هناك مثلثات في الزوايا. مثلث. دروس كاملة – المعرفة هايبر ماركت

المثلث - التعريف والمفاهيم العامة

المثلث هو مضلع بسيط يتكون من ثلاثة أضلاع وله نفس عدد الزوايا. مستوياتها محدودة بـ 3 نقاط و 3 أجزاء تربط هذه النقاط في أزواج.

يتم تحديد جميع رؤوس أي مثلث، بغض النظر عن نوعه، بأحرف كبيرة بأحرف لاتينية، وتم تصوير جوانبها بالتسميات المقابلة للقمم المتقابلة، ولكن ليس كذلك بالحروف الكبيرةولكنها صغيرة. لذلك، على سبيل المثال، المثلث الذي رؤوسه A وB وC له أضلاعه a وb وc.

إذا نظرنا إلى مثلث في الفضاء الإقليدي، فهذا هو الحال الشكل الهندسي، والتي تم تشكيلها باستخدام ثلاثة أجزاء تربط بين ثلاث نقاط لا تقع على نفس الخط المستقيم.

انظر بعناية إلى الصورة الموضحة أعلاه. عليه، النقاط A وB وC هي رؤوس هذا المثلث، وتسمى أجزائه أضلاع المثلث. يشكل كل رأس من هذا المضلع زوايا بداخله.

أنواع المثلثات

وفقًا لحجم زوايا المثلثات، يتم تقسيمها إلى أصناف مثل: مستطيلة؛
الزاوي الحاد
منفرج الزاوية.

تشمل المثلثات المستطيلة تلك التي لها زاوية قائمة واحدة والاثنتين الأخريين لهما زوايا حادة.

المثلثات الحادة هي تلك التي تكون جميع زواياها حادة.

وإذا كان للمثلث زاوية منفرجة واحدة وزاويتين حادتين أخريين، فإن هذا المثلث يصنف على أنه منفرج.

يفهم كل واحد منكم جيدًا أنه ليس كل المثلثات موجودة جوانب متساوية. ويمكن تقسيم المثلثات حسب أطوال أضلاعها إلى:

متساوي الساقين؛
متساوي الاضلاع؛
متنوع القدرات.

المهمة: رسم أنواع مختلفة من المثلثات. تعريف لهم. ما الفرق الذي تراه بينهما؟

الخصائص الأساسية للمثلثات

وعلى الرغم من أن هذه المضلعات البسيطة قد تختلف عن بعضها البعض في حجم زواياها أو أضلاعها، إلا أن كل مثلث له الخصائص الأساسية التي يتميز بها هذا الشكل.

في أي مثلث:

مجموع زواياه كلها 180 درجة.
إذا كان ينتمي إلى متساوي الأضلاع، فإن قياس كل زاوية من زواياه هو 60 درجة.
المثلث متساوي الأضلاع له زوايا متساوية ومتساوية.
كلما صغر ضلع المضلع، صغرت الزاوية المقابلة له، والعكس صحيح، كلما كانت الزاوية الأكبر مقابل الضلع الأكبر.
إذا كانت الأضلاع متساوية، فإن المقابل لها هو زوايا متساوية، والعكس صحيح.
إذا أخذنا مثلثًا وقمنا بتمديد ضلعه، فسنحصل على زاوية خارجية. ويساوي مجموع الزوايا الداخلية.
في أي مثلث، سيظل جانبه، بغض النظر عن الجانب الذي تختاره، أقل من مجموع الجانبين الآخرين، ولكن أكثر من الفرق بينهما:

1.أ< b + c, a >قبل الميلاد؛
2. ب< a + c, b >أ-ج؛
3. ج< a + b, c >أ-ب.

يمارس

يوضح الجدول زاويتين معروفتين بالفعل للمثلث. بمعرفة المجموع الكلي لجميع الزوايا، ابحث عن قيمة الزاوية الثالثة للمثلث وأدخلها في الجدول:

1. ما عدد درجات الزاوية الثالثة؟
2. ما هو نوع المثلث الذي ينتمي إليه؟

اختبارات تكافؤ المثلثات

أنا أوقع

العلامة الثانية

العلامة الثالثة

الارتفاع والمنصف والوسيط في المثلث

ارتفاع المثلث - العمود المرسوم من قمة الشكل إلى الضلع المقابل له يسمى ارتفاع المثلث. جميع ارتفاعات المثلث تتقاطع عند نقطة واحدة. نقطة تقاطع الارتفاعات الثلاثة للمثلث هي مركزه المتعامد.

القطعة المستقيمة المرسومة من رأس معين، والتي تصلها في منتصف الجانب المقابل، هي القطعة المتوسطة. المتوسطات، وكذلك ارتفاعات المثلث، لها نقطة تقاطع مشتركة واحدة، ما يسمى بمركز ثقل المثلث أو النقطه الوسطى.

منصف المثلث هو قطعة تربط قمة الزاوية ونقطة على الجانب المقابل، وتقسم هذه الزاوية أيضًا إلى النصف. تتقاطع جميع منصفات المثلث في نقطة واحدة تسمى مركز الدائرة المدرجة في المثلث.

الجزء الذي يربط بين منتصف ضلعي المثلث يسمى خط الوسط.

