakran teljesen nyilvánvaló, különösen akkor, ha a logaritmusjel alatti szám egyenlő az 1, 2 vagy 3 hatványának alapjával, ...

Példa.

Számítsa ki a logaritmusokat log 5 25 , és .

Megoldás.

Könnyen belátható, hogy 25=5 2, ez lehetővé teszi az első logaritmus kiszámítását: log 5 25=log 5 5 2 =2.

Térjünk át a második logaritmus kiszámítására. A szám 7 hatványaként ábrázolható: (lásd ha szükséges). Ennélfogva, .

Írjuk át a harmadik logaritmust a következő űrlapot. Most ezt láthatod , amiből arra következtetünk . Ezért a logaritmus definíciója szerint .

Röviden a megoldást a következőképpen írhatnánk fel: .

Válasz:

log 5 25=2 , És .

Amikor a logaritmus előjele alatt van egy kellően nagy természetes szám, akkor nem ártana beszámítani az elsődleges tényezők közé. Gyakran segít egy ilyen számot a logaritmusalap valamilyen hatványaként ábrázolni, és ezért ezt a logaritmust definíció szerint kiszámítani.

Példa.

Keresse meg a logaritmus értékét!

Megoldás.

A logaritmusok egyes tulajdonságai lehetővé teszik a logaritmusok értékének azonnali megadását. Ezek a tulajdonságok magukban foglalják az egy logaritmusának tulajdonságát és a bázissal egyenlő szám logaritmusának tulajdonságát: log 1 1=log a a 0 =0 és log a a=log a a 1 =1. Vagyis ha a logaritmus előjele alatt 1 vagy a logaritmus alapjával egyenlő a szám van, akkor ezekben az esetekben a logaritmusok 0-val, illetve 1-gyel egyenlők.

Példa.

Mi a logaritmus és a log10?

Megoldás.

Mivel , akkor a logaritmus definíciójából az következik .

A második példában a logaritmusjel alatti 10-es szám egybeesik az alapjával, így a tíz decimális logaritmusa egyenlő eggyel, azaz lg10=lg10 1 =1.

Válasz:

ÉS lg10=1 .

Megjegyezzük, hogy a logaritmusok definíciós számítása (amelyet az előző bekezdésben tárgyaltunk) magában foglalja a log a a p =p egyenlőség használatát, amely a logaritmusok egyik tulajdonsága.

A gyakorlatban, ha a logaritmus jele alatti szám és a logaritmus alapja könnyen ábrázolható egy bizonyos szám hatványaként, nagyon kényelmes a képlet használata , ami a logaritmusok egyik tulajdonságának felel meg. Nézzünk egy példát egy logaritmus megtalálására, amely szemlélteti ennek a képletnek a használatát.

Példa.

Számítsa ki a logaritmust.

Megoldás.

Válasz:

A számításoknál a logaritmusok fent nem említett tulajdonságait is felhasználjuk, de erről a következő bekezdésekben lesz szó.

Logaritmus keresése más ismert logaritmusokon keresztül

Az ebben a bekezdésben található információk folytatják a logaritmusok tulajdonságainak felhasználásának témáját azok kiszámításakor. De itt a fő különbség az, hogy a logaritmusok tulajdonságait arra használjuk, hogy az eredeti logaritmust egy másik logaritmusban fejezzük ki, amelynek értéke ismert. A tisztázás kedvéért mondjunk egy példát. Tegyük fel, hogy tudjuk, hogy a log 2 3≈1,584963, akkor megkereshetjük például a log 2 6-ot, ha egy kis transzformációt végzünk a logaritmus tulajdonságaival: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

A fenti példában elég volt egy szorzat logaritmusának tulajdonságát használnunk. Sokkal gyakrabban kell azonban a logaritmusok tulajdonságainak szélesebb arzenálját használni ahhoz, hogy az eredeti logaritmust a megadottakon keresztül számítsuk ki.

Példa.

Ha tudja, hogy log 60 2=a és log 60 5=b, számítsa ki a 27-nek a 60-as bázisig terjedő logaritmusát.

Megoldás.

Tehát meg kell találnunk a 60 27 naplót. Könnyen belátható, hogy 27 = 3 3 , és az eredeti logaritmus a hatvány logaritmusának tulajdonsága miatt átírható 3·log 60 3 -ra.

