Noen ganger i livet er det situasjoner hvor du må fordype deg i hukommelsen på jakt etter for lengst glemt skolekunnskap. For eksempel må du bestemme arealet til en trekantet tomt, eller tiden er inne for en ny renovering i en leilighet eller et privat hus, og du må beregne hvor mye materiale som vil være nødvendig for overflaten med trekantet form. Det var en tid da du kunne løse et slikt problem på et par minutter, men nå prøver du desperat å huske hvordan du bestemmer arealet til en trekant?
Ikke bekymre deg for det! Tross alt er det ganske normalt når en persons hjerne bestemmer seg for å overføre lenge ubrukt kunnskap et sted til et avsidesliggende hjørne, hvorfra det noen ganger ikke er så lett å trekke den ut. For at du ikke trenger å slite med å søke etter glemt skolekunnskap for å løse et slikt problem, inneholder denne artikkelen ulike metoder, som gjør det enkelt å finne det nødvendige området i trekanten.
Det er velkjent at en trekant er en type polygon som er begrenset til minst mulig antall sider. I prinsippet kan en hvilken som helst polygon deles inn i flere trekanter ved å koble dens toppunkter med segmenter som ikke skjærer sidene. Når du kjenner trekanten, kan du derfor beregne arealet til nesten hvilken som helst figur.
Blant alle mulige trekanter som man møter i livet, kan følgende spesielle typer skilles: og rektangulære.
Den enkleste måten å beregne arealet til en trekant på er når en av vinklene er rett, det vil si i tilfelle av en rettvinklet trekant. Det er lett å se at det er et halvt rektangel. Derfor er arealet lik halvparten av produktet av sidene som danner en rett vinkel med hverandre.
Hvis vi kjenner høyden på en trekant, senket fra en av hjørnene til den motsatte siden, og lengden på denne siden, som kalles grunnflaten, så beregnes arealet som halvparten av produktet av høyden og grunnflaten. Dette er skrevet med følgende formel:
S = 1/2*b*h, hvori
S er det nødvendige området i trekanten;
b, h - henholdsvis høyden og bunnen av trekanten.
Så lett å beregne areal likebent trekant, siden høyden vil halvere den motsatte siden og lett kan måles. Hvis området er bestemt, er det praktisk å ta lengden på en av sidene som danner en rett vinkel som høyden.
Alt dette er selvfølgelig bra, men hvordan kan man finne ut om en av vinklene i en trekant er rett eller ikke? Hvis størrelsen på figuren vår er liten, kan vi bruke en konstruksjonsvinkel, en tegnetrekant, et postkort eller et annet objekt med rektangulær form.
Men hva om vi har en trekant tomt? I dette tilfellet, fortsett som følger: tell fra toppen av den antatte rette vinkelen på den ene siden et avstandsmultippel på 3 (30 cm, 90 cm, 3 m), og mål på den andre siden et avstandsmultiplum på 4 i samme proporsjon (40 cm, 160 cm, 4 m). Nå må du måle avstanden mellom endepunkter disse to segmentene. Hvis resultatet er et multiplum av 5 (50 cm, 250 cm, 5 m), så kan vi si at vinkelen er rett.
Hvis lengden på hver av de tre sidene av figuren vår er kjent, kan arealet av trekanten bestemmes ved hjelp av Herons formel. For at den skal ha en enklere form, brukes en ny verdi, som kalles semi-perimeter. Dette er summen av alle sidene i trekanten vår, delt i to. Etter at halvomkretsen er beregnet, kan du begynne å bestemme arealet ved å bruke formelen:
S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), hvor
sqrt - Kvadratrot;
p - semi-perimeter verdi (p = (a+b+c)/2);
a, b, c - kantene (sidene) av trekanten.
Men hva om trekanten har en uregelmessig form? Det er to mulige måter her. Den første er å prøve å dele en slik figur i to høyre trekant, summen av arealene beregnes separat og legges til. Eller, hvis vinkelen mellom to sider og størrelsen på disse sidene er kjent, bruk formelen:
S = 0,5 * ab * sinC, hvor
a,b - sider av trekanten;
c er størrelsen på vinkelen mellom disse sidene.
Sistnevnte tilfelle er sjelden i praksis, men likevel er alt mulig i livet, så formelen ovenfor vil ikke være overflødig. Lykke til med beregningene!
Trekant er en av de vanligste geometriske formene, som vi blir kjent med allerede i grunnskole. Hver student står overfor spørsmålet om hvordan man finner arealet til en trekant i geometritimer. Så, hvilke funksjoner for å finne området til en gitt figur kan identifiseres? I denne artikkelen vil vi se på de grunnleggende formlene som er nødvendige for å fullføre en slik oppgave, og også analysere typene trekanter.
