دعونا نعمل مع المعادلات التربيعية... هذه معادلات شائعة جدًا! تبدو المعادلة التربيعية في أكثر صورها عمومية كما يلي:
على سبيل المثال:
هنا أ =1; ب = 3; ج = -4
هنا أ =2; ب = -0,5; ج = 2,2
هنا أ =-3; ب = 6; ج = -18
جيد، لقد وصلتك الفكرة ...
كيف تحل المعادلات التربيعية؟إذا كانت لديك معادلة من الدرجة الثانية في هذا الشكل ، فكل شيء بسيط بالفعل. تذكر الكلمة السحرية مميز ... لم يسمع طالب ثانوي نادر هذه الكلمة! إن عبارة "اتخاذ القرار من خلال التمييز" مطمئنة ومطمئنة. لأنه لا داعي لانتظار الحيل القذرة من المميز! إنه بسيط وخالي من المتاعب للاستخدام. إذن ، فإن صيغة إيجاد جذور المعادلة التربيعية تبدو كما يلي:
التعبير الموجود تحت علامة الجذر هو نفسه مميز... كما ترى ، لإيجاد x ، نستخدم فقط أ ، ب ، ج... أولئك. معاملات المعادلة التربيعية. فقط استبدل القيم بعناية أ ، ب ، جفي هذه الصيغة والعد. استبدل مع علاماتك! على سبيل المثال ، للمعادلة الأولى أ =1; ب = 3; ج= -4. لذلك نكتب:
تم حل المثال تقريبًا:
هذا كل شئ.
ما هي الحالات الممكنة عند استخدام هذه الصيغة؟ لا يوجد سوى ثلاث حالات.
1. المميز موجب. هذا يعني أنه يمكنك استخراج الجذر منه. يتم استخراج الجذر الجيد ، أو السيئ - سؤال آخر. من المهم ما يتم استخراجه من حيث المبدأ. إذن ، للمعادلة التربيعية جذرين. حلين مختلفين.
2. المميز هو صفر. ثم لديك حل واحد. بالمعنى الدقيق للكلمة ، هذا ليس جذرًا واحدًا ، ولكن اثنان متطابقان... لكن هذا يلعب دورًا في عدم المساواة ، وهناك سوف ندرس القضية بمزيد من التفصيل.
3. المميز سلبي. لا يتم استخراج جذر تربيعي من رقم سالب. حسنًا ، حسنًا. هذا يعني أنه لا توجد حلول.
كل شيء بسيط للغاية. وماذا تعتقد أنه من المستحيل أن نخطئ؟ حسنًا ، نعم ، كيف ...
الأخطاء الأكثر شيوعًا هي الخلط مع إشارات المعنى. أ ، ب ، ج... بدلاً من ذلك ، ليس بعلاماتهم (أين يتم الخلط بينهم؟) ، ولكن مع استبدال القيم السالبة في صيغة حساب الجذور. هنا ، يتم حفظ تدوين مفصل للصيغة بأرقام محددة. إذا كانت هناك مشاكل حسابية ، القيام بذلك!
افترض أنك بحاجة إلى حل هذا المثال:
هنا أ = -6 ؛ ب = -5 ؛ ج = -1
لنفترض أنك تعلم أنك نادرًا ما تحصل على إجابات في المرة الأولى.
حسنًا ، لا تكن كسولًا. سوف يستغرق الأمر 30 ثانية لكتابة سطر إضافي وعدد الأخطاء سوف تنخفض بشكل حاد... لذلك نكتب بالتفصيل مع كل الأقواس والعلامات:
يبدو من الصعب للغاية الرسم بعناية. لكن يبدو أن الأمر كذلك. جربها. حسنًا ، أو اختر. أيهما أفضل ، سريع أم صحيح؟ الى جانب ذلك ، سأجعلك سعيدا. بعد فترة ، لن تكون هناك حاجة لرسم كل شيء بعناية. سوف يعمل بشكل صحيح من تلقاء نفسه. خاصة إذا كنت تستخدم الأساليب العملية الموضحة أدناه. هذا المثال الشرير مع مجموعة من العيوب يمكن حله بسهولة وبدون أخطاء!
وبالتالي، كيفية حل المعادلات التربيعيةتذكرنا من خلال المميز. أو تعلم ، وهو أيضًا ليس سيئًا. تعرف على كيفية التعرف بشكل صحيح أ ، ب ، ج... أنت تعرف كيف بانتباهاستبدلهم في صيغة الجذر و بانتباهاقرأ النتيجة. تحصل على فكرة أن الكلمة الأساسية هنا هي بانتباه؟
ومع ذلك ، غالبًا ما تبدو المعادلات التربيعية مختلفة قليلاً. على سبيل المثال ، مثل هذا:
هو - هي معادلات تربيعية غير مكتملة ... يمكن أيضًا حلها من خلال المميز. كل ما تحتاجه هو معرفة ما تساويهم بشكل صحيح أ ، ب ، ج.
هل عرفت ما هو؟ في المثال الأول أ = 1 ؛ ب = -4 ؛أ ج؟ إنه ليس هناك على الإطلاق! حسنًا ، نعم ، هذا صحيح. في الرياضيات ، هذا يعني ذلك ج = 0 ! هذا كل شئ. عوّض بصفر في الصيغة بدلاً من ج ،وسوف ننجح. نفس الشيء مع المثال الثاني. فقط صفر ليس لدينا هنا مع، أ ب !
لكن المعادلات التربيعية غير المكتملة يمكن حلها بسهولة أكبر. بدون أي تمييز. ضع في اعتبارك أول معادلة غير مكتملة. ماذا يمكنك أن تفعل هناك على الجانب الأيسر؟ يمكنك وضع x من الأقواس! دعنا نخرجها.
وماذا عنها؟ وحقيقة أن حاصل الضرب يساوي صفرًا إذا ، وفقط إذا ، عندما يكون أي من العوامل مساويًا للصفر! لا تصدقني؟ حسنًا ، فكر إذن في رقمين غير صفريين ، عند ضربهما ، سيعطينا صفرًا!
لا يعمل؟ هذا كل شيء ...
لذلك يمكننا أن نكتب بثقة: س = 0، أو س = 4
كل شىء. ستكون هذه جذور معادلتنا. كلاهما مناسب. عند استبدال أي منها في المعادلة الأصلية ، نحصل على المتطابقة الصحيحة 0 = 0. كما ترى ، فإن الحل أبسط بكثير مما هو من خلال المميز.
يمكن أيضًا حل المعادلة الثانية ببساطة. انقل 9 إلى الجانب الأيمن. نحن نحصل:
يبقى استخراج الجذر من 9 ، وهذا كل شيء. سوف يتحول:
أيضا اثنين من الجذور ... س = +3 و س = -3.
هذه هي الطريقة التي يتم بها حل جميع المعادلات التربيعية غير المكتملة. إما عن طريق وضع x بين قوسين ، أو ببساطة عن طريق تحريك الرقم إلى اليمين ثم استخراج الجذر.
من الصعب للغاية الخلط بين هذه التقنيات. ببساطة لأنه في الحالة الأولى سيكون عليك استخراج الجذر من x ، وهو أمر غير مفهوم إلى حد ما ، وفي الحالة الثانية لا يوجد شيء لوضعه بين الأقواس ...