Most nézzük meg, hogyan fejezzük ki a log 60 3-at ismert logaritmusokkal. A bázissal egyenlő szám logaritmusának tulajdonsága lehetővé teszi a log 60 60=1 egyenlőség felírását. Másrészt log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . És így, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Ennélfogva, log 60 3=1–2·log 60 2–log 60 5=1–2·a–b.

Végül kiszámítjuk az eredeti logaritmust: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Válasz:

log 60 27=3·(1–2·a–b)=3–6·a–3·b.

Külön érdemes megemlíteni az alak logaritmusának új bázisára való áttérés képletének jelentését . Lehetővé teszi, hogy a tetszőleges bázisú logaritmusokról egy meghatározott bázisú logaritmusokra váltson, amelyek értékei ismertek, vagy meg lehet őket találni. Általában az eredeti logaritmusból az átmeneti képlet segítségével a 2, e vagy 10 bázisok egyikében lévő logaritmusokra lépnek át, mivel ezekhez az alapokhoz vannak logaritmustáblázatok, amelyek lehetővé teszik értékük bizonyos mértékű kiszámítását. pontosság. A következő bekezdésben bemutatjuk, hogyan történik ez.

Logaritmustáblák és felhasználásuk

A logaritmus értékek hozzávetőleges kiszámításához használhatók logaritmus táblázatok. A leggyakrabban használt 2-es alapú logaritmustábla a táblázat természetes logaritmusokés egy decimális logaritmus táblázat. A tizedes számrendszerben való munka során célszerű egy tízes alapú logaritmustáblázatot használni. Segítségével megtanuljuk megtalálni a logaritmusok értékeit.

A bemutatott táblázat lehetővé teszi az 1000-től 9999-ig terjedő számok tizedes logaritmusának (három tizedesjellel) tízezredes pontosságú meghatározását. Elemezzük a logaritmus értékének meghatározásának elvét egy decimális logaritmus táblázat segítségével konkrét példa- így világosabb. Keressük a log1.256-ot.

A tizedes logaritmusok táblázatának bal oldali oszlopában találjuk az 1,256 szám első két számjegyét, azaz az 1,2-t (ez a szám az áttekinthetőség kedvéért kékkel van bekarikázva). Az 1,256 szám harmadik számjegye (5-ös számjegy) a kettős sortól balra lévő első vagy utolsó sorban található (ez a szám pirossal van bekarikázva). Az eredeti 1,256-os szám negyedik számjegye (6-os számjegy) a kettős sortól jobbra lévő első vagy utolsó sorban található (ez a szám zöld vonallal van bekarikázva). Most a logaritmustáblázat celláiban találjuk a számokat a megjelölt sor és a megjelölt oszlopok metszéspontjában (ezek a számok kiemelve vannak narancs). A megjelölt számok összege adja a tizedes logaritmus kívánt értékét a negyedik tizedesjegyig, azaz log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Megtalálható-e a fenti táblázat segítségével a tizedesvessző után háromnál több számjegyből álló számok tizedes logaritmusának értéke, valamint az 1 és 9,999 közötti tartományon túlmutató számok értéke? Igen tudsz. Mutassuk meg, hogyan történik ez egy példán.

Számítsuk ki az lg102,76332-t. Először is le kell írni szám szabványos formában: 102,76332=1,0276332·10 2. Ezek után a mantisszát a harmadik tizedesjegyre kell kerekíteni 1,0276332 10 2 ≈ 1,028 10 2, míg az eredeti decimális logaritmus megközelítőleg egyenlő a kapott szám logaritmusával, azaz log102.76332≈lg1.028·10 2-t vesszük. Most alkalmazzuk a logaritmus tulajdonságait: lg1,028·10 2 =lg1,028+lg10 2 =lg1,028+2. Végül megtaláljuk az lg1,028 logaritmus értékét a decimális logaritmusok táblázatából: lg1,028≈0,0086+0,0034=0,012. Ennek eredményeként a logaritmus kiszámításának teljes folyamata így néz ki: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1,028 10 2 = log1,028+lg10 2 =log1,028+2≈0,012+2=2,012.

Összefoglalva, érdemes megjegyezni, hogy a decimális logaritmusok táblázatával kiszámíthatja bármely logaritmus hozzávetőleges értékét. Ehhez elegendő az átmeneti képletet használni a decimális logaritmusokhoz, megkeresni az értékeket a táblázatban, és elvégezni a fennmaradó számításokat.

Például számítsuk ki a log 2 3-at. A logaritmus új bázisára való átmenet képlete szerint . A decimális logaritmusok táblázatából log3≈0,4771 és log2≈0,3010 található. És így, .

