إفادة
بقية خاص غير مكتمل.
تعليق
لأي كثيرات حدود $ A (x) $ و $ B (x) $ (درجة $ B (x) $ أكبر من 0) هناك كثيرات حدود فريدة $ Q (x) $ و $ R (x) $ من شرط التأكيد.
- الباقي بعد قسمة كثير الحدود $ x ^ (4) + 3x ^ (3) + 5 $ على $ x ^ (2) + 1 $ هو $ 3x + 4 $: $ x ^ (4) + 3x ^ (3) +5 = (x ^ (2) + 3x +1) (x ^ (2) + 1) + 3x + 4. $
- الباقي بعد قسمة كثير الحدود $ x ^ (4) + 3x ^ (3) + 5 $ على $ x ^ (4) + 1 $ هو $ 3x ^ (3) + 4 $: $ x ^ (4) + 3x ^ (3) +5 = 1 \ cdot (x ^ (2) + 1) + 3x ^ (3) + 4. $
- الباقي بعد قسمة كثير الحدود $ x ^ (4) + 3x ^ (3) + 5 $ على $ x ^ (6) + 1 $ هو $ x ^ (4) + 3x ^ (3) +5 $: $ x ^ (4) + 3x ^ (3) +5 = 0 \ cdot (x ^ (6) + 1) + x ^ (4) + 3x ^ (3) + 5. $
إفادة
لأي اثنين من كثيرات الحدود $ A (x) $ و $ B (x) $ (حيث تكون درجة كثير الحدود $ B (x) $ غير صفرية) ، يوجد تمثيل متعدد الحدود $ A (x) $ بالصيغة $ A (x) = Q (x) B (x) + R (x) $ ، حيث $ Q (x) $ و $ R (x) $ متعدد الحدود ودرجة $ R (x) $ أقل من الدرجة من $ B (x)
دليل - إثبات
سنثبت التأكيد عن طريق الاستقراء على درجة كثير الحدود $ A (x). $ نرمز له بـ $ n $. إذا كان $ n = 0 $ ، فإن العبارة صحيحة: يمكن تمثيل $ A (x) $ كـ $ A (x) = 0 \ cdot B (x) + A (x). كثيرات الحدود من الدرجة $ n \ leqm $. دعونا نثبت تأكيد كثيرات الحدود من الدرجة $ k = n + 1. $
اجعل درجة كثير الحدود $ B (x) $ تساوي $ m $. خذ بعين الاعتبار ثلاث حالات: $ k< m$, $k = m$ и $k >م $ وإثبات التوكيد لكل منهم.
- ك< m$
يمكن تمثيل كثير الحدود $ A (x) $ كـ$ A (x) = 0 \ cdot B (x) + A (x). $
تم التأكيد.
- دولار ك = م دولار
دع كثيرات الحدود $ A (x) $ و $ B (x) $ لها الصيغة$ A (x) = a_ (n + 1) x ^ (n + 1) + a_ (n) x ^ (n) + \ dots + a_ (1) x + a_ (0)، \: \ mbox (حيث ) \: a_ (n + 1) \ neq 0؛ $
$ B (x) = b_ (n + 1) x ^ (n + 1) + b_ (n) x ^ (n) + \ dots + b_ (1) x + b_ (0) ، \: \ mbox (حيث ) \: b_ (n + 1) \ neq 0. $
دعنا نمثل $ A (x) $ as
$ A (x) = \ dfrac (a_ (n + 1)) (b_ (n + 1)) B (x) - \ Big (\ dfrac (a_ (n + 1)) (b_ (n + 1)) B (x) - A (x) \ Big). $
لاحظ أن درجة كثير الحدود $ \ dfrac (a_ (n + 1)) (b_ (n + 1)) B (x) - A (x) $ هي على الأكثر $ n + 1 $ ، فإن هذا التمثيل هو المطلوب والتأكيد مقتنع.
- $ k> m $
نحن نمثل كثير الحدود $ A (x) $ في الصورة$ A (x) = x (a_ (n + 1) x ^ (n) + a_ (n) x ^ (n-1) + \ dots + a_ (1)) + a_ (0) ، \: \ mbox (حيث) \: a_ (n + 1) \ neq 0. $
ضع في اعتبارك كثير الحدود $ A "(x) = a_ (n + 1) x ^ (n) + a_ (n) x ^ (n-1) + \ dots + a_ (1). يمكن تمثيل $ كـ $ A" (x) = Q "(x) B (x) + R" (x) $ ، حيث تكون درجة كثير الحدود $ R "(x) $ أقل من $ m $ ، ثم تمثيل $ A (x) يمكن إعادة كتابة $ كـ
$ A (x) = x (Q "(x) B (x) + R" (x)) + a_ (0) = xQ "(x) B (x) + xR" (x) + a_ (0) . $
لاحظ أن درجة كثير الحدود $ xR "(x) $ أقل من $ m + 1 $ ، أي أقل من $ k $. ثم $ xR" (x) $ يفي بالافتراض الاستقرائي ويمكن تمثيله كـ $ xR " (x) = Q "" (x) B (x) + R "" (x) $ ، حيث تكون درجة كثير الحدود $ R "" (x) $ أقل من $ m $. أعد كتابة التمثيل لـ $ A (x) $ as
$ A (x) = xQ "(x) B (x) + Q" "(x) B (x) + R" "(x) + a_ (0) = $
$ = (xQ "(x) + xQ" "(x)) B (x) + R" "(x) + a_ (0). $
درجة كثير الحدود $ R "(x) + a_ (0) $ أقل من $ m $ ، لذا فإن العبارة صحيحة.
