Dviejų išraiškų sumos kvadratas
Yra nemažai atvejų, kai daugianario dauginimas iš daugianario gali būti labai supaprastintas. Pavyzdžiui, taip yra (2 x+ 3y) 2 .
Išraiška (2 x+ 3y) 2 yra dviejų daugianarių, kurių kiekvienas yra lygus (2 x+ 3y)
(2x+ 3y) 2 = (2x+ 3y)(2x+ 3y)
Gavome daugianario padauginimą iš daugianario. Vykdykime tai:
(2x+ 3y) 2 = (2x+ 3y)(2x+ 3y) = 4x 2 + 6xy + 6xy + 9y 2 = 4x 2 + 12xy+ 9y 2
Tai yra, išraiška (2 x+ 3y) 2 yra lygus 4x 2 + 12xy + 9y 2
(2x+ 3y) 2 = 4x 2 + 12xy+ 9y 2
Išspręskime panašų pavyzdį, kuris yra paprastesnis:
(a+b) 2
Išraiška ( a+b) 2 yra dviejų daugianarių, kurių kiekvienas yra lygus ( a+b)
(a+b) 2 = (a+b)(a+b)
Padauginkime taip:
(a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2
Tokia yra išraiška (a+b) 2 yra lygus a 2 + 2ab + b 2
(a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
Pasirodo, atvejis ( a+b) 2 gali būti pratęstas bet kuriam a ir b. Pirmasis pavyzdys, kurį išsprendėme, būtent (2 x+ 3y) 2 galima išspręsti naudojant tapatybę (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 . Norėdami tai padaryti, vietoj kintamųjų turite pakeisti a ir b atitinkami terminai iš išraiškos (2 x+ 3y) 2 . Šiuo atveju kintamasis a rungtynių penis 2 x, ir kintamasis b rungtynių penis 3 y
a = 2x
b = 3y
Ir tada mes galime naudoti tapatybę (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 , bet vietoj kintamųjų a ir b reikia pakeisti posakius 2 x ir 3 y atitinkamai:
(2x+ 3y) 2 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 3 y + (3y) 2 = 4x 2 + 12xy+ 9y 2
Kaip ir praėjusį kartą, gavome daugianarį 4x 2 + 12xy+ 9y 2 . Sprendimas dažniausiai rašomas trumpiau, atliekant visas elementarias transformacijas mintyse:
(2x+ 3y) 2 = 4x 2 + 12xy+ 9y 2
Tapatybė (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 vadinama dviejų išraiškų sumos kvadrato formule. Šią formulę galima perskaityti taip:
Dviejų išraiškų sumos kvadratas yra lygus pirmosios išraiškos kvadratui ir dvigubai pirmosios išraiškos sandaugai, o antrosios ir antrosios išraiškos kvadratui.
Apsvarstykite išraišką (2 + 3) 2 . Jį galima apskaičiuoti dviem būdais: atlikite sudėjimą skliausteliuose ir padėkite rezultatą kvadratu arba naudokite dviejų išraiškų sumos kvadrato formulę.
Pirmas būdas:
(2 + 3) 2 = 5 2 = 25
Antras būdas:
(2 + 3) 2 = 2 2 + 2 × 2 × 3 + 3 2 = 4 + 12 + 9 = 25
2 pavyzdys. Konvertuoti išraišką (5 a+ 3) 2 į daugianarį.
Naudokime dviejų išraiškų sumos kvadrato formulę:
(a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(5a + 3) 2 = (5a) 2 + 2 × 5 a × 3 + 3 2 = 25a 2 + 30a + 9
Reiškia, (5a + 3) 2 = 25a 2 + 30a + 9.
Pabandykime išspręsti šį pavyzdį nenaudodami sumos kvadrato formulės. Turėtume gauti tą patį rezultatą:
(5a + 3) 2 = (5a + 3)(5a + 3) = 25a 2 + 15a + 15a + 9 = 25a 2 + 30a + 9
Dviejų išraiškų sumos kvadrato formulė turi geometrinę reikšmę. Prisimename, kad norint apskaičiuoti kvadrato plotą, reikia pakelti jo kraštinę į antrą laipsnį.
Pavyzdžiui, kvadrato su šonine plotas a bus lygus a 2. Jei padidinsite kvadrato kraštinę b, tada plotas bus lygus ( a+b) 2
Apsvarstykite šį paveikslą:
Įsivaizduokite, kad šiame paveikslėlyje parodyta kvadrato kraštinė padidinama b. Kvadrato visos kraštinės yra lygios. Jei jo pusė padidinta b, tada kitos pusės taip pat padidės b
Rezultatas yra naujas kvadratas, didesnis nei ankstesnis. Kad gerai matytume, užpildykime trūkstamas puses:
Norėdami apskaičiuoti šio kvadrato plotą, galite atskirai apskaičiuoti į jį įtrauktus kvadratus ir stačiakampius, tada pridėti rezultatus.
