جميع صيغ المربعات والمكعبات. صيغ الضرب المختصرة. ضرب كثير الحدود في كثير الحدود

ستكون هناك أيضًا مهام لحل مستقل ، يمكنك رؤية الإجابات عليها.

تسمح لك صيغ الضرب المختصرة بإجراء تحويلات متطابقة للتعبيرات - كثيرات الحدود. بمساعدتهم ، يمكن تحليل كثيرات الحدود إلى عوامل ، وباستخدام الصيغ بترتيب عكسي ، يمكن تمثيل منتجات ذات الحدين والمربعات والمكعبات على أنها متعددة الحدود. لنأخذ في الاعتبار جميع الصيغ المقبولة عمومًا للضرب المختصر ، واشتقاقها ، والمهام الشائعة للتحولات المتطابقة للتعبيرات باستخدام هذه الصيغ ، بالإضافة إلى مهام الواجبات المنزلية (يتم فتح الإجابات عليها بواسطة الروابط).

مجموع مربع

صيغة مربع المجموع هي المساواة

(مربع مجموع عددين يساوي مربع الرقم الأول زائد ضعف حاصل ضرب الرقم الأول والثاني زائد مربع الرقم الثاني).

بدلاً من أو بيمكن استبدال أي رقم في هذه الصيغة.

غالبًا ما تُستخدم صيغة المجموع التربيعي لتبسيط العمليات الحسابية. علي سبيل المثال،

باستخدام صيغة المجموع التربيعي ، يمكن تحليل كثير الحدود ، أي تمثيلها كمنتج لعاملين متطابقين.

مثال 1

.

مثال 2اكتب كتعبير متعدد الحدود

قرار. بصيغة مربع المجموع ، نحصل على

مربع الاختلاف

صيغة مربع الاختلاف هي المساواة

(مربع الفرق بين عددين يساوي مربع الرقم الأول مطروحًا منه ضعف حاصل ضرب الرقم الأول والثاني زائد مربع الرقم الثاني).

غالبًا ما تُستخدم صيغة الفرق التربيعية لتبسيط العمليات الحسابية. علي سبيل المثال،

باستخدام صيغة مربع الفرق ، يمكن تحليل كثير الحدود ، أي تمثيلها على أنها حاصل ضرب عاملين متطابقين.

تتبع الصيغة من قاعدة ضرب كثير الحدود في كثير الحدود:

مثال 5اكتب كتعبير متعدد الحدود

قرار. بصيغة مربع الفرق نحصل عليها

.

قم بتطبيق صيغة الضرب المختصرة بنفسك ، ثم انظر إلى الحل

اختيار مربع كامل

غالبًا ما تحتوي كثير الحدود من الدرجة الثانية على مربع المجموع أو الفرق ، ولكنها مضمنة في شكل مخفي. للحصول على المربع الكامل بشكل صريح ، تحتاج إلى تحويل كثير الحدود. للقيام بذلك ، كقاعدة عامة ، يتم تمثيل أحد مصطلحات كثير الحدود على أنه حاصل ضرب مزدوج ، ثم يتم إضافة نفس الرقم وطرحه من كثير الحدود.

مثال 7

قرار. يمكن تحويل كثير الحدود هذا على النحو التالي:

هنا قدمنا ​​5 xفي شكل منتج مزدوج 5/2 بواسطة x، يضاف إلى كثير الحدود ويطرح منه نفس الرقم ، ثم يطبق صيغة مجموع التربيع على ذات الحدين.

لذلك أثبتنا المساواة

,

يساوي مربعًا كاملاً بالإضافة إلى الرقم.

المثال 8اعتبر كثير الحدود من الدرجة الثانية

قرار. دعنا نجري التحولات التالية عليها:

هنا قدمنا ​​8 xفي شكل منتج مزدوج xفي 4 ، يضاف إلى كثير الحدود ويطرح منه نفس الرقم 4² ، يطبق معادلة مربع الفرق على ذات الحدين x − 4 .

لذلك أثبتنا المساواة

,

تبين أن كثير الحدود من الدرجة الثانية

يساوي مربعًا كاملاً بالإضافة إلى العدد −16.

قم بتطبيق صيغة الضرب المختصرة بنفسك ، ثم انظر إلى الحل

مكعب

صيغة مجموع المكعب هي المساواة

(مكعب مجموع عددين يساوي مكعب الرقم الأول زائد ثلاثة أضعاف مربع الرقم الأول مضروبًا في الثاني ، زائد ثلاثة أضعاف حاصل ضرب الرقم الأول في مربع الثاني ، بالإضافة إلى المكعب من الرقم الثاني).

يتم اشتقاق صيغة مجموع المكعب على النحو التالي:

المثال 10اكتب كتعبير متعدد الحدود

قرار. وفقًا لصيغة مجموع المكعب ، نحصل على

قم بتطبيق صيغة الضرب المختصرة بنفسك ، ثم انظر إلى الحل

مكعب الفرق

صيغة مكعب الفرق هي المساواة

(مكعب الفرق بين عددين يساوي مكعب الرقم الأول ناقص ثلاثة أضعاف مربع الرقم الأول والثاني ، زائد ثلاثة أضعاف حاصل ضرب الرقم الأول ومربع الثاني ناقص مكعب الرقم الثاني).

بمساعدة صيغة مجموع المكعب ، يمكن أن تتحلل كثير الحدود إلى عوامل ، أي أنه يمكن تمثيلها كمنتج لثلاثة عوامل متطابقة.

يتم اشتقاق صيغة مكعب الفرق على النحو التالي:

المثال 12.اكتب كتعبير متعدد الحدود

قرار. باستخدام صيغة مكعب الفرق ، نحصل على

قم بتطبيق صيغة الضرب المختصرة بنفسك ، ثم انظر إلى الحل

فرق المربعات

معادلة اختلاف المربعات هي المساواة

(الفرق بين مربعي عددين يساوي حاصل ضرب مجموع هذين العددين والفرق بينهما).

باستخدام صيغة مجموع مكعب ، يمكن تحليل أي كثير حدود للصيغة.

تم الحصول على إثبات الصيغة باستخدام قاعدة الضرب لكثيرات الحدود:

المثال 14اكتب حاصل الضرب في صورة كثيرة الحدود

.

قرار. من خلال صيغة الفرق بين المربعات ، نحصل على

المثال 15حلل إلى عوامل

قرار. هذا التعبير في شكل صريح لا يتناسب مع أي هوية. ولكن يمكن تمثيل الرقم 16 كقوة أساسها 4: 16 = 4². ثم يأخذ التعبير الأصلي شكلاً مختلفًا:

,

وهذه هي صيغة الفرق بين المربعات ، وتطبيق هذه الصيغة نحصل عليها

عند حساب كثيرات الحدود الجبرية ، نستخدمها لتبسيط العمليات الحسابية صيغ الضرب المختصرة. هناك سبع صيغ من هذا القبيل في المجموع. كلهم بحاجة إلى أن يعرفوا عن ظهر قلب.

يجب أن نتذكر أيضًا أنه بدلاً من "أ" و "ب" في الصيغ ، يمكن أن يكون هناك أرقام وأي كثيرات حدود جبرية أخرى.

فرق المربعات

يتذكر!

فرق المربعاتعددين يساوي حاصل ضرب فرق هذين العددين ومجموعهما.

