Paveikslas, kurį riboja tęstinio neneigiamo grafiko atkarpa $$ funkcija $ f (x) $ ir tiesės $ y = 0, \ x = a $ ir $ x = b $, vadinama kreivine trapecija.

Atitinkamos išlenktos trapecijos plotas apskaičiuojamas pagal formulę:

$ S = \ int \ limits_ (a) ^ (b) (f (x) dx). $ (*)

Mes paprastai skirsime kreivinės trapecijos ploto paieškos problemą į $ 4 $ tipus. Apsvarstykime kiekvieną tipą išsamiau.

I tipas: išlenkta trapecija yra aiškiai nurodyta. Tada iš karto taikome formulę (*).

Pvz., Raskite išlenktos trapecijos plotą, apribotą funkcijos $ y = 4- (x-2) ^ (2) $ grafiku ir tiesėmis $ y = 0, \ x = 1 $ ir $ x = 3 $.

Nubrėžkime šią išlenktą trapeciją.

Taikydami formulę (*), randame šios išlenktos trapecijos plotą.

$ S = \ int \ limits_ (1) ^ (3) (\ kairė (4- (x-2) ^ (2) \ dešinė) dx) = \ int \ limits_ (1) ^ (3) (4dx)- \ int \ limits_ (1) ^ (3) ((x-2) ^ (2) dx) = 4x | _ (1) ^ (3)-\ kairė. \ frac ((x-2) ^ (3) ) (3) \ dešinė | _ (1) ^ (3) = $

$ = 4 (3-1) - \ frac (1) (3) \ kairė ((3-2) ^ (3) - (1-2) ^ (3) \ dešinė) = 4 \ cdot 2 - \ frac (1) (3) \ kairė ((1) ^ (3) - ( - 1) ^ (3) \ dešinė) = 8 - \ frac (1) (3) (1 + 1) = $

$ = 8- \ frac (2) (3) = 7 \ frac (1) (3) $ (vienetas $ ^ (2) $).

II tipas: netiesiogiai nurodoma išlenkta trapecija. Tokiu atveju tiesės $ x = a, \ x = b $ paprastai nėra nurodytos arba iš dalies nurodytos. Tokiu atveju turite rasti funkcijų $ y = f (x) $ ir $ y = 0 $ susikirtimo taškus. Šie taškai bus taškai $ a $ ir $ b $.

Pavyzdžiui, raskite figūros plotą, apribotą funkcijų $ y = 1-x ^ (2) $ ir $ y = 0 $ grafikais.

Raskime susikirtimo taškus. Norėdami tai padaryti, mes prilyginame dešines funkcijų puses.

Taigi $ a = -1 $ ir $ b = 1 $. Nubrėžkime šią išlenktą trapeciją.

Raskime šios išlenktos trapecijos plotą.

$ S = \ int \ limits _ (- 1) ^ (1) (\ left (1-x ^ (2) \ right) dx) = \ int \ limits _ (- 1) ^ (1) (1dx)- \ int \ limits _ (- 1) ^ (1) (x ^ (2) dx) = x | _ (- 1) ^ (1)- \ kairė. \ frac (x ^ (3)) (3) \ dešinė | _ (-1) ^ (1) = $

$ = (1 - ( - 1)) - \ frac (1) (3) \ kairė (1 ^ (3) - ( - 1) ^ (3) \ dešinė) = 2 - \ frac (1) (3) \ kairė (1 + 1 \ dešinė) = 2 - \ frac (2) (3) = 1 \ frac (1) (3) $ (vienetas $ ^ (2) $).

III tipas: figūros plotas, apribotas dviejų ištisinių neneigiamų funkcijų sankirtos.Šis skaičius nebus kreivinė trapecija, o tai reiškia, kad negalite apskaičiuoti jo ploto naudodami formulę (*). Kaip būti? Pasirodo, kad šio skaičiaus plotą galima rasti kaip skirtumą tarp išlenktų trapecijos plotų, apribotų viršutine funkcija ir $ y = 0 $ ($ S_ (uf) $), ir apatinę funkciją ir $ y = 0 $ ($ S_ (lf) $), kur $ x = a, \ x = b $ vaidmenį atlieka šių funkcijų susikirtimo taškų $ x $ koordinatės, t.y.

