Să lucrăm cu ecuații pătratice... Acestea sunt ecuații foarte populare! În forma sa cea mai generală, ecuația pătratică arată astfel:
De exemplu:
Aici A =1; b = 3; c = -4
Aici A =2; b = -0,5; c = 2,2
Aici A =-3; b = 6; c = -18
Ei bine, ai ideea ...
Cum se rezolvă ecuațiile pătratice? Dacă aveți o ecuație pătratică în această formă, atunci totul este deja simplu. Amintindu-mi cuvântul magic discriminant ... Un rar elev de liceu nu a auzit acest cuvânt! Expresia „a decide prin discriminare” este liniștitoare și liniștitoare. Pentru că nu este nevoie să aștepți trucuri murdare de la discriminant! Este simplu și fără probleme de utilizat. Deci, formula pentru găsirea rădăcinilor unei ecuații pătratice arată astfel:
Expresia de sub semnul rădăcină este aceeași discriminant... După cum puteți vedea, pentru a găsi x, folosim numai a, b și c... Acestea. coeficienți din ecuația pătratică. Doar înlocuiți cu atenție valorile a, b și cîn această formulă și numără. Substitui cu semnele tale! De exemplu, pentru prima ecuație A =1; b = 3; c= -4. Deci notăm:
Exemplul este aproape rezolvat:
Asta e tot.
Ce cazuri sunt posibile atunci când se utilizează această formulă? Există doar trei cazuri.
1. Discriminantul este pozitiv. Aceasta înseamnă că puteți extrage rădăcina din ea. O rădăcină bună este extrasă sau rea - o altă întrebare. Este important ceea ce se extrage în principiu. Atunci ecuația ta pătratică are două rădăcini. Două soluții diferite.
2. Discriminantul este zero. Atunci ai o singură soluție. Strict vorbind, aceasta nu este o singură rădăcină, ci două identice... Dar acest lucru joacă un rol în inegalități, acolo vom studia problema mai detaliat.
3. Discriminantul este negativ. Nici o rădăcină pătrată nu este extrasă dintr-un număr negativ. Ei bine, bine. Aceasta înseamnă că nu există soluții.
Totul este foarte simplu. Și ce credeți că este imposibil să vă înșelați? Ei bine, da, cum ...
Cele mai frecvente greșeli sunt confuzia cu semnele de semnificație. a, b și c... Mai degrabă nu cu semnele lor (unde să vă confundați?), Ci cu înlocuirea valorilor negative din formula de calcul a rădăcinilor. Aici se salvează o notație detaliată a formulei cu numere specifice. Dacă există probleme de calcul, face acest lucru!
Să presupunem că trebuie să rezolvați acest exemplu:
Aici a = -6; b = -5; c = -1
Să presupunem că știi că rareori primești răspunsuri prima dată.
Ei bine, nu fi leneș. Va dura 30 de secunde pentru a scrie o linie suplimentară. Și numărul de erori va scădea brusc... Așa că scriem în detaliu, cu toate parantezele și semnele:
Pare incredibil de dificil să pictezi atât de atent. Dar pare doar să fie. Incearca-l. Ei bine, sau alegeți. Care este mai bun, rapid sau corect? În plus, te voi face fericit. După un timp, nu va mai fi nevoie să pictezi totul atât de atent. Va funcționa chiar de la sine. Mai ales dacă utilizați tehnicile practice descrise mai jos. Acest exemplu rău cu o grămadă de dezavantaje poate fi rezolvat cu ușurință și fără erori!
Asa de, cum se rezolvă ecuațiile pătratice ne-am amintit prin discriminant. Sau învățat, ceea ce, de asemenea, nu este rău. Știți cum să identificați corect a, b și c... Știi cum atentînlocuiți-le în formula rădăcinii și atent citiți rezultatul. Ai ideea că aici este cuvântul cheie atent?
Cu toate acestea, ecuațiile pătratice arată adesea ușor diferite. De exemplu, astfel:
aceasta ecuații pătratice incomplete ... Ele pot fi rezolvate și prin discriminare. Trebuie doar să vă dați seama corect cu ce sunt egali a, b și c.
V-ați dat seama? În primul exemplu a = 1; b = -4; A c? Nu este deloc acolo! Ei bine, da, așa este. În matematică, asta înseamnă că c = 0 ! Asta e tot. Înlocuiți zero în formulă în loc de c,și vom reuși. Același lucru este cu al doilea exemplu. Doar zero nu avem aici cu, A b !
Dar ecuațiile pătratice incomplete pot fi rezolvate mult mai ușor. Fără niciun discriminant. Luați în considerare prima ecuație incompletă. Ce poți face acolo în partea stângă? Puteți scoate xul dintre paranteze! Să o scoatem.
Și ce se întâmplă? Și faptul că produsul este egal cu zero dacă și numai dacă, atunci când oricare dintre factori este egal cu zero! Nu mă crede? Ei bine, atunci gândiți-vă la două numere diferite de zero care, atunci când sunt multiplicate, vor da zero!
Nu funcționează? Asta e ...
Prin urmare, putem scrie cu încredere: x = 0, sau x = 4
Tot. Acestea vor fi rădăcinile ecuației noastre. Ambele se potrivesc. Când substituim oricare dintre ele în ecuația originală, obținem identitatea corectă 0 = 0. După cum puteți vedea, soluția este mult mai simplă decât prin discriminant.
A doua ecuație poate fi, de asemenea, rezolvată simplu. Mutați 9 în partea dreaptă. Primim:
Rămâne să extrageți rădăcina din 9 și atât. Se va dovedi:
De asemenea, două rădăcini ... x = +3 și x = -3.
Așa se rezolvă toate ecuațiile pătratice incomplete. Fie prin plasarea x-ului între paranteze, fie prin simpla mutare a numărului spre dreapta și apoi extragerea rădăcinii.
Este extrem de dificil să confundăm aceste tehnici. Pur și simplu pentru că, în primul caz, va trebui să extrageți rădăcina din x, ceea ce este cumva de neînțeles, iar în al doilea caz nu există nimic de pus din paranteze ...
Deocamdată, luați notă de cele mai bune practici care vor reduce drastic erorile. Cei care se datorează neatenției ... Pentru care apoi doare și insultă ...