Bibliográfia.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Algebra és az elemzés kezdetei: Tankönyv az általános oktatási intézmények 10-11.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (kézikönyv a műszaki iskolákba lépők számára).

*alatti mesterszakos hallgató tudományos útmutatást Isakhova A. A.,PhD matematikai és számítógépes modellezésből

Gondoltál már arra, hogyan számoltak az emberek az ókorban, amikor még nem volt számológép vagy számítógép? A számításokat kézzel, papíron vagy fejben végezték. Bár az előttük álló feladatok ugyanolyan összetettek voltak, mint a modernek.

Hiány számítógépek az ókori matematikusokat a számítások egyszerűsítésére késztette. Táblázatokat készítettek már kiszámított kifejezésekkel (például szorzótábla), és keresték a módokat, hogyan cseréljék le az összetett műveleteket egyszerű műveletekkel. Ma egy ilyen „egyszerűsítésről” fogunk beszélni, vagy arról, hogyan tanulták meg az emberek a szorzást összeadással, az osztást pedig kivonással helyettesíteni. Ennek köszönhetően feltalálták a logaritmust. Ahhoz, hogy megértsük, mi ez, mindössze három lépést kell megtennie.

1. LÉPÉS: Egyszerűsítse, majd egyszerűsítse újra

Kezdjük egy egyszerű példával.

2 + 2 = 4

Bonyolítsuk a problémát, és keressük meg öt kettes összegét.

2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10

És könnyen megbirkóztunk ezzel a feladattal. Mi van, ha meg kell találnia 1 000 000 kettes összegét? Hasonló számítási módszer használata sok helyet és időt vesz igénybe. Ám a ravasz matematikusok rájöttek, milyen könnyű ezt megtenni. Kitalálták a szorzási műveletet. Lássuk, hogyan néz ki:

2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 128

Ennek a kifejezésnek az egyszerűsítésére a matematikusok a hatványozás műveletét állították elő. Világos, hogy ugyanannak a számnak önmagával n-szeres szorzásáról beszélünk, minek sokszorosítani és leírni újra és újra? Nem egyszerűbb így leírni?

Itt A- a végzettség alapja, n– kitevő. Így jelentősen lerövidítettük a felvételt. A kitevő értékétől függetlenül a kifejezés nagyon tömörnek tűnik:

Michael Stiefel(1487–1567) - német matematikus, jelentős mértékben hozzájárult az algebra és olyan területeinek fejlődéséhez, mint a progresszió, a hatványozás és a negatív számok. Stiefel használta először a „kitevő” és a „gyökér” fogalmát. Annak ellenére, hogy a tudós valójában logaritmusokat használt, a felfedező dicsőségét John Napier (1550–1617) skót matematikus kapta.

2. LÉPÉS: Ismerje meg a fokok tulajdonságait

Ahogy már mondtuk, az ókori matematikusok nem terhelték magukat számításokkal minden alkalommal, amikor számokat kellett szorozniuk vagy összeadniuk, hanem előre kiszámított eredményeket tartalmazó táblázatokat használtak. Nagyon kényelmesen! Hasonló táblázatot használva egy német matematikus Michael Stiefelérdekes mintázatot vett észre az aritmetikai és a geometriai progresszió között.

Aritmetikai progresszió	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Geometriai progresszió	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024
Hatványjelölés	2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6	2 7	2 8	2 9	2 10

Próbáljuk meg őt is látni. Végül is ez a minta lehetővé teszi a műveletek egyszerűsítését szorzás és osztás. Ki kell számítanunk két szám szorzatát:

16 × 64 = ?

Mielőtt elkezdené a számításokat, vessen egy pillantást a táblázatra, és keresse meg ezeket a számokat: ezek a kifejezések geometriai progresszió 2-es lépésekben. A felettük lévő számok a felső sorban: 4 16 felett; 6 64 felett egy aritmetikai progresszió tagjai. Adjuk össze ezeket a számokat: 4 + 6 = 10. Most nézzük meg, hogy a második sorban melyik szám van a 10-es szám alatt – 1024. De ha végrehajtjuk a 16x64-es kiindulási feladatunkat, az eredmény 1024 lesz. Ez azt jelenti, hogy a táblázat használatával és csak a számok hozzáadásának ismeretében könnyen megtalálhatja a terméket.