$ S = S_ (uf) -S_ (lf) $. (**)

Svarbiausias dalykas skaičiuojant tokias sritis yra neperžengti pasirinkus viršutinę ir apatinę funkcijas.

Pavyzdžiui, raskite figūros plotą, apribotą funkcijomis $ y = x ^ (2) $ ir $ y = x + 6 $.

Raskime šių grafikų susikirtimo taškus:

Pagal Vieta teoremą,

$ x_ (1) = - 2, \ x_ (2) = 3. $

Tai yra, $ a = -2, \ b = 3 $. Nubrėžkime figūrą:

Taigi viršutinė funkcija yra $ y = x + 6 $, o apatinė - $ y = x ^ (2) $. Toliau randame $ S_ (uf) $ ir $ S_ (lf) $ pagal formulę (*).

$ S_ (uf) = \ int \ limits _ (- 2) ^ (3) ((x + 6) dx) = \ int \ limits _ (- 2) ^ (3) (xdx) + \ int \ limits _ (- 2) ^ (3) (6dx) = \ kairė. \ Frac (x ^ (2)) (2) \ dešinė | _ (- 2) ^ (3) + 6x | _ (- 2) ^ (3 ) = 32, 5 $ (vienetai $ ^ (2) $).

$ S_ (lf) = \ int \ limits _ (- 2) ^ (3) (x ^ (2) dx) = \ kairė. \ Frac (x ^ (3)) (3) \ dešinė | _ (- 2 ) ^ (3) = \ frac (35) (3) $ (vienetas $ ^ (2) $).

Pakeiskite rastą (**) ir gaukite:

$ S = 32,5- \ frac (35) (3) = \ frac (125) (6) $ (vienetas $ ^ (2) $).

IV tipas: figūros plotas, apribotas funkcijos (-ų), kuri neatitinka neneigiamumo sąlygos. Norėdami rasti tokio skaičiaus plotą, turite simetriškai įvertinti $ Ox $ ( kitaip tariant, priešais funkcijas nurodykite „minusus“) parodykite sritį ir, naudodami I - III tipuose aprašytus metodus, raskite rodomos srities plotą. Ši sritis bus reikalinga. Anksčiau gali tekti rasti funkcijų grafikų susikirtimo taškus.

Pavyzdžiui, raskite figūros plotą, apribotą funkcijų $ y = x ^ (2) -1 $ ir $ y = 0 $ grafikais.

Raskime funkcijų grafikų susikirtimo taškus:

tie. $ a = -1 $ ir $ b = 1 $. Nupieškime plotą.

Parodykite sritį simetriškai:

$ y = 0 \ \ Dešinysis rodyklė \ y = -0 = 0 $

$ y = x ^ (2) -1 \ \ Dešinė rodyklė \ y = -(x ^ (2) -1) = 1 -x ^ (2) $.

Gaunate kreivinę trapeciją, apribotą funkcijos $ y = 1-x ^ (2) $ ir $ y = 0 $ grafiku. Tai yra antrojo tipo kreivinės trapecijos paieškos problema. Mes jau išsprendėme. Atsakymas buvo: $ S = 1 \ frac (1) (3) $ (vienetas $ ^ (2) $). Taigi reikiamos kreivinės trapecijos plotas yra lygus:

$ S = 1 \ frac (1) (3) $ (vienetas $ ^ (2) $).

Išlenktos trapecijos plotas skaičiais lygus apibrėžtam integralui

Bet koks apibrėžtas integralas (kuris egzistuoja) turi labai gerą geometrinę reikšmę. Pamokoje sakiau, kad neabejotinas integralas yra skaičius. Ir dabar atėjo laikas pasakyti dar vieną naudingą faktą. Geometrijos požiūriu neabejotinas integralas yra ZONA.

