Правила за събиране на квадратни корени. Какво представляват квадратните корени и как се събират?

Съдържание:

В математиката корените могат да бъдат квадратни, кубични или да имат друг показател (степен), който се записва вляво над знака за корен. Израз под знака за корен се нарича радикален израз. Добавянето на корени е подобно на добавянето на членове на алгебричен израз, т.е. изисква определяне на подобни корени.

стъпки

Част 1 Определяне на корени

1. 1 Обозначаване на корени.Израз под знака за корен (√) означава, че е необходимо да се извлече корен от определена степен от този израз.
   • Коренът се отбелязва със знака √.
   • Показателят (степента) на корена се записва вляво над знака за корен. Например кубичният корен от 27 се записва като: 3 √(27)
   • Ако индексът (степента) на корена липсва, тогава показателят се счита за равен на 2, т.е. той е квадратен корен (или корен от втора степен).
   • Числото, записано преди знака за корен, се нарича множител (тоест това число се умножава по корена), например 5√(2)
   • Ако няма множител пред корена, тогава той е равен на 1 (помнете, че всяко число, умножено по 1, е равно на себе си).
   • Ако за първи път работите с корени, направете подходящи бележки за множителя и степенния корен, за да избегнете объркване и да разберете по-добре предназначението им.
2. 2 Запомнете кои корени могат да се сгъват и кои не.Точно както не можете да добавяте различни членове на израз, например 2a + 2b ≠ 4ab, не можете да добавяте различни корени.
   • Не можете да добавяте корени с различни радикални изрази, например √(2) + √(3) ≠ √(5). Но можете да съберете числата под един и същ корен, например √(2 + 3) = √(5) (корен квадратен от 2 е приблизително 1,414, корен квадратен от 3 е приблизително 1,732, а корен квадратен от 5 е приблизително 2,236).
   • Не можете да добавяте корени с едни и същи радикални изрази, но различни експоненти, например √(64) + 3 √(64) (тази сума не е равна на 5 √(64), тъй като квадратният корен от 64 е 8, корен кубичен от 64 е 4, 8 + 4 = 12, което е много по-голямо от корен пети от 64, който е приблизително 2,297).

Част 2 Опростяване и добавяне на корени

1. 1 Идентифицирайте и групирайте подобни корени.Подобни корени са корени, които имат еднакви показатели и същите радикални изрази. Например, разгледайте израза:
   2√(3) + 3 √(81) + 2√(50) + √(32) + 6√(3)
   • Първо, пренапишете израза, така че корените със същия индекс да са разположени последователно.
     2√(3) + 2√(50) + √(32) + 6√(3) + 3 √(81)
   • След това пренапишете израза така, че корените с еднакъв степенен показател и със същия радикален израз да са разположени последователно.
     2√(50) + √(32) + 2√(3) + 6√(3) + 3 √(81)
2. 2 Опростете корените.За да направите това, разложете (където е възможно) радикалните изрази на два фактора, единият от които е изваден изпод корена. В този случай премахнатото число и коренният фактор се умножават.
   • В примера по-горе разложете числото 50 на 2*25 и числото 32 на 2*16. От 25 и 16 можем да извлечем квадратни корени(съответно 5 и 4) и премахнете 5 и 4 от под корена, като ги умножите съответно по множители 2 и 1. По този начин получавате опростен израз: 10√(2) + 4√(2) + 2√(3 ) + 6√(3) + 3√(81)
   • Числото 81 може да бъде разложено на множители 3*27 и от числото 27 можете да вземете кубичен корен от 3. Това число 3 може да бъде извадено изпод корена. Така получавате още по-опростен израз: 10√(2) + 4√(2) + 2√(3)+ 6√(3) + 3 3 √(3)
3. 3 Добавете множителите с подобни корени.В нашия пример има подобни корени квадратни от 2 (те могат да бъдат добавени) и подобни корени квадратни от 3 (те също могат да бъдат добавени). Кубичният корен от 3 няма такива корени.
   • 10√(2) + 4√(2) = 14√(2).
   • 2√(3)+ 6√(3) = 8√(3).
   • Краен опростен израз: 14√(2) + 8√(3) + 3 3 √(3)

• Няма общоприети правила за реда, в който се записват корените в израза. Следователно можете да напишете корени във възходящ ред на техните индикатори и във възходящ ред на радикални изрази.

Събиране и изваждане на корени- един от най-честите „препъникамъци“ за тези, които посещават курсове по математика (алгебра) в гимназията. Но да се научите правилно да ги добавяте и изваждате е много важно, тъй като примерите за сумата или разликата на корените са включени в програмата на основния Единен държавен изпит по дисциплината „математика“.

За да овладеете решаването на такива примери, трябват две неща - да разберете правилата, а също и да натрупате практика. След като реши една или две дузини типични примери, ученикът ще доведе това умение до автоматизма и тогава вече няма да има от какво да се страхува на Единния държавен изпит. Препоръчително е да започнете да овладявате аритметичните операции със събиране, защото добавянето им е малко по-лесно от изваждането.

Най-лесният начин да обясните това е да използвате квадратния корен като пример. В математиката има утвърден термин „вдигане на квадрат“. „Поставяне на квадрат“ означава еднократно умножаване на определено число само по себе си.. Например, ако повдигнете на квадрат 2, получавате 4. Ако повдигнете на квадрат 7, ще получите 49. На квадрат от 9 е 81. Така че квадратният корен от 4 е 2, от 49 е 7 и от 81 е 9.