في الوقت الحالي ، قم بتدوين أفضل الممارسات التي من شأنها تقليل الأخطاء بشكل كبير. نفس تلك التي هي بسبب الغفلة ... لذلك فهي إذن مؤلمة وسب ...
أول استقبال... لا تكن كسولًا لإحضاره إلى النموذج القياسي قبل حل المعادلة التربيعية. ماذا يعني هذا؟
دعنا نقول ، بعد بعض التحولات ، حصلت على المعادلة التالية:
لا تتسرع في كتابة صيغة الجذر! من شبه المؤكد أنك ستخلط الاحتمالات. أ ، ب ، ج.بناء المثال بشكل صحيح. أولاً ، X تربيع ، ثم بدون المربع ، ثم المصطلح الحر. مثله:
ومرة أخرى ، لا تتعجل! يمكن أن يجعلك الطرح الموجود أمام x في المربع حزينًا حقًا. من السهل نسيانها ... تخلص من الطرح. كيف؟ نعم كما تم تدريسه في الموضوع السابق! عليك أن تضرب المعادلة بأكملها في -1. نحن نحصل:
لكن يمكنك الآن كتابة معادلة الجذور بأمان وحساب المميز وإكمال المثال. افعلها بنفسك. يجب أن يكون لديك الجذور 2 و -1.
استقبال الثاني.تحقق من الجذور! من خلال نظرية فييتا. لا تنزعج ، سأشرح كل شيء! تدقيق آخر شيءالمعادلة. أولئك. الذي كتبنا بواسطته صيغة الجذور. إذا (كما في هذا المثال) المعامل أ = 1، فحص الجذور سهل. يكفي أن نضاعفهم. يجب أن تحصل على عضو مجاني ، أي في حالتنا ، -2. انتبه ، ليس 2 ، بل -2! عضو مجاني مع برجي
... إذا لم ينجح الأمر ، فهذا يعني أنه قد تم إفساده بالفعل في مكان ما. ابحث عن خطأ. إذا نجحت ، فأنت بحاجة إلى ثني الجذور. الاختيار الأخير والنهائي. يجب أن تحصل على معامل بمع ضد
معروف. في حالتنا ، -1 + 2 = +1. والمعامل بوهو قبل x يساوي -1. لذا ، كل شيء صحيح!
إنه لأمر مؤسف أن هذا بسيط للغاية فقط بالنسبة للأمثلة التي يكون فيها x تربيع نقيًا ، بمعامل أ = 1.لكن على الأقل في مثل هذه المعادلات ، تحقق! سيكون هناك أخطاء أقل.
استقبال ثالث... إذا كانت معادلتك تحتوي على معاملات كسرية ، فتخلص من الكسور! اضرب المعادلة في المقام المشترك كما هو موضح في القسم السابق. عند العمل مع الكسور ، لسبب ما ، تأتي الأخطاء ...
بالمناسبة ، لقد وعدت بتبسيط المثال الشرير بمجموعة من السلبيات. لو سمحت! ها هو.
حتى لا يتم الخلط بين السلبيات ، نضرب المعادلة في -1. نحن نحصل:
هذا كل شئ! إنه لمن دواعي سروري أن تقرر!
لذا ، لتلخيص الموضوع.
نصائح عملية:
1. قبل الحل ، نأتي بالمعادلة التربيعية إلى الصيغة القياسية ، ونبنيها حق.
2. إذا كان هناك معامل سالب أمام x في المربع ، فإننا نحذفه بضرب المعادلة بأكملها في -1.
3. إذا كانت المعاملات كسرية ، فإننا نحذف الكسور بضرب المعادلة بأكملها في العامل المناسب.
4. إذا كانت x تربيع نقية ، فإن المعامل عندها يساوي واحدًا ، يمكن التحقق من الحل بسهولة بواسطة نظرية فييتا. افعلها!
المعادلات الكسرية. ODZ.
نواصل إتقان المعادلات. نحن نعلم بالفعل كيفية التعامل مع المعادلات الخطية والتربيعية. تبقى النظرة الأخيرة - معادلات كسرية... أو يُطلق عليهم أيضًا اسم أقوى بكثير - المعادلات المنطقية الكسرية... نفس الشئ.
المعادلات الكسرية.
كما يوحي الاسم ، فإن الكسور موجودة دائمًا في هذه المعادلات. ولكن ليس فقط الكسور ، ولكن الكسور التي لها غير معروف في المقام... واحد على الأقل. على سبيل المثال:
دعني أذكرك أنه إذا كانت القواسم تحتوي فقط الارقام، هذه معادلات خطية.
كيفية حل معادلات كسرية؟ بادئ ذي بدء ، تخلص من الكسور! بعد ذلك ، تتحول المعادلة في أغلب الأحيان إلى خطية أو تربيعية. ثم نعرف ما يجب فعله ... في بعض الحالات ، يمكن أن يتحول إلى هوية ، مثل 5 = 5 ، أو تعبير غير صحيح ، مثل 7 = 2. لكن هذا نادرًا ما يحدث. سوف أذكر هذا أدناه.
ولكن كيف نتخلص من الكسور!؟ بسيط جدا. تطبيق كل نفس التحولات.
علينا ضرب المعادلة بأكملها في نفس التعبير. حتى تختزل كل القواسم! كل شيء سيصبح أسهل في الحال. اسمحوا لي أن أشرح بمثال. افترض أننا بحاجة إلى حل المعادلة:
كيف علمت في الصفوف الدنيا؟ ننقل كل شيء في اتجاه واحد ، ونصل إلى قاسم مشترك ، إلخ. انسى الأمر وكأنه حلم مزعج! يجب أن يتم ذلك عندما تضيف أو تطرح التعبيرات الكسرية. أو العمل مع عدم المساواة. وفي المعادلات ، نقوم بضرب كلا الطرفين على الفور بتعبير يمنحنا الفرصة لتقليل كل القواسم (أي ، في جوهرها ، بمقام مشترك). وما هو هذا التعبير؟
على الجانب الأيسر ، لحذف المقام ، اضرب في x + 2... وعلى اليمين ، الضرب في 2. هذا يعني أنه يجب ضرب المعادلة في 2 (× + 2)... نضرب:
هذا هو الضرب المعتاد للكسور ، لكني سأكتبه بالتفصيل:
يرجى ملاحظة أنني لم أقوم بتوسيع الأقواس حتى الآن. (x + 2)! لذلك ، في مجملها ، أكتبها:
على الجانب الأيسر ، يتم تصغيره بالكامل (x + 2)، وفي الحق 2. وهو مطلوب! بعد التخفيض نحصل خطيالمعادلة:
والجميع سيحلون هذه المعادلة! س = 2.
لنحل مثالاً آخر أكثر تعقيدًا:
إذا تذكرنا أن 3 = 3/1 ، و 2x = 2x / 1 ، يمكنك أن تكتب:
ومرة أخرى نتخلص مما لا نحبه حقًا - الكسور.
