Hvordan finne roten til en desimalbrøk. Trekke ut kvadratroten av et flersifret tall

Sokolov Lev Vladimirovich, elev i 8. klasse ved den kommunale utdanningsinstitusjonen "Tugulymskaya V(S)OSH"

Målet med arbeidet: finn og vis disse utvinningsmetodene kvadratrøtter, som kan brukes uten å ha en kalkulator for hånden.

Nedlasting:

Forhåndsvisning:

Regional vitenskapelig og praktisk konferanse

studenter fra Tugulym bydistrikt

Finne kvadratrøtter av store tall uten kalkulator

Utøver: Lev Sokolov,

MCOU "Tugulymskaya V(S)OSH",

8. klasse

Leder: Sidorova Tatyana

Nikolaevna

r.p. Tugulym, 2016

Innledning 3

Kapittel 1. Faktoriseringsmetode 4

Kapittel 2. Trekk ut kvadratrøtter med hjørne 4

Kapittel 3. Metode for å bruke tabellen med kvadrater med tosifrede tall 6

Kapittel 4. Formel for det gamle Babylon 6

Kapittel 6. Kanadisk metode 7

Kapittel 7. Gjette valgmetode 8

Kapittel 8. Metode for fradrag for oddetall 8

Konklusjon 10

Referanser 11

Vedlegg 12

Introduksjon

Relevansen av forskning,Da jeg studerte temaet kvadratrøtter dette skoleåret, ble jeg interessert i spørsmålet om hvordan du kan ta kvadratroten av store tall uten kalkulator.

Jeg ble interessert og bestemte meg for å studere dette spørsmålet dypere enn det var angitt i skolepensum, og også forberede en minibok med de fleste på enkle måter trekke ut kvadratrøtter av store tall uten kalkulator.

Målet med arbeidet: finn og vis de metodene for å trekke ut kvadratrøtter som kan brukes uten å ha en kalkulator for hånden.

Oppgaver:

1. Studer litteraturen om dette problemet.
2. Vurder funksjonene til hver metode funnet og dens algoritme.
3. Forestilling praktisk bruk tilegnet seg kunnskap og vurdere

Graden av kompleksitet ved bruk av ulike metoder og algoritmer.

1. Lag en minibok om de mest interessante algoritmene.

Studieobjekt:matematiske symboler er kvadratrøtter.

Studieemne:Funksjoner av metoder for å trekke ut kvadratrøtter uten kalkulator.

Forskningsmetoder:

1. Finne metoder og algoritmer for å trekke ut kvadratrøtter fra store tall uten kalkulator.
2. Sammenligning av de funnet metodene.
3. Analyse av de oppnådde metodene.

Alle vet at det er veldig vanskelig å ta kvadratroten uten kalkulator.

oppgave. Når vi ikke har en kalkulator for hånden, begynner vi med å bruke utvalgsmetoden for å prøve å huske dataene fra tabellen med kvadrater av heltall, men dette hjelper ikke alltid. For eksempel, en tabell med kvadrater av heltall svarer ikke på spørsmål som for eksempel å trekke ut roten av 75, 37,885,108,18061 og andre, selv omtrentlig.

Bruk av kalkulator er også ofte forbudt under OGE- og Unified State-eksamenene.

tabeller med kvadrater av heltall, men du må trekke ut roten til 3136 eller 7056, etc.

Men mens jeg studerte litteraturen om dette emnet, lærte jeg at det tar røtter fra slike tall

Kanskje uten en tabell og en kalkulator, lærte folk lenge før oppfinnelsen av mikrokalkulatoren. Mens jeg undersøkte dette emnet, fant jeg flere måter å løse dette problemet på.

Kapittel 1. Metode for faktorisering til primfaktorer

For å trekke ut kvadratroten kan du faktorisere tallet inn i primfaktorene og ta kvadratroten av produktet.

Denne metoden brukes vanligvis når man skal løse problemer med røtter på skolen.

3136│2 7056│2

1568│2 3528│2

784│2 1764│2

392│2 882│2

196│2 441│3

98│2 147│3

49│7 49│7

7│7 7│7

√3136 = √2²∙2²∙2²∙7² = 2∙2∙2∙7 = 56 √3136 = √2²∙2²∙3²∙7² = 2∙2∙3∙7 = 8

Mange bruker den med hell og anser den som den eneste. Å trekke ut roten ved faktorisering er en tidkrevende oppgave, som heller ikke alltid fører til ønsket resultat. Prøv å ta kvadratroten av 209764? Faktorering i primfaktorer gir produktet 2∙2∙52441. Hva skal jeg gjøre videre? Alle står overfor dette problemet, og i svaret skriver de rolig ned resten av nedbrytningen under rotens tegn. Selvfølgelig kan du gjøre nedbrytningen ved hjelp av prøving og feiling og utvalg hvis du er sikker på at du får et vakkert svar, men praksis viser at det svært sjelden tilbys oppgaver med fullstendig nedbrytning. Oftere enn ikke ser vi at roten ikke kan trekkes helt ut.

Derfor løser denne metoden bare delvis problemet med utvinning uten kalkulator.

Kapittel 2. Trekk ut kvadratrøtter med et hjørne

For å trekke ut kvadratroten ved hjelp av et hjørne ogLa oss se på algoritmen:
1. trinn. Tallet 8649 er delt inn i kanter fra høyre til venstre; som hver må inneholde to sifre. Vi får to ansikter:.
2. trinn. Ved å ta kvadratroten av det første ansiktet av 86, får vimed en ulempe. Tallet 9 er det første sifferet i roten.
3. trinn. Tallet 9 er kvadratisk (9 2 = 81) og trekk tallet 81 fra det første ansiktet, får vi 86-81=5. Tallet 5 er den første resten.
4. trinn. Til de resterende 5 legger vi til den andre siden 49, vi får tallet 549.

5. trinn . Vi dobler det første sifferet i roten 9, og ved å skrive fra venstre får vi -18

Følgende skal legges til nummeret det høyeste tallet, slik at produktet av tallet vi får ved denne figuren enten ville være lik tallet 549 eller mindre enn 549. Dette er tallet 3. Det finnes ved valg: antall tiere av tallet 549, det vil si, tallet 54 deles på 18, vi får 3, siden 183 ∙ 3 = 549. Tallet 3 er det andre sifferet i roten.