Prima recepție... Nu fi leneș să-l aduci la forma standard înainte de a rezolva ecuația pătratică. Ce inseamna asta?
Să presupunem că, după câteva transformări, ați obținut următoarea ecuație:
Nu vă grăbiți să scrieți formula rădăcină! Aproape sigur veți amesteca șansele. a, b și c. Construiți exemplul corect. În primul rând, X este pătrat, apoi fără pătrat, apoi membrul liber. Asa:
Și din nou, nu vă grăbiți! Minusul din fața x-ului în pătrat te poate întrista cu adevărat. Este ușor să o uiți ... Scapă de minus. Cum? Da, așa cum a fost predat în subiectul anterior! Trebuie să înmulțiți întreaga ecuație cu -1. Primim:
Dar acum puteți scrie în siguranță formula rădăcinilor, calculați discriminantul și completați exemplul. Fă-o singur. Ar trebui să aveți rădăcinile 2 și -1.
Primirea celui de-al doilea. Verificați rădăcinile! Prin teorema lui Vieta. Nu vă alarmați, vă voi explica totul! Control ultimul lucru ecuația. Acestea. cel prin care am notat formula rădăcinilor. Dacă (ca în acest exemplu) coeficientul a = 1, verificarea rădăcinilor este ușoară. Este suficient să le înmulțiți. Ar trebui să obțineți un membru gratuit, adică în cazul nostru, -2. Fii atent, nu 2, ci -2! Membru gratuit cu semnul meu
... Dacă nu a funcționat, atunci este deja înșelat undeva. Căutați o eroare. Dacă funcționează, trebuie să pliați rădăcinile. Ultima și ultima verificare. Ar trebui să obțineți un coeficient b cu opus
familiar. În cazul nostru, -1 + 2 = +1. Și coeficientul b care este înainte de x este -1. Deci, totul este corect!
Este păcat că acest lucru este atât de simplu doar pentru exemple în care x pătratul este pur, cu un coeficient a = 1. Dar cel puțin în astfel de ecuații, verificați! Vor fi mai puține greșeli.
Primirea a treia... Dacă ecuația dvs. are coeficienți fracționari, scăpați de fracțiuni! Înmulțiți ecuația cu numitorul comun așa cum este descris în secțiunea anterioară. Când lucrați cu fracții, dintr-un anumit motiv, erorile tind să apară ...
Apropo, am promis că voi simplifica exemplul rău cu o grămadă de contra. Vă rog! Iată-l.
Pentru a nu ne confunda în minusuri, înmulțim ecuația cu -1. Primim:
Asta e tot! Este o plăcere să decid!
Deci, pentru a rezuma subiectul.
Sfaturi practice:
1. Înainte de rezolvare, aducem ecuația pătratică la forma standard, construim-o dreapta.
2. Dacă există un coeficient negativ în fața lui x în pătrat, îl eliminăm înmulțind întreaga ecuație cu -1.
3. Dacă coeficienții sunt fracționari, eliminăm fracțiile înmulțind întreaga ecuație cu factorul corespunzător.
4. Dacă x pătrat este pur, coeficientul la acesta este egal cu unul, soluția poate fi ușor verificată prin teorema lui Vieta. Fă-o!
Ecuații fracționare. ODZ.
Continuăm să stăpânim ecuațiile. Știm deja cum să lucrăm cu ecuații liniare și pătratice. Ultimul aspect rămâne - ecuații fracționare... Sau sunt, de asemenea, numite mult mai solid - ecuații raționale fracționate... Asta e lafel.
Ecuații fracționare.
După cum sugerează și numele, fracțiile sunt întotdeauna prezente în aceste ecuații. Dar nu doar fracțiile, ci fracțiile care au necunoscut la numitor... Cel puțin unul. De exemplu:
Permiteți-mi să vă reamintesc că dacă numitorii conțin numai numerele, acestea sunt ecuații liniare.
Cum să rezolve ecuații fracționare? În primul rând, scăpați de fracțiuni! După aceea, ecuația, cel mai adesea, se transformă în liniară sau pătratică. Și apoi știm ce să facem ... În unele cazuri, se poate transforma într-o identitate, cum ar fi 5 = 5, sau o expresie incorectă, cum ar fi 7 = 2. Dar acest lucru se întâmplă rar. Voi menționa acest lucru mai jos.
Dar cum să scapi de fracțiuni!? Foarte simplu. Aplicând toate aceleași transformări identice.
Trebuie să înmulțim întreaga ecuație cu aceeași expresie. Pentru ca toți numitorii să fie reduși! Totul va deveni mai ușor deodată. Lasă-mă să explic cu un exemplu. Să presupunem că trebuie să rezolvăm ecuația:
Cum ai predat în clasele inferioare? Transferăm totul într-o singură direcție, aducem la un numitor comun etc. Uită-l ca un vis urât! Acest lucru ar trebui făcut atunci când adăugați sau scădeți expresii fracționate. Sau lucrul cu inegalități. Și în ecuații, înmulțim imediat ambele părți cu o expresie care ne va oferi posibilitatea de a reduce toți numitorii (adică, în esență, cu un numitor comun). Și ce este această expresie?
În partea stângă, pentru a anula numitorul, înmulțiți cu x + 2... Și în dreapta este necesară înmulțirea cu 2. Prin urmare, ecuația trebuie înmulțită cu 2 (x + 2)... Înmulțim:
Aceasta este înmulțirea obișnuită a fracțiilor, dar o voi scrie în detaliu:
Vă rugăm să rețineți că încă nu extind parantezele. (x + 2)! Deci, în întregime, îl scriu:
În partea stângă, este redus complet (x + 2), și în dreapta 2. Care este necesar! După reducere, obținem liniar ecuația:
Și toată lumea va rezolva această ecuație! x = 2.
Să rezolvăm încă un exemplu, puțin mai complicat:
Dacă ne amintim că 3 = 3/1, și 2x = 2x / 1, puteți scrie:
Și din nou scăpăm de ceea ce nu ne place cu adevărat - fracțiunile.
