Videokurset "Få en A" inkluderer alle emnene som er nødvendige for å lykkes bestått Unified State-eksamenen i matematikk for 60-65 poeng. Helt alle oppgaver 1-13 Profil Unified State Examination matematikk. Også egnet for å bestå Basic Unified State Examination i matematikk. Hvis du vil bestå Unified State-eksamenen med 90-100 poeng, må du løse del 1 på 30 minutter og uten feil!
Forberedelseskurs til Unified State Exam for klasse 10-11, samt for lærere. Alt du trenger for å løse del 1 av Unified State Exam i matematikk (de første 12 oppgavene) og oppgave 13 (trigonometri). Og dette er mer enn 70 poeng på Unified State Exam, og verken en 100-poengs student eller en humaniorastudent kan klare seg uten dem.
All nødvendig teori. Raske måter løsninger, fallgruver og hemmeligheter ved Unified State Exam. Alle gjeldende oppgaver i del 1 fra FIPI Task Bank er analysert. Kurset oppfyller fullt ut kravene til Unified State Exam 2018.
Kurset inneholder 5 store emner, 2,5 timer hver. Hvert emne er gitt fra bunnen av, enkelt og tydelig.
Hundrevis av Unified State Exam-oppgaver. Ordproblemer og sannsynlighetsteori. Enkle og lett å huske algoritmer for å løse problemer. Geometri. Teori, referansemateriale, analyse av alle typer Unified State Examination oppgaver. Stereometri. Vanskelige løsninger, nyttige jukseark, utvikling av romlig fantasi. Trigonometri fra scratch til problem 13. Forståelse i stedet for propp. Visuell forklaring komplekse konsepter. Algebra. Røtter, potenser og logaritmer, funksjon og derivert. Et grunnlag for å løse komplekse problemer i del 2 av Unified State Exam.
For å løse geometriproblemer, må du kjenne til formler - for eksempel arealet av en trekant eller arealet av et parallellogram - samt enkle teknikker som vi vil dekke.
La oss først lære formlene for figurenes områder. Vi har spesielt samlet dem i et praktisk bord. Skriv ut, lær og bruk!
Selvfølgelig er ikke alle geometriformler i tabellen vår. For eksempel, for å løse problemer i geometri og stereometri i den andre delen av profilen Unified State Exam i matematikk, brukes andre formler for arealet av en trekant. Vi vil definitivt fortelle deg om dem.
Men hva om du ikke trenger å finne arealet til en trapes eller trekant, men området til en kompleks figur? Det finnes universelle måter! Vi vil vise dem ved hjelp av eksempler fra FIPI-oppgavebanken.
1. Hvordan finne arealet til en ikke-standard figur? For eksempel en vilkårlig firkant? En enkel teknikk - la oss dele denne figuren inn i de vi vet alt om, og finne arealet - som summen av arealene til disse figurene.
Del denne firkanten med en horisontal linje i to trekanter med en felles base lik . Høydene til disse trekantene er lik og . Da er arealet av firkanten lik summen av arealene til de to trekantene: .
Svar: .
2. I noen tilfeller kan arealet til en figur representeres som forskjellen til noen områder.
Det er ikke så lett å regne ut hva grunnen og høyden til denne trekanten er lik! Men vi kan si at arealet er lik forskjellen mellom arealene til et kvadrat med en side og tre rette trekanter. Ser du dem på bildet? Vi får: .
Svar: .
3. Noen ganger i en oppgave må du finne arealet av ikke hele figuren, men en del av den. Vanligvis snakker vi om arealet av en sektor - del av en sirkel. Finn arealet av en sektor av en sirkel med radius hvis buelengde er lik .
På dette bildet ser vi en del av en sirkel. Arealet av hele sirkelen er lik . Det gjenstår å finne ut hvilken del av sirkelen som er avbildet. Siden lengden på hele sirkelen er lik (siden), og lengden på buen til en gitt sektor er lik, er derfor lengden på buen en faktor som er mindre enn lengden på hele sirkelen. Vinkelen som denne buen hviler i er også en faktor på mindre enn en full sirkel (det vil si grader). Dette betyr at arealet av sektoren vil være flere ganger mindre enn arealet av hele sirkelen.
Og de gamle egypterne brukte metoder for å beregne arealene til forskjellige figurer, lik våre metoder.
I bøkene mine "Begynnelser" den berømte antikke greske matematikeren Euklid beskrev ganske stort antall metoder for å beregne arealene til mange geometriske former. De første manuskriptene i Rus som inneholder geometrisk informasjon ble skrevet på 1500-tallet. De beskriver reglene for å finne områdene til figurer med ulike former.
I dag med hjelp moderne metoder du kan finne arealet til enhver figur med stor nøyaktighet.
La oss vurdere en av de enkleste figurene - et rektangel - og formelen for å finne området.
Formel for rektangelareal
La oss se på en figur (fig. 1), som består av $8$ kvadrater med sider på $1$ cm. Arealet av en kvadrat med en side på $1$ cm kalles en kvadratcentimeter og skrives $1\ cm^2 $.