أ 2 - ب 2 = (أ - ب) (أ + ب)

• 15 2 - 2 2 = (15 - 2) (15 + 2) = 13 17 = 221
• 9a 2 - 4b 2 مع 2 = (3a - 2bc) (3a + 2bc)

مجموع مربع

يتذكر!

مربع مجموع عددين يساوي مربع الرقم الأول زائد ضعف حاصل ضرب الرقم الأول والثاني زائد مربع الرقم الثاني.

(أ + ب) 2 = أ 2 + 2 أب + ب 2

لاحظ أنه مع صيغة الضرب المخفضة هذه ، فمن السهل القيام بذلك أوجد مربعات الأعداد الكبيرةبدون استخدام الآلة الحاسبة أو الضرب المطول. دعنا نوضح بمثال:

أوجد 112 2.

• فلنحلل 112 في مجموع الأعداد التي نتذكر مربعاتها جيدًا.
  112 = 100 + 1
• نكتب مجموع الأعداد بين قوسين ونضع مربعًا فوق القوسين.
  112 2 = (100 + 12) 2
• دعنا نستخدم صيغة المجموع التربيعي:
  112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2100 12 + 12 2 = 10000 + 2400 + 144 = 12544

تذكر أن صيغة المجموع تصلح أيضًا لأي كثيرات حدود جبرية.

• (8 أ + ج) 2 = 64 أ 2 + 16 أك + ص 2

تحذير!

(أ + ب) 2 لا تساوي (أ 2 + ب 2)

مربع الاختلاف

يتذكر!

مربع الفرق بين عددين يساوي مربع الرقم الأول مطروحًا منه ضعف حاصل ضرب الرقم الأول والثاني زائد مربع الرقم الثاني.

(أ - ب) 2 = أ 2 - 2 أب + ب 2

من الجدير أيضًا أن نتذكر تحولًا مفيدًا للغاية:

(أ - ب) 2 = (ب - أ) 2

تم إثبات الصيغة أعلاه ببساطة عن طريق توسيع الأقواس:

(أ - ب) 2 = أ 2 −2 أب + ب 2 = ب 2 - 2 أب + أ 2 = (ب - أ) 2

مكعب

يتذكر!

مكعب مجموع عددين يساوي مكعب الرقم الأول زائد ثلاثة في مربع الرقم الأول في الثاني زائد ثلاثة في حاصل ضرب أول ضرب مربع الثاني زائد مكعب الثاني.

(أ + ب) 3 = أ 3 + 3 أ 2 ب + 3 أب 2 + ب 3

كيف تتذكر مكعب المجموع

تذكر هذه الصيغة "الرهيبة" التي تبدو بسيطة للغاية.

• تعلم أن الرقم "3" يأتي في البداية.
• كثيرات الحدود في المنتصف لها معاملات 3.
• تذكر أن أي رقم مرفوع للقوة الصفرية يساوي 1. (أ 0 = 1 ، ب 0 = 1). من السهل ملاحظة أنه يوجد في الصيغة انخفاض في الدرجة "أ" وزيادة في الدرجة "ب". يمكنك التحقق من هذا:
  (أ + ب) 3 = أ 3 ب 0 + 3 أ 2 ب 1 + 3 أ 1 ب 2 + ب 3 أ 0 = أ 3 + 3 أ 2 ب + 3 أب 2 + ب 3

تحذير!

(أ + ب) 3 لا تساوي أ 3 + ب 3

مكعب الفرق

يتذكر!

مكعب الفرقرقمان يساوي مكعب العدد الأول ناقص ثلاثة في مربع الرقم الأول في الثاني زائد ثلاثة في حاصل ضرب الرقم الأول في مربع الثاني ناقص مكعب الثاني.

(أ - ب) 3 = أ 3 - 3 أ 2 ب + 3 أب 2 - ب 3

يتم تذكر هذه الصيغة مثل الصيغة السابقة ، ولكن فقط مع مراعاة تناوب علامتي "+" و "-". يوجد "+" قبل العضو الأول "a 3" (وفقًا لقواعد الرياضيات ، لا نكتبها). هذا يعني أن العضو التالي سوف يسبقه "-" ، ثم مرة أخرى "+" ، إلخ.

(أ - ب) 3 = + أ 3 - 3 أ 2 ب + 3 أب 2 - ب 3 = أ 3 - 3 أ 2 ب + 3 أب 2 - ب 3

مجموع المكعبات

لا ينبغي الخلط بينه وبين مكعب المجموع!

يتذكر!

مجموع المكعباتيساوي حاصل ضرب مجموع عددين بالمربع غير المكتمل للفرق.

أ 3 + ب 3 = (أ + ب) (أ 2 - أب + ب 2)

مجموع المكعبات هو حاصل ضرب قوسين.

• القوس الأول هو مجموع رقمين.
• القوس الثاني هو المربع غير المكتمل لاختلاف الأعداد. يسمى مربع الاختلاف غير المكتمل بالتعبير:
  (أ 2 - أب + ب 2)
  هذا المربع غير مكتمل ، لأنه في المنتصف ، بدلاً من منتج مزدوج ، يوجد منتج عادي للأرقام.

فرق المكعبات

لا ينبغي الخلط بينه وبين المكعب الفرق!

يتذكر!

فرق المكعباتيساوي حاصل ضرب الفرق بين رقمين بالمربع غير المكتمل من المجموع.

أ 3 - ب 3 = (أ - ب) (أ 2 + أب + ب 2)

كن حذرا عند كتابة الشخصيات.

تطبيق صيغ الضرب المختصرة

يجب أن نتذكر أن جميع الصيغ المذكورة أعلاه تُستخدم أيضًا من اليمين إلى اليسار.

تم تصميم العديد من الأمثلة في الكتب المدرسية لاستخدام الصيغ لتجميع ظهر متعدد الحدود.

• أ 2 + 2 أ + 1 = (أ + 1) 2
• (أك - 4 ب) (أك + 4 ب) = أ 2 ص 2-16 ب 2

يمكنك تنزيل جدول بكل الصيغ الخاصة بالضرب المختصر في القسم "

من أولى الموضوعات التي تمت دراستها في مقرر الجبر صيغ الضرب المختصر. في الصف السابع ، يتم استخدامها في أبسط المواقف حيث يكون مطلوبًا التعرف على إحدى الصيغ في التعبير وتحويل كثير الحدود إلى عوامل أو ، على العكس من ذلك ، تربيع المجموع أو الفرق بسرعة. في المستقبل ، يتم استخدام FSU لحل المتباينات والمعادلات بسرعة ، وحتى لحساب بعض التعبيرات العددية بدون آلة حاسبة.

كيف تبدو قائمة الصيغ؟

هناك 7 صيغ أساسية تسمح لك بضرب كثيرات الحدود بسرعة بين قوسين.

في بعض الأحيان تتضمن هذه القائمة أيضًا توسعة من الدرجة الرابعة ، والتي تتبع الهويات المقدمة ولها الشكل:

أ⁴ - ب⁴ = (أ - ب) (أ + ب) (أ² + ب²).

كل المساواة لها زوج (مجموع - فرق) ، باستثناء فرق المربعات. لا توجد صيغة لمجموع المربعات.

من السهل تذكر باقي المساواة.:

يجب أن نتذكر أن FSOs تعمل في أي حال ولأي قيم. أو ب: يمكن أن تكون أرقامًا عشوائية وتعبيرات صحيحة.