نرى أنه لإلغاء المقام بـ x ، عليك ضرب الكسر في (× - 2)... القليل منها لا يشكل عائقا أمامنا. حسنًا ، نحن نضرب. الكلالجانب الأيسر و الكلالجانب الأيمن:
الأقواس مرة أخرى (× - 2)أنا لا أفصح. أعمل مع الأقواس ككل ، كما لو كانت رقمًا واحدًا! يجب أن يتم ذلك دائمًا ، وإلا فلن يتم تقليل أي شيء.
بشعور من الرضا العميق ، قطعنا (× - 2)ونحصل على المعادلة بدون كسور بالمسطرة!
والآن نفتح الأقواس:
نعطي أشياء مماثلة ، وننقل كل شيء إلى الجانب الأيسر ونحصل على:
المعادلة الكلاسيكية من الدرجة الثانية. لكن ناقص المستقبل ليس جيدًا. يمكنك التخلص منه دائمًا عن طريق الضرب أو القسمة على -1. لكن إذا نظرت عن كثب إلى المثال ، ستلاحظ أنه من الأفضل قسمة هذه المعادلة على -2! بضربة واحدة ، سيختفي الطرح ، وستصبح الاحتمالات أجمل! اقسم على -2. على اليسار - حد بمصطلح ، وعلى اليمين - ببساطة قسّم صفرًا على -2 وصفر واحصل على:
نحل من خلال المميّز ونتحقق من نظرية فييتا. نحن نحصل س = 1 و س = 3... جذران.
كما ترون ، في الحالة الأولى ، أصبحت المعادلة بعد التحويل خطية ، لكنها هنا تربيعية. يحدث أنه بعد التخلص من الكسور ، يتم تقليل كل xes. يبقى شيء مثل 5 = 5. هذا يعني انه يمكن أن يكون x أي شيء... مهما كانت ، فإنها ستظل تتقلص. وتحصل على الحقيقة الصادقة ، 5 = 5. لكن بعد التخلص من الكسور ، قد يكون غير صحيح تمامًا ، مثل 2 = 7. هذا يعني ذاك لا توجد حلول! مع أي x ، يتبين أنها غير صحيحة.
أدركوا الحل الرئيسي معادلات كسرية؟ إنه بسيط ومنطقي. نغير التعبير الأصلي بحيث يختفي كل ما لا نحبه. أو يتدخل. في هذه الحالة ، هذه كسور. سنفعل الشيء نفسه مع جميع أنواع الأمثلة المعقدة مع اللوغاريتمات والجيب وغيرها من الرعب. نحن دائماسوف نتخلص من كل هذا.
ومع ذلك ، نحتاج إلى تغيير المقدار الأصلي في الاتجاه الذي نحتاجه. وفقا للقوانيننعم ... إتقانها وهو التحضير لامتحان الرياضيات. لذلك نحن نتقنها.
الآن سوف نتعلم كيفية تجاوز أحد الامتدادات الكمائن الرئيسية في الامتحان! لكن أولاً ، دعنا نرى ما إذا كنت ستدخلها أم لا؟
لنلق نظرة على مثال بسيط:
الأمر مألوف بالفعل ، نضرب كلا الجزأين في (× - 2)، نحن نحصل:
أذكرك ، مع أقواس (× - 2)نحن نعمل مع تعبير واحد كامل!
هنا لم أعد أكتب 1 في القواسم ، إنها غير كريمة ... ولم أرسم أقواس في القواسم ، باستثناء س - 2لا يوجد شيء ، ليس عليك الرسم. نحن نقصر:
نفتح الأقواس ، وننقل كل شيء إلى اليسار ، ونعطي الأقواس المتشابهة:
نحل ، نتحقق ، نحصل على جذرين. س = 2و س = 3... بخير.
افترض أن المهمة تشير إلى كتابة الجذر ، أو مجموعهم ، إذا كان هناك أكثر من جذر واحد. ماذا نكتب؟
إذا قررت أن الإجابة هي 5 ، فأنت تعرضت لكمين... ولن تحسب المهمة بالنسبة لك. لقد عملوا عبثا ... الإجابة الصحيحة 3.
ماذا جرى؟! وتحاول إجراء فحص. استبدل قيم المجهول في أصليمثال. وإذا كان في س = 3كل شيء سينمو معًا بشكل رائع معنا ، نحصل على 9 = 9 ، ثم مع س = 2القسمة على صفر! ما لا يمكن عمله بشكل قاطع. وسائل س = 2ليس حلا ، ولا يؤخذ في الاعتبار في الجواب. هذا هو ما يسمى الجذر الخارجي أو الإضافي. نحن فقط نسقطها. الجذر النهائي هو واحد. س = 3.
كيف ذلك ؟! - أسمع هتافات غاضبة. لقد تعلمنا أنه يمكن ضرب المعادلة بتعبير! هذا تحول مماثل!
نعم متطابقة. بشرط صغير - التعبير الذي نضرب به (نقسم) - غير صفرية... أ س - 2في س = 2يساوي الصفر! لذلك كل شيء عادل.
والآن ماذا يمكنني أن أفعل ؟! لا تضرب في تعبير؟ هل تحتاج إلى التحقق في كل مرة؟ مرة أخرى ليس واضحا!
بهدوء! لا داعي للذعر!
في هذا الموقف الصعب ، ستنقذنا ثلاثة أحرف سحرية. انا اعلم بماذا تفكر. حق! هو - هي ODZ ... نطاق القيم المسموح بها.
مع برنامج الرياضيات هذا ، يمكنك ذلك حل المعادلة التربيعية.
لا يقدم البرنامج إجابة للمشكلة فحسب ، بل يعرض أيضًا عملية الحل بطريقتين:
- باستخدام المميز
- باستخدام نظرية فييتا (إن أمكن).
علاوة على ذلك ، يتم عرض الإجابة بدقة وليست تقريبية.
على سبيل المثال ، بالنسبة للمعادلة \ (81x ^ 2-16x-1 = 0 \) ، يتم عرض الإجابة في هذا النموذج:
يمكن أن يكون هذا البرنامج مفيدًا للطلاب الكبار في المدارس الثانوية استعدادًا للاختبارات والامتحانات ، عند التحقق من المعرفة قبل الامتحان ، للآباء للتحكم في حل العديد من المشكلات في الرياضيات والجبر. أو ربما يكون استئجار مدرس أو شراء كتب مدرسية جديدة مكلفًا للغاية؟ أو هل تريد فقط إنهاء واجباتك في الرياضيات أو الجبر في أسرع وقت ممكن؟ في هذه الحالة ، يمكنك أيضًا استخدام برامجنا مع حل مفصل.
بهذه الطريقة ، يمكنك إجراء التدريس الخاص بك و / أو تعليم إخوتك أو أخواتك الصغار ، بينما يرتفع مستوى التعليم في مجال المشكلات التي يتم حلها.
إذا لم تكن على دراية بقواعد إدخال كثير حدود مربعة ، فننصحك بالتعرف عليها.
قواعد إدخال مربع متعدد الحدود
يمكن استخدام أي حرف لاتيني كمتغير.
على سبيل المثال: \ (x ، y ، z ، a ، b ، c ، o ، p ، q \) إلخ.
يمكن إدخال الأرقام كأرقام كاملة أو كسرية.