Arealet til denne figuren (fig. 1) vil være lik $8\cm^2$.
Arealet til en figur som kan deles inn i flere firkanter med en side på $1\ cm$ (for eksempel $p$) vil være lik $p\ cm^2$.
Med andre ord, arealet av figuren vil være lik så mange $cm^2$, i hvor mange firkanter med siden $1\ cm$ denne figuren kan deles.
La oss se på et rektangel (fig. 2), som består av $3$ striper, som hver er delt inn i $5$ kvadrater med en side på $1\ cm$. hele rektangelet består av $5\cdot 3=15$ slike firkanter, og arealet er $15\cm^2$.
Bilde 1.
Figur 2.
Området med figurer er vanligvis merket med bokstaven $S$.
For å finne arealet til et rektangel, må du multiplisere lengden med bredden.
Hvis vi angir lengden med bokstaven $a$, og bredden med bokstaven $b$, vil formelen for arealet til et rektangel se slik ut:
Definisjon 1
Figurene kalles lik hvis tallene sammenfaller når de er lagt over hverandre. Like tall har like områder og like omkrets.
Arealet til en figur kan finnes som summen av arealene til delene.
Eksempel 1
For eksempel, i figur $3$, er rektangel $ABCD$ delt inn i to deler av linjen $KLMN$. Arealet til en del er $12\ cm^2$, og den andre er $9\ cm^2$. Da vil arealet av rektangelet $ABCD$ være lik $12\ cm^2+9\ cm^2=21\ cm^2$. Finn arealet av rektangelet ved å bruke formelen:
Som du kan se, er arealene funnet ved begge metodene like.
Figur 3.
Figur 4.
Linjestykket $AC$ deler rektangelet i to like trekanter: $ABC$ og $ADC$. Dette betyr at arealet av hver trekant er lik halvparten av arealet av hele rektangelet.
Definisjon 2
Rektangel med like sider kalt torget.
Hvis vi betegner siden av et kvadrat med bokstaven $a$, vil arealet av kvadratet bli funnet av formelen:
Derav navnekvadraten til tallet $a$.
Eksempel 2
For eksempel, hvis siden av en firkant er $5$ cm, er arealet:
Volumer
Med utviklingen av handel og konstruksjon tilbake i de gamle sivilisasjonenes dager, oppsto behovet for å finne volumer. I matematikk er det en gren av geometri som omhandler studiet av romlige figurer, kalt stereometri. Omtaler av denne separate grenen av matematikk ble funnet allerede i $IV$ århundre f.Kr.
Gamle matematikere utviklet en metode for å beregne volumet av enkle figurer - en terning og et parallellepiped. Alle bygninger på den tiden var av denne formen. Men senere metoder ble funnet for å beregne volumet av figurer med mer komplekse former.
Volum av et rektangulært parallellepiped
Fyller du formen med våt sand og deretter snur den, får du en tredimensjonal figur som er preget av volum. Hvis du lager flere slike figurer ved hjelp av samme form, får du figurer som har samme volum. Hvis du fyller formen med vann, vil volumet av vann og volumet av sandfiguren også være like.
Figur 5.
Du kan sammenligne volumene til to kar ved å fylle den ene med vann og helle den i den andre beholderen. Hvis det andre karet er helt fylt, har karene like store volumer. Hvis vann forblir i det første, er volumet til det første karet større enn volumet til det andre. Hvis det ikke er mulig å fylle det andre karet helt når man heller vann fra det første karet, er volumet til det første karet mindre enn volumet til det andre.
Volum måles med følgende enheter:
$mm^3$ -- kubikkmillimeter,
$cm^3$ -- kubikkcentimeter,
$dm^3$ -- kubikkdesimeter,
$m^3$ -- kubikkmeter,
$km^3$ -- kubikkkilometer.
Generell gjennomgang. Stereometriformler!
Hei, kjære venner! I denne artikkelen bestemte jeg meg for å gjøre generell gjennomgang stereometrioppgaver som vil være på Unified State eksamen i matematikk e. Det skal sies at oppgavene fra denne gruppen er ganske varierte, men ikke vanskelige. Dette er problemer for å finne geometriske størrelser: lengder, vinkler, arealer, volumer.
Betraktet: terning, kuboid, prisme, pyramide, sammensatt polyeder, sylinder, kjegle, ball. Det triste faktum er at noen nyutdannede ikke engang tar på seg slike problemer under selve eksamen, selv om mer enn 50% av dem løses enkelt, nesten muntlig.
Resten krever liten innsats, kunnskap og spesielle teknikker. I fremtidige artikler vil vi vurdere disse oppgavene, ikke gå glipp av det, abonner på bloggoppdateringer.
For å løse må du vite formler for overflatearealer og volumer parallellepipedum, pyramide, prisme, sylinder, kjegle og kule. Det er ingen vanskelige problemer, de løses alle i 2-3 trinn, det er viktig å "se" hvilken formel som må brukes.
Alle nødvendige formler er presentert nedenfor:
Ball eller kule. Ball, eller sfærisk overflate(noen ganger bare en kule) er det geometriske stedet for punkter i rommet like langt fra ett punkt - midten av ballen.