Typer trekanter
Du kan finne arealet til en trekant absolutt forskjellige måter, fordi det i geometri er mer enn én type figurer som inneholder tre vinkler. Disse typene inkluderer:
- Stumpet.
- Likesidet (riktig).
- Høyre trekant.
- Likebent.
La oss se nærmere på hver av de eksisterende typene trekanter.
Denne geometriske figuren regnes som den vanligste når man løser geometriske problemer. Når behovet oppstår for å tegne en vilkårlig trekant, kommer dette alternativet til unnsetning.
I en spiss trekant, som navnet antyder, er alle vinklene spisse og summerer seg til 180°.
Denne typen trekant er også svært vanlig, men er noe mindre vanlig enn en spiss trekant. For eksempel, når du løser trekanter (det vil si at flere av sidene og vinklene er kjent, og du må finne de gjenværende elementene), må du noen ganger finne ut om vinkelen er stump eller ikke. Cosinus er et negativt tall.
B, verdien av en av vinklene overstiger 90°, så de resterende to vinklene kan ha små verdier (for eksempel 15° eller til og med 3°).
For å finne arealet til en trekant av denne typen, du trenger å vite noen nyanser, som vi vil snakke om neste gang.
Regelmessige og likebenede trekanter
En vanlig polygon er en figur som inkluderer n vinkler og hvis sider og vinkler er like. Dette er hva en vanlig trekant er. Siden summen av alle vinklene i en trekant er 180°, er hver av de tre vinklene 60°.
En vanlig trekant, på grunn av sin egenskap, kalles også en likesidet figur.
Det er også verdt å merke seg at bare en sirkel kan skrives inn i en vanlig trekant, og bare en sirkel kan beskrives rundt den, og sentrene deres er plassert på samme punkt.
I tillegg til den likesidede typen, kan man også skille en likebenet trekant, som er litt forskjellig fra den. I en slik trekant er to sider og to vinkler lik hverandre, og den tredje siden (som den tilstøtende like vinkler) er basen.
Figuren viser en likebenet trekant DEF hvis vinkler D og F er like og DF er grunnflaten.
Høyre trekant
En rettvinklet trekant heter det fordi en av vinklene er rett, det vil si lik 90°. De to andre vinklene summerer seg til 90°.
Den største siden av en slik trekant, som ligger motsatt 90°-vinkelen, er hypotenusen, mens de resterende to sidene er bena. For denne typen trekant gjelder Pythagoras teorem:
Summen av kvadratene av benlengdene er lik kvadratet av lengden på hypotenusen.
Figuren viser en rettvinklet trekant BAC med hypotenusen AC og bena AB og BC.
For å finne arealet av en trekant med rett vinkel, må du vite det numeriske verdier sine ben.
La oss gå videre til formlene for å finne arealet til en gitt figur.
Grunnformler for å finne areal
I geometri er det to formler som er egnet for å finne arealet til de fleste typer trekanter, nemlig for akutte, stumpe, vanlige og likebenede trekanter. La oss se på hver av dem.
Ved side og høyde
Denne formelen er universell for å finne arealet av figuren vi vurderer. For å gjøre dette er det nok å vite lengden på siden og lengden på høyden trukket til den. Selve formelen (halve produktet av basen og høyden) er som følger:
der A er siden av en gitt trekant, og H er høyden på trekanten.
For eksempel for å finne området spiss trekant ACB, du må multiplisere siden AB med høyden CD og dele den resulterende verdien med to.
Det er imidlertid ikke alltid lett å finne arealet til en trekant på denne måten. For eksempel, for å bruke denne formelen for en stump trekant, må du utvide en av sidene og først deretter tegne en høyde til den.
I praksis brukes denne formelen oftere enn andre.
På begge sider og hjørne
Denne formelen, som den forrige, passer for de fleste trekanter og er i sin betydning en konsekvens av formelen for å finne arealet ved side og høyden til en trekant. Det vil si at den aktuelle formelen lett kan utledes fra den forrige. Formuleringen ser slik ut:
S = ½*sinO*A*B,
hvor A og B er sidene i trekanten, og O er vinkelen mellom sidene A og B.
La oss huske at sinusen til en vinkel kan sees i en spesiell tabell oppkalt etter den fremragende sovjetiske matematikeren V. M. Bradis.
La oss nå gå videre til andre formler som bare er egnet for eksepsjonelle typer trekanter.
