Kaip rasti dešimtainės trupmenos šaknį. Kvadratinės šaknies ištraukimas iš daugiaženklio skaičiaus

Sokolovas Levas Vladimirovičius, savivaldybės švietimo įstaigos „Tugulymskaya V(S)OSH“ 8 klasės mokinys

Darbo tikslas: rasti ir parodyti tuos išgavimo būdus kvadratinės šaknys, kuriuo galima naudotis neturint po ranka skaičiuotuvo.

Parsisiųsti:

Peržiūra:

Regioninė mokslinė ir praktinė konferencija

Tugulimo miesto rajono mokiniai

Didelių skaičių kvadratinių šaknų radimas be skaičiuotuvo

Atlikėjas: Levas Sokolovas,

MCOU „Tugulymskaya V(S)OSH“,

8 klasė

Vadovas: Sidorova Tatjana

Nikolajevna

R.p. Tugulym, 2016 m

3 įvadas

1 skyrius. Faktorizacijos metodas 4

2 skyrius. Kvadratinių šaknų ištraukimas su kampu 4

3 skyrius. Dviženklių skaičių kvadratų lentelės naudojimo būdas 6

4 skyrius. Senovės Babilono formulė 6

6 skyrius. Kanados metodas 7

7 skyrius. Atrankos metodo spėjimas 8

8 skyrius. Nelyginio skaičiaus 8 atskaitų metodas

10 išvada

Literatūra 11

12 priedas

Įvadas

Tyrimo aktualumas,Kai šiais mokslo metais nagrinėjau kvadratinių šaknų temą, susidomėjau klausimu, kaip galima paimti kvadratinę šaknį iš didelių skaičių be skaičiuoklės.

Susidomėjau ir nusprendžiau panagrinėti šią problemą giliau, nei buvo nurodyta mokyklos mokymo programa, taip pat paruošti mini knygą su daugiausia paprastais būdais didelių skaičių kvadratinių šaknų ištraukimas be skaičiuotuvo.

Darbo tikslas: suraskite ir parodykite tuos kvadratinių šaknų ištraukimo būdus, kuriuos galima naudoti neturint po ranka skaičiuotuvo.

Užduotys:

1. Išstudijuokite literatūrą šia tema.
2. Apsvarstykite kiekvieno rasto metodo ypatybes ir jo algoritmą.
3. Rodyti praktinis naudojimasįgytas žinias ir įvertinti

Įvairių metodų ir algoritmų naudojimo sudėtingumo laipsnis.

1. Sukurkite mini knygą apie įdomiausius algoritmus.

Studijų objektas:matematiniai simboliai yra kvadratinės šaknys.

Studijų dalykas:Kvadratinių šaknų išgavimo be skaičiuotuvo metodų ypatybės.

Tyrimo metodai:

1. Metodų ir algoritmų, leidžiančių išgauti kvadratines šaknis iš didelių skaičių be skaičiuotuvo, paieška.
2. Rastų metodų palyginimas.
3. Gautų metodų analizė.

Visi žino, kad paimti kvadratinę šaknį be skaičiuoklės yra labai sunku.

užduotis. Kai neturime po ranka skaičiuotuvo, pradedame nuo pasirinkimo metodo, kad atsimintume duomenis iš sveikųjų skaičių kvadratų lentelės, tačiau tai ne visada padeda. Pavyzdžiui, sveikųjų skaičių kvadratų lentelė net apytiksliai neatsako į tokius klausimus, kaip, pavyzdžiui, 75, 37,885,108,18061 ir kitų šaknų ištraukimas.

Be to, dažnai draudžiama naudoti skaičiuotuvą OGE ir vieningų valstybinių egzaminų metu.

sveikųjų skaičių kvadratų lentelės, bet reikia išgauti šaknį iš 3136 arba 7056 ir kt.

Bet studijuodamas literatūrą šia tema sužinojau, kad iš tokių skaičių imame šaknis

Galbūt neturėdami stalo ir skaičiuotuvo, žmonės išmoko gerokai anksčiau nei buvo išrastas mikroskaičiuotuvas. Tyrinėdamas šią temą radau keletą būdų, kaip išspręsti šią problemą.

1 skyrius. Faktorizacijos į pirminius veiksnius metodas

Norėdami išskirti kvadratinę šaknį, skaičių galite įtraukti į pirminius koeficientus ir paimti sandaugos kvadratinę šaknį.

Šis metodas dažniausiai naudojamas sprendžiant problemas su šaknimis mokykloje.

3136│2 7056│2

1568│2 3528│2

784│2 1764│2

392│2 882│2

196│2 441│3

98│2 147│3

49│7 49│7

7│7 7│7

√3136 = √2²∙2²∙2²∙7² = 2∙2∙2∙7 = 56 √3136 = √2²∙2²∙3²∙7² = 2∙2∙3∙7 = 84

Daugelis žmonių jį sėkmingai naudoja ir laiko vieninteliu. Šaknies ištraukimas faktorizuojant yra daug laiko reikalaujanti užduotis, kuri taip pat ne visada duoda norimą rezultatą. Pabandykite paimti kvadratinę šaknį iš 209764? Suskaičiavus į pirminius veiksnius, sandauga yra 2∙2∙52441. Ką daryti toliau? Kiekvienas susiduria su šia problema ir savo atsakyme ramiai užrašo likusią skaidymo dalį po šaknies ženklu. Žinoma, išskaidymą galite atlikti bandymų ir klaidų būdu bei pasirinkdami, jei esate tikri, kad gausite gražų atsakymą, tačiau praktika rodo, kad labai retai siūlomos užduotys su visišku išskaidymu. Dažniau matome, kad šaknies negalima visiškai išgauti.

Todėl šis metodas tik iš dalies išsprendžia ištraukimo be skaičiuotuvo problemą.

2 skyrius. Kvadratinių šaknų ištraukimas kampu

Norėdami išgauti kvadratinę šaknį, naudodami kampą irPažvelkime į algoritmą:
1 žingsnis. Skaičius 8649 yra padalintas į briaunas iš dešinės į kairę; kurių kiekvieną turi sudaryti du skaitmenys. Gauname du veidus:.
2 žingsnis. Paėmę kvadratinę šaknį iš pirmojo 86 veido, gaunamesu trūkumu. Skaičius 9 yra pirmasis šaknies skaitmuo.
3 žingsnis. Skaičius 9 yra kvadratas (9 2 = 81) ir iš pirmojo veido atimti skaičių 81, gauname 86-81=5. Skaičius 5 yra pirmoji liekana.
4-as žingsnis. Prie likusios dalies 5 pridedame antrąją pusę 49, gauname skaičių 549.

5 žingsnis . Padvigubiname pirmąjį šaknies skaitmenį 9 ir, rašydami iš kairės, gauname -18

Prie numerio reikia pridėti šiuos dalykus aukščiausia figūra, kad skaičiaus sandauga, kurią gauname pagal šį skaičių, būtų arba lygi skaičiui 549, arba mažesnė už 549. Tai skaičius 3. Jis randamas atrankos būdu: skaičiaus 549 dešimčių skaičius, t.y. skaičius 54 yra padalintas iš 18, gauname 3, nes 183 ∙ 3 = 549. Skaičius 3 yra antrasis šaknies skaitmuo.