Pirma, galite apskaičiuoti kvadratą su šonine a- jo plotas bus lygus a 2. Tada galite apskaičiuoti stačiakampius su kraštinėmis a ir b– jie bus lygūs ab. Tada galite apskaičiuoti kvadratą su kraštine b
Rezultatas yra ši sričių suma:
a 2 + ab+ab + b 2
Identiškų stačiakampių plotų sumą galima pakeisti padauginus iš 2 ab, kas pažodžiui reiškia "pakartokite du kartus stačiakampio ab plotą" . Algebriškai tai gaunama redukuojant panašius terminus ab ir ab. Rezultatas yra išraiška a 2 + 2ab+ b 2 , kuri yra dešinioji dviejų išraiškų sumos kvadrato formulės pusė:
(a+b) 2 = a 2 + 2ab+ b 2
Dviejų išraiškų skirtumo kvadratas
Dviejų išraiškų skirtumo kvadrato formulė yra tokia:
(a-b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
Dviejų išraiškų skirtumo kvadratas yra lygus pirmosios išraiškos kvadratui, atėmus du kartus pirmosios išraiškos sandaugą, o antrosios ir antrosios išraiškos kvadratą.
Dviejų išraiškų skirtumo kvadrato formulė išvesta taip pat, kaip ir dviejų reiškinių sumos kvadrato formulė. Išraiška ( a-b) 2 yra dviejų daugianarių sandauga, kurių kiekvienas yra lygus ( a-b)
(a-b) 2 = (a-b)(a-b)
Jei atliksite šį dauginimą, gausite daugianarį a 2 − 2ab + b 2
(a-b) 2 = (a-b)(a-b) = a 2 − ab− ab+ b 2 = a 2 − 2ab + b 2
1 pavyzdys. Konvertuoti išraišką (7 x− 5) 2 į daugianarį.
Naudokime dviejų išraiškų skirtumo kvadrato formulę:
(a-b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
(7x− 5) 2 = (7x) 2–2 × 7 x × 5 + 5 2 = 49x 2 − 70x + 25
Reiškia, (7x− 5) 2 = 49x 2 + 70x + 25.
Pabandykime išspręsti šį pavyzdį nenaudodami skirtumo kvadrato formulės. Turėtume gauti tą patį rezultatą:
(7x− 5) 2 = (7x− 5) (7x− 5) = 49x 2 − 35x − 35x + 25 = 49x 2 − 70x+ 25.
Dviejų išraiškų skirtumo kvadrato formulė taip pat turi geometrinę reikšmę. Jei kvadrato su kraštine plotas a yra lygus a 2, tada kvadrato, kurio kraštinė sumažinta, plotas b, bus lygus ( a-b) 2
Apsvarstykite šį paveikslą:
Įsivaizduokite, kad šiame paveikslėlyje parodyta kvadrato kraštinė sumažinta b. Kvadrato visos kraštinės yra lygios. Jei viena pusė sumažinama b, tada kitos pusės taip pat sumažės b
Rezultatas yra naujas kvadratas, kuris yra mažesnis nei ankstesnis. Paveiksle jis paryškintas geltonai. Jo pusė yra a− b nuo senosios pusės a sumažėjo b. Norėdami apskaičiuoti šio kvadrato plotą, galite naudoti pradinį kvadrato plotą a 2 atimkite stačiakampių plotus, gautus mažinant senojo kvadrato kraštines. Parodykime šiuos stačiakampius:
Tada galime parašyti tokią išraišką: senas plotas a 2 minus plotas ab minus plotas ( a-b)b
a 2 − ab − (a-b)b
Išskleiskite skliaustus išraiškoje ( a-b)b
a 2 − ab - ab + b 2
Čia yra panašūs terminai:
a 2 − 2ab + b 2
Rezultatas yra išraiška a 2 − 2ab + b 2 , kuri yra dviejų išraiškų skirtumo kvadrato formulės dešinioji pusė:
(a-b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
Paprastai vadinamos sumos kvadrato ir skirtumo kvadrato formulės sutrumpintos daugybos formulės. Šios formulės leidžia žymiai supaprastinti ir pagreitinti daugianario daugybos procesą.
Anksčiau sakėme, kad daugianario narį vertinant atskirai, jis turi būti nagrinėjamas kartu su ženklu, esančiu prieš jį.
Tačiau taikant sutrumpintas daugybos formules, pradinio daugianario ženklas neturėtų būti laikomas paties šio termino ženklu.
Pavyzdžiui, atsižvelgiant į išraišką (5 x − 2y) 2 , ir mes norime naudoti formulę (a-b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 , tada vietoj b reikia pakeisti 2 y, o ne -2 y. Tai yra darbo su formulėmis ypatybė, kurios nereikėtų pamiršti.