Arealet av en rettvinklet trekant
I tillegg til den universelle formelen, som inkluderer behovet for å finne høyden i en trekant, kan området til en trekant som inneholder en rett vinkel finnes fra bena.
Dermed er arealet av en trekant som inneholder en rett vinkel halvparten av produktet av bena, eller:
hvor a og b er bena i en rettvinklet trekant.
Vanlig trekant
Denne typen geometriske figurer er forskjellige ved at området kan finnes med den angitte verdien av bare en av sidene (siden alle sider vanlig trekant er like). Så når du står overfor oppgaven med å "finne arealet til en trekant når sidene er like," må du bruke følgende formel:
S = A 2 *√3 / 4,
hvor A er siden av den likesidede trekanten.
Herons formel
Det siste alternativet for å finne arealet til en trekant er Herons formel. For å bruke det, må du kjenne lengdene på de tre sidene av figuren. Herons formel ser slik ut:
S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c),
hvor a, b og c er sidene i en gitt trekant.
Noen ganger er problemet gitt: "området til en vanlig trekant er å finne lengden på siden." I i dette tilfellet vi må bruke formelen vi allerede kjenner for å finne arealet til en vanlig trekant og utlede verdien av siden (eller kvadratet):
A 2 = 4S / √3.
Eksamensoppgaver
Det er mange formler i GIA-oppgaver i matematikk. I tillegg er det ganske ofte nødvendig å finne området til en trekant på rutete papir.
I dette tilfellet er det mest praktisk å tegne høyden til en av sidene av figuren, bestemme lengden fra cellene og bruke universell formel for å finne området:
Så, etter å ha studert formlene presentert i artikkelen, vil du ikke ha noen problemer med å finne arealet til en trekant av noe slag.
Konsept av område
Konseptet med arealet til enhver geometrisk figur, spesielt en trekant, vil være assosiert med en figur som en firkant. For enhetsarealet til en hvilken som helst geometrisk figur tar vi arealet til en firkant hvis side er lik en. For fullstendighetens skyld, la oss huske to grunnleggende egenskaper for konseptet med områder av geometriske figurer.
Eiendom 1: Hvis geometriske figurer er like, så er deres arealer også like.
Eiendom 2: Enhver figur kan deles inn i flere figurer. Dessuten er arealet til den opprinnelige figuren lik summen av arealene til alle dens bestanddeler.
La oss se på et eksempel.
Eksempel 1
Tydeligvis er en av sidene av trekanten en diagonal av et rektangel, hvor den ene siden har en lengde på $5$ (siden det er $5$ celler), og den andre er $6$ (siden det er $6$ celler). Derfor vil arealet til denne trekanten være lik halvparten av et slikt rektangel. Arealet av rektangelet er
Da er arealet av trekanten lik
Svar: $15$.
Deretter vil vi vurdere flere metoder for å finne arealer av trekanter, nemlig å bruke høyden og basen, ved å bruke Herons formel og arealet til en likesidet trekant.
Hvordan finne arealet til en trekant ved hjelp av høyden og bunnen
Teorem 1
Arealet til en trekant kan finnes som halvparten av produktet av lengden på en side og høyden til den siden.
Matematisk ser det slik ut
$S=\frac(1)(2)αh$
der $a$ er lengden på siden, er $h$ høyden trukket til den.
Bevis.
Tenk på en trekant $ABC$ der $AC=α$. Høyden $BH$ er tegnet til denne siden, som er lik $h$. La oss bygge den opp til kvadratet $AXYC$ som i figur 2.
Arealet av rektangel $AXBH$ er $h\cdot AH$, og arealet av rektangel $HBYC$ er $h\cdot HC$. Deretter
$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$
Derfor er det nødvendige arealet av trekanten, ved egenskap 2, lik
$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$
Teoremet er bevist.
Eksempel 2
Finn arealet av trekanten i figuren nedenfor hvis cellen har et areal lik én
Basen til denne trekanten er lik $9$ (siden $9$ er $9$ kvadrater). Høyden er også $9$. Så, ved teorem 1, får vi
$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$
Svar: $40,5$.
Herons formel
Teorem 2
Hvis vi får tre sider av en trekant $α$, $β$ og $γ$, kan arealet bli funnet som følger
$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
her betyr $ρ$ halvperimeteren til denne trekanten.
Bevis.
Tenk på følgende figur:
Ved Pythagoras teorem får vi fra trekanten $ABH$
Fra trekanten $CBH$ har vi ifølge Pythagoras teorem
$h^2=α^2-(β-x)^2$
$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
Fra disse to relasjonene oppnår vi likheten
$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$
$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$
$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$
$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$
Siden $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, så er $α+β+γ=2ρ$, som betyr
$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$
$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$
$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$
$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
Ved teorem 1 får vi
$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
Trekanten er en figur kjent for alle. Og dette til tross for den rike variasjonen av dens former. Rektangulær, likesidet, akutt, likebenet, stump. Hver av dem er forskjellige på en eller annen måte. Men for alle kreves det finn ut arealet av en trekant.
Formler som er felles for alle trekanter som bruker lengdene på sider eller høyder
Betegnelsene som er vedtatt i dem: sider - a, b, c; høyder på de tilsvarende sidene på a, n in, n med.
1. Arealet av en trekant beregnes som produktet av ½, en side og høyden trukket fra den. S = ½ * a * n a. Formlene for de to andre sidene bør skrives på samme måte.
2. Herons formel, der semi-perimeteren vises (den er vanligvis betegnet med den lille bokstaven p, i motsetning til hele omkretsen). Halvperimeteren må beregnes som følger: legg sammen alle sidene og del dem på 2. Formelen for halvperimeteren er: p = (a+b+c) / 2. Deretter er likheten for arealet av figuren ser slik ut: S = √ (p * (p - a) * ( р - в) * (р - с)).
3. Hvis du ikke vil bruke en semi-perimeter, vil en formel som bare inneholder lengdene på sidene være nyttig: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a ) * (a + c - c) * (a + b - c)). Den er litt lengre enn den forrige, men det vil hjelpe hvis du har glemt hvordan du finner halvperimeteren.
Generelle formler som involverer vinklene til en trekant
Notasjoner som kreves for å lese formlene: α, β, γ - vinkler. De ligger på motsatt side av henholdsvis a, b, c.
1. I følge det er halvparten av produktet av to sider og sinusen til vinkelen mellom dem lik arealet av trekanten. Det vil si: S = ½ a * b * sin γ. På lignende måte du bør skrive ned formlene for de to andre tilfellene.
2. Arealet av en trekant kan beregnes fra én side og tre kjente vinkler. S = (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).
3. Det er også en formel med én kjent side og to tilstøtende vinkler. Det ser slik ut: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).
De to siste formlene er ikke de enkleste. Det er ganske vanskelig å huske dem.
Generelle formler for situasjoner der radiene til innskrevne eller omskrevne sirkler er kjent
Ytterligere betegnelser: r, R - radier. Den første brukes for radiusen til den innskrevne sirkelen. Den andre er for den som er beskrevet.
1. Den første formelen som arealet til en trekant beregnes med, er relatert til halvperimeteren. S = r * r. En annen måte å skrive det på er: S = ½ r * (a + b + c).
2. I det andre tilfellet må du multiplisere alle sidene i trekanten og dele dem med firedoblet radiusen til den omskrevne sirkelen. I bokstavelig uttrykk ser det slik ut: S = (a * b * c) / (4R).
3. Den tredje situasjonen lar deg gjøre uten å kjenne sidene, men du trenger verdiene til alle tre vinklene. S = 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.
Spesialtilfelle: rettvinklet trekant
Dette er den enkleste situasjonen, siden bare lengden på begge bena er nødvendig. De er utpekt med latinske bokstaver a og c. Arealet av en rettvinklet trekant er lik halvparten av arealet av rektangelet lagt til det.
Matematisk ser det slik ut: S = ½ a * b. Det er lettest å huske. Fordi det ser ut som formelen for arealet av et rektangel, vises bare en brøkdel, som indikerer halvparten.
Spesialtilfelle: likebenet trekant
Siden den har to like sider, ser noen formler for området noe forenklet ut. For eksempel har Herons formel, som beregner arealet av en likebenet trekant, følgende form:
S = ½ tommer √((a + ½ tommer)*(a - ½ tommer)).
Hvis du forvandler den, blir den kortere. I dette tilfellet er Herons formel for en likebenet trekant skrevet som følger:
S = ¼ i √(4 * a 2 - b 2).
Arealformelen ser noe enklere ut enn for en vilkårlig trekant hvis sidene og vinkelen mellom dem er kjent. S = ½ a 2 * sin β.
Spesialtilfelle: likesidet trekant
Vanligvis i problemer er siden om det kjent eller det kan bli funnet ut på en eller annen måte. Da er formelen for å finne arealet til en slik trekant som følger:
S = (a 2 √3) / 4.
Problemer med å finne området hvis trekanten er avbildet på rutete papir
Den enkleste situasjonen er når en rettvinklet trekant tegnes slik at bena sammenfaller med linjene på papiret. Da trenger du bare å telle antall celler som passer inn i bena. Multipliser dem deretter og del på to.
Når trekanten er spiss eller stump, må den tegnes til et rektangel. Da vil den resulterende figuren ha 3 trekanter. Den ene er den som er gitt i problemet. Og de to andre er hjelpe- og rektangulære. Arealene av de to siste må bestemmes ved å bruke metoden beskrevet ovenfor. Beregn deretter arealet av rektangelet og trekk fra det de som er beregnet for de ekstra. Arealet av trekanten bestemmes.
Situasjonen der ingen av sidene i trekanten faller sammen med linjene på papiret, viser seg å være mye mer komplisert. Deretter må den skrives inn i et rektangel slik at toppunktene til den opprinnelige figuren ligger på sidene. I dette tilfellet vil det være tre hjelpetrekanter.
Eksempel på et problem som bruker Herons formel
Betingelse. Noen trekanter har kjente sider. De er lik 3, 5 og 6 cm. Du må finne ut området.
Nå kan du beregne arealet av trekanten ved å bruke formelen ovenfor. Under kvadratroten er produktet av fire tall: 7, 4, 2 og 1. Det vil si at arealet er √(4 * 14) = 2 √(14).
Hvis større nøyaktighet ikke er nødvendig, kan du trekke ut Kvadratrot av 14. Det er lik 3,74. Da blir arealet 7,48.
Svar. S = 2 √14 cm 2 eller 7,48 cm 2.
Eksempeloppgave med rettvinklet trekant
Betingelse. Ett ben i en rettvinklet trekant er 31 cm større enn det andre. Du må finne ut lengden på dem hvis arealet av trekanten er 180 cm 2.
Løsning. Vi må løse et system med to ligninger. Den første er relatert til areal. Den andre er med forholdet mellom bena, som er gitt i oppgaven.
180 = ½ a * b;
a = b + 31.
Først må verdien av "a" settes inn i den første ligningen. Det viser seg: 180 = ½ (in + 31) * in. Den har bare ett ukjent antall, så det er enkelt å løse. Etter å ha åpnet parentesene får vi kvadratisk ligning: i 2 + 31 i - 360 = 0. Det gir to verdier for "in": 9 og - 40. Det andre tallet er ikke egnet som svar, siden lengden på siden av en trekant ikke kan være negativ verdi.
Det gjenstår å beregne den andre etappen: legg til 31 til det resulterende tallet. Det viser seg 40. Dette er mengdene som søkes i problemet.
Svar. Trekantens ben er 9 og 40 cm.
Problem med å finne en side gjennom arealet, siden og vinkelen til en trekant
Betingelse. Arealet til en viss trekant er 60 cm 2. Det er nødvendig å beregne en av sidene hvis den andre siden er 15 cm og vinkelen mellom dem er 30º.
Løsning. Basert aksepterte notasjoner, den ønskede siden "a", den kjente siden "b", den gitte vinkelen "γ". Deretter kan arealformelen skrives om som følger:
60 = ½ a * 15 * synd 30º. Her er sinusen på 30 grader 0,5.
Etter transformasjoner viser "a" seg å være lik 60 / (0,5 * 0,5 * 15). Altså 16.
Svar. Den nødvendige siden er 16 cm.
Oppgave om et kvadrat innskrevet i en rettvinklet trekant
Betingelse. Toppunktet til en firkant med en side på 24 cm faller sammen med den rette vinkelen til trekanten. De to andre ligger på sidene. Den tredje tilhører hypotenusen. Lengden på det ene bena er 42 cm. Hva er arealet av den rette trekanten?
Løsning. Tenk på to rette trekanter. Den første er den som er spesifisert i oppgaven. Den andre er basert på den kjente delen av den opprinnelige trekanten. De er like fordi de har en felles vinkel og er dannet av parallelle linjer.
Da er forholdet mellom bena deres like. Benene til den mindre trekanten er lik 24 cm (siden av kvadratet) og 18 cm (gitt ben 42 cm trekker siden av kvadratet 24 cm). De tilsvarende bena til en stor trekant er 42 cm og x cm. Det er denne "x" som trengs for å beregne arealet av trekanten.
18/42 = 24/x, det vil si x = 24 * 42 / 18 = 56 (cm).
Da er arealet lik produktet av 56 og 42 delt på to, det vil si 1176 cm 2.
Svar. Det nødvendige arealet er 1176 cm 2.
Laster inn...