6. trinn. Vi finner resten 549 – 549 = 0. Siden resten er null, fikk vi den nøyaktige verdien av roten – 93.

La meg gi deg et annet eksempel: ekstrakt √212521

	Algoritmetrinn	Eksempel	Kommentarer
	Del tallet inn i grupper med 2 sifre hver fra høyre til venstre	21’ 25’ 21	Det totale antallet grupper som dannes bestemmer antall sifre i svaret
	For den første gruppen med tall, velg et tall hvis kvadrat vil være størst, men ikke overstige tallene til den første gruppen	1 gruppe – 21 4 2 =16 nummer - 4	Tallet som er funnet skrives i første omgang i svaret.
	Fra den første tallgruppen trekker du kvadratet av det første sifferet i svaret som ble funnet i trinn 2	21’ 25’ 21
	Til resten funnet i trinn 3, legg til den andre gruppen med tall til høyre (flytt deg bort)	21’ 25’ 21 16__
	Til det doble første sifferet i svaret, legg til et siffer til høyre slik at produktet av det resulterende tallet ved dette sifferet er det største, men ikke overstiger tallet i trinn 4	4*2=8 nummer - 6 86*6=516	Tallet som ble funnet er skrevet i svaret på andreplass
	Fra tallet oppnådd i trinn 4, trekk tallet som ble oppnådd i trinn 5. Ta den tredje gruppen til resten	21’ 25’ 21
	Til det doble tallet som består av de to første sifrene i svaret, legg til et siffer til høyre slik at produktet av det resulterende tallet med dette sifferet er det største, men ikke overstiger tallet oppnådd i trinn 6	46*2=92 nummer 1 921*1=921	Det funnet nummeret er skrevet i svaret på tredje plass
	Skriv ned svaret	√212521=461

Kapittel 3. Hvordan bruke tabellen med kvadrater med tosifrede tall

Jeg lærte om denne metoden fra Internett. Metoden er veldig enkel og lar deg umiddelbart trekke ut kvadratroten av et hvilket som helst heltall fra 1 til 100 med en nøyaktighet på tideler uten en kalkulator. En betingelse for denne metoden er tilstedeværelsen av en tabell med kvadrater med tall opp til 99.

(Det er i alle 8. klasse algebra lærebøker, og videre OGE eksamen tilbys som referanse.)

Åpne tabellen og sjekk hastigheten for å finne svaret. Men først, noen anbefalinger: kolonnen lengst til venstre vil være heltall i svaret, den øverste linjen vil være tideler i svaret. Og så er alt enkelt: lukk de to siste sifrene i tallet i tabellen og finn den du trenger, som ikke overskrider det radikale tallet, og følg deretter reglene i denne tabellen.

La oss se på et eksempel. La oss finne verdien √87.

Vi lukker de to siste sifrene i alle tallene i tabellen og finner nærstående for 87 - det er bare to av dem 86 49 og 88 37. Men 88 er allerede mye.

Så det er bare én ting igjen - 8649.

Den venstre kolonnen gir svaret 9 (dette er heltall), og den øverste linjen 3 (disse er tideler). Dette betyr √87≈ 9,3. La oss sjekke MK √87 ≈ 9,327379.

Rask, enkel, tilgjengelig under eksamen. Men det er umiddelbart klart at røtter større enn 100 ikke kan trekkes ut med denne metoden. Metoden er praktisk for oppgaver med små røtter og i nærvær av et bord.

Kapittel 4. Formel for det gamle Babylon

De gamle babylonerne brukte følgende metode for å finne den omtrentlige verdien av kvadratroten av tallet x. De representerte tallet x som summen av a 2 +b, hvor a 2 det nærmeste nøyaktige kvadratet til tallet x naturlig tall a (a 2 . (1)

Ved å bruke formel (1), trekker vi ut kvadratroten, for eksempel fra tallet 28:

Resultatet av å trekke ut roten til 28 ved å bruke MK er 5.2915026.

Som vi ser gir den babylonske metoden en god tilnærming til eksakt verdi rot

Kapittel 5. Metode for å forkaste en komplett firkant

(bare for firesifrede tall)

Det er verdt å avklare med en gang at denne metoden bare kan brukes for å trekke ut kvadratroten av et eksakt kvadrat, og finnealgoritmen avhenger av størrelsen på radikaltallet.

1. Trekker ut røtter opp til nummer 75 2 = 5625

For eksempel: √¯3844 = √¯ 37 00 + 144 = 37 + 25 = 62.

Vi presenterer tallet 3844 som en sum ved å velge kvadratet 144 fra dette tallet, og deretter forkaste det valgte kvadratet, for åantall hundrevis av den første perioden(37) vi legger alltid til 25 . Vi får svaret 62.

På denne måten kan du bare trekke ut kvadratrøtter opp til 75 2 =5625!

2) Trekker ut røtter etter nummer 75 2 = 5625

Hvordan trekke ut kvadratrøtter verbalt fra tall større enn 75 2 =5625?

For eksempel: √7225 = √ 70 00 + 225 = 70 + √225 = 70 + 15 = 85.

La oss forklare, vi vil presentere 7225 som summen av 7000 og valgt kvadrat 225. Deretterlegg til kvadratroten til antall hundrevis av 225, lik 15.

Vi får svaret 85.

Denne metoden for å finne er veldig interessant og til en viss grad original, men under min forskning møtte jeg den bare én gang i arbeidet til en Perm-lærer.

Kanskje det har vært lite studert eller har noen unntak.

Det er ganske vanskelig å huske på grunn av dualiteten til algoritmen og gjelder bare for firesifrede tall med eksakte røtter, men jeg jobbet gjennom mange eksempler og ble overbevist om riktigheten. I tillegg er denne metoden tilgjengelig for de som allerede har memorert kvadratene med tall fra 11 til 29, fordi uten deres viten vil den være ubrukelig.