علاوة على ذلك ، يمكن إدخال الأرقام الكسرية ليس فقط في شكل عدد عشري ، ولكن أيضًا في شكل كسر عادي.
قواعد إدخال الكسور العشرية.
في الكسور العشرية ، يمكن فصل الجزء الكسري من الكل بنقطة أو فاصلة.
على سبيل المثال ، يمكنك إدخال الكسور العشرية مثل هذا: 2.5x - 3.5x ^ 2
قواعد إدخال الكسور العادية.
يمكن استخدام عدد صحيح فقط كبسط ومقام وجزء كامل من الكسر.
لا يمكن أن يكون المقام سالبًا.
عند إدخال كسر رقمي ، يتم فصل البسط عن المقام بعلامة قسمة: /
يتم فصل الجزء بالكامل عن الكسر بواسطة علامة العطف: &
الإدخال: 3 & 1/3 - 5 & 6 / 5z + 1 / 7z ^ 2
النتيجة: \ (3 \ frac (1) (3) - 5 \ frac (6) (5) z + \ frac (1) (7) z ^ 2 \)
عند إدخال تعبير يمكن استخدام الأقواس... في هذه الحالة ، عند حل معادلة تربيعية ، يتم أولاً تبسيط التعبير المقدم.
على سبيل المثال: 1/2 (ص -1) (ص + 1) - (5 ص -10 & 1/2)
قرر
تم العثور على أن بعض البرامج النصية اللازمة لحل هذه المشكلة لم يتم تحميلها ، وقد لا يعمل البرنامج.
ربما قمت بتمكين AdBlock.
في هذه الحالة ، قم بتعطيله وتحديث الصفحة.
لكي يظهر الحل ، تحتاج إلى تمكين JavaScript.
فيما يلي إرشادات حول كيفية تمكين JavaScript في متصفحك.
لأن هناك الكثير من الأشخاص الذين يرغبون في حل المشكلة ، يتم وضع طلبك في قائمة الانتظار.
بعد بضع ثوانٍ ، سيظهر الحل أدناه.
انتظر من فضلك ثانية ...
اذا أنت لاحظت وجود خطأ في الحل، ثم يمكنك الكتابة عن هذا في نموذج الملاحظات.
لا تنسى تشير إلى أي مهمةعليك أن تقرر وماذا أدخل في الحقول.
ألعابنا وألغازنا ومحاكياتنا:
قليلا من النظرية.
المعادلة التربيعية وجذورها. معادلات تربيعية غير مكتملة
كل من المعادلات
\ (- x ^ 2 + 6x + 1،4 = 0، \ quad 8x ^ 2-7x = 0، \ quad x ^ 2- \ frac (4) (9) = 0 \)
لديه الشكل
\ (فأس ^ 2 + ب س + ج = 0 ، \)
حيث x متغير و a و b و c أرقام.
في المعادلة الأولى أ = -1 ، ب = 6 ، ج = 1.4 ، في الثانية أ = 8 ، ب = -7 ، ج = 0 ، في الثالثة أ = 1 ، ب = 0 ، ج = 4/9. تسمى هذه المعادلات المعادلات التربيعية.
تعريف.
معادلة من الدرجة الثانيةهي معادلة بالصيغة ax 2 + bx + c = 0 ، حيث x عبارة عن متغير ، و a و b و c هي بعض الأرقام ، و \ (a \ neq 0 \).
الأرقام أ ، ب ، ج هي معاملات المعادلة التربيعية. الرقم أ يسمى المعامل الأول ، الرقم ب - المعامل الثاني ، والرقم ج - المصطلح المجاني.
في كل من المعادلات على شكل ax 2 + bx + c = 0 ، حيث \ (a \ neq 0 \) ، أكبر قوة للمتغير x هي المربع. ومن هنا الاسم: المعادلة التربيعية.
لاحظ أن المعادلة التربيعية تسمى أيضًا معادلة من الدرجة الثانية ، حيث أن جانبها الأيسر متعدد الحدود من الدرجة الثانية.
معادلة من الدرجة الثانية يسمى فيها المعامل عند x 2 هو 1 معادلة من الدرجة الثانية... على سبيل المثال ، المعادلات التربيعية المختزلة هي المعادلات
\ (س ^ 2-11x + 30 = 0 ، \ رباعي س ^ 2-6x = 0 ، \ رباعي × ^ 2-8 = 0 \)
إذا كانت المعادلة التربيعية ax 2 + bx + c = 0 على الأقل واحد من المعاملين b أو c يساوي صفرًا ، فإن هذه المعادلة تسمى معادلة تربيعية غير كاملة... إذن ، المعادلات -2x 2 + 7 = 0 ، 3x 2 -10x = 0 ، -4x 2 = 0 هي معادلات تربيعية غير كاملة. في أولها ب = 0 ، في الثانية ج = 0 ، في الثالثة ب = 0 وج = 0.
المعادلات التربيعية غير المكتملة من ثلاثة أنواع:
1) فأس 2 + ج = 0 ، حيث \ (ج \ neq 0 \) ؛
2) الفأس 2 + bx = 0 ، حيث \ (b \ neq 0 \) ؛
3) الفأس 2 = 0.
لنفكر في حل المعادلات لكل من هذه الأنواع.
لحل معادلة تربيعية غير مكتملة للنموذج ax 2 + c = 0 لـ \ (c \ neq 0 \) ، انقل المصطلح الحر إلى الجانب الأيمن وقسم كلا طرفي المعادلة على:
\ (x ^ 2 = - \ frac (c) (a) \ Rightarrow x_ (1،2) = \ pm \ sqrt (- \ frac (c) (a)) \)
منذ \ (c \ neq 0 \) ، ثم \ (- \ frac (c) (a) \ neq 0 \)
إذا كان \ (- \ frac (c) (a)> 0 \) ، فإن المعادلة لها جذرين.
إذا \ (- \ frac (c) (a) لحل معادلة تربيعية غير مكتملة للنموذج ax 2 + bx = 0 مع \ (b \ neq 0 \) عامل جانبها الأيسر والحصول على المعادلة
\ (x (ax + b) = 0 \ Rightarrow \ left \ (\ start (array) (l) x = 0 \\ ax + b = 0 \ end (array) \ right. \ rightarrow \ left \ (\ begin (مجموعة) (l) x = 0 \\ x = - \ frac (b) (a) \ end (array) \ right. \)
ومن ثم ، فإن المعادلة التربيعية غير المكتملة للشكل ax 2 + bx = 0 لـ \ (b \ neq 0 \) لها دائمًا جذرين.
المعادلة التربيعية غير المكتملة للشكل ax 2 = 0 تعادل المعادلة x 2 = 0 وبالتالي لها جذر فريد 0.
صيغة جذور المعادلة التربيعية
دعونا الآن نفكر في كيفية حل المعادلات التربيعية التي يكون فيها كل من معاملات المجهول والمصطلح الحر غير صفري.
لنحل المعادلة التربيعية بشكل عام ، ونتيجة لذلك نحصل على صيغة الجذور. ثم يمكن تطبيق هذه الصيغة لحل أي معادلة تربيعية.
