Fără a ști să reducă o fracție și a avea o abilitate stabilă în rezolvarea unor astfel de exemple, este foarte greu să studiezi algebra la școală. Cu cât mergi mai departe, cu atât mai mult interferează cu cunoștințele tale de bază despre reducerea fracțiilor. informație nouă. Mai întâi apar puteri, apoi factori, care mai târziu devin polinoame.
Cum poți evita să te încurci aici? Consolidați temeinic abilitățile în subiectele anterioare și pregătiți-vă treptat pentru cunoștințele despre cum să reduceți o fracție, care devine mai complexă de la an la an.
Cunostinte de baza
Fără ele, nu vei putea face față sarcinilor de orice nivel. Pentru a înțelege, trebuie să înțelegeți două puncte simple. În primul rând: puteți reduce doar factorii. Această nuanță se dovedește a fi foarte importantă atunci când polinoamele apar la numărător sau numitor. Apoi, trebuie să distingeți clar unde este multiplicatorul și unde este adunatul.
Al doilea punct spune că orice număr poate fi reprezentat sub formă de factori. Mai mult, rezultatul reducerii este o fracție al cărei numărător și numitor nu mai pot fi reduse.
Reguli pentru reducerea fracțiilor comune
În primul rând, ar trebui să verificați dacă numărătorul este divizibil cu numitor sau invers. Atunci tocmai acest număr trebuie redus. Aceasta este cea mai simplă opțiune.
Al doilea este analiza aspect numere. Dacă ambele se termină cu unul sau mai multe zerouri, atunci ele pot fi scurtate cu 10, 100 sau o mie. Aici puteți observa dacă numerele sunt pare. Dacă da, atunci îl puteți tăia în siguranță cu două.
A treia regulă pentru reducerea unei fracții este factorizarea numărătorului și numitorului în factori primi. În acest moment, trebuie să vă folosiți în mod activ toate cunoștințele despre semnele de divizibilitate a numerelor. După această descompunere, nu mai rămâne decât să le găsiți pe toate cele care se repetă, să le înmulțiți și să le reduceți cu numărul rezultat.
Ce se întâmplă dacă într-o fracție există o expresie algebrică?
Aici apar primele dificultăți. Pentru că aici apar termeni care pot fi identici cu factori. Chiar vreau să le reduc, dar nu pot. Înainte de a putea reduce o fracție algebrică, aceasta trebuie convertită astfel încât să aibă factori.
Pentru a face acest lucru, va trebui să efectuați mai mulți pași. Poate fi necesar să le parcurgeți pe toate sau poate că primul vă va oferi o opțiune potrivită.
Verificați dacă numărătorul și numitorul sau orice expresie din ele diferă prin semn. În acest caz, trebuie doar să puneți minus unu din paranteze. Acest lucru produce factori egali care pot fi redusi.
Vedeți dacă este posibil să eliminați factorul comun din polinom din paranteze. Poate că acest lucru va avea ca rezultat o paranteză, care poate fi, de asemenea, scurtată, sau va fi un monom eliminat.
Încercați să grupați monomiile pentru a le adăuga apoi un factor comun. După aceasta, se poate dovedi că vor exista factori care pot fi reduceți sau din nou se va repeta bracketingul elementelor comune.
Încercați să luați în considerare formulele de înmulțire prescurtate în scris. Cu ajutorul lor, puteți converti cu ușurință polinoamele în factori.
Secvența de operații cu fracții cu puteri
Pentru a înțelege cu ușurință întrebarea cum să reduceți o fracție cu puteri, trebuie să vă amintiți cu fermitate operațiunile de bază cu acestea. Prima dintre acestea este legată de multiplicarea puterilor. În acest caz, dacă bazele sunt aceleași, indicatorii trebuie adăugați.
A doua este diviziunea. Din nou, pentru cei care au aceleași motive, indicatorii vor trebui să fie scăzuți. Mai mult, trebuie să scazi din numărul care se află în dividend, și nu invers.
Al treilea este exponentiația. În această situație, indicatorii sunt înmulțiți.
Reducerea cu succes va necesita, de asemenea, capacitatea de a reduce puterile la baze egale. Adică să vezi că patru este doi pătrat. Sau 27 - cubul de trei. Pentru că reducerea a 9 pătrate și 3 cuburi este dificilă. Dar dacă transformăm prima expresie ca (3 2) 2, atunci reducerea va avea succes.