Kapittel 6. Kanadisk metode

√ X = √ S + (X - S) / (2 √ S), hvor X er tallet som skal kvadratrotes og S er tallet på nærmeste eksakte kvadrat.

La oss prøve å ta kvadratroten av 75

√ 75 = 9 + (- 6/18) = 9 - 0,333 = 8,667

Med en detaljert studie av denne metoden kan man enkelt bevise dens likhet med den babylonske og argumentere for opphavsretten til oppfinnelsen av denne formelen, hvis det er en i virkeligheten. Metoden er enkel og praktisk.

Kapittel 7. Gjette valgmetode

Denne metoden tilbys av engelske studenter ved College of Mathematics i London, men alle har ufrivillig brukt denne metoden minst én gang i livet. Det er basert på utvalg forskjellige betydninger kvadrater med lignende tall ved å begrense søkeområdet. Alle kan mestre denne metoden, men den vil neppe bli brukt, fordi den krever gjentatt beregning av produktet av en kolonne med ikke alltid riktig gjettede tall. Denne metoden taper både i løsningens skjønnhet og i tid. Algoritmen er enkel:

La oss si at du vil ta kvadratroten av 75.

Siden 8 2 = 64 og 9 2 = 81, du vet at svaret er et sted midt i mellom.

Prøv å bygge 8.5 2 og du vil få 72,25 (for lite)

Prøv nå 8.6 2 og du får 73,96 (for lite, men nærmer seg)

Prøv nå 8.7 2 og du vil få 75,69 (for stor)

Nå vet du at svaret er mellom 8,6 og 8,7

Prøv å bygge 8.65 2 og du vil få 74.8225 (for lite)

Prøv nå 8.66 2... og så videre.

Fortsett til du får et svar som er nøyaktig nok for deg.

Kapittel 8. Oddetallsfradragsmetode

Mange kjenner metoden for å trekke ut kvadratroten ved å faktorisere et tall i primfaktorer. I arbeidet mitt vil jeg presentere en annen måte der du kan finne ut heltallsdelen av kvadratroten av et tall. Metoden er veldig enkel. Merk at følgende likheter er sanne for kvadrater av tall:

1=1 2

1+3=2 2

1+3+5=3 2

1+3+5+7=4 2 osv.

Regel: du kan finne ut heltallsdelen av kvadratroten av et tall ved å trekke fra alle oddetall i rekkefølge til resten er mindre enn det neste subtraherte tallet eller lik null, og telle antall utførte handlinger.

For å få kvadratroten av 36 og 121 er dette for eksempel:

Total subtraksjon = 6, så kvadratroten av 36 = 6.

Totalt antall subtraksjoner = 11, så √121 = 11.

Et annet eksempel: la oss finne √529

Løsning: 1)_529

2)_528

3)_525

4)_520

5)_513

6)_504

7)_493

8)_480

9)_465

10)_448

11)_429

12)_408

13)_385

14)_360

15)_333

16)_304

17)_273

18)_240

19)_205

20)_168

21)_129

22)_88

23)_45

Svar: √529 = 23

Forskere kaller denne metoden aritmetisk kvadratrotutvinning, og bak kulissene "skilpaddemetoden" på grunn av dens treghet.
Ulempen med denne metoden er at hvis roten som trekkes ut ikke er et heltall, kan du bare finne ut hele delen, men ikke mer presist. Samtidig er denne metoden ganske tilgjengelig for barn som løser enkle matematiske problemer som krever uttrekking av kvadratroten. Prøv å trekke ut kvadratroten av et tall, for eksempel 5963364 på denne måten, og du vil forstå at det "fungerer", selvfølgelig, uten feil for nøyaktige røtter, men det er veldig, veldig langt i løsningen.

Konklusjon

Rotekstraksjonsmetodene beskrevet i dette arbeidet finnes i mange kilder. Å forstå dem viste seg imidlertid å være en vanskelig oppgave for meg, noe som vakte betydelig interesse. De presenterte algoritmene lar alle som er interessert i dette emnet raskt mestre ferdighetene til å beregne kvadratroten; de kan brukes når du sjekker løsningen og er ikke avhengig av en kalkulator.

Som et resultat av min undersøkelse kom jeg til konklusjonen: ulike måterÅ ta kvadratrøtter uten kalkulator er nødvendig i et matematikkkurs på videregående skole for å utvikle regneferdigheter.

Studiens teoretiske betydning - hovedmetodene for å trekke ut kvadratrøtter er systematisert.

Praktisk betydning:i å lage en minibok som inneholder et referansediagram for å trekke ut kvadratrøtter på ulike måter (vedlegg 1).

Litteratur og internettsider:

1. I. Sergeev, S.N. Olehnik, S.B. Gashkov "Bruk matematikk." – M.: Nauka, 1990
2. Kerimov Z., "Hvordan finne en hel rot?" Populærvitenskapelig og matematisk tidsskrift «Kvant» nr. 2, 1980
3. Petrakov I.S. «matematikkklubber i 8-10 klassetrinn»; Bok for lærere.

–M.: Utdanning, 1987

1. Tikhonov A.N., Kostomarov D.P. "Historier om anvendt matematikk." - M.: Nauka. Hovedredaksjon for fysisk og matematisk litteratur, 1979
2. Tkacheva M.V. Hjemmematte. Bok for elever i 8. klasse utdanningsinstitusjoner. – Moskva, opplysning, 1994.
3. Zhokhov V.I., Pogodin V.N. Referansetabeller i matematikk.-M.: LLC Publishing House “ROSMEN-PRESS”, 2004.-120 s.
4. http://translate.google.ru/translate
5. http://www.murderousmaths.co.uk/books/sqroot.htm
6. http://ru.wikipedia.ord /wiki /teorema/

God ettermiddag, kjære gjester!

Jeg heter Lev Sokolov, jeg studerer i 8. klasse på kveldsskole.

Jeg presenterer for din oppmerksomhet et arbeid om emnet: "Finne kvadratrøtter av store tall uten kalkulator."

Når du studerer et emnekvadratrøtter dette skoleåret, jeg var interessert i spørsmålet om hvordan jeg kan trekke ut kvadratroten av store tall uten kalkulator, og jeg bestemte meg for å studere det dypere, siden neste år må jeg ta en eksamen i matematikk.