6-as žingsnis. Randame liekaną 549 – 549 = 0. Kadangi liekana lygi nuliui, gavome tikslią šaknies reikšmę – 93.

Pateiksiu dar vieną pavyzdį: ekstraktas √212521

	Algoritmo žingsniai	Pavyzdys	Komentarai
	Padalinkite skaičių į grupes po 2 skaitmenis iš dešinės į kairę	21’ 25’ 21	Bendras suformuotų grupių skaičius lemia skaitmenų skaičių atsakyme
	Pirmajai skaičių grupei pasirinkite skaičių, kurio kvadratas bus didžiausias, bet neviršys pirmosios grupės skaičių	1 grupė – 21 4 2 =16 skaičius - 4	Rastas skaičius atsakyme rašomas pirmoje vietoje.
	Iš pirmosios skaičių grupės atimkite 2 veiksme rasto atsakymo pirmojo skaitmens kvadratą	21’ 25’ 21
	Prie likusios dalies, rastos atliekant 3 veiksmą, pridėkite antrą skaičių skaičių dešinėje (pasitraukite)	21’ 25’ 21 16__
	Prie padvigubinto pirmojo atsakymo skaitmens pridėkite skaitmenį dešinėje, kad gauto skaičiaus sandauga iš šio skaitmens būtų didžiausia, bet neviršytų skaičiaus, rasto 4 veiksme	4*2=8 skaičius - 6 86*6=516	Rastas skaičius atsakyme rašomas antroje vietoje
	Iš 4 veiksme gauto skaičiaus atimkite skaičių, gautą 5 veiksme. Trečiąją grupę paimkite į likusią dalį	21’ 25’ 21
	Prie padvigubinto skaičiaus, kurį sudaro pirmieji du atsakymo skaitmenys, pridėkite skaitmenį dešinėje, kad gauto skaičiaus sandauga iš šio skaitmens būtų didžiausia, bet neviršytų skaičiaus, gauto 6 veiksme	46*2=92 numeris 1 921*1=921	Rastas skaičius atsakyme rašomas trečioje vietoje
	Užsirašykite atsakymą	√212521=461

3 skyrius. Kaip naudotis dviženklių skaičių kvadratų lentele

Apie šį metodą sužinojau iš interneto. Metodas yra labai paprastas ir leidžia akimirksniu išgauti kvadratinę šaknį iš bet kurio sveikojo skaičiaus nuo 1 iki 100 dešimtųjų tikslumu be skaičiuotuvo. Viena iš šio metodo sąlygų yra skaičių iki 99 kvadratų lentelės buvimas.

(Tai yra visuose 8 klasės algebros vadovėliuose ir toliau OGE egzaminas siūloma kaip nuoroda.)

Atidarykite lentelę ir patikrinkite atsakymo suradimo greitį. Tačiau pirmiausia kelios rekomendacijos: kairiajame stulpelyje atsakyme bus sveikieji skaičiai, o viršutinėje eilutėje – dešimtosios. Ir tada viskas paprasta: uždarykite paskutinius du skaičiaus skaitmenis lentelėje ir suraskite jums reikalingą, neviršydami radikalaus skaičiaus, ir vadovaukitės šios lentelės taisyklėmis.

Pažiūrėkime į pavyzdį. Raskime reikšmę √87.

Uždarome paskutinius du visų lentelėje esančių skaičių skaitmenis ir randame artimus 87 - jų yra tik du 86 49 ir ​​88 37. Bet 88 jau yra daug.

Taigi, liko tik vienas dalykas – 8649.

Kairiajame stulpelyje pateikiamas atsakymas 9 (tai sveikieji skaičiai), o viršutinėje eilutėje 3 (tai yra dešimtosios). Tai reiškia √87≈ 9,3. Patikrinkime MK √87 ≈ 9.327379.

Greita, paprasta, prieinama egzamino metu. Bet iš karto aišku, kad didesnių nei 100 šaknų šiuo metodu išgauti negalima. Metodas patogus atliekant užduotis su mažomis šaknimis ir esant stalui.

4 skyrius. Senovės Babilono formulė

Senovės babiloniečiai naudojo šį metodą, norėdami rasti apytikslę jų skaičiaus x kvadratinės šaknies reikšmę. Jie pavaizdavo skaičių x kaip a sumą 2 +b, kur a 2 artimiausias tikslus kvadratas skaičiui x natūralusis skaičius a (a 2 . (1)

Naudodami (1) formulę, kvadratinę šaknį ištraukiame, pavyzdžiui, iš skaičiaus 28:

28 šaknies ištraukimo naudojant MK rezultatas yra 5.2915026.

Kaip matome, Babilonijos metodas suteikia gerą aproksimaciją tiksli vertėšaknis

5 skyrius. Viso kvadrato išmetimo būdas

(tik keturženkliams skaičiams)

Verta iš karto paaiškinti, kad šis metodas tinka tik tikslaus kvadrato kvadratinei šaknims išgauti, o radimo algoritmas priklauso nuo radikalaus skaičiaus dydžio.

1. Šaknų ištraukimas iki 75 numerio 2 = 5625

Pavyzdžiui: √¯3844 = √¯ 37 00 + 144 = 37 + 25 = 62.

Pateikiame skaičių 3844 kaip sumą, iš šio skaičiaus pasirinkdami kvadratą 144, tada atmesdami pasirinktą kvadratą,pirmojo termino šimtų skaičius(37) visada pridedame 25 . Gauname atsakymą 62.

Tokiu būdu galite išgauti tik iki 75 kvadratines šaknis 2 =5625!

2) Šaknų ištraukimas po numerio 75 2 = 5625

Kaip žodžiu ištraukti kvadratines šaknis iš skaičių, didesnių nei 75 2 =5625?

Pavyzdžiui: √7225 = √ 70 00 + 225 = 70 + √225 = 70 + 15 = 85.

Paaiškinkime, 7225 pateiksime kaip 7000 sumą ir pasirinktą kvadratą 225. Tadaprie šimtų skaičiaus pridėkite kvadratinę šaknį iš 225, lygus 15.

Gauname atsakymą 85.

Šis radimo būdas yra labai įdomus ir tam tikru mastu originalus, tačiau savo tyrimo metu su juo susidūriau tik vieną kartą Permės mokytojo darbe.

Galbūt jis mažai tyrinėtas arba turi tam tikrų išimčių.

Gana sunku prisiminti dėl algoritmo dvilypumo ir tinka tik keturženkliams tikslių šaknų skaičiams, tačiau panagrinėjau daugybę pavyzdžių ir įsitikinau jo teisingumu. Be to, šis metodas yra prieinamas tiems, kurie jau įsiminė skaičių kvadratus nuo 11 iki 29, nes be jų žinios jis bus nenaudingas.

6 skyrius. Kanados metodas

√ X = √ S + (X - S) / (2 √ S), kur X yra kvadratinės šaknies skaičius, o S yra artimiausio tikslaus kvadrato skaičius.