În această lecție vom studia proprietatea de bază a unei fracții, vom afla care fracții sunt egale între ele. Vom învăța să reducem fracțiile, să stabilim dacă o fracție este reductibilă sau nu, vom exersa reducerea fracțiilor și vom învăța când să folosim o contracție și când nu.
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!
Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?
Aceste informații sunt disponibile pentru utilizatorii înregistrați
Proprietatea principală a unei fracții
Imaginează-ți această situație.
La masa 3 persoană și 5 merele Acțiune 5 mere pentru trei. Toată lumea primește mere \(\mathbf(\frac(5)(3))\).
Și la masa alăturată 3 persoană și de asemenea 5 merele Fiecare din nou \(\mathbf(\frac(5)(3))\)
In total 10 merele 6 Uman. Fiecare \(\mathbf(\frac(10)(6))\)
Dar este același lucru.
\(\mathbf(\frac(5)(3) = \frac(10)(6))\)
Aceste fracții sunt echivalente.
Puteți dubla numărul de oameni și dublați numărul de mere. Rezultatul va fi același.
În matematică se formulează astfel:
Dacă numărătorul și numitorul unei fracții sunt înmulțite sau împărțite cu același număr (nu este egal cu 0), atunci noua fracție va fi egală cu cea inițială.
Această proprietate este uneori numită „ proprietatea principală a fracției ».
$$\mathbf(\frac(a)(b) = \frac(a\cdot c)(b\cdot c) = \frac(a:d)(b:d))$$
De exemplu, Calea de la oraș la sat - 14 km.
Mergem de-a lungul drumului și stabilim distanța parcursă de marcajele kilometrice. După ce am parcurs șase coloane, șase kilometri, înțelegem că am parcurs distanța \(\mathbf(\frac(6)(14))\).
Dar dacă nu vedem stâlpii (poate că nu au fost instalați), putem calcula traseul folosind stâlpii electrici de-a lungul drumului. Al lor 40 bucăți pentru fiecare kilometru. Adică în total 560 tot drumul. Şase kilometri - \(\mathbf(6\cdot40 = 240)\) stâlpi. Adică am trecut 240 din 560 stâlpi-\(\mathbf(\frac(240)(560))\)
\(\mathbf(\frac(6)(14) = \frac(240)(560))\)
Exemplul 1
Marcați un punct cu coordonatele ( 5; 7 ) pe planul de coordonate XOY. Va corespunde fracției \(\mathbf(\frac(5)(7))\)
Conectați originea coordonatelor la punctul rezultat. Construiți un alt punct care are coordonatele de două ori mai mari decât cele precedente. Ce fracție ai primit? Vor fi ei egali?
Soluţie
O fracție de pe planul de coordonate poate fi marcată cu un punct. Pentru a reprezenta fracția \(\mathbf(\frac(5)(7))\), marcați punctul cu coordonatele 5 de-a lungul axei YȘi 7 de-a lungul axei X. Să tragem o linie dreaptă de la origine până la punctul nostru.
Punctul corespunzător fracției \(\mathbf(\frac(10)(14))\) se va afla de asemenea pe aceeași dreaptă
Ele sunt echivalente: \(\mathbf(\frac(5)(7) = \frac(10)(14))\)
Acest articol continuă subiectul conversiei fracțiilor algebrice: luați în considerare o astfel de acțiune ca reducerea fracțiilor algebrice. Să definim termenul în sine, să formulăm o regulă de reducere și să analizăm exemple practice.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Sensul reducerii unei fracții algebrice
În materialele despre fracțiile comune, ne-am uitat la reducerea acesteia. Am definit reducerea unei fracții ca împărțirea numărătorului și numitorului acesteia la un factor comun.
Reducerea unei fracții algebrice este o operație similară.
Definiția 1
Reducerea unei fracții algebrice este împărțirea numărătorului și numitorului său cu un factor comun. În acest caz, spre deosebire de reducerea unei fracții obișnuite (numitorul comun poate fi doar un număr), factorul comun al numărătorului și numitorului unei fracții algebrice poate fi un polinom, în special, un monom sau un număr.
De exemplu, fracția algebrică 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 poate fi redusă cu numărul 3, rezultând: x 2 + 2 x y 6 x 3 · y + 12 · x 2 · y 2 . Putem reduce aceeași fracție cu variabila x, iar aceasta ne va da expresia 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2. De asemenea, este posibilă reducerea unei fracții date cu un monom 3 x sau oricare dintre polinoame x + 2 y, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y sau 3 x 2 + 6 x y.
