A „Függvény grafikonjának érintőjének egyenlete” című videólecke bemutatja oktatási anyag elsajátítani a témát. A videóóra során ismertetésre kerül az adott ponton egy függvény grafikonjának érintője egyenlet fogalmának megfogalmazásához szükséges elméleti anyag, egy ilyen érintő megtalálásának algoritmusa, valamint a tanulmányozott elméleti anyag felhasználásával a problémák megoldásának példái. .
Az oktatóvideó olyan módszereket használ, amelyek javítják az anyag tisztaságát. Az előadás rajzokat, diagramokat, fontos hangos megjegyzéseket, animációt, kiemelést és egyéb eszközöket tartalmaz.
A videolecke a lecke témájának bemutatásával kezdődik, és egy y=f(x) függvény grafikonjának érintőjének képével az M(a;f(a) pontban). Ismeretes, hogy a grafikonon egy adott pontban ábrázolt érintő szögegyütthatója megegyezik az f΄(a) függvény ezen pont szerinti deriváltjával. Az algebra tanfolyamból is ismerjük az y=kx+m egyenes egyenletét. Sematikusan bemutatjuk az érintőegyenlet egy pontban való megtalálásának problémájának megoldását, amely a k, m együtthatók megtalálására redukálódik. A függvény grafikonjához tartozó pont koordinátáinak ismeretében az f(a)=ka+m érintőegyenletbe a koordinátaértéket behelyettesítve megtalálhatjuk m-t. Ebből találjuk az m=f(a)-ka. Így egy adott pontban a derivált értékének és a pont koordinátáinak ismeretében az érintőegyenletet így ábrázolhatjuk y=f(a)+f΄(a)(x-a).
Az alábbiakban egy tangens egyenlet összeállítására mutatunk be példát a diagramot követve. Adott az y=x 2, x=-2 függvény. Ha a=-2-t veszünk, akkor a függvény értékét egy adott pontban találjuk f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4. Meghatározzuk az f΄(x)=2x függvény deriváltját. Ezen a ponton a derivált egyenlő: f΄(a)= f΄(-2)=2·(-2)=-4. Az egyenlet összeállításához az összes a=-2, f(a)=4, f΄(a)=-4 együtthatót megtaláltuk, így az érintőegyenlet y=4+(-4)(x+2). Az egyenletet leegyszerűsítve azt kapjuk, hogy y = -4-4x.
A következő példa egy egyenlet felépítését javasolja az y=tgx függvény grafikonjának origójában lévő érintőre. Adott pontban a=0, f(0)=0, f΄(x)=1/cos 2 x, f΄(0)=1. Tehát az érintőegyenlet így néz ki: y=x.
Általánosításként egy függvény grafikonját egy adott ponton érintő egyenlet összeállításának folyamatát egy 4 lépésből álló algoritmus formájában formalizáljuk:
- Írja be az a jelölést az érintőpont abszcisszán;
- f(a) kiszámítása;
- f΄(x) meghatározásra kerül és f΄(a) kiszámításra kerül. Az a, f(a), f΄(a) talált értékeit behelyettesítjük az y=f(a)+f΄(a)(x-a) érintőegyenletbe.
Az 1. példa megfontolja az y=1/x függvény grafikonjának érintőegyenletének összeállítását az x=1 pontban. A probléma megoldásához algoritmust használunk. Adott függvényre az a=1 pontban az f(a)=-1 függvény értéke. Az f΄(x)=1/x 2 függvény deriváltja. Az a=1 pontban az f΄(a)= f΄(1)=1 derivált. A kapott adatok felhasználásával elkészítjük az y=-1+(x-1), vagy y=x-2 érintőegyenletet.
A 2. példában meg kell találni az y=x 3 +3x 2 -2x-2 függvény grafikonjának érintőjének egyenletét. A fő feltétel az érintő és az y=-2x+1 egyenes párhuzamossága. Először keressük meg az érintő szögegyütthatóját, amely egyenlő az y=-2x+1 egyenes szögegyütthatójával. Mivel f΄(a)=-2 egy adott egyenesre, akkor k=-2 a kívánt érintőre. Megtaláljuk az (x 3 +3x 2 -2x-2)΄=3x 2 +6x-2 függvény deriváltját. Tudva, hogy f΄(a)=-2, megtaláljuk a 3a 2 +6a-2=-2 pont koordinátáit. Az egyenlet megoldása után 1 =0, 2 =-2 kapunk. A talált koordináták segítségével egy jól ismert algoritmus segítségével megtalálhatja az érintőegyenletet. A függvény értékét az f(a 1)=-2, f(a 2)=-18 pontokban találjuk. A derivált értéke az f΄(а 1)= f΄(а 2)=-2 pontban. A talált értékeket behelyettesítve az érintőegyenletbe, az első pontra a 1 =0 y=-2x-2, a második pontra pedig a 2 =-2 az y=-2x-22 érintőegyenletet kapjuk.
A 3. példa az y=√x függvény grafikonjának (0;3) pontjában való megrajzolásához szükséges érintőegyenlet összetételét írja le. A megoldás egy jól ismert algoritmussal készül. Az érintőpont koordinátái x=a, ahol a>0. A függvény értéke az f(a)=√x pontban. Az f΄(х)=1/2√х függvény deriváltja tehát egy adott pontban f΄(а)=1/2√а. Az összes kapott értéket behelyettesítve az érintőegyenletbe, azt kapjuk, hogy y = √a + (x-a)/2√a. Az egyenletet átalakítva y=x/2√а+√а/2 kapjuk. Tudva, hogy az érintő átmegy a (0;3) ponton, megkapjuk az a értékét. 3=√a/2-ből a-t találunk. Ezért √a=6, a=36. Megtaláljuk az y=x/12+3 érintőegyenletet. Az ábra a vizsgált függvény és a megszerkesztett kívánt érintő grafikonját mutatja.
A tanulókat emlékeztetik a Δy=≈f΄(x)Δx és f(x+Δx)-f(x)≈f΄(x)Δx közelítő egyenlőségre. Ha x=a, x+Δx=x, Δx=x-a, azt kapjuk, hogy f(x)- f(a)≈f΄(a)(x-a), tehát f(x)≈f(a)+ f΄( a)(x-a).
A 4. példában meg kell találni a 2.003 6 kifejezés közelítő értékét. Mivel meg kell találni az f(x) = x 6 függvény értékét az x = 2,003 pontban, használhatjuk jól ismert képlet, ha f(x)=x 6, a=2, f(a)= f(2)=64, f΄(x)=6x 5. Derivált az f΄(2)=192 pontban. Ezért 2,003 6 ≈65-192·0,003. A kifejezés kiszámítása után 2,003 6 ≈64,576 kapunk.
A „Függvény grafikonjának érintőjének egyenlete” című videóleckét hagyományos iskolai matematika órán való használatra ajánljuk. A távolról tanító tanárok számára a videóanyag segít a téma érthetőbb elmagyarázásában. A videó a tanulóknak ajánlható önálló áttekintésre, ha szükséges, hogy elmélyítsék a tantárgy megértését.
SZÖVEGDEKÓDOLÁS:
Tudjuk, hogy ha az y = f (x) függvény gráfjához tartozik egy M (a; f(a)) pont (em a koordinátákkal és ef koordinátákkal az a-ból), és ha ezen a ponton lehetséges érintőt rajzolni a függvény grafikonjára, amely nem merőleges az abszcissza tengelyre, akkor az érintő szögegyütthatója egyenlő f"(a)-val (eff prím az a-ból).
Legyen adott egy y = f(x) függvény és egy M (a; f(a)) pont, és az is ismert, hogy létezik f´(a). Készítsünk egyenletet egy adott függvény grafikonjának érintőjére egy adott pontban. Ez az egyenlet, mint minden olyan egyenes egyenlete, amely nem párhuzamos az ordináta tengellyel, y = kx+m alakú (az y egyenlő ka x plusz em értékkel), tehát a feladat az a k és m együtthatók (ka és em)
Szögegyüttható k= f"(a). Az m értékének kiszámításához azt a tényt használjuk, hogy a kívánt egyenes átmegy az M(a; f (a) ponton). Ez azt jelenti, hogy ha behelyettesítjük a koordinátáit M pontot az egyenes egyenletébe, megkapjuk a helyes egyenlőséget: f(a) = ka+m, ahonnan azt kapjuk, hogy m = f(a) - ka.
Marad a ki és m együtthatók talált értékei behelyettesítése az egyenes egyenletébe:
y = kx+(f(a)-ka);
y = f(a)+k(x-a);
y= f(a)+ f"(a) (x- a). ( y egyenlő ef-vel az a-ból származó plusz ef prímből, szorozva x mínusz a).
Megkaptuk az y = f(x) függvény grafikonjának érintőjének egyenletét az x=a pontban.
Ha mondjuk y = x 2 és x = -2 (azaz a = -2), akkor f (a) = f (-2) = (-2) 2 = 4; f´(x) = 2x, ami azt jelenti, hogy f"(a) = f´(-2) = 2·(-2) = -4. (akkor a ef értéke négy, a prímjének efje x egyenlő két x-szel, ami azt jelenti, hogy ef prím egyenlő mínusz négyből)
Az a = -2, f(a) = 4, f"(a) = -4 talált értékeket behelyettesítve az egyenletbe, a következőt kapjuk: y = 4+(-4)(x+2), azaz y = -4x -4.
(E egyenlő mínusz négy x mínusz négy)
Hozzunk létre egyenletet az y = tgx(görög) függvény grafikonjának érintőjére egyenlő az érintővel x) az origónál. Van: a = 0, f(0) = tan0=0;
f"(x)= , ami azt jelenti, hogy f"(0) = l. Az a=0, f(a)=0, f´(a) = 1 talált értékeket behelyettesítve az egyenletbe, a következőt kapjuk: y=x.
Foglaljuk össze a lépéseinket annak érdekében, hogy egy algoritmus segítségével megtaláljuk egy függvény grafikonjának érintőjének egyenletét az x pontban.
ALGORITMUS AZ y = f(x) FUNKCIÓ GRAFONJÁNAK ÉRINTŐEGYENLETÉNEK FEJLESZTÉSÉHEZ:
1) Jelölje az érintőpont abszcisszáját a betűvel!
2) Számítsuk ki f(a)-t!
3) Határozzuk meg f´(x)-et és számítsuk ki f´(a)-t!
4) Helyettesítsd be a talált a, f(a), f´(a) számokat a képletbe! y= f(a)+ f"(a) (x- a).
1. példa Hozzon létre egyenletet az y = - in függvény grafikonjának érintőjére
pont x = 1.
Megoldás. Használjuk az algoritmust, ennek figyelembevételével ebben a példában
2) f(a)=f(1)=-=-1
3) f'(x)=; f´(a)= f´(1)= =1.
4) Helyettesítsd be a képletbe a talált három számot: a = 1, f(a) = -1, f"(a) = 1. A következőt kapjuk: y = -1+(x-1), y = x-2 .
Válasz: y = x-2.
2. példa Adott az y = függvény x 3 +3x 2 -2x-2. Írja fel az y = f(x) függvény grafikonjára az érintő egyenletét, párhuzamosan az y = -2x +1 egyenessel!
Az érintőegyenlet összeállítására szolgáló algoritmus segítségével figyelembe vesszük, hogy ebben a példában f(x) = x 3 +3x 2 -2x-2, de itt nincs feltüntetve az érintőpont abszcisszája.
Kezdjünk el így gondolkodni. A kívánt érintőnek párhuzamosnak kell lennie az y = -2x+1 egyenessel. És a párhuzamos egyeneseknek egyenlő szögegyütthatója van. Ez azt jelenti, hogy az érintő szögegyütthatója egyenlő az adott egyenes szögegyütthatójával: k érintő. = -2. Hok cas. = f"(a). Így az a értékét az f ´(a) = -2 egyenletből találhatjuk meg.
Keressük meg a függvény deriváltját y=f(x):
f"(x)= (x3 +3x2 -2x-2)´ =3x2 +6x-2;f"(a) = 3a 2 +6a-2.
Az f"(a) = -2 egyenletből, azaz. 3a 2 +6a-2=-2 találunk egy 1 =0, a 2 =-2. Ez azt jelenti, hogy két érintő teljesíti a feladat feltételeit: az egyik a 0 abszcissza pontban, a másik a -2 abszcissza pontban.
Most már követheti az algoritmust.
1) a 1 =0 és 2 =-2.
2) f(a 1) = 0 3 +3·0 2 -2∙0-2=-2; f(a 2)= (-2) 3 +3·(-2) 2 -2·(-2)-2=6;
3) f"(a 1) = f"(a 2) = -2.
4) Az a 1 = 0, f(a 1) = -2, f"(a 1) = -2 értékeket behelyettesítve a képletbe, kapjuk:
y=-2-2(x-0), y=-2x-2.
Az a 2 = -2, f(a 2) =6, f"(a 2) = -2 értékeket behelyettesítve a képletbe, kapjuk:
y=6-2(x+2), y=-2x+2.
Válasz: y=-2x-2, y=-2x+2.
3. példa A (0; 3) pontból rajzoljunk egy érintőt az y = függvény grafikonjára. Megoldás. Használjuk az érintőegyenlet összeállítására szolgáló algoritmust, figyelembe véve, hogy ebben a példában f(x) = . Vegye figyelembe, hogy itt, mint a 2. példában, az érintőpont abszcisszája nincs kifejezetten feltüntetve. Ennek ellenére követjük az algoritmust.
1) Legyen x = a az érintési pont abszcisszája; világos, hogy a >0.
3) f´(x)=()´=; f´(a) =.
4) Az a, f(a) = , f"(a) = értékeinek behelyettesítése a képletbe
y=f (a) +f "(a) (x-a), kapunk:
Feltétel szerint az érintő átmegy a (0; 3) ponton. Az x = 0, y = 3 értékeket behelyettesítve az egyenletbe, a következőt kapjuk: 3 = , majd =6, a =36.
Mint látható, ebben a példában csak az algoritmus negyedik lépésénél sikerült megtalálni az érintőpont abszcisszáját. Az a =36 értéket behelyettesítve az egyenletbe, a következőt kapjuk: y=+3
ábrán. Az 1. ábra a vizsgált példa geometriai illusztrációját mutatja: az y = függvény grafikonját megszerkesztjük, y = +3 egyenest húzunk.
Válasz: y = +3.
Tudjuk, hogy egy y = f(x) függvényre, amelynek deriváltja van az x pontban, a közelítő egyenlőség érvényes: Δyf´(x)Δx (delta y megközelítőleg egyenlő x eff prímjével, szorozva delta x-szel)
vagy részletesebben: f(x+Δx)-f(x) f´(x) Δx (eff x-ből plusz delta x mínusz ef x-ből megközelítőleg egyenlő ef prímmel x-ből delta x-szel).
A további megbeszélés megkönnyítése érdekében változtassuk meg a jelölést:
x helyett írunk A,
x+Δx helyett x-et fogunk írni
Δx helyett x-a-t fogunk írni.
Ekkor a fent írt hozzávetőleges egyenlőség a következőképpen alakul:
f(x)-f(a)f´(a)(x-a)
f(x)f(a)+f´(a)(x-a). (az x-ből származó eff megközelítőleg egyenlő az a-ból származó plusz ef prímből származó ef-vel, megszorozva x és a különbségével).
4. példa Keresse meg a 2.003 6 numerikus kifejezés közelítő értékét.
Megoldás. Arról beszélünk, hogy az y = x 6 függvény értékét az x = 2,003 pontban találjuk meg. Használjuk az f(x)f(a)+f´(a)(x-a) képletet, figyelembe véve, hogy ebben a példában f(x)=x 6, a = 2,f(a) = f(2) = 2 6 = 64; x = 2,003, f"(x) = 6x 5, és ezért f"(a) = f"(2) = 6 2 5 =192.
Ennek eredményeként a következőket kapjuk:
2,003 6 64+192· 0,003, i.e. 2,003 6 =64,576.
Ha számológépet használunk, a következőket kapjuk:
2,003 6 = 64,5781643...
Amint látja, a közelítés pontossága meglehetősen elfogadható.
A cikk részletes magyarázatot ad a definíciókra, a származék geometriai jelentésére grafikus jelölésekkel. Az érintővonal egyenletét példákkal tekintjük át, megtaláljuk a 2. rendű görbék érintőjének egyenleteit.
Yandex.RTB R-A-339285-1 1. definíció
Az y = k x + b egyenes dőlésszögét α szögnek nevezzük, amelyet az x tengely pozitív irányából a pozitív irányú y = k x + b egyenesbe mérünk.
Az ábrán az x irányt egy zöld nyíl és egy zöld ív, a hajlásszöget pedig egy piros ív jelzi. A kék vonal az egyenes vonalra utal.
2. definíció
Az y = k x + b egyenes meredekségét k numerikus együtthatónak nevezzük.
A szögegyüttható egyenlő az egyenes érintőjével, más szóval k = t g α.
- Egy egyenes dőlésszöge csak akkor egyenlő 0-val, ha párhuzamos az x-szel, és a meredeksége egyenlő nullával, mert a nulla érintője egyenlő 0-val. Ez azt jelenti, hogy az egyenlet alakja y = b lesz.
- Ha az y = k x + b egyenes dőlésszöge hegyes, akkor a 0 feltételek teljesülnek< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0, és növekedés látható a grafikonon.
- Ha α = π 2, akkor az egyenes helye merőleges x-re. Az egyenlőséget x = c adja meg, c értéke valós szám.
- Ha az y = k x + b egyenes dőlésszöge tompa, akkor ez megfelel a π 2 feltételeknek< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.
A metsző olyan egyenes, amely az f (x) függvény 2 pontján halad át. Más szavakkal, a szekáns egy egyenes, amelyet egy adott függvény grafikonjának bármely két pontján keresztül húznak.
Az ábrán látható, hogy A B egy metsző, és f (x) egy fekete görbe, α egy piros ív, amely a metsző hajlásszögét jelzi.
Ha egy egyenes szögegyütthatója megegyezik a dőlésszög érintőjével, akkor egyértelmű, hogy egy A B C derékszögű háromszög érintője megtalálható a szemközti oldal és a szomszédos oldal arányából.
4. definíció
Kapunk egy képletet az űrlap szekánsának megtalálásához:
k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A, ahol az A és B pontok abszcisszái x A, x B és f (x A), f (x) B) az értékek függvényei ezeken a pontokon.
Nyilvánvaló, hogy a szekáns szögegyütthatóját a k = f (x B) - f (x A) x B - x A vagy k = f (x A) - f (x B) x A - x B egyenlőséggel határozzuk meg. , és az egyenletet a következőképpen kell felírni: y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) ill.
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .
A szekáns vizuálisan 3 részre osztja a grafikont: az A ponttól balra, A-tól B-ig, B-től jobbra. Az alábbi ábrán látható, hogy három szekáns van, amelyet egybeesőnek tekintünk, vagyis egy hasonló egyenlet.
Definíció szerint egyértelmű, hogy egy egyenes és annak bemetszése ebben az esetben egyeznek meg.
Egy szekáns többször is metszi egy adott függvény grafikonját. Ha van egy y = 0 alakú egyenlet egy szekánsra, akkor a szinuszos metszéspontok száma végtelen.
5. definíció
Az f (x) függvény grafikonjának érintője az x 0 pontban; f (x 0) egy adott x 0 ponton átmenő egyenes; f (x 0), egy olyan szegmens jelenlétével, amelynek sok x értéke közel van x 0-hoz.
1. példa
Nézzük meg közelebbről az alábbi példát. Ekkor világos, hogy az y = x + 1 függvény által definiált egyenest az (1; 2) koordinátákkal rendelkező pontban az y = 2 x érintőnek tekintjük. Az egyértelműség kedvéért figyelembe kell venni az (1; 2) értékhez közeli grafikonokat. Az y = 2 x függvény feketével látható, a kék vonal az érintővonal, a piros pont pedig a metszéspont.
Nyilvánvaló, hogy y = 2 x összeolvad az y = x + 1 egyenessel.
Az érintő meghatározásához figyelembe kell venni az A B érintő viselkedését, amikor a B pont végtelenül megközelíti az A pontot.
A kék vonallal jelzett A B szekáns magának az érintőnek a helyzete felé hajlik, és az α metsző hajlásszöge magának az érintőnek az α x dőlésszöge felé hajlik.
6. definíció
Az y = f (x) függvény grafikonjának A pontban lévő érintőjét tekintjük az A B szekáns határhelyzetének, mivel B A-ra, azaz B → A-ra hajlik.
Most nézzük meg egy függvény deriváltjának geometriai jelentését egy pontban.
Térjünk át az f (x) függvény A B szekánsának figyelembevételére, ahol A és B x 0, f (x 0) és x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x) és ∆ x koordinátákkal az argumentum növekményeként jelölve. Ekkor a függvény ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) alakot vesz fel. Az érthetőség kedvéért mondjunk egy példát egy rajzra.
Tekintsük az eredményt derékszögű háromszög A B C. A megoldáshoz az érintő definícióját használjuk, azaz megkapjuk a ∆ y ∆ x = t g α összefüggést. Az érintő definíciójából az következik, hogy lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . Egy pontban a derivált szabálya szerint az x 0 pontban lévő f (x) deriváltot a függvény növekménye és az argumentum növekménye arányának határának nevezzük, ahol ∆ x → 0 , akkor f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x-ként jelöljük.
Ebből következik, hogy f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, ahol k x az érintő meredeksége.
Vagyis azt találjuk, hogy f ' (x) létezhet az x 0 pontban, és mint a függvény adott gráfjának érintője az x 0-val egyenlő érintőpontban, f 0 (x 0), ahol az pontban az érintő meredeksége egyenlő az x 0 pontban lévő deriválttal. Ekkor azt kapjuk, hogy k x = f " (x 0) .
Geometriai jelentés függvény deriváltja egy pontban az, hogy adott a gráf érintőjének ugyanabban a pontban való létezésének fogalma.
Bármely egyenes egyenletének egy síkra írásához szükség van egy szögegyütthatóra azzal a ponttal, amelyen áthalad. A jelölése x 0 a metszéspontban.
Az y = f (x) függvény grafikonjának érintőegyenlete az x 0, f 0 (x 0) pontban y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) alakot ölt.
Ez azt jelenti, hogy az f "(x 0) derivált végső értéke meghatározhatja az érintő helyzetét, azaz függőlegesen, feltéve, hogy lim x → x 0 + 0 f "(x) = ∞ és lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞ vagy hiányzás egyáltalán a lim x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) feltétel mellett.
Az érintő helye a k x = f "(x 0) szögegyüttható értékétől függ. Ha párhuzamos az o x tengellyel, akkor azt kapjuk, hogy k k = 0, ha párhuzamos o y - k x = ∞, és az az x = x 0 érintőegyenlet k x > 0-val növekszik, k x-ként csökken< 0 .
2. példa
Állítson össze egyenletet az y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 függvény grafikonjának érintőjére az (1; 3) koordinátákkal, és határozza meg a dőlésszöget!
Megoldás
Feltétel alapján azt kapjuk, hogy a függvény minden valós számra definiálva van. Azt találjuk, hogy az (1; 3) feltétel által meghatározott koordinátákkal rendelkező pont érintési pont, akkor x 0 = - 1, f (x 0) = - 3.
Meg kell találni a deriváltot az -1 értékű pontban. Ezt értjük
y " = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y " ( - 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3
Az f' (x) értéke az érintőpontban az érintő meredeksége, amely egyenlő a meredekség érintőjével.
Ekkor k x = t g α x = y " (x 0) = 3 3
Ebből következik, hogy α x = a r c t g 3 3 = π 6
Válasz: az érintőegyenlet alakot ölt
y = f " (x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3
Az érthetőség kedvéért adunk egy példát egy grafikus illusztrációban.
A fekete szín az eredeti függvény grafikonja, a kék szín az érintő képe, a piros pont pedig az érintési pont. A jobb oldali ábra nagyított nézetet mutat.
3. példa
Határozzuk meg egy adott függvény grafikonjának érintőjét!
y = 3 · x - 1 5 + 1 az (1 ; 1) koordinátákkal rendelkező pontban. Írjon fel egyenletet, és határozza meg a dőlésszöget!
Megoldás
Feltétellel azt kapjuk, hogy egy adott függvény definíciós tartományát az összes valós szám halmazának tekintjük.
Térjünk át a származék megtalálására
y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5
Ha x 0 = 1, akkor f' (x) nem definiált, de a határértékek lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ és lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ , ami azt jelenti, hogy a függőleges érintő létezése az (1; 1) pontban.
Válasz: az egyenlet x = 1 alakot ölt, ahol a dőlésszög egyenlő π 2-vel.
Az érthetőség kedvéért ábrázoljuk grafikusan.
4. példa
Keresse meg az y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 függvény grafikonjának pontjait, ahol
- Nincs érintő;
- Az érintő párhuzamos x-szel;
- Az érintő párhuzamos az y = 8 5 x + 4 egyenessel.
Megoldás
Figyelni kell a meghatározás terjedelmére. Feltétel szerint a függvény az összes valós szám halmazán van definiálva. Bővítjük a modult és megoldjuk a rendszert x ∈ - ∞ intervallumokkal; 2 és [-2; + ∞) . Ezt értjük
y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)
Szükséges a funkció megkülönböztetése. Nekünk az van
y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35), x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)
Ha x = − 2, akkor a derivált nem létezik, mert az egyoldali határértékek nem egyenlőek abban a pontban:
lim x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y " (x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3
Kiszámoljuk a függvény értékét az x = - 2 pontban, ahol azt kapjuk
- y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2, azaz az érintő a pontban ( - 2; - 2) nem fog létezni.
- Az érintő párhuzamos x-szel, ha a meredekség nulla. Ekkor k x = t g α x = f "(x 0). Vagyis meg kell találni az ilyen x értékeit, amikor a függvény deriváltja nullára fordítja. Vagyis f ' értékei (x) azok az érintőpontok, ahol az érintő párhuzamos x-szel.
Ha x ∈ - ∞ ; - 2, akkor - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0, és x ∈ (- 2; + ∞) esetén 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0.
1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞
Számítsa ki a megfelelő függvényértékeket!
y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y ( - 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3
Ezért - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3-at tekintjük a függvénygráf szükséges pontjainak.
Mérlegeljük grafikus kép megoldásokat.
A fekete vonal a függvény grafikonja, a piros pontok az érintési pontok.
- Ha az egyenesek párhuzamosak, a szögegyütthatók egyenlőek. Ezután meg kell keresni azokat a pontokat a függvénygrafikonon, ahol a meredekség egyenlő lesz a 8 5 értékkel. Ehhez meg kell oldani egy y "(x) = 8 5 alakú egyenletet. Ekkor, ha x ∈ - ∞; - 2, akkor azt kapjuk, hogy - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, és ha x ∈ ( - 2 ; + ∞), akkor 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5.
Az első egyenletnek nincs gyökere, mivel a diszkrimináns nullánál kisebb. Ezt írjuk le
1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0
Egy másik egyenletnek tehát két valós gyöke van
1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞
Térjünk át a függvény értékeinek megkeresésére. Ezt értjük
y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3
Pontok értékkel - 1; 4 15, 5; 8 3 azok a pontok, amelyekben az érintők párhuzamosak az y = 8 5 x + 4 egyenessel.
Válasz: fekete vonal – a függvény grafikonja, piros vonal – y = 8 grafikonja 5 x + 4, kék vonal – érintők a pontokban - 1; 4 15, 5; 8 3.
Az adott függvényeknek végtelen számú érintője lehet.
5. példa
Írja fel az y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 függvény összes elérhető érintőjének egyenletét, amely az y = - 2 x + 1 2 egyenesre merőlegesen helyezkedik el.
Megoldás
Az érintőegyenlet összeállításához meg kell találni az érintőpont együtthatóját és koordinátáit, az egyenesek merőlegességének feltétele alapján. A definíció a következő: az egyenesekre merőleges szögegyütthatók szorzata egyenlő -1-gyel, azaz k x · k ⊥ = - 1 alakban van felírva. Abból a feltételből kapjuk, hogy a szögegyüttható az egyenesre merőlegesen helyezkedik el, és egyenlő k ⊥ = - 2-vel, akkor k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2.
Most meg kell találnia az érintési pontok koordinátáit. Meg kell találni x-et, majd az értékét egy adott függvényhez. Vegyük észre, hogy a pontbeli derivált geometriai jelentéséből
x 0 azt kapjuk, hogy k x = y "(x 0). Ebből az egyenlőségből az érintkezési pontok x értékeit kapjuk meg.
Ezt értjük
y " (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9
Ezt a trigonometrikus egyenletet fogják használni az érintőpontok ordinátáinak kiszámításához.
3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk vagy 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk
3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk vagy 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk
x 0 = 2 3 π 4 - arc sin 1 9 + 2 πk vagy x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z
Z egész számok halmaza.
x érintkezési pontot találtunk. Most tovább kell lépnie az y értékeinek keresésére:
y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3
y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 vagy y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3
y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 vagy y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3
y 0 = 4 5 - 1 3 vagy y 0 = - 4 5 + 1 3
Ebből azt kapjuk, hogy 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 az érintési pontok.
Válasz: a szükséges egyenletek így lesznek felírva
y = 1 2 x - 2 3 π 4 - arc sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3, y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + arc sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z
Vizuális ábrázoláshoz vegyünk egy függvényt és egy érintőt egy koordinátaegyenesen.
Az ábra azt mutatja, hogy a függvény a [-10; 10 ], ahol a fekete vonal a függvény grafikonja, a kék vonalak érintők, amelyek az adott y = - 2 x + 1 2 alakú egyenesre merőlegesen helyezkednek el. A piros pontok érintési pontok.
A 2. rendű görbék kanonikus egyenletei nem egyértékű függvények. Az érintőegyenleteket ismert sémák szerint állítják össze.
Egy kör érintője
Olyan kör meghatározásához, amelynek középpontja az x c e n t e r pontban van; y c e n t e r és R sugár esetén alkalmazzuk az x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 képletet.
Ez az egyenlőség két függvény uniójaként írható fel:
y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r
Az első funkció felül, a második pedig alul található, ahogy az ábrán is látható.
Egy kör egyenletének összeállítása az x 0 pontban; y 0, amely a felső vagy az alsó félkörben található, meg kell találnia az y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r vagy y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 alakú függvény grafikonjának egyenletét. y c e n t e r a jelzett pontban.
Amikor x c e n t e r pontokban; y c e n t e r + R és x c e n t e r; y c e n t e r - R érintők az y = y c e n t e r + R és y = y c e n t e r - R egyenletekkel adhatók meg, valamint az x c e n t e r + R pontokban; y c e n t e r és
x c e n t e r - R ; y c e n t e r párhuzamos lesz o y-val, akkor x = x c e n t e r + R és x = x c e n t e r - R alakú egyenleteket kapunk.
Ellipszis érintője
Amikor az ellipszis középpontja az x c e n t e r helyen van; y c e n t e r a és b féltengellyel, akkor az x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 egyenlet segítségével adható meg.
Egy ellipszis és egy kör jelölhető két függvény, nevezetesen a felső és az alsó félellipszis kombinálásával. Akkor azt kapjuk
y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r
Ha az érintők az ellipszis csúcsaiban helyezkednek el, akkor párhuzamosak x vagy y körül. Az alábbiakban az egyértelműség kedvéért tekintse meg az ábrát.
6. példa
Írja fel az x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 ellipszis érintőjének egyenletét olyan pontokban, amelyek x értéke x = 2.
Megoldás
Meg kell találni azokat az érintőpontokat, amelyek megfelelnek az x = 2 értéknek. Behelyettesítjük az ellipszis létező egyenletébe, és azt találjuk
x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5
Aztán 2 ; 5 3 2 + 5 és 2; - 5 3 2 + 5 a felső és alsó félellipszishez tartozó érintőpontok.
Térjünk át az ellipszis egyenletének megtalálására és megoldására y-ra vonatkozóan. Ezt értjük
x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 év - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2
Nyilvánvaló, hogy a felső félellipszist az y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 formájú függvény segítségével adjuk meg, az alsó félellipszist pedig y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2.
Alkalmazzunk egy szabványos algoritmust egy egyenlet létrehozására egy függvény grafikonjának érintőjére egy pontban. Írjuk fel, hogy az első érintő egyenlete a 2. pontban; 5 3 2 + 5 fog kinézni
y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5
Azt találjuk, hogy a második érintő egyenlete a pontban lévő értékkel
2; - 5 3 2 + 5 alakot ölt
y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5
Grafikusan az érintőket a következőképpen jelöljük:
A hiperbola érintője
Ha egy hiperbolának van egy középpontja az x c e n t e r-ben; y c e n t e r és csúcsok x c e n t e r + α ; y c e n t e r és x c e n t e r - α ; y c e n t e r, az x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 egyenlőtlenség bekövetkezik, ha x c e n t e r csúcsokkal; y c e n t e r + b és x c e n t e r ; y c e n t e r - b , akkor az x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 egyenlőtlenséggel van megadva.
A hiperbola az űrlap két kombinált függvényeként ábrázolható
y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r vagy y = b a · (x - x + t e r) n = - b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r
Az első esetben az érintők párhuzamosak y-val, a másodikban pedig párhuzamosak x-szel.
Ebből következik, hogy a hiperbola érintőjének egyenletének megtalálásához meg kell találni, hogy az érintőpont melyik függvényhez tartozik. Ennek meghatározásához be kell helyettesíteni az egyenleteket, és ellenőrizni kell az azonosságot.
7. példa
Írja fel az x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 hiperbola érintőjének egyenletét a 7. pontban; - 3 3 - 3 .
Megoldás
A megoldásrekordot a hiperbola megtalálásához 2 függvény segítségével kell átalakítani. Ezt értjük
x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 és y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3
Meg kell határozni, hogy egy adott 7-es koordinátájú pont melyik funkcióhoz tartozik; - 3 3 - 3 .
Nyilvánvalóan az első függvény ellenőrzéséhez y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 szükséges, akkor a pont nem tartozik a gráfhoz, mivel az egyenlőség nem áll fenn.
A második függvényre azt kapjuk, hogy y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, ami azt jelenti, hogy a pont az adott gráfhoz tartozik. Innen meg kell találni a lejtőt.
Ezt értjük
y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3
Válasz: az érintőegyenlet ábrázolható úgy
y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3
Ez egyértelműen így van ábrázolva:
Parabola érintője
Ha egyenletet szeretne létrehozni az y = a x 2 + b x + c parabola érintőjére az x 0, y (x 0) pontban, szabványos algoritmust kell használnia, ekkor az egyenlet y = y "(x) 0) x - x 0 + y ( x 0).Egy ilyen érintő a csúcsban párhuzamos x-szel.
Az x = a y 2 + b y + c parabolát két függvény uniójaként kell meghatározni. Ezért meg kell oldanunk az y egyenletet. Ezt értjük
x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a
Grafikusan a következőképpen ábrázolva:
Annak megállapításához, hogy egy x 0, y (x 0) pont egy függvényhez tartozik-e, óvatosan járjunk el a szabványos algoritmus szerint. Egy ilyen érintő párhuzamos lesz o y-val a parabolához képest.
8. példa
Írjuk fel az x - 2 y 2 - 5 y + 3 grafikon érintőjének egyenletét, ha 150°-os érintőszögünk van.
Megoldás
A megoldást úgy kezdjük, hogy a parabolát két függvényként ábrázoljuk. Ezt értjük
2 év 2 - 5 év + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4
A meredekség értéke egyenlő a függvény x 0 pontjában lévő derivált értékével, és egyenlő a dőlésszög érintőjével.
Kapunk:
k x = y "(x 0) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3
Innen határozzuk meg az érintkezési pontok x értékét.
Az első függvény így lesz írva
y " = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3
Nyilvánvalóan nincsenek valódi gyökerek, hiszen negatív értéket kaptunk. Arra a következtetésre jutunk, hogy egy ilyen függvénynek nincs 150°-os szögű érintője.
A második függvény így lesz írva
y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4
Megvan, hogy az érintkezési pontok 23 4 ; - 5 + 3 4 .
Válasz: az érintőegyenlet alakot ölt
y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4
Ábrázoljuk grafikusan a következőképpen:
Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt
Y = f(x) és ha ezen a ponton a függvény grafikonjára olyan érintő rajzolható, amely nem merőleges az abszcissza tengelyre, akkor az érintő szögegyütthatója egyenlő f"(a). Például a 33. §-ban megállapították, hogy az y = sin x (szinusz) függvény grafikonja az origóban 45°-os szöget zár be az x tengellyel (pontosabban az érintővel). az origó grafikonja 45°-os szöget zár be az x tengely pozitív irányával), és az 5. példában 33 pont található a megadott ütemezés szerint. funkciókat, amelyben az érintő párhuzamos az x tengellyel. A 33. § 2. példájában felállítottunk egy egyenletet az y = x 2 függvény grafikonjának érintőjére az x = 1 pontban (pontosabban az (1; 1) pontban), de gyakrabban csak az abszcissza értéke jelzett, hisz ha az abszcissza értéke ismert, akkor az ordináta értéke az y = f(x)) egyenletből kereshető. Ebben a részben egy algoritmust fogunk kidolgozni bármely függvény grafikonjának érintőegyenletének összeállítására.
Legyen adott az y = f(x) függvény és az M (a; f(a)) pont, és az is ismert, hogy létezik f"(a). Állítsunk össze egyenletet a gráfjának érintőjére Ez az egyenlet olyan, mint bármely, az ordinátatengellyel nem párhuzamos egyenes egyenlete, amelynek alakja y = kx+m, így a feladat a k és m együtthatók értékeinek megtalálása.
A k szögegyütthatóval nincs probléma: tudjuk, hogy k = f "(a). Az m értékének kiszámításához azt használjuk, hogy a kívánt egyenes átmegy az M(a; f (a) ponton) Ez azt jelenti, hogy ha az M koordinátapontot behelyettesítjük az egyenes egyenletébe, akkor a helyes egyenlőséget kapjuk: f(a) = ka+m, amiből azt kapjuk, hogy m = f(a) - ka.
Marad a készlet együtthatók talált értékeinek helyettesítése az egyenlet egyenes:
Megkaptuk az y = f(x) függvény grafikonjának érintőjének egyenletét az x=a pontban.
Ha mondjuk
Az a = 1, f(a) = 1 f"(a) = 2 talált értékeket behelyettesítve az (1) egyenletbe, a következőt kapjuk: y = 1+2(x-f), azaz y = 2x-1.
Hasonlítsa össze ezt az eredményt a 33. § 2. példájában kapott eredménnyel. Természetesen ugyanez történt.
Készítsünk egyenletet az y = tan x függvény grafikonjának érintőjére az origóban. Nekünk van: 
ez azt jelenti, hogy cos x f"(0) = 1. A talált értékeket a = 0, f(a) = 0, f"(a) = 1 behelyettesítve az (1) egyenletbe, a következőt kapjuk: y = x.
Ezért rajzoltuk meg a 15. § tangentoidját (lásd 62. ábra) a koordináták origóján keresztül, az abszcissza tengellyel 45°-os szöget bezárva.
Ezeknek a meglehetősen egyszerű példáknak a megoldása során valójában egy bizonyos algoritmust használtunk, amelyet az (1) képlet tartalmaz. Tegyük egyértelművé ezt az algoritmust.
ALGORITMUS AZ y = f(x) FUNKCIÓ GRAFONJÁNAK ÉRINTŐEGYENLETÉNEK FEJLESZTÉSÉRE
1) Jelölje az érintőpont abszcisszáját a betűvel!
2) Számítsa ki az 1 (a) pontot!
3) Keresse meg f"(x)-et és számítsa ki f"(a)-t.
4) Helyettesítsd be a talált a, f(a), (a) számokat az (1) képletbe!
1. példaÍrjunk fel egyenletet a függvény grafikonjának érintőjére az x = 1 pontban.
Használjuk az algoritmust, ennek figyelembevételével ebben a példában
ábrán. 126 egy hiperbolát ábrázolunk, egy y = 2 egyenest szerkesztünk.
A rajz megerősíti a fenti számításokat: valóban, az y = 2 egyenes érinti a hiperbolát az (1; 1) pontban.
Válasz: y = 2- x.
2. példa Rajzoljunk egy érintőt a függvény grafikonjára úgy, hogy az párhuzamos legyen az y = 4x - 5 egyenessel.
Tisztázzuk a probléma megfogalmazását. Az „érintő rajzolásának” követelménye általában azt jelenti, hogy „egyenletet kell alkotni az érintő számára”. Ez logikus, mert ha valaki képes volt egy egyenletet létrehozni egy érintőre, akkor valószínűleg nem fog nehézséget okozni, hogy a koordinátasíkon az egyenlete segítségével egyenest hozzon létre.
Használjuk az érintőegyenlet összeállítására szolgáló algoritmust, figyelembe véve, hogy ebben a példában azonban az előző példától eltérően van kétértelműség: az érintőpont abszcisszája nincs kifejezetten feltüntetve.
Kezdjünk el így gondolkodni. A kívánt érintőnek párhuzamosnak kell lennie az y = 4x-5 egyenessel. Két egyenes akkor és csak akkor párhuzamos, ha meredeksége egyenlő. Ez azt jelenti, hogy az érintő szögtényezőjének meg kell egyeznie az adott egyenes szögegyütthatójával: 
Így az a értékét az f"(a) = 4 egyenletből találhatjuk meg.
Nekünk van: 
Az egyenletből Ez azt jelenti, hogy két érintő teljesíti a feladat feltételeit: az egyik a 2. abszcissza pontban, a másik a -2 abszcissza pontban.
Most már követheti az algoritmust.
3. példa A (0; 1) pontból rajzoljunk egy érintőt a függvény grafikonjára
Használjuk az érintőegyenlet összeállítására szolgáló algoritmust, figyelembe véve, hogy ebben a példában, Vegye figyelembe, hogy itt, mint a 2. példában, az érintőpont abszcisszája nincs kifejezetten feltüntetve. Ennek ellenére követjük az algoritmust.
Feltétel szerint az érintő átmegy a (0; 1) ponton. Az x = 0, y = 1 értékeket behelyettesítve a (2) egyenletbe, a következőt kapjuk: 
Mint látható, ebben a példában csak az algoritmus negyedik lépésénél sikerült megtalálni az érintőpont abszcisszáját. Ha az a =4 értéket behelyettesítjük a (2) egyenletbe, a következőt kapjuk:
ábrán. A 127. ábra a vizsgált példa geometriai illusztrációját mutatja be: a függvény grafikonját ábrázoljuk
A 32. §-ban megjegyeztük, hogy egy x fix pontban derivált y = f(x) függvényre a közelítő egyenlőség érvényes:
A további érvelés megkönnyítése érdekében változtassuk meg a jelölést: x helyett a-t írunk, helyett x-et és ennek megfelelően x-a helyett x-a-t. Ekkor a fent írt hozzávetőleges egyenlőség a következőképpen alakul:
Most nézd meg az ábrát. 128. Rajzolunk egy érintőt az y = f(x) függvény grafikonjára az M (a; f (a) pontban). Az x pont az x tengelyen az a közelében van jelölve. Nyilvánvaló, hogy f(x) a függvény grafikonjának ordinátája a megadott x pontban. Mi az f(a) + f"(a) (x-a)? Ez az ugyanazon x pontnak megfelelő érintő ordinátája - lásd az (1) képletet. Mit jelent a (3) közelítő egyenlőség? A tény hogy A függvény közelítő értékének kiszámításához vegyük az érintő ordináta értékét.
4. példa Határozza meg az 1,02 7 numerikus kifejezés közelítő értékét.
Arról beszélünk, hogy az y = x 7 függvény értékét az x = 1,02 pontban találjuk meg. Használjuk a (3) képletet, ezt figyelembe véve ebben a példában
Ennek eredményeként a következőket kapjuk:
Ha számológépet használunk, a következőt kapjuk: 1,02 7 = 1,148685667...
Amint látja, a közelítés pontossága meglehetősen elfogadható.
Válasz: 1,02 7 =1,14.
A.G. Mordkovich Algebra 10. osztály
Naptári tematikus tervezés matematikában, videó matematikából online, Matematika az iskolában letöltés
Az óra tartalma leckejegyzetek keretóra prezentációgyorsítási módszerek támogatása interaktív technológiák Gyakorlat feladatok és gyakorlatok önellenőrző műhelyek, tréningek, esetek, küldetések házi feladat megbeszélés kérdések szónoki kérdések a tanulóktól Illusztrációk audio, videoklippek és multimédia fényképek, képek, grafikák, táblázatok, diagramok, humor, anekdoták, viccek, képregények, példázatok, mondások, keresztrejtvények, idézetek Kiegészítők absztraktokat cikkek trükkök a kíváncsi kiságyak tankönyvek alap- és kiegészítő szótár egyéb Tankönyvek és leckék javításaa tankönyv hibáinak javítása egy töredék frissítése a tankönyvben, innováció elemei a leckében, az elavult ismeretek újakkal való helyettesítése Csak tanároknak tökéletes leckék naptári terv egy évre iránymutatásokat vitaprogramok Integrált leckékUtasítás
Meghatározzuk a görbe érintőjének szögegyütthatóját az M pontban.
Az y = f(x) függvény grafikonját ábrázoló görbe az M pont bizonyos környezetében folytonos (beleértve magát az M pontot is).
Ha az f‘(x0) érték nem létezik, akkor vagy nincs érintő, vagy függőlegesen fut. Ennek fényében a függvény deriváltjának jelenléte az x0 pontban abból adódik, hogy az (x0, f(x0) pontban a függvény grafikonjának nem függőleges érintője létezik). Ebben az esetben az érintő szögegyütthatója egyenlő lesz f "(x0). Így világossá válik a derivált geometriai jelentése - az érintő szögegyütthatójának kiszámítása.
Keresse meg az „a” betűvel jelölt érintőpont abszcissza értékét. Ha egybeesik egy adott érintőponttal, akkor "a" lesz az x-koordinátája. Határozza meg az értéket funkciókat f(a) behelyettesítéssel az egyenletbe funkciókat abszcissza érték.
Határozzuk meg az egyenlet első deriváltját! funkciókat f’(x) és behelyettesítjük az „a” pont értékét.
Vegyük az y = f(a) = f(a)(x – a) általános érintőegyenletet, és cseréljük be az a, f(a), f "(a) talált értékeit. Ennek eredményeként a gráf megoldása megtalálható és érintő lesz.
Oldja meg a feladatot másképp, ha az adott érintőpont nem esik egybe az érintőponttal. Ebben az esetben az érintőegyenletben számok helyett „a”-t kell helyettesíteni. Ezt követően az „x” és „y” betűk helyett helyettesítsük az adott pont koordinátáinak értékét. Oldja meg a kapott egyenletet, amelyben „a” az ismeretlen! Illessze be a kapott értéket az érintőegyenletbe.
Írjon egyenletet egy „a” betűs érintőre, ha a problémameghatározás megadja az egyenletet funkciókatés a kívánt érintőhöz viszonyított párhuzamos egyenes egyenlete. Ezek után szükségünk van a deriváltra funkciókat, az „a” pont koordinátájára. Helyettesítse be a megfelelő értéket az érintőegyenletbe, és oldja meg a függvényt!
Legyen adott egy f függvény, amelynek egy x 0 pontban véges deriváltja van f (x 0). Ekkor az (x 0 ; f (x 0) ponton átmenő egyenest, amelynek f ’(x 0) szögegyütthatója, érintőnek nevezzük.
Mi történik, ha a derivált nem létezik az x 0 pontban? Két lehetőség van:
- A grafikonnak nincs érintője sem. Klasszikus példa- függvény y = |x | pontban (0; 0).
- Az érintő függőleges lesz. Ez igaz például az y = arcsin x függvényre az (1; π /2) pontban.
Érintőegyenlet
Bármely nem függőleges egyenest egy y = kx + b alakú egyenlet ad meg, ahol k a meredekség. Ez alól az érintő sem kivétel, és ahhoz, hogy egyenletét egy x 0 pontban meg lehessen alkotni, elég ismerni a függvény és a derivált értékét ezen a ponton.
Legyen tehát adott egy y = f (x) függvény, amelynek a szakaszon y = f ’(x) deriváltja van. Ekkor bármely x 0 ∈ (a ; b) pontban húzható egy érintő a függvény grafikonjára, amelyet a következő egyenlet ad meg:
y = f ’(x 0) (x − x 0) + f (x 0)
Itt f ’(x 0) a derivált értéke az x 0 pontban, f (x 0) pedig magának a függvénynek az értéke.
Feladat. Adott az y = x 3 függvény. Írjunk fel egyenletet a függvény grafikonjának érintőjére az x 0 = 2 pontban.
Érintőegyenlet: y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). Az x 0 = 2 pont adott nekünk, de az f (x 0) és f ’(x 0) értékeket ki kell számítani.
Először is keressük meg a függvény értékét. Itt minden egyszerű: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Most keressük meg a deriváltot: f '(x) = (x 3)' = 3x 2;
Az x 0 = 2-t behelyettesítjük a deriváltba: f ’(x 0) = f ’(2) = 3 2 2 = 12;
Összességében a következőt kapjuk: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
Ez a tangens egyenlet.
Feladat. Írjunk fel egyenletet az f (x) = 2sin x + 5 függvény grafikonjának érintőjére az x 0 = π /2 pontban.
Ezúttal nem írunk le részletesen minden egyes műveletet, csak a legfontosabb lépéseket jelezzük. Nekünk van:
f (x 0) = f (π /2) = 2sin (π /2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f '(x) = (2sin x + 5)' = 2cos x;
f ’(x 0) = f ’(π /2) = 2cos (π /2) = 0;
Érintőegyenlet:
y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7
Utóbbi esetben az egyenes vízszintesnek bizonyult, mert szögegyütthatója k = 0. Nincs ezzel semmi baj - csak egy szélsőpontra botlottunk.
Betöltés...