Tipul lecției:învățarea de materiale noi.

Obiectivele lecției:

• extinderea și aprofundarea ideilor elevilor despre problemele rezolvate folosind progresia aritmetică; organizarea activității de căutare a elevilor la obținerea unei formule pentru suma primilor n membri ai unei progresii aritmetice;
• dezvoltarea abilităților pentru a dobândi în mod independent noi cunoștințe, pentru a utiliza cunoștințele deja dobândite pentru a realiza sarcina stabilită;
• dezvoltarea dorinței și nevoii de generalizare a faptelor obținute, dezvoltarea independenței.

Sarcini:

• să generalizeze și să sistematizeze cunoștințele existente pe tema „Progresia aritmetică”;
• derivă formule pentru calcularea sumei primilor n termeni ai unei progresii aritmetice;
• să învețe cum să aplice formulele obținute în rezolvarea diferitelor probleme;
• pentru a atrage atenția elevilor asupra ordinii acțiunilor la găsirea valorii unei expresii numerice.

Echipament:

• carduri cu sarcini pentru lucrul în grupuri și perechi;
• hârtie de evaluare;
• prezentare„Progresia aritmetică”.

I. Actualizarea cunoștințelor de bază.

1. Muncă independentă în perechi.

Prima opțiune:

Dați o definiție a progresiei aritmetice. Notați formula recurentă care definește progresia aritmetică. Bună, exemplu de progresie aritmetică și indică diferența acesteia.

A doua opțiune:

Scrieți formula pentru al treilea termen al progresiei aritmetice. Găsiți al 100-lea termen al progresiei aritmetice ( a n}: 2, 5, 8 …
În acest moment, doi studenți din spatele tabloului pregătesc răspunsuri la aceleași întrebări.
Elevii evaluează munca partenerului împotriva tabloului. (Se predă foile cu răspunsurile).

2. Momentul jocului.

Exercitiul 1.

Profesor. Am conceput o progresie aritmetică. Pune-mi doar două întrebări, astfel încât după răspunsuri să poți numi rapid cel de-al 7-lea termen al acestei progresii. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 ...)

Întrebări ale elevilor.

1. Care este al șaselea termen în progresie și care este diferența?
2. Care este al optulea termen în progresie și care este diferența?

Dacă nu mai există întrebări, atunci profesorul le poate stimula - „interzice” d (diferență), adică nu este permis să întrebi care este diferența. Puteți pune întrebări: care este al 6-lea termen al progresiei și care este al 8-lea termen al progresiei?

Sarcina 2.

Există 20 de numere scrise pe tablă: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Profesorul stă cu spatele la tablă. Elevii apelează numărul numărului, iar profesorul apelează instantaneu numărul însuși. Explicați cum o fac?

Profesorul își amintește formula pentru al treilea trimestru a n = 3n - 2și, înlocuind valorile date de n, găsește valorile corespunzătoare a n.

II. Afirmarea problemei educaționale.

Propun să rezolvăm o problemă veche datând din mileniul II î.Hr., găsită în papirusurile egiptene.

Sarcină:„Să vă spunem: împărțiți 10 măsuri de orz între 10 persoane, diferența dintre fiecare persoană și vecinul său este egală cu 1/8 din măsură”.

• Cum este această sarcină legată de subiectul progresiei aritmetice? (Fiecare următor primește 1/8 dintr-o măsură în plus, ceea ce înseamnă diferența d = 1/8, 10 persoane, ceea ce înseamnă n = 10.)
• Ce crezi că înseamnă numărul 10? (Suma tuturor membrilor progresiei.)
• Ce altceva mai trebuie să știți pentru a face mai ușor și mai simplu împărțirea orzului în funcție de starea sarcinii? (Primul termen în progresie.)

Obiectivul lecției- obținerea dependenței de suma membrilor progresiei de numărul lor, primul termen și diferența și verificarea dacă problema a fost rezolvată corect în timpurile străvechi.

Înainte de a trage concluzia formulei, să vedem cum vechii egipteni au rezolvat problema.

Și au rezolvat-o astfel:

1) 10 măsuri: 10 = 1 măsură - cota medie;
2) 1 măsură ∙ = 2 măsuri - dublată in medie acțiune.
Dublat in medie cota este suma acțiunilor celor 5 și 6 persoane.
3) 2 măsuri - 1/8 măsuri = 1 7/8 măsuri - de două ori ponderea celei de-a cincea persoane.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - ponderea celui de-al cincilea; și așa mai departe, puteți găsi cota fiecărei persoane anterioare și ulterioare.

Obținem secvența:

III. Soluția la problema.

1. Lucrul în grupuri

Grupa I: Găsiți suma a 20 de numere naturale consecutive: S 20 = (20 + 1) ∙ 10 = 210.

În general

Grupul II: Găsiți suma numerelor naturale de la 1 la 100 (Legenda Micului Gauss).

S 100 = (1 + 100) ∙ 50 = 5050

Ieșire:

Grupul III: Găsiți suma numerelor naturale de la 1 la 21.

Soluție: 1 + 21 = 2 + 20 = 3 + 19 = 4 + 18 ...

Ieșire:

Grupa IV: Găsiți suma numerelor naturale de la 1 la 101.

Ieșire:

Această metodă de rezolvare a problemelor considerate se numește „Metoda Gauss”.

2. Fiecare grup prezintă o soluție la problemă pe tablă.

3. Generalizarea soluțiilor propuse pentru o progresie aritmetică arbitrară:

a 1, a 2, a 3, ..., a n-2, a n-1, a n.
S n = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Să găsim această sumă raționând într-un mod similar:

4. Am rezolvat sarcina la îndemână?(Da.)

IV. Înțelegerea primară și aplicarea formulelor obținute în rezolvarea problemelor.

1. Verificarea soluției la o problemă veche folosind o formulă.

2. Aplicarea formulei în rezolvarea diverselor probleme.

3. Exerciții de formare a capacității de a aplica formula la rezolvarea problemelor.

A) Nr. 613

Dat: ( a n) - progresie aritmetică;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

Găsi: S 1500

Soluţie: , a 1 = 1, a 1500 = 1500,

B) Date: ( a n) - progresie aritmetică;
(a n): 1, 2, 3, ...
S n = 210

Găsi: n
Soluţie:

V. Muncă independentă cu verificare reciprocă.

Denis a plecat să lucreze ca curier. În prima lună, salariul său a fost de 200 de ruble, în fiecare lună următoare a crescut cu 30 de ruble. Cât a câștigat într-un an?

