في علم المثلثات ، العديد من الصيغ أسهل في استنتاجها من حفظها. جيب تمام الزاوية المزدوجة معادلة رائعة! يسمح لك بالحصول على صيغ التخفيض وصيغ نصف الزاوية.
إذن ، نحتاج إلى جيب تمام الزاوية المزدوجة والوحدة المثلثية:
بل إنها متشابهة: في صيغة جيب التمام للزاوية المزدوجة - الفرق بين مربعي جيب التمام والجيب ، وفي الوحدة المثلثية - مجموعها. إذا عبرنا عن جيب التمام من الوحدة المثلثية:
واستبدلها بجيب الزاوية المزدوجة ، نحصل على:
هذه صيغة أخرى لجيب تمام الزاوية المزدوجة:
هذه الصيغة هي مفتاح الحصول على صيغة التخفيض:
إذن ، صيغة خفض درجة الجيب هي:
إذا تم استبدال الزاوية ألفا بنصف زاوية ألفا في النصف ، واستبدلت الزاوية المزدوجة ألفا بالزاوية ألفا ، فسنحصل على صيغة نصف زاوية الجيب:
الآن ، من الوحدة المثلثية ، نعبر عن الجيب:
عوّض بهذا التعبير في صيغة جيب تمام الزاوية المزدوجة:
حصلنا على صيغة أخرى لجيب تمام الزاوية المزدوجة:
هذه الصيغة هي مفتاح إيجاد صيغة تصغير جيب التمام وصيغة نصف الزاوية لجيب التمام.
وبالتالي ، فإن صيغة خفض درجة جيب التمام هي:
إذا استبدلنا α بـ α / 2 فيه ، و 2α بـ α ، فسنحصل على صيغة نصف وسيطة لجيب التمام:
نظرًا لأن الظل هو نسبة الجيب إلى جيب التمام ، فإن صيغة الظل هي:
ظل التمام هو نسبة جيب التمام إلى الجيب. إذن فإن صيغة ظل التمام هي:
بالطبع ، في عملية تبسيط التعبيرات المثلثية ، لا فائدة من اشتقاق صيغ نصف الزاوية أو خفض الدرجة في كل مرة. من الأسهل بكثير وضع ورقة من الصيغ أمامك. وسيتقدم التبسيط بشكل أسرع ، وسيتم تشغيل الذاكرة المرئية للحفظ.
لكن لا يزال من المفيد اشتقاق هذه الصيغ عدة مرات. ستكون متأكدًا تمامًا من أنه أثناء الامتحان ، عندما لا تكون هناك طريقة لاستخدام ورقة الغش ، يمكنك الحصول عليها بسهولة إذا دعت الحاجة.
القيم الجيب في النطاق [-1؛ 1] ، أي -1 ≤ sin α ≤ 1. لذلك ، إذا | a | > 1 ، إذن المعادلة sin x = a ليس لها جذور. على سبيل المثال ، المعادلة sin x = 2 ليس لها جذور.
دعنا ننتقل إلى بعض المهام.
حل المعادلة sin x = 1/2.
قرار.
لاحظ أن sin x هو إحداثيات نقطة دائرة الوحدة ، والتي يتم الحصول عليها نتيجة دوران النقطة Р (1 ؛ 0) بالزاوية x حول الأصل.
الإحداثي الذي يساوي ½ موجود عند نقطتين من الدائرة M 1 و M 2.
منذ 1/2 \ u003d sin π / 6 ، يتم الحصول على النقطة M 1 من النقطة P (1 ؛ 0) بالتحول من خلال الزاوية x 1 \ u003d π / 6 ، وكذلك من خلال الزوايا x \ u003d π / 6 + 2πk ، حيث k \ u003d +/- 1 ، +/- 2 ، ...
يتم الحصول على النقطة M 2 من النقطة P (1 ؛ 0) نتيجة الدوران من خلال الزاوية x 2 = 5π / 6 ، وكذلك من خلال الزوايا x = 5π / 6 + 2πk ، حيث k = +/- 1 ، +/- 2 ، ... ، أي عند الزوايا x = π - π / 6 + 2πk ، حيث k = +/- 1 ، +/- 2 ،….