حل المعادلة التربيعية ax 2 + bx + c = 0
بقسمة كلا الجزأين على أ ، نحصل على المعادلة التربيعية المختزلة المكافئة
\ (س ^ 2 + \ فارك (ب) (أ) س + \ فارك (ج) (أ) = 0 \)
نقوم بتحويل هذه المعادلة باختيار مربع ذات الحدين:
\ (x ^ 2 + 2x \ cdot \ frac (b) (2a) + \ left (\ frac (b) (2a) \ right) ^ 2- \ left (\ frac (b) (2a) \ right) ^ 2 + \ frac (c) (a) = 0 \ Rightarrow \)
يسمى التعبير الراديكالي مميز المعادلة التربيعيةالفأس 2 + bx + c = 0 ("المميز" اللاتيني هو المميز). يتم تحديده بالحرف D ، أي
\ (د = ب ^ 2-4ac \)
الآن ، باستخدام تدوين المميز ، نعيد كتابة صيغة جذور المعادلة التربيعية:
\ (x_ (1،2) = \ frac (-b \ pm \ sqrt (D)) (2a) \) ، حيث \ (D = b ^ 2-4ac \)
من الواضح أن:
1) إذا كانت D> 0 ، فإن المعادلة التربيعية لها جذرين.
2) إذا كانت D = 0 ، فإن المعادلة التربيعية لها جذر واحد \ (x = - \ frac (b) (2a) \).
3) إذا كانت D هكذا ، اعتمادًا على قيمة المميز ، يمكن أن يكون للمعادلة التربيعية جذران (لـ D> 0) ، جذر واحد (لـ D = 0) أو ليس لها جذور (لـ D عند حل معادلة من الدرجة الثانية باستخدام هذا الصيغة ، من المستحسن المضي قدما على النحو التالي:
1) احسب المميز وقارنه بالصفر ؛
2) إذا كان المميز موجبًا أو يساوي صفرًا ، فاستخدم صيغة الجذر ، وإذا كان المميز سالبًا ، فاكتب أنه لا توجد جذور.
نظرية فييتا
المعادلة التربيعية المعطاة ax 2 -7x + 10 = 0 لها جذور 2 و 5. مجموع الجذور هو 7 ، والحاصل ضرب 10. نرى أن مجموع الجذور يساوي المعامل الثاني المأخوذ مع المقابل علامة ، وحاصل ضرب الجذور يساوي المصطلح الحر. أي معادلة تربيعية لها جذور لها هذه الخاصية.
مجموع جذور المعادلة التربيعية المعطاة يساوي المعامل الثاني ، مأخوذًا بعلامة معاكسة ، وحاصل ضرب الجذور يساوي المصطلح المجاني.
أولئك. تنص نظرية فييتا على أن الجذور x 1 و x 2 للمعادلة التربيعية المختصرة x 2 + px + q = 0 لها الخاصية:
\ (\ left \ (\ start (array) (l) x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \ cdot x_2 = q \ end (array) \ right. \)
غالبًا ما تظهر المعادلات التربيعية عند حل المشكلات المختلفة في الفيزياء والرياضيات. في هذه المقالة سوف ننظر في كيفية حل هذه المساواة بطريقة عالمية "من خلال التمييز". يتم أيضًا تقديم أمثلة على استخدام المعرفة المكتسبة في المقالة.
ما المعادلات التي نتحدث عنها؟
يوضح الشكل أدناه معادلة يكون فيها x متغيرًا غير معروف ، وتمثل الرموز اللاتينية أ ، ب ، ج بعض الأرقام المعروفة.
كل من هذه الرموز يسمى معامل. كما ترى ، فإن الرقم "أ" يقع أمام المتغير التربيعي x. هذه هي القوة القصوى للتعبير المقدم ، وهذا هو سبب تسميتها بالمعادلة التربيعية. غالبًا ما يستخدم اسمها الآخر: معادلة الدرجة الثانية. قيمة a نفسها هي المعامل التربيعي (المتغير التربيعي) ، و b هي المعامل الخطي (بجانب المتغير المرفوع إلى القوة الأولى) ، وأخيرًا ، الرقم c هو المصطلح المجاني.
لاحظ أن شكل المعادلة الموضحة في الشكل أعلاه هو تعبير مربع كلاسيكي شائع. بالإضافة إلى ذلك ، هناك معادلات أخرى من الدرجة الثانية يمكن أن تكون فيها المعامِلات b و c صفرًا.
عندما يتم طرح المشكلة لحل المساواة المدروسة ، فهذا يعني أنه يجب إيجاد قيم المتغير x التي ترضيها. هنا ، أول شيء يجب تذكره هو الشيء التالي: نظرًا لأن الدرجة القصوى لـ x هي 2 ، فلا يمكن أن يحتوي هذا النوع من التعبيرات على أكثر من حلين. هذا يعني أنه عند حل المعادلة ، إذا تم العثور على قيمتين لـ x ترضيها ، فيمكننا التأكد من عدم وجود رقم ثالث ، مع استبدال أيهما بدلاً من x ، ستكون المساواة أيضًا صحيحة. تسمى حلول معادلة في الرياضيات بالجذور.
طرق حل المعادلات من الدرجة الثانية
يتطلب حل معادلات من هذا النوع معرفة بعض النظريات عنها. في مقرر الجبر المدرسي ، يتم النظر في 4 طرق مختلفة للحل. دعنا نذكرهم:
- باستخدام العوامل
- باستخدام صيغة المربع الكامل ؛
- من خلال تطبيق الرسم البياني للوظيفة التربيعية المقابلة ؛
- باستخدام المعادلة المميزة.
تكمن ميزة الطريقة الأولى في بساطتها ، ومع ذلك ، لا يمكن تطبيقها على جميع المعادلات. الطريقة الثانية عالمية ، لكنها مرهقة إلى حد ما. الطريقة الثالثة جديرة بالملاحظة من حيث الوضوح ، ولكنها ليست دائمًا ملائمة وقابلة للتطبيق. وأخيرًا ، يعد استخدام المعادلة المميزة طريقة عامة وبسيطة إلى حد ما لإيجاد جذور أي معادلة من الدرجة الثانية تمامًا. لذلك ، في المقال سننظر فيه فقط.
صيغة للحصول على جذور المعادلة
دعنا ننتقل إلى الشكل العام للمعادلة التربيعية. دعنا نكتبها: أ * س² + ب * س + ج = 0. قبل استخدام طريقة حلها "من خلال التمييز" ، يجب دائمًا تقليل المساواة إلى الشكل المكتوب. بمعنى أنه يجب أن يتكون من ثلاثة مصطلحات (أو أقل إذا كانت b أو c تساوي 0).
على سبيل المثال ، إذا كان هناك تعبير: x²-9 * x + 8 = -5 * x + 7 * x² ، فيجب عليك أولاً نقل جميع شروطه إلى جانب واحد من المساواة وإضافة المصطلحات التي تحتوي على المتغير x في نفس الصلاحيات.
في هذه الحالة ، ستؤدي هذه العملية إلى التعبير التالي: -6 * x²-4 * x + 8 = 0 ، وهو ما يعادل المعادلة 6 * x² + 4 * x-8 = 0 (هنا قمنا بضرب اليسار و الجوانب الصحيحة للمساواة بنسبة -1) ...
في المثال أعلاه ، أ = 6 ، ب = 4 ، ج = -8. لاحظ أن جميع شروط المساواة قيد النظر يتم تلخيصها دائمًا فيما بينها ، لذلك إذا ظهرت علامة "-" ، فهذا يعني أن المعامل المقابل سالب ، مثل الرقم c في هذه الحالة.
بعد دراسة هذه النقطة ، ننتقل الآن إلى الصيغة نفسها ، والتي تجعل من الممكن الحصول على جذور المعادلة التربيعية. لديها الشكل الموضح في الصورة أدناه.
كما ترون من هذا التعبير ، فإنه يسمح لك بالحصول على جذرين (يجب الانتباه إلى علامة "±"). للقيام بذلك ، يكفي التعويض بالمعاملات b و c و a فيه.
مفهوم التمييز
في الفقرة السابقة ، تم إعطاء صيغة تسمح لك بحل أي معادلة من الدرجة الثانية بسرعة. في ذلك ، يسمى التعبير الجذري المميز ، أي D = b²-4 * a * c.
لماذا يتم تمييز هذا الجزء من الصيغة ، وله اسم خاص به؟ الحقيقة هي أن المميز يربط جميع المعاملات الثلاثة للمعادلة في تعبير واحد. تعني الحقيقة الأخيرة أنها تحمل معلومات كاملة حول الجذور ، والتي يمكن التعبير عنها في القائمة التالية:
- D> 0: للمساواة حلين مختلفين ، كلاهما أرقام حقيقية.
- D = 0: تحتوي المعادلة على جذر واحد فقط وهي رقم حقيقي.
مهمة تحديد المميز
دعنا نعطي مثالًا بسيطًا عن كيفية إيجاد المميز. دع المساواة التالية تعطى: 2 * x² - 4 + 5 * x-9 * x² = 3 * x-5 * x² + 7.
نحضره إلى النموذج القياسي ، ونحصل على: (2 * x²-9 * x² + 5 * x²) + (5 * x-3 * x) + (- 4-7) = 0 ، ومن أين نصل إلى المساواة : -2 * x² + 2 * x-11 = 0. هنا أ = -2 ، ب = 2 ، ج = -11.
يمكنك الآن استخدام الصيغة المسماة للمميز: D = 2² - 4 * (- 2) * (- 11) = -84. الرقم الناتج هو إجابة المهمة. نظرًا لأن المميز في المثال أقل من صفر ، فيمكننا القول إن هذه المعادلة التربيعية ليس لها جذور حقيقية. فقط الأعداد المركبة ستكون الحل.
مثال على عدم المساواة من خلال المميز
دعونا نحل مسائل من نوع مختلف قليلاً: بالنظر إلى المساواة -3 * x²-6 * x + c = 0. من الضروري إيجاد قيم c التي من أجلها D> 0.
في هذه الحالة ، لا يُعرف سوى 2 من 3 معاملات ، لذلك لن يكون من الممكن حساب القيمة الدقيقة للمميز ، ولكن من المعروف أنه موجب. نستخدم الحقيقة الأخيرة عند حساب المتباينة: D = (-6) ²-4 * (- 3) * c> 0 => 36 + 12 * c> 0. يؤدي حل المتباينة الناتجة إلى النتيجة: c> -3.
دعنا نتحقق من الرقم المستلم. للقيام بذلك ، احسب D لحالتين: c = -2 و c = -4. الرقم -2 يلبي النتيجة التي تم الحصول عليها (-2> -3) ، سيكون للمميز المقابل القيمة: D = 12> 0. في المقابل ، العدد -4 لا يحقق المتباينة (-4 وهكذا ، فإن أي عدد أكبر من -3 يفي بالشرط.
مثال على حل معادلة
دعونا نقدم مشكلة ، لا تتمثل فقط في إيجاد المميز ، ولكن أيضًا في حل المعادلة. تحتاج إلى إيجاد جذور المساواة -2 * x² + 7-9 * x = 0.
في هذا المثال ، المميز يساوي القيمة التالية: D = 81-4 * (- 2) * 7 = 137. ثم يتم تعريف جذور المعادلة على النحو التالي: x = (9 ± √137) / (- 4). هذه هي القيم الدقيقة للجذور ، إذا قمت بحساب الجذر التقريبي ، فستحصل على الأرقام: x = -5.176 و x = 0.676.
مشكلة هندسية
دعونا نحل مشكلة لا تتطلب فقط القدرة على حساب المميز ، ولكن أيضًا استخدام مهارات التفكير المجرد ومعرفة كيفية عمل المعادلات التربيعية.
كان بوب لديه لحاف 5 × 4 أمتار. أراد الصبي أن يخيط شريطًا مستمرًا من القماش الجميل حول المحيط. ما مدى سمك هذا الشريط إذا كان بوب معروفًا باحتوائه على 10 أمتار مربعة من القماش.
دع الشريط بسمك xm ، فإن مساحة القماش على طول الجانب الطويل من البطانية ستكون (5 + 2 * x) * x ، وبما أن هناك جانبان طويلان ، فلدينا: 2 * x * (5 + 2 * x). على الجانب القصير ، ستكون مساحة القماش المخيط 4 * x ، نظرًا لوجود جانبين من هذه الجوانب ، نحصل على القيمة 8 * x. لاحظ أنه تمت إضافة 2 * x إلى الجانب الطويل حيث زاد طول البطانية بهذا الرقم. تبلغ المساحة الإجمالية للنسيج المخيط بالبطانية 10 م². لذلك ، نحصل على المساواة: 2 * x * (5 + 2 * x) + 8 * x = 10 => 4 * x² + 18 * x-10 = 0.
في هذا المثال ، المميز هو: D = 18²-4 * 4 * (- 10) = 484. جذره هو 22. باستخدام الصيغة ، نجد الجذور المطلوبة: x = (-18 ± 22) / (2 * 4) = (- 5 ؛ 0.5). من الواضح ، من بين الجذور ، أن الرقم 0.5 فقط هو المناسب لبيان المشكلة.
وبالتالي ، سيكون عرض شريط القماش الذي سيخيطه بوب على بطانيته 50 سم.
بطريقة أبسط. للقيام بذلك ، ضع z خارج الأقواس. ستحصل على: z (аz + b) = 0. يمكن كتابة العوامل: z = 0 و аz + b = 0 ، حيث يمكن أن ينتج عنهما صفر. في الترميز az + b = 0 ، ننقل الرمز الثاني إلى اليمين بعلامة مختلفة. ومن ثم نحصل على z1 = 0 و z2 = -b / a. هذه هي جذور الأصل.
إذا كانت هناك معادلة غير كاملة بالصيغة аz² + с = 0 ، في هذه الحالة يتم العثور عليها ببساطة عن طريق نقل المصطلح المجاني إلى الجانب الأيمن من المعادلة. قم أيضًا بتغيير علامته عند القيام بذلك. ستكون النتيجة az² = -с. صريح z² = -c / a. خذ الجذر واكتب حلين - الجذر التربيعي الموجب والسالب.
ملاحظة
إذا كانت هناك معاملات كسرية في المعادلة ، فاضرب المعادلة بأكملها في العامل المناسب حتى تتخلص من الكسور.
تعد معرفة كيفية حل المعادلات التربيعية ضرورية لكل من تلاميذ المدارس والطلاب ، وفي بعض الأحيان يمكن أن تساعد أيضًا شخصًا بالغًا في الحياة اليومية. هناك عدة طرق حل محددة.
حل المعادلات التربيعية
معادلة تربيعية بالصيغة أ * س ^ 2 + ب * س + ج = 0. المعامل x هو المتغير المرغوب ، a ، b ، c معاملات عددية. تذكر أن علامة "+" يمكن أن تتغير إلى علامة "-".لحل هذه المعادلة ، من الضروري استخدام نظرية فييتا أو إيجاد المميز. الطريقة الأكثر شيوعًا هي إيجاد المميز ، لأنه بالنسبة لبعض قيم أ ، ب ، ج لا يمكن استخدام نظرية فييتا.
لإيجاد المميز (د) ، تحتاج إلى كتابة المعادلة د = ب ^ 2 - 4 * أ * ج. يمكن أن تكون قيمة D أكبر من أو أقل من أو تساوي الصفر. إذا كانت D أكبر أو أقل من الصفر ، فسيكون هناك جذران ، وإذا كانت D = 0 ، فسيتبقى جذر واحد فقط ، وبتعبير أدق ، يمكننا القول إن D في هذه الحالة له جذران متكافئان. عوّض عن المعاملات المعروفة أ ، ب ، ج في الصيغة واحسب القيمة.
بعد العثور على المميز ، للعثور على x ، استخدم الصيغ: x (1) = (- b + sqrt (D)) / 2 * a ؛ x (2) = (- b-sqrt (D)) / 2 * a ، حيث sqrt هي دالة لاستخراج الجذر التربيعي لرقم معين. بعد حساب هذه التعبيرات ، ستجد جذرين لمعادلتك ، وبعد ذلك تعتبر المعادلة محلولة.
إذا كانت D أقل من صفر ، فلا يزال لها جذور. في المدرسة ، هذا القسم لا يدرس عمليا. يجب أن يدرك طلاب الجامعة أن الرقم السالب يظهر في الجذر. يتخلصون منه من خلال إبراز الجزء التخيلي ، أي -1 تحت الجذر تساوي دائمًا العنصر التخيلي "i" ، الذي يضرب في الجذر بنفس الرقم الموجب. على سبيل المثال ، إذا كانت D = sqrt (-20) ، فبعد التحويل يتبين D = sqrt (20) * i. بعد هذا التحول ، يتم تقليل حل المعادلة إلى نفس نتيجة الجذور ، كما هو موضح أعلاه.
نظرية فييتا هي اختيار القيمتين x (1) و x (2). يتم استخدام معادلتين متطابقتين: x (1) + x (2) = -b ؛ س (1) * س (2) = ج. علاوة على ذلك ، هناك نقطة مهمة جدًا وهي الإشارة أمام المعامل b ، تذكر أن هذه الإشارة معاكسة لتلك الموجودة في المعادلة. للوهلة الأولى ، يبدو أنه من السهل جدًا حساب x (1) و x (2) ، ولكن عند الحل ستواجه حقيقة أنه يجب تحديد الأرقام.
عناصر لحل المعادلات التربيعية
وفقًا لقواعد الرياضيات ، يمكن تقسيم بعضها إلى عوامل: (a + x (1)) * (bx (2)) = 0 ، إذا تمكنت من تحويل هذه المعادلة التربيعية بهذه الطريقة باستخدام معادلات الرياضيات ، إذن لا تتردد في كتابة الإجابة. ستكون x (1) و x (2) مساوية للمعاملات المجاورة بين قوسين ، ولكن مع الإشارة المعاكسة.أيضًا ، لا تنس المعادلات التربيعية غير المكتملة. قد تفتقد إلى بعض المصطلحات ، إذا كان الأمر كذلك ، فكل معاملاتها ببساطة تساوي صفرًا. إذا لم يكن هناك شيء أمام x ^ 2 أو x ، فإن المعاملين a و b يساوي 1.
قد يبدو هذا الموضوع معقدًا في البداية بسبب العديد من الصيغ الصعبة. لا يقتصر الأمر على أن المعادلات التربيعية نفسها لها سجلات طويلة ، ولكن توجد الجذور أيضًا من خلال المميز. هناك ثلاث صيغ جديدة في المجموع. ليس من السهل تذكرها. هذا ممكن فقط بعد الحل المتكرر لهذه المعادلات. ثم سيتم تذكر جميع الصيغ من تلقاء نفسها.
منظر عام للمعادلة التربيعية
هنا ، يُقترح تسجيلهم الصريح ، عندما يتم تسجيل أعلى درجة أولاً ، ثم بترتيب تنازلي. غالبًا ما تكون هناك مواقف عندما تكون الشروط معطلة. ثم من الأفضل إعادة كتابة المعادلة بترتيب تنازلي لدرجة المتغير.
دعونا نقدم التدوين. يتم تقديمها في الجدول أدناه.
إذا قبلنا هذه التعيينات ، يتم تقليل جميع المعادلات التربيعية إلى السجل التالي.
علاوة على ذلك ، المعامل a ≠ 0. دع هذه الصيغة يُشار إليها بالرقم الأول.
عند تقديم المعادلة ، ليس من الواضح عدد الجذور في الإجابة. لأن أحد الخيارات الثلاثة ممكن دائمًا:
- سيكون هناك جذران في الحل ؛
- الجواب رقم واحد.
- لن يكون للمعادلة جذور على الإطلاق.
وحتى لا يتم إنهاء القرار ، من الصعب فهم أي من الخيارات سينتهي في حالة معينة.
أنواع تسجيلات المعادلات التربيعية
قد تحتوي المهام على سجلاتهم المختلفة. لن تبدو دائمًا كصيغة تربيعية عامة. في بعض الأحيان سوف تفتقر إلى بعض المصطلحات. ما كتب أعلاه هو معادلة كاملة. إذا أزلت الحد الثاني أو الثالث فيه ، فستحصل على شيء مختلف. تسمى هذه السجلات أيضًا المعادلات التربيعية ، وهي غير مكتملة فقط.
علاوة على ذلك ، يمكن فقط اختفاء المعاملين "b" و "c". لا يمكن أن يكون الرقم "أ" مساويًا للصفر تحت أي ظرف من الظروف. لأنه في هذه الحالة ، تتحول الصيغة إلى معادلة خطية. ستكون الصيغ الخاصة بصيغة غير مكتملة من المعادلات كما يلي:
لذلك ، هناك نوعان فقط ، بالإضافة إلى الأنواع الكاملة ، هناك أيضًا معادلات تربيعية غير مكتملة. دع الصيغة الأولى هي رقم اثنين والثاني ثلاثة.
التمييز والاعتماد على عدد الجذور على قيمتها
تحتاج إلى معرفة هذا الرقم لحساب جذور المعادلة. يمكن دائمًا حسابها ، مهما كانت صيغة المعادلة التربيعية. من أجل حساب المميز ، تحتاج إلى استخدام المساواة المكتوبة أدناه ، والتي سيكون لها الرقم أربعة.
بعد استبدال قيم المعاملات في هذه الصيغة ، يمكنك الحصول على أرقام بعلامات مختلفة. إذا كانت الإجابة بنعم ، فإن إجابة المعادلة ستكون جذرين مختلفين. مع وجود رقم سالب ، فإن جذور المعادلة التربيعية ستكون غائبة. إذا كانت تساوي صفرًا ، فستكون الإجابة واحدة.
كيف يتم حل المعادلة التربيعية الكاملة؟
في الواقع ، بدأ بالفعل النظر في هذه المسألة. لأنك تحتاج أولاً إلى إيجاد المميز. بعد اكتشاف وجود جذور للمعادلة التربيعية ، وعددها معروف ، تحتاج إلى استخدام الصيغ للمتغيرات. إذا كان هناك جذران ، فأنت بحاجة إلى تطبيق هذه الصيغة.
نظرًا لأنه يحتوي على علامة "±" ، فستكون هناك قيمتان. إن تعبير الجذر التربيعي هو المميز. لذلك ، يمكن إعادة كتابة الصيغة بطريقة مختلفة.
الصيغة رقم خمسة. يُظهر السجل نفسه أنه إذا كان المميز صفرًا ، فسيأخذ كلا الجذور نفس القيم.
إذا لم يتم حل المعادلات التربيعية بعد ، فمن الأفضل تدوين قيم جميع المعاملات قبل تطبيق الصيغ المميزة والمتغيرة. في وقت لاحق ، هذه اللحظة لن تسبب صعوبات. لكن في البداية ، هناك ارتباك.
كيف يتم حل المعادلة التربيعية غير المكتملة؟
كل شيء هنا أبسط بكثير. ليست هناك حاجة حتى للصيغ الإضافية. ولن تحتاج إلى تلك التي تم تسجيلها بالفعل للمميز والمجهول.
أولاً ، ضع في اعتبارك المعادلة غير المكتملة رقم اثنين. في هذه المساواة ، من المفترض أن تأخذ الكمية المجهولة من الأقواس وتحل المعادلة الخطية التي تبقى بين القوسين. سيكون للإجابة جذرين. الأول يساوي صفرًا بالضرورة ، لأن هناك عاملًا يتكون من المتغير نفسه. يتم الحصول على الثاني عن طريق حل معادلة خطية.
يتم حل المعادلة غير المكتملة رقم ثلاثة عن طريق نقل الرقم من الجانب الأيسر للمعادلة إلى اليمين. ثم تحتاج إلى القسمة على العامل أمام المجهول. كل ما تبقى هو استخراج الجذر التربيعي وتذكر كتابته مرتين بإشارات معاكسة.
فيما يلي بعض الخطوات لمساعدتك على تعلم كيفية حل جميع أنواع المعادلات التي تتحول إلى معادلات تربيعية. سوف يساعدون الطالب على تجنب أخطاء الإهمال. هذه النواقص هي سبب ضعف الدرجات عند دراسة الموضوع الشامل "المعادلات التربيعية (الصف 8)". بعد ذلك ، لن تكون هناك حاجة إلى تنفيذ هذه الإجراءات باستمرار. لأن مهارة مستقرة ستظهر.
- أولاً ، تحتاج إلى كتابة المعادلة بصيغة قياسية. هذا هو ، أولاً المصطلح ذو أعلى درجة من المتغير ، ثم - بدون الدرجة والأخيرة - مجرد رقم.
- إذا ظهر علامة ناقص أمام المعامل "a" ، فقد يؤدي ذلك إلى تعقيد العمل بالنسبة للمبتدئين في دراسة المعادلات التربيعية. من الأفضل التخلص منه. لهذا الغرض ، يجب ضرب كل مساواة بـ "-1". هذا يعني أن كل المصطلحات ستغير إشاراتها إلى العكس.
- بنفس الطريقة يوصى بالتخلص من الكسور. ببساطة اضرب المعادلة في العامل المناسب لإلغاء المقامات.
أمثلة على
مطلوب لحل المعادلات التربيعية التالية:
× 2-7 س = 0 ؛
15 - 2x - x 2 = 0 ؛
س 2 + 8 + 3 س = 0 ؛
12 س + س 2 + 36 = 0 ؛
(س + 1) 2 + س + 1 = (س + 1) (س + 2).
المعادلة الأولى: x 2 - 7x = 0. وهي غير مكتملة ، لذلك يتم حلها كما هو موصوف في الصيغة رقم 2.
بعد ترك الأقواس ، اتضح أن: x (x - 7) = 0.
يأخذ الجذر الأول القيمة: x 1 = 0. سيتم إيجاد الثاني من المعادلة الخطية: x - 7 = 0. من السهل ملاحظة أن x 2 = 7.
المعادلة الثانية: 5x 2 + 30 = 0. مرة أخرى غير مكتملة. يتم حلها فقط كما هو موصوف في الصيغة الثالثة.
بعد نقل 30 إلى الجانب الأيمن من المساواة: 5x 2 = 30. الآن أنت بحاجة للقسمة على 5. اتضح أن: x 2 = 6. ستكون الإجابات أرقامًا: x 1 = √6، x 2 = - 6.
المعادلة الثالثة: 15 - 2x - x 2 = 0. فيما يلي ، سيبدأ حل المعادلات التربيعية بإعادة كتابتها بالصيغة القياسية: - x 2 - 2x + 15 = 0. الآن حان الوقت لاستخدام النصيحة الثانية المفيدة و اضرب كل شيء في ناقص واحد ... اتضح أن x 2 + 2x - 15 = 0. وفقًا للصيغة الرابعة ، تحتاج إلى حساب المميز: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. إنه رقم موجب. مما قيل أعلاه ، يتضح أن للمعادلة جذرين. يجب حسابها باستخدام الصيغة الخامسة. اتضح أن x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. ثم x 1 = 3 ، x 2 = - 5.
يتم تحويل المعادلة الرابعة x 2 + 8 + 3x = 0 إلى هذا: x 2 + 3x + 8 = 0. ومميزها يساوي هذه القيمة: -23. نظرًا لأن هذا الرقم سلبي ، فستكون الإجابة على هذه المهمة هي الإدخال التالي: "لا توجد جذور".
يجب إعادة كتابة المعادلة الخامسة 12x + x 2 + 36 = 0 على النحو التالي: x 2 + 12x + 36 = 0. بعد تطبيق الصيغة للمميز ، يتم الحصول على الرقم صفر. هذا يعني أنه سيكون له جذر واحد ، وهو: x = -12 / (2 * 1) = -6.
تتطلب المعادلة السادسة (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) تحويلات ، والتي تتمثل في حقيقة أنك بحاجة إلى إحضار شروط مماثلة ، قبل فتح القوسين. بدلاً من الأول ، سيكون هناك مثل هذا التعبير: x 2 + 2x + 1. بعد المساواة ، سيظهر هذا السجل: x 2 + 3x + 2. بعد حساب هذه الشروط ، ستأخذ المعادلة الشكل: x 2 - س = 0. تحولت إلى ناقصة ... تم اعتبار شيء مشابه له أعلى قليلاً. ستكون جذور هذا الرقمين 0 و 1.
تحميل ...