По правило преподаването на тази тема по математика започва с квадратни корени. За да го определи веднага ученикът гимназиятрябва да знае таблицата за умножение наизуст. Тези, които не знаят твърдо тази таблица, трябва да използват съвети. Обикновено процесът на извличане на корен квадрат от число е даден в таблична форма на кориците на много ученически тетрадкиматематика.

Корените са от следните видове:

• квадрат;
• кубичен (или т.нар. трета степен);
• четвърта степен;
• пета степен.

Правила за добавяне

За да се реши успешно типичен пример, е необходимо да се има предвид, че не всички коренни числа могат да се подреждат един с друг. За да бъдат сглобени, те трябва да бъдат приведени в един модел. Ако това е невъзможно, значи проблемът няма решение. Такива задачи също често се срещат в учебниците по математика като своеобразен капан за учениците.

Не се допуска добавяне в задачи, когато коренните изрази се различават един от друг. Това може да се илюстрира с ясен пример:

• Ученикът е изправен пред задачата: да събере корен квадратен от 4 и 9;
• неопитен ученик запознати с правилата, обикновено пише: „корен от 4 + корен от 9 = корен от 13.“
• Много е лесно да се докаже, че това решение е неправилно. За да направите това, трябва да намерите корен квадратен от 13 и да проверите дали примерът е решен правилно;
• с помощта на микрокалкулатор можете да определите, че е приблизително 3,6. Сега остава само да проверим решението;
• корен от 4=2 и корен от 9=3;
• Сумата от числата "две" и "три" е равна на пет. Следователно този алгоритъм за решение може да се счита за неправилен.

Ако корените имат еднаква степен, но различни числови изрази, то се изважда от скоби и се поставя в скоби сбор от два радикални израза. Така вече се извлича от това количество.

Алгоритъм за добавяне

За да разрешите правилно най-простия проблем, трябва:

1. Определете какво точно изисква добавяне.
2. Разберете дали е възможно да добавяте стойности една към друга, ръководейки се от съществуващите правила в математиката.
3. Ако не са сгъваеми, трябва да ги трансформирате, за да могат да се сгъват.
4. След като извършите всички необходими трансформации, трябва да извършите добавянето и да запишете готовия отговор. Можете да извършите добавяне наум или с помощта на микрокалкулатор, в зависимост от сложността на примера.

Какви са подобните корени

За да разрешите правилно пример за добавяне, първо трябва да помислите как можете да го опростите. За да направите това, трябва да имате основни познания за това какво е сходство.

Способността да се идентифицират подобни помага за бързо решаване на подобни примери за добавяне, привеждайки ги в опростена форма. За да опростите типичен пример за добавяне, трябва да:

1. Намерете подобни и ги разделете в една група (или няколко групи).
2. Пренапишете съществуващия пример по такъв начин, че корените, които имат същия индикатор, следват ясно един след друг (това се нарича „групиране“).
3. След това трябва отново да напишете израза, този път по такъв начин, че подобни (които имат същия индикатор и същата радикална фигура) също следват един след друг.

След това опростеният пример обикновено е лесен за решаване.

За да решите правилно всеки пример за добавяне, трябва ясно да разберете основните правила за добавяне, както и да знаете какво е корен и какво може да бъде.

Понякога такива проблеми изглеждат много трудни на пръв поглед, но обикновено се решават лесно чрез групиране на подобни. Най-важното нещо е практиката и тогава ученикът ще започне да „разбива проблемите като ядки“. Добавянето на корени е една от най-важните части на математиката, така че учителите трябва да отделят достатъчно време за изучаването му.

Видео

Това видео ще ви помогне да разберете уравненията с квадратни корени.

Корен квадратен от число хизвикан номер А, който в процеса на умножаване сам по себе си ( А*А) може да даде число х.
Тези. A * A = A 2 = X, И √X = A.

Над квадратни корени ( √x), подобно на други числа, можете да извършвате аритметични операции като изваждане и събиране. За да извадите и добавите корени, те трябва да бъдат свързани с помощта на знаци, съответстващи на тези действия (напр √x — √y ).
И тогава донесете корените при тях най-простата форма- ако между тях има подобни, е необходимо да се направи намаление. Състои се в вземане на коефициентите на подобни членове със знаците на съответните членове, след това поставянето им в скоби и извеждане на общия корен извън скобите на фактора. Коефициентът, който получихме, е опростен според обичайните правила.

Стъпка 1: Извличане на квадратни корени

Първо, за да добавите квадратни корени, първо трябва да извлечете тези корени. Това може да стане, ако числата под знака за корен са перфектни квадрати. Например, вземете дадения израз √4 + √9 . Първо число 4 е квадратът на числото 2 . Второ число 9 е квадратът на числото 3 . Така можем да получим следното равенство: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Това е, примерът е решен. Но не винаги се случва толкова лесно.

Стъпка 2. Изваждане на множителя на числото изпод корена

Ако няма перфектни квадрати под знака за корен, можете да опитате да премахнете множителя на числото под знака за корен. Например, нека вземем израза √24 + √54 .

