Dolgozzunk együtt másodfokú egyenletek... Ezek nagyon népszerű egyenletek! Legáltalánosabb formájában a másodfokú egyenlet így néz ki:
Például:
Itt a =1; b = 3; c = -4
Itt a =2; b = -0,5; c = 2,2
Itt a =-3; b = 6; c = -18
Nos, érted az ötletet ...
Hogyan lehet megoldani a másodfokú egyenleteket? Ha van másodfokú egyenlete ebben a formában, akkor minden egyszerű. Eszébe jut a varázsszó diszkrimináns ... Ritka középiskolás nem hallotta ezt a szót! A „diszkriminátoron keresztül történő döntés” kifejezés megnyugtató és megnyugtató. Mert nem kell várni a diszkriminátor piszkos trükkjeire! Használata egyszerű és problémamentes. Tehát a másodfokú egyenlet gyökereinek megtalálásának képlete így néz ki:
A gyökérjel alatti kifejezés ugyanaz diszkrimináns... Amint láthatja, az x megtalálásához használjuk csak a, b és c... Azok. együtthatók a másodfokú egyenletből. Csak óvatosan cserélje ki az értékeket a, b és c ebbe a képletbe és számolni. Helyettes a jeleiddel! Például az első egyenlethez a =1; b = 3; c= -4. Tehát írjuk le:
A példa majdnem megoldódott:
Ez minden.
Milyen esetek lehetségesek a képlet használatakor? Csak három eset van.
1. A diszkrimináns pozitív. Ez azt jelenti, hogy kivonhatja belőle a gyökeret. A jó gyökér kinyerésre kerül, vagy a rossz - egy másik kérdés. Fontos, hogy elvileg mit nyernek ki. Ekkor a másodfokú egyenletnek két gyökere van. Két különböző megoldás.
2. A diszkrimináns nulla. Akkor van egy megoldás. Szigorúan véve ez nem egy gyökér, hanem két egyforma... De ez szerepet játszik az egyenlőtlenségekben, ott részletesebben tanulmányozzuk a kérdést.
3. A diszkrimináns negatív. Negatív számból nem vonunk ki négyzetgyököt. Hát rendben. Ez azt jelenti, hogy nincsenek megoldások.
Minden nagyon egyszerű. És mit gondol, mit lehetetlen tévedni? Hát igen, hogyan ...
A leggyakoribb hibák a jelentésjelekkel való összetévesztés. a, b és c... Inkább nem a jeleikkel (hol kell összezavarodni?), Hanem a negatív értékek helyettesítésével a gyökszámítási képletben. Itt a képlet részletes jelölése meghatározott számokkal menti. Ha számítási problémák merülnek fel, tehát csináld meg!
Tegyük fel, hogy meg kell oldania ezt a példát:
Itt a = -6; b = -5; c = -1
Tegyük fel, hogy tudja, hogy először ritkán kap választ.
Nos, ne légy lusta. 30 másodpercbe telik egy további sor írása, és a hibák száma meredeken csökkenni fog... Tehát részletesen írunk, minden zárójelekkel és jelekkel:
Hihetetlenül nehéznek tűnik ilyen gondosan festeni. De csak úgy tűnik. Próbáld ki. Nos, vagy válasszon. Melyik a jobb, gyors vagy jobb? Ezen kívül boldoggá teszlek. Egy idő után nem kell mindent ilyen óvatosan festeni. Ez magától sikerülni fog. Különösen, ha az alább leírt gyakorlati technikákat használja. Ez a gonosz példa és egy csomó hátránya könnyen és hibamentesen megoldható!
Így, hogyan oldjuk meg a másodfokú egyenleteket emlékeztünk a diszkriminátoron keresztül. Vagy tanult, ami szintén nem rossz. Tudja, hogyan kell helyesen azonosítani a, b és c... Tudod, hogyan figyelmesen helyettesítse őket a gyökképletben és figyelmesen olvassa el az eredményt. Felfogod, hogy itt a kulcsszó figyelmesen?
A másodfokú egyenletek azonban gyakran kissé eltérnek. Például így:
azt hiányos másodfokú egyenletek ... Ezeket a diszkriminánssal is meg lehet oldani. Csak helyesen kell kitalálni, hogy mivel egyenlők a, b és c.
Kitaláltad? Az első példában a = 1; b = -4; a c? Egyáltalán nincs ott! Hát igen, így van. A matematikában ez azt jelenti c = 0 ! Ez minden. Helyettesítse a nullát a képletben ahelyett c,és sikerrel járunk. Ugyanez a helyzet a második példával is. Csak nulla nálunk nincs val vel, a b !
De a hiányos másodfokú egyenletek sokkal könnyebben megoldhatók. Mindenféle megkülönböztetés nélkül. Tekintsük az első hiányos egyenletet. Mit lehet ott csinálni a bal oldalon? Ki teheti az x -et a zárójelből! Vegyük ki.
És mi lesz belőle? És az a tény, hogy a szorzat nulla akkor és csak akkor, ha bármelyik tényező nulla! Nem hiszel nekem? Nos, akkor gondoljunk két nem nulla számra, amelyeket összeszorozva nulla lesz!
Nem működik? Ez az ...
Ezért bátran írhatjuk: x = 0, vagy x = 4
Minden. Ezek lesznek egyenletünk gyökerei. Mindkettő passzol. Ha bármelyiket behelyettesítjük az eredeti egyenletbe, akkor a helyes azonosságot kapjuk 0 = 0. Mint látható, a megoldás sokkal egyszerűbb, mint a megkülönböztető.
A második egyenlet is egyszerűen megoldható. Mozgassa a 9 -et a jobb oldalra. Kapunk:
Marad a 9 -ből a gyökér kivonása, és ennyi. Kiderül:
Szintén két gyökér ... x = +3 és x = -3.
Így oldják meg az összes hiányos másodfokú egyenletet. Vagy az x zárójelbe helyezésével, vagy egyszerűen a szám jobbra mozgatásával, majd a gyökér kivonásával.
Rendkívül nehéz összekeverni ezeket a technikákat. Egyszerűen azért, mert az első esetben ki kell vonnia a gyökeret az x -ből, ami valahogy érthetetlen, a második esetben pedig nincs mit kitenni a zárójelből ...
Egyelőre vegye figyelembe a bevált gyakorlatokat, amelyek drasztikusan csökkentik a hibákat. Pontosan azok, amelyek figyelmetlenségből adódnak.
Első fogadás... Ne légy lusta, hogy a normál formába hozza a másodfokú egyenlet megoldása előtt. Mit is jelent ez?