مرجع تاريخي

كان هذا الشكل مثل المثلث معروفًا في العصور القديمة. وقد ورد ذكر هذا الشكل وخصائصه في البرديات المصرية منذ أربعة آلاف سنة. وبعد ذلك بقليل، وبفضل نظرية فيثاغورس وصيغة هيرون، انتقلت دراسة خصائص المثلث إلى المزيد مستوى عاللكن هذا حدث منذ أكثر من ألفي عام.

في القرنين الخامس عشر والسادس عشر، بدأ إجراء الكثير من الأبحاث حول خصائص المثلث، ونتيجة لذلك، ظهر علم مثل علم التخطيط، والذي كان يسمى "هندسة المثلث الجديد".

قدم العالم الروسي N. I. Lobachevsky مساهمة كبيرة في معرفة خصائص المثلثات. وجدت أعماله لاحقًا تطبيقًا في الرياضيات والفيزياء وعلم التحكم الآلي.

بفضل معرفة خصائص المثلثات، نشأ علم مثل علم المثلثات. اتضح أنه ضروري للإنسان في احتياجاته العملية، لأن استخدامه ضروري ببساطة عند رسم الخرائط وقياس المناطق وحتى عند تصميم الآليات المختلفة.

أي واحد هو الأفضل؟ المثلث الشهيرأنت تعرف؟ وهذا بالطبع مثلث برمودا! حصلت على اسمها في الخمسينيات بسبب موقع جغرافيالنقاط (رؤوس المثلث) التي نشأت من خلالها، وفقًا للنظرية الحالية، حالات شاذة مرتبطة بها. رؤوس مثلث برمودا هي برمودا وفلوريدا وبورتوريكو.

الواجب: ما هي النظريات حول مثلث برموداهل سمعتي؟

هل تعلم أنه في نظرية لوباتشيفسكي، عند جمع زوايا المثلث، يكون مجموعها دائمًا أقل من 180 درجة. في هندسة ريمان، مجموع زوايا المثلث أكبر من 180 درجة، وفي أعمال إقليدس يساوي 180 درجة.

العمل في المنزل

حل لغز الكلمات المتقاطعة حول موضوع معين

أسئلة للكلمات المتقاطعة:

1. ما اسم العمود المرسوم من رأس المثلث على المستقيم الواقع على الضلع المقابل له؟
2. كيف يمكنك في كلمة واحدة أن تسمي مجموع أطوال أضلاع المثلث؟
3. ما اسم المثلث الذي يتساوى ضلعاه؟
4. ما اسم المثلث الذي قياس زاوية 90 درجة؟
5. ما اسم أكبر ضلع في المثلث؟
6. ما اسم ضلع المثلث متساوي الساقين؟
7. يوجد دائمًا ثلاثة منهم في أي مثلث.
8. ما اسم المثلث الذي تزيد فيه إحدى زواياه عن 90 درجة؟
9. ما اسم القطعة التي تربط الجزء العلوي من الشكل بمنتصف الجانب المقابل؟
10. في مضلع بسيط ABC، الحرف الكبيروهو...؟
11. ما اسم القطعة التي تقسم زاوية المثلث إلى نصفين؟

أسئلة حول موضوع المثلثات:

1. حدده.
2. كم عدد الارتفاعات؟
3. كم عدد المنصفات الموجودة في المثلث؟
4. ما هو مجموع زواياه؟
5. ما هي أنواع هذا المضلع البسيط التي تعرفها؟
6. قم بتسمية نقاط المثلثات التي تسمى رائعة.
7. ما الجهاز الذي يمكنك استخدامه لقياس الزاوية؟
8. إذا كانت عقارب الساعة تشير إلى الساعة 21. ما الزاوية التي تصنعها عقارب الساعة؟
9. في أي زاوية يستدير الشخص إذا أُعطي الأمر "يسار" أو "دائرة"؟
10. ما هي التعريفات الأخرى التي تعرفها والتي ترتبط بالشكل الذي له ثلاث زوايا وثلاثة أضلاع؟

المواد > الرياضيات > الرياضيات للصف السابع علامات المساواة في المثلثات القائمة

أنواع المثلثات

دعونا نفكر في ثلاث نقاط لا تقع على نفس الخط، وثلاثة أجزاء تربط هذه النقاط (الشكل 1).

المثلث هو جزء من المستوى الذي يحده هذه القطع، وتسمى القطع جوانب المثلث، ونهايات القطع (ثلاث نقاط لا تقع على نفس الخط المستقيم) هي رؤوس المثلث.

يسرد الجدول 1 جميع أنواع المثلثات الممكنة حسب حجم زواياها .

جدول 1 - أنواع المثلثات حسب حجم زواياها

رسم	نوع المثلث	تعريف
	مثلث حاد الزوايا	مثلث مع جميع الزوايا حادة ، تسمى حادة الزاوية
	مثلث قائم	مثلث مع إحدى الزوايا قائمة ، تسمى مستطيلة
	مثلث منفرج الزاوية	مثلث مع إحدى الزوايا منفرجة ، تسمى منفرجة

مثلث حاد الزوايا

تعريف: مثلث مع جميع الزوايا حادة ، تسمى حادة الزاوية

مثلث قائم

تعريف: مثلث مع إحدى الزوايا قائمة ، تسمى مستطيلة

مثلث منفرج الزاوية

تعريف: مثلث مع إحدى الزوايا منفرجة ، تسمى منفرجة

حسب أطوال الجوانب هناك نوعان مهمان من المثلثات.