Разложете числата на множители:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

Между 24 имаме множител 4 , може да се извади от знака за квадратен корен. Между 54 имаме множител 9 .

Получаваме равенство:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Като се има предвид този пример, ние получаваме премахването на множителя от под знака на корена, като по този начин опростяваме дадения израз.

Стъпка 3: Намаляване на знаменателя

Да разгледаме следната ситуация: сумата от два квадратни корена е знаменателят на дробта, например, A/(√a + √b).
Сега сме изправени пред задачата „да се отървем от ирационалността в знаменателя“.
Нека използваме следния метод: умножете числителя и знаменателя на дробта по израза √a - √b.

Сега получаваме съкратената формула за умножение в знаменателя:
(√a + √b) * (√a – √b) = a – b.

По същия начин, ако знаменателят има коренна разлика: √a - √b, числителят и знаменателят на дробта се умножават по израза √a + √b.

Да вземем фракцията като пример:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3) .

Пример за редукция на комплексен знаменател

Сега нека обмислим достатъчно сложен примеросвобождаване от ирационалността в знаменателя.

Например, нека вземем дроб: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Трябва да вземете неговия числител и знаменател и да умножите по израза √2 + √3 — √5 .

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

Стъпка 4. Изчислете приблизителната стойност на калкулатора

Ако имате нужда само от приблизителна стойност, това може да се направи с калкулатор, като се изчисли стойността на корен квадратен. Стойността се изчислява отделно за всяко число и се записва с необходимата точност, която се определя от броя на десетичните знаци. След това се извършват всички необходими операции, както при обикновените числа.

Пример за изчисляване на приблизителна стойност

Необходимо е да се изчисли приблизителната стойност на този израз √7 + √5 .

В резултат получаваме:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Моля, обърнете внимание: при никакви обстоятелства не трябва да събирате квадратни корени като прости числа; това е напълно неприемливо. Тоест, ако съберем корен квадратен от пет и корен квадратен от три, не можем да получим корен квадратен от осем.

Полезен съвет: ако решите да разложите число, за да извлечете квадрата от знака за корен, трябва да направите обратна проверка, тоест да умножите всички фактори, получени от изчисленията, и краен резултатТова математическо изчисление трябва да доведе до числото, което първоначално ни беше дадено.

Правила за изваждане на корени

1. Коренът на степен от произведение на неотрицателни числа е равен на произведението на корени на същата степен от множители: където (правилото за извличане на корен от произведение).

2. Ако , то y (правилото за извличане на корен от дроб).

3. Ако тогава (правилото за извличане на корен от корен).

4. Ако тогава правилото за повдигане на корена на степен).

5. Ако тогава къде, т.е. показателят на корена и показателят на радикалния израз могат да бъдат умножени по едно и също число.

6. Ако тогава е 0, т.е. по-голям положителен радикален израз съответства на по-голяма стойност на корена.

7. Всички горни формули често се използват в обратен ред(т.е. от дясно на ляво). Например,

(правило за умножение на корените);

(правило за разделяне на корена);

8. Правилото за премахване на множителя под знака за корен. При

9. Обратната задача е въвеждане на множител под знака на корена. Например,

10. Отстраняване на ирационалност в знаменателя на дроб.

Нека да разгледаме някои типични случаи.

• Значение на думата Обяснете значението на думите: закон, лихвар, роб-длъжник. Обяснете значението на думите: закон, лихвар, роб-длъжник. ВКУСНА ЯГОДА (Гост) Училища Въпроси по темата 1. На какви 3 вида се делят […]
• Имате ли нужда от разрешение за използване на радио в кола? къде мога да го прочета? Във всеки случай трябва да регистрирате вашата радиостанция. Уоки-токитата, които работят на честота 462MHz, ако не сте представител на МВР, не са […]
• Единна данъчна ставка - 2018 Единната данъчна ставка - 2018 за предприемачи-физически лица от първа и втора група се изчислява като процент от издръжката на живота и минималната работна заплата, установена от 1 януари […]
• Авто застраховка ГАРАНЦИЯ ЗА ЗАКОННОСТ. Решихте ли сами да създадете имейл адрес на OSAGO, но нищо не ви се получава? Не се паникьосвайте! !!Ще въведа всички необходими данни в електронното заявление за застраховка за вас […]
• Процедурата за изчисляване и плащане на акциз Акцизът е един от косвените данъци върху стоките и услугите, който се включва в тяхната цена. Акцизът се различава от ДДС по това, че се налага върху […]
• Приложение. Правила за земеползване и развитие на град Ростов на Дон Приложение към решението на Градската дума от 17 юни 2008 г. N 405 Правила за земеползване и развитие на град Ростов на Дон С измененията и [… ]

Например,

11. Приложение на тъждества със съкратено умножение към операции с аритметични корени:

12. Факторът пред корена се нарича негов коефициент. Например тук 3 е коефициентът.

13. Корените (радикалите) се наричат ​​подобни, ако имат еднакви коренни индекси и еднакви радикални изрази и се различават само по коефициента. За да прецените дали тези корени (радикали) са подобни или не, трябва да ги редуцирате до най-простата им форма.