Tegyük fel, hogy néhány átalakítás után a következő egyenletet kapta:
Ne rohanjon a gyökszer képletének megírásával! Majdnem biztosan összekevered az esélyeket. a, b és c. Készítse el helyesen a példát. Először az X négyzet, majd a négyzet nélkül, majd a szabad tag. Mint ez:
És még egyszer: ne siess! A négyzet x előtti mínusz igazán szomorúvá teheti. Könnyű elfelejteni ... Szabadulj meg a mínusztól. Hogyan? Igen, ahogy az előző témában tanították! Meg kell szorozni az egész egyenletet -1 -gyel. Kapunk:
De most nyugodtan felírhatja a gyökerek képletét, kiszámíthatja a megkülönböztetőt és befejezheti a példát. Csináld magad. 2 és -1 gyökérrel kell rendelkeznie.
A második fogadása. Ellenőrizze a gyökereket! Vieta tétele szerint. Ne ijedjen meg, mindent elmagyarázok! Ellenőrzés utolsó dolog az egyenletet. Azok. az, amivel leírtuk a gyökerek képletét. Ha (mint ebben a példában) az együttható a = 1, a gyökerek ellenőrzése egyszerű. Elég, ha megszorozzuk őket. Ingyenes tagot kell szereznie, azaz esetünkben -2. Vigyázz, ne 2, hanem -2! Szabad tag az én jelzésemmel
... Ha nem működött, akkor valahol már el van cseszve. Keressen egy hibát. Ha sikerül, össze kell hajtania a gyökereket. Az utolsó és utolsó ellenőrzés. Kapnia kell egy együtthatót b val vel szemben
ismerős. Esetünkben -1 + 2 = +1. És az együttható b ami az x előtt -1. Szóval, minden korrekt!
Kár, hogy ez csak olyan példák esetében ilyen egyszerű, ahol az x négyzet tiszta, együtthatóval a = 1. De legalább ilyen egyenletekben ellenőrizze! Kevesebb hiba lesz.
A recepció harmadik... Ha töredék együtthatói vannak az egyenletben, akkor szabaduljon meg a törtektől! Szorozzuk meg az egyenletet a közös nevezővel az előző részben leírtak szerint. A törtekkel való munka során valamilyen okból hibák lépnek fel ...
Egyébként megígértem, hogy a gonosz példát leegyszerűsítem egy csomó hátrányával. Kérem! Itt van.
Annak érdekében, hogy ne zavarodjunk össze a mínuszokban, megszorozzuk az egyenletet -1 -gyel. Kapunk:
Ez minden! Öröm dönteni!
Tehát összefoglalva a témát.
Gyakorlati tanácsok:
1. Megoldás előtt a másodfokú egyenletet a standard formába hozzuk, felépítjük jobb.
2. Ha a négyzetben az x előtt negatív együttható található, akkor azt úgy szüntetjük meg, hogy megszorozzuk a teljes egyenletet -1 -gyel.
3. Ha az együtthatók törtek, akkor a törteket úgy szüntetjük meg, hogy megszorozzuk a teljes egyenletet a megfelelő tényezővel.
4. Ha az x négyzet tiszta, akkor az együtthatója eggyel egyenlő, a megoldás könnyen ellenőrizhető Vieta tételével. Csináld!
Törtegyenletek. ODZ.
Folytatjuk az egyenletek elsajátítását. Már tudjuk, hogyan kell lineáris és másodfokú egyenletekkel dolgozni. Marad az utolsó pillantás - tört egyenletek... Vagy sokkal szilárdabban is nevezik őket - töredékes racionális egyenletek... Ez ugyanaz.
Törtegyenletek.
Ahogy a neve is sugallja, ezekben az egyenletekben mindig vannak törtek. De nem csak törteket, hanem töredékeket is nevezőben ismeretlen... Legalább egy. Például:
Hadd emlékeztessem önöket, hogy ha a nevezők csak a számok, ezek lineáris egyenletek.
Hogyan kell megoldani tört egyenletek? Először is szabadulj meg a töredékektől! Ezt követően az egyenlet leggyakrabban lineárisra vagy másodfokúvá alakul. És akkor tudjuk, mit kell tennünk ... Bizonyos esetekben identitássá válhat, például 5 = 5, vagy helytelen kifejezéssel, például 7 = 2. De ez ritkán fordul elő. Ezt megemlítem alább.
De hogyan lehet megszabadulni a törtektől!? Nagyon egyszerű. Ugyanazon azonos transzformációk alkalmazása.
Az egész egyenletet meg kell szoroznunk ugyanazzal a kifejezéssel. Úgy, hogy minden nevező csökken! Egyszerre minden könnyebb lesz. Hadd magyarázzam egy példával. Tegyük fel, hogy meg kell oldanunk az egyenletet:
Hogyan tanított az alsó tagozatban? Mindent egy irányba viszünk át, közös nevezőre viszünk stb. Felejtsd el, mint egy rossz álmot! Ezt akkor kell elvégezni, amikor tört kifejezéseket ad hozzá vagy von le. Vagy egyenlőtlenségekkel dolgozni. Az egyenletekben pedig azonnal megszorozzuk mindkét oldalt egy kifejezéssel, amely lehetőséget ad arra, hogy minden nevezőt lecsökkentsünk (azaz lényegében közös nevezővel). És mi ez a kifejezés?
A bal oldalon a nevező törléséhez szorozzuk meg x + 2... A jobb oldalon pedig szorzás 2 -vel. Ez azt jelenti, hogy az egyenletet meg kell szorozni 2 (x + 2)... Szorozzuk:
Ez a törtek szokásos szorzása, de részletesen leírom:
Kérjük, vegye figyelembe, hogy a zárójelet még nem bővítem ki. (x + 2)! Tehát teljes terjedelmében leírom:
A bal oldalon ez teljesen csökken (x + 2), és a jobb oldalon 2. Ami kötelező! A redukció után kapjuk lineáris az egyenlet:
És ezt az egyenletet mindenki megoldja! x = 2.
Oldjunk meg még egy, kicsit bonyolultabb példát:
Ha emlékezünk rá, hogy 3 = 3/1, és 2x = 2x / 1, írhat:
És megint megszabadulunk attól, amit nem igazán szeretünk - törtek.
Látjuk, hogy az x -szel történő nevező törléséhez meg kell szorozni a törtet (x - 2)... Néhány nem akadály számunkra. Nos, szaporodunk. Az egész bal oldali és az egész jobb oldal:
Ismét zárójelek (x - 2) Nem hozom nyilvánosságra. A zárójel egészével dolgozom, mintha egy szám lenne! Ezt mindig meg kell tenni, különben semmi sem csökken.