(5x − 2y) 2
a = 5x
b = 2y
(5x − 2y) 2 = (5x) 2–2 × 5 x×2 y + (2y) 2 = 25x 2 − 20xy + 4y 2
Jei pakeisime −2 y, tai reikš, kad skirtumas pradinės išraiškos skliausteliuose buvo pakeistas suma:
(5x − 2y) 2 = (5x + (−2y)) 2
ir šiuo atveju reikia taikyti ne skirtumo kvadrato formulę, o sumos kvadrato formulę:
(5x + (−2y) 2
a = 5x
b = −2y
(5x + (−2y)) 2 = (5x) 2 + 2 × 5 x× (−2 y) + (−2y) 2 = 25x 2 − 20xy + 4y 2
Išimtis gali būti formos išraiškos (x− (−y)) 2 . Šiuo atveju naudojant formulę (a-b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 vietoj b turėtų būti pakeistas (- y)
(x− (−y)) 2 = x 2–2 × x× (− y) + (−y) 2 = x 2 + 2xy + y 2
Bet kvadratinės formos išraiškos x − (−y), bus patogiau atimtį pakeisti pridėjimu x+y. Tada pradinė išraiška įgaus formą ( x +y) 2 ir bus galima naudoti sumos kvadrato formulę, o ne skirtumą:
(x +y) 2 = x 2 + 2xy + y 2
Sumos kubas ir skirtumo kubas
Dviejų išraiškų sumos kubo ir dviejų išraiškų skirtumo kubo formulės yra šios:
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a-b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3
Dviejų išraiškų sumos kubo formulę galima perskaityti taip:
Dviejų išraiškų sumos kubas yra lygus pirmosios išraiškos kubui, pridėjus tris kartus pirmosios išraiškos kvadratą, padaugintą iš antrosios, plius tris kartus pirmosios išraiškos sandaugai padauginus iš antrosios išraiškos kvadrato plius antrosios išraiškos kubu išraiška.
O dviejų išraiškų skirtumo kubo formulę galima perskaityti taip:
Dviejų išraiškų skirtumo kubas yra lygus pirmosios išraiškos kubui, atėmus tris kartus pirmosios išraiškos kvadrato sandaugą, o antrosios - plius tris kartus pirmosios išraiškos sandaugą ir antrosios išraiškos kvadratą atėmus kubą antrosios išraiškos.
Sprendžiant uždavinius, šias formules pageidautina žinoti mintinai. Jei neprisimeni, nesijaudink! Galite juos išimti patys. Mes jau žinome, kaip.
Išveskime sumos kubo formulę patys:
(a+b) 3
Išraiška ( a+b) 3 yra trijų daugianario sandauga, kurių kiekvienas yra lygus ( a+ b)
(a+b) 3 = (a+ b)(a+ b)(a+ b)
Tačiau išraiška ( a+b) 3 taip pat gali būti parašytas kaip (a+ b)(a+ b) 2
(a+b) 3 = (a+ b)(a+ b) 2
Šiuo atveju veiksnys ( a+ b) 2 yra dviejų išraiškų sumos kvadratas. Šis sumos kvadratas yra lygus išraiškai a 2 + 2ab + b 2 .
Tada ( a+b) 3 gali būti parašytas kaip (a+ b)(a 2 + 2ab + b 2) .
(a+b) 3 = (a+ b)(a 2 + 2ab + b 2)
Ir tai yra daugianario dauginimas iš daugianario. Vykdykime tai:
(a+b) 3 = (a+ b)(a 2 + 2ab + b 2) = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + a 2 b + 2ab 2 + b 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Panašiai galite išvesti dviejų išraiškų skirtumo kubo formulę:
(a-b) 3 = (a- b)(a 2 − 2ab + b 2) = a 3 − 2a 2 b + ab 2 − a 2 b + 2ab 2 − b 3 = a 3 − 3a 2 b+ 3ab 2 − b 3
1 pavyzdys. Konvertuoti išraišką ( x+ 1) 3 į daugianarį.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(x+ 1) 3 = x 3+3× x 2×1 + 3× x× 1 2 + 1 3 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1
Pabandykime išspręsti šį pavyzdį nenaudodami dviejų išraiškų sumos kubo formulės
(x+ 1) 3 = (x+ 1)(x+ 1)(x+ 1) = (x+ 1)(x 2 + 2x + 1) = x 3 + 2x 2 + x + x 2 + 2x + 1 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1
2 pavyzdys. Konvertuoti išraišką (6a 2 + 3b 3) 3 į daugianarį.
Naudokime kubo formulę dviejų išraiškų sumai:
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(6a 2 + 3b 3) 3 = (6a 2) 3 + 3 × (6 a 2) 2 × 3 b 3+3×6 a 2 × (3b 3) 2 + (3b 3) 3 = 216a 6+3×36 a 4×3 b 3+3×6 a 2×9 b 6 + 27b 9
3 pavyzdys. Konvertuoti išraišką ( n 2 − 3) 3 į daugianarį.
(a-b) = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3
(n 2 − 3) 3 = (n 2) 3–3 × ( n 2) 2×3 + 3× n 2 × 3 2 − 3 3 = n 6 − 9n 4 + 27n 2 − 27
4 pavyzdys. Konvertuoti išraišką (2x 2 − x 3) 3 į daugianarį.
