Na uglovima su trouglovi. Trougao. Kompletne lekcije – Hipermarket znanja

Trokut - definicija i opći pojmovi

Trokut je jednostavan mnogokut koji se sastoji od tri strane i ima isti broj uglova. Njegove ravni su ograničene sa 3 tačke i 3 segmenta koji povezuju ove tačke u paru.

Svi vrhovi bilo kojeg trougla, bez obzira na njegovu vrstu, označeni su velikim slovima sa latiničnim slovima, a njegove strane su prikazane odgovarajućim oznakama suprotnih vrhova, ali ne velikim slovima, ali mali. Tako, na primjer, trokut sa vrhovima označenim A, B i C ima stranice a, b, c.

Ako uzmemo u obzir trokut u Euklidskom prostoru, onda je to takav geometrijska figura, koji je formiran pomoću tri segmenta koji spajaju tri tačke koje ne leže na istoj pravoj liniji.

Pažljivo pogledajte gornju sliku. Na njemu su tačke A, B i C vrhovi ovog trougla, a njegovi segmenti se nazivaju stranicama trougla. Svaki vrh ovog poligona formira uglove unutar njega.

Vrste trouglova

Prema veličini uglova trokuta, oni se dijele na takve vrste kao što su: Pravokutni;
Acute angular;
Tupo.

U pravougaone trokute spadaju oni koji imaju jedan pravi ugao, a druga dva oštre.

Oštri trouglovi su oni kod kojih su svi uglovi oštri.

A ako trokut ima jedan tup ugao, a druga dva oštra ugla, onda je takav trokut klasifikovan kao tup.

Svako od vas savršeno dobro razumije da nemaju svi trouglovi jednake strane. A prema dužini njegovih stranica, trokuti se mogu podijeliti na:

Isosceles;
Equilateral;
Svestran.

Zadatak: Nacrtajte različite vrste trouglova. Definišite ih. Kakvu razliku vidite između njih?

Osnovna svojstva trouglova

Iako se ovi jednostavni poligoni mogu razlikovati jedan od drugog po veličini svojih uglova ili stranica, svaki trokut ima osnovna svojstva koja su karakteristična za ovu figuru.

U bilo kom trouglu:

Ukupan zbir svih njegovih uglova je 180º.
Ako pripada jednakostranici, onda je svaki od njegovih uglova 60º.
Jednakostranični trougao ima jednake i jednake uglove.
Što je manja stranica mnogougla, manji je ugao nasuprot njemu, i obrnuto, veći je ugao nasuprot većoj strani.
Ako su stranice jednake, onda su nasuprot njima jednakih uglova, i obrnuto.
Ako uzmemo trokut i produžimo njegovu stranu, na kraju ćemo dobiti vanjski ugao. Jednaka je zbiru unutrašnjih uglova.
U bilo kojem trokutu, njegova stranica, bez obzira koju odaberete, i dalje će biti manja od zbroja druge 2 stranice, ali više od njihove razlike:

1.a< b + c, a >b–c;
2.b< a + c, b >a–c;
3. c< a + b, c >a–b.

Vježbajte

U tabeli su prikazana već poznata dva ugla trougla. Znajući ukupan zbir svih uglova, pronađite koliko je jednak treći ugao trokuta i unesite ga u tabelu:

1. Koliko stepeni ima treći ugao?
2. Kojoj vrsti trougla pripada?

Testovi za ekvivalentnost trouglova

Potpisujem

II sign

III sign

Visina, simetrala i medijana trougla

Visina trougla - okomice povučene iz vrha figure na njegovu suprotnu stranu naziva se visina trokuta. Sve visine trougla seku se u jednoj tački. Tačka preseka sve 3 visine trougla je njegov ortocentar.

Segment povučen iz datog vrha i povezuje ga na sredini suprotne strane je medijan. Medijane, kao i visine trougla, imaju jednu zajedničku tačku preseka, takozvano težište trougla ili težište.

Simetrala trougla je segment koji povezuje vrh ugla i tačku na suprotnoj strani, a takođe deli ovaj ugao na pola. Sve simetrale trougla sijeku se u jednoj tački, koja se naziva središte kružnice upisane u trokut.

Segment koji spaja sredine 2 strane trougla naziva se srednja linija.