Mély elégedettség érzésével vágunk (x - 2)és töredékek nélkül, vonalzóban kapjuk meg az egyenletet!
És most kinyitjuk a zárójeleket:
Hasonlókat adunk, mindent áthelyezünk a bal oldalra, és kapjuk:
Klasszikus másodfokú egyenlet. De a mínusz előre nem jó. Mindig megszabadulhat tőle, megszorozva vagy osztva -1 -gyel. De ha alaposan megvizsgálja a példát, észre fogja venni, hogy a legjobb, ha ezt az egyenletet elosztjuk -2 -vel! Egy csapásra eltűnik a mínusz, és az esélyek szebbek lesznek! Oszd el -2 -vel. A bal oldalon - kifejezés kifejezésenként, a jobb oldalon - egyszerűen ossza el a nullát -2 -vel, nullával, és kapja meg:
Megoldjuk a diszkriminánst, és Vieta tétele alapján ellenőrizzük. Kapunk x = 1 és x = 3... Két gyökér.
Mint látható, az első esetben az átalakítás utáni egyenlet lineáris lett, de itt másodfokú. Előfordul, hogy a törtek megszabadulása után minden xes csökken. Marad valami 5 = 5. Ez azt jelenti x bármi lehet... Bármi is legyen, akkor is zsugorodik. És megkapod az őszinte igazságot, 5 = 5. De a frakcióktól való megszabadulás után kiderülhet, hogy teljesen valótlan, például 2 = 7. Ez azt jelenti nincsenek megoldások! Bármely x esetén kiderül, hogy valótlan.
Felismerte a fő megoldást tört egyenletek? Egyszerű és logikus. Az eredeti kifejezést úgy változtatjuk meg, hogy minden, ami nem tetszik, eltűnik. Vagy beavatkozik. Ebben az esetben ezek törtek. Ugyanezt fogjuk tenni mindenféle összetett példával, logaritmusokkal, szinuszokkal és más borzalmakkal. Mi mindig megszabadulunk mindettől.
Az eredeti kifejezést azonban a szükséges irányba kell megváltoztatnunk. a szabályok szerint, igen ... Elsajátítása, amely a matematika vizsgára való felkészülés. Tehát elsajátítjuk.
Most megtanuljuk, hogyan lehet megkerülni az egyiket fő lesek a vizsgán! De először nézzük meg, belevágsz -e vagy sem?
Nézzünk egy egyszerű példát:
A dolog már ismerős, mindkét részt megszorozzuk (x - 2), kapunk:
Emlékeztetlek, zárójelekkel (x - 2)úgy dolgozunk, mint egy teljes kifejezéssel!
Itt már nem írtam 1 -et a nevezőkbe, ez méltatlan ... És nem írtam zárójeleket a nevezőkbe, kivéve x - 2 nincs semmi, nem kell rajzolni. Rövidítjük:
Kinyitjuk a zárójeleket, mindent balra mozgatunk, hasonlóakat adunk:
Megoldjuk, ellenőrizzük, két gyökeret kapunk. x = 2és x = 3... Bírság.
Tegyük fel, hogy a feladat azt írja, hogy írja le a gyökeret vagy azok összegét, ha több gyök van. Mit fogunk írni?
Ha úgy dönt, hogy a válasz 5, akkor Ön lesben voltak... És a feladat nem számít számodra. Hiába dolgoztak ... Helyes válasz 3.
Mi a helyzet?! És megpróbál csekket csinálni. Helyettesítsd be az ismeretlen értékét eredeti példa. És ha at x = 3 minden csodálatosan össze fog nőni velünk, 9 = 9, majd a x = 2 osztás nullával! Amit nem lehet kategorikusan megtenni. Eszközök x = 2 nem megoldás, és nem veszik figyelembe a válaszban. Ez az úgynevezett idegen vagy extra gyökér. Csak leejtjük. A végső gyökér egy. x = 3.
Hogy hogy ?! - Felháborodott felkiáltásokat hallok. Azt tanítottuk, hogy egy egyenletet meg lehet szorozni egy kifejezéssel! Ez egy hasonló átalakítás!
Igen, azonos. Kis feltétellel - a kifejezéssel, amellyel szaporodunk (osztunk) - nem nulla... A x - 2 nál nél x = 2 egyenlő a nullával! Tehát minden tisztességes.
És most mit tehetek ?! Ne szaporítsd kifejezéssel? Minden alkalommal ellenőriznie kell? Ismét nem világos!
Nyugodtan! Ne essen pánikba!
Ebben a nehéz helyzetben három varázsbetű ment meg minket. Tudom, mire gondol. Jobb! azt ODZ ... Az engedélyezett értékek tartománya.
Ezzel a matematikai programmal megteheti másodfokú egyenlet megoldása.
A program nemcsak választ ad a problémára, hanem kétféleképpen is megjeleníti a megoldás folyamatát:
- a diszkrimináns használatával
- Vieta tételének felhasználásával (ha lehetséges).
Ezenkívül a válasz pontos, nem közelítő.
Például a \ (81x ^ 2-16x-1 = 0 \) egyenlet esetén a válasz a következő formában jelenik meg:
Ez a program hasznos lehet a középiskolák felső tagozatos diákjai számára a tesztekre és a vizsgákra való felkészülés során, amikor a tudást a vizsga előtt ellenőrzik, a szülők pedig ellenőrizhetik a matematika és az algebra számos feladatának megoldását. Vagy talán túl drága, ha oktatót vesz fel, vagy új tankönyveket vásárol? Vagy csak a lehető leggyorsabban szeretné elvégezni a matematikai vagy algebrai házi feladatát? Ebben az esetben részletes megoldással is használhatja programjainkat.
Ily módon saját maga és / vagy öccsei vagy nővérei tanítását végezheti, miközben a megoldandó problémák területén az oktatás szintje nő.
Ha nem ismeri a négyzet polinom megadásának szabályait, javasoljuk, hogy ismerkedjen meg velük.
Négyzetes polinom megadásának szabályai
Bármilyen latin betű használható változóként.
Például: \ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \) stb.
A számokat egész vagy tört számként lehet megadni.
Ezenkívül tört számokat nem csak tizedes, hanem közönséges tört formájában is be lehet írni.
A tizedes törtek bevitelére vonatkozó szabályok.
A tizedes törteknél az egész töredékrészét pont vagy vessző választhatja el.
Például a következő tizedesjegyeket adhatja meg: 2,5x - 3,5x ^ 2
A rendes törtek bevitelére vonatkozó szabályok.
Csak egész szám használható számlálóként, nevezőként és tört töredékeként.
A nevező nem lehet negatív.
Egy számtörés megadásakor a számlálót osztójellel választjuk el a nevezőtől: /
Az egész részt egy törtjel választja el a törttől: &
Bemenet: 3 & 1/3 - 5 & 6 / 5z + 1 / 7z ^ 2
Eredmény: \ (3 \ frac (1) (3) - 5 \ frac (6) (5) z + \ frac (1) (7) z ^ 2 \)
Amikor kifejezést ír be konzolok használhatók... Ebben az esetben másodfokú egyenlet megoldásakor a bevezetett kifejezés először egyszerűsödik.
Például: 1/2 (y-1) (y + 1)-(5y-10 & 1/2)
Döntsd el
Azt találtuk, hogy a probléma megoldásához szükséges szkriptek nincsenek betöltve, és előfordulhat, hogy a program nem működik.
Lehet, hogy engedélyezte az AdBlock szolgáltatást.
Ebben az esetben tiltsa le, és frissítse az oldalt.
A megoldás megjelenítéséhez engedélyeznie kell a JavaScriptet.
Itt találhatók utasítások a JavaScript engedélyezéséhez a böngészőben.
Mivel Sokan szeretnék megoldani a problémát, a kérése sorba kerül.
Néhány másodperc múlva a megoldás megjelenik az alábbiakban.
Kérlek várj másodperc ...
Ha te hibát észlelt a megoldásban, akkor erről írhat a Visszajelzés űrlapon.
Ne felejtsd el jelezze, melyik feladatot te döntöd el és mit írja be a mezőkbe.
Játékok, rejtvények, emulátorok:
Egy kis elmélet.
Másodfokú egyenlet és gyökerei. Hiányos másodfokú egyenletek
Mindegyik egyenlet
\ (- x ^ 2 + 6x + 1,4 = 0, \ quad 8x ^ 2-7x = 0, \ quad x ^ 2- \ frac (4) (9) = 0 \)
formája van
\ (ax ^ 2 + bx + c = 0, \)
ahol x egy változó, a, b és c számok.
Az első egyenletben a = -1, b = 6 és c = 1,4, a másodikban a = 8, b = -7 és c = 0, a harmadikban a = 1, b = 0 és c = 4/9. Az ilyen egyenleteket ún másodfokú egyenletek.
Meghatározás.
Másodfokú egyenlet az ax 2 + bx + c = 0 alakú egyenlet, ahol x egy változó, a, b és c néhány szám, és \ (a \ neq 0 \).
Az a, b és c számok a másodfokú egyenlet együtthatói. Az a számot az első együtthatónak, a b számot a második együtthatónak, a c számot pedig szabad kifejezésnek nevezzük.
Az ax 2 + bx + c = 0 alakú egyenletek mindegyikében, ahol \ (a \ neq 0 \) az x változó legnagyobb hatalma a négyzet. Innen a név: másodfokú egyenlet.
Ne feledje, hogy a másodfokú egyenletet másodfokú egyenletnek is nevezik, mivel bal oldala a másodfokú polinom.
Másodfokú egyenletet nevezünk, amelyben az x 2 együtthatója 1 redukált másodfokú egyenlet... Például a redukált másodfokú egyenletek az egyenletek
\ (x ^ 2-11x + 30 = 0, \ quad x ^ 2-6x = 0, \ quad x ^ 2-8 = 0 \)
Ha az ax 2 + bx + c = 0 másodfokú egyenletben a b vagy c együtthatók közül legalább az egyik egyenlő nullával, akkor az ilyen egyenletet ún. hiányos másodfokú egyenlet... Tehát a -2x 2 + 7 = 0, 3x 2 -10x = 0, -4x 2 = 0 egyenletek hiányos másodfokú egyenletek. Az elsőben b = 0, a másodikban c = 0, a harmadikban b = 0 és c = 0.
A hiányos másodfokú egyenletek három típusból állnak:
1) ax 2 + c = 0, ahol \ (c \ neq 0 \);
2) ax 2 + bx = 0, ahol \ (b \ neq 0 \);
3) ax 2 = 0.
Tekintsük az egyes típusok egyenleteinek megoldását.
Az ax 2 + c = 0 alakú hiányos másodfokú egyenlet megoldásához \ (c \ neq 0 \) esetén helyezze át a szabad tagját a jobb oldalra, és ossza el az egyenlet mindkét oldalát a:
\ (x ^ 2 = - \ frac (c) (a) \ Jobbra mutató nyilak x_ (1,2) = \ pm \ sqrt ( - \ frac (c) (a)) \)
Mivel \ (c \ neq 0 \), akkor \ (- \ frac (c) (a) \ neq 0 \)
Ha \ (- \ frac (c) (a)> 0 \), akkor az egyenletnek két gyöke van.
Ha \ (- \ frac (c) (a) Az ax 2 + bx = 0 alakú hiányos másodfokú egyenlet megoldása a bal oldali \ (b \ neq 0 \) tényezővel, és kapjuk meg az egyenletet
\ (x (ax + b) = 0 \ Jobbra mutató nyíl \ bal \ (\ begin (tömb)) (l) x = 0 \\ ax + b = 0 \ end (array) \ right. \ Jobbra mutató nyíl \ left \ (\ begin (tömb) (l) x = 0 \\ x = - \ frac (b) (a) \ vége (tömb) \ jobb. \)
Ezért az ax 2 + bx = 0 alakú \ (b \ neq 0 \) alakú hiányos másodfokú egyenletének mindig két gyöke van.
Az ax 2 = 0 alakú hiányos másodfokú egyenlete egyenlő az x 2 = 0 egyenlettel, ezért egyedi gyökere van.
A másodfokú egyenlet gyökeinek képlete
Most nézzük meg, hogyan oldódnak meg a másodfokú egyenletek, amelyekben mind az ismeretlenek együtthatói, mind a szabad kifejezés nulla.
Oldjuk meg a másodfokú egyenletet általános formában, és ennek eredményeként kapjuk meg a gyökök képletét. Ekkor ez a képlet bármely másodfokú egyenlet megoldására alkalmazható.
Oldja meg az ax 2 + bx + c = 0 másodfokú egyenletet!
Mindkét részét a -val osztva megkapjuk az egyenértékű redukált másodfokú egyenletet
\ (x ^ 2 + \ frac (b) (a) x + \ frac (c) (a) = 0 \)
Ezt az egyenletet a binomiális négyzet kiválasztásával alakítjuk át:
\ (x ^ 2 + 2x \ cdot \ frac (b) (2a) + \ bal (\ frac (b) (2a) \ jobb) ^ 2- \ bal (\ frac (b) (2a) \ jobb) ^ 2 + \ frac (c) (a) = 0 \ Jobbra mutató nyíl \)
A radikális kifejezést ún a másodfokú egyenlet diszkriminánsa ax 2 + bx + c = 0 (a latin "diszkrimináns" diszkriminátor). Ezt D betű jelöli, azaz
\ (D = b ^ 2-4ac \)
Most a diszkrimináns jelölését használva átírjuk a másodfokú egyenlet gyökereinek képletét:
\ (x_ (1,2) = \ frac (-b \ pm \ sqrt (D)) (2a) \), ahol \ (D = b ^ 2-4ac \)
Nyilvánvaló, hogy:
1) Ha D> 0, akkor a másodfokú egyenletnek két gyöke van.
2) Ha D = 0, akkor a másodfokú egyenletnek egy gyökere van \ (x = - \ frac (b) (2a) \).
3) Ha D Így a diszkrimináns értékétől függően a másodfokú egyenletnek két gyöke lehet (D> 0 esetén), egy gyöke (D = 0 esetén), vagy nem lehet gyök (D esetén, ha másodfokú egyenletet oldunk meg ezzel képlet, tanácsos a következőképpen járni:
1) számítsa ki a diszkriminánst, és hasonlítsa össze nullával;
2) ha a diszkrimináns pozitív vagy nulla, akkor használja a gyökképletet, ha a diszkrimináns negatív, akkor írja le, hogy nincs gyök.
Vieta tétele
A megadott ax 2 -7x + 10 = 0 másodfokú egyenletnek 2 és 5 gyöke van. A gyökök összege 7, a szorzat pedig 10. Látjuk, hogy a gyökök összege megegyezik az ellenkezőjével vett második együtthatóval jel, és a gyökerek szorzata egyenlő a szabad kifejezéssel. Minden adott másodfokú egyenlet, amelynek gyökerei vannak, rendelkezik ezzel a tulajdonsággal.
Az adott másodfokú egyenlet gyökeinek összege megegyezik a második együtthatóval, ellentétes előjellel, és a gyök szorzata egyenlő a szabad taggal.
Azok. Vieta tétele szerint az x 2 + px + q = 0 redukált másodfokú egyenlet x 1 és x 2 gyökei a következő tulajdonságokkal rendelkeznek:
\ (\ balra \ (\ kezdődik (tömb) (l) x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \ cdot x_2 = q \ vége (tömb) \ jobbra. \)
A másodfokú egyenletek gyakran megjelennek a fizika és a matematika különböző feladatainak megoldásakor. Ebben a cikkben megvizsgáljuk, hogyan lehet ezeket az egyenlőségeket univerzális módon "megkülönböztető módon" megoldani. A megszerzett tudás felhasználásának példái is megtalálhatók a cikkben.
Milyen egyenletekről beszélünk?
Az alábbi ábrán egy képlet látható, amelyben x ismeretlen változó, és a latin a, b, c szimbólumok néhány ismert számot jelentenek.
Ezen szimbólumok mindegyikét együtthatónak nevezik. Amint láthatja, az "a" szám az x négyzetes változó előtt van. Ez a bemutatott kifejezés maximális ereje, ezért másodfokú egyenletnek nevezik. Másik nevét gyakran használják: másodrendű egyenlet. Az a értéke önmagában a négyzet együtthatója (a változó négyzetére utal), b a lineáris együttható (az első fokozatra emelt változó mellett van), és végül a c szám a szabad tag.
Vegye figyelembe, hogy a fenti ábrán látható egyenlet formája egy klasszikus négyzetes kifejezés. Ezen kívül vannak más másodrendű egyenletek is, amelyekben a b, c együttható lehet nulla.
Amikor a problémát a megfontolt egyenlőség megoldására vetik fel, ez azt jelenti, hogy meg kell találni az x változó olyan értékeit, amelyek kielégítik azt. Itt az első dolog, amit emlékeznünk kell, a következő: mivel az x maximális foka 2, akkor ez a fajta kifejezés nem tartalmazhat 2 -nél több megoldást. Ez azt jelenti, hogy ha az egyenlet megoldása során 2 x értéket találunk, amelyek kielégítik azt, akkor biztosak lehetünk abban, hogy nincs harmadik szám, amelyet helyettesítve x helyett az egyenlőség is igaz lenne. A matematikai egyenlet megoldásait gyöknek nevezzük.
Másodrendű egyenletek megoldásának módszerei
Az ilyen típusú egyenletek megoldásához bizonyos elmélet ismerete szükséges. Az iskolai algebra tanfolyamon 4 különböző megoldási módszert vesznek figyelembe. Soroljuk fel őket:
- faktorizáció használata;
- a teljes négyzet képletének használata;
- a megfelelő másodfokú függvény grafikonjának alkalmazásával;
- a diszkrimináns egyenlet segítségével.
Az első módszer előnye az egyszerűségében rejlik, azonban nem alkalmazható minden egyenletre. A második módszer univerzális, de kissé nehézkes. A harmadik módszer egyértelműsége miatt nevezetes, de nem mindig kényelmes és alkalmazható. És végül, a diszkrimináns egyenlet használata egyetemes és meglehetősen egyszerű módja annak, hogy megtaláljuk minden másodrendű egyenlet gyökereit. Ezért a cikkben csak figyelembe vesszük.
Az egyenlet gyökereinek képlete
Térjünk rá a másodfokú egyenlet általános formájára. Írjuk le: a * x² + b * x + c = 0. Mielőtt a megoldás módját „a diszkriminátoron keresztül” használná, az egyenlőséget mindig az írásbeli formára kell csökkenteni. Vagyis három tagból kell állnia (vagy kevesebbből, ha b vagy c 0).
Például, ha van egy kifejezés: x² -9 * x + 8 = -5 * x + 7 * x², akkor először az összes kifejezést az egyenlőség egyik oldalára kell helyeznie, és hozzá kell adnia az x változót tartalmazó kifejezéseket a ugyanazok a hatalmak.
Ebben az esetben ez a művelet a következő kifejezéshez vezet: -6 * x²-4 * x + 8 = 0, ami egyenértékű a 6 * x² + 4 * x-8 = 0 egyenlettel (itt megszoroztuk a bal és az egyenlőség jobb oldalai -1) ...
A fenti példában a = 6, b = 4, c = -8. Ne feledje, hogy a szóban forgó egyenlőség minden feltétele mindig össze van foglalva egymással, így ha megjelenik a "-" jel, ez azt jelenti, hogy a megfelelő együttható negatív, mint ebben az esetben a c szám.
Miután megvizsgáltuk ezt a pontot, most magához a képlethez fordulunk, amely lehetővé teszi egy másodfokú egyenlet gyökereinek megszerzését. Az alábbi képen látható formában van.
Amint ebből a kifejezésből látható, lehetővé teszi két gyökér megszerzését (figyelni kell a "±" jelre). Ehhez elegendő a b, c és a együtthatókat behelyettesíteni.
Diszkriminatív koncepció
Az előző bekezdésben olyan képletet adtak meg, amely lehetővé teszi bármely másodrendű egyenlet gyors megoldását. Ebben a radikális kifejezést diszkriminánsnak nevezik, azaz D = b²-4 * a * c.
Miért van kiemelve a képlet ezen része, és még saját neve is van? A tény az, hogy a diszkrimináns az egyenlet mindhárom együtthatóját egyetlen kifejezésbe kapcsolja. Ez utóbbi tény azt jelenti, hogy teljes mértékben tartalmaz információkat a gyökerekről, amelyek a következő listában fejezhetők ki:
- D> 0: az egyenlőségnek két különböző megoldása van, mindkettő valós szám.
- D = 0: Az egyenletnek csak egy gyöke van, és valós szám.
A diszkrimináns meghatározásának feladata
Mondjunk egy egyszerű példát a diszkrimináns megtalálására. Adjuk meg a következő egyenlőséget: 2 * x²-4 + 5 * x-9 * x² = 3 * x-5 * x² + 7.
A szabványos formába hozzuk, és ezt kapjuk: (2 * x²-9 * x² + 5 * x²) + (5 * x-3 * x) + (-4-7) = 0, ahonnan elérjük az egyenlőséget : -2 * x² + 2 * x -11 = 0. Itt a = -2, b = 2, c = -11.
Most már használhatja a megkülönböztető képletét: D = 2² - 4 * ( - 2) * ( - 11) = -84. A kapott szám a válasz a feladatra. Mivel a példában szereplő diszkrimináns kisebb, mint nulla, akkor azt mondhatjuk, hogy ennek a másodfokú egyenletnek nincs valódi gyökere. Csak a komplex számok lesznek a megoldásai.
Példa az egyenlőtlenségre a diszkrimináns révén
Oldjunk meg egy kicsit más típusú problémákat: a -3 * x² -6 * x + c = 0. egyenlőség miatt. Olyan c értékeket kell találni, amelyekre D> 0.
Ebben az esetben a 3 együtthatóból csak 2 ismeretes, így a diszkrimináns pontos értékét nem lehet kiszámítani, de ismert, hogy pozitív. Az utolsó tényt használjuk az egyenlőtlenség felépítésekor: D = (-6) ²-4 * (-3) * c> 0 => 36 + 12 * c> 0. A kapott egyenlőtlenség megoldása az eredményhez vezet: c> -3.
Ellenőrizzük a kapott számot. Ehhez számítsa ki a D -t 2 esetre: c = -2 és c = -4. A -2 szám kielégíti a kapott eredményt (-2> -3), a megfelelő diszkrimináns értéke: D = 12> 0. A -4 szám viszont nem elégíti ki az egyenlőtlenséget (-4 Így minden c szám, amely nagyobb, mint -3, teljesíti a feltételt.
Példa egy egyenlet megoldására
Mutassunk be egy problémát, amely nemcsak a diszkrimináns megtalálását, hanem az egyenlet megoldását is jelenti. Meg kell találni az egyenlőség gyökereit -2 * x² + 7-9 * x = 0.
Ebben a példában a diszkrimináns egyenlő a következő értékkel: D = 81-4 * (- 2) * 7 = 137. Ezután az egyenlet gyökeit a következőképpen határozzuk meg: x = (9 ± √137) / (- 4). Ezek a gyökök pontos értékei, ha kiszámítja a hozzávetőleges gyököt, akkor a következő számokat kapja: x = -5,176 és x = 0,676.
Geometriai probléma
Oldjunk meg egy problémát, amelyhez nemcsak a diszkrimináns kiszámításának képessége, hanem az absztrakt gondolkodási készségek és a másodfokú egyenletek készítésének ismerete is szükséges.
Bobnak 5 x 4 méteres paplanja volt. A fiú folytonos, szép anyagból készült csíkot akart varrni a kerületre. Milyen vastag lesz ez a csík, ha Bobról ismert, hogy 10 m² anyaggal rendelkezik.
Hagyja, hogy a csík vastagsága xm legyen, akkor a szövet területe a takaró hosszú oldala mentén (5 + 2 * x) * x lesz, és mivel 2 hosszú oldala van, 2 x x * (5 + 2 * x). A rövid oldalon a varrott szövet területe 4 * x lesz, mivel 2 ilyen oldal van, így 8 * x értéket kapunk. Ne feledje, hogy 2 * x került a hosszú oldalra, mivel a takaró hossza ezzel a számmal nőtt. A takaróhoz varrott szövet teljes területe 10 m². Ezért egyenlőséget kapunk: 2 * x * (5 + 2 * x) + 8 * x = 10 => 4 * x² + 18 * x-10 = 0.
Ebben a példában a diszkrimináns: D = 18²-4 * 4 * (-10) = 484. Gyöke 22. A képlet segítségével megtaláljuk a szükséges gyököket: x = (-18 ± 22) / (2 * 4) = (- 5; 0,5). Nyilvánvaló, hogy a két gyök közül csak a 0,5 -ös szám alkalmas a feladatmegállapításra.
Így a szövetcsík, amelyet Bob a takarójához varr, 50 cm széles lesz.
Egyszerűbb módon. Ehhez vegye ki a z -t a zárójelből. Kapni fog: z (аz + b) = 0. A faktorok írhatók: z = 0 és аz + b = 0, mivel mindkettő nullát eredményezhet. Az az + b = 0 jelölésben a másodikat jobbra mozgatjuk más előjellel. Ezért z1 = 0 és z2 = -b / a értékeket kapunk. Ezek az eredet gyökerei.
Ha van egy аz² + с = 0 alakú hiányos egyenlet, akkor ebben az esetben úgy találjuk meg őket, hogy egyszerűen áthelyezzük a szabad kifejezést az egyenlet jobb oldalára. Ennek során változtassa meg a jelét is. Az eredmény az² = -с lesz. Express z² = -c / a. Fogja meg a gyökeret, és írjon le két megoldást - pozitív és negatív négyzetgyököt.
jegyzet
Ha vannak tört együtthatói az egyenletben, akkor szorozza meg a teljes egyenletet a megfelelő tényezővel, hogy megszabaduljon a törtektől.