Scopul final al reducerii unei fracții algebrice este o fracție mai mare decât tip simplu, în cel mai bun caz, este o fracție ireductibilă.
Sunt toate fracțiile algebrice supuse reducerii?
Din nou, din materiale pe fracții obișnuite, știm că există fracții reductibile și ireductibile. Fracțiile ireductibile sunt fracții care nu au factori comuni la numărător și numitor alții decât 1.
La fel este și cu fracțiile algebrice: pot avea factori comuni în numărător și numitor sau nu. Prezența factorilor comuni vă permite să simplificați fracția originală prin reducere. Când nu există factori comuni, este imposibil să optimizați o anumită fracție folosind metoda reducerii.
ÎN cazuri generale De tipul dat Este destul de dificil pentru o fracție să înțeleagă dacă poate fi redusă. Desigur, în unele cazuri prezența unui factor comun între numărător și numitor este evidentă. De exemplu, în fracția algebrică 3 x 2 3 y este destul de clar că factorul comun este numărul 3.
În fracția - x · y 5 · x · y · z 3 înțelegem imediat că poate fi redusă cu x, sau y, sau x · y. Și totuși, mult mai des există exemple de fracții algebrice, când factorul comun al numărătorului și numitorului nu este atât de ușor de văzut și, chiar mai des, este pur și simplu absent.
De exemplu, putem reduce fracția x 3 - 1 x 2 - 1 cu x - 1, în timp ce factorul comun specificat nu este prezent în intrare. Dar fracția x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 nu poate fi redusă, deoarece numărătorul și numitorul nu au un factor comun.
Astfel, problema determinării reductibilității unei fracții algebrice nu este atât de simplă și este adesea mai ușor să lucrezi cu o fracție dintr-o formă dată decât să încerci să afli dacă aceasta este reductibilă. În acest caz, au loc astfel de transformări care în anumite cazuri fac posibilă determinarea factorului comun al numărătorului și numitorului sau tragerea unei concluzii despre ireductibilitatea unei fracții. Vom examina această problemă în detaliu în următorul paragraf al articolului.
Regula pentru reducerea fracțiilor algebrice
Regula pentru reducerea fracțiilor algebrice constă din două acțiuni succesive:
- găsirea factorilor comuni ai numărătorului și numitorului;
- dacă se găsesc, acţiunea de reducere a fracţiei se realizează direct.
Cea mai convenabilă metodă de a găsi numitori comuni este factorizarea polinoamelor prezente în numărătorul și numitorul unei fracții algebrice date. Acest lucru vă permite să vedeți imediat în mod clar prezența sau absența factorilor comuni.
Însăși acțiunea de reducere a unei fracții algebrice se bazează pe proprietatea principală a unei fracții algebrice, exprimată prin egalitatea nedefinită, unde a, b, c sunt niște polinoame, iar b și c sunt diferite de zero. Primul pas este reducerea fracției la forma a · c b · c, în care observăm imediat factorul comun c. Al doilea pas este efectuarea unei reduceri, de ex. trecerea la o fracție de forma a b .
Exemple tipice
În ciuda unor evidente, să clarificăm despre caz special când numărătorul și numitorul unei fracții algebrice sunt egale. Fracțiile similare sunt identic egale cu 1 pe întreaga ODZ a variabilelor acestei fracții:
5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1 ; x x = 1; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 · x - x 2 · y 1 2 · x - x 2 · y ;
Deoarece fracții comune sunt un caz special de fracții algebrice, să ne amintim cum se realizează reducerea lor. Numerele naturale scrise la numărător și numitor sunt descomponate în factori primi, apoi factorii comuni sunt anulați (dacă există).
De exemplu, 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105
Produsul factorilor simpli identici poate fi scris ca puteri, iar în procesul de reducere a unei fracții, folosiți proprietatea de a împărți puterile cu baze identice. Atunci soluția de mai sus ar fi:
24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105
(numeratorul și numitorul împărțite la un factor comun 2 2 3). Sau pentru claritate, pe baza proprietăților înmulțirii și împărțirii, dăm soluției următoarea formă:
24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105
Prin analogie, se realizează reducerea fracțiilor algebrice, în care numărătorul și numitorul au monomii cu coeficienți întregi.
Exemplul 1
Fracția algebrică este dată - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z. Trebuie redus.