Istorijska referenca

Figura kao što je trougao bila je poznata još u antičko doba. Ova figura i njena svojstva spominju se na egipatskim papirusima prije četiri hiljade godina. Nešto kasnije, zahvaljujući Pitagorinoj teoremi i Heronovoj formuli, proučavanje svojstava trokuta prešlo se na više visoki nivo, ali ipak, ovo se dogodilo prije više od dvije hiljade godina.

U 15. – 16. vijeku počelo se provoditi mnoga istraživanja o svojstvima trougla, i kao rezultat toga, nastala je nauka poput planimetrije, koja je nazvana „nova geometrija trougla“.

Ruski naučnik N. I. Lobačevski dao je ogroman doprinos poznavanju svojstava trouglova. Njegovi radovi su kasnije našli primenu u matematici, fizici i kibernetici.

Zahvaljujući poznavanju svojstava trouglova, nastala je takva nauka kao što je trigonometrija. Pokazalo se da je to bilo potrebno za osobu u njegovim praktičnim potrebama, jer je njegova upotreba jednostavno neophodna pri sastavljanju karata, mjerenja područja, pa čak i pri dizajniranju različitih mehanizama.

Koji je najbolji? poznati trougao Ti znaš? Ovo je naravno Bermudski trougao! Ime je dobio 50-ih godina jer geografska lokacija tačke (vrhovi trougla), unutar kojih su, prema postojećoj teoriji, nastale povezane anomalije. Vrhovi Bermudskog trougla su Bermuda, Florida i Portoriko.

Zadatak: O čemu su teorije Bermudski trokut da li si čuo?

Da li ste znali da u teoriji Lobačevskog, kada se sabiraju uglovi trougla, njihov zbir uvijek ima rezultat manji od 180º. U Rimanovoj geometriji, zbir svih uglova trougla je veći od 180º, a u Euklidovim radovima jednak je 180 stepeni.

Zadaća

Riješite križaljku na zadatu temu

Pitanja za ukrštenicu:

1. Kako se zove okomica koja je povučena iz vrha trougla na pravu liniju koja se nalazi na suprotnoj strani?
2. Kako, jednom riječju, možete nazvati zbir dužina stranica trougla?
3. Imenuj trougao čije su dvije stranice jednake?
4. Imenuj trougao čiji je ugao jednak 90°?
5. Kako se zove najveća stranica trougla?
6. Kako se zove stranica jednakokračnog trougla?
7. U svakom trouglu ih uvijek ima tri.
8. Kako se zove trougao u kojem je jedan od uglova veći od 90°?
9. Naziv segmenta koji povezuje vrh naše figure sa sredinom suprotne strane?
10. U jednostavnom poligonu ABC, veliko slovo I je...?
11. Kako se zove segment koji dijeli ugao trougla na pola?

Pitanja na temu trouglova:

1. Definišite ga.
2. Koliko visina ima?
3. Koliko simetrala ima trougao?
4. Koliki je zbir njegovih uglova?
5. Koje vrste ovog jednostavnog poligona poznajete?
6. Imenujte tačke trouglova koje se nazivaju izuzetnim.
7. Kojim uređajem možete izmjeriti ugao?
8. Ako kazaljke na satu pokazuju 21 sat. Koji ugao čine kazaljke na satu?
9. Pod kojim uglom se osoba okreće ako dobije komandu “lijevo”, “kružno”?
10. Koje druge definicije koje poznajete povezane su sa figurom koja ima tri ugla i tri strane?

Predmeti > Matematika > Matematika 7. razred Znaci jednakosti pravokutnih trougla

Vrste trouglova

Razmotrimo tri tačke koje ne leže na istoj pravoj i tri segmenta koji povezuju ove tačke (slika 1).

Trokut je dio ravnine omeđen ovim segmentima, segmenti se nazivaju stranicama trougla, a krajevi segmenata (tri tačke koje ne leže na istoj pravoj liniji) su vrhovi trougla.

Tabela 1 navodi sve moguće vrste trouglova zavisno od veličine njihovih uglova .

Tabela 1 - Vrste trouglova u zavisnosti od veličine uglova

Crtanje	Tip trougla	Definicija
	Akutni trougao	Trougao sa svi uglovi su oštri , nazvan akutnim uglom
	Pravokutni trokut	Trougao sa jedan od uglova je pravi , zove se pravougaona
	Tupokutni trokut	Trougao sa jedan od uglova je tup , nazvana tupa

Akutni trougao

definicija: Trougao sa svi uglovi su oštri , nazvan akutnim uglom

Pravokutni trokut

definicija: Trougao sa jedan od uglova je pravi , zove se pravougaona

Tupokutni trokut

definicija: Trougao sa jedan od uglova je tup , nazvana tupa

U zavisnosti od dužine stranica Postoje dvije važne vrste trouglova.