Pabandykime paimti kvadratinę šaknį iš 75

√ 75 = 9 + (- 6/18) = 9 - 0,333 = 8,667

Išsamiai ištyrus šį metodą, galima nesunkiai įrodyti jo panašumą į Babilonijos metodą ir ginčytis dėl šios formulės išradimo autorių teisių, jei tokia iš tikrųjų yra. Metodas yra paprastas ir patogus.

7 skyrius. Atrankos metodas

Šį metodą siūlo Londono matematikos koledžo anglų studentai, tačiau kiekvienas bent kartą gyvenime nevalingai naudojo šį metodą. Jis pagrįstas atranka skirtingos reikšmės panašių skaičių kvadratus susiaurinus paieškos sritį. Kiekvienas gali įvaldyti šį metodą, tačiau vargu ar jis bus naudojamas, nes reikia pakartotinai apskaičiuoti ne visada teisingai atspėtų skaičių stulpelio sandaugą. Šis metodas praranda tiek sprendimo grožį, tiek laiką. Algoritmas yra paprastas:

Tarkime, kad norite paimti kvadratinę šaknį iš 75.

Kadangi 8 2 = 64 ir 9 2 = 81, žinote, kad atsakymas yra kažkur tarp jų.

Pabandykite sukurti 8.5 2 ir gausite 72,25 (per mažai)

Dabar pabandykite 8.6 2 ir jūs gaunate 73,96 (per mažas, bet vis arčiau)

Dabar pabandykite 8.7 2 ir gausite 75,69 (per didelis)

Dabar jūs žinote, kad atsakymas yra nuo 8,6 iki 8,7

Pabandykite sukurti 8.65 2 ir gausite 74.8225 (per mažas)

Dabar pabandykite 8.66 2... ir taip toliau.

Tęskite, kol gausite jums pakankamai tikslų atsakymą.

8 skyrius. Nelyginių skaičių išskaičiavimo metodas

Daugelis žmonių žino kvadratinės šaknies išskyrimo metodą, įskaičiuojant skaičių į pirminius veiksnius. Savo darbe pateiksiu dar vieną būdą, kuriuo galite sužinoti sveikąją skaičiaus kvadratinės šaknies dalį. Metodas labai paprastas. Atkreipkite dėmesį, kad šios lygybės galioja skaičių kvadratams:

1=1 2

1+3=2 2

1+3+5=3 2

1+3+5+7=4 2 ir t.t.

Taisyklė: galite sužinoti sveikąją skaičiaus kvadratinės šaknies dalį, iš jos atėmę visus nelyginius skaičius iš eilės, kol liekana bus mažesnė už kitą atimtą skaičių arba lygi nuliui, ir skaičiuodami atliktų veiksmų skaičių.

Pavyzdžiui, norint gauti kvadratinę šaknį iš 36 ir 121:

Iš viso atimtis = 6, taigi kvadratinė šaknis iš 36 = 6.

Bendras atimčių skaičius = 11, taigi √121 = 11.

Kitas pavyzdys: suraskime √529

Sprendimas: 1)_529

2)_528

3)_525

4)_520

5)_513

6)_504

7)_493

8)_480

9)_465

10)_448

11)_429

12)_408

13)_385

14)_360

15)_333

16)_304

17)_273

18)_240

19)_205

20)_168

21)_129

22)_88

23)_45

Atsakymas: √529 = 23

Mokslininkai šį metodą vadina aritmetine kvadratinės šaknies ištraukimu, o užkulisiuose – „vėžlio metodu“ dėl jo lėtumo.
Šio metodo trūkumas yra tas, kad jei išgaunama šaknis nėra sveikasis skaičius, galite sužinoti tik visą jos dalį, bet ne tiksliau. Tuo pačiu metu šis metodas yra gana prieinamas vaikams, kurie sprendžia paprastus matematinius uždavinius, kuriems reikia išgauti kvadratinę šaknį. Pabandykite tokiu būdu išgauti kvadratinę šaknį iš skaičiaus, pavyzdžiui, 5963364, ir jūs suprasite, kad jis „veikia“, žinoma, be klaidų tikslioms šaknims, bet sprendime jis yra labai labai ilgas.

Išvada

Šiame darbe aprašyti šaknų ištraukimo būdai yra rasti daugelyje šaltinių. Tačiau suprasti juos man pasirodė nelengva užduotis, sukėlusi nemažą susidomėjimą. Pateikti algoritmai leis visiems, kurie domisi šia tema, greitai įsisavinti kvadratinės šaknies skaičiavimo įgūdžius, jie gali būti naudojami tikrinant savo sprendimą ir nepriklauso nuo skaičiuotuvo.

Atlikęs savo tyrimą priėjau prie išvados: įvairių būdų Kvadratinių šaknų paėmimas be skaičiuotuvo yra būtinas vidurinės mokyklos matematikos kurse, norint lavinti skaičiavimo įgūdžius.

Teorinė tyrimo reikšmė – susisteminti pagrindiniai kvadratinių šaknų išgavimo būdai.

Praktinė reikšmė:kuriant mini knygą, kurioje yra nuorodų schema, skirta įvairiais būdais išgauti kvadratines šaknis (1 priedas).

Literatūra ir interneto svetainės:

1. I.N. Sergejevas, S.N. Olehnik, S.B. Gashkov „Taikykite matematiką“. – M.: Nauka, 1990 m
2. Kerimovas Z. „Kaip rasti visą šaknį? Populiarus mokslo ir matematikos žurnalas „Kvantas“ Nr.2, 1980 m
3. Petrakovas I.S. „matematikos būreliai 8-10 kl.“; Knyga mokytojams.

–M.: Išsilavinimas, 1987 m

1. Tikhonovas A.N., Kostomarovas D.P. „Pasakojimai apie taikomąją matematiką.“ - M.: Nauka. Pagrindinė fizinės ir matematinės literatūros redakcija, 1979 m
2. Tkačiova M.V. Namų matematika. Knyga 8 klasės mokiniams švietimo įstaigų. – Maskva, Švietimas, 1994 m.
3. Žokhovas V.I., Pogodinas V.N. Matematikos informacinės lentelės.-M.: UAB „ROSMEN-PRESS“ leidykla, 2004.-120 p.
4. http://translate.google.ru/translate
5. http://www.murderousmaths.co.uk/books/sqroot.htm
6. http://ru.wikipedia.ord /wiki /teorema/

Laba diena, mieli svečiai!

Mano vardas Levas Sokolovas, aš mokausi 8 klasėje vakarinėje mokykloje.

Jūsų dėmesiui pristatau darbą šia tema: „Didelių skaičių kvadratinių šaknų radimas be skaičiuotuvo“.

Studijuojant temąkvadratines šaknis šiais mokslo metais sudomino klausimas, kaip be skaičiuotuvo išgauti didžiųjų skaičių kvadratinę šaknį ir nusprendžiau ją panagrinėti giliau, nes kitais metais turiu laikyti matematikos egzaminą.

Mano darbo tikslas:rasti ir parodyti būdus, kaip išgauti kvadratines šaknis be skaičiuoklės

Norėdamas pasiekti tikslą, nusprendžiau taip užduotys:

1. Išstudijuokite literatūrą šia tema.

2. Apsvarstykite kiekvieno rasto metodo ypatybes ir jo algoritmą.

3. Parodykite įgytų žinių praktinį pritaikymą ir įvertinkite sudėtingumo laipsnį naudojant įvairius metodus ir algoritmus.