الجدول 2 - متساوي الساقين والمثلثات متساوية الأضلاع

رسم	نوع المثلث	تعريف
	مثلث متساوي الساقين	الجانبينوالضلع الثالث يسمى قاعدة المثلث متساوي الساقين
	متساوي الأضلاع (صحيح)مثلث	المثلث الذي تكون فيه أضلاعه الثلاثة متساوية يسمى مثلث متساوي الأضلاع أو منتظم.

مثلث متساوي الساقين

تعريف: المثلث الذي يكون ضلعان متساويان يسمى مثلث متساوي الساقين. في هذه الحالة، يتم استدعاء الجانبين المتساويين الجانبينوالضلع الثالث يسمى قاعدة المثلث متساوي الساقين

مثلث متساوي الأضلاع (يمين).

تعريف: المثلث الذي تكون فيه أضلاعه الثلاثة متساوية يسمى مثلث متساوي الأضلاع أو منتظم.

علامات المساواة في المثلثات

ويقال أن المثلثات متساوية إذا كانت يمكن دمجها عن طريق التراكب .

ويبين الجدول 3 علامات تساوي المثلثات.

الجدول 3 – علامات المساواة للمثلثات

رسم	اسم الميزة	صياغة السمة
	بواسطة الجانبين والزاوية بينهما
	اختبار تكافؤ المثلثات بواسطة الجانب والزاويتين المتجاورتين
	اختبار تكافؤ المثلثات بواسطة ثلاثة أطراف

اختبار تكافؤ المثلثات على الجانبين والزاوية بينهما

صياغة السمة. إذا كان ضلعان لمثلث والزاوية بينهما متساويين على التوالي لضلعين لمثلث آخر والزاوية بينهما، فإن هذه المثلثات متطابقة

اختبار تكافؤ المثلثات على طول الجانب والزاويتين المتجاورتين

صياغة السمة. إذا كان ضلع وزاويتان متجاورتان لمثلث متساويين على التوالي لضلع وزاويتين متجاورتين لمثلث آخر، فإن هذه المثلثات تكون متطابقة

اختبار تكافؤ المثلثات على ثلاث جهات

صياغة السمة. إذا كانت ثلاثة أضلاع لمثلث واحد متساوية على التوالي مع ثلاثة أضلاع لمثلث آخر، فإن هذه المثلثات متطابقة

علامات المساواة في المثلثات القائمة

للحفلات المثلثات الصحيحةالأسماء التالية شائعة الاستخدام.

الوتر هو جانب المثلث القائم المقابل للزاوية القائمة (الشكل 2)، ويسمى الجانبان الآخران الساقين.

الجدول 4 - علامات المساواة في المثلثات القائمة

رسم	اسم الميزة	صياغة السمة
	بواسطة جانبين
	اختبار المساواة للمثلثات القائمة بواسطة الساق والزاوية الحادة المجاورة لها
	اختبار المساواة للمثلثات القائمة بواسطة الساق والزاوية الحادة المقابلة	إذا كان الساق والزاوية الحادة المقابلة لمثلث قائم متساويين على التوالي مع الساق والزاوية الحادة المقابلة لمثلث قائم آخر، فإن هذين المثلثين القائمين متطابقان
	اختبار المساواة للمثلثات القائمة بواسطة الوتر والزاوية الحادة	إذا كان الوتر والزاوية الحادة في مثلث قائم متساويين على التوالي مع الوتر والزاوية الحادة في مثلث قائم آخر، فإن هذين المثلثين القائمين متطابقان
	اختبار المساواة للمثلثات القائمة بواسطة الساق والوتر	إذا كان الضلع والوتر في مثلث قائم متساويين على التوالي مع الضلع والوتر في مثلث قائم آخر، فإن هذين المثلثين القائمين يكونان متطابقين

علامة تساوي المثلثات القائمة في الجانبين

صياغة السمة. إذا كان ساقان لمثلث قائم الزاوية متساويان على التوالي مع ساقين لمثلث قائم آخر، فإن هذه المثلثات القائمة تكون متطابقة

اختبار المساواة للمثلثات القائمة على طول الساق والزاوية الحادة المجاورة

صياغة السمة. إذا كان الساق والزاوية الحادة المجاورة لمثلث قائم متساويين على التوالي مع الساق والزاوية الحادة المجاورة لمثلث قائم آخر، فإن هذين المثلثين القائمين متطابقان

اختبار المساواة للمثلثات القائمة على طول الساق والزاوية الحادة المقابلة

التسميات القياسية

مثلث ذو رؤوس أ, بو جتم تعيينه كـ (انظر الشكل). المثلث له ثلاثة أضلاع:

يُشار إلى أطوال أضلاع المثلث بأحرف لاتينية صغيرة (a، b، c):

المثلث له الزوايا التالية:

يتم تحديد قيم الزوايا عند القمم المقابلة بشكل تقليدي الحروف اليونانية (α, β, γ).

علامات المساواة في المثلثات

يمكن تحديد مثلث على المستوى الإقليدي بشكل فريد (حتى التطابق) من خلال ثلاثة توائم من العناصر الأساسية التالية:

1. أ، ب، γ (المساواة بين الجانبين والزاوية بينهما)؛
2. a، β، γ (المساواة في الجانب وزاويتين متجاورتين)؛
3. أ، ب، ج (المساواة من ثلاثة جوانب).

علامات المساواة في المثلثات القائمة:

1. على طول الساق والوتر.
2. على قدمين
3. على طول الساق والزاوية الحادة.
4. على طول الوتر والزاوية الحادة.

بعض النقاط في المثلث "مقترنة". على سبيل المثال، هناك نقطتان يمكن رؤية جميع جوانبهما بزاوية 60 درجة أو زاوية 120 درجة. انهم يسمى نقاط تورشيللي. هناك أيضًا نقطتان تقع توقعاتهما على الجانبين عند القمم مثلث منتظم. هذا - نقاط أبولونيوس. تسمى النقاط وما شابه ذلك نقاط بروكارد.

مباشر

في أي مثلث، يقع مركز الثقل والمركز المتعامد ومركز الدائرة المحيطة على خط مستقيم واحد يسمى خط أويلر.

يسمى الخط المستقيم الذي يمر عبر مركز الدائرة المحيطة ونقطة ليموين محور بروكارد. نقاط أبولونيوس تكمن فيه. وتقع نقطة Torricelli ونقطة Lemoine أيضًا على نفس الخط. قواعد المنصفات الخارجية لزوايا المثلث تقع على خط مستقيم واحد يسمى محور المنصفات الخارجية. نقاط تقاطع الخطوط التي تحتوي على أضلاع المثلث المتعامد مع الخطوط التي تحتوي على أضلاع المثلث تقع أيضًا على نفس الخط. هذا الخط يسمى المحور المتعامد، فهو عمودي على خط أويلر المستقيم.

إذا أخذنا نقطة على الدائرة المحيطة بمثلث فإن نتوءاتها على أضلاع المثلث تقع على نفس الخط المستقيم المسمى سيمسون على التواليهذه النقطة. خطوط سيمسون ذات النقاط المتقابلة تمامًا متعامدة.

مثلثات

• يسمى المثلث الذي تكون رؤوس قاعدته مرسومة عبر نقطة معينة مثلث سيفيانهذه النقطة.
• يسمى المثلث ذو القمم في إسقاطات نقطة معينة على الجوانب أبلهأو مثلث الدواسةهذه النقطة.
• يسمى المثلث الذي تقع رؤوسه عند النقاط الثانية لتقاطع الخطوط المرسومة من خلال القمم ونقطة معينة مع الدائرة المحددة مثلث محيطي. المثلث المحيطي يشبه مثلث الاحمق.

الدوائر

• دائرة مكتوبة- دائرة تمس الجميع ثلاث جهاتمثلث. انها الوحيدة. يسمى مركز الدائرة المنقوشة مركز.
• دائرة حولها- دائرة تمر عبر رؤوس المثلث الثلاثة. الدائرة المقيدة فريدة أيضًا.
• دائرة- دائرة تمس أحد أضلاع المثلث وتستمر الضلعين الآخرين. هناك ثلاث دوائر من هذا القبيل في المثلث. مركزهم الجذري هو مركز الدائرة المنقوشة للمثلث الوسطي، والتي تسمى نقطة سبايكر.

نقاط منتصف أضلاع المثلث الثلاثة وقواعد ارتفاعاته الثلاثة ومنتصف الأجزاء الثلاثة الواصلة بين رؤوسه ومركز التقويم تقع على دائرة واحدة تسمى دائرة من تسع نقاطأو دائرة أويلر. يقع مركز الدائرة ذات التسع نقاط على خط أويلر. دائرة من تسع نقاط تلامس دائرة منقوشة وثلاث دوائر. تسمى نقطة التماس بين الدائرة المحيطية ودائرة النقاط التسع نقطة فيورباخ. إذا وضعنا من كل قمة خارج المثلث على خطوط مستقيمة تحتوي على الجوانب، وتقويمات متساوية في الطول مع الجوانب المقابلة، فإن النقاط الست الناتجة تقع على نفس الدائرة - دائرة كونواي. يمكن كتابة ثلاث دوائر في أي مثلث بحيث تلامس كل واحدة منها ضلعي المثلث ودائرتين أخريين. تسمى هذه الدوائر دوائر مالفاتي. مراكز الدوائر المحصورة في المثلثات الستة التي يقسم المثلث إليها متوسطات تقع على دائرة واحدة تسمى محيط لامون.

يتكون المثلث من ثلاث دوائر تمس ضلعي المثلث والدائرة المحيطة. تسمى هذه الدوائر شبه منقوشةأو دوائر فيرير. القطع الواصلة بين نقاط التماس لدوائر فيرير مع الدائرة المحيطة تتقاطع في نقطة واحدة تسمى نقطة فيرير. إنه بمثابة مركز التماثل، الذي يحول الدائرة المحيطة إلى دائرة منقوشة. تقع نقاط تماس دوائر فيرير مع أضلاعها على خط مستقيم يمر بمركز الدائرة المنقوشة.

القطع الواصلة بين نقاط التماس للدائرة المنقوشة مع رؤوسها تتقاطع عند نقطة واحدة تسمى نقطة جيرجون، والأجزاء التي تربط القمم بنقاط التماس للدوائر الخارجية موجودة نقطة ناجل.

القطع الناقص والقطع المكافئ والقطع الزائد

مخروطي منقوش (القطع الناقص) ومنظوره

يمكن كتابة عدد لا حصر له من الأشكال المخروطية (القطع الناقص أو القطع المكافئ أو القطع الزائدة) في المثلث. إذا قمنا بتسجيل شكل مخروطي اعتباطي في مثلث وقمنا بتوصيل نقاط التماس مع رؤوس متقابلة، فإن الخطوط المستقيمة الناتجة سوف تتقاطع عند نقطة واحدة تسمى احتمالأسرة. بالنسبة لأي نقطة من المستوى لا تقع على جانب أو على امتداده، يوجد مخروط منقوش مع منظور في هذه النقطة.

القطع الناقص شتاينر الموصوف والسيفيان الذين يمرون عبر بؤرته

يمكنك كتابة شكل بيضاوي في مثلث يلامس الجوانب في المنتصف. يسمى هذا القطع الناقص منقوش شتاينر القطع الناقص(سيكون منظوره هو النقطه الوسطى للمثلث). يسمى القطع الناقص الذي يلامس الخطوط التي تمر عبر القمم الموازية للجوانب وصفها القطع الناقص شتاينر. إذا قمنا بتحويل مثلث إلى مثلث منتظم باستخدام التحويل التقاربي ("الانحراف")، فإن قطع شتاينر الناقص المنقوش والمحدود سيتحول إلى دائرة منقوشة ومحدودة. خطوط تشيفيان المرسومة من خلال بؤر قطع شتاينر الموصوف (نقاط سكوتين) متساوية (نظرية سكوتين). من بين جميع الأشكال الناقصية الموصوفة، يوجد قطع ناقص ستاينر الموصوف أصغر منطقةومن بين جميع الأشكال المنقوشة، فإن القطع الناقص المنقوش لشتاينر له أكبر مساحة.

القطع الناقص بروكارد ومنظوره - نقطة ليموين

يسمى القطع الناقص الذي توجد بؤرته عند نقاط بروكارد القطع الناقص بروكارد. وجهة نظرها هي نقطة Lemoine.

خصائص القطع المكافئ المنقوش

القطع المكافئ كيبرت

تكمن احتمالات القطع المكافئة المنقوشة في القطع الناقص الموصوف لشتاينر. يقع تركيز القطع المكافئ المنقوش على الدائرة المحيطة، ويمر الدليل عبر المركز المتعامد. القطع المكافئ منقوش في مثلث ويسمى دليل أويلر القطع المكافئ كيبرت. منظورها هو النقطة الرابعة من تقاطع الدائرة المقيدة مع قطع شتاينر الناقص المحدود، وتسمى نقطة شتاينر.

مبالغة كيبرت

إذا مر القطع الزائد الموصوف عبر نقطة تقاطع الارتفاعات، فهو متساوي الأضلاع (أي أن خطوط التقارب متعامدة). تقع نقطة تقاطع الخطوط المقاربة للقطع الزائد متساوي الأضلاع على الدائرة المكونة من تسع نقاط.

التحولات

إذا كانت الخطوط التي تمر عبر القمم ونقطة ما غير ملقاة على الجوانب وانعكست امتداداتها بالنسبة للمنصفات المقابلة لها، فإن صورها ستتقاطع أيضًا عند نقطة واحدة، وهو ما يسمى مترافق بشكل متساويالأصلي (إذا كانت النقطة تقع على الدائرة المقيدة، فإن الخطوط الناتجة ستكون متوازية). العديد من أزواج النقاط المميزة مترافقة بشكل متساوي: المركز المحيطي والمركز المتعامد، والنقطه الوسطى ونقطة ليموين، ونقاط بروكارد. نقاط أبولونيوس مترافقة بشكل متساوي مع نقاط توريتشيلي، ومركز الدائرة المنقوشة مترافق بشكل متساوي مع نفسه. تحت تأثير الاقتران المتساوي الأضلاع، تتحول الخطوط المستقيمة إلى مخروطيات مقيدة، والمخروطات المقيدة إلى خطوط مستقيمة. وهكذا، فإن القطع الزائد كيبرت ومحور بروكارد، القطع الزائد جينزابيك وخط أويلر المستقيم، القطع الزائد فيورباخ وخط مراكز الدوائر المنقوشة والمحددة مترافقون بشكل متساوي. تتطابق الدوائر المحيطة بالمثلثات ذات النقاط المترافقة بشكل متساوي. بؤر القطع الناقص المنقوشة مترافقة بشكل متساوي.

إذا أخذنا، بدلاً من السيفيان المتماثل، سيفيانًا تكون قاعدته بعيدة عن منتصف الجانب مثل قاعدة القاعدة الأصلية، فإن مثل هؤلاء السيفيان سوف يتقاطعون أيضًا عند نقطة واحدة. ويسمى التحول الناتج الاقتران النظائري. كما أنه يحول الخطوط المستقيمة إلى أشكال مخروطية موصوفة. نقاط Gergonne وNagel مترافقة بشكل متساوي. في ظل التحولات التقاربية، يتم تحويل النقاط المترافقة متساويًا إلى نقاط مترافقة متساويًا. مع الاقتران النظائري، سوف يذهب القطع الناقص شتاينر الموصوف إلى الخط المستقيم البعيد بلا حدود.