في حالة عدم تمكنك فجأة من تذكر العلامة الموجودة في الصيغة أمام مصطلح أو آخر ، يمكنك فتح الأقواس والحصول على نفس النتيجة بعد استخدام الصيغة. على سبيل المثال ، إذا ظهرت مشكلة عند تطبيق FSU لمكعب الفرق ، فأنت بحاجة إلى كتابة التعبير الأصلي و قم بعملية الضرب واحدة تلو الأخرى:

(أ - ب) ³ = (أ - ب) (أ - ب) (أ - ب) = (أ² - أب - أب + ب²) (أ - ب) = أ³ - أ² ب - أ² ب + أب² - أ² ب + أب² + ab² - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³.

نتيجة لذلك ، بعد تقليل كل هذه المصطلحات ، تم الحصول على نفس كثير الحدود كما في الجدول. يمكن إجراء نفس التلاعبات مع جميع FSOs الأخرى.

تطبيق FSO لحل المعادلات

على سبيل المثال ، تحتاج إلى حل معادلة تحتوي على متعدد الحدود من الدرجة الثالثة:

x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.

لا يأخذ المنهج الدراسي في الاعتبار التقنيات العالمية لحل المعادلات التكعيبية ، وغالبًا ما يتم حل هذه المهام بطرق أبسط (على سبيل المثال ، التحليل إلى عوامل). إذا لاحظت أن الجانب الأيسر من المتطابقة يشبه مكعب المجموع ، فيمكن كتابة المعادلة بصيغة أبسط:

(س + 1) ³ = 0.

يتم حساب جذر هذه المعادلة شفهيًا: س = -1.

يتم حل اللامساواة بطريقة مماثلة. على سبيل المثال ، يمكننا حل المتباينة x³ - 6x² + 9x> 0.

بادئ ذي بدء ، من الضروري تحليل التعبير إلى عوامل. تحتاج أولاً إلى إخراج الأقواس x. بعد ذلك ، يجب الانتباه إلى أنه يمكن تحويل التعبير الموجود بين قوسين إلى مربع الفرق.

ثم تحتاج إلى العثور على النقاط التي يأخذ فيها التعبير قيمًا صفرية ، ووضع علامة عليها على خط الأعداد. في حالة معينة ، سيكون هذان هما 0 و 3. ثم ، باستخدام طريقة الفترة ، حدد الفترات x التي ستفي بشرط المتباينة.

يمكن أن تكون FSOs مفيدة في التنفيذ بعض العمليات الحسابية بدون مساعدة الآلة الحاسبة:

703 ² - 203 ² = (703 + 203) (703 - 203) = 906 500 = 453000.

بالإضافة إلى ذلك ، من خلال تحليل التعبيرات إلى عوامل ، يمكنك بسهولة تقليل الكسور وتبسيط التعبيرات الجبرية المختلفة.

أمثلة على مهام للصفوف 7-8

في الختام ، سنحلل ونحل مهمتين لتطبيق صيغ الضرب المختصرة في الجبر.

المهمة 1. تبسيط التعبير:

(م + 3) ² + (3 م + 1) (3 م - 1) - 2 م (5 م + 3).

قرار. في حالة المهمة ، يلزم تبسيط التعبير ، أي فتح الأقواس ، وإجراء عمليات الضرب والأس ، وكذلك إحضار كل هذه المصطلحات. نقسم التعبير شرطيًا إلى ثلاثة أجزاء (وفقًا لعدد المصطلحات) ونفتح الأقواس واحدًا تلو الآخر ، باستخدام FSU حيثما أمكن ذلك.

• (م + 3) ² = م² + 6 م + 9(المجموع التربيعي) ؛
• (3 م + 1) (3 م - 1) = 9 م² - 1(اختلاف المربعات) ؛
• في المصطلح الأخير ، تحتاج إلى إجراء الضرب: 2 م (5 م + 3) = 10 م² + 6 م.

استبدل النتائج في التعبير الأصلي:

(م² + 6 م + 9) + (9 م² - 1) - (10 م² + 6 م).

مع مراعاة العلامات ، نفتح الأقواس ونعطي مصطلحات متشابهة:

م² + 6 م + 9 + 9 م² 1-10 م² - 6 م = 8.

المهمة 2. حل المعادلة التي تحتوي على المجهول k مرفوعًا للقوة 5:

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ - 4k² - 4k = k³.

قرار. في هذه الحالة ، من الضروري استخدام FSO وطريقة التجميع. نحتاج إلى نقل المصطلحات الأخيرة وقبل الأخيرة إلى الجانب الأيمن من الهوية.

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ = k³ + 4k² + 4k.

المضاعف المشترك مأخوذ من الجزأين الأيمن والأيسر (k² + 4k +4):

k³ (ك² + 4k + 4) = ك (ك² + 4k + 4).

يتم نقل كل شيء إلى الجانب الأيسر من المعادلة بحيث يبقى الرقم 0 في الجانب الأيمن:

k³ (k² + 4k + 4) - k (k² + 4k + 4) = 0.

مرة أخرى ، تحتاج إلى إخراج العامل المشترك:

(ك - ك) (ك² + 4 ك + 4) = 0.

يمكننا الاشتقاق من العامل الأول الذي تم الحصول عليه ك. وفقًا لصيغة الضرب القصيرة ، سيكون العامل الثاني مساويًا تمامًا (ك + 2) ²:

ك (ك² - 1) (ك + 2) ² = 0.

باستخدام صيغة فرق المربعات:

ك (ك - 1) (ك + 1) (ك + 2) ² = 0.

نظرًا لأن المنتج يساوي 0 إذا كان أحد عوامله على الأقل هو صفر ، فلن يكون من الصعب العثور على جميع جذور المعادلة:

1. ك = 0 ؛
2. ك - 1 = 0 ؛ ك = 1 ؛
3. ك + 1 = 0 ؛ ك = -1 ؛
4. (ك + 2) ² = 0 ؛ ك = -2.

بناءً على الأمثلة التوضيحية ، يمكن للمرء أن يفهم كيفية تذكر الصيغ والاختلافات بينها ، وكذلك حل العديد من المشكلات العملية باستخدام FSU. المهام بسيطة ولا ينبغي أن يكون من الصعب إكمالها.

محتوى الدرس

مربع مجموع تعبيرين

هناك عدد من الحالات التي يمكن فيها تبسيط كثير الحدود إلى حد كبير. هذا ، على سبيل المثال ، هو الحال (2 x+ 3ذ) 2 .