Tabela 2 - Jednakokraki i jednakostranični trouglovi

Crtanje	Tip trougla	Definicija
	Jednakokraki trougao	strane, a treća stranica se zove osnova jednakokračnog trougla
	Jednakostrani (tačno) trougao	Trokut u kojem su sve tri strane jednake naziva se jednakostraničan ili pravilan trokut.

Jednakokraki trougao

definicija: Trougao čije su dvije stranice jednake naziva se jednakokraki trokut. U ovom slučaju se zovu dvije jednake strane strane, a treća stranica se zove osnova jednakokračnog trougla

Jednakostranični (desni) trougao

definicija: Trokut u kojem su sve tri strane jednake naziva se jednakostraničan ili pravilan trokut.

Znakovi jednakosti trouglova

Za trouglove se kaže da su jednaki ako su mogu se kombinovati preklapanjem .

Tabela 3 pokazuje znakove jednakosti trouglova.

Tabela 3 – Znaci jednakosti trouglova

Crtanje	Naziv funkcije	Formulacija atributa
	By dvije strane i ugao između njih
	Test za ekvivalentnost trouglova By stranu i dva susjedna ugla
	Test za ekvivalentnost trouglova By tri stranke

Test za ekvivalentnost trouglova na dvije strane i ugao između njih

Formulacija atributa. Ako su dvije stranice jednog trokuta i ugao između njih jednake dvije stranice drugog trokuta i kut između njih, tada su takvi trokuti podudarni

Test za ekvivalentnost trouglova duž jedne strane i dva susjedna ugla

Formulacija atributa. Ako su stranica i dva susedna ugla jednog trokuta, respektivno, jednaki strani i dva susedna ugla drugog trokuta, onda su takvi trokuti podudarni

Test za ekvivalentnost trouglova na tri strane

Formulacija atributa. Ako su tri strane jednog trokuta respektivno jednake trima stranicama drugog trokuta, onda su takvi trokuti podudarni

Znaci jednakosti pravokutnih trougla

Za zabave pravokutnih trouglova Sljedeća imena se obično koriste.

Hipotenuza je stranica pravouglog trougla koja leži nasuprot pravog ugla (slika 2), druge dvije stranice se nazivaju kracima.

Tabela 4 – Znaci jednakosti pravokutnih trougla

Crtanje	Naziv funkcije	Formulacija atributa
	By dvije strane
	Test jednakosti za pravokutne trougle By nogu i susjednog oštrog ugla
	Test jednakosti za pravokutne trougle By nogu i suprotnog oštrog ugla	Ako su krak i suprotni oštar ugao jednog pravokutnog trokuta, respektivno, jednaki kraku i suprotnom oštrom kutu drugog pravokutnog trokuta, tada su takvi pravokutni trouglovi podudarni
	Test jednakosti za pravokutne trougle By hipotenuzu i oštar ugao	Ako su hipotenuza i oštar ugao jednog pravokutnog trokuta, respektivno, jednaki hipotenuzi i oštrom kutu drugog pravokutnog trokuta, tada su takvi pravokutni trouglovi podudarni
	Test jednakosti za pravokutne trougle By nogu i hipotenuzu	Ako su kateta i hipotenuza jednog pravokutnog trokuta, respektivno, jednake kateta i hipotenuze drugog pravokutnog trokuta, tada su takvi pravokutni trouglovi podudarni

Znak jednakosti pravokutnih trougla na dvije strane

Formulacija atributa. Ako su dvije katete jednog pravokutnog trokuta respektivno jednake dvijema katetama drugog pravokutnog trokuta, onda su takvi pravokutni trouglovi podudarni

Test jednakosti za pravokutne trougle duž noge i susjednog oštrog ugla

Formulacija atributa. Ako su krak i susjedni oštar ugao jednog pravokutnog trokuta, respektivno, jednaki kraku i susjednom oštrom kutu drugog pravokutnog trokuta, tada su takvi pravokutni trouglovi podudarni

Test jednakosti za pravokutne trougle duž noge i suprotnog oštrog ugla

Standardne oznake

Trougao sa vrhovima A, B I C je označen kao (vidi sliku). Trougao ima tri strane:

Dužine stranica trokuta su označene malim latiničnim slovima (a, b, c):

Trougao ima sledeće uglove:

Tradicionalno se označavaju vrijednosti uglova na odgovarajućim vrhovima grčka slova (α, β, γ).