Dat: ( a n) - progresie aritmetică;
a 1 = 200, d = 30, n = 12
Găsi: S 12
Soluţie:

Răspuns: Denis a primit 4380 de ruble într-un an.

Vi. Briefing pentru teme.

1. p. 4.3 - învățați derivarea formulei.
2. №№ 585, 623 .
3. Creați o problemă care ar fi rezolvată folosind formula pentru suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice.

Vii. Rezumând lecția.

1. Foaie de evaluare

2. Continuați propozițiile

• Astăzi, în lecția pe care am învățat-o ...
• Formule învățate ...
• Cred ca …

3. Puteți găsi suma numerelor de la 1 la 500? Ce metodă veți folosi pentru a rezolva această problemă?

Bibliografie.

1. Algebră, clasa a IX-a. Manual pentru instituțiile de învățământ. Ed. G.V. Dorofeeva. M.: „Educație”, 2009.

Dacă fiecare număr natural n se potrivește cu un număr real a n , apoi se spune că este dat secvență numerică :

A 1 , A 2 , A 3 , . . . , a n , . . . .

Deci, o secvență numerică este o funcție a unui argument natural.

Număr A 1 sunt numite primul membru al secvenței , număr A 2 — al doilea mandat , număr A 3 — al treilea etc. Număr a n sunt numite al n-lea termen al secvenței , și numărul natural n — numărul lui .

Din doi membri vecini a n și a n +1 membru de secvență a n +1 sunt numite ulterior (către a n ), A a n — anterior (către a n +1 ).

Pentru a specifica o secvență, trebuie să specificați o metodă care vă permite să găsiți un membru al secvenței cu orice număr.

Adesea secvența este dată cu formulele termenului n , adică o formulă care vă permite să determinați un membru al unei secvențe după numărul său.

De exemplu,

o succesiune de numere impare pozitive poate fi specificată prin formulă

a n= 2n - 1,

și secvența alternării 1 și -1 - după formula

b n = (-1)n +1 . ◄

Secvența poate fi determinată formula recursivă, adică o formulă care exprimă orice membru al secvenței, începând cu unii, prin membrii anteriori (unul sau mai mulți).

De exemplu,

dacă A 1 = 1 , A a n +1 = a n + 5

A 1 = 1,

A 2 = A 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

A 3 = A 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

A 4 = A 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

A 5 = A 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Dacă a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , atunci primii șapte membri ai secvenței numerice sunt stabiliți după cum urmează:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

A 6 = A 4 + A 5 = 3 + 5 = 8,

A 7 = A 5 + A 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Secvențele pot fi final și fără sfârşit .

Se numește secvența ultimul dacă are un număr finit de membri. Se numește secvența fără sfârşit dacă are infinit de mulți membri.

De exemplu,

secvența numerelor naturale din două cifre:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

final.

O succesiune de numere prime:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

fără sfârşit. ◄

Se numește secvența crescând dacă fiecare dintre membrii săi, începând cu al doilea, este mai mare decât cel anterior.

Se numește secvența diminuând dacă fiecare dintre membrii săi, începând cu al doilea, este mai mic decât cel anterior.

De exemplu,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . - secvență crescătoare;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . - o secvență descrescătoare. ◄

Se numește o secvență ale cărei elemente nu scad odată cu creșterea numărului sau, dimpotrivă, nu cresc secvență monotonă .

Secvențele monotonice, în special, sunt secvențe ascendente și secvențe descendente.

Progresia aritmetică

Progresia aritmetică se numește o secvență, fiecare membru din care, începând cu al doilea, este egal cu cel anterior, la care se adaugă același număr.

A 1 , A 2 , A 3 , . . . , a n, . . .

este o progresie aritmetică dacă pentru orice număr natural n condiția este îndeplinită:

a n +1 = a n + d,

Unde d - un număr.

Astfel, diferența dintre membrii următori și anteriori ai unei anumite progresii aritmetice este întotdeauna constantă:

a 2 - A 1 = a 3 - A 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Număr d sunt numite diferența de progresie aritmetică.

Pentru a seta o progresie aritmetică, este suficient să indicați primul său termen și diferența.

De exemplu,

dacă A 1 = 3, d = 4 , apoi primii cinci membri ai secvenței se găsesc după cum urmează:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

A 5 = A 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Pentru progresia aritmetică cu primul termen A 1 și diferența d a ei n

a n = a 1 + (n- 1)d.

De exemplu,

găsiți al treizecilea termen al progresiei aritmetice

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = A 1 + nd,

atunci evident

a n=	a n-1 + a n + 1
	2

fiecare membru al progresiei aritmetice, începând cu cel de-al doilea, este egal cu media aritmetică a membrilor anteriori și a celor ulterioare.

numerele a, b și c sunt membri consecutivi ai unei progresii aritmetice dacă și numai dacă unul dintre ei este egal cu media aritmetică a celorlalte două.

De exemplu,

a n = 2n- 7 , este o progresie aritmetică.

Să folosim afirmația de mai sus. Avem:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n - 1) - 7 = 2n- 9,

a n + 1 = 2(n + 1) - 7 = 2n- 5.

Prin urmare,

a n + 1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = a n,
2		2

◄

Rețineți că n -al doilea termen al progresiei aritmetice poate fi găsit nu numai prin A 1 , dar și orice anterioară a k

a n = a k + (n- k)d.

De exemplu,

pentru A 5 poate fi scris

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n + k - kd,

atunci evident

a n=	A n-k + a n + k
	2

orice membru al unei progresii aritmetice, începând de la al doilea, este egal cu suma pe jumătate a membrilor acestei progresii aritmetice distanțate în mod egal de acesta.