Most nézzük meg az osztás műveletét:

Nézze meg újra a táblázatot, és keresse meg a megfelelő számokat a felső sorban. 10-et és 7-et kapunk. Ha szorzáskor összeadunk, akkor osztással kivonjuk: 10–7 = 3. A második sorban a 3-as szám alatti számot nézzük, az 8. Ezért 1024:128 = 8.

Hasonlóképpen használhat táblázatot a műveletekhez hatványozás és gyökérkivonás.

Például a 32-es négyzetet kell megadnunk. A felső sorban a 32 feletti számot nézzük. 5-öt kapunk. Szorozzuk meg 5-öt 2-vel. Kiderül, hogy 10, majd nézzük meg a 10 alatti számot: 1024. Ebből következik, hogy 32 2 = 1024.

Nézzük a gyökérkivonást. Például keressük meg az 512-es szám harmadik gyökerét. Az 512-es szám fölött a felső sorban a 9. Osszuk el a 9-et 3-mal, így 3-at kapunk. Keressük meg a megfelelő számot a második sorban. 8-at kapunk. Ezért 83 = 512.

Mind a négy példa a fokok tulajdonságainak következménye, amelyeket a következőképpen írhatunk le:

3. LÉPÉS: Nevezzük logaritmusnak

Miután foglalkoztunk a fokozatokkal, próbáljunk meg megoldani egy kis egyenletet:

2 x = 4

Ezt az egyenletet ún jelzésértékű. Mert x, amelyet meg kell találnunk indikátor az a hatvány, amelyre a 2-t fel kell emelni, hogy 4-et kapjunk. Az x = 2 egyenlet megoldása.

Nézzünk egy másik hasonló példát:

2 x = 5

Mondjuk el újra a feltételt: azt az x számot keressük, amelyre 2-t kell emelni, hogy 5-öt kapjunk. Ez a kérdés megbotránkoztat bennünket. Valószínűleg létezik megoldás; például ha ezeknek a függvényeknek grafikonjait rajzolja, akkor metszik egymást. De ahhoz, hogy megtaláljuk, próba és hiba útján kell megkeresnünk. És ez sokáig tarthat.

Az ókori tudósok ezért találták ki a logaritmust, tudták, hogy létezik megoldás az egyenletre, de nem mindig volt rá szükség azonnal. Matematikailag így van leírva: x = log 2 5. Megtaláltuk tehát a 2 x = 5 egyenlet megoldását. Válasz: x = log 2 5. Ha pontos választ adunk, akkor x = 2,32192809489..., és ez a tört soha nem ér véget.

A kifejezés a következőképpen hangzik: logaritmus 5-től 2-ig. Könnyű megjegyezni: az alap mindig alul van írva, mind exponenciális, mind logaritmikus jelöléssel.

A logaritmus tulajdonságai

A logaritmusoknak van korlátozásokat. A matematikában két kemény határ van.

a) Nem lehet nullával osztani

b) Vonjuk ki egy negatív szám páros gyökét!(mivel a negatív szám négyzetével mindig pozitív lesz).

egyenértékű az írással

a x = b

Korlátozások a

az a az a bázis, amelyet x hatványra kell emelni, hogy b-t kapjunk.

Ha a = 1. Bármely hatványhoz tartozó egyet ad.

És ha a nullánál kisebb? Negatív számok- szeszélyes. Egyik fokra fel lehet emelni, másikra nem. Ezért ezeket is kizárjuk. Ennek eredményeként a következőt kapjuk: a > 0; a ≠ 1

Korlátozások a b

Ha egy pozitív számot bármely hatványra emelünk, akkor pozitív számot is kapunk. Ezért: b > 0. x tetszőleges szám lehet, hiszen tetszőleges hatványra emelhetünk.

Ha b = 1. akkor bármely a esetén x = 0.

Műveletek logaritmusokkal

A hatványok alapvető tulajdonságait figyelembe véve a logaritmusokhoz hasonlókat származtatunk:

Összeg. A szorzat logaritmusa egyenlő a tényezők logaritmusainak összegével:

Különbség. A hányados logaritmusa megegyezik az osztó és az osztó logaritmusa közötti különbséggel:

Fokozat. Egy hatvány logaritmusa egyenlő a kitevő és az alapja logaritmusának szorzatával.

főbb tulajdonságait.

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

azonos indokok

Log6 4 + log6 9.

Most bonyolítsuk egy kicsit a feladatot.