Znakovi jednakosti trouglova

Trokut na euklidovoj ravni može se jednoznačno odrediti (do kongruencije) sljedećim tripletima osnovnih elemenata:

1. a, b, γ (jednakost na dvije strane i ugao koji leži između njih);
2. a, β, γ (jednakost na strani i dva susedna ugla);
3. a, b, c (jednakost na tri strane).

Znakovi jednakosti pravokutnih trougla:

1. duž kraka i hipotenuze;
2. na dvije noge;
3. duž noge i oštri ugao;
4. duž hipotenuze i oštrog ugla.

Neke tačke u trouglu su „uparene“. Na primjer, postoje dvije tačke iz kojih su sve strane vidljive pod uglom od 60° ili pod uglom od 120°. Zovu se Torricelli tačke. Postoje i dvije tačke čije projekcije na stranice leže na vrhovima pravilan trougao. Ovo - Apolonije poentira. Bodovi i slično se zovu Brocard bodovi.

Direktno

U bilo kom trouglu, centar gravitacije, ortocentar i centar opisane kružnice leže na istoj pravoj liniji, tzv. Ojlerova linija.

Zove se prava linija koja prolazi kroz centar opisane kružnice i Lemoineovu tačku Brocardova osovina. Apolonijeve tačke leže na njemu. Toričelijeva tačka i tačka Lemoine takođe leže na istoj liniji. Osnove vanjskih simetrala uglova trougla leže na istoj pravoj, tzv. osa vanjskih simetrala. Točke sjecišta linija koje sadrže stranice pravokutnog trougla sa linijama koje sadrže stranice trougla također leže na istoj pravoj. Ova linija se zove ortocentrična osa, ona je okomita na Ojlerovu pravu liniju.

Ako uzmemo tačku na opisanoj kružnici trougla, tada će njene projekcije na stranice trokuta ležati na istoj pravoj liniji, tzv. Simson je strejt ovu tačku. Simsonove linije dijametralno suprotnih tačaka su okomite.

Trouglovi

• Trougao sa vrhovima u osnovima povučenim kroz datu tačku naziva se cevian trougao ovu tačku.
• Trokut sa vrhovima u projekcijama date tačke na stranice naziva se sod ili trougao pedala ovu tačku.
• Trougao sa vrhovima u drugim tačkama preseka pravih povučenih kroz vrhove i date tačke sa opisanom kružnicom naziva se obodnog trougla. Obimni trokut sličan je trokutu busena.

Krugovi

• Upisan krug- krug koji dodiruje sve tri strane trougao. Ona je jedina. Središte upisane kružnice se zove incenter.
• Circumcircle- kružnica koja prolazi kroz sva tri vrha trougla. Opisani krug je također jedinstven.
• Excircle- krug koji dodiruje jednu stranu trougla i nastavak druge dvije stranice. U trouglu postoje tri takva kruga. Njihov radikalni centar je centar upisane kružnice medijalnog trougla, tzv Spikerova tačka.

Sredine tri strane trougla, osnove njegove tri visine i sredine tri segmenta koji povezuju njegove vrhove sa ortocentrom leže na jednoj kružnici koja se naziva krug od devet tačaka ili Ojlerov krug. Središte kružnice od devet tačaka leži na Ojlerovoj liniji. Krug od devet tačaka dodiruje upisanu kružnicu i tri izvanokružnice. Tačka dodira između upisane kružnice i kružnice od devet tačaka naziva se Feuerbach point. Ako iz svakog vrha položimo van trokuta na prave linije koje sadrže stranice, ortoze jednake dužine suprotnim stranama, tada rezultirajućih šest tačaka leži na istoj kružnici - Conway krug. U bilo koji trokut mogu se upisati tri kruga na način da svaki od njih dodiruje dvije strane trougla i dvije druge kružnice. Takvi krugovi se nazivaju Malfatti krugovi. Centri opisanih krugova šest trouglova na koje je trokut podijeljen medijanama leže na jednoj kružnici koja se naziva obim Lamuna.