Например, и са подобни, тъй като

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯ

1. Опростете изразите:

Решение. 1) Няма смисъл да се умножава радикалният израз, тъй като всеки от множителите представлява квадрат на цяло число. Нека използваме правилото за извличане на корена на продукт:

В бъдеще ще извършваме такива действия устно.

2) Нека се опитаме, ако е възможно, да представим радикалния израз като произведение на фактори, всеки от които е куб на цяло число, и да приложим правилото за корена на продукта:

2. Намерете стойността на израза:

Решение. 1) Според правилото за извличане на корен от дроб имаме:

3) Трансформирайте радикалните изрази и извлечете корена:

3. Опростете кога

Решение. При извличане на корен от корен, индикаторите на корените се умножават, но радикалният израз остава непроменен

Ако има коефициент пред корена, разположен под корена, тогава преди да извършите операцията по извличане на корена, въведете този коефициент под знака на радикала, пред който се появява.

Въз основа на горните правила, нека извлечем последните два корена:

4. Повдигнете на степен:

Решение. При повдигане на корен на степен, показателят на корена остава непроменен, а показателите на радикалния израз се умножават по показателя.

(тъй като е дефинирано, тогава );

Ако даден корен има коефициент, тогава този коефициент се повдига на степен отделно и резултатът се записва като коефициент на корена.

Тук използвахме правилото, че индикаторът на корена и индикаторът на радикалния израз могат да бъдат умножени по едно и също число (ние умножихме по, т.е. разделихме на 2).

Например, или

4) Изразът в скоби, представляващ сумата от два различни радикала, е кубичен и опростен:

Тъй като имаме:

5. Елиминирайте ирационалността в знаменателя:

Решение. За да премахнете (унищожите) ирационалността в знаменателя на дроб, трябва да намерите най-простия израз, който в продукт със знаменател дава рационален израз, и да умножите числителя и знаменателя на тази дроб по намерения фактор.

Например, ако знаменателят на дроб съдържа бином, тогава числителят и знаменателят на дробта трябва да бъдат умножени по израза, спрегнат на знаменателя, тоест сумата трябва да бъде умножена по съответната разлика и обратно.

В по-сложните случаи ирационалността не се унищожава веднага, а на няколко етапа.

1) Изразът трябва да съдържа

Умножавайки числителя и знаменателя на дробта по, получаваме:

2) Умножавайки числителя и знаменателя на дробта по частичния квадрат на сумата, получаваме:

3) Нека приведем дробите към общ знаменател:

Когато решаваме този пример, трябва да имаме предвид, че всяка дроб има значение, тоест знаменателят на всяка дроб е различен от нула. Освен това,

При преобразуване на изрази, съдържащи радикали, често се допускат грешки. Те са причинени от невъзможността да се приложи правилно концепцията (дефиницията) за аритметичен корен и абсолютна стойност.

Правила за изваждане на корени

Изчислете стойността на израз

Решение.

Обяснение.
За да свиете радикалния израз, представете си числото 31 във втория фактор в неговия радикален израз като сбор от 15+16. (ред 2)

След трансформацията е ясно, че сумата във втория радикален израз може да бъде представена като квадрат на сумата с помощта на формулите за съкратено умножение. (ред 3)

Сега си представете всеки корен от на тази работакато степен. (ред 4)

Нека опростим израза (ред 5)

Тъй като степента на продукта е равна на произведението на степените на всеки от факторите, ние го представяме съответно (ред 6)

Както можете да видите, използвайки формулите за съкратено умножение, имаме разликата между квадратите на две числа. Оттам изчисляваме стойността на израза (ред 7)

Изчислете стойността на израза.

Решение.

Обяснение.

Използваме свойствата на корена, че коренът на произволна степен на частно число е равен на частното на корените на тези числа (ред 2)

Коренът на произволна степен на число със същата степен е равен на това число (ред 3)

Нека извадим минуса от скобите на първия фактор. В този случай всички знаци в скобите ще се променят на противоположни (ред 4)

Нека извършим съкращаване на дроби (ред 5)

Нека си представим числото 729 като квадрат на числото 27, а числото 27 като куб на числото 3. Оттам получаваме стойността на радикалния израз.

Корен квадратен. Първо ниво.

Искате ли да изпробвате силата си и да разберете резултата от това колко сте готови за Единния държавен изпит или Единния държавен изпит?

1. Въведение в понятието аритметичен квадратен корен

Квадратният корен (аритметичен квадратен корен) на неотрицателно число е такова неотрицателно число отрицателно число, чийто квадрат е равен на.
.

Числото или изразът под знака за корен трябва да е неотрицателен

2. Таблица с квадрати

3. Свойства на аритметичния корен квадратен

Въведение в понятието аритметичен квадратен корен

Нека се опитаме да разберем какво представлява понятието „корен“ и „с какво се яде“. За да направите това, нека да разгледаме примери, които вече сте срещнали в клас (е, или тепърва ще се сблъскате с това).

Например, имаме уравнение. Какво е решението на това уравнение? Какви числа могат да бъдат повдигнати на квадрат и получени? Спомняйки си таблицата за умножение, можете лесно да дадете отговора: и (в крайна сметка, когато се умножават две отрицателни числа, се получава положително число)! За да опростят, математиците въведоха специалното понятие квадратен корен и му присвоиха специален символ.

Нека дефинираме аритметичния корен квадратен.