Soluţie
Este posibil să scrieți numărătorul și numitorul unei fracții date ca produs de factori și variabile simple, apoi efectuați reducerea:
27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 · 3 · 3 · a · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · a · a · b · b · c · c · c · c · c · c · c · z = = - 3 · 3 · a · a · a 2 · c · c · c · c · c · c = - 9 a 3 2 c 6
Cu toate acestea, o modalitate mai rațională ar fi să scrieți soluția ca o expresie cu puteri:
27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 · a 5 · b 2 · c · z 2 · 3 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 2 · 3 · a 5 a 2 · b 2 b 2 · c c 7 · z z = = - 3 3 - 1 2 · a 5 - 2 1 · 1 · 1 c 7 - 1 · 1 = · - 3 2 · a 3 2 · c 6 = · - 9 · a 3 2 · c 6 .
Răspuns:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6
Atunci când numărătorul și numitorul unei fracții algebrice conțin coeficienți numerici fracționari, există două moduri posibile de acțiune ulterioară: fie împărțiți acești coeficienți fracționali separat, fie scăpați mai întâi de coeficienții fracționali prin înmulțirea numărătorului și numitorului cu un anumit numar natural. Ultima transformare se realizează datorită proprietății de bază a unei fracții algebrice (puteți citi despre aceasta în articolul „Reducerea unei fracții algebrice la un nou numitor”).
Exemplul 2
Fracția dată este 2 5 x 0, 3 x 3. Trebuie redus.
Soluţie
Este posibil să reduceți fracția astfel:
2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2
Să încercăm să rezolvăm problema diferit, scăpând mai întâi de coeficienții fracționali - înmulțiți numărătorul și numitorul cu cel mai mic multiplu comun al numitorilor acestor coeficienți, adică. pe LCM (5, 10) = 10. Atunci obținem:
2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.
Răspuns: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2
Când reducem fracțiile algebrice vedere generala, în care numărătorii și numitorii pot fi fie monomii, fie polinoame, poate exista o problemă atunci când factorul comun nu este întotdeauna vizibil imediat. Sau mai mult, pur și simplu nu există. Apoi, pentru a determina factorul comun sau pentru a înregistra absența acestuia, sunt factorizați numărătorul și numitorul fracției algebrice.
Exemplul 3
Se dă fracția rațională 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3. Trebuie redus.
Soluţie
Să factorăm polinoamele în numărător și numitor. Să-l scoatem din paranteze:
2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)
Vedem că expresia din paranteze poate fi convertită folosind formule de înmulțire abreviate:
2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)
Se vede clar că este posibil să se reducă o fracție printr-un factor comun b 2 (a + 7). Să facem o reducere:
2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b
Să scriem o soluție scurtă fără explicații ca un lanț de egalități:
2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b
Răspuns: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b.
Se întâmplă ca factorii comuni să fie ascunși de coeficienți numerici. Apoi, la reducerea fracțiilor, este optim să puneți factorii numerici la puteri mai mari ale numărătorului și numitorului din paranteze.
Exemplul 4
Având în vedere fracția algebrică 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 . Este necesar să o reduceți dacă este posibil.
Soluţie
La prima vedere, numărătorul și numitorul nu au un numitor comun. Cu toate acestea, să încercăm să convertim fracția dată. Să scoatem factorul x din numărător:
1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2
Acum puteți vedea o oarecare similitudine între expresia dintre paranteze și expresia din numitor datorită x 2 y . Să scoatem coeficienții numerici ai puterilor superioare ale acestor polinoame:
x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10
Acum factorul comun devine vizibil, efectuăm reducerea:
2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x
Răspuns: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x .
Să subliniem că abilitatea de a reduce fracțiile raționale depinde de capacitatea de a factoriza polinoame.
Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
Așa că am ajuns la reducere. Proprietatea de bază a unei fracții este aplicată aici. DAR! Nu atât de simplu. Cu multe fracții (inclusiv cele de la cursul școlar), este foarte posibil să te descurci cu ele. Ce se întâmplă dacă luăm fracții care sunt „mai abrupte”? Să aruncăm o privire mai atentă! Recomand să vă uitați la materiale cu fracții.Deci, știm deja că numărătorul și numitorul unei fracții pot fi înmulțite și împărțite cu același număr, fracția nu se va schimba. Să luăm în considerare trei abordări:
Abordați unul.