Trokut ima tri kružnice koje dodiruju dvije strane trougla i opisanu kružnicu. Takvi krugovi se nazivaju poluupisani ili Verrier krugovi. Segmenti koji povezuju tačke dodira Verrijeovih kružnica sa opisanim krugom seku se u jednoj tački tzv. Verrierova poenta. Služi kao centar homotetije, koja pretvara opisanu kružnicu u upisanu kružnicu. Dodirne točke Verrierovih kružnica sa stranicama leže na pravoj liniji koja prolazi središtem upisane kružnice.

Segmenti koji spajaju tačke dodira upisane kružnice sa vrhovima seku se u jednoj tački tzv. Gergonne point, a segmenti koji povezuju vrhove sa tačkama dodira excircles su u Nagel point.

Elipse, parabole i hiperbole

Upisana konika (elipsa) i njena perspektiva

U trokut se može upisati beskonačan broj konika (elipsa, parabola ili hiperbola). Ako proizvoljni konik upišemo u trokut i spojimo tangente sa suprotnim vrhovima, tada će se rezultirajuće prave seći u jednoj tački tzv. prospect kreveti. Za bilo koju tačku ravni koja ne leži na strani ili na njenom produžetku postoji upisana konika sa perspektivom u ovoj tački.

Opisana Steinerova elipsa i ceviani koji prolaze kroz njena žarišta

Možete upisati elipsu u trougao, koji dodiruje stranice u sredini. Takva elipsa se zove upisana Steinerova elipsa(njegova perspektiva će biti težište trougla). Opisana elipsa, koja dodiruje prave koje prolaze kroz vrhove paralelne sa stranicama, naziva se opisano Steinerovom elipsom. Ako transformiramo trokut u pravilan trokut koristeći afinu transformaciju (“koso”), tada će se njegova upisana i opisana Steinerova elipsa transformirati u upisanu i opisanu kružnicu. Chevianove linije povučene kroz žarišta opisane Štajnerove elipse (Scutinove tačke) su jednake (Scutinova teorema). Od svih opisanih elipsa, opisana Steinerova elipsa ima najmanja površina, a od svih upisanih, Steinerova upisana elipsa ima najveću površinu.

Brokarova elipsa i njen perspektiva - Lemoine tačka

Elipsa sa žarištima u Brocardovim tačkama se naziva Brocardova elipsa. Njegova perspektiva je tačka Lemoine.

Svojstva upisane parabole

Kiepertova parabola

Izgledi upisanih parabola leže na opisanoj Steinerovoj elipsi. Fokus upisane parabole leži na opisanoj kružnici, a direktrisa prolazi kroz ortocentar. Parabola upisana u trokut i kojoj je direktrisa Ojlerova direktrisa naziva se Kiepertova parabola. Njegova perspektiva je četvrta tačka preseka opisane kružnice i opisane Štajnerove elipse, tzv. Steiner point.

Kipertova hiperbola

Ako opisana hiperbola prolazi kroz tačku presjeka visina, onda je ona jednakostranična (odnosno, njene asimptote su okomite). Točka presjeka asimptota jednakostranične hiperbole leži na kružnici od devet tačaka.

Transformacije

Ako se prave koje prolaze kroz vrhove i neku tačku koja ne leži na stranicama i njihove produžetke reflektiraju u odnosu na odgovarajuće simetrale, tada će se i njihove slike sjeći u jednoj tački, koja se naziva izogonalno konjugirani originalni (ako tačka leži na opisanoj kružnici, tada će rezultirajuće linije biti paralelne). Mnogi parovi izuzetnih tačaka su izogonalno konjugirani: centar cirkumcentra i ortocentar, centar i Lemoineova tačka, Brocardove tačke. Apolonijeve tačke su izogonalno konjugirane sa Toričelijevim tačkama, a centar upisane kružnice je izogonalno konjugiran sam sa sobom. Pod dejstvom izogonalne konjugacije, prave se pretvaraju u opisane konike, a opisane konike u prave. Dakle, Kiepertova hiperbola i Brocardova os, Jenzabekova hiperbola i Ojlerova prava linija, Feuerbachova hiperbola i linija centara upisanih i opisanih kružnica su izogonalno konjugirane. Opisani krugovi trouglova izogonalno konjugiranih tačaka se poklapaju. Fokusi upisanih elipsa su izogonalno konjugirani.