Példák logaritmusok megoldására

Mi van, ha a logaritmus alapja vagy argumentuma hatvány? Ekkor ennek a foknak a kitevője kivehető a logaritmus előjeléből a következő szabályok szerint:

Természetesen ezeknek a szabályoknak van értelme, ha a logaritmus ODZ-jét betartjuk: a > 0, a ≠ 1, x >

Feladat. Keresse meg a kifejezés jelentését:

Átmenet egy új alapra

Legyen adott a logaritmus logax. Ekkor bármely c számra, amelyben c > 0 és c ≠ 1, az egyenlőség igaz:

Feladat. Keresse meg a kifejezés jelentését:

Lásd még:

A logaritmus alapvető tulajdonságai

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

A kitevő 2,718281828…. A kitevő emlékezéséhez tanulmányozhatja a szabályt: a kitevő 2,7 és Leo Nikolaevich Tolsztoj születési évének kétszerese.

A logaritmusok alapvető tulajdonságai

Ismerve ezt a szabályt, tudni fogja és pontos érték kiállítók, valamint Lev Tolsztoj születési dátuma.

Példák logaritmusra

Logaritmus kifejezések

1. példa
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

A 3.5 tulajdonságok segítségével kiszámítjuk

4. Ahol .

2. példa Keresse meg az x-et, ha

3. példa Legyen megadva a logaritmusok értéke

Számítsa ki log(x) ha

A logaritmusok alapvető tulajdonságai

A logaritmusok, mint minden szám, minden módon összeadhatók, kivonhatók és átalakíthatók. De mivel a logaritmusok nem egészen közönséges számok, itt vannak szabályok, amelyeket hívunk főbb tulajdonságait.

Ezeket a szabályokat feltétlenül ismerni kell – nélkülük egyetlen komoly logaritmikus probléma sem oldható meg. Ráadásul nagyon kevés van belőlük – egy nap alatt mindent megtanulhatsz. Tehát kezdjük.

Logaritmusok összeadása és kivonása

Tekintsünk két azonos bázisú logaritmust: logaxot és logayt. Ezután összeadhatók és kivonhatók, és:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Tehát a logaritmusok összege egyenlő a szorzat logaritmusával, a különbség pedig a hányados logaritmusával. Kérjük, vegye figyelembe: a kulcspont itt az azonos indokok. Ha az okok eltérőek, ezek a szabályok nem működnek!

Ezek a képletek segítenek a logaritmikus kifejezés kiszámításában még akkor is, ha annak egyes részeit nem veszi figyelembe (lásd a „Mi a logaritmus” című leckét). Vessen egy pillantást a példákra, és nézze meg:

Mivel a logaritmusoknak ugyanazok az alapjai, az összegképletet használjuk:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Feladat. Keresse meg a következő kifejezés értékét: log2 48 − log2 3.

Az alapok ugyanazok, a különbségi képletet használjuk:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Feladat. Keresse meg a következő kifejezés értékét: log3 135 − log3 5.

Az alapok ismét ugyanazok, így van:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Amint látható, az eredeti kifejezések „rossz” logaritmusokból állnak, amelyeket nem számítanak ki külön. De az átalakítások után eléggé kiderülnek normál számok. Sokan erre a tényre épülnek tesztpapírok. Igen, a tesztszerű kifejezéseket teljes komolysággal kínálják (néha gyakorlatilag változtatás nélkül) az egységes államvizsgán.

A kitevő kinyerése a logaritmusból

Könnyen belátható, hogy az utolsó szabály az első kettőt követi. De jobb, ha emlékezni rá - bizonyos esetekben jelentősen csökkenti a számítások mennyiségét.

Természetesen ezeknek a szabályoknak van értelme, ha betartjuk a logaritmus ODZ-jét: a > 0, a ≠ 1, x > 0. És még valami: tanulja meg az összes képlet alkalmazását nemcsak balról jobbra, hanem fordítva is. , azaz A logaritmus előjele előtti számokat beírhatja magába a logaritmusba. Leggyakrabban erre van szükség.

Feladat. Keresse meg a következő kifejezés értékét: log7 496.

Megszabadulunk az argumentum fokától az első képlet segítségével:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Feladat. Keresse meg a kifejezés jelentését:

Figyeljük meg, hogy a nevező logaritmust tartalmaz, melynek alapja és argumentuma pontos hatványok: 16 = 24; 49 = 72. Van:

Azt hiszem, az utolsó példa némi pontosítást igényel. Hová tűntek a logaritmusok? Az utolsó pillanatig csak a nevezővel dolgozunk.