إذا قمنا في الأجزاء المقطوعة جوانب المثلث من الدائرة المحيطة، بنقش دوائر تلامس الجوانب عند قواعد السيفيين المرسومة من خلال نقطة معينة، ثم نربط نقاط مماس هذه الدوائر مع الدائرة المحيطة بالقمم المقابلة، ثم تتقاطع هذه الخطوط المستقيمة عند نقطة واحدة. يسمى التحويل المستوي الذي يطابق النقطة الأصلية بالنقطة الناتجة التحول متساوي الدائرية. إن تكوين الاتحادات متساوية الأضلاع والنظائر هو تكوين تحول متساوي الدائري مع نفسه. وهذا التركيب عبارة عن تحويل إسقاطي، يترك أضلاع المثلث في مكانها، ويحول محور المنصفات الخارجية إلى خط مستقيم عند ما لا نهاية.

إذا واصلنا أضلاع مثلث شيفيان عند نقطة معينة وأخذنا نقاط تقاطعها مع الأضلاع المقابلة لها، فإن نقاط التقاطع الناتجة سوف تقع على خط مستقيم واحد يسمى قطبي ثلاثي الخطوطنقطة البداية. المحور المتعامد هو القطب الثلاثي الخطوط لمركز التعامد. القطب الثلاثي لمركز الدائرة المنقوشة هو محور المنصفات الخارجية. تتقاطع الأقطاب الثلاثية الخطوط من النقاط الواقعة على شكل مخروطي محدد عند نقطة واحدة (بالنسبة لدائرة محدودة هذه هي نقطة ليموين، وبالنسبة إلى قطع ناقص شتاينر المحدد فهي النقطة الوسطى). إن تكوين مترافق متساوي الأضلاع (أو متساوي الذرة) وقطب ثلاثي الخطوط هو تحول ثنائي (إذا كانت هناك نقطة مترافقة بشكل متساوي (متساوي الذرة) مع نقطة تقع على قطبي ثلاثي الخطوط لنقطة ما، فإن القطبي ثلاثي الخطوط لنقطة متساوي الأضلاع (متساوي الذرة) مترافق مع نقطة تقع على القطب الثلاثي لنقطة ما).

مكعبات

النسب في المثلث

ملحوظة:الخامس هذا القسم، ، هي أطوال الأضلاع الثلاثة للمثلث، و، هي الزوايا المقابلة لهذه الجوانب الثلاثة على التوالي (زوايا متقابلة).

عدم المساواة المثلثية

في المثلث غير المنحل يكون مجموع طولي ضلعيه أكبر من طول الضلع الثالث، وفي المثلث المنحل يكون متساويا. بمعنى آخر، ترتبط أطوال أضلاع المثلث بالمتباينات التالية:

تعد متباينة المثلث أحد بديهيات المقاييس.

نظرية مجموع زوايا المثلث

نظرية الجيب

,

حيث R هو نصف قطر الدائرة المحيطة بالمثلث. ويترتب على ذلك من النظرية أنه إذا كان أ< b < c, то α < β < γ.

نظرية جيب التمام

نظرية الظل

نسب أخرى

يتم إعطاء النسب المترية في المثلث من أجل:

حل المثلثات

إن حساب الأضلاع والزوايا المجهولة للمثلث بناءً على الأضلاع والزوايا المعروفة كان يسمى تاريخيًا "حل المثلثات". يتم استخدام النظريات المثلثية العامة المذكورة أعلاه.

مساحة المثلث

تدوين الحالات الخاصة

بالنسبة للمنطقة، فإن عدم المساواة التالية صالحة:

حساب مساحة المثلث في الفضاء باستخدام المتجهات

لتكن رؤوس المثلث عند النقاط , , .

دعونا نقدم متجه المنطقة. طول هذا المتجه يساوي مساحة المثلث، ويتجه عموديًا إلى مستوى المثلث:

دعونا نضع، حيث، هي إسقاطات المثلث على مستويات الإحداثيات. حيث

وبالمثل

مساحة المثلث هي .

البديل هو حساب أطوال الجوانب (باستخدام نظرية فيثاغورس) ثم استخدام صيغة هيرون.

نظريات المثلث

نظرية ديسارجويس: إذا كان هناك مثلثان منظورين (الخطوط التي تمر عبر القمم المقابلة للمثلثات تتقاطع عند نقطة واحدة)، فإن أضلاعهما المتناظرة تتقاطع على نفس الخط.

نظرية سوندا: إذا كان هناك مثلثان منظورين ومتعامدين (خطوط متعامدة مرسومة من رؤوس مثلث واحد إلى الجوانب المقابلة للرؤوس المقابلة للمثلث، والعكس)، فإن كلا مركزي التقويم (نقاط تقاطع هذه المتعامدات) والمركز المنظور يقع على نفس الخط المستقيم، المتعامد مع محور المنظور (خط مستقيم من نظرية ديسارجو).

أبسط مضلع يتم دراسته في المدرسة هو المثلث. إنه أكثر قابلية للفهم للطلاب ويواجه صعوبات أقل. على الرغم من وجود أنواع مختلفةمثلثات لها خصائص خاصة.

ما الشكل الذي يسمى المثلث؟

تتكون من ثلاث نقاط وقطاعات. تسمى الأولى القمم، والثانية تسمى الجوانب. علاوة على ذلك، يجب أن تكون الأجزاء الثلاثة متصلة بحيث تتشكل الزوايا بينها. ومن هنا جاء اسم الشكل "المثلث".

الاختلافات في الأسماء عبر الزوايا

وبما أنها يمكن أن تكون حادة ومنفرجة ومستقيمة، فإن أنواع المثلثات تتحدد بهذه الأسماء. وبناء على ذلك، هناك ثلاث مجموعات من هذه الشخصيات.

• أولاً. إذا كانت جميع زوايا المثلث حادة، فإنه يسمى حادًا. كل شيء منطقي.

• ثانية. إحدى الزوايا منفرجة، مما يعني أن المثلث منفرج. لا يمكن أن يكون الأمر أكثر بساطة.

• ثالث. هناك زاوية قياسها 90 درجة، وتسمى الزاوية القائمة. يصبح المثلث مستطيلاً.

الاختلافات في الأسماء على الجانبين

اعتمادًا على خصائص الجوانب، يتم تمييز الأنواع التالية من المثلثات:

الحالة العامة هي سكالين، حيث تكون جميع الجوانب ذات طول تعسفي؛

متساوي الساقين، حيث لجانبيه نفس القيم العددية؛

متساوي الأضلاع، وأطوال جميع أضلاعه متساوية.

إذا كانت المشكلة لا تحدد نوع معين من المثلث، فأنت بحاجة إلى رسم تعسفي. حيث تكون جميع الزوايا حادة، والجوانب ذات أطوال مختلفة.

الخصائص المشتركة بين جميع المثلثات

1. إذا قمت بجمع جميع زوايا المثلث، فستحصل على رقم يساوي 180 درجة. ولا يهم نوعه. تنطبق هذه القاعدة دائما.
2. القيمة العددية لأي جانب من المثلث أقل من القيمة العددية للضلعين الآخرين معًا. علاوة على ذلك، فهو أعظم من اختلافهم.
3. ولكل زاوية خارجية قيمة يتم الحصول عليها عن طريق إضافة زاويتين داخليتين غير مجاورتين لها. علاوة على ذلك، فهو دائمًا أكبر من الجزء الداخلي المجاور له.
4. أصغر زاوية تكون دائمًا مقابلة للضلع الأصغر للمثلث. والعكس صحيح، إذا كان الضلع كبيرًا، فستكون الزاوية هي الأكبر.

هذه الخصائص صالحة دائمًا، بغض النظر عن أنواع المثلثات التي يتم أخذها في الاعتبار في المسائل. كل الباقي يتبع من ميزات محددة.

خصائص المثلث متساوي الساقين

• الزوايا المجاورة للقاعدة متساوية.
• الارتفاع المرسوم على القاعدة هو أيضًا الوسيط والمنصف.
• الارتفاعات والمتوسطات والمنصفات، المبنية على الجوانب الجانبية للمثلث، متساوية مع بعضها البعض على التوالي.

خصائص المثلث متساوي الأضلاع

إذا كان هناك مثل هذا الرقم، فإن جميع الخصائص الموصوفة أعلاه قليلا ستكون صحيحة. لأن المتساوي الأضلاع سيكون دائمًا متساوي الساقين. ولكن ليس العكس؛ فالمثلث متساوي الساقين ليس بالضرورة أن يكون متساوي الأضلاع.

• جميع زواياه متساوية مع بعضها البعض وقيمتها 60 درجة.
• أي متوسط ​​لمثلث متساوي الأضلاع هو ارتفاعه ومنصفه. علاوة على ذلك، فإنهم جميعا متساوون مع بعضهم البعض. لتحديد قيمها، توجد صيغة تتكون من حاصل ضرب الضلع والجذر التربيعي لـ 3 مقسومًا على 2.

خصائص المثلث القائم الزاوية

• مجموع زاويتين حادتين يصل إلى 90 درجة.
• يكون طول الوتر دائمًا أكبر من طول أي من الأرجل.
• القيمة العددية للوسيط المرسوم على الوتر تساوي نصفه.
• وتكون الساق بنفس القيمة إذا كانت تقع مقابل زاوية مقدارها 30 درجة.
• الارتفاع، الذي يتم رسمه من قمة الرأس بقيمة 90 درجة، له اعتماد رياضي معين على الأرجل: 1/n 2 = 1/a 2 + 1/b 2. هنا: أ، ب - الساقين، ن - الارتفاع.

مشاكل مع أنواع مختلفة من المثلثات

رقم 1. نظرا لوجود مثلث متساوي الساقين. محيطه معروف ويساوي 90 سم، وعلينا معرفة أضلاعه. مثل حالة إضافية: الجانب الجانبي أصغر بمقدار 1.2 مرة من القاعدة.

تعتمد قيمة المحيط بشكل مباشر على الكميات التي يجب العثور عليها. مجموع الجوانب الثلاثة سيعطي 90 سم والآن عليك أن تتذكر علامة المثلث التي بموجبها يكون متساوي الساقين. أي أن الطرفين متساويان. يمكنك إنشاء معادلة بمجهولين: 2a + b = 90. هنا a هو الضلع، b هو القاعدة.

الآن حان الوقت لشرط إضافي. وبعد ذلك يتم الحصول على المعادلة الثانية: ب = 1.2 أ. يمكنك استبدال هذا التعبير بالتعبير الأول. اتضح: 2 أ + 1.2 أ = 90. بعد التحويلات: 3.2 أ = 90. وبالتالي أ = 28.125 (سم). الآن أصبح من السهل معرفة الأساس. من الأفضل القيام بذلك من الشرط الثاني: ب = 1.2 * 28.125 = 33.75 (سم).

للتحقق، يمكنك إضافة ثلاث قيم: 28.125 * 2 + 33.75 = 90 (سم). صحيح.

الإجابة: أضلاع المثلث هي 28.125 سم، 28.125 سم، 33.75 سم.

رقم 2. طول ضلع المثلث متساوي الأضلاع 12 سم، وتحتاج إلى حساب ارتفاعه.

حل. للعثور على الجواب يكفي العودة إلى اللحظة التي تم فيها وصف خصائص المثلث. هذه هي صيغة إيجاد الارتفاع والوسيط والمنصف في مثلث متساوي الأضلاع.

n = a * √3 / 2، حيث n هو الارتفاع وa هو الضلع.

الاستبدال والحساب يعطي النتيجة التالية: n = 6 √3 (cm).

ليست هناك حاجة لحفظ هذه الصيغة. ويكفي أن نتذكر أن الارتفاع يقسم المثلث إلى مثلثين مستطيلين. علاوة على ذلك، اتضح أنها ساق، والوتر فيها هو جانب الأصل، والرجل الثاني هو نصف الجانب المعلوم. أنت الآن بحاجة إلى كتابة نظرية فيثاغورس واستخلاص صيغة للارتفاع.

الجواب: الارتفاع 6 √3 سم.

رقم 3. بما أن MKR مثلث، قياس الزاوية K فيه 90 درجة، الضلعان MR وKR معروفان، وطولهما 30 و15 سم على التوالي، وعلينا إيجاد قيمة الزاوية P.

حل. إذا قمت بالرسم، يصبح من الواضح أن MR هو الوتر. علاوة على ذلك، فهو ضعف حجم جانب KR. مرة أخرى عليك أن تتحول إلى الخصائص. واحد منهم له علاقة بالزوايا. ومن الواضح أن زاوية KMR هي 30 درجة. وهذا يعني أن الزاوية المطلوبة P ستكون 60 درجة. يتبع ذلك خاصية أخرى، تنص على أن مجموع الزاويتين الحادتين يجب أن يساوي 90 درجة.

الجواب: الزاوية P هي 60 درجة.

رقم 4. علينا إيجاد جميع زوايا المثلث المتساوي الساقين. ومعلوم عنه أن الزاوية الخارجية من الزاوية عند القاعدة هي 110 درجة.

حل. نظرًا لأنه تم تحديد الزاوية الخارجية فقط، فهذا هو ما تحتاج إلى استخدامه. إنها تشكل زاوية غير مطوية مع الزاوية الداخلية. هذا يعني أنهم في المجمل سيعطون 180 درجة. أي أن الزاوية عند قاعدة المثلث ستكون 70 درجة. وبما أنها متساوية الساقين، فإن الزاوية الثانية لها نفس القيمة. يبقى لحساب الزاوية الثالثة. وفقا للخاصية المشتركة لجميع المثلثات، فإن مجموع زواياها هو 180 درجة. وهذا يعني أنه سيتم تعريف الثالثة على أنها 180 درجة - 70 درجة - 70 درجة = 40 درجة.

الجواب: الزوايا هي 70 درجة، 70 درجة، 40 درجة.

رقم 5. ومن المعروف أن في مثلث متساوي الساقينالزاوية المقابلة للقاعدة هي 90 درجة. هناك نقطة محددة على القاعدة. الجزء الذي يربطه بالزاوية القائمة يقسمه بنسبة 1 إلى 4. تحتاج إلى معرفة جميع زوايا المثلث الأصغر.

حل. يمكن تحديد إحدى الزوايا على الفور. وبما أن المثلث قائم الزاوية ومتساوي الساقين، فإن الزوايا التي تقع عند قاعدته ستكون زاوية كل منها 45 درجة، أي 90 درجة/2.

والثاني منهم سوف يساعدك في العثور على العلاقة المعروفة في الحالة. نظرًا لأنها تساوي 1 إلى 4، فإن الأجزاء التي تم تقسيمها إليها هي 5 فقط. وهذا يعني أنه للعثور على الزاوية الأصغر للمثلث تحتاج إلى 90 درجة/5 = 18 درجة. يبقى لمعرفة الثالث. للقيام بذلك، تحتاج إلى طرح 45 درجة و 18 درجة من 180 درجة (مجموع كل زوايا المثلث). الحسابات بسيطة، وتحصل على: 117 درجة.