Ako, umjesto simetričnog ceviana, uzmemo cevian čija je osnova jednako udaljena od sredine stranice koliko i osnova originalnog, tada će se i takvi ceviani ukrštati u jednoj tački. Rezultirajuća transformacija se zove izotomska konjugacija. Također pretvara prave linije u opisane konike. Gergonne i Nagelove tačke su izotomski konjugirane. Kod afine transformacije, izotomski konjugirane tačke se transformišu u izotomski konjugirane tačke. Sa izotomskom konjugacijom, opisana Steinerova elipsa će ići u beskonačno udaljenu pravu liniju.

Ako u segmente odsječene stranicama trokuta od opisane kružnice, upišemo krugove koji dodiruju stranice na osnovima ceviana povučenih kroz određenu tačku, a zatim spojimo tangente tih kružnica s opisanom kružnicom sa suprotnim vrhovima, tada će se takve prave seći u jednoj tački. Poziva se ravna transformacija koja odgovara originalnoj tački sa rezultujućom izokružna transformacija. Kompozicija izogonalnih i izotomskih konjugata je sastav izokružne transformacije sa samim sobom. Ova kompozicija je projektivna transformacija, koja ostavlja stranice trokuta na mjestu i pretvara os vanjskih simetrala u pravu liniju u beskonačnosti.

Ako nastavimo stranice Chevian trokuta određene tačke i uzmemo njihove točke presjeka sa odgovarajućim stranicama, tada će rezultirajuće točke presjeka ležati na jednoj pravoj liniji, tzv. trilinear polar polazna tačka. Ortocentrična os je trilinearni pol ortocentra; trilinearni polar centra upisane kružnice je os vanjskih simetrala. Trilinearni polari tačaka koje leže na opisanoj konici seku se u jednoj tački (za opisanu kružnicu ovo je Lemoineova tačka, za opisanu Steinerovu elipsu to je težište). Sastav izogonalnog (ili izotomskog) konjugata i trilinearne polare je transformacija dualnosti (ako tačka izogonalno (izotomski) konjugata s tačkom leži na trilinearnom polaru tačke, tada je trilinearna polarna tačka izogonalno (izotomski) konjugiran s tačkom leži na trilinearnoj polari tačke).

Kocke

Omjeri u trouglu

Bilješka: V ovaj odeljak, , su dužine tri strane trougla, i , , su uglovi koji leže redom nasuprot ove tri strane (suprotni uglovi).

Nejednakost trokuta

U nedegenerisanom trouglu, zbir dužina njegove dve strane je veći od dužine treće strane, u degenerisanom trouglu je jednak. Drugim riječima, dužine stranica trokuta povezane su sljedećim nejednačinama:

Nejednakost trokuta je jedan od aksioma metrike.

Teorema o zbroju ugla trougla

Teorema sinusa

,

gdje je R polumjer kružnice opisane oko trougla. Iz teoreme slijedi da ako je a< b < c, то α < β < γ.

Kosinus teorema

Teorema tangente

Ostali omjeri

Metrički omjeri u trokutu su dati za:

Rješavanje trouglova

Izračunavanje nepoznatih stranica i uglova trougla na osnovu poznatih se istorijski nazivalo „rešavanje trougla“. Koriste se gornje opće trigonometrijske teoreme.

Površina trougla

Posebni slučajevi Notacija

Za područje važe sljedeće nejednakosti:

Izračunavanje površine trokuta u prostoru pomoću vektora

Neka vrhovi trokuta budu u tačkama , , .

Hajde da predstavimo vektor površine . Dužina ovog vektora jednaka je površini trokuta, a usmjerena je normalno na ravan trokuta:

Postavimo , gdje su , , projekcije trokuta na koordinatne ravnine. Gde

i slično

Površina trougla je .

Alternativa je izračunavanje dužina stranica (pomoću Pitagorine teoreme), a zatim korištenje Heronove formule.

Teoreme trougla

Desarguesova teorema: ako su dva trokuta perspektivna (prave koje prolaze kroz odgovarajuće vrhove trokuta seku se u jednoj tački), tada im se odgovarajuće stranice sijeku na istoj pravoj.