Naudokime dviejų išraiškų skirtumo kubo formulę:
(a-b) = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3
(2x 2 − x 3) 3 = (2x 2) 3–3 × (2 x 2) 2 × x 3+3×2 x 2×( x 3) 2 − (x 3) 3 =
8x 6–3 × 4 x 4× x 3+3×2 x 2× x 6 − x 9 =
8x 6 − 12x 7 + 6x 8 − x 9
Dviejų išraiškų skirtumą padauginus iš jų sumos
Yra problemų, kuriose reikia padauginti dviejų išraiškų skirtumą iš jų sumos. Pavyzdžiui:
(a-b)(a+b)
Šioje išraiškoje dviejų posakių skirtumas a ir b padauginta iš tų pačių dviejų išraiškų sumos. Padauginkime taip:
(a-b)(a+b) = a 2 + ab − ab − b 2 = a 2 − b 2
Tokia yra išraiška (a-b)(a+b) lygus a 2 − b 2
(a-b)(a+b) = a 2 − b 2
Matome, kad dviejų išraiškų skirtumą padauginus iš jų sumos, gauname šių reiškinių kvadratų skirtumą.
Dviejų reiškinių skirtumo ir jų sumos sandauga yra lygi šių reiškinių kvadratų skirtumui.
Vyksta (a-b)(a+b) gali būti išplėstas iki bet kurio a ir b. Paprasčiau tariant, jei sprendžiant uždavinį reikia padauginti dviejų išraiškų skirtumą iš jų sumos, tai šį dauginimą galima pakeisti šių reiškinių kvadratų skirtumu.
1 pavyzdys. Atlikite dauginimą (2x − 5)(2x + 5)
Šiame pavyzdyje išraiškos skirtumas yra 2 x ir 5 padaugintas iš tų pačių išraiškų sumos. Tada pagal formulę (a-b)(a+b) = a 2 − b 2 mes turime:
(2x − 5)(2x + 5) = (2x) 2 − 5 2
Apskaičiuojame dešinę pusę, gauname 4 x 2 − 25
(2x − 5)(2x + 5) = (2x) 2 − 5 2 = 4x 2 − 25
Pabandykime išspręsti šį pavyzdį nenaudodami formulės (a-b)(a+b) = a 2 − b 2 . Gausime tą patį rezultatą 4 x 2 − 25
(2x − 5)(2x + 5) = 4x 2 − 10x + 10x − 25 = 4x 2 − 25
2 pavyzdys. Atlikite dauginimą (4x − 5y)(4x + 5y)
(a-b)(a+b) = a 2 − b 2
(4x − 5y)(4x + 5y) = (4x) 2 − (5y) 2 = 16x 2 − 25y 2
3 pavyzdys. Atlikite dauginimą (2a+ 3b)(2a− 3b)
Naudokime formulę, skirtą dviejų išraiškų skirtumui padauginti iš jų sumos:
(a-b)(a+b) = a 2 − b 2
(2a + 3b)(2a- 3b) = (2a) 2 − (3b) 2 = 4a 2 − 9b 2
Šiame pavyzdyje terminų suma yra 2 a ir 3 b esančios anksčiau nei šių terminų skirtumas. Ir formulėje (a-b)(a+b) = a 2 − b 2 skirtumas yra anksčiau.
Nėra skirtumo, kaip veiksniai yra išdėstyti ( a-b) į ( a+b) formulėje. Jie gali būti parašyti kaip (a-b)(a+b) , ir (a+b)(a-b) . Rezultatas vis tiek bus a 2 − b 2 , nes sandauga nesikeičia dėl faktorių permutacijos.
Taigi šiame pavyzdyje veiksniai (2 a + 3b) ir 2 a- 3b) gali būti parašytas kaip (2a + 3b)(2a- 3b) , ir (2a- 3b)(2a + 3b) . Rezultatas vis tiek bus 4. a 2 − 9b 2 .
3 pavyzdys. Atlikite dauginimą (7 + 3x)(3x − 7)
Naudokime formulę, skirtą dviejų išraiškų skirtumui padauginti iš jų sumos:
(a-b)(a+b) = a 2 − b 2
(7 + 3x)(3x − 7) = (3x) 2 − 7 2 = 9x 2 − 49
4 pavyzdys. Atlikite dauginimą (x 2 − y 3)(x 2 + y 3)
(a-b)(a+b) = a 2 − b 2
(x 2 − y 3)(x 2 + y 3) = (x 2) 2 − (y 3) 2 = x 4 − y 6
5 pavyzdys. Atlikite dauginimą (−5x− 3y)(5x− 3y)
Išraiškoje (−5 x− 3y) išimame −1, tada pradinė išraiška bus tokia:
(−5x− 3y)(5x− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y)
Darbas (5x + 3y)(5x − 3y) pakeisti kvadratų skirtumu:
(−5x− 3y)(5x− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y) = −1((5x) 2 − (3y) 2)
Kvadratų skirtumas buvo įrašytas skliausteliuose. Jei tai nebus padaryta, paaiškės, kad −1 padauginamas tik iš (5 x) 2 . Ir tai sukels klaidą ir pakeis pradinės išraiškos reikšmę.