Vedem că pentru a anula numitorul cu x, trebuie să înmulțiți fracția cu (x - 2)... Câteva nu sunt o piedică pentru noi. Ei bine, ne înmulțim. Întregul partea stângă și întregul partea dreapta:
Din nou paranteze (x - 2) Nu dezvălui. Lucrez cu parantezele în ansamblu, de parcă ar fi un singur număr! Acest lucru trebuie făcut întotdeauna, altfel nimic nu va fi redus.
Cu un sentiment de satisfacție profundă, am tăiat (x - 2)și obținem ecuația fără fracțiuni, într-o riglă!
Și acum deschidem parantezele:
Oferim altele similare, transferăm totul în partea stângă și obținem:
Ecuația pătratică clasică. Dar minusul din față nu este bun. Puteți oricând să scăpați de el, multiplicând sau împărțind la -1. Dar dacă priviți cu atenție exemplul, veți observa că cel mai bine este să împărțiți această ecuație la -2! Dintr-o singură lovitură, minusul va dispărea, iar șansele vor deveni mai frumoase! Împarte la -2. În stânga - termen cu termen, iar în dreapta - pur și simplu împărțiți zero la -2, zero și obțineți:
Rezolvăm prin discriminant și verificăm prin teorema lui Vieta. Primim x = 1 și x = 3... Două rădăcini.
După cum puteți vedea, în primul caz, ecuația de după transformare a devenit liniară, dar aici este pătratică. Se întâmplă că după ce scapi de fracțiuni, toate x-urile sunt reduse. Rămâne ceva de genul 5 = 5. Înseamnă că x poate fi oricare... Orice ar fi, se va micșora totuși. Și obțineți adevărul cinstit, 5 = 5. Dar, după ce a scăpat de fracțiuni, se poate dovedi complet neadevărat, cum ar fi 2 = 7. Aceasta înseamnă că fără soluții! Cu orice x, se dovedește a fi neadevărat.
Am realizat soluția principală ecuații fracționare? Este simplu și logic. Schimbăm expresia originală astfel încât orice nu ne place să dispară. Sau interferează. În acest caz, acestea sunt fracțiuni. Vom face același lucru cu tot felul de exemple complexe cu logaritmi, sinusuri și alte orori. Noi mereu vom scăpa de toate acestea.
Cu toate acestea, trebuie să schimbăm expresia originală în direcția de care avem nevoie. conform regulilor, da ... Stăpânirea care este pregătirea pentru examenul de matematică. Așa că o stăpânim.
Acum vom învăța cum să ocolim unul dintre ambuscade principale la examen! Dar mai întâi, să vedem dacă intrați în ea, sau nu?
Să vedem un exemplu simplu:
Problema este deja familiară, înmulțim ambele părți cu (x - 2), primim:
Vă reamintesc, cu paranteze (x - 2) lucrăm ca la o singură expresie!
Aici nu mai am scris 1 în numitori, este nedemn ... Și nu am desenat paranteze în numitori, cu excepția x - 2 nu este nimic, nu trebuie să desenezi. Scurtăm:
Deschidem parantezele, mutăm totul spre stânga, oferim altele similare:
Rezolvăm, verificăm, obținem două rădăcini. x = 2și x = 3... Amenda.
Să presupunem că sarcina spune să scrieți rădăcina sau suma lor, dacă există mai multe rădăcini. Ce vom scrie?
Dacă decideți că răspunsul este 5, voi au fost pândiți... Și sarcina nu va fi luată în calcul pentru dvs. Au lucrat degeaba ... Răspuns corect 3.
Ce s-a întâmplat?! Și încercați să faceți un cec. Înlocuiți valorile necunoscutului în original exemplu. Și dacă la x = 3 totul va crește împreună minunat cu noi, obținem 9 = 9, apoi cu x = 2 impartirea cu zero! Ce nu se poate face categoric. Mijloace x = 2 nu este o soluție și nu este luat în considerare în răspuns. Aceasta este așa-numita rădăcină străină sau suplimentară. Doar îl lăsăm. Rădăcina finală este una. x = 3.
Cum așa ?! - Aud exclamații revoltate. Am fost învățați că o ecuație poate fi înmulțită cu o expresie! Aceasta este o transformare identică!
Da, identic. Cu o condiție mică - expresia prin care înmulțim (împărțim) - nenul... A x - 2 la x = 2 este egal cu zero! Deci totul este corect.
Și acum ce pot face ?! Nu vă înmulțiți prin expresie? Trebuie să verificați de fiecare dată? Din nou, nu este clar!
Calm! Nu vă panicați!
În această situație dificilă, trei litere magice ne vor salva. Știu la ce te gândești. Dreapta! aceasta ODZ ... Gama de valori permise.
Cu acest program de matematică, puteți rezolvați ecuația pătratică.
Programul nu numai că oferă răspunsul la problemă, dar afișează și procesul de soluționare în două moduri:
- folosind discriminantul
- folosind teorema lui Vieta (dacă este posibil).
Mai mult, răspunsul este afișat corect, nu aproximativ.
De exemplu, pentru ecuația \ (81x ^ 2-16x-1 = 0 \), răspunsul este afișat în acest formular:
Acest program poate fi util pentru elevii seniori ai școlilor secundare în pregătirea testelor și examenelor, atunci când verifică cunoștințele înainte de examen, pentru ca părinții să controleze rezolvarea multor probleme din matematică și algebră. Sau poate este prea scump pentru tine să angajezi un tutor sau să cumperi manuale noi? Sau vrei doar să-ți faci temele de matematică sau algebră cât mai repede posibil? În acest caz, puteți utiliza și programele noastre cu o soluție detaliată.
În acest fel, vă puteți conduce propria învățătură și / sau vă puteți învăța frații sau surorile mai mici, în timp ce crește nivelul de educație în domeniul problemelor rezolvate.
Dacă nu sunteți familiarizați cu regulile pentru introducerea unui polinom pătrat, vă recomandăm să vă familiarizați cu ele.
Reguli pentru introducerea unui polinom pătrat
Orice literă latină poate fi utilizată ca variabilă.
De exemplu: \ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \) etc.
Numerele pot fi introduse ca numere întregi sau fracționate.
Mai mult, numerele fracționare pot fi introduse nu numai sub forma unei zecimale, ci și sub forma unei fracții obișnuite.
Reguli pentru introducerea fracțiilor zecimale.
În fracții zecimale, partea fracțională de întreg poate fi separată fie printr-un punct, fie printr-o virgulă.