În plus, pentru orice progresie aritmetică, egalitatea este adevărată:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

De exemplu,

în progresie aritmetică

1) A 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (A 9 + A 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, deoarece

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 +. ... ...+ a n,

primul n membrii unei progresii aritmetice este egal cu produsul sumei jumătate a termenilor extremi cu numărul de termeni:

Prin urmare, în special, rezultă că, dacă este necesar să se însumeze termenii

a k, a k +1 , . . . , a n,

atunci formula anterioară își păstrează structura:

De exemplu,

în progresie aritmetică 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Dacă se dă o progresie aritmetică, atunci valorile A 1 , a n, d, nșiS n legate de două formule:

Prin urmare, dacă sunt date valorile a trei dintre aceste mărimi, atunci valorile corespunzătoare ale celorlalte două mărimi sunt determinate din aceste formule, combinate într-un sistem de două ecuații cu două necunoscute.

O progresie aritmetică este o secvență monotonă. Unde:

• dacă d > 0 , atunci crește;
• dacă d < 0 , atunci este în scădere;
• dacă d = 0 , apoi secvența va fi staționară.

Progresia geometrică

Progresia geometrică se numește o secvență, fiecare membru din care, începând de la al doilea, este egal cu cel precedent, înmulțit cu același număr.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

este o progresie geometrică dacă pentru orice număr natural n condiția este îndeplinită:

b n +1 = b n · q,

Unde q ≠ 0 - un număr.

Astfel, raportul următorului membru al unei progresii geometrice date cu cel anterior este un număr constant:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Număr q sunt numite numitor al progresiei geometrice.

Pentru a seta o progresie geometrică, este suficient să indicați primul său termen și numitorul.

De exemplu,

dacă b 1 = 1, q = -3 , apoi primii cinci membri ai secvenței se găsesc după cum urmează:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 și numitorul q a ei n Al treilea termen poate fi găsit prin formula:

b n = b 1 · q n -1 .

De exemplu,

găsiți al șaptelea termen al progresiei geometrice 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

atunci evident

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

fiecare membru al unei progresii geometrice, începând cu cel de-al doilea, este egal cu media geometrică (proporțională) a elementelor precedente și următoare.

Deoarece declarația converse este, de asemenea, adevărată, urmează următoarea declarație:

numerele a, b și c sunt membri consecutivi ai unei anumite progresii geometrice dacă și numai dacă pătratul unuia dintre ei este egal cu produsul celorlalte două, adică unul dintre numere este media geometrică a celorlalte două.

De exemplu,

să dovedim că secvența dată de formulă b n= -3 2 n , este o progresie exponențială. Să folosim afirmația de mai sus. Avem:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Prin urmare,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

ceea ce dovedește afirmația cerută. ◄

Rețineți că n -al doilea termen al progresiei geometrice poate fi găsit nu numai prin b 1 dar și orice termen anterior b k , pentru care este suficient să folosiți formula

b n = b k · q n - k.

De exemplu,

pentru b 5 poate fi scris

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

atunci evident

b n 2 = b n - k· b n + k

pătratul oricărui membru al unei progresii geometrice, începând de la al doilea, este egal cu produsul membrilor acestei progresii echidistante de el.

În plus, pentru orice progresie geometrică, egalitatea este adevărată:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

De exemplu,

exponențial

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , deoarece

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

primul n membri ai unei progresii geometrice cu numitorul q ≠ 0 calculat după formula:

Și atunci când q = 1 - conform formulei

S n= nb 1

Rețineți că, dacă trebuie să rezumați termenii

b k, b k +1 , . . . , b n,

atunci se folosește formula:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - q n - k +1	.
	1 - q

De exemplu,

exponențial 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Dacă se dă o progresie geometrică, atunci valorile b 1 , b n, q, nși S n legate de două formule:

Prin urmare, dacă sunt date valorile oricăror trei dintre aceste mărimi, atunci valorile corespunzătoare ale celorlalte două mărimi sunt determinate din aceste formule, combinate într-un sistem de două ecuații cu două necunoscute.

Pentru o progresie geometrică cu primul termen b 1 și numitorul q următoarele proprietăți de monotonie :

• progresia este ascendentă dacă este îndeplinită una dintre următoarele condiții:

b 1 > 0 și q> 1;

b 1 < 0 și 0 < q< 1;

• progresia scade dacă este îndeplinită una dintre următoarele condiții:

b 1 > 0 și 0 < q< 1;

b 1 < 0 și q> 1.

Dacă q< 0 , atunci progresia geometrică alternează: membrii săi impari au același semn ca primul său termen, iar termenii pare au semnul opus. Este clar că o progresie geometrică alternativă nu este monotonă.

Opera primului n membrii unei progresii geometrice pot fi calculați prin formula:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

De exemplu,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Progresie geometrică în scădere infinită

Progresie geometrică în scădere infinită se numește o progresie geometrică infinită, modulul numitorului căruia este mai mic decât 1 , acesta este

|q| < 1 .

Rețineți că o progresie geometrică descrescătoare infinit nu poate fi o secvență descrescătoare. Acest lucru se potrivește cazului

1 < q< 0 .

Cu un astfel de numitor, secvența alternează. De exemplu,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Suma unei progresii geometrice descrescătoare infinit este numărul la care suma primului n membrii progresiei cu o creștere nelimitată a numărului n ... Acest număr este întotdeauna finit și se exprimă prin formula

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

De exemplu,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Relația dintre progresiile aritmetice și geometrice

Progresiunile aritmetice și geometrice sunt strâns legate. Să vedem doar două exemple.

A 1 , A 2 , A 3 , . . . d , atunci

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

De exemplu,

1, 3, 5, . . . - progresie aritmetică cu diferență 2 și

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - progresie geometrică cu numitor 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - progresie geometrică cu numitor q , atunci

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - progresie aritmetică cu diferență log aq .

De exemplu,

2, 12, 72, . . . - progresie geometrică cu numitor 6 și

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - progresie aritmetică cu diferență lg 6 . ◄

Primul nivel

Progresia aritmetică. Teorie detaliată cu exemple (2019)

Secvența numerică

Deci, să ne așezăm și să începem să scriem niște numere. De exemplu:
Puteți scrie orice numere și pot fi câte doriți (în cazul nostru, ele). Indiferent câte numere am scrie, putem spune oricând care este primul, care este al doilea și așa mai departe până la ultimul, adică le putem număra. Acesta este un exemplu de secvență numerică:

Secvența numerică
De exemplu, pentru secvența noastră:

Numărul atribuit este specific unui singur număr din secvență. Cu alte cuvinte, nu există numere de trei secunde în secvență. Al doilea număr (cum ar fi numărul -th) este întotdeauna unul.
Numărul cu numărul este numit al treilea membru al secvenței.