A másodfokú egyenletek megoldásának ismerete mind az iskolások, mind a diákok számára szükséges, néha ez egy felnőtt számára is segíthet a mindennapi életben. Számos speciális megoldási módszer létezik.
Másodfokú egyenletek megoldása
A * x ^ 2 + b * x + c = 0 alakú másodfokú egyenlet. Az x együttható a kívánt változó, a, b, c numerikus együtthatók. Ne feledje, hogy a "+" jel "-" jelre változhat.Ennek az egyenletnek a megoldásához fel kell használni Vieta tételét, vagy meg kell találni a diszkriminánst. A leggyakoribb módszer a diszkrimináns megtalálása, mivel az a, b, c egyes értékei esetén nem lehet Vieta tételét használni.
A (D) megkülönböztető megtalálásához meg kell írnia a D = b ^ 2 - 4 * a * c képletet. A D érték lehet nagyobb, kisebb vagy egyenlő nullával. Ha D nagyobb vagy kisebb nullánál, akkor két gyök lesz, ha D = 0, akkor csak egy gyök marad, pontosabban mondhatjuk, hogy D -nek ebben az esetben két egyenértékű gyöke van. Csatlakoztassa az ismert a, b, c együtthatókat a képletbe, és számítsa ki az értéket.
Miután megtalálta a megkülönböztetőt, az x megkereséséhez használja a következő képleteket: x (1) = (- b + sqrt (D)) / 2 * a; x (2) = (- b-sqrt (D)) / 2 * a, ahol az sqrt egy függvény az adott szám négyzetgyökének kinyerésére. Ezeknek a kifejezéseknek a kiszámításával az egyenlet két gyökerét találja, amely után az egyenlet megoldottnak tekinthető.
Ha D kisebb nullánál, akkor még mindig vannak gyökerei. Az iskolában ezt a részt gyakorlatilag nem tanulmányozzák. Az egyetemi hallgatóknak tisztában kell lenniük azzal, hogy a gyökérben negatív szám jelenik meg. Megszabadulnak attól, hogy kiemelik a képzeletbeli részt, vagyis a -1 a gyök alatt mindig egyenlő az elképzelt "i" elemmel, amelyet megszoroznak az azonos pozitív számmal rendelkező gyökérrel. Például, ha D = sqrt (-20), akkor az átalakítás után kiderül, hogy D = sqrt (20) * i. Ezen átalakítás után az egyenlet megoldása a gyök azonos megállapítására redukálódik, a fent leírtak szerint.
Vieta tétele az x (1) és x (2) értékek kiválasztása. Két azonos egyenletet használunk: x (1) + x (2) = -b; x (1) * x (2) = c. Ezenkívül egy nagyon fontos pont a b együttható előtti előjel, ne feledje, hogy ez a jel ellentétes az egyenlettel. Első pillantásra úgy tűnik, hogy nagyon könnyű kiszámítani az x (1) és az x (2) értékeket, de a megoldás során szembesülni kell azzal, hogy ki kell választani a számokat.
Elemek másodfokú egyenletek megoldásához
A matematika szabályai szerint néhányat tényezőkre lehet bontani: (a + x (1)) * (bx (2)) = 0, ha ezt a másodfokú egyenletet így sikerült átalakítani a matematika képleteivel, akkor nyugodtan írd le a választ. x (1) és x (2) egyenlő lesz a zárójelben lévő szomszédos együtthatókkal, de ellenkező előjellel.Ne feledkezzen meg a hiányos másodfokú egyenletekről sem. Lehet, hogy hiányzik néhány kifejezés, ha igen, akkor minden együtthatója egyszerűen nulla. Ha x ^ 2 vagy x előtt nincs semmi, akkor az a és b együttható 1.
Ez a téma elsőre bonyolultnak tűnhet a sok nehéz képlet miatt. Nemcsak maguk a másodfokú egyenletek rendelkeznek hosszú rekordokkal, hanem a gyökerek is megtalálhatók a megkülönböztetőn keresztül. Összesen három új képlet van. Nem könnyű emlékezni. Ez csak az ilyen egyenletek gyakori megoldása után lehetséges. Akkor minden képlet emlékezni fog magára.
A másodfokú egyenlet általános nézete
Itt kifejezett rögzítésük javasolt, amikor először a legmagasabb fokozatot rögzítik, majd csökkenő sorrendben. Gyakran előfordul, hogy a feltételek nem megfelelőek. Akkor jobb újraírni az egyenletet a változó mértékének csökkenő sorrendjében.
Bemutatjuk a jelölést. Ezeket az alábbi táblázat tartalmazza.
Ha elfogadjuk ezeket a jelöléseket, minden másodfokú egyenlet a következő rekordra csökken.
Sőt, az együttható a ≠ 0. Ezt a képletet jelölje az első.
Az egyenlet megadásakor nem világos, hogy hány gyök lesz a válaszban. Mivel a három lehetőség egyike mindig lehetséges:
- két gyökere lesz a megoldásnak;
- a válasz egy szám;
- az egyenletnek egyáltalán nem lesz gyökere.
És amíg a döntést nem fejezik be, nehéz megérteni, hogy a lehetőségek közül melyik esik ki egy adott esetben.
A másodfokú egyenletek rekordjainak típusai
A feladatok különböző rekordjaikat tartalmazhatják. Nem mindig fognak úgy nézni, mint egy általános másodfokú egyenlet. Néha hiányzik belőle néhány kifejezés. A fent leírtak teljes egyenletek. Ha eltávolítja a második vagy harmadik kifejezést, akkor valami mást kap. Ezeket a rekordokat másodfokú egyenleteknek is nevezik, csak hiányosak.
Ezenkívül csak azok a kifejezések tűnhetnek el, amelyekben a "b" és a "c" együttható szerepel. Az "a" szám semmilyen körülmények között nem lehet nulla. Mert ebben az esetben a képlet lineáris egyenletké alakul. A hiányos egyenletformátumok képletei a következők:
Tehát csak két típus létezik, a teljes típusok mellett hiányos másodfokú egyenletek is. Legyen az első képlet a második és a második szám.
A gyökerek számának megkülönböztetése és függése az értékétől
Ezt a számot ismernie kell az egyenlet gyökereinek kiszámításához. Mindig kiszámítható, függetlenül a másodfokú egyenlet képletétől. A diszkrimináns kiszámításához az alábbiakban felsorolt egyenlőséget kell használnia, amelynek négyes száma lesz.