De exemplu, puteți introduce zecimale astfel: 2,5x - 3,5x ^ 2
Reguli pentru introducerea fracțiilor obișnuite.
Numărul întreg poate fi folosit ca numărător, numitor și parte întreagă a unei fracții.
Numitorul nu poate fi negativ.
Când introduceți o fracție numerică, numeratorul este separat de numitor printr-un semn de diviziune: /
Întreaga parte este separată de fracțiune printr-un șir: &
Intrare: 3 & 1/3 - 5 & 6 / 5z + 1 / 7z ^ 2
Rezultat: \ (3 \ frac (1) (3) - 5 \ frac (6) (5) z + \ frac (1) (7) z ^ 2 \)
Când introduceți o expresie pot fi folosite paranteze... În acest caz, la rezolvarea unei ecuații pătratice, expresia introdusă este mai întâi simplificată.
De exemplu: 1/2 (y-1) (y + 1) - (5y-10 și 1/2)
Decide
S-a constatat că unele scripturi necesare pentru rezolvarea acestei probleme nu au fost încărcate și este posibil ca programul să nu funcționeze.
Poate că aveți activat AdBlock.
În acest caz, dezactivați-l și reîmprospătați pagina.
Pentru ca soluția să apară, trebuie să activați JavaScript.
Iată instrucțiuni despre cum să activați JavaScript în browserul dvs.
pentru că Există o mulțime de oameni care doresc să rezolve problema, solicitarea dvs. este la coadă.
După câteva secunde, soluția va apărea mai jos.
Asteapta te rog sec ...
daca tu a observat o eroare în decizie, atunci puteți scrie despre aceasta în Formularul de feedback.
Nu uita indicați ce sarcină tu decizi și ce intra în câmpuri.
Jocurile noastre, puzzle-uri, emulatoare:
Un pic de teorie.
Ecuația pătratică și rădăcinile ei. Ecuații pătratice incomplete
Fiecare dintre ecuații
\ (- x ^ 2 + 6x + 1,4 = 0, \ quad 8x ^ 2-7x = 0, \ quad x ^ 2- \ frac (4) (9) = 0 \)
are forma
\ (ax ^ 2 + bx + c = 0, \)
unde x este o variabilă, a, b și c sunt numere.
În prima ecuație a = -1, b = 6 și c = 1.4, în a doua a = 8, b = -7 și c = 0, în a treia a = 1, b = 0 și c = 4/9. Astfel de ecuații se numesc ecuații pătratice.
Definiție.
Ecuația pătratică este o ecuație de forma ax 2 + bx + c = 0, unde x este o variabilă, a, b și c sunt niște numere și \ (a \ neq 0 \).
Numerele a, b și c sunt coeficienții ecuației pătratice. Numărul a se numește primul coeficient, numărul b - al doilea coeficient, iar numărul c - termenul liber.
În fiecare dintre ecuațiile formei ax 2 + bx + c = 0, unde \ (a \ neq 0 \), cea mai mare putere a variabilei x este pătratul. De aici și numele: ecuație pătratică.
Rețineți că o ecuație pătratică este, de asemenea, numită ecuație de gradul al doilea, deoarece latura sa stângă este un polinom de gradul al doilea.
Se numește o ecuație pătratică în care coeficientul la x 2 este 1 ecuație pătratică redusă... De exemplu, ecuațiile pătratice reduse sunt ecuațiile
\ (x ^ 2-11x + 30 = 0, \ quad x ^ 2-6x = 0, \ quad x ^ 2-8 = 0 \)
Dacă în ecuația pătratică ax 2 + bx + c = 0 cel puțin unul dintre coeficienții b sau c este egal cu zero, atunci o astfel de ecuație se numește ecuație pătratică incompletă... Deci, ecuațiile -2x 2 + 7 = 0, 3x 2 -10x = 0, -4x 2 = 0 sunt ecuații pătratice incomplete. În prima dintre ele b = 0, în a doua c = 0, în a treia b = 0 și c = 0.
Ecuațiile pătratice incomplete sunt de trei tipuri:
1) ax 2 + c = 0, unde \ (c \ neq 0 \);
2) ax 2 + bx = 0, unde \ (b \ neq 0 \);
3) toporul 2 = 0.
Să luăm în considerare soluția ecuațiilor fiecăruia dintre aceste tipuri.
Pentru a rezolva o ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 + c = 0 pentru \ (c \ neq 0 \), transferați termenul liber pe partea dreaptă și împărțiți ambele părți ale ecuației cu a:
\ (x ^ 2 = - \ frac (c) (a) \ Rightarrow x_ (1,2) = \ pm \ sqrt (- \ frac (c) (a)) \)
Deoarece \ (c \ neq 0 \), atunci \ (- \ frac (c) (a) \ neq 0 \)
Dacă \ (- \ frac (c) (a)> 0 \), atunci ecuația are două rădăcini.
Dacă \ (- \ frac (c) (a) Pentru a rezolva o ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 + bx = 0 cu \ (b \ neq 0 \), factorii părții sale stângi sunt factori și se obține ecuația
\ (x (ax + b) = 0 \ Rightarrow \ left \ (\ begin (array) (l) x = 0 \\ ax + b = 0 \ end (array) \ right. \ Rightarrow \ left \ (\ begin (matrice) (l) x = 0 \\ x = - \ frac (b) (a) \ end (matrice) \ dreapta. \)
Prin urmare, o ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 + bx = 0 pentru \ (b \ neq 0 \) are întotdeauna două rădăcini.
O ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 = 0 este echivalentă cu ecuația x 2 = 0 și, prin urmare, are o rădăcină unică 0.
Formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice
Să analizăm acum cum sunt rezolvate ecuațiile pătratice în care atât coeficienții necunoscutelor, cât și termenul liber sunt nenule.
Să rezolvăm ecuația pătratică în formă generală și, ca rezultat, obținem formula pentru rădăcini. Apoi, această formulă poate fi aplicată pentru a rezolva orice ecuație pătratică.