De obicei, numim întreaga secvență o anumită literă (de exemplu,) și fiecare membru al acestei secvențe este aceeași literă cu un indice egal cu numărul acestui membru:.

În cazul nostru:

Să presupunem că avem o secvență numerică în care diferența dintre numerele adiacente este aceeași și egală.
De exemplu:

etc.
Această secvență numerică se numește progresie aritmetică.
Termenul „progresie” a fost introdus de autorul roman Boethius în secolul al VI-lea și a fost înțeles într-un sens mai larg ca o secvență numerică nesfârșită. Numele de „aritmetică” a fost preluat din teoria proporțiilor continue, care a fost ocupată de grecii antici.

Aceasta este o secvență numerică, al cărei membru este egal cu cel precedent, adăugat la același număr. Acest număr se numește diferența progresiei aritmetice și se notează cu.

Încercați să determinați ce secvențe numerice sunt progresia aritmetică și care nu:

A)
b)
c)
d)

Ați înțeles? Să comparăm răspunsurile noastre:
Este un progresie aritmetică - b, c.
Nu este progresie aritmetică - a, d.

Să ne întoarcem la progresia dată () și să încercăm să găsim valoarea celui de-al treilea membru. Exista Două modul de a-l găsi.

1. Metoda

Putem adăuga la valoarea anterioară a numărului progresiei până când ajungem la al treilea termen al progresiei. Este bine că nu mai avem mult de rezumat - doar trei valori:

Deci, al treilea membru al progresiei aritmetice descrise este egal cu.

2. Metoda

Ce ar fi dacă ar fi nevoie să găsim valoarea celui de-al treilea termen al progresiei? Suma ne-ar dura mai mult de o oră și nu este un fapt faptul că nu ne-am înșela atunci când adăugăm numere.
Desigur, matematicienii au venit cu un mod în care nu este nevoie să adăugați diferența progresiei aritmetice la valoarea anterioară. Aruncați o privire mai atentă asupra imaginii desenate ... Sigur ați observat deja un anumit model, și anume:

De exemplu, să vedem cum se adaugă valoarea celui de-al treilea membru al acestei progresii aritmetice:


Cu alte cuvinte:

Încercați să găsiți singur în acest fel valoarea unui membru al unei anumite progresii aritmetice.

Calculat? Comparați notele cu răspunsul:

Vă rugăm să rețineți că ați obținut exact același număr ca și în metoda anterioară, când am adăugat succesiv membrii progresiei aritmetice la valoarea anterioară.
Să încercăm să „depersonalizăm” această formulă - o vom aduce în formă generală și vom obține:

Ecuația progresiei aritmetice.

Progresiunile aritmetice sunt ascendente și uneori descrescătoare.

Ascendent- progresii în care fiecare valoare ulterioară a membrilor este mai mare decât cea precedentă.
De exemplu:

In scadere- progresii în care fiecare valoare ulterioară a membrilor este mai mică decât cea precedentă.
De exemplu:

Formula derivată este utilizată în calcularea termenilor atât în ​​termeni crescători, cât și în descreștere ai unei progresii aritmetice.
Să verificăm în practică.
Ni se oferă o progresie aritmetică constând din următoarele numere: Să verificăm care va fi numărul al treilea al acestei progresii aritmetice dacă folosim formula noastră pentru a o calcula:

De atunci:

Astfel, ne-am asigurat că formula funcționează atât în ​​progresie aritmetică descrescătoare, cât și în creștere.
Încercați să găsiți singur al treilea și al treilea termen al acestei progresii aritmetice.

Să comparăm rezultatele obținute:

Proprietatea de progresie aritmetică

Să complicăm sarcina - vom obține proprietatea progresiei aritmetice.
Să presupunem că ni se dă următoarea condiție:
- progresie aritmetică, găsiți valoarea.
Ușor, spui și începi să numeri după formula pe care o știi deja:

Să, a, apoi:

Absolut corect. Se pare că mai întâi găsim, apoi îl adăugăm la primul număr și obținem ceea ce căutăm. Dacă progresia este reprezentată de valori mici, atunci nu este nimic complicat, dar dacă ni se dau numere în această condiție? Recunoașteți-o, există șansa de a face o greșeală în calcule.
Acum gândiți-vă, este posibil să rezolvați această problemă într-o singură acțiune folosind vreo formulă? Desigur, da, și ea este cea pe care o vom încerca să ne retragem acum.

Să denotăm termenul cerut al progresiei aritmetice ca, știm formula pentru găsirea acestuia - aceasta este aceeași formulă pe care am derivat-o la început:
, atunci:

• membrul anterior al progresiei este:
• următorul membru al progresiei este:

Să rezumăm membrii anteriori și următori ai progresiei:

Se pare că suma membrilor anteriori și ai ulteriori ai progresiei este valoarea dublată a membrului progresiei situat între ei. Cu alte cuvinte, pentru a găsi valoarea unui membru al progresiei cu valori anterioare și consecutive cunoscute, este necesar să le adunăm și să le împărțim la.

Așa este, avem același număr. Să reparăm materialul. Calculați singuri valoarea pentru progresie, deoarece nu este deloc dificil.

Bine făcut! Știi aproape totul despre progresie! Mai rămâne o singură formulă de învățat, care, potrivit legendei, a fost ușor dedusă de el de unul dintre cei mai mari matematicieni din toate timpurile, „regele matematicienilor” - Karl Gauss ...

Când Karl Gauss avea 9 ani, un profesor angajat în verificarea muncii elevilor din alte clase a cerut următoarea sarcină în lecție: „Calculați suma tuturor numerelor naturale de la până la (conform altor surse până la) inclusiv”. Imaginați-vă surpriza profesorului când unul dintre elevii săi (era Karl Gauss) a dat răspunsul corect la problemă într-un minut, în timp ce majoritatea colegilor de clasă ai temerarului, după calcule îndelungate, au primit rezultatul greșit ...