4.Sukurkite mini knygą pagal įdomiausius algoritmus.

Mano tyrimo objektas buvokvadratinės šaknys.

Studijų dalykas:būdai, kaip išgauti kvadratines šaknis be skaičiuotuvo.

Tyrimo metodai:

1. Ieškokite metodų ir algoritmų, kaip išgauti kvadratines šaknis iš didelių skaičių be skaičiuotuvo.

2. Rastų metodų palyginimas ir analizė.

Radau ir ištyriau 8 būdus, kaip rasti kvadratines šaknis be skaičiuoklės ir pritaikyti juos praktiškai. Rasti metodų pavadinimai rodomi skaidrėje.

Aš sutelksiu dėmesį į tuos, kurie man patiko.

Pavyzdžiu parodysiu, kaip galite išgauti kvadratinę šaknį iš skaičiaus 3025 naudodami pirminį faktorių.

Pagrindinis šio metodo trūkumas- tai užima daug laiko.

Naudodamas Senovės Babilono formulę išskirsiu kvadratinę šaknį iš to paties skaičiaus 3025.

Metodas patogus tik nedideliam skaičiui.

Iš to paties skaičiaus 3025 mes ištraukiame kvadratinę šaknį naudodami kampą.

Mano nuomone, tai yra universaliausias metodas, jį galima pritaikyti bet kokiems skaičiams.

IN šiuolaikinis mokslas Yra daug būdų, kaip išgauti kvadratinę šaknį be skaičiuoklės, bet aš ne visus juos ištyriau.

Praktinė mano darbo reikšmė:kuriant mini knygą, kurioje yra nuorodų schema, skirta įvairiais būdais išgauti kvadratines šaknis.

Mano darbo rezultatai gali būti sėkmingai panaudoti matematikos, fizikos ir kituose dalykuose, kur reikia ištraukti šaknis be skaičiuoklės.

Ačiū už dėmesį!

Peržiūra:

Norėdami naudoti pristatymo peržiūras, susikurkite paskyrą ( sąskaitą) Google ir prisijunkite: https://accounts.google.com

Skaidrių antraštės:

Kvadratinių šaknų ištraukimas iš didelių skaičių be skaičiuotuvo Atlikėjas: Levas Sokolovas, MKOU „Tugulymskaya V(S)OSH“, 8 klasė Vadovas: Sidorova Tatjana Nikolajevna I kategorija, matematikos mokytoja r.p. Tugulym

Teisingai taikyti metodus galima išmokti taikant ir pateikiant įvairius pavyzdžius. G. Zeiten Darbo tikslas: surasti ir parodyti tuos kvadratinių šaknų išgavimo būdus, kuriuos galima naudoti neturint po ranka skaičiuotuvo. Tikslai: - Išstudijuoti literatūrą šia tema. - Apsvarstykite kiekvieno rasto metodo ypatybes ir jo algoritmą. - Parodykite įgytų žinių praktinį pritaikymą ir įvertinkite sudėtingumo laipsnį naudojant įvairius metodus ir algoritmus. - Sukurkite mini knygą apie įdomiausius algoritmus.

Tyrimo objektas: kvadratinės šaknys Tyrimo objektas: kvadratinių šaknų ištraukimo be skaičiuotuvo metodai. Tyrimo metodai: Ieškokite metodų ir algoritmų, leidžiančių išgauti kvadratines šaknis iš didelių skaičių be skaičiuoklės. Rastų metodų palyginimas. Gautų metodų analizė.

Kvadratinių šaknų išskyrimo būdai: 1. Pirminių faktorių faktoringo metodas 2. Kvadratinių šaknų išskyrimas naudojant kampą 3. Dviženklių skaičių kvadratų lentelės naudojimo būdas 4. Senovės Babilono formulė 5. Tobulo kvadrato atmetimo metodas 6. Kanados metodas 7. Atspėjimo metodas 8. Nelyginio skaičiaus atskaitymų metodas

Pirminių koeficientų skaičiavimo metodas Norėdami išskirti kvadratinę šaknį, skaičių galite įtraukti į pirminius veiksnius ir ištraukti sandaugos kvadratinę šaknį. 3136│2 7056│2 209764│2 1568│2 3528│2 104882│2 784│2 1764│2 52441│229 392│2229 392│2229 392│22492│24682 1│3 98│2 147│3 √ 209764 = √2∙2∙52441 = 49│7 49│7 = √2²∙229² = 458. 7│7 7│7 √3136 = √ 2²∙2²∙2 = 22∙2∙2 √7056 = √2²∙2²∙3²∙7² = 2∙2∙3∙7 = 84. Ne visada lengva suskaidyti, dažniau visiškai nepašalinama, tai užima daug laiko.

Senovės Babilono formulė (Babilono metodas) Kvadratinės šaknies ištraukimo algoritmas naudojant senovės Babilono metodą. 1 . Pateikite skaičių c kaip sumą a² + b, kur a² yra tikslus natūraliojo skaičiaus a kvadratas, artimiausias skaičiui c (a² ≈ c); 2. Apytikslė šaknies reikšmė apskaičiuojama pagal formulę: Šaknies ištraukimo skaičiuotuvu rezultatas yra 5,292.

Kvadratinės šaknies ištraukimas su kampu Metodas yra beveik universalus, nes tinka bet kokiems skaičiams, tačiau norint sudaryti rebusą (atspėti skaičių skaičiaus pabaigoje) reikia logikos ir gerų skaičiavimo su stulpeliu įgūdžių.

Kvadratinės šaknies ištraukimo naudojant kampą algoritmas 1. Padalinkite skaičių (5963364) į poras iš dešinės į kairę (5`96`33`64) 2. Ištraukite kvadratinę šaknį iš pirmosios grupės kairėje (- numeris 2) . Taip gauname pirmąjį skaičiaus skaitmenį. 3. Raskite pirmojo skaitmens kvadratą (2 2 =4). 4. Raskite skirtumą tarp pirmosios grupės ir pirmojo skaitmens kvadrato (5-4=1). 5. Nuimame kitus du skaitmenis (gauname skaičių 196). 6. Padvigubinkite pirmąjį rastą skaitmenį ir parašykite jį kairėje už eilutės (2*2=4). 7. Dabar reikia rasti antrąjį skaičiaus skaitmenį: dvigubas pirmasis mūsų rastas skaitmuo tampa dešimties skaitmeniu, padauginus iš vienetų skaičiaus, reikia gauti skaičių mažesnį nei 196 (tai yra skaičius 4, 44*4=176). 4 yra antrasis & skaitmuo. 8. Raskite skirtumą (196-176=20). 9. Išardome kitą grupę (gauname skaičių 2033). 10. Padvigubinkite skaičių 24, gausime 48. 11. 48 dešimtukus, padauginus iš vienetų, gautume skaičių, mažesnį nei 2033 (484*4=1936). Vienetų skaitmuo, kurį radome (4), yra trečiasis skaičiaus skaitmuo. Tada procesas kartojamas.