Защо числото трябва да е неотрицателно? Например на какво е равно? Добре, добре, нека се опитаме да изберем един. Може би три? Да проверим: , не. Може би, ? Отново проверяваме: . Е, не се вписва? Това е очаквано – защото няма числа, които при повдигане на квадрат да дават отрицателно число!

Вероятно обаче вече сте забелязали, че дефиницията казва, че решението на корен квадратен от „число е такова неотрицателно число, чийто квадрат е равен на ”. И в самото начало анализирахме примера, избрахме числа, които могат да бъдат повдигнати на квадрат и получени, отговорът беше и, но тук говорим за някакво „неотрицателно число“! Тази забележка е съвсем уместна. Тук просто трябва да правите разлика между понятията квадратни уравнения и аритметичния корен квадратен от число. Например, не е еквивалентно на израза.

И това следва.

Разбира се, това е много объркващо, но е необходимо да запомните, че знаците са резултат от решаването на уравнението, тъй като при решаването на уравнението трябва да запишем всички X, които, когато бъдат заменени в оригиналното уравнение, ще дадат правилен резултат. И двете се вписват в нашето квадратно уравнение.

Въпреки това, ако просто вземете корен квадратен от нещо, винаги получавате един неотрицателен резултат.

Сега се опитайте да решите това уравнение. Вече не всичко е толкова просто и гладко, нали? Опитайте да прегледате числата, може би нещо ще се получи?

Да започнем от самото начало - от нулата: - не става, продължавай; – по-малко от три, ние също го отхвърляме, но какво, ако? Да проверим: – също не се вписва, защото това е повече от три. Същата е и с отрицателните числа. И така, какво да правим сега? Наистина ли търсенето не ни даде нищо? Съвсем не, сега знаем със сигурност, че отговорът ще бъде някакво число между и, както и между и. Също така, очевидно решенията няма да бъдат цели числа. Освен това те не са рационални. И така, какво следва? Нека начертаем функцията и да отбележим решенията върху нея.

Нека се опитаме да заблудим системата и да получим отговора с помощта на калкулатор! Нека извадим корена от това! О-о-о, оказва се, че този номер никога не свършва. Как да го запомниш, след като на изпита няма да има калкулатор!? Всичко е много просто, не е нужно да го помните, просто трябва да запомните (или да можете бързо да прецените) приблизителната стойност. и самите отговори. Такива числа се наричат ​​ирационални; за да се опрости писането на такива числа, беше въведена концепцията за квадратен корен.
Нека да разгледаме друг пример, за да подкрепим това. Нека разгледаме следната задача: трябва да пресечете квадратно поле със страна km по диагонал, колко km трябва да изминете?

Най-очевидното нещо тук е да разгледаме триъгълника отделно и да използваме Питагоровата теорема: . По този начин, . И така, какво е необходимото разстояние тук? Очевидно разстоянието не може да бъде отрицателно, получаваме това. Коренът от две е приблизително равен, но, както отбелязахме по-рано, - вече е пълен отговор.

Извличане на корен

За да решавате примери с корени, без да създавате проблеми, трябва да ги видите и разпознаете. За да направите това, трябва да знаете поне квадратите на числата от до, както и да можете да ги разпознавате.

Тоест, трябва да знаете какво е равно на квадрат, а също и, обратно, какво е равно на квадрат. Първоначално тази таблица ще ви помогне да извлечете корена.

Щом решите достатъчно количествопримери, тогава необходимостта от него автоматично ще изчезне.
Опитайте сами да намерите корен квадратен от следните изрази:

Е, как се получи? Сега нека да разгледаме тези примери:

Свойства на аритметичния квадратен корен

Сега знаете как да извличате корени, време е да научите за свойствата на аритметичния квадратен корен. Има само 3 от тях:

• умножение;
• разделяне;
• степенуване.

Те просто са много лесни за запомняне с помощта на тази таблица и, разбира се, обучение:

Как да решим
квадратни уравнения

В предишните уроци разгледахме „Как да решаваме линейни уравнения“, тоест уравнения от първа степен. В този урок ще разгледаме това, което се нарича квадратно уравнениеи как да го решим.

Какво е квадратно уравнение?

Степента на уравнението се определя от най-високата степен, на която стои неизвестното.

Ако максималната степен, в която неизвестното е „2“, тогава имате квадратно уравнение.

Примери за квадратни уравнения

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

За да намерите „a“, „b“ и „c“, трябва да сравните вашето уравнение с общата форма на квадратното уравнение „ax 2 + bx + c = 0“.

Нека се упражним да идентифицираме коефициентите "a", "b" и "c" в квадратни уравнения.

• а = 5
• b = −14
• c = 17

• a = −7
• b = −13
• c = 8

• a = −1
• b = 1

• а = 1
• b = 0,25
• c = 0

• а = 1
• b = 0
• c = −8

Как се решават квадратни уравнения

За разлика от линейните уравнения, за решаване на квадратни уравнения се използва специален метод. формула за намиране на корени.

За да решите квадратно уравнение, трябва:

• редуцирайте квадратното уравнение до общ вид"ax 2 + bx + c = 0". Тоест от дясната страна трябва да остане само „0“;
• използвайте формула за корени:

Нека да разгледаме пример как да използваме формулата за намиране на корените на квадратно уравнение. Нека решим квадратно уравнение.