تم إثبات التأكيد.
في هذه الحالة ، يتم استدعاء كثير الحدود $ R (x) $ بقيةمن قسمة $ A (x) $ على $ B (x) $ و $ Q (x) $ - خاص غير مكتمل.
إذا كان المتبقي من $ R (x) $ كثير حدود صفري ، فيُقال إن $ A (x) $ قابل للقسمة على $ B (x) $.
يتم تقديم دليل على أن الكسر غير الصحيح المكون من كثيرات الحدود يمكن تمثيله كمجموع كثير الحدود وكسر مناسب. أمثلة على قسمة كثيرات الحدود بزاوية والضرب بعمود يتم تحليلها بالتفصيل.
المحتوىنظرية
دع P k (خ)، Qn (خ)هي كثيرات الحدود في المتغير x للدرجات k و n ، على التوالي ، مع k n. ثم كثير الحدود P k (خ)لا يمكن تمثيله إلا بالطريقة التالية:
(1)
ف ك (x) = S k-n (x) Q n (x) + U n-1 (x),
حيث S k-n (خ)- متعدد الحدود من الدرجة k-n، U n- 1 (x)- كثيرة الحدود من الدرجة لا تزيد عن n- 1
أو صفر.
دليل - إثبات
حسب تعريف كثير الحدود:
;
;
;
,
حيث p i، q i - معاملات معروفة، s i، u i - معاملات غير معروفة.
دعنا نقدم الترميز:
.
استبدل في (1)
:
;
(2)
.
الحد الأول على الجانب الأيمن هو كثير حدود من الدرجة k. مجموع الحد الثاني والثالث هو كثير الحدود من الدرجة ك - 1
. يساوي المعامِلات عند x k:
ص ك = ث ك ن ف ن.
ومن ثم s k-n = p k / q n.
دعنا نحول المعادلة (2)
:
.
دعنا نقدم التدوين:.
بما أن s k-n = p k / q n ، فإن المعامل عند x k يساوي صفرًا. لذلك - هذه هي كثيرة حدود الدرجة على الأكثر k - 1
و. ثم يمكن إعادة كتابة المعادلة السابقة على النحو التالي:
(3)
.
هذه المعادلة لها نفس شكل المعادلة (1)
، فقط قيمة k أصبحت 1
الأصغر. بتكرار هذا الإجراء k-n مرات ، نحصل على المعادلة:
,
والتي من خلالها نحدد معاملات كثير الحدود U n- 1 (x).
لذلك ، حددنا جميع المعاملات المجهولة s i، u l. علاوة على ذلك ، s k-n ≠ 0 . تم إثبات اللمة.
تقسيم كثيرات الحدود
قسمة طرفي المعادلة (1)
على Q n (خ)، نحن نحصل:
(4)
.
عن طريق القياس مع الأعداد العشرية ، S k-n (خ)يسمى الجزء الصحيح من الكسر أو الخاص ، U n- 1 (x)- ما تبقى من القسمة. يُطلق على جزء من كثيرات الحدود تكون فيه درجة كثير الحدود في البسط أقل من درجة كثيرة الحدود في المقام كسرًا مناسبًا. جزء من كثيرات الحدود تكون فيه درجة كثير الحدود في البسط أكبر من أو تساوي درجة كثير الحدود في المقام يسمى كسر غير فعلي.
المعادلة (4) يوضح أنه يمكن تبسيط أي جزء غير لائق من كثيرات الحدود من خلال تمثيله كمجموع جزء صحيح وكسر مناسب.
في جوهرها ، تعد الأرقام العشرية الصحيحة متعددة الحدود ، حيث يكون المتغير مساويًا للرقم 10
. على سبيل المثال ، لنأخذ الرقم 265847. ويمكن تمثيله على النحو التالي:
.
وهذا يعني أنها كثيرة الحدود من الدرجة الخامسة من 10
. الأرقام 2 ، 6 ، 5 ، 8 ، 4 ، 7 هي معاملات فك العدد في قوى 10.
لذلك ، بالنسبة لكثيرات الحدود ، يمكنك تطبيق قاعدة القسمة على الزاوية (تسمى أحيانًا القسمة المطولة) التي تنطبق على قسمة الأرقام. الفرق الوحيد هو أنه عند قسمة كثيرات الحدود ، لا تحتاج إلى تحويل الأرقام الأكبر من تسعة إلى أرقام أعلى. ضع في اعتبارك عملية قسمة كثيرات الحدود على زاوية باستخدام أمثلة محددة.
مثال على قسمة كثيرات الحدود على زاوية
.