Nelyginio skaičiaus išskaičiavimo metodas ( aritmetinis metodas) Kvadratinės šaknies algoritmas: atimkite nelyginius skaičius, kol liekana bus mažesnė už kitą atimamą skaičių arba lygi nuliui. Suskaičiuokite atliktų veiksmų skaičių – šis skaičius yra sveikoji ištraukiamos kvadratinės šaknies skaičiaus dalis. 1 pavyzdys: apskaičiuokite 1. 9 − 1 = 8; 8 – 3 = 5; 5 − 5 = 0. 2. 3 veiksmai atlikti

36 - 1 = 35 - 3 = 32 - 5 = 27 - 7 = 20 - 9 = 11 - 11 = 0 bendras atimčių skaičius = 6, taigi, kvadratinė šaknis iš 36 = 6. 121 - 1 = 120 - 3 = 117- 5 = 112 - 7 = 105 - 9 = 96 - 11 = 85 - 13 = 72 - 15 = 57 - 17 = 40 - 19 = 21 - 21 = 0 Visas atimčių skaičius = 11, taigi kvadratinė šaknis iš 121 = 11. 5963364 = ??? Rusijos mokslininkai užkulisiuose jį vadina „vėžlio metodu“ dėl jo lėtumo. Tai nepatogu dideliam skaičiui.

Teorinė tyrimo reikšmė – susisteminti pagrindiniai kvadratinių šaknų išgavimo būdai. Praktinė reikšmė: kuriant mini knygą, kurioje yra nuorodų schema, skirta įvairiais būdais išgauti kvadratines šaknis.

Ačiū už dėmesį!

Peržiūra:

Kai kurioms problemoms spręsti reikia paimti kvadratinę šaknį iš didelio skaičiaus. Kaip tai padaryti?

Nelyginių skaičių išskaičiavimo metodas.

Metodas labai paprastas. Atkreipkite dėmesį, kad šios lygybės galioja skaičių kvadratams:

1=1 2

1+3=2 2

1+3+5=3 2

1+3+5+7=4 2 ir t.t.

Taisyklė: Skaičiaus kvadratinės šaknies sveikąją dalį galite sužinoti iš jos atėmę visus nelyginius skaičius iš eilės, kol liekana bus mažesnė už kitą atimtą skaičių arba lygi nuliui, ir skaičiuodami atliktų veiksmų skaičių.

Pavyzdžiui, gauti kvadratinę šaknį iš 36 ir 121:

36 - 1 = 35 - 3 = 32 - 5 = 27 - 7 = 20 - 9 = 11 - 11 = 0

Bendras atimčių skaičius = 6, taigi kvadratinė šaknis iš 36 = 6.

121 - 1 = 120 - 3 = 117- 5 = 112 - 7 = 105 - 9 = 96 - 11 = 85 – 13 = 72 - 15 = 57 – 17 = 40 - 19 = 21 - 21 = 0

Bendras atimčių skaičius = 11, taigi√121 = 11.

Kanados metodas.

Tai greitas metodas atrado jauni mokslininkai viename iš pirmaujančių Kanados universitetų XX amžiuje. Jo tikslumas yra ne didesnis kaip 2–3 skaitmenys po kablelio. Štai jų formulė:

√ X = √ S + (X - S) / (2 √ S), kur X yra kvadratinės šaknies skaičius, o S yra artimiausio tikslaus kvadrato skaičius.

Pavyzdys. Paimkite kvadratinę šaknį iš 75.

X = 75, S = 81. Tai reiškia, kad √ S = 9.

Apskaičiuokime √75 naudodami šią formulę: √ 75 = 9 + (75 - 81) / (2∙9)
√ 75 = 9 + (- 6/18) = 9 - 0,333 = 8,667

Kvadratinių šaknų ištraukimo naudojant kampą metodas.

1. Padalinkite skaičių (5963364) į poras iš dešinės į kairę (5`96`33`64)

2. Paimkite kvadratinę šaknį iš pirmosios grupės kairėje (- numeris 2). Taip gauname pirmąjį skaičiaus skaitmenį.

3. Raskite pirmojo skaitmens kvadratą (2 2 =4).

4. Raskite skirtumą tarp pirmosios grupės ir pirmojo skaitmens kvadrato (5-4=1).

5. Nuimame kitus du skaitmenis (gauname skaičių 196).

6. Padvigubinkite pirmąjį rastą skaitmenį ir parašykite jį kairėje už eilutės (2*2=4).

7. Dabar reikia rasti antrąjį skaičiaus skaitmenį: dvigubas pirmasis mūsų rastas skaitmuo tampa dešimties skaitmeniu, padauginus iš vienetų skaičiaus, reikia gauti skaičių mažesnį nei 196 (tai yra skaičius 4, 44*4=176). 4 yra antrasis & skaitmuo.

8. Raskite skirtumą (196-176=20).

9. Išardome kitą grupę (gauname skaičių 2033).

10. Padvigubinkite skaičių 24, gausime 48.

Skaičiuje yra 11,48 dešimties, padauginus iš vienetų, gautume skaičių mažesnį nei 2033 (484*4=1936). Vienetų skaitmuo, kurį radome (4), yra trečiasis skaičiaus skaitmuo.

Veiksmas kvadratinė šaknisatvirkštinis kvadratūros veiksmui.

√81= 9 9 2 =81.

Atrankos metodas.

Pavyzdys: Ištraukite skaičiaus 676 šaknį.

Pastebime, kad 20 2 = 400 ir 30 2 = 900, o tai reiškia 20

Natūraliųjų skaičių tikslūs kvadratai baigiasi 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Skaičius 6 reiškia 4 2 ir 6 2 .
Tai reiškia, kad jei šaknis paimta iš 676, tada ji yra arba 24, arba 26.

Liko patikrinti: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Atsakymas: √ 676 = 26.

Kitas pavyzdys: √6889.

Kadangi 80 2 = 6400 ir 90 2 = 8100, tada 80 Skaičius 9 suteikia 3 2 ir 7 2 , tada √6889 yra lygus 83 arba 87.

Patikrinkime: 83 2 = 6889.

Atsakymas: √6889 = 83.

Jei jums sunku išspręsti taikant atrankos metodą, galite atsižvelgti į radikalią išraišką.

Pavyzdžiui, suraskite √893025.

Suskaičiuokime skaičių 893025, atminkite, kad tai padarėte šeštoje klasėje.

Gauname: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Babilonijos metodas.

1 žingsnis. Pateikite skaičių x kaip sumą: x=a 2 + b, kur a 2 artimiausias natūralaus skaičiaus a tikslus kvadratas skaičiui x.

2 žingsnis. Naudokite formulę:

Pavyzdys. Apskaičiuoti.

Aritmetinis metodas.

Iš skaičiaus atimame visus nelyginius skaičius, kol liekana bus mažesnė už kitą atimamą skaičių arba lygi nuliui. Suskaičiavę atliktų veiksmų skaičių, nustatome skaičiaus kvadratinės šaknies sveikąją dalį.

Pavyzdys. Apskaičiuokite sveikąją skaičiaus dalį.

Sprendimas. 12 - 1 = 11; 11 - 3 = 8; 8 - 5 = 3; 3 3 - visa dalis numeriai. Taigi,.

Metodas (žinomas kaip Niutono metodas)yra taip.