(−5x− 3y)(5x− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y) = −1((5x) 2 − (3y) 2) = −1(25x 2 − 9x 2)
Dabar padauginkite −1 iš skliausteliuose esančios išraiškos ir gaukite galutinį rezultatą:
(−5x− 3y)(5x− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y) = −1((5x) 2 − (3y) 2) =
−1(25x 2 − 9y 2) = −25x 2 + 9y 2
Dviejų išraiškų skirtumą padauginus iš nepilno jų sumos kvadrato
Yra uždavinių, kai dviejų išraiškų skirtumą reikia padauginti iš nepilno jų sumos kvadrato. Šis gabalas atrodo taip:
(a-b)(a 2 + ab + b 2)
Pirmasis daugianomas ( a-b) yra dviejų išraiškų ir antrojo daugianario skirtumas (a 2 + ab + b 2) yra nepilnas šių dviejų išraiškų sumos kvadratas.
Nebaigtas sumos kvadratas yra formos daugianario a 2 + ab + b 2 . Jis panašus į įprastą sumos kvadratą a 2 + 2ab + b 2
Pavyzdžiui, išraiška 4x 2 + 6xy + 9y 2 yra nepilnas reiškinių sumos kvadratas 2 x ir 3 y .
Iš tiesų, pirmasis išraiškos terminas 4x 2 + 6xy + 9y 2 , būtent 4 x 2 yra 2 išraiškos kvadratas x, nuo (2 x) 2 = 4x 2. Trečiasis išraiškos terminas 4x 2 + 6xy + 9y 2 , būtent 9 y 2 yra kvadratas iš 3 y, nuo (3 y) 2 = 9y 2. vidurys 6 xy, yra 2 išraiškų sandauga x ir 3 y.
Taigi padauginkime skirtumą ( a-b) nepilnu sumos kvadratu a 2 + ab + b 2
(a-b)(a 2 + ab + b 2) = a(a 2 + ab + b 2) − b(a 2 + ab + b 2) =
a 3 + a 2 b + ab 2 − a 2 b − ab 2 − b 3 = a 3 − b 3
Tokia yra išraiška (a-b)(a 2 + ab + b 2) lygus a 3 − b 3
(a-b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3
Ši tapatybė vadinama formule, skirta dviejų išraiškų skirtumui padauginti iš nepilno jų sumos kvadrato. Šią formulę galima perskaityti taip:
Dviejų išraiškų skirtumo ir nepilnojo jų sumos kvadrato sandauga lygi šių reiškinių kubų skirtumui.
1 pavyzdys. Atlikite dauginimą (2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2)
Pirmasis daugianomas (2 x − 3y) yra dviejų išraiškų skirtumas 2 x ir 3 y. Antrasis daugianario 4x 2 + 6xy + 9y 2 yra nepilnas dviejų išraiškų sumos kvadratas 2 x ir 3 y. Tai leidžia mums naudoti formulę neatliekant ilgų skaičiavimų (a-b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3 . Mūsų atveju daugyba (2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2) gali būti pakeistas kubelių skirtumu 2 x ir 3 y
(2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2) = (2x) 3 − (3y) 3 = 8x 3 − 27y 3
(a-b)(a 2 + ab+ b 2) = a 3 − b 3 . Gauname tą patį rezultatą, tačiau sprendimas tampa ilgesnis:
(2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2) = 2x(4x 2 + 6xy + 9y 2) − 3y(4x 2 + 6xy + 9y 2) =
8x 3 + 12x 2 y + 18xy 2 − 12x 2 y − 18xy 2 − 27y 3 = 8x 3 − 27y 3
2 pavyzdys. Atlikite dauginimą (3 − x)(9 + 3x + x 2)
Pirmasis daugianario (3 − x) yra dviejų išraiškų skirtumas, o antrasis daugianomas yra nepilnas šių dviejų išraiškų sumos kvadratas. Tai leidžia mums naudoti formulę (a-b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3
(3 − x)(9 + 3x + x 2) = 3 3 − x 3 = 27 − x 3
Dviejų išraiškų sumą padauginus iš nepilno jų skirtumo kvadrato
Yra uždavinių, kai dviejų išraiškų sumą reikia padauginti iš nepilno jų skirtumo kvadrato. Šis gabalas atrodo taip:
(a+b)(a 2 − ab + b 2)
Pirmasis daugianomas ( a+b (a 2 − ab + b 2) yra nepilnas šių dviejų posakių skirtumo kvadratas.
Neužbaigtas skirtumo kvadratas yra formos daugianario a 2 − ab + b 2 . Tai panašu į įprastą kvadratinį skirtumą a 2 − 2ab + b 2 išskyrus tai, kad joje pirmosios ir antrosios išraiškos sandauga nėra padvigubinta.
Pavyzdžiui, išraiška 4x 2 − 6xy + 9y 2 yra nepilnas reiškinių skirtumo 2 kvadratas x ir 3 y .
(2x) 2 − 2x× 3 y + (3y) 2 = 4x 2 − 6xy + 9y 2
Grįžkime prie pradinio pavyzdžio. Padauginkime sumą a+b nepilnu skirtumo kvadratu a 2 − ab + b 2
(a+b)(a 2 − ab + b 2) = a(a 2 − ab + b 2) + b(a 2 − ab + b 2) =
a 3 − a 2 b + ab 2 + a 2 b − ab 2 + b 3 = a 3 + b 3
Tokia yra išraiška (a+b)(a 2 − ab + b 2) lygus a 3 + b 3
(a+b)(a 2 − ab + b 2) = a 3 + b 3
Ši tapatybė vadinama dviejų išraiškų sumos padauginimo iš nepilno jų skirtumo kvadrato formule. Šią formulę galima perskaityti taip:
Dviejų išraiškų sumos ir nepilnojo jų skirtumo kvadrato sandauga lygi šių reiškinių kubų sumai.