Rezolvați ecuația pătratică ax 2 + bx + c = 0
Împărțind ambele părți ale sale cu a, obținem ecuația pătratică redusă echivalentă
\ (x ^ 2 + \ frac (b) (a) x + \ frac (c) (a) = 0 \)
Transformăm această ecuație selectând pătratul binomului:
\ (x ^ 2 + 2x \ cdot \ frac (b) (2a) + \ left (\ frac (b) (2a) \ right) ^ 2- \ left (\ frac (b) (2a) \ right) ^ 2 + \ frac (c) (a) = 0 \ Rightarrow \)
Expresia radicală se numește discriminantul ecuației pătratice ax 2 + bx + c = 0 (latina „discriminant” este un discriminator). Este desemnat prin litera D, adică
\ (D = b ^ 2-4ac \)
Acum, folosind notația discriminantului, rescriem formula pentru rădăcinile ecuației pătratice:
\ (x_ (1,2) = \ frac (-b \ pm \ sqrt (D)) (2a) \), unde \ (D = b ^ 2-4ac \)
Este evident că:
1) Dacă D> 0, atunci ecuația pătratică are două rădăcini.
2) Dacă D = 0, atunci ecuația pătratică are o rădăcină \ (x = - \ frac (b) (2a) \).
3) Dacă D Astfel, în funcție de valoarea discriminantului, ecuația pătratică poate avea două rădăcini (pentru D> 0), o rădăcină (pentru D = 0) sau să nu aibă rădăcini (pentru D Când rezolvați o ecuație pătratică utilizând acest lucru formula, este recomandabil să procedați după cum urmează:
1) calculați discriminantul și comparați-l cu zero;
2) dacă discriminantul este pozitiv sau egal cu zero, atunci utilizați formula rădăcină, dacă discriminantul este negativ, atunci scrieți că nu există rădăcini.
Teorema lui Vieta
Ecuația pătratică dată ax 2 -7x + 10 = 0 are rădăcinile 2 și 5. Suma rădăcinilor este 7, iar produsul este 10. Vedem că suma rădăcinilor este egală cu al doilea coeficient luat cu opusul semn, iar produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber. Orice ecuație pătratică dată care are rădăcini are această proprietate.
Suma rădăcinilor ecuației pătratice date este egală cu al doilea coeficient, luat cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber.
Acestea. Teorema lui Vieta afirmă că rădăcinile x 1 și x 2 ale ecuației pătratice reduse x 2 + px + q = 0 au proprietatea:
\ (\ left \ (\ begin (array) (l) x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \ cdot x_2 = q \ end (array) \ right. \)
Ecuațiile pătratice apar adesea la rezolvarea diferitelor probleme din fizică și matematică. În acest articol vom analiza cum să rezolvăm aceste egalități într-un mod universal „prin discriminare”. Exemple de utilizare a cunoștințelor dobândite sunt, de asemenea, date în articol.
Despre ce ecuații vorbim?
Figura de mai jos prezintă o formulă în care x este o variabilă necunoscută și simbolurile latine a, b, c reprezintă câteva numere cunoscute.
Fiecare dintre aceste simboluri se numește coeficient. După cum puteți vedea, numărul "a" este în fața variabilei pătrate x. Aceasta este puterea maximă a expresiei prezentate, motiv pentru care se numește ecuație pătratică. Celălalt nume al său este adesea folosit: ecuația de ordinul doi. Valoarea a în sine este coeficientul pătrat (reprezentând variabila pătrată), b este coeficientul liniar (este lângă variabila ridicată la prima putere) și, în cele din urmă, numărul c este termenul liber.
Rețineți că forma ecuației prezentată în figura de mai sus este o expresie pătrată clasică obișnuită. În plus față de acesta, există și alte ecuații de ordinul doi în care coeficienții b, c pot fi zero.
Când problema este pusă pentru a rezolva egalitatea considerată, aceasta înseamnă că trebuie găsite astfel de valori ale variabilei x care să o satisfacă. Aici, primul lucru de reținut este următorul lucru: deoarece gradul maxim de x este 2, atunci acest tip de expresie nu poate avea mai mult de 2 soluții. Aceasta înseamnă că, dacă, la rezolvarea ecuației, s-au găsit 2 valori ale lui x care o satisfac, atunci puteți fi sigur că nu există un al treilea număr, înlocuind care în loc de x, egalitatea ar fi, de asemenea, adevărată. Soluțiile la o ecuație în matematică se numesc rădăcini.
Metode de rezolvare a ecuațiilor de ordinul doi
Rezolvarea ecuațiilor de acest tip necesită cunoașterea unor teorii despre ele. În cadrul cursului de algebră școlară, sunt luate în considerare 4 metode diferite de rezolvare. Să le enumerăm:
- folosirea factorizării;
- folosind formula pentru un pătrat complet;
- prin aplicarea graficului funcției pătratice corespunzătoare;
- folosind ecuația discriminantă.
Avantajul primei metode constă în simplitatea sa, cu toate acestea, ea nu poate fi aplicată tuturor ecuațiilor. A doua metodă este universală, dar oarecum greoaie. A treia metodă se remarcă prin claritate, dar nu este întotdeauna convenabilă și aplicabilă. Și, în cele din urmă, utilizarea ecuației discriminante este un mod universal și destul de simplu de a găsi rădăcinile absolut oricărei ecuații de ordinul doi. Prin urmare, în articol îl vom lua în considerare doar.
Formula pentru obținerea rădăcinilor ecuației
Să trecem la forma generală a ecuației pătratice. Să o scriem: a * x² + b * x + c = 0. Înainte de a utiliza metoda de rezolvare „prin discriminant”, egalitatea trebuie redusă întotdeauna la forma scrisă. Adică, trebuie să fie format din trei termeni (sau mai puțin dacă b sau c este 0).
De exemplu, dacă există o expresie: x²-9 * x + 8 = -5 * x + 7 * x², atunci trebuie mai întâi să mutați toți termenii săi pe o parte a egalității și să adăugați termenii care conțin variabila x în aceleași puteri.
În acest caz, această operațiune va conduce la următoarea expresie: -6 * x²-4 * x + 8 = 0, care este echivalentă cu ecuația 6 * x² + 4 * x-8 = 0 (aici am înmulțit stânga și laturile drepte ale egalității cu -1) ...