Sondina teorema: ako su dva trokuta perspektivna i ortologa (okomite povučene iz vrhova jednog trokuta na strane suprotne odgovarajućim vrhovima trokuta, i obrnuto), tada su oba centra ortologije (tačke presjeka ovih okomica) i centar perspektive leže na istoj pravoj liniji, okomitoj na osu perspektive (prava iz Desarguesove teoreme).

Najjednostavniji poligon koji se izučava u školi je trougao. Studentima je razumljivije i nailazi na manje poteškoća. Uprkos činjenici da postoje različite vrste trokuta koji imaju posebna svojstva.

Koji se oblik naziva trougao?

Formiran od tri tačke i segmenta. Prvi se nazivaju vrhovi, drugi se nazivaju stranice. Štaviše, sva tri segmenta moraju biti povezana tako da se između njih formiraju uglovi. Otuda i naziv figure "trokut".

Razlike u imenima po uglovima

Budući da mogu biti oštri, tupi i ravni, vrste trokuta određuju se ovim nazivima. Shodno tome, postoje tri grupe takvih figura.

• Prvo. Ako su svi uglovi trougla oštri, onda će se zvati oštar. Sve je logično.

• Sekunda. Jedan od uglova je tup, što znači da je trokut tup. Ne može biti jednostavnije.

• Treće. Postoji ugao jednak 90 stepeni, koji se naziva pravi ugao. Trougao postaje pravougaonik.

Razlike u imenima sa strane

Ovisno o karakteristikama stranica, razlikuju se sljedeće vrste trokuta:

opšti slučaj je skalena, u kojoj su sve strane proizvoljne dužine;

jednakokraki, čije dvije strane imaju iste numeričke vrijednosti;

jednakostranična, dužine svih njegovih stranica su iste.

Ako problem ne navodi određenu vrstu trokuta, onda morate nacrtati proizvoljan. U kojoj su svi uglovi oštri, a strane imaju različite dužine.

Svojstva zajednička za sve trouglove

1. Ako saberete sve uglove trougla, dobićete broj jednak 180º. I nije bitno koji je tip. Ovo pravilo uvijek vrijedi.
2. Brojčana vrijednost bilo koje strane trougla je manja od druge dvije zbrojene zajedno. Štaviše, veća je od njihove razlike.
3. Svaki vanjski ugao ima vrijednost koja se dobija dodavanjem dva unutrašnja ugla koja mu nisu susjedna. Štaviše, uvijek je veći od unutrašnjeg susjednog.
4. Najmanji ugao je uvijek nasuprot manje stranice trougla. I obrnuto, ako je stranica velika, tada će kut biti najveći.

Ova svojstva su uvijek važeća, bez obzira na to koji se tipovi trouglova razmatraju u zadacima. Sve ostalo proizilazi iz specifičnih karakteristika.

Svojstva jednakokračnog trougla

• Uglovi koji su susedni bazi su jednaki.
• Visina, koja je povučena do baze, je također medijana i simetrala.
• Visine, medijane i simetrale, koje su izgrađene na bočnim stranicama trougla, međusobno su jednake.

Svojstva jednakostraničnog trougla

Ako postoji takva brojka, tada će sva svojstva opisana malo gore biti istinita. Jer će jednakostranična uvijek biti jednakokračna. Ali ne i obrnuto; jednakokraki trokut neće nužno biti jednakostraničan.

• Svi njegovi uglovi su jednaki jedan drugom i imaju vrijednost od 60º.
• Bilo koja medijana jednakostraničnog trougla je njegova visina i simetrala. Štaviše, svi su međusobno jednaki. Za određivanje njihove vrijednosti postoji formula koja se sastoji od proizvoda stranice i kvadratnog korijena iz 3 podijeljenog sa 2.

Svojstva pravouglog trougla

• Zbir dva oštra ugla iznosi 90º.
• Dužina hipotenuze je uvijek veća od dužine bilo kojeg kateta.
• Numerička vrijednost medijane povučene prema hipotenuzi jednaka je njenoj polovini.
• Noga je jednaka istoj vrijednosti ako leži nasuprot ugla od 30º.
• Visina, koja se povlači iz temena sa vrijednošću od 90º, ima određenu matematičku zavisnost od nogu: 1/n 2 = 1/a 2 + 1/b 2. Ovdje: a, b - noge, n - visina.

Problemi sa različitim vrstama trouglova

br. 1. Dat je jednakokraki trokut. Njegov obim je poznat i jednak je 90 cm. Moramo saznati njegove stranice. As dodatni uslov: bočna strana je 1,2 puta manja od osnove.