Tai yra, neabejotinas integralas (jei jis egzistuoja) geometriškai atitinka kokios nors figūros plotą... Pavyzdžiui, apsvarstykite konkretų integralą. Integralas apibrėžia tam tikrą kreivę plokštumoje (jei pageidaujama, ją visada galima nubrėžti), o pats apibrėžtasis integralas yra skaitiniu požiūriu lygus atitinkamos kreivinės trapecijos plotui.

1 pavyzdys

Tai tipiška užduoties formuluotė. Pirmasis ir svarbiausias sprendimo punktas yra brėžinio konstrukcija... Be to, piešinys turi būti sukurtas TEISINGAI.

Kurdamas piešinį, rekomenduoju tokią tvarką: iš pradžių geriau statyti visas linijas (jei yra) ir tik po- parabolės, hiperbolės, kitų funkcijų grafikai. Pelningiau kurti funkcijų grafikus tašku, taškinių konstrukcijų techniką galima rasti informacinėje medžiagoje.

Čia taip pat galite rasti labai naudingos medžiagos, susijusios su mūsų pamoka - kaip greitai sukurti parabolę.

Šios problemos sprendimas gali atrodyti taip.
Nubrėžkime piešinį (atkreipkite dėmesį, kad lygtis apibrėžia ašį):

Išlenktos trapecijos neišpersiu, čia akivaizdu, apie kokią sritį kalbame. Sprendimas tęsiasi taip:

Segmente yra funkcijos grafikas virš ašies, todėl:

Atsakymas:

Kam sunku apskaičiuoti tam tikrą integralą ir taikyti Niutono-Leibnico formulę , skaitykite paskaitą Neabejotinas integralas. Sprendimų pavyzdžiai.

Baigus užduotį, visada naudinga pažvelgti į projektą ir įvertinti, ar atsakymas yra tikras. Šiuo atveju „iš akies“ skaičiuojame piešinyje esančių langelių skaičių - na, apie 9 bus įvesta, atrodo kaip tiesa. Visiškai aišku, kad jei gavome, tarkime, atsakymą: 20 kvadratinių vienetų, tai, akivaizdu, kažkur buvo padaryta klaida - 20 ląstelių akivaizdžiai netelpa į aptariamą figūrą, daugiausia keliolika. Jei atsakymas neigiamas, užduotis taip pat buvo išspręsta neteisingai.

2 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros plotą, apribotą linijomis, ir ašį

Tai yra „pasidaryk pats“ sprendimo pavyzdys. Pilnas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Ką daryti, jei yra išlenkta trapecija po ašimi?

3 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros plotą, apribotą linijomis ir koordinačių ašimis.

Sprendimas: vykdykime piešinį:

Jei išlenkta trapecija visiškai esantis po ašimi, tada jos plotą galima rasti pagal formulę:
Tokiu atveju:

Dėmesio! Negalima painioti dviejų tipų užduočių:

1) Jei jūsų prašoma išspręsti tik tam tikrą integralą be jokios geometrinės reikšmės, tada jis gali būti neigiamas.

2) Jei jūsų prašoma rasti figūros plotą naudojant apibrėžtą integralą, tada plotas visada yra teigiamas! Štai kodėl ką tik svarstomoje formulėje atsiranda minusas.

Praktiškai dažniausiai figūra yra tiek viršutinėje, tiek apatinėje pusiau plokštumose, todėl nuo paprasčiausių mokyklos problemų pereiname prie prasmingesnių pavyzdžių.

4 pavyzdys

Raskite plokščios figūros plotą, apribotą linijomis.

Sprendimas: Pirmiausia turite užpildyti piešinį. Apskritai, kuriant brėžinį, kuriame pateikiamos problemos, labiausiai domimės tiesių susikirtimo taškais. Raskite parabolės ir tiesės susikirtimo taškus. Tai galima padaryti dviem būdais. Pirmasis būdas yra analitinis. Mes išsprendžiame lygtį:

Vadinasi, apatinė integracijos riba, viršutinė integracijos riba.
Jei įmanoma, geriau nenaudoti šio metodo.

Daug pelningiau ir greičiau statyti linijas po taško, o integracijos ribos tampa aiškios tarsi „savaime“. Įvairių diagramų braižymo po taško technika išsamiai aptariama žinyne. Elementarių funkcijų grafikai ir savybės... Nepaisant to, kartais vis tiek reikia naudoti analitinį ribų nustatymo metodą, jei, pavyzdžiui, grafikas yra pakankamai didelis arba tiksli konstrukcija neatskleidė integracijos ribų (jos gali būti trupmeninės arba neracionalios). Ir mes taip pat apsvarstysime tokį pavyzdį.

Grįžtame prie savo problemos: racionaliau iš pradžių sukonstruoti tiesią liniją ir tik tada parabolę. Vykdome piešinį:

Kartoju, kad taškinės konstrukcijos atveju integracijos ribas dažniausiai išsiaiškina „automatas“.

O dabar darbo formulė: Jei segmente yra tam tikra nepertraukiama funkcija didesnis ar lygus atliekant tam tikrą nuolatinę funkciją, atitinkamos figūros plotą galima rasti pagal formulę:

Čia jums nebereikia galvoti apie tai, kur yra figūra - virš ašies ar žemiau ašies, ir, grubiai tariant, svarbu, koks tvarkaraštis yra aukščiau(palyginti su kitu grafiku), ir kuris yra žemiau.

Nagrinėjamu pavyzdžiu akivaizdu, kad segmente parabolė yra virš tiesės, todėl reikia atimti iš

Sprendimo užbaigimas gali atrodyti taip:

Reikiamą figūrą riboja parabolė viršuje ir tiesi linija apačioje.
Segmente pagal atitinkamą formulę:

Atsakymas:

Tiesą sakant, mokyklinė formulė kreivinės trapecijos plotui apatinėje pusės plokštumoje (žr. Paprastą pavyzdį Nr. 3) yra ypatingas formulės atvejis ... Kadangi ašį nurodo lygtis, o funkcijos grafikas yra žemiau ašies, tada

O dabar pora savaiminio sprendimo pavyzdžių

5 pavyzdys

6 pavyzdys

Raskite figūros plotą, apribotą linijomis.

Sprendžiant srities apskaičiavimo problemas naudojant tam tikrą integralą, kartais nutinka juokingas incidentas. Piešimas padarytas teisingai, skaičiavimai teisingi, bet netyčia ... randamas neteisingos figūros plotas, taip tavo kuklus tarnas kelis kartus suklydo. Štai tikras gyvenimo atvejis:

7 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros plotą, apribotą tiesėmis ,,,.

Pirmiausia atlikime piešinį:

Paveikslas, kurio sritį turime rasti, nuspalvintas mėlyna spalva(atidžiai pažvelkite į būklę - kuo figūra apsiriboja!). Tačiau praktiškai dėl neatsargumo dažnai kyla klausimas, kad reikia rasti figūros plotą, kuris yra nuspalvintas žaliai!

Šis pavyzdys taip pat naudingas tuo, kad skaičiuoja figūros plotą, naudodamas du aiškius integralus. Tikrai:

1) Linijos grafikas yra segmente virš ašies;

2) Hiperbolės grafikas yra segmente virš ašies.

Akivaizdu, kad sritis galima (ir reikia) pridėti, todėl:

Atsakymas:

8 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros plotą, apribotą linijomis,
Pavaizduokime lygtis „mokyklos“ formoje ir atlikime piešimą tašku po taško:

Iš brėžinio matyti, kad mūsų viršutinė riba yra „gera“:.
Bet kokia yra apatinė riba?! Akivaizdu, kad tai nėra sveikas skaičius, bet kuris? Gal būt ? Bet kur garantija, kad piešinys padarytas tobulai tiksliai, gali būti taip. Arba šaknis. Kas būtų, jei grafiką nubraižytume visai neteisingai?

Tokiais atvejais turite praleisti papildomo laiko ir analitiškai patikslinti integracijos ribas.

Raskite linijos ir parabolės susikirtimo taškus.
Norėdami tai padaryti, mes išsprendžiame lygtį:

Vadinasi ,.

Tolesnis sprendimas yra trivialus, svarbiausia nesusipainioti pakeitimuose ir ženkluose, skaičiavimai čia nėra patys lengviausi.

Ant segmento , pagal atitinkamą formulę:

Atsakymas:

Na, o pamokos pabaigoje mes apsvarstysime dar dvi sunkias užduotis.

9 pavyzdys

Apskaičiuokite figūros plotą, apribotą linijomis,

Sprendimas: Nubrėžkite šią figūrą brėžinyje.

Norėdami sukurti piešinį tašku po taško, turite žinoti sinusoidės išvaizdą (ir apskritai naudinga žinoti visų elementarių funkcijų grafikai), taip pat kai kurias sinusines vertes, jas rasite trigonometrinė lentelė... Daugeliu atvejų (kaip ir šiuo atveju) leidžiama sukurti schematinį brėžinį, kuriame iš principo turėtų būti teisingai pavaizduoti grafikai ir integracijos ribos.

Su integracijos ribomis nėra jokių problemų, jos išplaukia tiesiogiai iš sąlygos: - „x“ pasikeičia iš nulio į „pi“. Mes priimame tolesnį sprendimą:

Fragmento grafikas segmente yra virš ašies, todėl:

(1) Kaip integruoti sinusus ir kosinusus į nelygines galias, galima pamatyti pamokoje Trigonometrinių funkcijų integralai... Tai yra tipiška technika, mes pašaliname vieną sinusą.

(2) Formoje naudojame pagrindinę trigonometrinę tapatybę

(3) Pakeiskime kintamąjį, tada:

Nauji integracijos perskirstymai:

Kam tikrai blogai sekasi pakeisti, eikite į pamoką Pakeitimo metodas neapibrėžtame integrale... Kam konkretaus integralo pakeitimo algoritmas nėra labai aiškus, apsilankykite puslapyje Neabejotinas integralas. Sprendimų pavyzdžiai.

Šiame straipsnyje bus parodyta, kaip rasti figūros plotą, apribotą linijomis, naudojant integralinius skaičiavimus. Pirmą kartą su tokios problemos formulavimu susiduriame vidurinėje mokykloje, kai ką tik baigtas apibrėžtų integralų tyrimas ir atėjo laikas pradėti geometrinę praktikoje įgytų žinių interpretaciją.

Taigi, ko reikia norint sėkmingai išspręsti figūros ploto suradimo naudojant integralus problemą:

Gebėjimas kompetentingai kurti brėžinius;
Gebėjimas išspręsti tam tikrą integralą, naudojant gerai žinomą Niutono-Leibnico formulę;
Galimybė „pamatyti“ naudingesnį sprendimą - tai yra, suprasti, kaip tokiu ar kitu atveju bus patogiau atlikti integraciją? Išilgai x ašies (OX) arba y ašies (OY)?
Na, kur be teisingų skaičiavimų?) Tai apima supratimą, kaip išspręsti tokio tipo integralus, ir teisingus skaitmeninius skaičiavimus.

Algoritmas, skirtas išspręsti figūros ploto, apriboto linijomis, apskaičiavimo uždavinį:

1. Mes kuriame piešinį. Patartina tai padaryti ant popieriaus lapo narve, dideliu mastu. Šios funkcijos pavadinimą pasirašome pieštuku virš kiekvienos diagramos. Grafikų parašai daromi tik tolesnių skaičiavimų patogumui. Gavę norimo skaičiaus grafiką, daugeliu atvejų bus iškart matoma, kokios integracijos ribos bus naudojamos. Taigi, mes išsprendžiame problemą grafiškai. Tačiau taip atsitinka, kad ribų vertės yra trupmeninės arba neracionalios. Todėl galite atlikti papildomus skaičiavimus, pereikite prie antro žingsnio.

2. Jei integracijos ribos nėra aiškiai nustatytos, tada randame grafikų susikirtimo taškus vienas su kitu ir pažiūrime, ar mūsų grafinis sprendimas sutampa su analitiniu.

3. Toliau turite išanalizuoti piešinį. Priklausomai nuo to, kaip išdėstytos funkcijų diagramos, figūros plotą galima rasti skirtingais būdais. Panagrinėkime įvairius figūros ploto suradimo integralais pavyzdžius.

3.1. Klasikiškiausia ir paprasčiausia problemos versija yra tada, kai reikia rasti išlenktos trapecijos plotą. Kas yra išlenkta trapecija? Tai plokščia figūra, apribota x ašimi. (y = 0), tiesiai x = a, x = b ir bet kokia kreivė, tęstinė nuo a anksčiau b... Be to, šis skaičius nėra neigiamas ir yra ne žemiau abscisės ašies. Šiuo atveju kreivinės trapecijos plotas yra skaitinis, lygus apibrėžtam integralui, apskaičiuotam pagal Niutono-Leibnico formulę:

1 pavyzdys y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Kokios linijos riboja figūrą? Turime parabolę y = x2 - 3x + 3 kuris yra virš ašies OI, tai nėra neigiama, nes visi šios parabolės taškai yra teigiami. Be to, tiesios linijos x = 1 ir x = 3 kurie eina lygiagrečiai ašiai OU, yra formos ribos linijos kairėje ir dešinėje. Na y = 0, tai yra x ašis, kuri riboja paveikslą iš apačios. Gauta forma yra užtemdyta, kaip parodyta paveikslėlyje kairėje. Tokiu atveju galite nedelsdami pradėti spręsti problemą. Mes turime paprastą kreivinės trapecijos pavyzdį, kurį toliau sprendžiame naudodami Niutono-Leibnico formulę.

3.2. Ankstesnėje 3.1 pastraipoje mes analizavome atvejį, kai išlenkta trapecija yra virš x ašies. Dabar apsvarstykite atvejį, kai problemos sąlygos yra tos pačios, išskyrus tai, kad funkcija yra po x ašimi. Prie standartinės Niutono-Leibnico formulės pridedamas minusas. Mes apsvarstysime, kaip toliau išspręsti panašią problemą.

2 pavyzdys ... Apskaičiuokite figūros plotą, apribotą linijomis y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

Šiame pavyzdyje turime parabolę y = x2 + 6x + 2 kuris kyla iš po ašies OI, tiesiai x = -4, x = -1, y = 0... Čia y = 0 riboja norimą formą iš viršaus. Tiesioginis x = -4 ir x = -1 tai yra ribos, per kurias bus apskaičiuotas tam tikras integralas. Figūros ploto suradimo problemos sprendimo principas beveik visiškai sutampa su 1 pavyzdžiu. Vienintelis skirtumas yra tas, kad duota funkcija nėra teigiama ir vis dar yra tęstinė [-4; -1] ... Kas nereiškia teigiamo? Kaip matote iš paveikslo, skaičius, esantis nurodytame x, turi išskirtinai „neigiamas“ koordinates, kurias turime pamatyti ir atsiminti spręsdami problemą. Figūros ploto ieškome naudodami Niutono-Leibnico formulę, tik pradžioje su minuso ženklu.

Straipsnis nepilnas.

1 pavyzdys . Apskaičiuokite figūros plotą, apribotą tiesėmis: x + 2y - 4 = 0, y = 0, x = -3 ir x = 2

Sukurkime figūrą (žr. Pav.) Sukurkite tiesę x + 2y - 4 = 0 dviejuose taškuose A (4; 0) ir B (0; 2). Išreiškę y per x, gauname y = -0,5x + 2. Pagal formulę (1), kur f (x) = -0,5x + 2, a = -3, b = 2, randame

S = = [-0,25 = 11,25 kv. vienetų

2 pavyzdys. Apskaičiuokite figūros plotą, apribotą tiesėmis: x - 2y + 4 = 0, x + y - 5 = 0 ir y = 0.

Sprendimas. Sukurkime figūrą.

Sukurkite tiesę x - 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A (-4; 0); x = 0, y = 2, B (0; 2).

Sukurkite tiesę x + y - 5 = 0: y = 0, x = 5, C (5; 0), x = 0, y = 5, D (0; 5).