Ballvolum lik volumet til en pyramide hvis base har samme areal som ballens overflate, og høyden er radiusen til ballen
Volumet av kulen er halvannen ganger mindre enn volumet til sylinderen som er omskrevet rundt den.
En sirkulær kjegle kan oppnås ved å rotere en rettvinklet trekant rundt det ene bena, og derfor kalles en sirkulær kjegle også en revolusjonskjegle. Se også Overflatearealet til en sirkulær kjegle
Volum av en rund kjegle lik en tredjedel av produktet av grunnarealet S og høyden H:
(H er høyden på kubekanten)
Et parallellepiped er et prisme hvis base er et parallellogram. Parallelepiped har seks ansikter, og alle er parallellogrammer. Et parallellepiped hvis fire sideflater er rektangler kalles et rett parallellepiped. Et rett parallellepiped hvis seks flater alle er rektangler kalles rektangulært.
Volum av et rektangulært parallellepiped lik produktet av arealet av basen og høyden:
(S er arealet av bunnen av pyramiden, h er høyden på pyramiden)
En pyramide er et polyeder, som har en flate - bunnen av pyramiden - en vilkårlig polygon, og resten - sideflater - trekanter med et felles toppunkt, kalt toppen av pyramiden.
En seksjon parallelt med bunnen av pyramiden deler pyramiden i to deler. Den delen av pyramiden mellom basen og denne delen er en avkortet pyramide.
Volum av en avkortet pyramide lik en tredjedel av produktet av høyden h(OS) ved summen av arealene til den øvre basen S1 (abcde), nedre base av en avkortet pyramide S2 (ABCDE) og gjennomsnittlig proporsjonal mellom dem.
| 1. | V= |
n - antall sider av en vanlig polygon - baser vanlig pyramide
a - side av en vanlig polygon - base av en vanlig pyramide
h - høyden på en vanlig pyramide
En vanlig trekantet pyramide er et polyeder, som har en flate - bunnen av pyramiden - en vanlig trekant, og resten - sideflatene - like trekanter med et felles toppunkt. Høyden synker til midten av basen fra toppen.
Volum riktig trekantet pyramide lik en tredjedel av produktet av arealet vanlig trekant, som er grunnlaget S (ABC) til høyden h(OS)
a - side av en vanlig trekant - base av en vanlig trekantet pyramide
h - høyden på en vanlig trekantet pyramide
Avledning av formelen for volumet til et tetraeder
Volumet til et tetraeder beregnes ved å bruke den klassiske formelen for volumet til en pyramide. Det er nødvendig å erstatte høyden på tetraederet og arealet til en vanlig (likesidet) trekant.
Volum av et tetraeder- er lik brøkdelen i telleren der kvadratroten av to i nevneren er tolv, multiplisert med kuben av lengden på kanten av tetraederet
(h er lengden på siden av romben)
Omkrets s er omtrent tre hele og en syvendedel av lengden på sirkelens diameter. Det nøyaktige forholdet mellom omkretsen av en sirkel og diameteren er indikert med Gresk bokstav π
Som et resultat beregnes omkretsen av sirkelen eller omkretsen ved hjelp av formelen
| π r n |
(r - bueradius, n - sentral vinkel buer i grader.)
Videokurset "Få en A" inkluderer alle emnene som er nødvendige for å bestå Unified State Exam i matematikk med 60-65 poeng. Fullstendig alle oppgavene 1-13 i Profile Unified State-eksamen i matematikk. Også egnet for å bestå Basic Unified State Examination i matematikk. Hvis du vil bestå Unified State-eksamenen med 90-100 poeng, må du løse del 1 på 30 minutter og uten feil!
Forberedelseskurs til Unified State Exam for klasse 10-11, samt for lærere. Alt du trenger for å løse del 1 av Unified State Exam i matematikk (de første 12 oppgavene) og oppgave 13 (trigonometri). Og dette er mer enn 70 poeng på Unified State Exam, og verken en 100-poengs student eller en humaniorastudent kan klare seg uten dem.
All nødvendig teori. Raske løsninger, fallgruver og hemmeligheter til Unified State Exam. Alle gjeldende oppgaver i del 1 fra FIPI Task Bank er analysert. Kurset oppfyller fullt ut kravene til Unified State Exam 2018.
Kurset inneholder 5 store emner, 2,5 timer hver. Hvert emne er gitt fra bunnen av, enkelt og tydelig.
Hundrevis av Unified State Exam-oppgaver. Ordproblemer og sannsynlighetsteori. Enkle og lett å huske algoritmer for å løse problemer. Geometri. Teori, referansemateriale, analyse av alle typer Unified State Examination oppgaver. Stereometri. Vanskelige løsninger, nyttige jukseark, utvikling av romlig fantasi. Trigonometri fra scratch til problem 13. Forståelse i stedet for propp. Tydelige forklaringer av komplekse begreper. Algebra. Røtter, potenser og logaritmer, funksjon og derivert. Et grunnlag for å løse komplekse problemer i del 2 av Unified State Exam.
Laster inn...