هنا البسط هو كثير الحدود من الدرجة الرابعة. المقام هو كثير حدود من الدرجة الثانية. بقدر ما 4 ≥ 2 ، ثم الكسر غير صحيح. نختار الجزء الصحيح عن طريق قسمة كثيرات الحدود بزاوية (في عمود):
دعونا نعطي وصفا مفصلا لعملية التقسيم. تتم كتابة كثيرات الحدود الأصلية في العمودين الأيمن والأيسر. تحت المقام كثير الحدود ، في العمود الأيمن ، نرسم خطًا أفقيًا (زاوية). أسفل هذا الخط ، بزاوية ، سيكون هناك جزء صحيح من الكسر.
1.1 نجد العضو الأول من الجزء الصحيح (تحت الزاوية). للقيام بذلك ، نقسم الحد الأعلى في البسط على الحد الأعلى في المقام:.
1.2
تتضاعف 2 × 2في x 2-3 س + 5:
. النتيجة مكتوبة في العمود الأيسر:
1.3
نأخذ الفرق في كثيرات الحدود في العمود الأيسر:
.
لذلك ، حصلنا على نتيجة وسيطة:
.
الكسر الموجود على الجانب الأيمن غير صحيح لأن درجة كثيرة الحدود في البسط ( 3
) أكبر من أو يساوي درجة كثير الحدود في المقام ( 2
). نكرر الحسابات. الآن فقط يوجد بسط الكسر في الصف الأخير من العمود الأيسر.
2.1
قسّم العضو الأقدم في البسط على عضو كبير في المقام:؛ 
2.2
نضرب في المقام: ؛
2.3
وطرح من السطر الأخير من العمود الأيسر:؛ 
النتيجة الوسيطة:
.
نكرر العمليات الحسابية مرة أخرى ، نظرًا لوجود كسر غير فعلي في الطرف الأيمن.
3.1
;
3.2
;
3.3
;
لذلك حصلنا على:
.
درجة كثير الحدود في بسط الكسر الأيمن أقل من درجة كثير الحدود المقام ، 1 < 2
. لذلك ، فإن الكسر صحيح.
;
2 × 2-4 × + 1هو الجزء الكامل
س- 8
- باقي القسمة.
مثال 2
حدد الجزء الصحيح من الكسر وابحث عن باقي القسمة:
.
نقوم بنفس الإجراءات كما في المثال السابق:
هنا ما تبقى من القسمة هو صفر:
.
ضرب كثيرات الحدود بعمود
يمكنك أيضًا ضرب كثيرات الحدود في عمود ، على غرار ضرب الأعداد الصحيحة. دعونا ننظر في أمثلة محددة.
مثال على ضرب كثيرات الحدود في عمود
ابحث عن حاصل ضرب كثيرات الحدود:
.
1
2.1
.
2.2
.
2.3
.
النتيجة مكتوبة في عمود ، محاذاة قوى x.
3
;
;
;
.
لاحظ أنه يمكن كتابة المعاملات فقط ، ويمكن حذف قوى المتغير x. بعد ذلك ، سيبدو الضرب في عمود متعدد الحدود كما يلي:
مثال 2
أوجد حاصل ضرب كثيرات الحدود في عمود:
.
عند ضرب كثيرات الحدود في عمود ، من المهم كتابة نفس قوى المتغير x تحت بعضها البعض. إذا تم حذف بعض قوى x ، فيجب كتابتها صراحة عن طريق الضرب في صفر ، أو ترك مسافات.
في هذا المثال ، تم حذف بعض الدرجات. لذلك نكتبها صراحة مضروبة في صفر:
.
نضرب كثيرات الحدود في عمود.
1 نكتب كثيرات الحدود الأصلية تحت بعضها البعض في عمود ونرسم خطًا.
2.1
نضرب الحد الأدنى من كثير الحدود الثاني في كثير الحدود الأول:
.
النتيجة مكتوبة في عمود.
2.2 الحد التالي من كثير الحدود الثاني يساوي صفرًا. ومن ثم ، فإن حاصل ضربها في كثير الحدود الأول يساوي صفرًا أيضًا. يمكن حذف السطر الفارغ.
2.3
نضرب الحد التالي من كثير الحدود الثاني في كثير الحدود الأول:
.
النتيجة مكتوبة في عمود ، محاذاة قوى x.
2.3
نضرب الحد التالي (الأعلى) من كثير الحدود الثاني في كثير الحدود الأول:
.
النتيجة مكتوبة في عمود ، محاذاة قوى x.
3
بعد ضرب كل حدود كثير الحدود الثاني في الأول ، نرسم خطًا ونضيف الحدود بنفس القوى x:
.
منظر عام للمونومال
و (س) = axn، أين:
-أ- المعامل الذي يمكن أن ينتمي إلى أي من المجموعات N ، Z ، Q ، R ، C
-x- عامل
-نالأس الذي ينتمي إلى المجموعة ن
يتشابه اثنان من الأحاديات إذا كان لهما نفس المتغير ونفس الأس.