Vrijednost perimetra direktno ovisi o količinama koje treba pronaći. Zbir sve tri strane će dati 90 cm. Sada morate zapamtiti znak trougla, prema kojem je jednakokračan. To jest, dvije strane su jednake. Možete kreirati jednačinu sa dvije nepoznate: 2a + b = 90. Ovdje je a stranica, b je baza.

Sada je vrijeme za dodatni uslov. Nakon nje, dobija se druga jednačina: b = 1.2a. Ovaj izraz možete zamijeniti prvim. Ispada: 2a + 1,2a = 90. Nakon transformacije: 3,2a = 90. Dakle, a = 28,125 (cm). Sada je lako pronaći osnovu. To je najbolje uraditi iz drugog uslova: b = 1,2 * 28,125 = 33,75 (cm).

Da biste provjerili, možete dodati tri vrijednosti: 28,125 * 2 + 33,75 = 90 (cm). Tako je.

Odgovor: Stranice trougla su 28,125 cm, 28,125 cm, 33,75 cm.

br. 2. Stranica jednakostraničnog trougla je 12 cm, potrebno je izračunati njegovu visinu.

Rješenje. Da biste pronašli odgovor, dovoljno je da se vratite na trenutak u kojem su opisana svojstva trougla. Ovo je formula za pronalaženje visine, medijane i simetrale jednakostraničnog trougla.

n = a * √3 / 2, gdje je n visina, a a strana.

Zamjena i izračun daju sljedeći rezultat: n = 6 √3 (cm).

Nema potrebe da zapamtite ovu formulu. Dovoljno je zapamtiti da visina dijeli trokut na dva pravokutna. Štaviše, ispostavilo se da je noga, a hipotenuza u njoj je strana originalne, drugi krak je polovina poznate strane. Sada morate zapisati Pitagorinu teoremu i izvesti formulu za visinu.

Odgovor: visina je 6 √3 cm.

br. 3. S obzirom da je MKR trougao, u kojem ugao K iznosi 90 stepeni. Poznate su stranice MR i KR, jednake su 30, odnosno 15 cm. Trebamo saznati vrijednost ugla P.

Rješenje. Ako napravite crtež, postaje jasno da je MR hipotenuza. Štaviše, dvostruko je veća od strane KR. Opet se trebate obratiti na svojstva. Jedan od njih ima veze sa uglovima. Iz njega je jasno da je KMR ugao 30º. To znači da će željeni ugao P biti jednak 60º. Ovo proizilazi iz drugog svojstva, koje kaže da zbir dva oštra ugla mora biti jednak 90º.

Odgovor: ugao P je 60º.

br. 4. Moramo pronaći sve uglove jednakokračnog trougla. Za to je poznato da je vanjski ugao od ugla pri osnovici 110º.

Rješenje. Pošto je dat samo vanjski ugao, to je ono što trebate koristiti. Sa unutrašnjim formira nesavijeni ugao. To znači da će ukupno dati 180º. Odnosno, ugao u osnovi trougla će biti jednak 70º. Pošto je jednakokraki, drugi ugao ima istu vrijednost. Ostaje izračunati treći ugao. Prema svojstvu zajedničkom za sve trouglove, zbir uglova je 180º. To znači da će treći biti definisan kao 180º - 70º - 70º = 40º.

Odgovor: uglovi su 70º, 70º, 40º.

br. 5. Poznato je da u jednakokraki trougao Ugao nasuprot osnovice je 90º. Na bazi je označena tačka. Segment koji ga povezuje s pravim uglom dijeli ga u omjeru 1 prema 4. Trebate saznati sve uglove manjeg trougla.

Rješenje. Jedan od uglova se može odmah odrediti. Pošto je trougao pravougao i jednakokrak, oni koji leže u njegovoj osnovi biće svaki po 45º, odnosno 90º/2.

Drugi od njih će vam pomoći da pronađete relaciju poznatu u stanju. Pošto je jednako 1 do 4, dijelovi na koje je podijeljen su samo 5. To znači da je za pronalaženje manjeg ugla trougla potrebno 90º/5 = 18º. Ostaje da saznamo treće. Da biste to učinili, trebate oduzeti 45º i 18º od 180º (zbir svih uglova trougla). Proračuni su jednostavni i dobijate: 117º.