Tânărul Karl Gauss a observat un anumit tipar pe care îl poți observa cu ușurință.
Să presupunem că avem o progresie aritmetică formată din membrii -th: Trebuie să găsim suma membrilor dari ai progresiei aritmetice. Desigur, putem însuma manual toate valorile, dar dacă în sarcină este necesar să găsim suma membrilor săi, așa cum a căutat Gauss?

Să descriem progresia dată. Priviți cu atenție numerele evidențiate și încercați să efectuați diverse operații matematice cu ele.


Ai încercat? Ce ai observat? Dreapta! Sumele lor sunt egale

Acum spune-mi, câte astfel de perechi există în progresia dată? Desigur, exact jumătate din toate numerele, adică.
Pe baza faptului că suma a doi membri ai unei progresii aritmetice este egală și perechi egale similare, obținem că suma totală este:
.
Astfel, formula pentru suma primilor termeni ai oricărei progresii aritmetice va fi următoarea:

În unele probleme, nu cunoaștem al treilea termen, dar cunoaștem diferența în progresie. Încercați să înlocuiți formula cu suma, formula celui de-al treilea termen.
Ce-ai făcut?

Bine făcut! Acum să revenim la problema care i-a fost dată lui Karl Gauss: calculați-vă care este suma numerelor începând de la -th și suma numerelor începând de la -th.

Cât ai obținut?
Gauss a constatat că suma membrilor este egală și suma membrilor. Așa ați decis?

De fapt, formula pentru suma membrilor unei progresii aritmetice a fost dovedită de către vechiul om de știință grec Diophantus în secolul al III-lea și, în tot acest timp, oamenii înțelepți foloseau proprietățile unei progresii aritmetice cu putere și principal.
De exemplu, imaginați-vă Egiptul Antic și cel mai ambițios șantier din acea vreme - construcția piramidei ... Imaginea arată o parte a acesteia.

Unde este progresul pe care-l spui aici? Uită-te atent și găsește un model în numărul de blocuri de nisip din fiecare rând al peretelui piramidei.


Nu este o progresie aritmetică? Calculați câte blocuri sunt necesare pentru a construi un perete dacă cărămizi de bloc sunt plasate în bază. Sper că nu veți conta numărându-vă degetul pe monitor, vă amintiți ultima formulă și tot ce am spus despre progresia aritmetică?

În acest caz, progresia arată astfel :.
Diferența progresiei aritmetice.
Numărul de membri ai progresiei aritmetice.
Să substituim datele noastre în ultimele formule (vom număra numărul de blocuri în 2 moduri).

Metoda 1.

Metoda 2.

Și acum puteți calcula pe monitor: comparați valorile obținute cu numărul de blocuri care se află în piramida noastră. A venit împreună? Bravo, ați stăpânit suma termenilor progresiei aritmetice.
Desigur, nu puteți construi o piramidă din blocuri de la bază, dar din? Încercați să calculați câte cărămizi de nisip sunt necesare pentru a construi un perete cu această condiție.
Ai reușit?
Răspunsul corect este blocurile:

A face exerciții fizice

Sarcini:

1. Masha se formează până în vară. În fiecare zi, crește numărul de genuflexiuni cu. De câte ori se va ghemui Masha în săptămâni, dacă la primul antrenament a făcut ghemuit.
2. Care este suma tuturor numerelor impare conținute în.
3. Când depozitați jurnalele, lemnarii le stivuiesc în așa fel încât fiecare strat superior să conțină un jurnal mai puțin decât cel anterior. Câte bușteni sunt într-o singură zidărie, dacă buștenii servesc drept bază pentru zidărie.

Răspunsuri:

1. Să definim parametrii progresiei aritmetice. În acest caz
   (săptămâni = zile).

   Răspuns: După două săptămâni, Masha ar trebui să se ghemuit o dată pe zi.

2. Primul număr impar, ultimul număr.
   Diferența progresiei aritmetice.
   Numărul de numere impare este de jumătate, cu toate acestea, vom verifica acest fapt folosind formula pentru găsirea celui de-al treilea termen al unei progresii aritmetice:

   Numerele conțin numere impare.
   Înlocuiți datele disponibile în formula:

   Răspuns: Suma tuturor numerelor impare conținute în este egală cu.

3. Să ne amintim de problema piramidei. Pentru cazul nostru, a, deoarece fiecare strat superior este redus cu un jurnal, atunci doar într-o grămadă de straturi, adică.
   Să înlocuim datele în formula:

   Răspuns: Există bușteni în zidărie.

Să rezumăm

1. - o secvență numerică în care diferența dintre numerele adiacente este aceeași și egală. Poate fi crescător și descrescător.
2. Formula de găsire-al membru al progresiei aritmetice este scris prin formula -, unde este numărul de numere din progresie.
3. Proprietatea membrilor unei progresii aritmetice- - unde este numărul de numere din progresie.
4. Suma membrilor unei progresii aritmetice poate fi găsit în două moduri:
   
   , unde este numărul de valori.

PROGRESIA ARITMETICĂ. NIVEL MEDIU

Secvența numerică

Să ne așezăm și să începem să scriem câteva numere. De exemplu:

Puteți scrie orice numere și pot fi câte doriți. Dar puteți spune oricând care este primul, care este al doilea și așa mai departe, adică le putem număra. Acesta este un exemplu de secvență numerică.

Secvența numerică este un set de numere, cărora li se poate atribui un număr unic.

Cu alte cuvinte, fiecare număr poate fi asociat cu un anumit număr natural și singurul. Și nu vom atribui acest număr niciunui alt număr din acest set.

Numărul cu numărul este numit al treilea membru al secvenței.

De obicei, numim întreaga secvență o anumită literă (de exemplu,) și fiecare membru al acestei secvențe este aceeași literă cu un indice egal cu numărul acestui membru:.

Este foarte convenabil dacă al treilea termen al secvenței poate fi dat de o anumită formulă. De exemplu, formula

setează secvența:

Și formula este următoarea secvență:

De exemplu, o progresie aritmetică este o secvență (primul termen aici este egal și diferența). Sau (, diferență).