Уравнението „x 2 − 3x − 4 = 0“ вече е сведено до общата форма „ax 2 + bx + c = 0“ и не изисква допълнителни опростявания. За да го разрешим, просто трябва да кандидатстваме формула за намиране на корените на квадратно уравнение.

Нека определим коефициентите "a", "b" и "c" за това уравнение.

• а = 1
• b = −3
• c = −4

Нека ги заместим във формулата и да намерим корените.

Не забравяйте да запомните формулата за намиране на корени.

Може да се използва за решаване на всяко квадратно уравнение.

Нека да разгледаме друг пример за квадратно уравнение.

В тази форма е доста трудно да се определят коефициентите "a", "b" и "c". Нека първо редуцираме уравнението до общата форма “ax 2 + bx + c = 0”.

Сега можете да използвате формулата за корените.

Има моменти, когато квадратните уравнения нямат корени. Тази ситуация възниква, когато формулата съдържа отрицателно число под корена.

Спомняме си от определението за квадратен корен, че е невъзможно да се извади квадратен корен от отрицателно число.

Помислете за пример за квадратно уравнение, което няма корени.

И така, имаме ситуация, в която коренът има отрицателно число. Това означава, че уравнението няма корени. Затова в отговор написахме „Няма истински корени“.

Какво означават думите „няма истински корени“? Защо не можете да напишете просто "без корени"?

Всъщност в такива случаи има корени, но в рамките училищна програмате не могат да бъдат предадени, така че в отговор записваме, че сред реалните числа няма корени. С други думи, „Няма истински корени“.

Непълни квадратни уравнения

Понякога има квадратни уравнения, в които коефициентите “b” и/или “c” отсъстват явно. Например в това уравнение:

Такива уравнения се наричат ​​непълни квадратни уравнения. Как да ги решим се обсъжда в урока „Непълни квадратни уравнения“.

Факт 1.
\(\bullet\) Нека вземем някакво неотрицателно число \(a\) (т.е. \(a\geqslant 0\) ). Тогава (аритметика) корен квадратенот числото \(a\) се нарича такова неотрицателно число \(b\), когато на квадрат получаваме числото \(a\): \[\sqrt a=b\quad \text(същото като )\quad a=b^2\]От определението следва, че \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Тези ограничения са важно условиесъществуването на квадратен корен и те трябва да се запомнят!
Не забравяйте, че всяко число, когато е на квадрат, дава неотрицателен резултат. Тоест \(100^2=10000\geqslant 0\) и \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) На какво е равно \(\sqrt(25)\)? Знаем, че \(5^2=25\) и \((-5)^2=25\) . Тъй като по дефиниция трябва да намерим неотрицателно число, тогава \(-5\) не е подходящо, следователно \(\sqrt(25)=5\) (тъй като \(25=5^2\) ).
Намирането на стойността на \(\sqrt a\) се нарича извличане на корен квадратен от числото \(a\) , а числото \(a\) се нарича радикален израз.
\(\bullet\) Въз основа на дефиницията, израз \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\) и т.н. нямат смисъл.

Факт 2.
За бързо изчислениеЩе бъде полезно да научите таблицата на квадратите на естествените числа от \(1\) до \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \край (масив)\]

Факт 3.
Какви операции можете да правите с квадратни корени?
\(\bullet\) Сборът или разликата от корени квадратни НЕ Е РАВЕН на корен квадратен от сбора или разликата, т.е. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]По този начин, ако трябва да изчислите, например, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , тогава първоначално трябва да намерите стойностите на \(\sqrt(25)\) и \(\ sqrt(49)\ ) и след това ги сгънете. следователно \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Ако стойностите \(\sqrt a\) или \(\sqrt b\) не могат да бъдат намерени при добавяне на \(\sqrt a+\sqrt b\), тогава такъв израз не се трансформира допълнително и остава такъв, какъвто е. Например в сумата \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) можем да намерим \(\sqrt(49)\) е \(7\) , но \(\sqrt 2\) не може да се трансформира в както и да е, Ето защо \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). За съжаление, този израз не може да бъде допълнително опростен\(\bullet\) Произведението/частното от корен квадратен е равно на корен квадратен от произведението/частното, т.е. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (при условие, че и двете страни на равенствата имат смисъл)
Пример: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Използвайки тези свойства, е удобно да намерите квадратния корен на големи числакато ги факторизираме.
Нека разгледаме един пример. Нека намерим \(\sqrt(44100)\) . Тъй като \(44100:100=441\) , тогава \(44100=100\cdot 441\) . Според критерия за делимост числото \(441\) се дели на \(9\) (тъй като сборът от цифрите му е 9 и се дели на 9), следователно \(441:9=49\), т.е. \(441=9\ cdot 49\) .
Така получихме: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\]Нека да разгледаме друг пример: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Нека покажем как да въвеждаме числа под знака за квадратен корен, използвайки примера на израза \(5\sqrt2\) (кратка нотация за израза \(5\cdot \sqrt2\)). Тъй като \(5=\sqrt(25)\) , тогава \ Имайте предвид също, че напр.
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Защо така? Нека обясним с пример 1). Както вече разбирате, не можем по някакъв начин да трансформираме числото \(\sqrt2\). Нека си представим, че \(\sqrt2\) е някакво число \(a\) . Съответно, изразът \(\sqrt2+3\sqrt2\) не е нищо повече от \(a+3a\) (едно число \(a\) плюс още три от същите числа \(a\)). И ние знаем, че това е равно на четири такива числа \(a\) , тоест \(4\sqrt2\) .