لذا ، يمكن إيجاد جميع جذور المعادلة sin x = 1/2 بالصيغ x = π / 6 + 2πk، x = π - π / 6 + 2πk حيث k € Z.
يمكن دمج هذه الصيغ في واحدة: x \ u003d (-1) n π / 6 + πn ، حيث n € Z (1).
في الواقع ، إذا كان n عددًا زوجيًا ، أي n = 2k ، ثم من الصيغة (1) نحصل على х = π / 6 + 2πk ، وإذا كان n عددًا فرديًا ، أي n = 2k + 1 ، ثم من الصيغة (1) نحصل على х = π - π / 6 + 2πk.
إجابه. x \ u003d (-1) n π / 6 + πn ، حيث n € Z.
حل المعادلة sin x = -1/2.
قرار.
الإحداثي -1/2 لهما نقطتان من دائرة الوحدة M 1 و M 2 ، حيث x 1 =-/ 6 ، x 2 = -5π / 6. لذلك ، يمكن إيجاد جميع جذور المعادلة sin x = -1/2 بالصيغ x =-/ 6 + 2πk، x = -5π / 6 + 2πk، k ∈ Z.
يمكننا دمج هذه الصيغ في واحدة: x \ u003d (-1) n (-/ 6) + πn ، n € Z (2).
في الواقع ، إذا كانت n = 2k ، فباستخدام الصيغة (2) نحصل على x =-/ 6 + 2πk ، وإذا كان n = 2k - 1 ، فباستخدام الصيغة (2) نجد x = -5π / 6 + 2πk.
إجابه. س \ u003d (-1) ن (-π / 6) + n ، n € Z.
وهكذا ، فإن كل من المعادلتين sin x = 1/2 و sin x = -1/2 لها عدد لا نهائي من الجذور.
في المقطع-/ 2 ≤ x π / 2 ، كل من هذه المعادلات لها جذر واحد فقط:
x 1 \ u003d π / 6 - جذر المعادلة sin x \ u003d 1/2 و x 1 \ u003d-/ 6 - جذر المعادلة sin x \ u003d -1/2.
الرقم π / 6 يسمى قوس الزاوية للرقم 1/2 ويتم كتابته: arcsin 1/2 = π / 6 ؛ الرقم -π / 6 يسمى قوس الزاوية للرقم -1/2 ويكتبون: arcsin (-1/2) =-/ 6.
بشكل عام ، المعادلة sin x \ u003d a ، حيث -1 ≤ a ≤ 1 ، على المقطع-/ 2 ≤ x ≤ π / 2 لها جذر واحد فقط. إذا كانت القيمة ≥ 0 ، فسيتم وضع الجذر في الفترة الزمنية ؛ اذا كان< 0, то в промежутке [-π/2; 0). Этот корень называют арксинусом числа а и обозначают arcsin а.
وهكذا ، قوس جيب الزاوية للرقم a € [–1؛ 1] يسمى هذا الرقم € [–π / 2؛ π / 2] جيبه أ.
arcsin a = α إذا كانت sin α = a و-/ 2 ≤ x ≤ π / 2 (3).
على سبيل المثال ، arcsin √2 / 2 = π / 4 ، حيث أن الخطيئة π / 4 = √2 / 2 و - / 2 ≤ π / 4 ≤ π / 2 ؛
arcsin (-3 / 2) =-/ 3 ، منذ الخطيئة (-/ 3) = -3 / 2 و - / 2 ≤ 
- π / 3 π / 2.
على غرار الطريقة التي تم إجراؤها عند حل المسألتين 1 و 2 ، يمكن إثبات أن جذور المعادلة sin x = a ، حيث | a | ≤ 1 يتم التعبير عنها بالصيغة
x \ u003d (-1) n arcsin a + πn ، n € Z (4).
يمكننا أيضًا إثبات ذلك لأي € [-1؛ 1] الصيغة arcsin (-a) = -arcsin a صحيحة.
من الصيغة (4) يتبع ذلك جذور المعادلة
sin x \ u003d a لـ a \ u003d 0 ، a \ u003d 1 ، a \ u003d -1 يمكن العثور عليها باستخدام صيغ أبسط:
الخطيئة س \ u003d 0 س \ u003d πn ، ن € Z (5)
الخطيئة x \ u003d 1 x \ u003d π / 2 + 2πn ، n € Z (6)
الخطيئة س \ u003d -1 س \ u003d -π / 2 + 2πn ، n € Z (7)
الموقع ، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة ، يلزم وجود رابط إلى المصدر.
| BD | - طول قوس الدائرة المتمركزة عند النقطة A.
الزاوية α يتم التعبير عنها بوحدات الراديان.
الظل ( tgα) هي دالة مثلثية تعتمد على الزاوية α بين الوتر وساق المثلث القائم ، وتساوي نسبة طول الضلع المقابل | BC | على طول الساق المجاورة | AB | .
ظل التمام ( كتج α) دالة مثلثية تعتمد على الزاوية α بين الوتر وساق المثلث القائم ، وتساوي نسبة طول الضلع المجاور | AB | على طول الساق المقابلة | قبل الميلاد | .
الظل
أين ن- كل.
في الأدب الغربي ، يُشار إلى الظل على النحو التالي:
.
;
;
.
رسم بياني لدالة الظل ، y = tg x
ظل التمام
أين ن- كل.
في الأدب الغربي ، تتم الإشارة إلى ظل التمام على النحو التالي:
.
كما تم اعتماد الترميز التالي:
;
;
.
رسم بياني لدالة ظل التمام ، y = ctg x
خصائص الظل وظل التمام
دورية
وظائف y = tg xو ص = ctg xهي دورية مع فترة π.
التكافؤ
وظائف الظل وظل التمام هي وظائف فردية.
مجالات التعريف والقيم ، تصاعديا ، تنازليا
وظائف الظل وظل التمام متصلتان في مجال تعريفهما (انظر دليل الاستمرارية). يتم عرض الخصائص الرئيسية للظل والظل في الجدول ( ن- عدد صحيح).
| ص = tg x | ص = ctg x | |
| النطاق والاستمرارية | ||
| مدى من القيم | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| تصاعدي | - | |
| تنازلي | - | |
| النهايات | - | - |
| الأصفار ، ص = 0 | ||
| نقاط التقاطع مع المحور y ، x = 0 | ص = 0 | - |
الصيغ
التعبيرات من حيث الجيب وجيب التمام
;
;
;
;
;
صيغ الظل والظل للجمع والفرق
من السهل الحصول على باقي الصيغ ، على سبيل المثال
منتج الظلال
صيغة مجموع وفرق الظل
يوضح هذا الجدول قيم الظل والظل لبعض قيم الوسيطة. 
التعبيرات من حيث الأعداد المركبة
التعبيرات من حيث الدوال الزائدية
;
;
المشتقات
; .
.
مشتق من الترتيب n فيما يتعلق بالمتغير x للدالة:
.
اشتقاق صيغ الظل>>> ؛ لـ cotangent>>>
التكاملات
التوسعات في سلسلة
للحصول على مفكوك المماس في قوى x ، عليك أن تأخذ عدة شروط للتمدد في سلسلة أس للوظائف الخطيئة xو كوس xوقسم هذه كثيرات الحدود إلى بعضها البعض ،. ينتج عن هذا الصيغ التالية.
في .
في .
أين ب ن- أرقام برنولي. يتم تحديدها إما من علاقة التكرار:
;
;
أين .
أو وفقًا لصيغة لابلاس: 
وظائف معكوسة
الدوال العكسية للظل وظل التمام هي قوس ظل الزاوية وظل التمام ، على التوالي.
قوس ظل ، arctg
، أين ن- كل.
قوس الظل ، أركتج
، أين ن- كل.
مراجع:
في. برونشتاين ، ك. Semendyaev ، كتيب الرياضيات للمهندسين وطلاب مؤسسات التعليم العالي ، لان ، 2009.