Miután az együtthatók értékeit behelyettesítette ebbe a képletbe, különböző jelekkel rendelkező számokat kaphat. Ha a válasz igen, akkor az egyenletre adott válasz két különböző gyök lesz. Negatív szám esetén a másodfokú egyenlet gyökerei hiányoznak. Ha nulla, akkor a válasz egy lesz.
Hogyan oldható meg a teljes másodfokú egyenlet?
Valójában ennek a kérdésnek a vizsgálata már megkezdődött. Mert először meg kell találnia a megkülönböztetőt. Miután kiderült, hogy a másodfokú egyenletnek vannak gyökerei, és ezek száma ismert, a változók képletét kell használnia. Ha két gyökere van, akkor ezt a képletet kell alkalmaznia.
Mivel a „±” jelet tartalmazza, két érték lesz. A négyzetgyök kifejezés a diszkrimináns. Ezért a képletet más módon is át lehet írni.
Az ötödik képlet. Ugyanez a rekord azt mutatja, hogy ha a diszkrimináns nulla, akkor mindkét gyök azonos értékeket vesz fel.
Ha a másodfokú egyenletek megoldását még nem dolgozták ki, akkor jobb, ha felírja az összes együttható értékét, mielőtt alkalmazná a megkülönböztető és változó képletet. Később ez a pillanat nem okoz nehézségeket. De a legelején zavar van.
Hogyan oldható meg a hiányos másodfokú egyenlet?
Itt minden sokkal egyszerűbb. Még további képletekre sincs szükség. És nem lesz szüksége azokra, amelyeket már rögzítettek a megkülönböztető és az ismeretlen számára.
Először is tekintsük a kettes számú hiányos egyenletet. Ebben az egyenlőségben a zárójelből ki kell venni az ismeretlen mennyiséget, és meg kell oldani a zárójelben maradt lineáris egyenletet. A válasznak két gyökere lesz. Az első szükségszerűen egyenlő a nullával, mert van egy tényező, amely magából a változóból áll. A másodikat lineáris egyenlet megoldásával kapjuk.
A harmadik számú hiányos egyenletet úgy oldják meg, hogy a számot az egyenlet bal oldaláról átviszik a jobb oldalra. Akkor osztanod kell a tényezővel az ismeretlen előtt. Csak a négyzetgyök kivonása marad, és ne felejtse el kétszer felírni ellentétes jelekkel.
Ezután néhány műveletet írunk, amelyek segítenek megtanulni, hogyan kell megoldani mindenféle egyenlőséget, amely másodfokú egyenletekké alakul. Segítenek a diáknak, hogy elkerülje a gondatlan hibákat. Ezek a hiányosságok okozzák a gyenge osztályzatokat a "Másodfokú egyenletek (8. fokozat)" kiterjedt téma tanulmányozásakor. Ezt követően ezeket a műveleteket nem kell folyamatosan végrehajtani. Mert megjelenik egy stabil készség.
- Először meg kell írnia az egyenletet szabványos formában. Vagyis először a változó legmagasabb fokú kifejezése, majd - a fok és az utolsó nélkül - csak egy szám.
- Ha egy mínusz jelenik meg az "a" együttható előtt, akkor bonyolíthatja a munkát egy kezdő számára a másodfokú egyenletek tanulmányozásához. Jobb megszabadulni tőle. Ebből a célból minden egyenlőséget meg kell szorozni "-1" -el. Ez azt jelenti, hogy minden kifejezés az ellenkezőjére változtatja a jelét.
- Ugyanígy ajánlott megszabadulni a frakcióktól. Egyszerűen szorozza meg az egyenletet a megfelelő tényezővel a nevezők törléséhez.
Példák
A következő másodfokú egyenleteket kell megoldani:
x 2 - 7x = 0;
15 - 2x - x 2 = 0;
x 2 + 8 + 3x = 0;
12x + x 2 + 36 = 0;
(x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2).
Az első egyenlet: x 2 - 7x = 0. Hiányos, ezért a kettes számú képletnél leírtak szerint oldjuk meg.
A zárójelek elhagyása után kiderül: x (x - 7) = 0.
Az első gyök a következő értéket veszi fel: x 1 = 0. A másodikat a lineáris egyenletből találjuk: x - 7 = 0. Könnyen belátható, hogy x 2 = 7.
Második egyenlet: 5x 2 + 30 = 0. Ismét hiányos. Csak a harmadik képletnél leírtak szerint oldható meg.
A 30 áthelyezése után az egyenlőség jobb oldalára: 5x 2 = 30. Most el kell osztani 5 -tel. Kiderül: x 2 = 6. A válaszok számok lesznek: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.
A harmadik egyenlet: 15 - 2x - x 2 = 0. A továbbiakban a másodfokú egyenletek megoldása azzal kezdődik, hogy átírjuk őket szabványos formában: - x 2 - 2x + 15 = 0. Most itt az ideje, hogy felhasználjuk a második hasznos tanácsot és mindent megszorozunk mínusz eggyel ... Kiderül, hogy x 2 + 2x - 15 = 0. A negyedik képlet szerint ki kell számítani a diszkriminánst: D = 2 2 - 4 * ( - 15) = 4 + 60 = 64. Pozitív szám. A fentiekből kiderül, hogy az egyenletnek két gyökere van. Ezeket az ötödik képlet segítségével kell kiszámítani. Kiderül, hogy x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Ekkor x 1 = 3, x 2 =-5.
A negyedik x 2 + 8 + 3x = 0 egyenlet így alakul át: x 2 + 3x + 8 = 0. Diszkriminánsa egyenlő ezzel az értékkel: -23. Mivel ez a szám negatív, a feladat a következő bejegyzés lesz: "Nincsenek gyökerek."
A 12x + x 2 + 36 = 0 ötödik egyenletet a következőképpen kell átírni: x 2 + 12x + 36 = 0. A diszkrimináns képletének alkalmazása után a nulla számot kapjuk. Ez azt jelenti, hogy egy gyökere lesz, nevezetesen: x = -12 / (2 * 1) = -6.
A hatodik (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) egyenlet átalakításokat igényel, amelyek abból állnak, hogy hasonló kifejezéseket kell hozni a zárójelek megnyitása előtt. Az első helyett egy ilyen kifejezés lesz: x 2 + 2x + 1. Az egyenlőség után ez a rekord fog megjelenni: x 2 + 3x + 2. Az ilyen kifejezések megszámlálása után az egyenlet a következő formában jelenik meg: x 2 - x = 0. Hiányos lett ... Valami hasonlót már kicsit magasabbnak tartottak. Ennek gyökerei a 0 és 1 számok lesznek.
Betöltés ...