Formula termenului al nouălea

Numim recurentă o formulă în care pentru a afla cel de-al treilea membru, trebuie să știți pe cel anterior sau mai mulți anteriori:

Pentru a găsi, de exemplu, al treilea termen al progresiei folosind o astfel de formulă, va trebui să calculăm nouă nouă. De exemplu, să Atunci:

Ei bine, care este formula acum?

În fiecare linie la care adăugăm, înmulțită cu un anumit număr. Pentru ce? Foarte simplu: acesta este numărul de membru actual minus:

Mult mai convenabil acum, nu? Verificăm:

Decideți-vă:

Într-o progresie aritmetică, găsiți formula pentru al treilea termen și găsiți cel de-al sută termen.

Soluţie:

Primul termen este egal. Care este diferența? Și iată ce:

(este pentru că se numește diferența, care este egală cu diferența membrilor succesivi ai progresiei).

Deci formula este:

Apoi al saselea termen este:

Care este suma tuturor numerelor naturale de la?

Conform legendei, marele matematician Karl Gauss, fiind un băiat de 9 ani, a calculat această sumă în câteva minute. El a observat că suma primului și ultimului număr este egală, suma celui de-al doilea și ultimul, dar unul este la fel, suma celui de-al treilea și al treilea de la sfârșit este aceeași și așa mai departe. Câte astfel de perechi vor exista? Așa este, exact jumătate din numărul tuturor, adică. Asa de,

Formula generală pentru suma primilor membri ai oricărei progresii aritmetice ar fi:

Exemplu:
Găsiți suma tuturor multiplilor din două cifre.

Soluţie:

Primul astfel de număr este. Fiecare următor este obținut prin adăugarea la numărul anterior. Astfel, numerele care ne interesează formează o progresie aritmetică cu primul termen și diferența.

Formula a treia termen pentru această progresie este:

Câți membri sunt în progresie dacă toți trebuie să aibă două cifre?

Foarte usor: .

Ultimul termen din progresie va fi egal. Apoi suma:

Răspuns: .

Acum decideți singur:

1. În fiecare zi, sportivul aleargă mai mult de m decât ziua precedentă. Câți kilometri va alerga în săptămâni dacă a alergat km m în prima zi?
2. Un biciclist conduce zilnic mai mulți kilometri decât precedentul. În prima zi, a condus km. De câte zile are nevoie pentru a parcurge km? Câți kilometri va parcurge în ultima zi a călătoriei?
3. Prețul unui frigider într-un magazin scade cu aceeași sumă în fiecare an. Determinați cât de mult a scăzut prețul unui frigider în fiecare an dacă, pus în vânzare pentru ruble, șase ani mai târziu a fost vândut pentru ruble.

Răspunsuri:

1. Cel mai important lucru aici este să recunoaștem progresia aritmetică și să-i determinăm parametrii. În acest caz, (săptămâni = zile). Trebuie să determinați suma primilor membri ai acestei progresii:
   .
   Răspuns:
2. Este dat aici :, este necesar să găsim.
   Evident, trebuie să utilizați aceeași formulă sumă ca în problema anterioară:
   .
   Înlocuiți valorile:

   Rădăcina, evident, nu se potrivește, așa că răspunsul este.
   Să calculăm distanța parcursă pentru ultima zi folosind formula a treia dată:
   (km).
   Răspuns:

3. Dat:. Găsi: .
   Nu ar putea fi mai ușor:
   (freca).
   Răspuns:

PROGRESIA ARITMETICĂ. SCURT DESPRE PRINCIPAL

Aceasta este o secvență numerică în care diferența dintre numerele adiacente este aceeași și egală.

Progresia aritmetică poate fi ascendentă () și descrescătoare ().

De exemplu:

Formula pentru a găsi al n-lea termen al unei progresii aritmetice

scris cu formula, unde este numărul de numere din progresie.

Proprietatea membrilor unei progresii aritmetice

Vă permite să găsiți cu ușurință un membru al progresiei dacă sunt cunoscuți membrii învecinați - unde este numărul de numere din progresie.

Suma membrilor unei progresii aritmetice

Există două moduri de a găsi suma:

Unde este numărul de valori.

Unde este numărul de valori.

Instrucțiuni

O progresie aritmetică este o secvență de forma a1, a1 + d, a1 + 2d ..., a1 + (n-1) d. D în pași progresie Este evident că totalul unui al n-lea termen arbitrar al aritmeticii progresie are forma: An = A1 + (n-1) d. Apoi cunoașterea unuia dintre membri progresie, membru progresieși pas progresie, puteți, adică numărul membrului progresului. Evident, va fi determinat de formula n = (An-A1 + d) / d.

Acum să fie cunoscut termenul m progresieși un alt membru progresie- n-a, dar n, ca în cazul anterior, dar se știe că n și m nu coincid. progresie poate fi calculat prin formula: d = (An-Am) / (n-m). Atunci n = (An-Am + md) / d.

Dacă se cunoaște suma mai multor elemente ale aritmeticii progresie, precum și primul și ultimul său, atunci se poate determina și numărul acestor elemente. progresie va fi egal cu: S = ((A1 + An) / 2) n. Atunci n = 2S / (A1 + An) - chdenov progresie... Folosind faptul că An = A1 + (n-1) d, această formulă poate fi rescrisă ca: n = 2S / (2A1 + (n-1) d). Din aceasta se poate exprima n rezolvând o ecuație pătratică.

O secvență aritmetică este un astfel de set ordonat de numere, fiecare membru din care, cu excepția primului, diferă de cel anterior cu aceeași cantitate. Această constantă se numește diferența de progresie sau pasul acesteia și poate fi calculată din membrii cunoscuți ai progresiei aritmetice.

Instrucțiuni

Dacă valorile primului și celui de-al doilea sau ale oricărei alte perechi de termeni învecinați sunt cunoscute din condițiile problemei, pentru a calcula diferența (d), scade pur și simplu pe precedentul din termenul următor. Valoarea rezultată poate fi fie pozitivă, fie negativă, în funcție de progresia în creștere. În formă generală, scrieți soluția pentru o pereche arbitrară (aᵢ și aᵢ₊₁) de membri adiacenți ai progresiei după cum urmează: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Pentru o pereche de termeni ai unei astfel de progresii, dintre care unul este primul (a₁), iar celălalt este orice alt arbitrar ales, este de asemenea posibil să se compună o formulă pentru găsirea diferenței (d). Cu toate acestea, în acest caz, trebuie cunoscut numărul de secvență (i) al unui membru arbitrar selectat al secvenței. Pentru a calcula diferența, adăugați ambele numere și împărțiți rezultatul la numărul ordinal al unui termen arbitrar redus cu unul. În general, scrieți această formulă după cum urmează: d = (a₁ + aᵢ) / (i-1).