Pentru a reduce, împărțiți numărătorul și numitorul la divizor comun. Să ne uităm la exemple:
Să scurtăm:
În exemplele date, vedem imediat ce divizori să luăm pentru reducere. Procesul este simplu - trecem prin 2,3,4,5 și așa mai departe. În majoritatea exemplelor de cursuri școlare, acest lucru este suficient. Dar dacă este o fracțiune:
Aici procesul de selectare a divizorilor poate dura mult timp;). Desigur, astfel de exemple sunt în afara curriculum-ului școlar, dar trebuie să le poți face față. Mai jos vom vedea cum se face acest lucru. Deocamdată, să revenim la procesul de reducere.
După cum sa discutat mai sus, pentru a reduce o fracție, am împărțit la divizorul(ii) comun(i) pe care i-am determinat. Totul este corect! Trebuie doar să adăugați semne de divizibilitate a numerelor:
- dacă numărul este par, atunci este divizibil cu 2.
- dacă un număr din ultimele două cifre este divizibil cu 4, atunci numărul în sine este divizibil cu 4.
— dacă suma cifrelor care alcătuiesc numărul este divizibil cu 3, atunci numărul în sine este divizibil cu 3. De exemplu, 125031, 1+2+5+0+3+1=12. Douăsprezece este divizibil cu 3, deci 123031 este divizibil cu 3.
- dacă numărul se termină cu 5 sau 0, atunci numărul este divizibil cu 5.
— dacă suma cifrelor care alcătuiesc numărul este divizibilă cu 9, atunci numărul în sine este divizibil cu 9. De exemplu, 625032 =.> 6+2+5+0+3+2=18. Optsprezece este divizibil cu 9, ceea ce înseamnă că 623032 este divizibil cu 9.
A doua abordare.
Pe scurt, de fapt, întreaga acțiune se reduce la factorizarea numărătorului și numitorului și apoi reducerea factorilor egali în numărător și numitor (această abordare este o consecință a primei abordări):
Din punct de vedere vizual, pentru a evita confuzia și greșelile, factorii egali sunt pur și simplu tăiați. Întrebare - cum se factorizează un număr? Este necesar să se determine toți divizorii prin căutare. Acesta este un subiect separat, nu este complicat, căutați informațiile într-un manual sau pe Internet. Nu veți întâmpina probleme mari cu factorizarea numerelor care sunt prezente în fracțiile școlare.
Formal, principiul reducerii poate fi scris după cum urmează:
Abordați trei.
Iată cel mai interesant lucru pentru avansați și pentru cei care vor să devină unul. Să reducem fracția 143/273. Incearca-l tu insuti! Ei bine, cum sa întâmplat repede? Acum fi atent!
Îl răsturnăm (schimbăm locurile numărătorului și numitorului). Împărțim fracția rezultată cu un colț și o transformăm într-un număr mixt, adică selectăm întreaga parte:
Deja este mai ușor. Vedem că numărătorul și numitorul pot fi reduse cu 13:
Acum nu uitați să întoarceți fracția înapoi, să scriem întregul lanț:
Verificat - durează mai puțin timp decât căutarea și verificarea divizorilor. Să revenim la cele două exemple ale noastre:
Primul. Împărțiți cu un colț (nu pe calculator), obținem:
Această fracție este mai simplă, desigur, dar reducerea este din nou o problemă. Acum analizăm separat fracția 1273/1463 și o întoarcem:
E mai ușor aici. Putem considera un divizor precum 19. Restul nu sunt potriviti, asta este clar: 190:19 = 10, 1273:19 = 67. Ura! Hai sa scriem:
Următorul exemplu. Să scurtăm 88179/2717.
Împărțiți, obținem:
Separat, analizăm fracția 1235/2717 și o răsturnăm:
Putem considera un divizor precum 13 (până la 13 nu este potrivit):
Numărătorul 247:13=19 Numitorul 1235:13=95
*În timpul procesului am văzut un alt divizor egal cu 19. Rezultă că:
Acum notăm numărul inițial:
Și nu contează ce este mai mare în fracțiune - numărătorul sau numitorul, dacă este numitorul, atunci îl întoarcem și acționăm așa cum este descris. Astfel putem reduce orice fracție; a treia abordare poate fi numită universală.
Desigur, cele două exemple discutate mai sus nu sunt exemple simple. Să încercăm această tehnologie pe fracțiile „simple” pe care le-am luat deja în considerare:
Două sferturi.
Șaptezeci și doi de ani șaizeci. Numătorul este mai mare decât numitorul; nu este nevoie să îl inversați:
Desigur, a treia abordare a fost aplicată unor astfel de exemple simple, pur și simplu ca alternativă. Metoda, așa cum sa spus deja, este universală, dar nu convenabilă și corectă pentru toate fracțiile, în special pentru cele simple.