Logaritmus képletek. Logaritmus példák megoldások.

Az ott álló logaritmus alapját és argumentumát hatványok formájában mutattuk be, és kivettük a kitevőket - „három emeletes” törtet kaptunk.

Most nézzük meg a fő törtet. A számláló és a nevező ugyanazt a számot tartalmazza: log2 7. Mivel log2 7 ≠ 0, csökkenthetjük a törtet - 2/4 marad a nevezőben. A számtan szabályai szerint a négyet át lehet vinni a számlálóba, ez meg is történt. Az eredmény a válasz: 2.

Átmenet egy új alapra

A logaritmusok összeadási és kivonási szabályairól szólva külön hangsúlyoztam, hogy ezek csak azonos alapokkal működnek. Mi van, ha az okok eltérőek? Mi van, ha nem ugyanazon szám hatványai?

Az új alapra való átállás képletei jönnek a segítségre. Fogalmazzuk meg őket tétel formájában:

Legyen adott a logaritmus logax. Ekkor bármely c számra, amelyben c > 0 és c ≠ 1, az egyenlőség igaz:

Konkrétan, ha c = x-et állítunk be, akkor kapjuk:

A második képletből az következik, hogy a logaritmus alapja és argumentuma felcserélhető, de ebben az esetben a teljes kifejezés „megfordul”, azaz. a logaritmus a nevezőben jelenik meg.

Ezek a képletek ritkán találhatók meg a közönséges numerikus kifejezésekben. Csak logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásánál lehet értékelni, hogy mennyire kényelmesek.

Vannak azonban olyan problémák, amelyeket egyáltalán nem lehet megoldani, csak egy új alapítványhoz költözni. Lássunk ezek közül párat:

Feladat. Keresse meg a következő kifejezés értékét: log5 16 log2 25.

Vegye figyelembe, hogy mindkét logaritmus argumentuma pontos hatványokat tartalmaz. Vegyük ki a mutatókat: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Most „fordítsuk meg” a második logaritmust:

Mivel a szorzat a faktorok átrendezésénél nem változik, nyugodtan szoroztunk négyet és kettőt, majd a logaritmusokkal foglalkoztunk.

Feladat. Keresse meg a következő kifejezés értékét: log9 100 lg 3.

Az első logaritmus alapja és argumentuma pontos hatványok. Írjuk le, és szabaduljunk meg a mutatóktól:

Most pedig szabaduljunk meg a decimális logaritmustól úgy, hogy új bázisra lépünk:

Alapvető logaritmikus azonosság

A megoldási folyamat során gyakran szükséges egy számot egy adott bázis logaritmusaként ábrázolni. Ebben az esetben a következő képletek segítenek nekünk:

Az első esetben az n szám lesz az argumentum kitevője. Az n szám teljesen bármi lehet, mert ez csak egy logaritmusérték.

A második képlet valójában egy átfogalmazott definíció. Így hívják: .

Valójában mi történik, ha a b számot olyan hatványra emeljük, hogy a b szám ehhez a hatványhoz adja az a számot? Így van: az eredmény ugyanaz a szám a. Olvassa el újra figyelmesen ezt a bekezdést – sokan elakadnak rajta.

Mint az új alapra való áttérés képletei, a fő logaritmikus azonosság néha ez az egyetlen lehetséges megoldás.

Feladat. Keresse meg a kifejezés jelentését:

Jegyezzük meg, hogy log25 64 = log5 8 - egyszerűen a logaritmus alapjából és argumentumából vette a négyzetet. Figyelembe véve a hatványok azonos bázisú szorzásának szabályait, a következőket kapjuk:

Ha valaki nem tudná, ez egy igazi feladat volt az egységes államvizsgáról :)

Logaritmikus egység és logaritmikus nulla

Befejezésül két tulajdonságnak aligha nevezhető azonosságot mondok, hanem a logaritmus definíciójának következményei. Folyamatosan megjelennek a problémákban, és meglepő módon még a „haladó” tanulóknak is problémát okoznak.

logaa = 1 van. Emlékezz egyszer s mindenkorra: magának a bázisnak a logaritmusa minden a bázishoz egyenlő eggyel.
loga 1 = 0 az. Az a bázis bármi lehet, de ha az argumentum egyet tartalmaz, akkor a logaritmus egyenlő nullával! Mivel a0 = 1 a definíció egyenes következménye.