În exemplul de mai sus, a = 6, b = 4, c = -8. Rețineți că toți termenii egalității luate în considerare sunt întotdeauna însumați între ei, așa că, dacă apare semnul "-", înseamnă că coeficientul corespunzător este negativ, la fel ca numărul c în acest caz.
După ce am examinat acest punct, ne întoarcem acum la formula în sine, care face posibilă obținerea rădăcinilor unei ecuații pătratice. Are forma prezentată în fotografia de mai jos.
După cum puteți vedea din această expresie, vă permite să obțineți două rădăcini (ar trebui să acordați atenție semnului „±”). Pentru a face acest lucru, este suficient să înlocuiți coeficienții b, c și a în acesta.
Concept discriminant
În paragraful anterior, a fost dată o formulă care vă permite să rezolvați rapid orice ecuație de ordinul doi. În ea, expresia radicală se numește discriminant, adică D = b²-4 * a * c.
De ce este evidențiată această parte a formulei și are chiar și propriul său nume? Faptul este că discriminantul conectează toți cei trei coeficienți ai ecuației într-o singură expresie. Ultimul fapt înseamnă că poartă pe deplin informații despre rădăcini, care pot fi exprimate în următoarea listă:
- D> 0: egalitatea are 2 soluții diferite, ambele fiind numere reale.
- D = 0: ecuația are o singură rădăcină și este un număr real.
Sarcina de a determina discriminantul
Să dăm un exemplu simplu de găsire a discriminantului. Să se dea următoarea egalitate: 2 * x² - 4 + 5 * x-9 * x² = 3 * x-5 * x² + 7.
O aducem la formularul standard, obținem: (2 * x²-9 * x² + 5 * x²) + (5 * x-3 * x) + (- 4-7) = 0, de unde ajungem la egalitate : -2 * x² + 2 * x-11 = 0. Aici a = -2, b = 2, c = -11.
Acum puteți utiliza formula numită pentru discriminant: D = 2² - 4 * (- 2) * (- 11) = -84. Numărul rezultat este răspunsul la sarcină. Deoarece discriminantul din exemplu este mai mic decât zero, atunci putem spune că această ecuație pătratică nu are rădăcini reale. Numai numerele complexe vor fi soluția sa.
Un exemplu de inegalitate prin discriminare
Să rezolvăm probleme de tip ușor diferit: dată fiind egalitatea -3 * x²-6 * x + c = 0. Este necesar să găsim astfel de valori ale lui c pentru care D> 0.
În acest caz, sunt cunoscuți doar 2 din 3 coeficienți, deci nu va fi posibil să se calculeze valoarea exactă a discriminantului, dar se știe că este pozitiv. Folosim ultimul fapt la elaborarea inegalității: D = (-6) ²-4 * (- 3) * c> 0 => 36 + 12 * c> 0. Soluția inegalității obținute duce la rezultatul: c> -3.
Să verificăm numărul primit. Pentru a face acest lucru, calculați D pentru 2 cazuri: c = -2 și c = -4. Numărul -2 satisface rezultatul obținut (-2> -3), discriminantul corespunzător va avea valoarea: D = 12> 0. La rândul său, numărul -4 nu satisface inegalitatea (-4 Astfel, orice număr c mai mare de -3 va satisface condiția.
Un exemplu de rezolvare a unei ecuații
Să prezentăm o problemă, care constă nu numai în găsirea discriminantului, ci și în rezolvarea ecuației. Trebuie să găsiți rădăcinile egalității -2 * x² + 7-9 * x = 0.
În acest exemplu, discriminantul este egal cu următoarea valoare: D = 81-4 * (- 2) * 7 = 137. Atunci rădăcinile ecuației sunt definite după cum urmează: x = (9 ± √137) / (- 4). Acestea sunt valorile exacte ale rădăcinilor, dacă calculați rădăcina aproximativă, atunci veți obține numerele: x = -5.176 și x = 0.676.
Problemă geometrică
Să rezolvăm o problemă care va necesita nu numai capacitatea de a calcula discriminantul, ci și utilizarea abilităților de gândire abstractă și cunoașterea modului de a face ecuații pătratice.
Bob avea o plapumă de 5 x 4 metri. Băiatul voia să coasă o bandă continuă de țesătură frumoasă în jurul perimetrului. Cât de groasă va fi această bandă dacă se știe că Bob are 10 m² de țesătură.
Lăsați banda să aibă o grosime de xm, atunci zona țesăturii de-a lungul părții lungi a păturii va fi (5 + 2 * x) * x și, deoarece există 2 laturi lungi, avem: 2 * x * (5 + 2 * x). Pe partea scurtă, zona țesăturii cusute va fi de 4 * x, deoarece există 2 dintre aceste fețe, obținem valoarea 8 * x. Rețineți că 2 * x a fost adăugat la partea lungă, deoarece lungimea păturii a crescut cu acest număr. Suprafața totală a țesăturii cusute pe pătură este de 10 m². Prin urmare, obținem egalitate: 2 * x * (5 + 2 * x) + 8 * x = 10 => 4 * x² + 18 * x-10 = 0.
Pentru acest exemplu, discriminantul este: D = 18²-4 * 4 * (- 10) = 484. Rădăcina sa este 22. Folosind formula, găsim rădăcinile necesare: x = (-18 ± 22) / (2 * 4) = (- 5; 0,5). Evident, dintre cele două rădăcini, numai numărul 0,5 este potrivit prin afirmația problemei.
Astfel, fâșia de țesătură pe care Bob o va coase pe pătură va avea o lățime de 50 cm.
Într-un mod mai simplu. Pentru a face acest lucru, scoateți z din paranteze. Veți primi: z (аz + b) = 0. Factorii se pot scrie: z = 0 și аz + b = 0, deoarece ambele pot avea ca rezultat zero. În notația az + b = 0, o mutăm pe a doua spre dreapta cu un semn diferit. Prin urmare, obținem z1 = 0 și z2 = -b / a. Acestea sunt rădăcinile originalului.
Dacă există o ecuație incompletă de forma аz² + с = 0, în acest caz ele se găsesc prin simpla transferare a termenului liber în partea dreaptă a ecuației. De asemenea, schimbați semnul atunci când faceți acest lucru. Rezultatul va fi az² = -с. Exprimați z² = -c / a. Luați rădăcina și notați două soluții - rădăcină pătrată pozitivă și negativă.