Hensikten med arbeidet mitt:finne og vise måter å trekke ut kvadratrøtter uten kalkulator

For å nå målet bestemte jeg meg for følgende oppgaver:

1. Studer litteraturen om dette problemet.

2. Vurder funksjonene til hver metode funnet og dens algoritme.

3. Vis praktisk anvendelse av tilegnet kunnskap og vurdere graden av kompleksitet ved bruk av ulike metoder og algoritmer.

4. Lag en minibok i henhold til de mest interessante algoritmene.

Målet med min forskning varkvadratrøtter.

Studieemne:måter å trekke ut kvadratrøtter uten kalkulator.

Forskningsmetoder:

1. Søk etter metoder og algoritmer for å trekke ut kvadratrøtter fra store tall uten kalkulator.

2. Sammenligning og analyse av metodene som er funnet.

Jeg fant og studerte 8 måter å finne kvadratrøtter uten kalkulator og sette dem i praksis. Navnene på metodene som ble funnet vises på lysbildet.

Jeg vil fokusere på de jeg likte.

Jeg skal vise med et eksempel hvordan du kan trekke ut kvadratroten av tallet 3025 ved hjelp av primtallsfaktorisering.

Den største ulempen med denne metoden– det tar mye tid.

Ved å bruke formelen til det gamle Babylon vil jeg trekke ut kvadratroten av det samme tallet 3025.

Metoden er praktisk kun for små tall.

Fra det samme tallet 3025 trekker vi ut kvadratroten ved hjelp av et hjørne.

Etter min mening er dette den mest universelle metoden; den kan brukes på alle tall.

I moderne vitenskap Det er mange måter å trekke ut kvadratroten uten kalkulator, men jeg har ikke studert alle.

Praktisk betydning av arbeidet mitt:i å lage en minibok som inneholder et referansediagram for å trekke ut kvadratrøtter på ulike måter.

Resultatene av arbeidet mitt kan med hell brukes i matematikk, fysikk og andre fag der det er nødvendig å trekke ut røtter uten kalkulator.

Takk for din oppmerksomhet!

Forhåndsvisning:

For å bruke forhåndsvisninger av presentasjoner, opprett en konto for deg selv ( regnskap) Google og logg inn: https://accounts.google.com

Lysbildetekster:

Å trekke ut kvadratrøtter fra store tall uten kalkulator Utøver: Lev Sokolov, MKOU "Tugulymskaya V(S)OSH", 8. klasse Leder: Sidorova Tatyana Nikolaevna I kategori, matematikklærer r.p. Tugulym

Riktig bruk av metoder kan læres gjennom bruk og en rekke eksempler. G. Zeiten Formålet med arbeidet: å finne og vise de metodene for å trekke ut kvadratrøtter som kan brukes uten å ha en kalkulator for hånden. Mål: - Studere litteraturen om denne problemstillingen. - Vurder funksjonene til hver metode funnet og dens algoritme. - Vise praktisk anvendelse av tilegnet kunnskap og vurdere graden av kompleksitet ved bruk av ulike metoder og algoritmer. - Lag en minibok om de mest interessante algoritmene.

Studieobjekt: kvadratrøtter Studieemne: metoder for å trekke ut kvadratrøtter uten kalkulator. Forskningsmetoder: Søk etter metoder og algoritmer for å trekke ut kvadratrøtter fra store tall uten kalkulator. Sammenligning av de funnet metodene. Analyse av de oppnådde metodene.

Metoder for å trekke ut kvadratrøtter: 1. Metode for å faktorisere til primfaktorer 2. Trekke ut kvadratrøtter ved hjelp av et hjørne 3. Metode for å bruke en tabell med kvadrater med tosifrede tall 4. Formel for det gamle Babylon 5. Metode for å forkaste et perfekt kvadrat 6. Kanadisk metode 7. Metode for å gjette 8. Metode for fradrag oddetall

Metode for å faktorisere til primfaktorer For å trekke ut en kvadratrot kan du faktorisere et tall i primfaktorer og trekke ut kvadratroten av produktet. 3136│2 7056│2 209764│2 1568│2 3528│2 104882│2 784│2 1764│2 52441│229 392│29│2 292 292 292 28 1│3 98│2 147│3 √ 209764 = √2∙2∙52441 = 49│7 49│7 = √2²∙229² = 458. 7│7 7│7 √3136 = √ 2²∙1│72 = 2│72 = 2│72 √7056 = √2²∙2²∙3²∙7² = 2∙2∙3∙7 = 84. Det er ikke alltid lett å dekomponere, oftere fjernes det ikke helt, det tar mye tid.

Formel for det gamle Babylon (babylonsk metode) Algoritme for å trekke ut kvadratroten ved bruk av den gamle babylonske metoden. 1 . Presenter tallet c som summen a² + b, der a² er det nøyaktige kvadratet av det naturlige tallet a nærmest tallet c (a² ≈ c); 2. Den omtrentlige verdien av roten beregnes ved hjelp av formelen: Resultatet av å trekke ut roten ved hjelp av en kalkulator er 5,292.

Trekke ut en kvadratrot med et hjørne Metoden er nesten universell, siden den kan brukes på alle tall, men å komponere en rebus (gjette tallet på slutten av et tall) krever logikk og gode beregningsevner med en kolonne.

Algoritme for å trekke ut en kvadratrot ved hjelp av et hjørne 1. Del tallet (5963364) i par fra høyre til venstre (5`96`33`64) 2. Trekk ut kvadratroten fra den første gruppen til venstre (- nummer 2) . Slik får vi det første sifferet i tallet. 3. Finn kvadratet til det første sifferet (2 2 =4). 4. Finn forskjellen mellom den første gruppen og kvadratet på det første sifferet (5-4=1). 5. Vi tar ned de to neste sifrene (vi får tallet 196). 6. Doble det første sifferet vi fant og skriv det til venstre bak linjen (2*2=4). 7. Nå må vi finne det andre sifferet i tallet: dobbelt det første sifferet vi fant blir titallet i tallet, når multiplisert med antall enheter, må du få et tall mindre enn 196 (dette er tallet 4, 44*4=176). 4 er det andre sifferet i &. 8. Finn forskjellen (196-176=20). 9. Vi river neste gruppe (vi får tallet 2033). 10. Doble tallet 24, vi får 48. 11. 48 tiere i tallet, multiplisert med antall enere skal vi få et tall mindre enn 2033 (484*4=1936). Enhetssifferet vi fant (4) er det tredje sifferet i tallet. Deretter gjentas prosessen.