أمثلة: 3 × 2و -5 × 2; ½x 4و 2√3x4
يُطلق على مجموع المونوميرات التي لا تتشابه مع بعضها البعض متعدد الحدود (أو متعدد الحدود). في هذه الحالة ، تعد المونومرات مصطلحات كثيرة الحدود. كثير الحدود الذي يحتوي على مصطلحين يسمى ذو الحدين (أو ذو الحدين).
مثال: ص (خ) = 3x2-5 ؛ ح (س) = 5 س -1
كثير الحدود الذي يحتوي على ثلاثة مصطلحات يسمى ثلاثي الحدود.
الشكل العام لكثير الحدود مع متغير واحد
أين:
- أ ن ، أ ن -1 ، أ ن -2 ، ... ، أ 1 ، أ 0هي معاملات كثير الحدود. يمكن أن تكون أعدادًا طبيعية أو صحيحة أو منطقية أو حقيقية أو معقدة.
- أ- المعامل عند المصطلح ذو الأس الأعلى (المعامل الرئيسي)
- أ 0- معامل عند المصطلح ذي الأس الأصغر (مصطلح مجاني ، أو ثابت)
- ن- درجة كثيرة الحدود
مثال 1
ص (س) = 5 س 3 -2 س 2 + 7 س -1
- كثير الحدود من الدرجة الثالثة مع معاملات 5, -2, 7 و -1
- 5 - العامل الرائد
- -1 - عضو مجاني
- x- عامل
مثال 2
ح (س) = - 2√3x 4 + x-4
- كثير الحدود من الدرجة الرابعة مع معاملات -2√3.½و -4
- -2√3 - العامل الرائد
- -4 - عضو مجاني
- x- عامل
تقسيم متعدد الحدود
ص (خ)و ف (س)- اثنان كثيرات الحدود:
ص (س) = أ ن س ن + أ ن -1 س ن -1 + ... + أ 1 س 1 + أ 0
ف (س) = أ ف س س + أ ف -1 س ف -1 + ... + أ 1 س 1 + أ 0
لإيجاد حاصل القسمة وبقية القسمة ص (خ)على ال ف (س)، تحتاج إلى استخدام الخوارزمية التالية:
- الدرجة العلمية ص (خ)يجب أن يكون أكبر من أو يساوي ف (س).
- يجب أن نكتب كلتا كثيرات الحدود بترتيب تنازلي. إذا كان في ص (خ)لا يوجد حد بأي درجة ، يجب إضافته بمعامل 0.
- عضو رئيسي ص (خ)مقسمة إلى عضو قيادي ف (س)، والنتيجة مكتوبة أسفل الخط الفاصل (في المقام).
- نضرب النتيجة بكل الحدود ف (س)واكتب النتيجة بإشارات معاكسة تحت الشروط ص (خ)مع الدرجات المقابلة.
- نضيف حدًا على حدٍّ حدٍّ حدٍّ من نفس الدرجات.
- نقوم بتعيين الشروط المتبقية للنتيجة ص (خ).
- نقسم الحد الرئيسي لكثير الحدود الناتج على المصطلح الأول لكثير الحدود ف (س)وكرر الخطوات من 3 إلى 6.
- يتكرر هذا الإجراء حتى تحصل كثير الحدود التي تم الحصول عليها حديثًا على درجة أقل من ف (س). ستكون كثيرة الحدود هي باقي القسمة.
- كثير الحدود المكتوب تحت الخط الفاصل هو نتيجة القسمة (حاصل القسمة).
مثال 1
الخطوة 1 و 2) $ p (x) = x ^ 5-3x ^ 4 + 2x ^ 3 + 7x ^ 2-3x + 5 \\ q (x) = x ^ 2-x + 1 $
3) x5 -3x4 + 2x3 + 7x2 -3x + 5
4) × 5 - 3 × 4 + 2 × 3 + 7 × 2 - 3 × + 5
5) × 5 - 3 × 4 + 2 × 3 + 7 × 2 - 3 × + 5
6) × 5 - 3 × 4 + 2 × 3 + 7 × 2 - 3 × + 5
/ -2x 4 -x 3 + 7x2 -3x + 5
7) × 5 - 3 × 4 + 2 × 3 + 7 × 2 - 3 × + 5
/ -2 س 4 + س 3 + 7 س 2 -3 س + 5
2 × 4 - 2 × 3 + 2 × 2
/ -x 3 + 9x2 -3x + 5
8) x5 -3x4 + 2x3 + 7x2 -3x + 5
/ -2x 4 -x 3 + 7x2 -3x + 5
2 × 4 - 2 × 3 + 2 × 2
/ -x 3 + 9x2 -3x + 5
/ 6x-3 توقف
x 3 -2x 2 -x + 8 -> C (x) نشر
الجواب: ص (س) = س 5 - 3 س 4 + 2 س 3 + 7 س 2 - 3 س + 5 = (س 2 - س + 1) (س 3 - 2 س 2 - س + 8) + 6 س - 3
مثال 2
ص (س) = س 4 + 3 س 2 + 2 س -8
ف (س) = س 2 -3 س
X 4 + 0x 3 + 3x 2 + 2x-8
/ 3 س 3 + 3 س 2 + 2 س -8
/ 38x-8 r (x) توقف
x 2 + 3x + 12 -> حاصل C (x)
الإجابة: س 4 + 3 س 2 + 2 س - 8 = (س 2-3 س) (س 2 + 3 س + 12) + 38 س - 8
القسمة على كثير حدود من الدرجة الأولى
يمكن إجراء هذا التقسيم باستخدام الخوارزمية المذكورة أعلاه ، أو حتى بشكل أسرع باستخدام طريقة هورنر.