Факт 4.
\(\bullet\) Те често казват „не можете да извлечете корена“, когато не можете да се отървете от знака \(\sqrt () \ \) на корена (радикал), когато намирате стойността на число . Например, можете да вземете корена на числото \(16\), защото \(16=4^2\) , следователно \(\sqrt(16)=4\) . Но е невъзможно да се извлече коренът на числото \(3\), тоест да се намери \(\sqrt3\), защото няма число, което на квадрат да даде \(3\) .
Такива числа (или изрази с такива числа) са ирационални. Например числа \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\)и така нататък. са ирационални.
Също ирационални са числата \(\pi\) (числото "pi", приблизително равно на \(3.14\)), \(e\) (това число се нарича число на Ойлер, то е приблизително равно на \(2.7 \)) и т.н.
\(\bullet\) Моля, имайте предвид, че всяко число ще бъде рационално или ирационално. И заедно всички са рационални и всичко ирационални числаобразуват множество, наречено набор от реални числа.Този набор се обозначава с буквата \(\mathbb(R)\) .
Това означава, че всички номера, които са на този моментзнаем, че се наричат ​​реални числа.

Факт 5.
\(\bullet\) Модул реално число\(a\) е неотрицателно число \(|a|\), равно на разстоянието от точката \(a\) до \(0\) на реалната права. Например \(|3|\) и \(|-3|\) са равни на 3, тъй като разстоянията от точките \(3\) и \(-3\) до \(0\) са същото и равно на \(3 \) .
\(\bullet\) Ако \(a\) е неотрицателно число, тогава \(|a|=a\) .
Пример: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Ако \(a\) е отрицателно число, тогава \(|a|=-a\) .
Пример: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Казват, че за отрицателните числа модулът „изяжда“ минуса, докато положителните числа, както и числото \(0\), остават непроменени от модула.
НОТова правило важи само за числа. Ако под вашия знак за модул има неизвестно \(x\) (или друго неизвестно), например \(|x|\) , за което не знаем дали е положително, нула или отрицателно, тогава се отървете на модула не можем. В този случай този израз остава същият: \(|x|\) . \(\bullet\) Важат следните формули: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \текст( предоставен) a\geqslant 0\]Много често се допуска следната грешка: казват, че \(\sqrt(a^2)\) и \((\sqrt a)^2\) са едно и също. Това е вярно само ако \(a\) е положително число или нула. Но ако \(a\) е отрицателно число, тогава това е невярно. Достатъчно е да разгледаме този пример. Нека вземем вместо \(a\) числото \(-1\) . Тогава \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , но изразът \((\sqrt (-1))^2\) изобщо не съществува (в края на краищата, невъзможно е да се използва знакът за корен с отрицателни числа!).
Затова насочваме вниманието ви към факта, че \(\sqrt(a^2)\) не е равно на \((\sqrt a)^2\) !Пример: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), защото \(-\sqrt2<0\) ;

\(\фантом(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Тъй като \(\sqrt(a^2)=|a|\) , тогава \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (изразът \(2n\) означава четно число)
Тоест, когато вземем корена на число, което е на някаква степен, тази степен се намалява наполовина.
Пример:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (имайте предвид, че ако модулът не е доставен, се оказва, че коренът на числото е равен на \(-25\ ) ; но помним, че по дефиниция на корен това не може да се случи: когато извличаме корен, винаги трябва да получаваме положително число или нула)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (тъй като всяко число на четна степен е неотрицателно)

Факт 6.
Как да сравним два квадратни корена?
\(\bullet\) За квадратни корени е вярно: ако \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aПример:
1) сравнете \(\sqrt(50)\) и \(6\sqrt2\) . Първо, нека трансформираме втория израз в \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Така, тъй като \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Между какви цели числа се намира \(\sqrt(50)\)?
Тъй като \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) и \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Нека сравним \(\sqrt 2-1\) и \(0,5\) . Да приемем, че \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((добавете по едно към двете страни))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((квадратиране на двете страни))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(подравнено)\]Виждаме, че сме получили неправилно неравенство. Следователно нашето предположение беше неправилно и \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Обърнете внимание, че добавянето на определено число към двете страни на неравенството не влияе на неговия знак. Умножаването/делението на двете страни на неравенство с положително число също не влияе на неговия знак, но умножението/делението на отрицателно число обръща знака на неравенството!
Можете да поставите на квадрат двете страни на уравнение/неравенство САМО АКО двете страни са неотрицателни. Например, в неравенството от предишния пример можете да поставите на квадрат двете страни, в неравенството \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Трябва да се помни, че \[\begin(aligned) &\sqrt 2\approx 1.4\\ &\sqrt 3\approx 1.7 \end(aligned)\]Познаването на приблизителното значение на тези числа ще ви помогне, когато сравнявате числа! \(\bullet\) За да извлечете корена (ако може да се извлече) от някакво голямо число, което не е в таблицата с квадрати, първо трябва да определите между кои „стотици“ се намира, след това – между кои „ десетки” и след това определете последната цифра на това число. Нека покажем как работи това с пример.
Нека вземем \(\sqrt(28224)\) . Знаем, че \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\) и т.н. Обърнете внимание, че \(28224\) е между \(10\,000\) и \(40\,000\) . Следователно \(\sqrt(28224)\) е между \(100\) и \(200\) .
Сега нека определим между кои „десетки“ се намира нашето число (това е например между \(120\) и \(130\)). Също така от таблицата с квадрати знаем, че \(11^2=121\) , \(12^2=144\) и т.н., след това \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) . Така че виждаме, че \(28224\) е между \(160^2\) и \(170^2\) . Следователно числото \(\sqrt(28224)\) е между \(160\) и \(170\) .
Нека се опитаме да определим последната цифра. Нека си спомним какви едноцифрени числа, когато се повдигнат на квадрат, дават \(4\) в края? Това са \(2^2\) и \(8^2\) . Следователно \(\sqrt(28224)\) ще завършва или на 2, или на 8. Нека проверим това. Нека намерим \(162^2\) и \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Следователно \(\sqrt(28224)=168\) . Ето!