كورن ، دليل الرياضيات للباحثين والمهندسين ، 2012.
أبسط المتطابقات المثلثية
حاصل قسمة جيب الزاوية ألفا على جيب تمام الزاوية نفسها يساوي ظل هذه الزاوية (الصيغة 1). انظر أيضًا إثبات صحة تحويل أبسط المتطابقات المثلثية.
حاصل قسمة جيب تمام الزاوية ألفا على جيب الزاوية نفسها يساوي ظل التمام للزاوية نفسها (الصيغة 2)
القاطع لزاوية يساوي واحدًا مقسومًا على جيب التمام لنفس الزاوية (الصيغة 3)
مجموع مربعي الجيب وجيب التمام لنفس الزاوية يساوي واحدًا (الصيغة 4). انظر أيضًا إثبات مجموع مربعات جيب التمام والجيب.
مجموع الوحدة وظل الزاوية يساوي نسبة الوحدة إلى مربع جيب التمام لهذه الزاوية (الصيغة 5)
الوحدة زائد ظل التمام للزاوية يساوي حاصل قسمة الوحدة على مربع الجيب لهذه الزاوية (الصيغة 6)
حاصل ضرب الظل وظل التمام لهما نفس الزاوية يساوي واحدًا (الصيغة 7).
تحويل الزوايا السالبة للدوال المثلثية (الفردية والزوجية)
للتخلص من القيمة السالبة لقياس درجة الزاوية عند حساب الجيب أو جيب التمام أو الظل ، يمكنك استخدام التحويلات المثلثية التالية (الهويات) بناءً على مبادئ الدوال المثلثية الزوجية أو الفردية.
كما تبدو، جيب التمامو القاطع هو دالة زوجية, الجيب والظل والظل هي وظائف فردية.
جيب الزاوية السالبة يساوي القيمة السالبة لجيب نفس الزاوية الموجبة (مطروحًا منها جيب ألفا).
سيعطي جيب التمام "ناقص ألفا" نفس قيمة جيب التمام للزاوية ألفا.
الظل ناقص ألفا يساوي ناقص الظل ألفا.
صيغ تقليل الزاوية المزدوجة (الجيب وجيب التمام والظل والظل لزاوية مزدوجة)
إذا كنت بحاجة إلى تقسيم الزاوية إلى النصف ، أو العكس ، انتقل من زاوية مزدوجة إلى زاوية واحدة ، يمكنك استخدام المتطابقات المثلثية التالية:
زاوية التحويل المزدوجة (جيب بزاوية مزدوجة ، وجيب زاوية مزدوج ، وظل زاوية مزدوجة) في واحد يحدث وفقًا للقواعد التالية:
جيب الزاوية المزدوجةيساوي ضعف حاصل ضرب الجيب وجيب التمام لزاوية واحدة
جيب التمام بزاوية مزدوجةيساوي الفرق بين مربع جيب التمام لزاوية واحدة ومربع جيب هذه الزاوية
جيب التمام بزاوية مزدوجةيساوي ضعف مربع جيب التمام لزاوية واحدة ناقص واحد
جيب التمام بزاوية مزدوجةيساوي واحدًا ناقص مربع الجيب المزدوج لزاوية واحدة
ظل مزدوج الزاويةيساوي كسر بسطه ضعف ظل زاوية واحدة ، ومقامه يساوي واحدًا ناقص ظل مربع زاوية واحدة.
ظل التمام مزدوج الزاويةيساوي كسر بسطه هو مربع ظل التمام لزاوية واحدة ناقص واحد ، والمقام يساوي ضعف ظل التمام لزاوية واحدة
صيغ الاستبدال العالمية المثلثية
يمكن أن تكون معادلات التحويل أدناه مفيدة عندما تحتاج إلى قسمة وسيطة الدالة المثلثية (sin α و cos α و tg α) على اثنين وجعل التعبير يساوي نصف الزاوية. من قيمة α نحصل على α / 2.تسمى هذه الصيغ صيغ الاستبدال العالمي المثلثي. تكمن قيمتها في حقيقة أن التعبير المثلثي بمساعدتهم يتم تقليله إلى التعبير عن ظل نصف زاوية ، بغض النظر عن الدوال المثلثية (sin cos tg ctg) التي كانت في الأصل في التعبير. بعد ذلك ، يكون حل المعادلة ذات الظل نصف الزاوية أسهل بكثير.