اذا كان f (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x + a 0، يمكن إعادة كتابة كثير الحدود كـ و (س) = أ 0 + س (أ 1 + س (أ 2 + ... + س (أ ن -1 + أ ن س) ...))
ف (س)- كثير الحدود من الدرجة الأولى ⇒ ف (س) = م س + ن
ثم سيكون كثير الحدود في حاصل القسمة درجة ن -1.
وفقًا لطريقة هورنر ، $ x_0 = - \ frac (n) (m) $.
ب ن -1 = أ ن
ب ن -2 = س 0. ب ن -1 + أ ن -1
ب ن -3 = س 0. ب ن -2 + أ ن -2
...
ب 1 \ u003d × 0 .b 2 + أ 2
ب 0 = س 0. ب 1 + أ 1
ص = س 0. ب 0 + أ 0
أين ب n-1 x n-1 + b n-2 x n-2 + ... + b 1 x + b 0- نشر. سيكون الباقي متعدد الحدود من الدرجة صفر ، حيث يجب أن تكون درجة كثير الحدود في الباقي أقل من درجة المقسوم عليه.
القسمة مع الباقي ⇒ p (x) = q (x) .c (x) + r ⇒ p (x) = (mx + n) .c (x) + rإذا كان $ x_0 = - \ frac (n) (m) $
لاحظ أن ص (س 0) = 0. ج (س 0) + ص ⇒ ع (س 0) = ص
مثال 3
ص (س) = 5 س 4 -2 س 3 + 4 س 2 -6 س -7
ف (س) = س -3
ص (س) = - 7 + س (-6 + س (4 + س (-2 + 5 س)))
س 0 = 3
ب 3 \ u003d 5
ب 2 \ u003d 3.5-2 \ u003d 13
ب 1 = 3.13 + 4 = 43 ص (س) = 5 س 3 + 13 س 2 + 43 س + 123 ؛ ص = 362
ب 0 = 3.43-6 = 123
ص = 3.123-7 = 362
5x4 -2x 3 + 4x 2-6x-7 = (x-3) (5x 3 + 13x 2 + 43x + 123) +362
مثال 4
ص (س) = - 2 س 5 + 3 س 4 + س 2 -4 س + 1
ف (س) = س + 2
ص (س) = - 2 س 5 + 3 س 4 + 0 × 3 + س 2 -4 س + 1
ف (س) = س + 2
× 0 \ u003d -2
ص (س) = 1 + س (-4 + س (1 + س (0 + س (3-2x))))
ب 4 \ u003d -2 ب 1 = (- 2). (- 14) + 1 = 29
ب 3 = (- 2). (- 2) + 3 = 7 ب 0 = (- 2) .29-4 = -62
ب 2 = (- 2) .7 + 0 = -14 ص = (- 2). (- 62) + 1 = 125
⇒ ج (س) = - 2x 4 + 7x 3-14x 2 + 29x-62 ؛ ص = 125
-2x 5 + 3x 4 + x2-4x + 1 = (x + 2) (- 2x 4 + 7x 3-14x 2 + 29x-62) +125
مثال 5
ص (س) = 3 س 3-5 س 2 + 2 س + 3
ف (س) = 2 س -1
$ x_0 = \ frac (1) (2) $
ص (س) = 3 + س (2 + س (-5 + 3 س))
ب 2 = 3
$ b_1 = \ frac (1) (2) \ cdot 3-5 = - \ frac (7) (2) $
$ b_0 = \ frac (1) (2) \ cdot \ left (- \ frac (7) (2) \ right) +2 = - \ frac (7) (4) + 2 = \ frac (1) (4) ) $
$ r = \ frac (1) (2) \ cdot \ frac (1) (4) + 3 = \ frac (1) (8) + 3 = \ frac (25) (8) \ Rightarrow c (x) = 3x ^ 2- \ frac (7) (2) x + \ frac (1) (4) $
$ \ Rightarrow 3x ^ 3-5x ^ 2 + 2x + 3 = (2x-1) (3x ^ 2 - \ frac (7) (2) x + \ frac (1) (4)) + \ frac (25) (8) دولار
خاتمة
إذا قسمنا على كثير حدود من الدرجة أعلى من واحد ، نحتاج إلى استخدام الخوارزمية لإيجاد حاصل القسمة والباقي 1-9
.
إذا قسمنا على كثير الحدود من الدرجة الأولى مكس + ن، ثم للعثور على حاصل القسمة والباقي ، تحتاج إلى استخدام طريقة هورنر مع $ x_0 = - \ frac (n) (m) $.
إذا كنا مهتمين فقط ببقية القسمة ، فيكفي إيجادها ع (× 0).
مثال 6
ص (س) = - 4x 4 + 3x 3 + 5x 2 -x + 2
ف (س) = س -1
س 0 = 1
ص = ع (1) = - 4.1 + 3.1 + 5.1-1 + 2 = 5
ص = 5
فليكن مطلوب
(2x 3 - 7x 2 + x + 1) ÷ (2x - 1).
هنا يتم إعطاء المنتج (2x 3 - 7x 2 + x + 1) وعامل واحد (2x - 1) ، - تحتاج إلى إيجاد عامل آخر. في هذا المثال ، من الواضح على الفور (ولكن لا يمكن إثبات ذلك بشكل عام) أن الآخر ، أو المطلوب ، أو العامل ، أو الحاصل ، هو أيضًا متعدد الحدود. هذا واضح لأن هذا المنتج يحتوي على 4 مصطلحات ، وهذا المضاعف هو 2. ومع ذلك ، من المستحيل أن نقول مقدمًا عدد المصطلحات التي يحتوي عليها المضاعف المطلوب: قد يكون هناك مصطلحان ، و 3 مصطلحات ، وما إلى ذلك. تذكر أن المصطلح الأعلى من حاصل الضرب دائمًا من ضرب الحد الأعلى لعامل ما في الحد الأعلى لعامل آخر (انظر ضرب كثير الحدود في كثير الحدود) وأنه لا يمكن أن يكون هناك مصطلحات مثل هذا ، نحن على يقين من أن 2x 3 (أعلى حد من هذا المنتج) من ضرب 2x (أقصى حد لهذا العامل) بالمصطلح الرئيسي غير المعروف للمضاعف المطلوب. لإيجاد آخر واحد ، علينا قسمة 2x 3 على 2x - نحصل على x 2. هذا هو العضو البارز في القطاع الخاص.
تذكر بعد ذلك أنه عند ضرب كثير الحدود في كثير الحدود ، يجب ضرب كل حد من كثير الحدود في كل حد من الآخر. إذن ، حاصل الضرب هذا (2x 3 - 7x 2 + x + 1) هو حاصل ضرب المقسوم عليه (2x - 1) وجميع حدود حاصل القسمة. لكن يمكننا الآن إيجاد حاصل ضرب المقسوم عليه والعضو الأول (الأعلى) في حاصل القسمة ، أي (2x - 1) ∙ x 2 ؛ نحصل على 2x 3 - x 2. معرفة حاصل ضرب المقسوم عليه بكل شروط حاصل القسمة (= 2x 3 - 7x 2 + x + 1) ومعرفة حاصل ضرب المقسوم عليه من خلال الحد الأول من حاصل القسمة (= 2x 3 - x 2) ، من خلال الطرح يمكننا إيجاد حاصل ضرب المقسوم عليه من قبل جميع الآخرين ، باستثناء الأول ، أعضاء الخاص. يحصل
(2x 3 - 7x 2 + x + 1) - (2x 3 - x 2) = 2x 3 - 7x 2 + x + 1 - 2x 3 + x 2 = -6x 2 + x + 1.
يجب أن يكون الحد الأعلى (–6x 2) لهذا المنتج المتبقي هو ناتج الحد الأعلى للمقسوم عليه (2x) وأعلى حد للباقي (باستثناء الحد الأول) من حاصل القسمة. من هنا نجد الحد الأعلى للحاصل المتبقي. نحتاج –6x 2 ÷ 2x ، نحصل على –3x. هذا هو الحد الثاني من حاصل القسمة المطلوب. يمكننا مرة أخرى إيجاد حاصل ضرب المقسوم عليه (2x - 1) والمحدود الثاني ، الذي وجدناه للتو ، خارج القسمة ، أي -3x.
نحصل على (2x - 1) ∙ (-3x) \ u003d -6x 2 + 3x. من هذا المنتج بأكمله ، طرحنا بالفعل حاصل ضرب المقسوم عليه في الحد الأول من حاصل القسمة وحصلنا على الباقي -6x 2 + x + 1 ، وهو حاصل ضرب المقسوم عليه بالباقي ، باستثناء المصطلح الأول من حاصل القسمة. بطرح منه المنتج الذي تم العثور عليه للتو -6x 2 + 3x ، نحصل على الباقي ، وهو حاصل ضرب المقسوم عليه من قبل الآخرين ، باستثناء الأول والثاني ، أعضاء حاصل القسمة:
-6 س 2 + س + 1 - (-6 س 2 + 3 س) = -6 س 2 + س + 1 + 6 س 2 - 3 س = -2 س + 1.
بقسمة الحد الأعلى لهذا المنتج المتبقي (–2x) على المصطلح الأول للمقسوم عليه (2x) ، نحصل على الحد الأعلى لبقية حاصل القسمة ، أو مدته الثالثة ، (–2x) 2x = –1 ، هذا هو الفصل الثالث من حاصل القسمة.
بضرب المقسوم عليه نحصل على
(2x - 1) ∙ (–1) = –2x + 1.