Notă
Dacă există coeficienți fracționari în ecuație, înmulțiți întreaga ecuație cu factorul corespunzător, astfel încât să scăpați de fracții.
Cunoașterea modului de rezolvare a ecuațiilor pătratice este necesară atât pentru școlari, cât și pentru elevi, uneori poate ajuta și un adult în viața de zi cu zi. Există mai multe metode specifice de soluție.
Rezolvarea ecuațiilor pătratice
O ecuație pătratică de forma a * x ^ 2 + b * x + c = 0. Coeficientul x este variabila dorită, a, b, c sunt coeficienți numerici. Rețineți că semnul „+” se poate transforma într-un semn „-”.Pentru a rezolva această ecuație, este necesar să folosiți teorema lui Vieta sau să găsiți discriminantul. Cel mai comun mod este de a găsi discriminantul, deoarece pentru unele valori ale lui a, b, c nu este posibil să se utilizeze teorema lui Vieta.
Pentru a găsi discriminantul (D), trebuie să scrieți formula D = b ^ 2 - 4 * a * c. Valoarea D poate fi mai mare decât, mai mică sau egală cu zero. Dacă D este mai mare sau mai mic decât zero, atunci vor exista două rădăcini, dacă D = 0, atunci rămâne doar o rădăcină, mai precis, putem spune că D are în acest caz două rădăcini echivalente. Conectați coeficienții cunoscuți a, b, c în formulă și calculați valoarea.
După ce ați găsit discriminantul, pentru a găsi x, utilizați formulele: x (1) = (- b + sqrt (D)) / 2 * a; x (2) = (- b-sqrt (D)) / 2 * a, unde sqrt este o funcție de extragere a rădăcinii pătrate a unui număr dat. Calculând aceste expresii, veți găsi două rădăcini ale ecuației dvs., după care ecuația este considerată rezolvată.
Dacă D este mai mic decât zero, atunci are încă rădăcini. La școală, această secțiune nu este practic studiată. Studenții universitari ar trebui să fie conștienți de faptul că un număr negativ apare la rădăcină. Ei scapă de el evidențiind partea imaginară, adică -1 sub rădăcină este întotdeauna egal cu elementul imaginar „i”, care se înmulțește cu rădăcina cu același număr pozitiv. De exemplu, dacă D = sqrt (-20), atunci D = sqrt (20) * i după conversie. După această transformare, soluția ecuației este redusă la aceeași descoperire a rădăcinilor, așa cum a fost descris mai sus.
Teorema lui Vieta este de a selecta valorile x (1) și x (2). Se folosesc două ecuații identice: x (1) + x (2) = -b; x (1) * x (2) = c. Mai mult, un punct foarte important este semnul din fața coeficientului b, amintiți-vă că acest semn este opus celui din ecuație. La prima vedere, se pare că este foarte ușor să calculați x (1) și x (2), dar la rezolvare vă veți confrunta cu faptul că numerele vor trebui selectate.
Elemente pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice
Conform regulilor matematicii, unele pot fi descompuse în factori: (a + x (1)) * (bx (2)) = 0, dacă ați reușit să transformați această ecuație pătratică în acest mod folosind formulele matematicii, atunci nu ezitați să scrieți răspunsul. x (1) și x (2) vor fi egale cu coeficienții adiacenți dintre paranteze, dar cu semnul opus.De asemenea, nu uitați de ecuațiile pătratice incomplete. Este posibil să vă lipsească unii termeni, dacă da, atunci toți coeficienții săi sunt pur și simplu egali cu zero. Dacă nu există nimic în fața lui x ^ 2 sau x, atunci coeficienții a și b sunt egali cu 1.
Acest subiect poate părea complicat la început din cauza numeroaselor formule dificile. Nu numai ecuațiile pătratice au înregistrări lungi, ci și rădăcinile se găsesc prin discriminant. Există trei noi formule în total. Nu este ușor de reținut. Acest lucru este posibil numai după rezolvarea frecventă a unor astfel de ecuații. Apoi, toate formulele vor fi amintite de ele însele.
Vedere generală a ecuației pătratice
Aici, se propune înregistrarea lor explicită, când se înregistrează cel mai înalt grad, apoi în ordine descrescătoare. Există adesea situații în care termenii nu sunt în ordine. Atunci este mai bine să rescrieți ecuația în ordinea descrescătoare a gradului variabilei.
Să introducem notația. Acestea sunt prezentate în tabelul de mai jos.
Dacă acceptăm aceste denumiri, toate ecuațiile pătratice sunt reduse la următoarea înregistrare.
Mai mult, coeficientul a ≠ 0. Să se noteze această formulă cu numărul unu.
Când se dă ecuația, nu este clar câte rădăcini vor exista în răspuns. Deoarece una dintre cele trei opțiuni este întotdeauna posibilă:
- vor exista două rădăcini în soluție;
- răspunsul este un număr;
- ecuația nu va avea deloc rădăcini.
Și până când decizia nu a fost adusă până la capăt, este dificil de înțeles care dintre opțiuni va cădea într-un anumit caz.
Tipuri de înregistrări ale ecuațiilor pătratice
Sarcinile pot conține înregistrările lor diferite. Nu vor arăta întotdeauna ca o formulă generală pătratică. Uneori îi vor lipsi niște termeni. Ceea ce a fost scris mai sus este o ecuație completă. Dacă eliminați al doilea sau al treilea termen din acesta, veți obține ceva diferit. Aceste înregistrări se mai numesc ecuații pătratice, doar incomplete.
Mai mult, numai termenii în care coeficienții „b” și „c” pot dispărea. Numărul „a” nu poate fi zero în niciun caz. Deoarece în acest caz, formula se transformă într-o ecuație liniară. Formulele pentru o formă incompletă de ecuații vor fi după cum urmează:
Deci, există doar două tipuri, pe lângă cele complete, există și ecuații pătratice incomplete. Fie prima formulă numărul doi și a doua numărul trei.
Discriminantă și dependența numărului de rădăcini de valoarea sa
Trebuie să cunoașteți acest număr pentru a calcula rădăcinile ecuației. Poate fi întotdeauna calculat, indiferent de formula ecuației pătratice. Pentru a calcula discriminantul, trebuie să utilizați egalitatea scrisă mai jos, care va avea numărul patru.