هويات تحويل نصف الزاوية المثلثية
فيما يلي صيغ التحويل المثلثي لنصف قيمة الزاوية إلى قيمتها الصحيحة.يتم تقليل قيمة وسيطة الدالة المثلثية α / 2 إلى قيمة وسيطة الدالة المثلثية α.
الصيغ المثلثية لإضافة الزوايا
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
الخطيئة (α + β) = sin α cos β + sin β cos α
الخطيئة (α - β) = sin α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
الظل وظل التمام لمجموع الزوايايمكن تحويل ألفا وبيتا وفقًا للقواعد التالية لتحويل الدوال المثلثية:
ظل مجموع الزوايايساوي كسرًا ، بسطه هو مجموع ظل الزاوية الأولى وظل الزاوية الثانية ، والمقام هو واحد ناقص حاصل ضرب ظل الزاوية الأولى وظل الزاوية الثانية.
ظل اختلاف الزاويةيساوي كسرًا ، بسطه يساوي الفرق بين ظل الزاوية المختزلة وظل الزاوية المراد طرحها ، والمقام يساوي واحدًا زائد حاصل ضرب مماسات هذه الزوايا.
ظل التمام لمجموع الزوايايساوي كسر بسطه يساوي حاصل ضرب ظل التمام لهذه الزوايا زائد واحد ، والمقام يساوي الفرق بين ظل التمام للزاوية الثانية وظل التمام للزاوية الأولى.
ظل التمام لاختلاف الزاويةيساوي كسر بسطه هو حاصل ضرب ظل التمام لهذه الزوايا ناقص واحد ، والمقام يساوي مجموع ظل التمام لهذه الزوايا.
هذه المتطابقات المثلثية ملائمة للاستخدام عندما تحتاج إلى حساب ، على سبيل المثال ، ظل الزاوية 105 درجات (tg 105). إذا تم تمثيله على أنه tg (45 + 60) ، فيمكنك استخدام التحويلات المتطابقة المحددة لمماس مجموع الزوايا ، وبعد ذلك يمكنك ببساطة استبدال القيم الجدولية للماس 45 والماس 60 درجة.
صيغ تحويل مجموع أو فرق الدوال المثلثية
يمكن تحويل التعبيرات التي تمثل مجموع الشكل sin α + sin β باستخدام الصيغ التالية:
صيغ ثلاثية الزاوية - قم بتحويل sin3α cos3α tg3α إلى sinα cosα tgα
في بعض الأحيان يكون من الضروري تحويل القيمة الثلاثية للزاوية بحيث تصبح الزاوية α وسيطة الدالة المثلثية بدلاً من 3α.في هذه الحالة ، يمكنك استخدام الصيغ (الهويات) لتحويل الزاوية الثلاثية:
صيغ لتحويل ناتج الدوال المثلثية
إذا أصبح من الضروري تحويل حاصل ضرب الجيب من زوايا مختلفة لجيب التمام من زوايا مختلفة ، أو حتى حاصل ضرب الجيب وجيب التمام ، فيمكنك استخدام المطابقات المثلثية التالية:
في هذه الحالة ، سيتم تحويل ناتج دوال الجيب أو جيب التمام أو الظل من زوايا مختلفة إلى مجموع أو فرق.
صيغ لتقليل الدوال المثلثية
تحتاج إلى استخدام طاولة الصب على النحو التالي. في السطر ، حدد الوظيفة التي تهمنا. العمود هو زاوية. على سبيل المثال ، جيب الزاوية (α + 90) عند تقاطع الصف الأول والعمود الأول ، نجد أن sin (α + 90) = cos α.
تحميل...