1 pavyzdys. Atlikite dauginimą (2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2)
Pirmasis daugianomas (2 x + 3y) yra dviejų išraiškų 2 suma x ir 3 y, ir antrasis daugianario 4x 2 − 6xy + 9y 2 yra nepilnas šių posakių skirtumo kvadratas. Tai leidžia mums naudoti formulę neatliekant ilgų skaičiavimų (a+b)(a 2 − ab + b 2) = a 3 + b 3 . Mūsų atveju daugyba (2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2) galima pakeisti kubelių suma 2 x ir 3 y
(2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2) = (2x) 3 + (3y) 3 = 8x 3 + 27y 3
Pabandykime išspręsti tą patį pavyzdį nenaudodami formulės (a+b)(a 2 − ab+ b 2) = a 3 + b 3 . Gauname tą patį rezultatą, tačiau sprendimas tampa ilgesnis:
(2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2) = 2x(4x 2 − 6xy + 9y 2) + 3y(4x 2 − 6xy + 9y 2) =
8x 3 − 12x 2 y + 18xy 2 + 12x 2 y − 18xy 2 + 27y 3 = 8x 3 + 27y 3
2 pavyzdys. Atlikite dauginimą (2x+ y)(4x 2 − 2xy + y 2)
Pirmasis daugianomas (2 x+ y) yra dviejų išraiškų ir antrojo daugianario suma (4x 2 − 2xy + y 2) yra nepilnas šių posakių skirtumo kvadratas. Tai leidžia mums naudoti formulę (a+b)(a 2 − ab+ b 2) = a 3 + b 3
(2x+ y)(4x 2 − 2xy + y 2) = (2x) 3 + y 3 = 8x 3 + y 3
Pabandykime išspręsti tą patį pavyzdį nenaudodami formulės (a+b)(a 2 − ab+ b 2) = a 3 + b 3 . Gauname tą patį rezultatą, tačiau sprendimas tampa ilgesnis:
(2x+ y)(4x 2 − 2xy + y 2) = 2x(4x 2 − 2xy + y 2) + y(4x 2 − 2xy + y 2) =
8x 3 − 4x 2 y + 2xy 2 + 4x 2 y − 2xy 2 + y 3 = 8x 3 + y 3
Savarankiško sprendimo užduotys
Ar patiko pamoka?
Prisijunkite prie mūsų naujos Vkontakte grupės ir pradėkite gauti pranešimus apie naujas pamokas
Šioje pamokoje susipažinsime su sumos kvadrato ir skirtumo kvadrato formulėmis ir jas išvesime. Įrodykime sumos kvadrato formulę geometriškai. Be to, naudodami šias formules išspręsime daugybę skirtingų pavyzdžių.
Apsvarstykite sumos kvadrato formulę:
Taigi, mes išvedėme sumos kvadrato formulę:
Žodžiu ši formulė išreiškiama taip: sumos kvadratas lygus pirmojo skaičiaus kvadratui plius dvigubai pirmojo skaičiaus sandaugai iš antrojo ir antrojo skaičiaus kvadratui.
Šią formulę lengva pavaizduoti geometriškai.
Apsvarstykite kvadratą su kraštine:
Kvadrato plotas.
Kita vertus, tą patį kvadratą galima pavaizduoti skirtingai, padalijus kraštinę į a ir b (1 pav.).
Ryžiai. 1. Kvadratas
Tada kvadrato plotas gali būti pavaizduotas kaip plotų suma:
Kadangi kvadratai buvo vienodi, jų plotai yra vienodi, o tai reiškia:
Taigi, geometriškai įrodėme sumos kvadrato formulę.
Apsvarstykite pavyzdžius:
Komentuoti: pavyzdys išspręstas naudojant sumos kvadrato formulę.
Mes gauname skirtumo kvadrato formulę:
Taigi, mes išvedėme skirtumo kvadrato formulę:
Žodžiu ši formulė išreiškiama taip: skirtumo kvadratas yra lygus pirmojo skaičiaus kvadratui atėmus du kartus pirmojo skaičiaus sandaugą iš antrojo ir antrojo skaičiaus kvadratą.
Apsvarstykite pavyzdžius:
Sumos kvadrato ir skirtumo kvadrato formulės gali veikti tiek iš kairės į dešinę, tiek iš dešinės į kairę. Naudojant iš kairės į dešinę, tai bus sutrumpintos daugybos formulės, jos naudojamos skaičiuojant ir transformuojant pavyzdžius. O naudojant iš dešinės į kairę – faktorizavimo formulės.
Apsvarstykite pavyzdžius, kuriuose duotą daugianarį reikia padalyti į veiksnius, naudojant sumos kvadrato ir skirtumo kvadrato formules. Norėdami tai padaryti, turite labai atidžiai pažvelgti į daugianarį ir tiksliai nustatyti, kaip jį teisingai išplėsti.