După înlocuirea valorilor coeficienților în această formulă, puteți obține numere cu semne diferite. Dacă răspunsul este da, atunci răspunsul la ecuație va fi două rădăcini diferite. Dacă numărul este negativ, rădăcinile ecuației pătratice vor fi absente. Dacă este egal cu zero, răspunsul va fi unul.
Cum se rezolvă o ecuație pătratică completă?
De fapt, examinarea acestei probleme a început deja. Pentru că mai întâi trebuie să găsești discriminantul. După ce s-a constatat că există rădăcini ale ecuației pătratice și numărul lor este cunoscut, trebuie să utilizați formulele pentru variabile. Dacă există două rădăcini, atunci trebuie să aplicați această formulă.
Deoarece conține semnul „±”, vor exista două valori. Expresia rădăcinii pătrate este discriminantă. Prin urmare, formula poate fi rescrisă într-un mod diferit.
Formula numărul cinci. Aceeași înregistrare arată că dacă discriminantul este zero, atunci ambele rădăcini vor lua aceleași valori.
Dacă soluția ecuațiilor pătratice nu a fost încă elaborată, atunci este mai bine să scrieți valorile tuturor coeficienților înainte de a aplica formulele discriminante și variabile. Mai târziu, acest moment nu va provoca dificultăți. Dar la început, există confuzie.
Cum se rezolvă o ecuație pătratică incompletă?
Totul este mult mai simplu aici. Chiar nu este nevoie de formule suplimentare. Și nu veți avea nevoie de cele care au fost deja înregistrate pentru discriminant și necunoscut.
În primul rând, considerați ecuația incompletă numărul doi. În această egalitate, se presupune că scoate cantitatea necunoscută din paranteză și rezolvă ecuația liniară, care rămâne în paranteză. Răspunsul va avea două rădăcini. Primul este în mod necesar egal cu zero, deoarece există un factor constând din variabila însăși. Al doilea se obține prin rezolvarea unei ecuații liniare.
Ecuația incompletă numărul trei este rezolvată transferând numărul din partea stângă a ecuației în dreapta. Apoi, trebuie să împărțiți la factorul din fața necunoscutului. Rămâne doar să extrageți rădăcina pătrată și să nu uitați să o notați de două ori cu semne opuse.
Următorii sunt câțiva pași care vă vor ajuta să învățați cum să rezolvați tot felul de ecuații care se transformă în ecuații pătratice. Vor ajuta elevul să evite greșelile neglijent. Aceste neajunsuri sunt motivul pentru note slabe atunci când studiați subiectul extins „Ecuații pătratice (clasa a 8-a)”. Ulterior, aceste acțiuni nu vor trebui efectuate în mod constant. Pentru că va apărea o abilitate stabilă.
- În primul rând, trebuie să scrieți ecuația în formă standard. Adică mai întâi termenul cu cel mai înalt grad al variabilei și apoi - fără gradul și ultimul - doar un număr.
- Dacă un minus apare în fața coeficientului „a”, atunci poate complica munca pentru un începător de a studia ecuațiile pătratice. Este mai bine să scapi de el. În acest scop, toată egalitatea trebuie înmulțită cu „-1”. Aceasta înseamnă că toți termenii își vor schimba semnul în opus.
- În același mod, este recomandat să scapi de fracțiuni. Pur și simplu înmulțiți ecuația cu factorul adecvat pentru a anula numitorii.
Exemple de
Este necesar să se rezolve următoarele ecuații pătratice:
x 2 - 7x = 0;
15 - 2x - x 2 = 0;
x 2 + 8 + 3x = 0;
12x + x 2 + 36 = 0;
(x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2).
Prima ecuație: x 2 - 7x = 0. Este incompletă, prin urmare este rezolvată așa cum este descris pentru formula numărul doi.
După ce ați lăsat parantezele, se dovedește: x (x - 7) = 0.
Prima rădăcină ia valoarea: x 1 = 0. A doua se va găsi din ecuația liniară: x - 7 = 0. Este ușor de văzut că x 2 = 7.
A doua ecuație: 5x 2 + 30 = 0. Din nou incompletă. Doar se rezolvă așa cum este descris pentru a treia formulă.
După ce ați transferat 30 în partea dreaptă a egalității: 5x 2 = 30. Acum trebuie să împărțiți la 5. Se dovedește: x 2 = 6. Răspunsurile vor fi numere: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.
A treia ecuație: 15 - 2x - x 2 = 0. În continuare, soluția ecuațiilor pătratice va începe prin rescrierea lor în forma standard: - x 2 - 2x + 15 = 0. Acum este timpul să folosiți al doilea sfat util și multiplicați totul cu minus unul ... Se pare că x 2 + 2x - 15 = 0. Conform celei de-a patra formule, trebuie să calculați discriminantul: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Este un număr pozitiv. Din cele spuse mai sus, rezultă că ecuația are două rădăcini. Acestea trebuie calculate după a cincea formulă. Se pare că x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Apoi x 1 = 3, x 2 = - 5.
A patra ecuație x 2 + 8 + 3x = 0 se transformă în aceasta: x 2 + 3x + 8 = 0. Discriminantul său este egal cu această valoare: -23. Deoarece acest număr este negativ, răspunsul la această sarcină va fi următoarea intrare: „Nu există rădăcini”.
A cincea ecuație 12x + x 2 + 36 = 0 trebuie rescrisă după cum urmează: x 2 + 12x + 36 = 0. După aplicarea formulei pentru discriminant, se obține numărul zero. Aceasta înseamnă că va avea o rădăcină, și anume: x = -12 / (2 * 1) = -6.
A șasea ecuație (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) necesită transformări, care constau în faptul că trebuie să aduceți termeni similari, înainte de a deschide parantezele. În locul primei, va exista o astfel de expresie: x 2 + 2x + 1. După egalitate, va apărea această înregistrare: x 2 + 3x + 2. După ce se numără acești termeni, ecuația va lua forma: x 2 - x = 0. S-a transformat în incomplet ... Ceva asemănător cu acesta a fost deja considerat puțin mai înalt. Rădăcinile acestui lucru vor fi numerele 0 și 1.
Se încarcă ...