Oddetallsfradragsmetode ( aritmetisk metode) Kvadratrotalgoritme: Trekk fra oddetall i rekkefølge til resten er mindre enn det neste tallet som skal trekkes fra eller lik null. Tell antall utførte handlinger - dette tallet er heltallsdelen av tallet på kvadratroten som trekkes ut. Eksempel 1: regn ut 1. 9 − 1 = 8; 8 - 3 = 5; 5 − 5 = 0. 2. 3 handlinger fullført

36 - 1 = 35 - 3 = 32 - 5 = 27 - 7 = 20 - 9 = 11 - 11 = 0 totalt antall subtraksjoner = 6, så kvadratroten av 36 = 6. 121 – 1 = 120 - 3 = 117- 5 = 112 - 7 = 105 - 9 = 96 - 11 = 85 – 13 = 72 - 15 = 57 – 17 = 40 - 19 = 21 - 21 = 0 Totalt antall subtraksjoner = 11, så kvadratroten av 121 = 11. 5963364 = ??? Russiske forskere bak kulissene kaller det "skilpaddemetoden" på grunn av dens treghet. Det er upraktisk for store antall.

Studiens teoretiske betydning - hovedmetodene for å trekke ut kvadratrøtter er systematisert. Praktisk betydning: ved å lage en minibok som inneholder et referansediagram for å trekke ut kvadratrøtter på ulike måter.

Takk for din oppmerksomhet!

Forhåndsvisning:

Noen problemer krever å ta kvadratroten av et stort tall. Hvordan gjøre det?

Oddetallsfradragsmetode.

Metoden er veldig enkel. Merk at følgende likheter er sanne for kvadrater av tall:

1=1 2

1+3=2 2

1+3+5=3 2

1+3+5+7=4 2 osv.

Regel: Du kan finne ut heltallsdelen av kvadratroten av et tall ved å trekke fra alle oddetall i rekkefølge til resten er mindre enn det neste subtraherte tallet eller lik null, og telle antall utførte handlinger.

For eksempel, for å få kvadratroten av 36 og 121 er:

36 - 1 = 35 - 3 = 32 - 5 = 27 - 7 = 20 - 9 = 11 - 11 = 0

Totalt antall subtraksjoner = 6, altså kvadratroten av 36 = 6.

121 - 1 = 120 - 3 = 117- 5 = 112 - 7 = 105 - 9 = 96 - 11 = 85 – 13 = 72 - 15 = 57 – 17 = 40 - 19 = 21 - 21 = 0

Totalt antall subtraksjoner = 11, altså√121 = 11.

Kanadisk metode.

Dette rask metode ble oppdaget av unge forskere ved et av Canadas ledende universiteter på 1900-tallet. Nøyaktigheten er ikke mer enn to til tre desimaler. Her er formelen deres:

√ X = √ S + (X - S) / (2 √ S), hvor X er tallet som skal kvadratrotes og S er tallet på nærmeste eksakte kvadrat.

Eksempel. Ta kvadratroten av 75.

X = 75, S = 81. Dette betyr at √ S = 9.

La oss beregne √75 ved å bruke denne formelen: √ 75 = 9 + (75 - 81) / (2∙9)
√ 75 = 9 + (- 6/18) = 9 - 0,333 = 8,667

En metode for å trekke ut kvadratrøtter ved hjelp av et hjørne.

1. Del tallet (5963364) i par fra høyre til venstre (5`96`33`64)

2. Ta kvadratroten av den første gruppen til venstre (- Nummer 2). Slik får vi det første sifferet i tallet.

3. Finn kvadratet til det første sifferet (2 2 =4).

4. Finn forskjellen mellom den første gruppen og kvadratet på det første sifferet (5-4=1).

5. Vi tar ned de to neste sifrene (vi får tallet 196).

6. Doble det første sifferet vi fant og skriv det til venstre bak linjen (2*2=4).

7. Nå må vi finne det andre sifferet i tallet: dobbelt det første sifferet vi fant blir titallet i tallet, når multiplisert med antall enheter, må du få et tall mindre enn 196 (dette er tallet 4, 44*4=176). 4 er det andre sifferet i &.

8. Finn forskjellen (196-176=20).

9. Vi river neste gruppe (vi får tallet 2033).

10. Doble tallet 24, vi får 48.

Det er 11,48 tiere i et tall, når multiplisert med antall enere, bør vi få et tall mindre enn 2033 (484*4=1936). Enhetssifferet vi fant (4) er det tredje sifferet i tallet.

Handling kvadratrotinvers til handlingen av kvadrating.

√81= 9 9 2 =81.

Valgmetode.

Eksempel: Trekk ut roten til tallet 676.

Vi legger merke til at 20 2 = 400, og 30 2 = 900, som betyr 20

Nøyaktige kvadrater av naturlige tall ender på 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Tallet 6 gir 4 2 og 6 2 .
Dette betyr at hvis roten er hentet fra 676, så er den enten 24 eller 26.

Gjenstående å sjekke: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Svar: √ 676 = 26.

Et annet eksempel: √6889.

Siden 80 2 = 6400 og 90 2 = 8100, deretter 80 Tallet 9 gir 3 2 og 7 2 , da er √6889 lik enten 83 eller 87.

La oss sjekke: 83 2 = 6889.

Svar: √6889 = 83.

Hvis du synes det er vanskelig å løse ved hjelp av seleksjonsmetoden, kan du faktorisere det radikale uttrykket.

Finn for eksempel √893025.

La oss faktorisere tallet 893025, husk at du gjorde dette i sjette klasse.

Vi får: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Babylonsk metode.