Komentuoti: norėdami padalyti daugianarį faktorių, turite nustatyti, kas pavaizduota šioje išraiškoje. Taigi matome aikštę ir vienybės aikštę. Dabar turime rasti dvigubą produktą – tai yra . Taigi, visi reikalingi elementai yra, tereikia nustatyti, ar tai yra sumos ar skirtumo kvadratas. Prieš padvigubintą sandaugą yra pliuso ženklas, reiškiantis, kad turime sumos kvadratą.
Sutrumpintos daugybos formulės.
Sutrumpinto daugybos formulių studijavimas: sumos kvadratas ir dviejų išraiškų skirtumo kvadratas; dviejų išraiškų kvadratų skirtumas; sumos kubas ir dviejų išraiškų skirtumo kubas; dviejų išraiškų kubų sumos ir skirtumai.
Sutrumpintų daugybos formulių taikymas sprendžiant pavyzdžius.
Norint supaprastinti išraiškas, padalyti daugybinius polinomus ir sumažinti daugianario į standartinę formą, naudojamos sutrumpintos daugybos formulės. Sutrumpintos daugybos formulės, kurias reikia žinoti mintinai.
Tegu a, b R. Tada:
1. Dviejų išraiškų sumos kvadratas yra pirmosios išraiškos kvadratas plius du kartus pirmosios išraiškos sandauga ir antroji plius antrosios išraiškos kvadratas.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. Dviejų išraiškų skirtumo kvadratas yra pirmosios išraiškos kvadratas atėmus du kartus pirmosios išraiškos sandaugą, o antroji plius antrosios išraiškos kvadratas.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. Kvadratų skirtumas dvi išraiškos yra lygios šių išraiškų ir jų sumos skirtumo sandaugai.
a 2 – b 2 \u003d (a – b) (a + b)
4. sumos kubas iš dviejų išraiškų yra lygus pirmosios išraiškos kubui, pridėjus tris kartus pirmosios išraiškos kvadratą, padaugintą iš antrosios, plius tris kartus pirmosios išraiškos sandaugai ir antrosios išraiškos kvadratui plius antrosios išraiškos kubui.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. skirtumo kubas iš dviejų išraiškų yra lygus pirmosios išraiškos kubui, atėmus tris kartus pirmosios išraiškos kvadrato sandaugą, o antrosios ir plius tris kartus pirmosios išraiškos sandaugą ir antrosios išraiškos kvadratą, atėmus antrosios išraiškos kubą.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Kubų suma dvi išraiškos yra lygios pirmosios ir antrosios išraiškų sumos sandaugai iš šių išraiškų skirtumo nepilno kvadrato.
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. Kubelių skirtumas dviejų išraiškų yra lygus pirmosios ir antrosios išraiškų skirtumo sandaugai iš šių išraiškų sumos nepilno kvadrato.
a 3 – b 3 \u003d (a – b) (a 2 + ab + b 2)
Sutrumpintų daugybos formulių taikymas sprendžiant pavyzdžius.
1 pavyzdys
Apskaičiuoti
a) Naudodami dviejų išraiškų sumos kvadrato formulę, turime
(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
b) Naudodami dviejų išraiškų skirtumo kvadratu formulę, gauname
98 2 \u003d (100 - 2) 2 \u003d 100 2 - 2 100 2 + 2 2 \u003d 10000 - 400 + 4 \u003d 9604
2 pavyzdys
Apskaičiuoti
Naudodami dviejų išraiškų kvadratų skirtumo formulę, gauname
3 pavyzdys
Supaprastinkite išraišką
(x - y) 2 + (x + y) 2
Naudojame sumos kvadrato ir dviejų išraiškų skirtumo kvadrato formules
(x - y) 2 + (x + y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 \u003d 2x 2 + 2y 2
Sutrumpintos daugybos formulės vienoje lentelėje:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 – b 2 = (a – b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 – b 3 \u003d (a – b) (a 2 + ab + b 2)
Taip pat bus pateiktos užduotys savarankiškam sprendimui, į kurias matysite atsakymus.
Sutrumpintos daugybos formulės leidžia atlikti identiškas reiškinių transformacijas – daugianario. Jų pagalba galima skaičiuoti daugianarius koeficientus, o naudojant formules atvirkštine tvarka, dvinarių, kvadratų ir kubelių sandaugas pavaizduoti daugianariais. Panagrinėkime visas visuotinai priimtas sutrumpinto daugybos formules, jų išvedimą, bendras užduotis identiškoms posakių transformacijoms naudojant šias formules, taip pat namų darbų užduotis (atsakymus į juos atveria nuorodos).
sumos kvadratas
Sumos kvadrato formulė yra lygybė
(dviejų skaičių sumos kvadratas lygus pirmojo skaičiaus kvadratui plius pirmojo skaičiaus sandaugai du kartus, o antrojo ir antrojo skaičiaus kvadratui).
Vietoj a ir b bet kuris skaičius gali būti pakeistas į šią formulę.