التعبير (2 x+ 3ذ) 2 هو ضرب اثنين من كثيرات الحدود ، كل منهما يساوي (2 x+ 3ذ)

(2x+ 3ذ) 2 = (2x+ 3ذ)(2x+ 3ذ)

حصلنا على ضرب كثير الحدود في كثير الحدود. دعنا ننفذها:

(2x+ 3ذ) 2 = (2x+ 3ذ)(2x+ 3ذ) = 4x 2 + 6س ص + 6س ص + 9ذ 2 = 4x 2 + 12س ص+ 9ذ 2

وهذا هو التعبير (2 x+ 3ذ) 2 يساوي 4x 2 + 12س ص + 9ذ 2

(2x+ 3ذ) 2 = 4x 2 + 12س ص+ 9ذ 2

لنحل مثالًا مشابهًا ، وهو أبسط:

(أ + ب) 2

تعبير ( أ + ب) 2 هو ضرب اثنين من كثيرات الحدود ، كل منهما يساوي ( أ + ب)

(أ + ب) 2 = (أ + ب)(أ + ب)

لنقم بهذا الضرب:

(أ + ب) 2 = (أ + ب)(أ + ب) = أ 2 + أب + أب + ب 2 = أ 2 + 2أب + ب 2

هذا هو التعبير (أ + ب) 2 يساوي أ 2 + 2أب + ب 2

(أ + ب) 2 = أ 2 + 2أب + ب 2

اتضح أن القضية ( أ + ب) 2 يمكن تمديدها لأي أو ب. حلنا المثال الأول وهو (2 x+ 3ذ) 2 يمكن حلها باستخدام الهوية (أ + ب) 2 = أ 2 + 2أب + ب 2 . للقيام بذلك ، تحتاج إلى استبدال المتغيرات بدلاً من المتغيرات أو بالمصطلحات المقابلة من التعبير (2 x+ 3ذ) 2. في هذه الحالة ، المتغير أمباراة ديك 2 x، والمتغير بمباراة ديك 3 ذ

أ = 2x

ب = 3ذ

وبعد ذلك يمكننا استخدام الهوية (أ + ب) 2 = أ 2 + 2أب + ب 2 ، ولكن بدلاً من المتغيرات أو بتحتاج إلى استبدال التعبيرات 2 xو 3 ذعلى التوالى:

(2x+ 3ذ) 2 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 3 ذ + (3ذ) 2 = 4x 2 + 12س ص+ 9ذ 2

مثل المرة السابقة ، حصلنا على كثير الحدود 4x 2 + 12س ص+ 9ذ 2 . عادة ما يتم كتابة الحل بشكل أقصر ، وإجراء جميع التحولات الأولية في العقل:

(2x+ 3ذ) 2 = 4x 2 + 12س ص+ 9ذ 2

هوية (أ + ب) 2 = أ 2 + 2أب + ب 2 تسمى صيغة مربع مجموع تعبيرين. يمكن قراءة هذه الصيغة على النحو التالي:

مربع مجموع تعبيرين يساوي مربع التعبير الأول زائد ضعف حاصل ضرب التعبير الأول والثاني زائد مربع التعبير الثاني.

ضع في اعتبارك التعبير (2 + 3) 2. يمكن حسابها بطريقتين: إجراء الجمع بين قوسين وتربيع النتيجة ، أو استخدام صيغة مربع مجموع تعبيرين.

الطريقة الأولى:

(2 + 3) 2 = 5 2 = 25

الطريقة الثانية:

(2 + 3) 2 = 2 2 + 2 × 2 × 3 + 3 2 = 4 + 12 + 9 = 25

مثال 2. تحويل التعبير (5 أ+ 3) 2 في كثير الحدود.

لنستخدم صيغة مربع مجموع تعبيرين:

(أ + ب) 2 = أ 2 + 2أب + ب 2

(5أ + 3) 2 = (5أ) 2 + 2 × 5 أ × 3 + 3 2 = 25أ 2 + 30أ + 9

وسائل، (5أ + 3) 2 = 25أ 2 + 30أ + 9.

دعنا نحاول حل هذا المثال دون استخدام صيغة الجمع. يجب أن نحصل على نفس النتيجة:

(5أ + 3) 2 = (5أ + 3)(5أ + 3) = 25أ 2 + 15أ + 15أ + 9 = 25أ 2 + 30أ + 9

صيغة مربع مجموع تعبيرين لها معنى هندسي. نتذكر أنه لحساب مساحة المربع ، عليك رفع جانبه إلى القوة الثانية.

على سبيل المثال ، مساحة المربع مع الضلع أسوف تساوي أ 2. إذا قمت بزيادة جانب المربع بمقدار ب، فإن المساحة ستكون مساوية لـ ( أ + ب) 2

ضع في اعتبارك الشكل التالي:

تخيل أن جانب المربع الموضح في هذا الشكل قد زاد بمقدار ب. المربع به جميع الأضلاع متساوية. إذا زاد جانبه بمقدار ب، ثم ستزيد الأطراف الأخرى أيضًا بمقدار ب

والنتيجة هي مربع جديد أكبر من المربع السابق. لرؤيتها جيدًا ، دعنا نكمل الجوانب المفقودة:

لحساب مساحة هذا المربع ، يمكنك حساب المربعات والمستطيلات المضمنة فيه بشكل منفصل ، ثم إضافة النتائج.

أولًا ، يمكنك حساب مربع مع ضلع أ- مساحتها تساوي أ 2. ثم يمكنك حساب المستطيلات ذات الأضلاع أو ب- سيكونون متساوين أب. ثم يمكنك حساب مربع مع ضلع ب

والنتيجة هي مجموع المناطق التالية:

أ 2 + أب + أب + ب 2

يمكن استبدال مجموع مساحات المستطيلات المتطابقة بضرب 2 أب، وهو ما يعني حرفيا "كرر مرتين مساحة المستطيل أب" . جبريًا ، يتم الحصول على هذا عن طريق تقليل المصطلحات المتشابهة أبو أب. والنتيجة هي تعبير أ 2 + 2أب+ ب 2 ، وهو الجانب الأيمن من صيغة مربع مجموع تعبيرين:

(أ + ب) 2 = أ 2 + 2أب+ ب 2

مربع الفرق بين تعبيرين

صيغة مربع الفرق بين تعبيرين هي كما يلي:

(أ-ب) 2 = أ 2 − 2أب + ب 2

مربع الفرق بين تعبيرين يساوي مربع التعبير الأول ناقص ضعف حاصل ضرب التعبير الأول والثاني زائد مربع التعبير الثاني.

تُشتق صيغة مربع الفرق بين تعبيرين بنفس طريقة اشتقاق صيغة مربع مجموع تعبيرين. تعبير ( أ-ب) 2 هو حاصل ضرب اثنين من كثيرات الحدود ، كل منهما يساوي ( أ-ب)

(أ-ب) 2 = (أ-ب)(أ-ب)

إذا قمت بإجراء هذا الضرب ، فستحصل على كثير الحدود أ 2 − 2أب + ب 2

(أ-ب) 2 = (أ-ب)(أ-ب) = أ 2 − أب− أب+ ب 2 = أ 2 − 2أب + ب 2

مثال 1. تحويل التعبير (7 x- 5) 2 في كثير الحدود.

لنستخدم صيغة مربع الفرق بين تعبيرين:

(أ-ب) 2 = أ 2 − 2أب + ب 2

(7x− 5) 2 = (7x) 2 - 2 × 7 x × 5 + 5 2 = 49x 2 − 70x + 25

وسائل، (7x− 5) 2 = 49x 2 + 70x + 25.

دعنا نحاول حل هذا المثال دون استخدام صيغة مربع الفرق. يجب أن نحصل على نفس النتيجة:

(7x− 5) 2 = (7x− 5) (7x− 5) = 49x 2 − 35x − 35x + 25 = 49x 2 − 70x+ 25.