Trinn 1. Presenter tallet x som en sum: x=a 2 + b, hvor a 2 det nærmeste nøyaktige kvadratet av det naturlige tallet a til tallet x.

Steg 2. Bruk formel:

Eksempel. Regne ut.

Aritmetisk metode.

Vi trekker alle oddetall fra tallet i rekkefølge til resten er mindre enn det neste tallet som skal trekkes fra eller lik null. Etter å ha telt antall utførte handlinger, bestemmer vi heltallsdelen av kvadratroten av tallet.

Eksempel. Beregn heltallsdelen av et tall.

Løsning. 12 - 1 = 11; 11 - 3 = 8; 8 - 5 = 3; 3 3 - hele delen tall. Så, .

Metode (kjent som Newtons metode)er som følgende.

La en 1 - første tilnærming av tallet(som en 1 du kan ta verdiene av kvadratroten av et naturlig tall - et nøyaktig kvadrat som ikke overstiger .

Denne metoden lar deg trekke ut kvadratroten av et stort antall med hvilken som helst nøyaktighet, men med en betydelig ulempe: klumpheten i beregningene.

Evalueringsmetode.

Trinn 1. Finn ut området der den opprinnelige roten ligger (100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000).

Steg 2. Av siste siffer Bestem hvilket siffer nummeret du leter etter slutter med.

Enhetssiffer av x
Enhetssiffer av x 2

Trinn #3. Kvaddra de forventede tallene og bestem ønsket tall fra dem.

Eksempel 1. Regn ut .

Løsning. 2500 50 2 2 50

= *2 eller = *8.

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

Derfor = 58.

Før kalkulatorer regnet elever og lærere ut kvadratrøtter for hånd. Det er flere måter å beregne kvadratroten av et tall manuelt. Noen av dem tilbyr kun en omtrentlig løsning, andre gir et eksakt svar.

Trinn

primtallsfaktorisering

Faktor det radikale tallet inn i faktorer som er kvadrattall. Avhengig av radikalnummeret vil du få et omtrentlig eller nøyaktig svar. Kvadratetall er tall som hele kvadratroten kan tas fra. Faktorer er tall som, når de multipliseres, gir det opprinnelige tallet. For eksempel er faktorene til tallet 8 2 og 4, siden 2 x 4 = 8, tallene 25, 36, 49 er kvadrattall, siden √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Kvadratiske faktorer er faktorer , som er kvadrattall. Prøv først å faktorisere det radikale tallet i kvadratfaktorer.

• Regn for eksempel ut kvadratroten av 400 (for hånd). Prøv først å faktorisere 400 i kvadratfaktorer. 400 er et multiplum av 100, det vil si delelig med 25 - dette er et kvadrattall. Å dele 400 på 25 gir deg 16. Tallet 16 er også et kvadrattall. Dermed kan 400 faktoriseres inn i kvadratfaktorene 25 og 16, det vil si 25 x 16 = 400.
• Dette kan skrives som følger: √400 = √(25 x 16).

1. Kvadratroten av produktet av noen ledd er lik produktet av kvadratrøttene til hvert ledd, det vil si √(a x b) = √a x √b. Bruk denne regelen til å ta kvadratroten av hver kvadratfaktor og multipliser resultatene for å finne svaret.

   • I vårt eksempel tar du roten av 25 og 16.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Hvis det radikale tallet ikke tar hensyn til to kvadratfaktorer (og dette skjer i de fleste tilfeller), vil du ikke kunne finne det nøyaktige svaret i form av et helt tall. Men du kan forenkle problemet ved å dekomponere det radikale tallet i en kvadratfaktor og en ordinær faktor (et tall som hele kvadratroten ikke kan tas fra). Da vil du ta kvadratroten av kvadratfaktoren og vil ta roten av fellesfaktoren.

   • Regn for eksempel ut kvadratroten av tallet 147. Tallet 147 kan ikke faktoriseres i to kvadratfaktorer, men det kan faktoriseres til følgende faktorer: 49 og 3. Løs oppgaven på følgende måte:
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Estimer om nødvendig verdien av roten. Nå kan du estimere verdien av roten (finn en omtrentlig verdi) ved å sammenligne den med verdiene til røttene til kvadrattallene som er nærmest (på begge sider av talllinjen) til det radikale tallet. Du vil få verdien av roten som desimal, som må multipliseres med tallet bak rottegnet.

   • La oss gå tilbake til vårt eksempel. Radikaltallet er 3. Kvadratallene nærmest vil være tallene 1 (√1 = 1) og 4 (√4 = 2). Dermed ligger verdien av √3 mellom 1 og 2. Siden verdien av √3 sannsynligvis er nærmere 2 enn 1, er vårt estimat: √3 = 1,7. Vi multipliserer denne verdien med tallet ved rottegnet: 7 x 1,7 = 11,9. Hvis du regner på en kalkulator, får du 12,13, som er ganske nær svaret vårt.
     • Denne metoden fungerer også med store tall. Tenk for eksempel på √35. Radikaltallet er 35. De nærmeste kvadrattallene til det vil være tallene 25 (√25 = 5) og 36 (√36 = 6). Dermed ligger verdien av √35 mellom 5 og 6. Siden verdien av √35 er mye nærmere 6 enn 5 (fordi 35 bare er 1 mindre enn 36), kan vi si at √35 er litt mindre enn 6 Sjekk på kalkulatoren gir oss svaret 5,92 - vi hadde rett.

4. En annen måte er å faktorisere det radikale tallet inn i primfaktorer. Primfaktorer er tall som bare er delbare med 1 og seg selv. Skriv primfaktorene i en serie og finn par med identiske faktorer. Slike faktorer kan tas ut av rottegnet.

   • Regn for eksempel ut kvadratroten av 45. Vi faktoriserer radikaltallet i primfaktorer: 45 = 9 x 5, og 9 = 3 x 3. Dermed blir √45 = √(3 x 3 x 5). 3 kan tas ut som et rottegn: √45 = 3√5. Nå kan vi anslå √5.
   • La oss se på et annet eksempel: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Du mottok tre multiplikatorer på 2; ta et par av dem og flytt dem forbi rottegnet.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Nå kan du vurdere √2 og √11 og finne et omtrentlig svar.