Raskite linijų susikirtimo tašką, išsprendę lygčių sistemą:

x = 2, y = 3; M (2; 3).

Norėdami apskaičiuoti reikiamą plotą, mes padalijame AMC trikampį į du trikampius AMN ir NMC, nes kai x pasikeičia iš A į N, plotas yra apribotas tiesia linija, o kai x pasikeičia iš N į C, tai yra tiesi linija

Turime trikampį AMN :; y = 0,5x + 2, t. y. f (x) = 0,5x + 2, a = - 4, b = 2.

Trikampiui NMC turime: y = - x + 5, ty f (x) = - x + 5, a = 2, b = 5.

Apskaičiavę kiekvieno trikampio plotą ir pridėję rezultatus, randame:

kv. vienetų

9 + 4,5 = 13,5 kv. vienetų Patikrinkite: = 0,5АС = 0,5 kv. vienetų

3 pavyzdys. Apskaičiuokite figūros plotą, apribotą linijomis: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.

Šiuo atveju reikia apskaičiuoti išlenktos trapecijos plotą, ribotą parabolės y = x 2 , tiesės x = 2 ir x = 3 ir Ox ašis (žr. pav.) Pagal formulę (1) randame kreivinės trapecijos plotą

= = 6 kv. vienetų

4 pavyzdys. Apskaičiuokite figūros plotą, apribotą tiesėmis: y = - x 2 + 4 ir y = 0

Sukurkime figūrą. Norima sritis yra uždengta tarp parabolės y = - x 2 + 4 ir Jaučio ašis.

Raskite parabolės ir Okso ašies susikirtimo taškus. Darant prielaidą, kad y = 0, randame x = Kadangi šis skaičius yra simetriškas Oy ašies atžvilgiu, apskaičiuojame figūros plotą, esantį Oy ašies dešinėje, ir rezultatas bus padvigubintas: = + 4x] kv. vienetų 2 = 2 kv. vienetų

5 pavyzdys. Apskaičiuokite figūros plotą, apribotą linijomis: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Čia reikia apskaičiuoti kreivinės trapecijos plotą, ribojamą viršutinės parabolės šakos 2 = x, Okso ašis ir tiesės x = 1 ir x = 4 (žr. pav.)

Pagal formulę (1), kur f (x) = a = 1 ir b = 4, turime = (= kv. Vienetų).

6 pavyzdys . Apskaičiuokite figūros plotą, apribotą tiesėmis: y = sinx, y = 0, x = 0, x =.

Reikiamą plotą riboja sinusoidės pusiau banga ir Okso ašis (žr. Pav.).

Turime - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 kv. vienetų

7 pavyzdys. Apskaičiuokite figūros plotą, apribotą tiesėmis: y = - 6x, y = 0 ir x = 4.

Paveikslas yra po Jaučio ašimi (žr. Pav.).

Todėl jo plotą randame pagal formulę (3)

= =

8 pavyzdys. Apskaičiuokite figūros plotą, apribotą tiesėmis: y = ir x = 2. Kreivę y = brėžiame taškais (žr. Pav.). Taigi, figūros plotą randame pagal formulę (4)

9 pavyzdys .

NS 2 + y 2 = r 2 .

Čia reikia apskaičiuoti plotą, kurį riboja apskritimas x 2 + y 2 = r 2 , tai yra r spindulio apskritimo plotas, sutelktas į kilmę. Raskime ketvirtąją šios srities dalį, paimdami integracijos ribas nuo 0

dor; mes turime: 1 = = [

Vadinasi, 1 =

10 pavyzdys. Apskaičiuokite figūros plotą, apribotą linijomis: y = x 2 ir y = 2x

Šį skaičių riboja parabolė y = x 2 ir tiesė y = 2x (žr. pav.) Norėdami nustatyti duotų tiesių susikirtimo taškus, sprendžiame lygčių sistemą: x 2 - 2x = 0 x = 0 ir x = 2

Naudodami formulę (5), norėdami rasti plotą, mes gauname

= }