Skaičiavimams supaprastinti dažnai naudojama sumos kvadrato formulė. Pavyzdžiui,
Naudojant sumos kvadrato formulę, daugianomas gali būti suskaidytas į faktorius, būtent, pavaizduotas kaip dviejų identiškų veiksnių sandauga.
1 pavyzdys
.
2 pavyzdys Parašykite kaip daugianario išraišką
Sprendimas. Pagal sumos kvadrato formulę gauname
Skirtumo kvadratas
Skirtumo kvadrato formulė yra lygybė
(skirtumo tarp dviejų skaičių kvadratas yra lygus pirmojo skaičiaus kvadratui atėmus du kartus pirmojo ir antrojo skaičiaus sandaugą plius antrojo skaičiaus kvadratą).
Kvadrato skirtumo formulė dažnai naudojama skaičiavimams supaprastinti. Pavyzdžiui,
Naudojant skirtumo kvadrato formulę, daugianomas gali būti suskaidytas į faktorius, ty pavaizduotas kaip dviejų identiškų faktorių sandauga.
Formulė išplaukia iš polinomo dauginimo iš daugianario taisyklės:
5 pavyzdys Parašykite kaip daugianario išraišką
Sprendimas. Pagal skirtumo kvadrato formulę gauname
.
Taikykite sutrumpintą daugybos formulę patys, tada žiūrėkite sprendimą
Pilnas kvadrato pasirinkimas
Dažnai antrojo laipsnio daugianario yra sumos arba skirtumo kvadratas, tačiau jis yra paslėptoje formoje. Norėdami aiškiai gauti visą kvadratą, turite transformuoti daugianarį. Norėdami tai padaryti, paprastai vienas iš daugianario narių pavaizduojamas kaip dviguba sandauga, o tada tas pats skaičius pridedamas prie daugianario ir atimamas iš jo.
7 pavyzdys
Sprendimas. Šį daugianarį galima paversti taip:
Čia mes pristatėme 5 x dvigubo produkto 5/2 dydžio pavidalu x, pridėta prie daugianario ir iš jo atimta tas pats skaičius, tada dvinariui pritaikė sumos kvadrato formulę.
Taigi mes įrodėme lygybę
,
lygus visam kvadratui ir skaičiui .
8 pavyzdys Apsvarstykite antrojo laipsnio daugianarį
Sprendimas. Atlikime jame tokias transformacijas:
Čia mes pristatėme 8 x dvigubo produkto pavidalu x 4, pridėta prie daugianario ir iš jo atėmus tą patį skaičių 4², dvinariui pritaikė skirtumo kvadrato formulę x − 4 .
Taigi mes įrodėme lygybę
,
rodantis, kad antrojo laipsnio daugianario
lygus visam kvadratui ir skaičiui –16.
Taikykite sutrumpintą daugybos formulę patys, tada žiūrėkite sprendimą
sumos kubas
Sumos kubo formulė yra lygybė
(Dviejų skaičių sumos kubas lygus pirmojo skaičiaus kubui, pridėjus tris kartus pirmojo ir antrojo skaičiaus kvadratą, pridėjus tris kartus pirmojo skaičiaus ir antrojo kvadrato sandaugą, pridėjus kubą antrojo numerio).
Sumos kubo formulė gaunama taip:
10 pavyzdys Parašykite kaip daugianario išraišką
Sprendimas. Pagal sumos kubo formulę gauname
Taikykite sutrumpintą daugybos formulę patys, tada žiūrėkite sprendimą
skirtumo kubas
Skirtumo kubo formulė yra lygybė
(Dviejų skaičių skirtumo kubas yra lygus pirmojo skaičiaus kubui, atėmus tris kartus pirmojo ir antrojo skaičiaus kvadratą, pridėjus tris kartus pirmojo skaičiaus sandaugą ir antrojo kvadratą atėmus kubą antrasis skaičius).
Sumos kubo formulės pagalba daugianomas gali būti išskaidytas į veiksnius, būtent, jį galima pavaizduoti kaip trijų identiškų faktorių sandaugą.
Skirtumo kubo formulė gaunama taip:
12 pavyzdys. Parašykite kaip daugianario išraišką
Sprendimas. Naudodami skirtumo kubo formulę gauname
Taikykite sutrumpintą daugybos formulę patys, tada žiūrėkite sprendimą
Kvadratų skirtumas
Kvadratų skirtumo formulė yra lygybė
(dviejų skaičių kvadratų skirtumas lygus šių skaičių sumos ir jų skirtumo sandaugai).
Naudojant sumos kubo formulę, bet kurį formos daugianarį galima koeficientuoti.
Formulės įrodymas buvo gautas naudojant daugianario daugybos taisyklę:
14 pavyzdys Parašykite sandaugą kaip daugianarį
.
Sprendimas. Pagal kvadratų skirtumo formulę gauname
15 pavyzdys Faktorizuoti
Sprendimas. Ši išraiška aiškia forma neatitinka jokios tapatybės. Tačiau skaičius 16 gali būti pavaizduotas kaip laipsnis su 4 baze: 16=4². Tada pradinė išraiška bus kitokia:
,
ir tai yra kvadratų skirtumo formulė, ir taikydami šią formulę gauname
Įkeliama...