صيغة مربع الفرق بين تعبيرين لها أيضًا معنى هندسي. إذا كانت مساحة المربع مع ضلع أيساوي أ 2 ، ثم مساحة المربع الذي يتم تقليل جانبه بمقدار ب، سوف تساوي ( أ-ب) 2

ضع في اعتبارك الشكل التالي:

تخيل أن جانب المربع الموضح في هذا الشكل قد تم تصغيره بمقدار ب. المربع به جميع الأضلاع متساوية. إذا تم تقليل جانب واحد بواسطة ب، ثم ستنخفض الأطراف الأخرى أيضًا بمقدار ب

والنتيجة هي مربع جديد أصغر من المربع السابق. يتم تمييزه باللون الأصفر في الشكل. جانبها أ− بمنذ الجانب القديم أانخفض بنسبة ب. لحساب مساحة هذا المربع ، يمكنك استخدام المساحة الأصلية للمربع أ 2 اطرح مساحات المستطيلات التي تم الحصول عليها في عملية تصغير جوانب المربع القديم. لنعرض هذه المستطيلات:

ثم نكتب التعبير التالي: المنطقة القديمة أ 2 ناقص المساحة أبمنطقة ناقص ( أ-ب)ب

أ 2 − أب − (أ-ب)ب

قم بتوسيع الأقواس في التعبير ( أ-ب)ب

أ 2 − أب - أب + ب 2

فيما يلي مصطلحات متشابهة:

أ 2 − 2أب + ب 2

والنتيجة هي تعبير أ 2 − 2أب + ب 2 ، وهو الجانب الأيمن من صيغة مربع الفرق بين تعبيرين:

(أ-ب) 2 = أ 2 − 2أب + ب 2

تسمى الصيغ الخاصة بمربع المجموع ومربع الفرق بشكل عام صيغ الضرب المختصرة. تتيح لك هذه الصيغ تبسيط وتسريع عملية ضرب كثيرات الحدود بشكل ملحوظ.

قلنا سابقًا أنه بالنظر إلى عضو في كثير الحدود بشكل منفصل ، يجب النظر إليه جنبًا إلى جنب مع الإشارة الموجودة أمامه.

ولكن عند تطبيق صيغ الضرب المختصرة ، لا ينبغي اعتبار علامة كثير الحدود الأصلي كعلامة على هذا المصطلح نفسه.

على سبيل المثال ، بالنظر إلى التعبير (5 x − 2ذ) 2 ونريد استخدام الصيغة (أ-ب) 2 = أ 2 − 2أب + ب 2 ، ثم بدلاً من بتحتاج إلى استبدال 2 ذ، ليس 2 ذ. هذه ميزة للعمل مع الصيغ التي لا ينبغي نسيانها.

(5x − 2ذ) 2
أ = 5x
ب = 2ذ
(5x − 2ذ) 2 = (5x) 2-2 × 5 x× 2 ذ + (2ذ) 2 = 25x 2 − 20س ص + 4ذ 2

إذا استبدلنا 2 ذ، فهذا يعني أنه تم استبدال الفرق بين قوسين من التعبير الأصلي بالمجموع:

(5x − 2ذ) 2 = (5x + (−2ذ)) 2

وفي هذه الحالة ، من الضروري تطبيق ليس معادلة مربع الاختلاف ، ولكن معادلة مربع المجموع:

(5x + (−2ذ) 2
أ = 5x
ب = −2ذ
(5x + (−2ذ)) 2 = (5x) 2 + 2 × 5 x× (−2 ذ) + (−2ذ) 2 = 25x 2 − 20س ص + 4ذ 2

قد يكون الاستثناء تعبيرات النموذج (x− (−ذ)) 2 . في هذه الحالة ، باستخدام الصيغة (أ-ب) 2 = أ 2 − 2أب + ب 2 بدلاً من بيجب استبداله (- ذ)

(x− (−ذ)) 2 = x 2 - 2 × x× (− ذ) + (−ذ) 2 = x 2 + 2س ص + ذ 2

لكن تربيع التعبيرات من النموذج x − (−ذ) ، سيكون من الأنسب استبدال الطرح بالجمع س + ص. ثم يأخذ التعبير الأصلي الشكل ( x +ذ) 2 وسيكون من الممكن استخدام صيغة مربع المجموع وليس الفرق:

(x +ذ) 2 = x 2 + 2س ص + ذ 2

مجموع مكعب ومكعب الفرق

الصيغ الخاصة بمكعب مجموع تعبيرين ومكعب الفرق بين تعبيرين هي كما يلي:

(أ + ب) 3 = أ 3 + 3أ 2 ب + 3أب 2 + ب 3

(أ-ب) 3 = أ 3 − 3أ 2 ب + 3أب 2 − ب 3

يمكن قراءة صيغة مكعب مجموع تعبيرين على النحو التالي:

مكعب مجموع تعبيرين يساوي مكعب التعبير الأول زائد ثلاثة في مربع التعبير الأول في الثاني زائد ثلاثة في حاصل ضرب التعبير الأول في مربع الثاني زائد مكعب الثاني التعبير.

ويمكن قراءة صيغة مكعب الفرق بين تعبيرين على النحو التالي:

مكعب الفرق بين تعبيرين يساوي مكعب التعبير الأول ناقص ثلاثة في حاصل ضرب مربع التعبير الأول والثاني زائد ثلاثة في حاصل ضرب التعبير الأول ومربع الثاني ناقص المكعب من التعبير الثاني.

عند حل المشكلات ، من المستحسن معرفة هذه الصيغ عن ظهر قلب. إذا كنت لا تتذكر ، فلا تقلق! يمكنك إخراجها بنفسك. نحن نعلم بالفعل كيف.

دعنا نشتق صيغة مجموع المكعب بمفردنا:

(أ + ب) 3

تعبير ( أ + ب) 3 هو حاصل ضرب ثلاث كثيرات الحدود ، كل منها يساوي ( أ+ ب)

(أ + ب) 3 = (أ+ ب)(أ+ ب)(أ+ ب)

لكن التعبير ( أ + ب) 3 يمكن أيضًا كتابتها كـ (أ+ ب)(أ+ ب) 2

(أ + ب) 3 = (أ+ ب)(أ+ ب) 2

في هذه الحالة ، فإن العامل ( أ+ ب) 2 هو مربع مجموع التعبيرين. مربع المجموع هذا يساوي التعبير أ 2 + 2أب + ب 2 .

ثم ( أ + ب) 3 يمكن كتابتها كـ (أ+ ب)(أ 2 + 2أب + ب 2) .

(أ + ب) 3 = (أ+ ب)(أ 2 + 2أب + ب 2)

وهذا هو ضرب كثير الحدود في كثير الحدود. دعنا ننفذها:

(أ + ب) 3 = (أ+ ب)(أ 2 + 2أب + ب 2) = أ 3 + 2أ 2 ب + أب 2 + أ 2 ب + 2أب 2 + ب 3 = أ 3 + 3أ 2 ب + 3أب 2 + ب 3

وبالمثل ، يمكنك اشتقاق صيغة مكعب الفرق بين تعبيرين:

(أ-ب) 3 = (أ- ب)(أ 2 − 2أب + ب 2) = أ 3 − 2أ 2 ب + أب 2 − أ 2 ب + 2أب 2 − ب 3 = أ 3 − 3أ 2 ب+ 3أب 2 − ب 3

مثال 1. تحويل التعبير ( x+ 1) 3 في كثير الحدود.

(أ + ب) 3 = أ 3 + 3أ 2 ب + 3أب 2 + ب 3

(x+ 1) 3 = x 3 + 3 × x 2 × 1 + 3 × x× 1 2 + 1 3 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1

دعنا نحاول حل هذا المثال دون استخدام صيغة المكعب لمجموع تعبيرين

(x+ 1) 3 = (x+ 1)(x+ 1)(x+ 1) = (x+ 1)(x 2 + 2x + 1) = x 3 + 2x 2 + x + x 2 + 2x + 1 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1

مثال 2. تحويل التعبير (6أ 2 + 3ب 3) 3 في كثير الحدود.

لنستخدم صيغة المكعب لحساب مجموع تعبيرين:

(أ + ب) 3 = أ 3 + 3أ 2 ب + 3أب 2 + ب 3

(6أ 2 + 3ب 3) 3 = (6أ 2) 3 + 3 × (6 أ 2) 2 × 3 ب 3 + 3 × 6 أ 2 × (3ب 3) 2 + (3ب 3) 3 = 216أ 6 + 3 × 36 أ 4 × 3 ب 3 + 3 × 6 أ 2 × 9 ب 6 + 27ب 9

مثال 3. تحويل التعبير ( ن 2 - 3) 3 في كثير الحدود.

(أ-ب) = أ 3 − 3أ 2 ب + 3أب 2 − ب 3

(ن 2 − 3) 3 = (ن 2) 3 - 3 × ( ن 2) 2 × 3 + 3 × ن 2 × 3 2-3 3 = ن 6 − 9ن 4 + 27ن 2 − 27

مثال 4. تحويل التعبير (2x 2 − x 3) 3 في كثير الحدود.

لنستخدم صيغة المكعب لاختلاف تعبيرين:

(أ-ب) = أ 3 − 3أ 2 ب + 3أب 2 − ب 3

(2x 2 − x 3) 3 = (2x 2) 3 - 3 × (2 x 2) 2 × x 3 + 3 × 2 x 2 × ( x 3) 2 − (x 3) 3 =
8x 6 - 3 × 4 x 4 × x 3 + 3 × 2 x 2 × x 6 − x 9 =
8x 6 − 12x 7 + 6x 8 − x 9

ضرب الفرق بين مقدارين في مجموعهما

توجد مسائل تتطلب ضرب الفرق بين تعبيرين في مجموعهما. علي سبيل المثال:

(أ-ب)(أ + ب)

في هذا التعبير ، الفرق بين تعبيرين أو بمضروبة في مجموع نفس التعبيرين. لنقم بهذا الضرب:

(أ-ب)(أ + ب) = أ 2 + أب − أب − ب 2 = أ 2 − ب 2

هذا هو التعبير (أ-ب)(أ + ب) يساوي أ 2 − ب 2

(أ-ب)(أ + ب) = أ 2 − ب 2

نلاحظ أنه عند ضرب الفرق بين مقدارين في مجموعهما ، نحصل على الفرق بين مربعي هذين المقدارين.

حاصل ضرب الفرق بين تعبيرين ومجموعهما يساوي فرق مربعي هذين التعبيرين.

يحدث (أ-ب)(أ + ب) يمكن أن تمتد إلى أي أو ب. ببساطة ، إذا كان من الضروري عند حل مشكلة ضرب الفرق بين تعبيرين في مجموعهما ، فيمكن استبدال هذا الضرب باختلاف مربعات هذين التعبيرين.

مثال 1. نفذ عملية الضرب (2x − 5)(2x + 5)

في هذا المثال ، الاختلاف في التعبير هو 2 xو 5 في مجموع نفس هذه المقادير. ثم حسب الصيغة (أ-ب)(أ + ب) = أ 2 − ب 2 نملك:

(2x − 5)(2x + 5) = (2x) 2 − 5 2

نحسب الطرف الأيمن ، نحصل على 4 x 2 − 25

(2x − 5)(2x + 5) = (2x) 2 − 5 2 = 4x 2 − 25

دعنا نحاول حل هذا المثال دون استخدام الصيغة (أ-ب)(أ + ب) = أ 2 − ب 2 . سنحصل على نفس النتيجة 4 x 2 − 25

(2x − 5)(2x + 5) = 4x 2 − 10x + 10x − 25 = 4x 2 − 25

مثال 2. نفذ عملية الضرب (4x − 5ذ)(4x + 5ذ)

(أ-ب)(أ + ب) = أ 2 − ب 2

(4x − 5ذ)(4x + 5ذ) = (4x) 2 − (5ذ) 2 = 16x 2 − 25ذ 2

مثال 3. نفذ عملية الضرب (2أ+ 3ب)(2أ− 3ب)

لنستخدم صيغة ضرب الفرق بين تعبيرين في مجموعهما:

(أ-ب)(أ + ب) = أ 2 − ب 2

(2أ + 3ب)(2أ- 3ب) = (2أ) 2 − (3ب) 2 = 4أ 2 − 9ب 2

في هذا المثال ، مجموع المصطلحات هو 2 أو 3 بيقع قبل الاختلاف بين هذه الشروط. وفي الصيغة (أ-ب)(أ + ب) = أ 2 − ب 2 يقع الاختلاف في وقت سابق.

لا فرق في كيفية ترتيب العوامل ( أ-ب) في ( أ + ب) في الصيغة. يمكن كتابتها كـ (أ-ب)(أ + ب) ، و (أ + ب)(أ-ب) . ستظل النتيجة أ 2 − ب 2 ، لأن المنتج لا يتغير من التقليب للعوامل.

إذن في هذا المثال ، العوامل (2 أ + 3ب) و 2 أ- 3ب) يمكن كتابتها كـ (2أ + 3ب)(2أ- 3ب) ، و (2أ- 3ب)(2أ + 3ب) . ستظل النتيجة 4. أ 2 − 9ب 2 .

مثال 3. نفذ عملية الضرب (7 + 3x)(3x − 7)

لنستخدم صيغة ضرب الفرق بين تعبيرين في مجموعهما:

(أ-ب)(أ + ب) = أ 2 − ب 2

(7 + 3x)(3x − 7) = (3x) 2 − 7 2 = 9x 2 − 49

مثال 4. نفذ عملية الضرب (x 2 − ذ 3)(x 2 + ذ 3)

(أ-ب)(أ + ب) = أ 2 − ب 2

(x 2 − ذ 3)(x 2 + ذ 3) = (x 2) 2 − (ذ 3) 2 = x 4 − ذ 6

مثال 5. نفذ عملية الضرب (−5x− 3ذ)(5x− 3ذ)

في التعبير (−5 x− 3ذ) نحذف −1 ، ثم يأخذ التعبير الأصلي الشكل التالي:

(−5x− 3ذ)(5x− 3ذ) = −1(5x + 3ذ)(5x − 3ذ)

الشغل (5x + 3ذ)(5x − 3ذ) استبدال باختلاف المربعات:

(−5x− 3ذ)(5x− 3ذ) = −1(5x + 3ذ)(5x − 3ذ) = −1((5x) 2 − (3ذ) 2)

تم وضع الفرق بين المربعات بين قوسين. إذا لم يتم ذلك ، فسيظهر أن −1 مضروبًا فقط في (5 x) 2. وهذا سيؤدي إلى حدوث خطأ وتغيير قيمة التعبير الأصلي.