Dacă, pe lângă un membru arbitrar al progresiei aritmetice cu ordinal i, este cunoscut un alt membru cu ordinal u, schimbați formula din pasul anterior în consecință. În acest caz, diferența (d) a progresiei va fi suma acestor doi termeni împărțiți la diferența numerelor lor ordinale: d = (aᵢ + aᵥ) / (i-v).

Formula pentru calcularea diferenței (d) va deveni oarecum mai complicată dacă valoarea primului său termen (a₁) și suma (Sᵢ) a unui număr dat (i) din primii membri ai secvenței aritmetice sunt date în problemă condiții. Pentru a obține valoarea dorită, împărțiți suma la numărul de membri care o compun, scădeți valoarea primului număr din secvență și dublați rezultatul. Împărțiți valoarea rezultată la numărul de membri care alcătuiesc suma, redusă cu unul. În general, scrieți formula pentru calcularea discriminantului după cum urmează: d = 2 * (Sᵢ / i-a₁) / (i-1).

Când studiați algebra într-o școală de educație generală (clasa a 9-a), unul dintre subiectele importante este studiul secvențelor numerice, care includ progresii - geometrice și aritmetice. În acest articol, vom lua în considerare progresia aritmetică și exemple cu soluții.

Ce este o progresie aritmetică?

Pentru a înțelege acest lucru, este necesar să se dea o definiție a progresiei luate în considerare, precum și să se furnizeze formulele de bază care vor fi utilizate în continuare în rezolvarea problemelor.

Aritmetica sau este un ansamblu de numere raționale ordonate, al căror termen diferă de cel anterior cu o cantitate constantă. Această valoare se numește diferență. Adică, cunoscând orice membru al seriei ordonate de numere și diferența, puteți restabili întreaga progresie aritmetică.

Să dăm un exemplu. Următoarea secvență de numere va fi o progresie aritmetică: 4, 8, 12, 16, ..., deoarece diferența în acest caz este 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Dar mulțimea numerelor 3, 5, 8, 12, 17 nu mai poate fi atribuită tipului de progres considerat, deoarece diferența pentru aceasta nu este o valoare constantă (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Formule importante

Să oferim acum formulele de bază care vor fi necesare pentru rezolvarea problemelor folosind o progresie aritmetică. Să notăm cu a n al n-lea termen al secvenței, unde n este un număr întreg. Diferența este notată de litera latină d. Atunci sunt valabile următoarele expresii:

1. Pentru a determina valoarea celui de-al n-lea termen, formula este potrivită: a n = (n-1) * d + a 1.
2. Pentru a determina suma primilor n termeni: S n = (a n + a 1) * n / 2.

Pentru a înțelege orice exemple de progresie aritmetică cu o soluție în clasa a 9-a, este suficient să ne amintim aceste două formule, deoarece orice problemă de tipul în cauză se bazează pe utilizarea lor. De asemenea, trebuie să vă amintiți că diferența de progresie este determinată de formula: d = a n - a n-1.

Exemplul # 1: găsirea unui membru necunoscut

Să dăm un exemplu simplu de progresie aritmetică și formule care trebuie utilizate pentru a rezolva.

Să se dea secvența 10, 8, 6, 4, ..., este necesar să se găsească cinci termeni în ea.

Din afirmația problemă rezultă deja că primii 4 termeni sunt cunoscuți. Al cincilea poate fi definit în două moduri:

1. Să calculăm mai întâi diferența. Avem: d = 8 - 10 = -2. La fel, s-ar putea lua alți doi membri care stau unul lângă celălalt. De exemplu, d = 4 - 6 = -2. Deoarece se știe că d = a n - a n-1, atunci d = a 5 - a 4, de unde obținem: a 5 = a 4 + d. Înlocuiți valorile cunoscute: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. A doua metodă necesită, de asemenea, cunoașterea diferenței progresiei luate în considerare, deci mai întâi trebuie să o determinați așa cum se arată mai sus (d = -2). Știind că primul termen a 1 = 10, folosim formula pentru n numărul secvenței. Avem: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2 * n. Înlocuind n = 5 în ultima expresie, obținem: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

După cum puteți vedea, ambele metode de soluție au condus la același rezultat. Rețineți că în acest exemplu, diferența d a progresiei este negativă. Astfel de secvențe sunt numite descrescătoare, deoarece fiecare termen următor este mai mic decât cel anterior.

Exemplul # 2: Diferența de progresie

Acum, să complicăm puțin sarcina, vom da un exemplu despre cum să găsim diferența unei progresii aritmetice.

Se știe că în unele progresii algebrice primul termen este egal cu 6, iar cel de-al 7-lea termen este egal cu 18. Este necesar să se găsească diferența și să se restabilească această secvență la cel de-al 7-lea termen.

Să folosim formula pentru a determina termenul necunoscut: a n = (n - 1) * d + a 1. Înlocuim în ea datele cunoscute din condiție, adică numerele a 1 și a 7, avem: 18 = 6 + 6 * d. Din această expresie, puteți calcula cu ușurință diferența: d = (18 - 6) / 6 = 2. Astfel, am răspuns la prima parte a problemei.

Pentru a restabili o secvență de până la 7 termeni, ar trebui să utilizați definiția unei progresii algebrice, adică a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d și așa mai departe. Ca urmare, restabilim întreaga secvență: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Exemplul # 3: realizarea unei progresii

Să complicăm și mai mult starea problemei. Acum este necesar să răspundem la întrebarea cum să găsim progresia aritmetică. Puteți da următorul exemplu: dat două numere, de exemplu - 4 și 5. Este necesar să se facă o progresie algebrică, astfel încât să se încadreze încă trei termeni între aceștia.

Înainte de a începe rezolvarea acestei probleme, este necesar să înțelegem ce loc vor ocupa numerele date în viitoarea progresie. Deoarece vor exista încă trei termeni între ei, atunci 1 = -4 și 5 = 5. După ce am stabilit acest lucru, trecem la problema, care este similară cu cea anterioară. Din nou, pentru al n-lea termen, folosim formula, obținem: a 5 = a 1 + 4 * d. De unde: d = (a 5 - a 1) / 4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Aici nu am primit o valoare întreagă a diferenței, dar este un număr rațional, astfel încât formulele pentru progresia algebrică rămân aceleași.

Acum adăugați diferența găsită la 1 și restaurați membrii lipsă ai progresiei. Obținem: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 = 2.75 + 2.25 = 5, care au coincis cu starea problemei.

Exemplul # 4: primul termen al progresiei

Să continuăm să oferim exemple de progresie aritmetică cu o soluție. În toate problemele anterioare, a fost cunoscut primul număr al progresiei algebrice. Acum luați în considerare o problemă de alt tip: să se dea două numere, unde a 15 = 50 și a 43 = 37. Este necesar să se găsească numărul de la care începe această secvență.

Formulele utilizate până acum presupun cunoașterea unui 1 și d. Nu se știe nimic despre aceste numere în enunțul problemei. Cu toate acestea, scriem expresii pentru fiecare membru despre care există informații: a 15 = a 1 + 14 * d și a 43 = a 1 + 42 * d. Am primit două ecuații în care 2 cantități necunoscute (a 1 și d). Aceasta înseamnă că problema se reduce la rezolvarea unui sistem de ecuații liniare.

Cel mai simplu mod de a rezolva acest sistem este să exprimăm 1 în fiecare ecuație și apoi să comparăm expresiile rezultate. Prima ecuație: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; a doua ecuație: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Echivalând aceste expresii, obținem: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, de unde diferența d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (sunt date doar 3 zecimale).

Cunoscând d, puteți utiliza oricare dintre cele 2 expresii de mai sus pentru un 1. De exemplu, primul: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0.464) = 56.496.

Dacă aveți îndoieli cu privire la rezultat, îl puteți verifica, de exemplu, pentru a determina termenul de progresie 43, care este specificat în condiție. Obținem: a 43 = a 1 + 42 * d = 56.496 + 42 * (- 0.464) = 37.008. O mică eroare se datorează faptului că calculele au folosit rotunjirea la miimi.

Exemplul # 5: suma

Să vedem acum câteva exemple cu soluții pentru suma unei progresii aritmetice.

Să se dea o progresie numerică de următoarea formă: 1, 2, 3, 4, ...,. Cum calculați suma acestor 100 de numere?

Datorită dezvoltării tehnologiei computerului, este posibil să se rezolve această problemă, adică să adune toate numerele secvențial, lucru pe care computerul îl va face imediat ce o persoană apasă tasta Enter. Cu toate acestea, problema poate fi rezolvată în minte, dacă acordăm atenție faptului că seria de numere prezentată este o progresie algebrică, iar diferența sa este 1. Aplicând formula pentru sumă, obținem: S n = n * (a 1 + an) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Este curios să observăm că această problemă se numește „gaussiană”, deoarece la începutul secolului al XVIII-lea faimosul german, deși avea doar 10 ani, a reușit să o rezolve în cap în câteva secunde. Băiatul nu știa formula pentru suma unei progresii algebrice, dar a observat că dacă adăugați în perechi numerele de pe marginile secvenței, obțineți întotdeauna un rezultat, adică 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ... și, deoarece aceste sume vor fi exact 50 (100/2), atunci pentru a obține răspunsul corect, este suficient să înmulțiți 50 cu 101.

Exemplul # 6: suma membrilor de la n la m

Un alt exemplu tipic al sumei unei progresii aritmetice este următorul: având în vedere o serie de numere: 3, 7, 11, 15, ..., trebuie să aflați ce va egala suma membrilor săi de la 8 la 14.

Problema este rezolvată în două moduri. Primul dintre aceștia implică găsirea termenilor necunoscuți de la 8 la 14 și apoi însumarea lor secvențială. Deoarece există puțini termeni, această metodă nu este suficient de laborioasă. Cu toate acestea, se propune rezolvarea acestei probleme prin a doua metodă, care este mai universală.

Ideea este de a obține o formulă pentru suma progresiei algebrice dintre termenii m și n, unde n> m sunt numere întregi. Să scriem două expresii pentru suma pentru ambele cazuri:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

Deoarece n> m, este evident că suma 2 include prima. Ultima concluzie înseamnă că, dacă luăm diferența dintre aceste sume și adăugăm termenul a m (în cazul luării diferenței, se scade din suma S n), atunci obținem răspunsul necesar la problemă. Avem: S mn = S n - S m + am = n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am = a 1 * (n - m) / 2 + an * n / 2 + am * (1- m / 2). În această expresie este necesar să se substituie formulele pentru a n și a m. Apoi obținem: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Formula rezultată este oarecum greoaie; totuși, suma lui S mn depinde doar de n, m, a 1 și d. În cazul nostru, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Înlocuind aceste numere, obținem: S mn = 301.

După cum se poate vedea din soluțiile date, toate problemele se bazează pe cunoașterea expresiei pentru al n-lea termen și formula pentru suma setului primilor termeni. Înainte de a continua cu soluționarea oricăreia dintre aceste probleme, se recomandă să citiți cu atenție starea, să înțelegeți clar ce trebuie găsit și abia apoi să treceți la soluție.

Un alt sfat este să căutați simplitatea, adică dacă puteți răspunde la o întrebare fără a utiliza calcule matematice complexe, atunci trebuie să faceți exact acest lucru, deoarece în acest caz probabilitatea de a face o greșeală este mai mică. De exemplu, într-un exemplu de progresie aritmetică cu soluția # 6, s-ar putea opri la formula S mn = n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am și se rupe problema generală în subtaskuri separate (în acest caz, găsiți mai întâi membrii an și am).

Dacă există îndoieli cu privire la rezultatul obținut, se recomandă verificarea acestuia, așa cum s-a făcut în unele dintre exemplele date. Am descoperit cum să găsim progresia aritmetică. Dacă vă dați seama, nu este atât de dificil.