Varietatea fracțiilor este mare. Este important să înțelegeți principiile. Pur și simplu nu există o regulă strictă pentru a lucra cu fracții. Ne-am uitat, ne-am dat seama cum ar fi mai convenabil să acționăm și am mers înainte. Odată cu exersarea, îndemânarea va veni și le vei sparge ca pe niște semințe.
Concluzie:
Dacă vedeți un(i) divizor(i) comun(i) pentru numărător și numitor, folosiți-i pentru a reduce.
Dacă știți să factorizați rapid un număr, atunci factorați numărătorul și numitorul, apoi reduceți.
Dacă nu puteți determina divizorul comun, atunci utilizați a treia abordare.
*Pentru a reduce fracțiile, este important să stăpâniți principiile reducerii, să înțelegeți proprietățile de bază ale unei fracții, să cunoașteți abordările de rezolvare și să fiți extrem de atenți atunci când faceți calcule.
Si amintesteti! Se obișnuiește să se reducă o fracție până când se oprește, adică să o reducă atâta timp cât există un divizor comun.
Cu stimă, Alexander Krutitskikh.
Se bazează pe proprietatea lor de bază: dacă numărătorul și numitorul unei fracții sunt împărțite la același polinom diferit de zero, atunci se va obține o fracție egală.
Puteți reduce doar multiplicatorii!
Membrii polinoamelor nu pot fi prescurtați!
Pentru a reduce o fracție algebrică, polinoamele din numărător și numitor trebuie mai întâi factorizate.
Să ne uităm la exemple de fracții reducătoare.
Numătorul și numitorul fracției conțin monomii. Ei reprezintă muncă(numerele, variabilele și puterile acestora), multiplicatori putem reduce.
Reducem numerele cu cel mai mare divizor comun al lor, adică cu cel mai mare număr, cu care se împarte fiecare dintre aceste numere. Pentru 24 și 36 acesta este 12. După reducere, 2 rămâne din 24 și 3 din 36.
Reducem gradele cu gradul cu cel mai mic indice. A reduce o fracție înseamnă a împărți numărătorul și numitorul la același divizor și scăderea exponenților.
a² și a⁷ sunt reduse la a². În acest caz, unul rămâne la numărătorul lui a² (scriem 1 doar în cazul în care, după reducere, nu au mai rămas alți factori. Din 24, rămâne 2, deci nu scriem 1 rămas din a²). Din a⁷, după reducere, a⁵ rămâne.
b și b sunt reduse cu b; unitățile rezultate nu sunt scrise.
c³º și c⁵ sunt scurtate la c⁵. Din c³º ceea ce rămâne este c²⁵, din c⁵ este unul (nu îl scriem). Prin urmare,
Numătorul și numitorul acestei fracții algebrice sunt polinoame. Nu puteți anula termenii polinoamelor! (nu puteți reduce, de exemplu, 8x² și 2x!). Pentru a reduce această fracție, aveți nevoie de . Numătorul are un factor comun de 4x. Să-l scoatem din paranteze:
Atât numărătorul, cât și numitorul au același factor (2x-3). Reducem fracția cu acest factor. La numărător avem 4x, la numitor - 1. Conform proprietății 1 a fracțiilor algebrice, fracția este egală cu 4x.
Puteți reduce doar factorii (nu puteți reduce această fracție cu 25x²!). Prin urmare, polinoamele din numărătorul și numitorul fracției trebuie factorizate.
Numătorul este pătratul complet al sumei, numitorul este diferența de pătrate. După descompunere folosind formule de înmulțire abreviate, obținem:
Reducem fracția cu (5x+1) (pentru a face acest lucru, tăiați cele două din numărător ca exponent, lăsând (5x+1)² (5x+1)):
Numătorul are un factor comun de 2, să-l scoatem din paranteze. Numitorul este formula pentru diferența de cuburi:
Ca urmare a expansiunii, numărătorul și numitorul au primit același factor (9+3a+a²). Reducem fracția cu ea:
Polinomul din numărător este format din 4 termeni. primul termen cu al doilea, al treilea cu al patrulea și eliminați factorul comun x² din primele paranteze. Descompunem numitorul folosind formula sumei cuburilor:
La numărător, să luăm factorul comun (x+2) din paranteze:
Reduceți fracția cu (x+2):
Se încarcă...