طرح حاصل الضرب للمقسوم عليه بالمصطلح الثالث من حاصل القسمة من الناتج بأكمله المتبقي حتى الآن ، أي
(–2x + 1) - (–2x + 1) = –2x + 1 + 2x - 1 = 0 ،
سنرى أنه في مثالنا ، تم تقسيم المنتج إلى الباقي ، باستثناء الأول والثاني والثالث ، أعضاء حاصل القسمة = 0 ، والتي نستنتج منها أن الحاصل لا يحتوي على أعضاء آخرين ، أي
(2 س 3 - 7 س 2 + س + 1) ÷ (2 س - 1) = س 2 - 3 س - 1.
مما سبق نرى: 1) من الملائم ترتيب شروط المقسوم والمقسوم عليه في القوى التنازلية ، 2) من الضروري إنشاء نوع من الترتيب لإجراء العمليات الحسابية. يمكن اعتبار هذا الترتيب المناسب هو الترتيب المستخدم في الحساب عند قسمة الأرقام متعددة القيم. بعد ذلك ، نقوم بترتيب جميع الحسابات السابقة على النحو التالي (يتم تقديم المزيد من التفسيرات الموجزة على الجانب):
يتم إجراء عمليات الطرح المطلوبة هنا عن طريق تغيير إشارات شروط المطروح ، وتتم كتابة هذه العلامات المتغيرة في الأعلى.
نعم ، إنه مكتوب
هذا يعني أن المطروح كان 2x 3 - x 2 ، وبعد تغيير الإشارات حصلنا على -2x 3 + x 2.
نظرًا للترتيب المقبول للحسابات ، نظرًا لحقيقة أن شروط المقسوم والمقسوم عليه مرتبة في قوى تنازلية ، وبسبب حقيقة أن درجات الحرف x في كلا كثيرات الحدود تنخفض في كل مرة بمقدار 1 ، فقد تحول من أن هذه المصطلحات مكتوبة تحت بعضها البعض (على سبيل المثال: –7x 2 و + x 2) لماذا يسهل وضعها. وتجدر الإشارة إلى أنه ليست هناك حاجة إلى جميع أعضاء توزيعات الأرباح في كل لحظة من الحساب. على سبيل المثال ، المصطلح +1 ليس مطلوبًا في الوقت الذي تم فيه العثور على المصطلح الثاني من حاصل القسمة ، ويمكن تبسيط هذا الجزء من الحساب.
مزيد من الأمثلة:
1. (2 أ 4 - 3 أب 3 - ب 4 - 3 أ 2 ب 2) ÷ (ب 2 + أ 2 + أب).
رتب الحروف a بقوى تنازلية والمقسوم عليه والمقسوم عليه:
(لاحظ أنه هنا ، نظرًا لعدم وجود مصطلح بالرقم 3 في المقسوم ، في الطرح الأول ، اتضح أن الشروط غير المتشابهة - أ 2 ب 2 و -2 أ 3 ب موقعة تحت بعضها البعض. بالطبع ، هم لا يمكن اختزاله إلى فصل دراسي واحد وكلاهما مكتوب أسفل السطر في الأقدمية).
في كلا المثالين ، يجب أن يكون المرء أكثر انتباهاً للمصطلحات المتشابهة: 1) لا توجد مصطلحات متشابهة غالبًا ما يتم كتابتها تحت بعضها البعض و 2) أحيانًا (على سبيل المثال ، في المثال الأخير ، المصطلحان -4a n و -a n عند الطرح الأول) تظهر المصطلحات المماثلة مكتوبة ليس أقل من الأخرى.
من الممكن إجراء قسمة كثيرات الحدود بترتيب مختلف ، أي: البحث في كل مرة عن الحد الأدنى أو الكل أو حاصل القسمة المتبقي. من الملائم في هذه الحالة ترتيب كثيرات الحدود بقوى تصاعدية لحرف ما. علي سبيل المثال:
ستنظر هذه المقالة في الكسور المنطقية واختيارها لأجزاء صحيحة. الكسور صحيحة وخاطئة. عندما يكون البسط أقل من المقام في الكسر ، فهو كسر صحيح ، والعكس صحيح.
ضع في اعتبارك أمثلة على الكسور المناسبة: 1 2 ، 9 29 ، 8 17 ، غير صحيح: 16 3 ، 21 20 ، 301 24.
سنحسب الكسور التي يمكن اختزالها ، أي 12 16 هي 3 4 ، و 21 14 هي 3 2.
عند اختيار الجزء الصحيح ، تتم عملية قسمة البسط على المقام. ثم يمكن تمثيل هذا الكسر كمجموع عدد صحيح وجزء كسري ، حيث يعتبر الجزء الكسري نسبة باقي القسمة والمقام.
مثال 1
أوجد الباقي عند قسمة ٢٧ على ٤.
قرار
من الضروري إجراء قسمة على عمود ، ثم نحصل على ذلك
إذن ، 27 4 \ u003d جزء عدد صحيح + باقي n و m والعامل \ u003d 6 + 3 4
إجابه:الباقي 3.
مثال 2
حدد الأجزاء الكاملة 331 12 و 41 57.
قرار
نقسم المقام على البسط باستخدام زاوية:
لذلك ، لدينا 331 12 \ u003d 27 + 7 12.
الكسر الثاني صحيح ، مما يعني أن الجزء الصحيح يساوي صفرًا.