Tegul 1 - pirmasis apytikslis skaičiaus(kaip 1 galite paimti natūraliojo skaičiaus kvadratinės šaknies vertes - tikslią kvadratą, neviršijantį .

Šis metodas leidžia bet kokiu tikslumu išgauti didelio skaičiaus kvadratinę šaknį, nors ir turi didelį trūkumą: skaičiavimų sudėtingumą.

Vertinimo metodas.

1 žingsnis. Išsiaiškinkite diapazoną, kuriame yra pradinė šaknis (100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000).

2 žingsnis. Autorius paskutinis skaitmuo Nustatykite, kuriuo skaitmeniu baigiasi ieškomas skaičius.

Vienetų skaitmuo x
Vienetų skaitmuo x 2

3 veiksmas. Numatomus skaičius padėkite kvadratu ir iš jų nustatykite norimą skaičių.

Pavyzdys 1. Apskaičiuokite .

Sprendimas. 2500 50 2 2 50

= *2 arba = *8.

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

Taigi = 58.

Prieš skaičiuotuvus mokiniai ir mokytojai kvadratines šaknis skaičiavo rankomis. Yra keletas būdų, kaip rankiniu būdu apskaičiuoti skaičiaus kvadratinę šaknį. Kai kurie iš jų siūlo tik apytikslį sprendimą, kiti pateikia tikslų atsakymą.

Žingsniai

Pirminis faktorizavimas

Padalinkite radikalųjį skaičių į koeficientus, kurie yra kvadratiniai skaičiai. Priklausomai nuo radikalaus skaičiaus, gausite apytikslį arba tikslų atsakymą. Kvadratiniai skaičiai yra skaičiai, iš kurių galima paimti visą kvadratinę šaknį. Veiksniai yra skaičiai, kuriuos padauginus gaunamas pradinis skaičius. Pavyzdžiui, skaičiaus 8 koeficientai yra 2 ir 4, nes 2 x 4 = 8, skaičiai 25, 36, 49 yra kvadratiniai skaičiai, nes √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Kvadratiniai koeficientai yra faktoriai, kurie yra kvadratiniai skaičiai. Pirmiausia pabandykite išskaidyti radikalųjį skaičių į kvadratinius koeficientus.

• Pavyzdžiui, apskaičiuokite kvadratinę šaknį iš 400 (ranka). Pirmiausia pabandykite įskaičiuoti 400 į kvadratinius koeficientus. 400 yra 100 kartotinis, tai yra, dalijasi iš 25 - tai yra kvadratinis skaičius. Padalijus 400 iš 25, gauname 16. Skaičius 16 taip pat yra kvadratinis skaičius. Taigi 400 galima įskaičiuoti į kvadratinius koeficientus 25 ir 16, tai yra, 25 x 16 = 400.
• Tai galima parašyti taip: √400 = √(25 x 16).

1. Kai kurių narių sandaugos kvadratinė šaknis yra lygi kiekvieno nario kvadratinių šaknų sandaugai, tai yra √(a x b) = √a x √b. Naudokite šią taisyklę, norėdami paimti kvadratinę šaknį iš kiekvieno kvadratinio koeficiento ir padauginti rezultatus, kad rastumėte atsakymą.

   • Mūsų pavyzdyje paimkite 25 ir 16 šaknį.
     • √ (25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Jei radikalusis skaičius nesiskiria į du kvadratinius veiksnius (ir taip nutinka daugeliu atvejų), negalėsite rasti tikslaus atsakymo sveikojo skaičiaus pavidalu. Bet jūs galite supaprastinti problemą, išskaidydami radikalųjį skaičių į kvadratinį koeficientą ir įprastą koeficientą (skaičius, iš kurio negalima paimti visos kvadratinės šaknies). Tada imsite kvadratinę šaknį iš kvadratinio koeficiento ir imsite bendro koeficiento šaknį.

   • Pavyzdžiui, apskaičiuokite skaičiaus 147 kvadratinę šaknį. Skaičius 147 negali būti padalytas į du kvadratinius veiksnius, tačiau jį galima padalyti į šiuos veiksnius: 49 ir ​​3. Išspręskite užduotį taip:
     • = √ (49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Jei reikia, įvertinkite šaknies vertę. Dabar galite įvertinti šaknies reikšmę (rasti apytikslę reikšmę), palygindami ją su kvadratinių skaičių šaknų reikšmėmis, kurios yra arčiausiai radikaliojo skaičiaus (abiejose skaičių linijos pusėse). Jūs gausite šaknies vertę kaip dešimtainis, kurį reikia padauginti iš skaičiaus, esančio už šaknies ženklo.

   • Grįžkime prie mūsų pavyzdžio. Radikalusis skaičius yra 3. Arčiausiai jo esantys kvadratiniai skaičiai bus skaičiai 1 (√1 = 1) ir 4 (√4 = 2). Taigi √3 reikšmė yra tarp 1 ir 2. Kadangi √3 reikšmė tikriausiai yra arčiau 2 nei 1, mūsų įvertis yra toks: √3 = 1,7. Šią reikšmę padauginame iš skaičiaus prie šaknies ženklo: 7 x 1,7 = 11,9. Jei atliksite skaičiavimus skaičiuotuvu, gausite 12,13, o tai yra gana artima mūsų atsakymui.
     • Šis metodas taip pat veikia su dideli skaičiai. Pavyzdžiui, apsvarstykite √35. Radikalusis skaičius yra 35. Jam artimiausi kvadratiniai skaičiai bus 25 (√25 = 5) ir 36 (√36 = 6). Taigi √35 reikšmė yra tarp 5 ir 6. Kadangi √35 reikšmė yra daug arčiau 6 nei 5 (nes 35 yra tik 1 mažesnis už 36), galime teigti, kad √35 yra šiek tiek mažiau nei 6 Patikrinus skaičiuotuvą, atsakymas yra 5,92 – buvome teisūs.

4. Kitas būdas yra sudėti radikalųjį skaičių į pirminius veiksnius. Pirminiai veiksniai yra skaičiai, kurie dalijasi tik iš 1 ir savęs. Surašykite pirminius veiksnius į eilę ir suraskite identiškų veiksnių poras. Tokius veiksnius galima išimti iš šaknies ženklo.

   • Pavyzdžiui, apskaičiuokite kvadratinę šaknį iš 45. Radikalųjį skaičių suskaičiuojame į pirminius koeficientus: 45 = 9 x 5 ir 9 = 3 x 3. Taigi √45 = √(3 x 3 x 5). 3 galima išimti kaip šaknies ženklą: √45 = 3√5. Dabar galime įvertinti √5.
   • Pažvelkime į kitą pavyzdį: √88.
     • = √ (2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Gavote tris daugiklius iš 2; paimkite porą jų ir perkelkite už šaknies ženklo.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Dabar galite įvertinti √2 ir √11 ir rasti apytikslį atsakymą.

   Kvadratinės šaknies apskaičiavimas rankiniu būdu

   Naudojant ilgą padalijimą

   1. Šis metodas apima procesą, panašų į ilgą padalijimą, ir pateikia tikslų atsakymą. Pirmiausia nubrėžkite vertikalią liniją, dalijančią lapą į dvi dalis, o tada į dešinę ir šiek tiek žemiau viršutinio lapo krašto nubrėžkite horizontalią liniją iki vertikalios linijos. Dabar padalykite radikalųjį skaičių į skaičių poras, pradedant trupmena po kablelio. Taigi, numeris 79520789182.47897 rašomas kaip „7 95 20 78 91 82, 47 89 70“.