Ennyi az összes tulajdonság. Gyakorold ezek gyakorlatba ültetését! Töltse le a csalólapot a lecke elején, nyomtassa ki, és oldja meg a problémákat.

Lásd még:

A b logaritmusa a bázisra a kifejezést jelöli. A logaritmus kiszámítása azt jelenti, hogy meg kell találni egy x () hatványt, amelynél az egyenlőség teljesül

A logaritmus alapvető tulajdonságai

A fenti tulajdonságok ismerete szükséges, hiszen szinte minden logaritmushoz kapcsolódó probléma és példa ezek alapján megoldódik. A többi egzotikus tulajdonság matematikai manipulációkkal származtatható ezekkel a képletekkel

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

A logaritmusok összegének és különbségének képletének kiszámításakor (3.4) elég gyakran találkozunk. A többi kissé összetett, de számos feladatban nélkülözhetetlen az összetett kifejezések egyszerűsítéséhez és értékeinek kiszámításához.

A logaritmus gyakori esetei

Az elterjedt logaritmusok némelyike olyan, amelyben az alap tíz, exponenciális vagy kettő.
A tízes alapú logaritmust általában decimális logaritmusnak nevezik, és egyszerűen lg(x) jelöli.

A felvételen jól látszik, hogy az alapok nincsenek leírva a felvételen. Például

A természetes logaritmus olyan logaritmus, amelynek bázisa egy kitevő (ln(x)).

A kitevő 2,718281828…. A kitevő emlékezéséhez tanulmányozhatja a szabályt: a kitevő 2,7 és Leo Nikolaevich Tolsztoj születési évének kétszerese. Ennek a szabálynak a ismeretében tudni fogja a kitevő pontos értékét és Lev Tolsztoj születési dátumát.

És egy másik fontos logaritmus a kettes bázishoz jelölve

Egy függvény logaritmusának deriváltja egyenlő egy osztva a változóval

Az integrál vagy antiderivatív logaritmust a kapcsolat határozza meg

A megadott anyag elegendő a logaritmusokkal és logaritmusokkal kapcsolatos feladatok széles osztályának megoldására. Az anyag megértésének elősegítése érdekében csak néhány gyakori példát mutatok be iskolai tananyagés egyetemek.

Példák logaritmusra

Logaritmus kifejezések

1. példa
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

A 3.5 tulajdonságok segítségével kiszámítjuk

2.
A logaritmusok különbségének tulajdonsága alapján megvan

3.
A 3.5 tulajdonságokat használva azt találjuk

4. Ahol .

Egy bonyolultnak tűnő kifejezést számos szabály segítségével leegyszerűsítenek

Logaritmusértékek keresése

2. példa Keresse meg az x-et, ha

Megoldás. A számításhoz az utolsó tagú 5 és 13 tulajdonságokat alkalmazzuk

Feljegyezzük és gyászoljuk

Mivel az alapok egyenlőek, a kifejezéseket egyenlővé tesszük

Logaritmusok. Első szint.

Legyen megadva a logaritmusok értéke

Számítsa ki log(x) ha

Megoldás: Vegyük a változó logaritmusát, és írjuk fel a logaritmust a tagok összegére

Ez csak a kezdete a logaritmusokkal és tulajdonságaikkal való ismerkedésünknek. Gyakoroljon számításokat, gyarapítsa gyakorlati készségeit – a megszerzett tudásra hamarosan szüksége lesz a logaritmikus egyenletek megoldásához. Az ilyen egyenletek megoldásának alapvető módszereit tanulmányozva bővítjük ismereteit egy másik, ugyanolyan fontos témával - a logaritmikus egyenlőtlenségekkel...

A logaritmusok alapvető tulajdonságai

Logaritmusok összeadása és kivonása

Tekintsünk két azonos bázisú logaritmust: logaxot és logayt. Ezután összeadhatók és kivonhatók, és:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Feladat. Keresse meg a következő kifejezés értékét: log6 4 + log6 9.

Mivel a logaritmusoknak ugyanazok az alapjai, az összegképletet használjuk:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Feladat. Keresse meg a következő kifejezés értékét: log2 48 − log2 3.

Az alapok ugyanazok, a különbségi képletet használjuk:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Feladat. Keresse meg a következő kifejezés értékét: log3 135 − log3 5.

Az alapok ismét ugyanazok, így van:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Amint látható, az eredeti kifejezések „rossz” logaritmusokból állnak, amelyeket nem számítanak ki külön. De az átalakítások után teljesen normális számokat kapunk. Számos teszt ezen a tényen alapul. Igen, a tesztszerű kifejezéseket teljes komolysággal kínálják (néha gyakorlatilag változtatás nélkül) az egységes államvizsgán.