إجابه:عدد صحيح 27 و 0.
ضع في اعتبارك تصنيف كثيرات الحدود ، بمعنى آخر ، دالة كسرية. يعتبر صحيحًا عندما تكون درجة البسط أقل من درجة المقام ، وإلا فإنه يعتبر غير صحيح.
التعريف 1
قسمة كثير الحدود على كثير الحدوديحدث وفقًا لمبدأ القسمة بزاوية ، وتمثيل الوظيفة كمجموع عدد صحيح وأجزاء كسرية.
لتقسيم كثير الحدود إلى خطي ذي الحدين ، يتم استخدام مخطط هورنر.
مثال 3
قسّم x 9 + 7 x 7-3 2 x 3-2 على monomial 2 x 2.
قرار
باستخدام خاصية القسمة ، نكتب ذلك
× 9 + 7 × 7 - 3 2 × 3 - 2 2 × 2 = × 9 2 × 2 + 7 × 7 2 × 2 - 3 2 × 3 2 × 2 + × 2 2 × 2 - 2 2 × 2 = = ١ ٢ × ٧ + ٧ ٢ × ٥ - ٣ ٤ × + ١ ٢ - ٢ ٢ × - ٢.
غالبًا ما يتم إجراء هذا النوع من التحويل عند أخذ التكاملات.
مثال 4
اقسم كثير الحدود على كثير الحدود: 2 x 3 + 3 على x 3 + x.
قرار
يمكن كتابة علامة القسمة على شكل كسر من الصورة 2 x 3 + 3 x 3 + x. الآن أنت بحاجة إلى تحديد الجزء بأكمله. نقوم بذلك عن طريق القسمة على عمود. لقد حصلنا على ذلك
لذلك ، حصلنا على أن الجزء الصحيح له القيمة - 2 x + 3 ، ثم يتم كتابة التعبير بالكامل على النحو 2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 + - 2 x + 3 x 3 + x
مثال 5
اقسم وأوجد الباقي بعد قسمة 2 x 6 - x 5 + 12 x 3-72 x 2 + 3 على x 3 + 2 x 2-1.
قرار
دعونا نصلح كسرًا من الشكل 2 × 6 - × 5 + 12 × 3 - 72 × 2 + 3 × 3 + 2 × 2 - 1.
درجة البسط أكبر من درجة المقام ، ما يعني أن لدينا كسرًا غير فعلي. باستخدام القسمة على عمود ، حدد الجزء بأكمله. لقد حصلنا على ذلك
لنقم بالقسمة مرة أخرى ونحصل على:
من هنا نجد أن الباقي - 65 × 2 + 10 × - 3 ، ومن ثم:
2 × 6 - × 5 + 12 × 3 - 72 × 2 + 3 × 3 + 2 × 2 - 1 = 2 × 3 - 5 × 2 + 10 × - 6 + - 65 × 2 + 10 × - 3 × 3 + 2 × 2-1
هناك حالات يكون فيها من الضروري إجراء تحويل جزء إضافي من أجل التمكن من الكشف عن الباقي عند القسمة. تبدو هكذا:
3 × 5 + 2 × 4 - 12 × 2 - 4 × 3 - 3 = 3 × 2 × 3 - 3 - 3 × 2 × 3 - 3 + 3 × 5 + 2 × 4 - 12 × 2 - 4 × 3 - 3 = = 3 × 2 × 3 - 3 + 2 × 4 - 3 × 2-4 × 3 - 3 = 3 × 2 + 2 × 4 - 3 × 2 - 4 × 3 - 3 = 3 × 2 + 2 × س 3 - 3 - 2 × × 3 - 3 + 2 × 4 - 3 × 2-4 × 3 - 3 = 3 × 2 + 2 × (× 3 - 3) - 3 × 2 + 6 × - 4 × 3 - 3 = 3 × 2 + 2 × + - 3 × 2 + 6 × - 4 × 3 - 3
هذا يعني أن الباقي عند قسمة 3 x 5 + 2 x 4-12 x 2-4 على x 3-3 يعطي القيمة - 3 x 2 + 6 x - 4. للعثور على النتيجة بسرعة ، يتم استخدام صيغ الضرب المختصرة.
مثال 6
قسّم 8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 على 2 x + 3.
قرار
لنكتب القسمة في صورة كسر. نحصل على 8 × 3 + 36 × 2 + 54 × + 27 2 × + 3. لاحظ أنه في البسط ، يمكن إضافة التعبير باستخدام صيغة مجموع المكعب. لدينا هذا
8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 2 x + 3 = (2 x + 3) 3 2 x + 3 = (2 x + 3) 2 = 4 x 2 + 12 x + 9
كثير الحدود المعطى قابل للقسمة بدون باقي.
بالنسبة للحل ، يتم استخدام طريقة حل أكثر ملاءمة ، ويعتبر تقسيم كثير الحدود بواسطة كثير الحدود هو الأكثر عالمية ، لذلك ، يتم استخدامه غالبًا عند اختيار جزء صحيح. يجب أن يحتوي الإدخال النهائي على كثير الحدود الناتج من القسمة.
إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter
تحميل...