   Beregne kvadratrot manuelt

   Bruker lang divisjon

   1. Denne metoden innebærer en prosess som ligner på lang divisjon og gir et nøyaktig svar. Tegn først en vertikal linje som deler arket i to halvdeler, og deretter til høyre og litt under den øverste kanten av arket, tegn en horisontal linje til den vertikale linjen. Del nå det radikale tallet i tallpar, og start med brøkdelen etter desimaltegnet. Så nummeret 79520789182.47897 er skrevet som "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • La oss for eksempel beregne kvadratroten av tallet 780,14. Tegn to linjer (som vist på bildet) og skriv det gitte tallet i skjemaet "7 80, 14" øverst til venstre. Det er normalt at det første sifferet fra venstre er et uparet siffer. Svar (roten av gitt nummer) vil du skrive ned øverst til høyre.

   2. For det første tallparet (eller enkelttallet) fra venstre, finn det største heltallet n hvis kvadrat er mindre enn eller lik tallparet (eller enkelttallet) det gjelder. Med andre ord, finn kvadrattallet som er nærmest, men mindre enn, det første tallparet (eller enkelttallet) fra venstre, og ta kvadratroten av det kvadrattall; du får tallet n. Skriv n du fant øverst til høyre, og skriv kvadratet av n nederst til høyre.

      • I vårt tilfelle vil det første tallet til venstre være 7. Neste, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Trekk fra kvadratet av tallet n du nettopp fant fra det første tallparet (eller enkelttallet) til venstre. Skriv resultatet av regnestykket under subtrahenden (kvadraten av tallet n).

      • I vårt eksempel trekker du 4 fra 7 og får 3.

   4. Ta ned det andre tallparet og skriv det ned ved siden av verdien oppnådd i forrige trinn. Doble deretter tallet øverst til høyre og skriv resultatet nederst til høyre med tillegg av "_×_=".

      • I vårt eksempel er det andre tallparet "80". Skriv "80" etter 3. Deretter dobbel tallet øverst til høyre gir 4. Skriv "4_×_=" nederst til høyre.

   5. Fyll ut de tomme feltene til høyre.

      • I vårt tilfelle, hvis vi setter tallet 8 i stedet for bindestreker, så er 48 x 8 = 384, som er mer enn 380. Derfor er 8 et for stort tall, men 7 vil gjøre det. Skriv 7 i stedet for bindestreker og få: 47 x 7 = 329. Skriv 7 øverst til høyre - dette er det andre sifferet i ønsket kvadratrot av tallet 780,14.

   6. Trekk det resulterende tallet fra det gjeldende tallet til venstre. Skriv resultatet fra forrige trinn under det gjeldende tallet til venstre, finn forskjellen og skriv det under subtrahenden.

      • I vårt eksempel trekker du 329 fra 380, som tilsvarer 51.

   7. Gjenta trinn 4. Hvis tallparet som overføres er brøkdelen av det opprinnelige tallet, sett et skilletegn (komma) mellom heltalls- og brøkdelene i den nødvendige kvadratroten øverst til høyre. På venstre side, ta ned neste tallpar. Doble tallet øverst til høyre og skriv resultatet nederst til høyre med tillegg av "_×_=".

      • I vårt eksempel vil det neste tallparet som skal fjernes være brøkdelen av tallet 780.14, så plasser skilletegnet for heltalls- og brøkdelene i ønsket kvadratrot øverst til høyre. Ta ned 14 og skriv det nederst til venstre. Dobbelt tallet øverst til høyre (27) er 54, så skriv "54_×_=" nederst til høyre.

   8. Gjenta trinn 5 og 6. Finn én største antall i stedet for strekene til høyre (i stedet for bindestrekene må du erstatte det samme tallet) slik at resultatet av multiplikasjonen er mindre enn eller lik det gjeldende tallet til venstre.

      • I vårt eksempel er 549 x 9 = 4941, som er mindre enn det gjeldende tallet til venstre (5114). Skriv 9 øverst til høyre og trekk resultatet av multiplikasjonen fra det gjeldende tallet til venstre: 5114 - 4941 = 173.

   9. Hvis du trenger å finne flere desimaler for kvadratroten, skriv et par nuller til venstre for gjeldende tall og gjenta trinn 4, 5 og 6. Gjenta trinn til du får svarpresisjonen (antall desimaler) du trenge.

   Forstå prosessen

   For assimilering denne metoden tenk på tallet hvis kvadratrot du vil finne som arealet av kvadratet S. I dette tilfellet vil du se etter lengden på siden L til et slikt kvadrat. Vi beregner verdien av L slik at L² = S.

   Gi en bokstav for hvert tall i svaret. La oss angi med A det første sifferet i verdien av L (ønsket kvadratrot). B vil være det andre sifferet, C det tredje og så videre.

   Angi en bokstav for hvert par med første sifre. La oss betegne med S a det første sifferparet i verdien av S, med S b det andre sifferparet, og så videre.

   Forstå sammenhengen mellom denne metoden og lang divisjon. Akkurat som i divisjon, hvor vi bare er interessert i neste siffer i tallet vi deler hver gang, når vi beregner en kvadratrot, jobber vi gjennom et par siffer i rekkefølge (for å få det neste sifferet i kvadratrotverdien ).

   1. Tenk på det første sifferparet Sa i tallet S (Sa = 7 i vårt eksempel) og finn kvadratroten. I dette tilfellet vil det første sifferet A i den ønskede kvadratrotverdien være et siffer hvis kvadrat er mindre enn eller lik S a (det vil si at vi ser etter en A slik at ulikheten A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • La oss si at vi må dele 88962 med 7; her vil det første trinnet være likt: vi tar for oss det første sifferet i det delbare tallet 88962 (8) og velger det største tallet som, multiplisert med 7, gir en verdi mindre enn eller lik 8. Det vil si at vi leter etter et tall d som ulikheten er sann for: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. Tenk deg mentalt et kvadrat hvis areal du må beregne. Du leter etter L, det vil si lengden på siden av et kvadrat hvis areal er lik S. A, B, C er tallene i tallet L. Du kan skrive det annerledes: 10A + B = L (for et tosifret tall) eller 100A + 10B + C = L (for tresifret tall) og så videre.