      • Pavyzdžiui, apskaičiuokime kvadratinę šaknį iš skaičiaus 780.14. Nubrėžkite dvi linijas (kaip parodyta paveikslėlyje) ir viršuje kairėje formoje „7 80, 14“ užrašykite nurodytą skaičių. Normalu, kad pirmasis skaitmuo iš kairės yra nesusietas skaitmuo. Atsakymas (šaknis duotas numeris) užsirašysite viršuje dešinėje.

   2. Pirmosios skaičių poros (arba vieno skaičiaus) iš kairės raskite didžiausią sveikąjį skaičių n, kurio kvadratas yra mažesnis arba lygus nagrinėjamai skaičių porai (arba vienam skaičiui). Kitaip tariant, suraskite kvadratinį skaičių, kuris yra arčiausiai pirmosios skaičių poros (arba vieno skaičiaus) iš kairės, bet mažesnis už ją, ir paimkite to kvadratinę šaknį. kvadratinis skaičius; gausite numerį n. Viršutiniame dešiniajame kampe parašykite n, o apačioje dešinėje - kvadratą.

      • Mūsų atveju pirmasis skaičius kairėje bus 7. Kitas – 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Iš pirmosios skaičių poros (arba vieno skaičiaus) kairėje atimkite ką tik rasto skaičiaus n kvadratą. Skaičiavimo rezultatą parašykite po dalimi (skaičiaus n kvadratu).

      • Mūsų pavyzdyje iš 7 atimkite 4 ir gaukite 3.

   4. Nuimkite antrą skaičių porą ir užrašykite ją šalia vertės, gautos atliekant ankstesnį veiksmą. Tada padvigubinkite skaičių viršuje dešinėje ir parašykite rezultatą apačioje dešinėje, pridėdami „_×_=".

      • Mūsų pavyzdyje antroji skaičių pora yra „80“. Parašykite "80" po 3. Tada padvigubinkite skaičių viršutiniame dešiniajame kampe, kad gautumėte 4. Apatiniame dešiniajame kampe parašykite "4_×_=".

   5. Dešinėje užpildykite tuščias vietas.

      • Mūsų atveju, jei vietoj brūkšnelių dėtume skaičių 8, tai 48 x 8 = 384, tai yra daugiau nei 380. Todėl 8 yra per didelis skaičius, bet tiks ir 7. Vietoj brūkšnelių parašykite 7 ir gaukite: 47 x 7 = 329. Viršuje dešinėje parašykite 7 – tai antrasis skaitmuo norimoje kvadratinėje šaknyje iš skaičiaus 780,14.

   6. Atimkite gautą skaičių iš esamo skaičiaus kairėje. Užrašykite ankstesnio veiksmo rezultatą po dabartiniu skaičiumi kairėje, suraskite skirtumą ir parašykite jį po dalimi.

      • Mūsų pavyzdyje iš 380 atimkite 329, kuris yra lygus 51.

   7. Pakartokite 4 veiksmą. Jei perkeliama skaičių pora yra pradinio skaičiaus trupmeninė dalis, tada reikiamoje kvadratinėje šaknyje viršuje dešinėje įdėkite skirtuką (kablelį) tarp sveikųjų ir trupmeninių dalių. Kairėje pusėje sumažinkite kitą skaičių porą. Padvigubinkite skaičių viršuje dešinėje ir parašykite rezultatą apačioje dešinėje, pridėdami „_×_=".

      • Mūsų pavyzdyje kita skaičių pora, kurią reikia pašalinti, bus trupmeninė skaičiaus 780.14 dalis, todėl įdėkite sveikojo skaičiaus ir trupmeninių dalių skyriklį į norimą kvadratinę šaknį viršutiniame dešiniajame kampe. Nuimkite 14 ir parašykite jį apatiniame kairiajame kampe. Dvigubas skaičius viršuje dešinėje (27) yra 54, todėl apačioje dešinėje parašykite „54_×_=".

   8. Pakartokite 5 ir 6 veiksmus. Surask vieną didžiausias skaičius vietoj brūkšnelių dešinėje (vietoj brūkšnelių reikia pakeisti tą patį skaičių), kad daugybos rezultatas būtų mažesnis arba lygus esamam skaičiui kairėje.

      • Mūsų pavyzdyje 549 x 9 = 4941, tai yra mažiau nei dabartinis skaičius kairėje (5114). Viršuje dešinėje parašykite 9 ir atimkite daugybos rezultatą iš esamo skaičiaus kairėje: 5114 - 4941 = 173.

   9. Jei reikia rasti daugiau kvadratinės šaknies skaičių po kablelio, dabartinio skaičiaus kairėje parašykite porą nulių ir kartokite 4, 5 ir 6 veiksmus. Kartokite veiksmus, kol gausite atsakymo tikslumą (skaitmenų po kablelio skaičių). reikia.

   Proceso supratimas

   Dėl asimiliacijos šis metodas pagalvokite apie skaičių, kurio kvadratinę šaknį norite rasti kaip kvadrato S plotą. Tokiu atveju ieškosite tokio kvadrato kraštinės L ilgio. Apskaičiuojame L reikšmę taip, kad L² = S.

   Kiekvienam atsakyme esančiam skaičiui pateikite po raidę. Pirmąjį L reikšmės skaitmenį pažymėkime A (norima kvadratinė šaknis). B bus antrasis skaitmuo, C – trečias ir pan.

   Kiekvienai pirmųjų skaitmenų porai nurodykite raidę. Pažymime S a pirmąją skaitmenų porą S reikšmėje, S b – antrąją skaitmenų porą ir pan.

   Supraskite ryšį tarp šio metodo ir ilgojo padalijimo. Kaip ir dalijimo metu, kai mus domina tik kitas kaskart dalijamo skaičiaus skaitmuo, skaičiuodami kvadratinę šaknį, iš eilės apdorojame skaitmenų porą (kad gautume kitą kvadratinės šaknies reikšmės skaitmenį ).

   1. Apsvarstykite pirmąją skaičiaus S skaitmenų Sa porą (mūsų pavyzdyje Sa = 7) ir raskite jos kvadratinę šaknį.Šiuo atveju pirmasis norimos kvadratinės šaknies reikšmės skaitmuo A bus skaitmuo, kurio kvadratas yra mažesnis arba lygus S a (tai yra, mes ieškome tokio A, kad nelygybė A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Tarkime, kad reikia padalyti 88962 iš 7; čia pirmas žingsnis bus panašus: atsižvelgiame į pirmąjį dalijamojo skaičiaus skaitmenį 88962 (8) ir pasirenkame didžiausią skaičių, kurį padauginus iš 7 gauname reikšmę, mažesnę arba lygią 8. Tai yra, mes ieškome skaičius d, kurio nelygybė yra teisinga: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. Psichiškai įsivaizduokite kvadratą, kurio plotą reikia apskaičiuoti. Jūs ieškote L, tai yra kvadrato, kurio plotas lygus S, kraštinės ilgio. A, B, C yra skaičiai L. Galite rašyti kitaip: 10A + B = L (jei dviženklis skaičius) arba 100A + 10B + C = L (triženkliam skaičiui) ir pan.

      • Leisti (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Atminkite, kad 10A+B yra skaičius, kuriame skaitmuo B reiškia vienetus, o skaitmuo A reiškia dešimtis. Pavyzdžiui, jei A=1 ir B=2, tai 10A+B yra lygus skaičiui 12. (10A+B)² yra visos aikštės plotas, 100A²- didelės vidinės aikštės plotas, B²- mažos vidinės aikštės plotas, 10A × B- kiekvieno iš dviejų stačiakampių plotas. Sudėjus aprašytų figūrų plotus, rasite pradinio kvadrato plotą.

Pažvelkime į šį algoritmą naudodami pavyzdį. Mes rasime

1 žingsnis. Padalijame skaičių po šaknimi į dviženklius veidus (iš dešinės į kairę):

2 žingsnis. Paimame pirmojo veido kvadratinę šaknį, t.y. iš skaičiaus 65, gauname skaičių 8. Po pirmuoju veidu rašome skaičiaus 8 kvadratą ir atimame. Antrąjį veidą (59) priskiriame likusiai daliai:

(skaičius 159 yra pirmoji liekana).

3 žingsnis. Padvigubiname rastą šaknį ir rašome rezultatą kairėje:

4-as žingsnis. Dešinėje išskiriame vieną skaitmenį likusioje dalyje (159), o kairėje gauname dešimčių skaičių (jis lygus 15). Tada 15 padalijame iš dvigubo pirmojo šaknies skaitmens, t.y. iš 16, kadangi 15 nesidalija iš 16, tai dalinys gaunasi nulis, kurį rašome kaip antrą šaknies skaitmenį. Taigi, koeficiente gavome skaičių 80, kurį vėl padvigubiname ir pašaliname kitą briauną

(skaičius 15 901 yra antrasis likutis).

5 žingsnis. Antroje liekanoje atskiriame vieną skaitmenį iš dešinės ir gautą skaičių 1590 padaliname iš 160. Rezultatą (skaičius 9) įrašome trečiuoju šaknies skaitmeniu ir pridedame prie skaičiaus 160. Gautą skaičių 1609 padauginame iš 9 ir raskite kitą likutį (1420):

Vėliau veiksmai atliekami algoritme nurodyta seka (šaknį galima išgauti reikiamu tikslumu).

komentuoti. Jei radikalioji išraiška yra dešimtainė trupmena, tai visa jos dalis padalijama į dviejų skaitmenų briaunas iš dešinės į kairę, trupmeninė dalis - dviem skaitmenimis iš kairės į dešinę, o šaknis išgaunama pagal nurodytą algoritmą.

DIDAKTINĖ MEDŽIAGA

1. Paimkite kvadratinę šaknį iš skaičiaus: a) 32; b) 32,45; c) 249,5; d) 0,9511.

Bibliografinis aprašymas: Pryostanovo S. M., Lysogorova L. V. Kvadratinės šaknies išgavimo metodai // Jaunasis mokslininkas. 2017. Nr.2.2. P. 76-77..02.2019).



Raktažodžiai : kvadratinės šaknies, kvadratinės šaknies ištraukimas.

Matematikos pamokose susipažinau su kvadratinės šaknies sąvoka, kvadratinės šaknies ištraukimo operacija. Pradėjau domėtis, ar ištraukti kvadratinę šaknį galima tik naudojant kvadratų lentelę, naudojant skaičiuotuvą, ar yra koks nors būdas ją išgauti rankiniu būdu. Radau kelis būdus: Senovės Babilono formulę, sprendžiant lygtis, pilno kvadrato atmetimo metodą, Niutono metodą, geometrinį metodą, grafinį metodą (, ), atspėjimo metodą, nelyginių skaičių išskaičiavimo metodą.

Apsvarstykite šiuos metodus:

Suskaidykime į pirminius koeficientus, naudodami dalijamumo kriterijus 27225=5*5*3*3*11*11. Taigi

1. KAM Kanados metodas.Šį greitą metodą XX amžiuje atrado jauni mokslininkai viename pirmaujančių Kanados universitetų. Jo tikslumas yra ne didesnis kaip 2–3 skaitmenys po kablelio.

kur x yra skaičius, iš kurio reikia išskirti šaknį, c yra artimiausio kvadrato skaičius), pavyzdžiui:

=5,92

1. Stulpelyje.Šis metodas leidžia bet kokiu iš anksto nustatytu tikslumu rasti apytikslę bet kurio tikrojo skaičiaus šaknies reikšmę. Šio metodo trūkumai apima didėjantį skaičiavimo sudėtingumą, nes didėja rastų skaitmenų skaičius. Norint rankiniu būdu išgauti šaknį, naudojamas žymėjimas, panašus į ilgąjį padalijimą

Kvadratinės šaknies algoritmas

1. Trupmeninę dalį ir sveikąją dalį padaliname atskirai nuo kablelio ant dviejų skaitmenų ribos kiekviename veide ( pabučiuoti dalis - iš dešinės į kairę; trupmeninis- iš kairės į dešinę). Gali būti, kad sveikojoje dalyje gali būti vienas skaitmuo, o trupmeninėje dalyje – nuliai.

2. Ištraukimas pradedamas iš kairės į dešinę ir pasirenkame skaičių, kurio kvadratas neviršija skaičiaus pirmajame veidelyje. Šį skaičių pakeliame kvadratu ir užrašome po skaičiumi pirmoje pusėje.

3. Raskite skirtumą tarp pirmojo veidelio skaičiaus ir pasirinkto pirmojo skaičiaus kvadrato.

4. Prie gauto skirtumo pridedame kitą briauną, gautas skaičius bus dalytis. Mokykimės skirstytuvas. Pirmąjį pasirinktą atsakymo skaitmenį padvigubiname (padauginame iš 2), gauname daliklio dešimčių skaičių, o vienetų skaičius turi būti toks, kad jo sandauga visu dalikliu neviršytų dividendo. Pasirinktą skaičių užrašome kaip atsakymą.

5. Į gautą skirtumą paimame kitą briauną ir atliekame veiksmus pagal algoritmą. Jei pasirodo, kad šis veidas yra trupmeninės dalies veidas, tada atsakyme dedame kablelį. (1 pav.)

Naudodami šį metodą galite išgauti skaičius skirtingu tikslumu, pavyzdžiui, iki tūkstantųjų dalių. (2 pav.)

Atsižvelgdami į įvairius kvadratinės šaknies ištraukimo būdus, galime daryti išvadą: kiekvienu konkrečiu atveju turite nuspręsti dėl efektyviausio pasirinkimo, kad sugaištumėte mažiau laiko sprendžiant.

Literatūra:

1. Kiselevas A. Algebros ir analizės elementai. Pirma dalis.-M.-1928

Raktiniai žodžiai: kvadratinė šaknis, kvadratinė šaknis.

Anotacija: Straipsnyje aprašomi kvadratinių šaknų išgavimo būdai ir pateikiami šaknų išgavimo pavyzdžiai.