A kitevő kinyerése a logaritmusból

Most bonyolítsuk egy kicsit a feladatot. Mi van, ha a logaritmus alapja vagy argumentuma hatvány? Ekkor ennek a foknak a kitevője kivehető a logaritmus előjeléből a következő szabályok szerint:

Könnyen belátható, hogy az utolsó szabály az első kettőt követi. De jobb, ha emlékezni rá - bizonyos esetekben jelentősen csökkenti a számítások mennyiségét.

Hogyan kell megoldani a logaritmusokat

Leggyakrabban erre van szükség.

Feladat. Keresse meg a következő kifejezés értékét: log7 496.

Megszabadulunk az argumentum fokától az első képlet segítségével:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Feladat. Keresse meg a kifejezés jelentését:

Figyeljük meg, hogy a nevező logaritmust tartalmaz, melynek alapja és argumentuma pontos hatványok: 16 = 24; 49 = 72. Van:

Azt hiszem, az utolsó példa némi pontosítást igényel. Hová tűntek a logaritmusok? Az utolsó pillanatig csak a nevezővel dolgozunk. Az ott álló logaritmus alapját és argumentumát hatványok formájában mutattuk be, és kivettük a kitevőket - „három emeletes” törtet kaptunk.

Átmenet egy új alapra

Az új alapra való átállás képletei jönnek a segítségre. Fogalmazzuk meg őket tétel formájában:

Legyen adott a logaritmus logax. Ekkor bármely c számra, amelyben c > 0 és c ≠ 1, az egyenlőség igaz:

Konkrétan, ha c = x-et állítunk be, akkor kapjuk:

A második képletből az következik, hogy a logaritmus alapja és argumentuma felcserélhető, de ebben az esetben a teljes kifejezés „megfordul”, azaz. a logaritmus a nevezőben jelenik meg.

Ezek a képletek ritkán találhatók meg a közönséges numerikus kifejezésekben. Csak logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásánál lehet értékelni, hogy mennyire kényelmesek.

Vannak azonban olyan problémák, amelyeket egyáltalán nem lehet megoldani, csak egy új alapítványhoz költözni. Lássunk ezek közül párat:

Feladat. Keresse meg a következő kifejezés értékét: log5 16 log2 25.

Vegye figyelembe, hogy mindkét logaritmus argumentuma pontos hatványokat tartalmaz. Vegyük ki a mutatókat: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Most „fordítsuk meg” a második logaritmust:

Mivel a szorzat a faktorok átrendezésénél nem változik, nyugodtan szoroztunk négyet és kettőt, majd a logaritmusokkal foglalkoztunk.

Feladat. Keresse meg a következő kifejezés értékét: log9 100 lg 3.

Az első logaritmus alapja és argumentuma pontos hatványok. Írjuk le, és szabaduljunk meg a mutatóktól:

Most pedig szabaduljunk meg a decimális logaritmustól úgy, hogy új bázisra lépünk:

Alapvető logaritmikus azonosság

A megoldási folyamat során gyakran szükséges egy számot egy adott bázis logaritmusaként ábrázolni. Ebben az esetben a következő képletek segítenek nekünk:

Az első esetben az n szám lesz az argumentum kitevője. Az n szám teljesen bármi lehet, mert ez csak egy logaritmusérték.

A második képlet valójában egy átfogalmazott definíció. Így hívják: .

Az új bázisra való átállás képleteihez hasonlóan néha az alapvető logaritmikus azonosság az egyetlen lehetséges megoldás.

Feladat. Keresse meg a kifejezés jelentését:

Ha valaki nem tudná, ez egy igazi feladat volt az egységes államvizsgáról :)

Logaritmikus egység és logaritmikus nulla

logaa = 1 van. Emlékezz egyszer s mindenkorra: magának a bázisnak a logaritmusa minden a bázishoz egyenlő eggyel.
loga 1 = 0 az. Az a bázis bármi lehet, de ha az argumentum egyet tartalmaz, akkor a logaritmus egyenlő nullával! Mivel a0 = 1 a definíció egyenes következménye.

Ennyi az összes tulajdonság. Gyakorold ezek gyakorlatba ültetését! Töltse le a csalólapot a lecke elején, nyomtassa ki, és oldja meg a problémákat.