(−5x− 3ذ)(5x− 3ذ) = −1(5x + 3ذ)(5x − 3ذ) = −1((5x) 2 − (3ذ) 2) = −1(25x 2 − 9x 2)

الآن اضرب −1 في التعبير بين قوسين واحصل على النتيجة النهائية:

(−5x− 3ذ)(5x− 3ذ) = −1(5x + 3ذ)(5x − 3ذ) = −1((5x) 2 − (3ذ) 2) =
−1(25x 2 − 9ذ 2) = −25x 2 + 9ذ 2

ضرب الفرق بين تعبيرين في المربع غير المكتمل لمجموعهما

توجد مشاكل تتطلب فيها ضرب الفرق بين تعبيرين في المربع غير المكتمل لمجموعهما. هذه القطعة تبدو كالتالي:

(أ-ب)(أ 2 + أب + ب 2)

أول كثير حدود ( أ-ب) هو الفرق بين تعبيرين ، وكثير الحدود الثاني (أ 2 + أب + ب 2) هو المربع غير الكامل لمجموع هذين التعبيرين.

المربع غير المكتمل للمجموع هو متعدد حدود النموذج أ 2 + أب + ب 2 . إنه مشابه لمربع المجموع المعتاد أ 2 + 2أب + ب 2

على سبيل المثال ، التعبير 4x 2 + 6س ص + 9ذ 2 هو مربع غير كامل لمجموع التعبيرات 2 xو 3 ذ .

في الواقع ، المصطلح الأول من التعبير 4x 2 + 6س ص + 9ذ 2 ، وهي 4 x 2 هو مربع التعبير 2 x، منذ (2 x) 2 = 4x 2. المصطلح الثالث من التعبير 4x 2 + 6س ص + 9ذ 2 ، وهي 9 ذ 2 هو مربع 3 ذ، لأن (3 ذ) 2 = 9ذ 2. منتصف ديك 6 س ص، هو نتاج التعبيرات 2 xو 3 ذ.

لذلك دعونا نضرب الفرق ( أ-ب) بمربع غير مكتمل من المجموع أ 2 + أب + ب 2

(أ-ب)(أ 2 + أب + ب 2) = أ(أ 2 + أب + ب 2) − ب(أ 2 + أب + ب 2) =
أ 3 + أ 2 ب + أب 2 − أ 2 ب − أب 2 − ب 3 = أ 3 − ب 3

هذا هو التعبير (أ-ب)(أ 2 + أب + ب 2) يساوي أ 3 − ب 3

(أ-ب)(أ 2 + أب + ب 2) = أ 3 − ب 3

تسمى هذه المطابقة بصيغة ضرب الفرق بين تعبيرين في المربع غير المكتمل لمجموعهما. يمكن قراءة هذه الصيغة على النحو التالي:

حاصل ضرب الفرق بين تعبيرين والمربع غير المكتمل لمجموعهما يساوي الفرق بين مكعبات هذين التعبيرين.

مثال 1. نفذ عملية الضرب (2x − 3ذ)(4x 2 + 6س ص + 9ذ 2)

أول كثير الحدود (2 x − 3ذ) هو الفرق بين تعبيرين 2 xو 3 ذ. كثير الحدود الثاني 4x 2 + 6س ص + 9ذ 2 هو المربع غير الكامل لمجموع تعبيرين 2 xو 3 ذ. هذا يسمح لنا باستخدام الصيغة دون إجراء حسابات مطولة (أ-ب)(أ 2 + أب + ب 2) = أ 3 − ب 3 . في حالتنا ، الضرب (2x − 3ذ)(4x 2 + 6س ص + 9ذ 2) يمكن استبداله باختلاف المكعبات 2 xو 3 ذ

(2x − 3ذ)(4x 2 + 6س ص + 9ذ 2) = (2x) 3 − (3ذ) 3 = 8x 3 − 27ذ 3

(أ-ب)(أ 2 + أب+ ب 2) = أ 3 − ب 3 . نحصل على نفس النتيجة ولكن الحل يصبح أطول:

(2x − 3ذ)(4x 2 + 6س ص + 9ذ 2) = 2x(4x 2 + 6س ص + 9ذ 2) − 3ذ(4x 2 + 6س ص + 9ذ 2) =
8× 3 + 12x 2 ذ + 18س ص 2 − 12x 2 ذ − 18س ص 2 − 27ذ 3 = 8x 3 − 27ذ 3

مثال 2. نفذ عملية الضرب (3 − x)(9 + 3x + x 2)

كثير الحدود الأول (3 - x) هو الفرق بين التعبيرين ، وكثير الحدود الثاني هو المربع غير الكامل لمجموع هذين التعبيرين. هذا يسمح لنا باستخدام الصيغة (أ-ب)(أ 2 + أب + ب 2) = أ 3 − ب 3

(3 − x)(9 + 3x + x 2) = 3 3 − x 3 = 27 − x 3

ضرب مجموع تعبيرين في المربع غير المكتمل للاختلاف بينهما

توجد مشاكل تتطلب ضرب مجموع تعبيرين في المربع غير المكتمل للاختلاف بينهما. هذه القطعة تبدو كالتالي:

(أ + ب)(أ 2 − أب + ب 2)

أول كثير حدود ( أ + ب (أ 2 − أب + ب 2) هو مربع غير مكتمل للاختلاف بين هذين التعبيرين.

المربع غير المكتمل للاختلاف هو متعدد حدود النموذج أ 2 − أب + ب 2 . إنه مشابه للفرق التربيعي المعتاد أ 2 − 2أب + ب 2 إلا أنه لا يتضاعف فيه ناتج التعبيرين الأول والثاني.

على سبيل المثال ، التعبير 4x 2 − 6س ص + 9ذ 2 هو مربع غير مكتمل لاختلاف التعبيرات 2 xو 3 ذ.

(2x) 2 − 2x× 3 ذ + (3ذ) 2 = 4x 2 − 6س ص + 9ذ 2

دعنا نعود إلى المثال الأصلي. دعونا نضرب المجموع أ + ببالمربع غير المكتمل للفرق أ 2 − أب + ب 2

(أ + ب)(أ 2 − أب + ب 2) = أ(أ 2 - أب + ب 2) + ب(أ 2 − أب + ب 2) =
أ 3 − أ 2 ب + أب 2 + أ 2 ب − أب 2 + ب 3 = أ 3 + ب 3

هذا هو التعبير (أ + ب)(أ 2 − أب + ب 2) يساوي أ 3 + ب 3

(أ + ب)(أ 2 − أب + ب 2) = أ 3 + ب 3

تسمى هذه الهوية بصيغة ضرب مجموع تعبيرين في المربع غير المكتمل للاختلاف بينهما. يمكن قراءة هذه الصيغة على النحو التالي:

حاصل ضرب مجموع تعبيرين والمربع غير المكتمل لاختلافهما يساوي مجموع مكعبات هذين التعبيرين.

مثال 1. نفذ عملية الضرب (2x + 3ذ)(4x 2 − 6س ص + 9ذ 2)

أول كثير الحدود (2 x + 3ذ) هو مجموع تعبيرين 2 xو 3 ذ، وكثير الحدود الثاني 4x 2 − 6س ص + 9ذ 2 هو المربع غير المكتمل لاختلاف هذه التعبيرات. هذا يسمح لنا باستخدام الصيغة دون إجراء حسابات مطولة (أ + ب)(أ 2 − أب + ب 2) = أ 3 + ب 3 . في حالتنا ، الضرب (2x + 3ذ)(4x 2 − 6س ص + 9ذ 2) يمكن استبداله بمجموع المكعبات 2 xو 3 ذ

(2x + 3ذ)(4x 2 − 6س ص + 9ذ 2) = (2x) 3 + (3ذ) 3 = 8x 3 + 27ذ 3

دعنا نحاول حل نفس المثال دون استخدام الصيغة (أ + ب)(أ 2 − أب+ ب 2) = أ 3 + ب 3 . نحصل على نفس النتيجة ولكن الحل يصبح أطول:

(2x + 3ذ)(4x 2 − 6س ص + 9ذ 2) = 2x(4x 2 − 6س ص + 9ذ 2) + 3ذ(4x 2 − 6س ص + 9ذ 2) =
8x 3 − 12x 2 ذ + 18س ص 2 + 12x 2 ذ − 18س ص 2 + 27ذ 3 = 8x 3 + 27ذ 3

مثال 2. نفذ عملية الضرب (2x+ ذ)(4x 2 − 2س ص + ذ 2)

أول كثير الحدود (2 x+ ذ) هو مجموع تعبيرين ، وكثير الحدود الثاني (4x 2 − 2س ص + ذ 2) هو مربع غير مكتمل لاختلاف هذه التعبيرات. هذا يسمح لنا باستخدام الصيغة (أ + ب)(أ 2 − أب+ ب 2) = أ 3 + ب 3

(2x+ ذ)(4x 2 − 2س ص + ذ 2) = (2x) 3 + ذ 3 = 8x 3 + ذ 3

دعنا نحاول حل نفس المثال دون استخدام الصيغة (أ + ب)(أ 2 − أب+ ب 2) = أ 3 + ب 3 . نحصل على نفس النتيجة ولكن الحل يصبح أطول:

(2x+ ذ)(4x 2 − 2س ص + ذ 2) = 2x(4x 2 − 2س ص + ذ 2) + ذ(4x 2 − 2س ص + ذ 2) =
8x 3 − 4x 2 ذ + 2س ص 2 + 4x 2 ذ − 2س ص 2 + ذ 3 = 8x 3 + ذ 3

مهام الحل المستقل

هل أعجبك الدرس؟
انضم إلى مجموعة فكونتاكتي الجديدة وابدأ في تلقي إشعارات بالدروس الجديدة

من أجل تبسيط كثيرات الحدود الجبرية ، هناك صيغ الضرب المختصرة. لا يوجد الكثير منهم ومن السهل تذكرهم ، لكن عليك تذكرهم. يمكن أن يتخذ الترميز المستخدم في الصيغ أي شكل (رقم أو متعدد الحدود).

تسمى صيغة الضرب المختصرة الأولى فرق المربعات. تكمن في حقيقة أنه من مربع رقم واحد ، يتم طرح مربع الرقم الثاني مساوٍ للفرق بين هذه الأرقام ، وكذلك حاصل ضربهما.

أ 2 - ب 2 \ u003d (أ - ب) (أ + ب)

دعنا نحلل من أجل الوضوح:

22 2 - 4 2 = (22-4)(22+4)=18 * 26 = 468
9 أ 2 - 4 ب 2 ص 2 = (3 أ - 2 ق.م) (3 أ + 2 ق.م)

الصيغة الثانية حول مجموع المربعات. يبدو أن مجموع قيمتين تربيع يساوي مربع القيمة الأولى ، ويضاف إليها حاصل الضرب المزدوج للقيمة الأولى مضروبًا في الثانية ، ويضاف إليها مربع القيمة الثانية.

(أ + ب) 2 = أ 2 + 2 أب + ب 2

بفضل هذه الصيغة ، يصبح حساب مربع عدد كبير أسهل بكثير ، دون استخدام تكنولوجيا الكمبيوتر.

لذلك على سبيل المثال:مربع 112 سيكون
1) في البداية ، سنقوم بتحليل 112 إلى أرقام مألوفة لدينا في مربعاتها
112 = 100 + 12
2) نقوم بإدخال المستلم بين قوسين مربعين
112 2 = (100+12) 2
3) بتطبيق الصيغة نحصل على:
112 2 = (100+12) 2 = 100 2 + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544

الصيغة الثالثة هي تربيع الفرق. والتي تنص على أن القيمتين المطروحتين من بعضهما البعض تربيع تساوي حقيقة أننا ، من القيمة الأولى تربيع ، نطرح حاصل الضرب المزدوج للقيمة الأولى مضروبًا في الثانية ، ونضيف إليهم مربع القيمة الثانية .

(أ + ب) 2 \ u003d أ 2 - 2 أب + ب 2

حيث (أ - ب) 2 يساوي (ب - أ) 2. لإثبات ذلك ، (أ-ب) 2 = أ 2 -2 أب + ب 2 = ب 2 -2 أب + أ 2 = (ب-أ) 2

تسمى صيغة الضرب المختصرة الرابعة مكعب. والذي يبدو مثل: فترتين من القيمة في المكعب تساوي مكعب القيمة 1 ، تتم إضافة المنتج الثلاثي لقيمة 1 تربيعًا مضروبًا في القيمة الثانية ، ويضاف إليهم حاصل الضرب الثلاثي بقيمة 1 مضروبًا في المربع من 2 زائد القيمة الثانية تكعيب.

(أ + ب) 3 = أ 3 + 3 أ 2 ب + 3 أب 2 + ب 3

الخامس ، كما فهمت بالفعل ، يسمى مكعب الفرق. والذي يجد الفروق بين القيم ، فمن التسمية الأولى في المكعب نطرح حاصل الضرب الثلاثي للتسمية الأولى تربيعًا مضروبًا في الثانية ، ويضاف إليها حاصل الضرب الثلاثي للتسمية الأولى مضروبًا في مربع التعيين الثاني. ، مطروحًا منه التعيين الثاني في المكعب.

(أ-ب) 3 \ u003d أ 3 - 3 أ 2 ب + 3 أب 2 - ب 3

السادس يسمى مجموع المكعبات. مجموع المكعبات يساوي حاصل ضرب حدين في المربع غير المكتمل للاختلاف ، حيث لا توجد قيمة مضاعفة في المنتصف.

أ 3 + ب 3 \ u003d (أ + ب) (أ 2-أب + ب 2)

بطريقة أخرى ، يمكنك القول أن مجموع المكعبات يمكن أن يسمى حاصل الضرب بين قوسين.

يتم استدعاء السابع والأخير فرق المكعبات(من السهل الخلط بينه وبين صيغة مكعب الفرق ، لكن هذه أشياء مختلفة). فرق المكعبات يساوي حاصل ضرب الفرق بين كميتين مضروبًا في المربع غير المكتمل من المجموع ، حيث لا توجد قيمة مضاعفة في المنتصف.

أ 3 - ب 3 \ u003d (أ-ب) (أ 2 + أب + ب 2)

وبالتالي ، لا يوجد سوى 7 صيغ للضرب المختصر ، فهي متشابهة مع بعضها ويسهل تذكرها ، والشيء الوحيد هو عدم الخلط بين العلامات. وهي مصممة أيضًا لاستخدامها بترتيب عكسي وهناك عدد غير قليل من هذه المهام التي تم جمعها في الكتب المدرسية. كن حذرا وسوف تنجح.

إذا كانت لديك أي أسئلة حول الصيغ ، فتأكد من كتابتها في التعليقات. سنكون سعداء للرد عليك!

إذا كنت في إجازة أمومة ولكنك ترغبين في كسب المال. ما عليك سوى اتباع رابط الأعمال التجارية عبر الإنترنت مع Oriflame. كل شيء مكتوب ويظهر بتفصيل كبير. سيكون مثيرا للإهتمام!