      • La (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Husk at 10A+B er et tall der sifferet B står for enheter og sifferet A står for tiere. For eksempel, hvis A=1 og B=2, så er 10A+B lik tallet 12. (10A+B)² er arealet av hele torget, 100A²- området av det store indre torget, B²- området av det lille indre torget, 10A×B- arealet av hver av de to rektanglene. Ved å legge sammen arealene til de beskrevne figurene, vil du finne arealet til den opprinnelige firkanten.

La oss se på denne algoritmen ved å bruke et eksempel. Vi finner

1. trinn. Vi deler tallet under roten i tosifrede ansikter (fra høyre til venstre):

2. trinn. Vi tar kvadratroten av det første ansiktet, dvs. fra tallet 65, får vi tallet 8. Under det første ansiktet skriver vi kvadratet av tallet 8 og trekker fra. Vi tildeler det andre ansiktet (59) til resten:

(nummer 159 er den første resten).

3. trinn. Vi dobler den funnet roten og skriver resultatet til venstre:

4. trinn. Vi skiller ett siffer til høyre i resten (159), og til venstre får vi antall tiere (det er lik 15). Deretter deler vi 15 med det dobbelte av det første sifferet i roten, dvs. med 16, siden 15 ikke er delelig med 16, resulterer kvotienten i null, som vi skriver som det andre sifferet i roten. Så i kvotienten fikk vi tallet 80, som vi dobler igjen, og fjerner neste kant

(tallet 15 901 er den andre resten).

5. trinn. I den andre resten skiller vi ett siffer fra høyre og deler det resulterende tallet 1590 med 160. Vi skriver resultatet (nummer 9) som det tredje sifferet i roten og legger det til tallet 160. Vi multipliserer det resulterende tallet 1609 med 9 og finn den neste resten (1420):

Deretter utføres handlinger i sekvensen spesifisert i algoritmen (roten kan trekkes ut med nødvendig grad av nøyaktighet).

Kommentar. Hvis det radikale uttrykket er en desimalbrøk, er hele delen delt inn i kanter av to sifre fra høyre til venstre, brøkdelen - to sifre fra venstre til høyre, og roten trekkes ut i henhold til den angitte algoritmen.

DIDAKTISK MATERIAL

1. Ta kvadratroten av tallet: a) 32; b) 32,45; c) 249,5; d) 0,9511.

Bibliografisk beskrivelse: Pryostanovo S. M., Lysogorova L. V. Metoder for å trekke ut kvadratroten // Ung vitenskapsmann. 2017. Nr 2.2. S. 76-77..02.2019).



Nøkkelord : kvadratrot, kvadratrot utvinning.

I matematikktimene ble jeg kjent med begrepet en kvadratrot, og operasjonen med å trekke ut en kvadratrot. Jeg ble interessert i om det kun er mulig å trekke ut kvadratroten ved å bruke en tabell med kvadrater, ved å bruke en kalkulator, eller om det er en måte å trekke den ut manuelt. Jeg fant flere måter: formelen til det gamle Babylon, gjennom å løse likninger, metoden for å forkaste et komplett kvadrat, Newtons metode, den geometriske metoden, den grafiske metoden (, ), gjettemetoden, metoden for oddetallsdeduksjoner.

Vurder følgende metoder:

La oss faktorisere til primfaktorer ved å bruke delebarhetskriteriene 27225=5*5*3*3*11*11. Dermed

1. TIL Kanadisk metode. Denne raske metoden ble oppdaget av unge forskere ved et av Canadas ledende universiteter på 1900-tallet. Nøyaktigheten er ikke mer enn to til tre desimaler.

hvor x er tallet som roten må trekkes ut fra, c er tallet på nærmeste kvadrat), for eksempel:

=5,92

1. I en kolonne. Denne metoden lar deg finne den omtrentlige verdien av roten til et hvilket som helst reelt tall med en forhåndsbestemt nøyaktighet. Ulempene med denne metoden inkluderer den økende kompleksiteten til beregningen etter hvert som antall siffer som blir funnet øker. For å trekke ut roten manuelt, brukes en notasjon som ligner på lang divisjon

Kvadratrotalgoritme

1. Vi deler brøkdelen og heltallsdelen separat fra kommaet på grensen til to sifre i hvert ansikt ( kysse del - fra høyre til venstre; brøkdel- fra venstre til høyre). Det er mulig at heltallsdelen kan inneholde ett siffer, og brøkdelen kan inneholde nuller.

2. Ekstraksjon starter fra venstre mot høyre, og vi velger et tall hvis kvadrat ikke overstiger tallet i den første flaten. Vi kvadrerer dette tallet og skriver det under tallet på den første siden.

3. Finn forskjellen mellom tallet på den første flaten og kvadratet på det valgte første tallet.

4. Vi legger til neste kant til den resulterende forskjellen, det resulterende tallet vil være delelig. La oss utdanne deler. Vi dobler det første valgte sifferet i svaret (multipliser med 2), vi får antall tiere av divisoren, og antall enheter skal være slik at produktet av hele divisoren ikke overstiger utbyttet. Vi skriver ned det valgte tallet som svar.

5. Vi tar neste kant til den resulterende forskjellen og utfører handlingene i henhold til algoritmen. Hvis dette ansiktet viser seg å være et ansikt av en brøkdel, så setter vi et komma i svaret. (Figur 1.)

Ved å bruke denne metoden kan du trekke ut tall med forskjellig presisjon, for eksempel opptil tusendeler. (Fig.2)

Vurderer ulike metoder for å trekke ut kvadratroten, kan vi konkludere: i hvert enkelt tilfelle må du bestemme deg for valget av den mest effektive for å bruke mindre tid på å løse

Litteratur:

1. Kiselev A. Elementer i algebra og analyse. Del én.-M.-1928

Nøkkelord: kvadratrot, kvadratrot.

Merknad: Artikkelen beskriver metoder for å trekke ut kvadratrøtter og gir eksempler på å trekke ut røtter.