За да решите адекватно Единния държавен изпит по математика, първо трябва да изучите теоретичен материал, който ви запознава с множество теореми, формули, алгоритми и т.н. На пръв поглед може да изглежда, че това е доста просто. Въпреки това намирането на източник, в който теорията за Единния държавен изпит по математика е представена по лесен и разбираем начин за ученици с всякакво ниво на подготовка, всъщност е доста трудна задача. Училищните учебници не винаги могат да бъдат под ръка. И намирането на основни формули за Единния държавен изпит по математика може да бъде трудно дори в Интернет.

Защо е толкова важно да се изучава теория по математика не само за тези, които полагат Единния държавен изпит?

1. Защото разширява хоризонтите ви. Изучаването на теоретичен материал по математика е полезно за всеки, който иска да получи отговори на широк кръг от въпроси, свързани с познанието за света около тях. Всичко в природата е подредено и има ясна логика. Именно това е отразено в науката, чрез която е възможно да се разбере света.
2. Защото развива интелекта. Изучавайки справочни материали за Единния държавен изпит по математика, както и решавайки различни задачи, човек се научава да мисли и разсъждава логично, да формулира мисли компетентно и ясно. Развива способността да анализира, обобщава и прави изводи.

Каним ви лично да оцените всички предимства на нашия подход към систематизирането и представянето на учебни материали.

Свойства на квадратния корен

Досега сме извършили пет аритметични операции с числа: събиране, изваждане, умножение, деление и степенуване, като при изчисленията активно се използват различни свойства на тези операции, например a + b = b + a, an-bn = (ab)n и др.

Тази глава въвежда нова операция - извличане на корен квадратен от неотрицателно число. За да го използвате успешно, трябва да се запознаете със свойствата на тази операция, което ще направим в този раздел.

Доказателство. Нека въведем следната нотация: https://pandia.ru/text/78/290/images/image005_28.jpg" alt="Равенство" width="120" height="25 id=">!}.

Точно така ще формулираме следващата теорема.

(Кратка формулировка, която е по-удобна за използване на практика: коренът на дроб е равен на частта на корените или коренът на частното е равен на частното на корените.)

Този път ще дадем само кратко резюме на доказателството, а вие се опитайте да направите подходящи коментари, подобни на тези, които формират същността на доказателството на теорема 1.

Бележка 3. Разбира се, този пример може да бъде решен по различен начин, особено ако имате под ръка микрокалкулатор: умножете числата 36, 64, 9 и след това вземете квадратния корен от получения продукт. Съгласете се обаче, че предложеното по-горе решение изглежда по-културно.

Бележка 4. При първия метод направихме изчисления „челно“. Вторият начин е по-елегантен:
кандидатствахме формула a2 - b2 = (a - b) (a + b) и използва свойството квадратни корени.

Бележка 5. Някои „горещи глави“ понякога предлагат това „решение“ на Пример 3:

Това, разбира се, не е вярно: виждате - резултатът не е същият като в пример 3. Факт е, че няма свойство https://pandia.ru/text/78/290/images/image014_6.jpg" alt="Задача" width="148" height="26 id=">!}Има само свойства, свързани с умножение и деление на квадратни корени. Бъдете внимателни и внимателни, не приемайте пожелателни мисли.

За да завършим този раздел, нека отбележим още едно доста просто и в същото време важно свойство:
ако a > 0 и n - естествено число , Че

Преобразуване на изрази, съдържащи операция за квадратен корен

Досега сме извършвали само трансформации рационални изрази, използвайки за това правилата за действия върху полиноми и алгебрични дроби, формули за съкратено умножение и др. В тази глава въведохме нова операция- операция за извличане на квадратен корен; установихме това

където, припомнете си, a, b са неотрицателни числа.

Използвайки тези формули, можете да извършвате различни трансформации на изрази, които съдържат операция за квадратен корен. Нека разгледаме няколко примера и във всички примери ще приемем, че променливите приемат само неотрицателни стойности.

Пример 3.Въведете множителя под знака за квадратен корен:

Пример 6. Опростете израза Решение. Нека извършим последователни трансформации: