Kako promijeniti bazu logaritma. Svojstva logaritama i primjeri njihovih rješenja. Sveobuhvatni vodič (2019.)

Slijedi iz njegove definicije. I tako logaritam broja b na osnovu A definira se kao eksponent na koji se broj mora podići a da dobijem broj b(logaritam postoji samo za pozitivne brojeve).

Iz ove formulacije proizilazi da je proračun x=log a b, je ekvivalentno rješavanju jednačine a x =b. Na primjer, log 2 8 = 3 jer 8 = 2 3 . Formulacija logaritma omogućava da se opravda ako b=a c, zatim logaritam broja b na osnovu a jednaki With. Takođe je jasno da je tema logaritama usko povezana sa temom stepena broja.

Sa logaritmima, kao i sa svakim brojevima, možete operacije sabiranja, oduzimanja i transformisati na svaki mogući način. Ali zbog činjenice da logaritmi nisu sasvim obični brojevi, ovdje vrijede njihova posebna pravila, koja se nazivaju glavna svojstva.

Sabiranje i oduzimanje logaritama.

Uzmimo dva logaritma sa istim osnovama: log a x I log a y. Tada je moguće izvršiti operacije sabiranja i oduzimanja:

log a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

log a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = log a x 1 + log a x 2 + log a x 3 + ... + log a x k.

Od logaritamski kvocijent teorema Može se dobiti još jedno svojstvo logaritma. Opšte je poznato da log a 1= 0, dakle

log a 1 /b=log a 1 - log a b= - log a b.

To znači da postoji jednakost:

log a 1 / b = - log a b.

Logaritmi dva recipročna broja iz istog razloga će se međusobno razlikovati isključivo po znaku. dakle:

Log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

Date su osnovne osobine prirodnog logaritma, graf, oblast definicije, skup vrijednosti, osnovne formule, izvod, integral, proširenje niza stepena i reprezentacija funkcije ln x pomoću kompleksnih brojeva.

Definicija

Prirodni logaritam je funkcija y = ln x, inverzno od eksponencijala, x = e y, i logaritam je osnovice broja e: ln x = log e x.

Prirodni logaritam se široko koristi u matematici jer njegov izvod ima najjednostavniji oblik: (ln x)′ = 1/ x.

Na osnovu definicije, baza prirodnog logaritma je broj e:
e ≅ 2.718281828459045...;
.

Grafikon funkcije y = ln x.

Grafikon prirodnog logaritma (funkcije y = ln x) se dobija iz eksponencijalnog grafa refleksijom ogledala u odnosu na pravu liniju y = x.

Prirodni logaritam je definiran za pozitivne vrijednosti varijable x. Ono se monotono povećava u svom domenu definicije.

Na x → 0 granica prirodnog logaritma je minus beskonačnost (-∞).

Kako je x → + ∞, granica prirodnog logaritma je plus beskonačnost (+ ∞). Za veliki x, logaritam raste prilično sporo. Svaka funkcija stepena x a s pozitivnim eksponentom a raste brže od logaritma.

Svojstva prirodnog logaritma

Domen definicije, skup vrijednosti, ekstremi, povećanje, smanjenje

Prirodni logaritam je monotono rastuća funkcija, tako da nema ekstrema. Glavna svojstva prirodnog logaritma prikazana su u tabeli.

ln x vrijednosti

ln 1 = 0

Osnovne formule za prirodne logaritme

Formule koje slijede iz definicije inverzne funkcije:

Glavno svojstvo logaritma i njegove posljedice

Formula zamjene baze

Bilo koji logaritam se može izraziti prirodnim logaritmima korištenjem formule zamjene baze:

Dokazi ovih formula su predstavljeni u odeljku "Logaritam".

Inverzna funkcija

Inverzna vrijednost prirodnog logaritma je eksponent.

Ako onda

Ako onda.

Derivat ln x

Derivat prirodnog logaritma:
.
Derivat prirodnog logaritma modula x:
.
Derivat n-tog reda:
.
Izvođenje formula > > >

Integral

Integral se izračunava integracijom po dijelovima:
.
dakle,

Izrazi koji koriste kompleksne brojeve

Razmotrimo funkciju kompleksne varijable z:
.
Izrazimo kompleksnu varijablu z preko modula r i argument φ :
.
Koristeći svojstva logaritma, imamo:
.
Or
.
Argument φ nije jednoznačno definiran. Ako stavite
, gdje je n cijeli broj,
to će biti isti broj za različite n.

Dakle, prirodni logaritam, kao funkcija kompleksne varijable, nije jednoznačna funkcija.

Proširenje serije snaga

Kada dođe do proširenja:

Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente, „Lan“, 2009.

Nastavljamo da proučavamo logaritme. U ovom članku ćemo govoriti o izračunavanje logaritama, ovaj proces se zove logaritam. Prvo ćemo razumjeti izračunavanje logaritama po definiciji. Dalje, pogledajmo kako se vrijednosti logaritama pronalaze pomoću njihovih svojstava. Nakon toga ćemo se fokusirati na izračunavanje logaritama kroz početno navedene vrijednosti drugih logaritama. Na kraju, hajde da naučimo kako koristiti logaritamske tablice. Cijela teorija je opskrbljena primjerima sa detaljnim rješenjima.

Navigacija po stranici.

Izračunavanje logaritama po definiciji

U najjednostavnijim slučajevima moguće je izvesti prilično brzo i lako nalaženje logaritma po definiciji. Pogledajmo bliže kako se ovaj proces odvija.

Njegova suština je da broj b predstavi u obliku a c, iz kojeg je, po definiciji logaritma, broj c vrijednost logaritma. To jest, po definiciji, sljedeći lanac jednakosti odgovara pronalaženju logaritma: log a b=log a a c =c.

Dakle, izračunavanje logaritma po definiciji se svodi na pronalaženje broja c takvog da je a c = b, a sam broj c je željena vrijednost logaritma.

Uzimajući u obzir informacije iz prethodnih paragrafa, kada je broj pod znakom logaritma zadan određenom snagom baze logaritma, možete odmah naznačiti čemu je logaritam jednak - jednak je eksponentu. Pokažimo rješenja na primjerima.

Primjer.

Naći log 2 2 −3 i izračunati prirodni logaritam broja e 5,3.

Rješenje.

Definicija logaritma nam omogućava da odmah kažemo da je log 2 2 −3 =−3. Zaista, broj pod predznakom logaritma jednak je bazi 2 na stepen −3.

Slično, nalazimo drugi logaritam: lne 5.3 =5.3.

odgovor:

log 2 2 −3 =−3 i lne 5,3 =5,3.

Ako broj b ispod znaka logaritma nije naveden kao stepen osnove logaritma, onda morate pažljivo pogledati da li je moguće doći do prikaza broja b u obliku a c. Često je ovaj prikaz prilično očigledan, posebno kada je broj pod znakom logaritma jednak bazi na stepen od 1, ili 2, ili 3, ...

Primjer.

Izračunajte logaritme log 5 25 , i .

Rješenje.

Lako je vidjeti da je 25=5 2, ovo vam omogućava da izračunate prvi logaritam: log 5 25=log 5 5 2 =2.

Pređimo na izračunavanje drugog logaritma. Broj se može predstaviti kao stepen 7: (pogledajte ako je potrebno). dakle, .

Prepišimo treći logaritam sljedeći obrazac. Sada to možete vidjeti , iz čega zaključujemo da . Dakle, po definiciji logaritma .

Ukratko, rješenje bi se moglo napisati na sljedeći način: .

odgovor:

log 5 25=2 , I .

Kada se pod znakom logaritma nalazi dovoljno velika prirodni broj, onda ne bi škodilo da ga uračunate u osnovne faktore. Često pomaže da se takav broj predstavi kao neki stepen baze logaritma i da se stoga izračuna ovaj logaritam po definiciji.

Primjer.

Pronađite vrijednost logaritma.

Rješenje.

Neka svojstva logaritama vam omogućavaju da odmah odredite vrijednost logaritama. Ova svojstva uključuju svojstvo logaritma jedinice i svojstvo logaritma broja jednakog bazi: log 1 1=log a a 0 =0 i log a a=log a a 1 =1. Odnosno, kada se pod znakom logaritma nalazi broj 1 ili broj a jednak osnovici logaritma, tada su u ovim slučajevima logaritmi jednaki 0 i 1, respektivno.

Primjer.

Čemu su jednaki logaritmi i log10?

Rješenje.

Budući da , onda iz definicije logaritma slijedi .

U drugom primjeru, broj 10 pod predznakom logaritma se poklapa sa njegovom bazom, pa je decimalni logaritam od deset jednak jedan, odnosno lg10=lg10 1 =1.

odgovor:

I lg10=1 .

Imajte na umu da izračunavanje logaritama po definiciji (o čemu smo govorili u prethodnom pasusu) podrazumijeva korištenje jednakosti log a a p =p, što je jedno od svojstava logaritama.

U praksi, kada se broj pod znakom logaritma i baza logaritma lako mogu predstaviti kao stepen određenog broja, vrlo je zgodno koristiti formulu , što odgovara jednom od svojstava logaritma. Pogledajmo primjer pronalaženja logaritma koji ilustruje upotrebu ove formule.

Primjer.

Izračunajte logaritam.

Rješenje.

odgovor:

Svojstva logaritama koja nisu pomenuta se takođe koriste u proračunima, ali ćemo o tome govoriti u narednim paragrafima.

Pronalaženje logaritama kroz druge poznate logaritme

Informacije u ovom odlomku nastavljaju na temu korištenja svojstava logaritama prilikom njihovog izračunavanja. Ali ovdje je glavna razlika u tome što se svojstva logaritma koriste za izražavanje originalnog logaritma u terminima drugog logaritma čija je vrijednost poznata. Dajemo primjer za pojašnjenje. Recimo da znamo da je log 2 3≈1,584963, onda možemo pronaći, na primjer, log 2 6 tako što ćemo napraviti malu transformaciju koristeći svojstva logaritma: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

U gornjem primjeru bilo nam je dovoljno koristiti svojstvo logaritma proizvoda. Međutim, mnogo češće je potrebno koristiti širi arsenal svojstava logaritama da bi se kroz zadane izračunao originalni logaritam.

Primjer.

Izračunajte logaritam od 27 do baze 60 ako znate da je log 60 2=a i log 60 5=b.

Rješenje.

Dakle, moramo pronaći log 60 27 . Lako je vidjeti da je 27 = 3 3 , a originalni logaritam, zbog svojstva logaritma stepena, može se prepisati kao 3·log 60 3 .

Sada da vidimo kako izraziti log 60 3 u terminima poznatih logaritama. Svojstvo logaritma broja jednakog bazi omogućava nam da zapišemo log jednakosti 60 60=1. S druge strane, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . dakle, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. dakle, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

Konačno, izračunavamo originalni logaritam: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

odgovor:

log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Odvojeno, vrijedi spomenuti značenje formule za prijelaz na novu bazu logaritma oblika . Omogućuje vam prelazak s logaritma s bilo kojom bazom na logaritme s određenom bazom, čije su vrijednosti poznate ili ih je moguće pronaći. Obično se iz originalnog logaritma, koristeći prelaznu formulu, prelaze na logaritme u jednoj od baza 2, e ili 10, jer za ove baze postoje tablice logaritama koje omogućavaju da se njihove vrijednosti izračunaju s određenim stupnjem tačnost. U sljedećem paragrafu ćemo pokazati kako se to radi.

Logaritamske tablice i njihova upotreba

Za približno izračunavanje vrijednosti logaritma mogu se koristiti logaritamske tablice. Tabela logaritama baze 2 koja se najčešće koristi je tabela prirodni logaritmi i tablicu decimalnih logaritama. Kada radite u decimalnom brojevnom sistemu, zgodno je koristiti tablicu logaritama na bazi deset. Uz njegovu pomoć naučit ćemo pronaći vrijednosti logaritama.

Prikazana tablica vam omogućava da pronađete vrijednosti decimalnih logaritama brojeva od 1.000 do 9.999 (sa tri decimalna mjesta) s točnošću od jedne desetohiljaditinke. Analizirat ćemo princip nalaženja vrijednosti logaritma pomoću tablice decimalnih logaritama u konkretan primjer– tako je jasnije. Nađimo log1.256.

U lijevom stupcu tablice decimalnih logaritama nalazimo prve dvije cifre broja 1.256, odnosno nalazimo 1.2 (ovaj broj je zaokružen plavom bojom radi jasnoće). Treća znamenka broja 1.256 (cifra 5) nalazi se u prvom ili posljednjem redu lijevo od dvostrukog reda (ovaj broj je zaokružen crvenom bojom). Četvrta znamenka originalnog broja 1.256 (cifra 6) nalazi se u prvom ili posljednjem redu desno od dvostrukog reda (ovaj broj je zaokružen zelenom linijom). Sada nalazimo brojeve u ćelijama tabele logaritama na preseku označenog reda i označenih kolona (ovi brojevi su istaknuti narandžasta). Zbir označenih brojeva daje željenu vrijednost decimalnog logaritma sa tačnošću do četvrte decimale, tj. log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

Da li je moguće, koristeći gornju tabelu, pronaći vrijednosti decimalnih logaritama brojeva koji imaju više od tri znamenke iza decimalnog zareza, kao i onih koji izlaze iz raspona od 1 do 9,999? Da, možeš. Pokažimo kako se to radi na primjeru.

Izračunajmo lg102.76332. Prvo treba da zapišete broj u standardnom obliku: 102,76332=1,0276332·10 2. Nakon ovoga, mantisu treba zaokružiti na treću decimalu, imamo 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, dok je originalni decimalni logaritam približno jednak logaritmu rezultirajućeg broja, odnosno uzimamo log102.76332≈lg1.028·10 2. Sada primjenjujemo svojstva logaritma: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Konačno, vrijednost logaritma lg1.028 nalazimo iz tabele decimalnih logaritama lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Kao rezultat, cijeli proces izračunavanja logaritma izgleda ovako: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.

U zaključku, vrijedno je napomenuti da pomoću tablice decimalnih logaritama možete izračunati približnu vrijednost bilo kojeg logaritma. Da biste to učinili, dovoljno je koristiti formulu prijelaza za prelazak na decimalne logaritme, pronaći njihove vrijednosti u tablici i izvršiti preostale proračune.

Na primjer, izračunajmo log 2 3 . Prema formuli za prijelaz na novu bazu logaritma, imamo . Iz tabele decimalnih logaritama nalazimo log3≈0,4771 i log2≈0,3010. dakle, .

Bibliografija.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. i dr. Algebra i počeci analize: Udžbenik za 10. - 11. razred opšteobrazovnih ustanova.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priručnik za one koji upisuju tehničke škole).

*Student master studija pod naučno vođenje Isakhova A. A.,Doktorirao matematičko i kompjutersko modeliranje

Da li ste ikada razmišljali o tome kako su ljudi brojali u davna vremena, kada nije bilo kalkulatora ili kompjutera? Proračuni su rađeni ručno, na papiru ili u mislima. Iako su zadaci s kojima su se suočavali bili složeni kao i moderni.

Odsutnost kompjuteri podstakao je drevne matematičare da pojednostave proračune. Došli su do tablica s već izračunatim izrazima (na primjer, tablica množenja) i tražili načine da složene operacije zamjene jednostavnim. Danas ćemo pričati o jednom takvom “pojednostavljenju” ili o tome kako su ljudi naučili da množenje zamjene sabiranjem, a dijeljenje oduzimanjem. Zahvaljujući tome, izmišljen je logaritam. Da biste razumjeli o čemu se radi, potrebno je napraviti samo tri koraka.

KORAK 1: Pojednostavite i ponovo pojednostavite

Počnimo s jednostavnim primjerom.

2 + 2 = 4

Hajde da zakomplikujemo problem i nađemo zbir pet dvojki.

2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10

I lako smo se nosili sa ovim zadatkom. Šta ako trebate pronaći zbir od 1.000.000 dvojki? Korištenje slične metode proračuna zahtijevat će puno prostora i vremena. Ali lukavi matematičari shvatili su koliko je to lako učiniti. Smislili su operaciju množenja. Pogledajmo kako to izgleda:

2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 128

Da bi pojednostavili ovaj izraz, matematičari su osmislili operaciju eksponencijacije. Jasno je da govorimo o množenju istog broja sam po sebi n puta, zašto ga duplirati i zapisivati iznova i iznova? Nije li lakše to napisati na ovaj način?

Evo A– osnovu diplome, n– eksponent. Time smo značajno skratili snimanje. Bez obzira na vrijednost eksponenta, izraz će izgledati vrlo sažeto:

Michael Stiefel(1487–1567) - Nemački matematičar, dao je značajan doprinos razvoju algebre i njenih oblasti kao što su progresije, eksponencijacija i negativni brojevi. Stiefel je bio prvi koji je koristio koncepte “eksponenta” i “korijena”. Unatoč činjenici da je naučnik zapravo koristio logaritme, slava otkrića pripala je škotskom matematičaru Johnu Napieru (1550-1617).

KORAK 2: Razumjeti svojstva stupnjeva

Kao što smo već rekli, drevni matematičari nisu se opterećivali proračunima svaki put kada su trebali množiti ili sabirati brojeve, već su koristili tabele sa unaprijed izračunatim rezultatima. Veoma udobno! Koristeći sličnu tablicu, njemački matematičar Michael Stiefel uočio zanimljiv obrazac između aritmetičke i geometrijske progresije.

Aritmetička progresija	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Geometrijska progresija	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024
Notacija snage	2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6	2 7	2 8	2 9	2 10

Pokušajmo i nju vidjeti. Uostalom, ovaj obrazac vam omogućava da pojednostavite operacije množenje i dijeljenje. Trebamo izračunati proizvod dva broja:

16 × 64 = ?

Prije nego što počnete s proračunima, pogledajte tabelu i pronađite ove brojeve: ovo su pojmovi geometrijska progresija u koracima od 2. Brojevi iznad njih u gornjem redu: 4 iznad 16; 6 prema 64 su termini aritmetičke progresije. Dodajmo ove brojeve: 4 + 6 = 10. Sada pogledajmo koji je broj ispod broja 10 u drugom redu - 1024. Ali ako završimo naš početni zadatak 16x64, rezultat će biti jednak 1024. To znači da, koristeći tabelu i znajući samo kako sabirati brojeve, lako možete pronaći proizvod.

Sada razmotrite operaciju podjele:

Pogledajte ponovo tabelu i pronađite odgovarajuće brojeve iz gornjeg reda. Dobijamo 10 odnosno 7. Ako kada množimo dodajemo, onda kada dijelimo oduzimamo: 10–7 = 3. Gledamo broj ispod broja 3 u drugom redu, to je 8. Dakle, 1024:128 = 8.

Slično, možete koristiti tablicu za operacije eksponencijalnost i ekstrakcija korijena.

Na primjer, trebamo kvadrirati 32. Gledamo broj iznad 32 u gornjem redu. Dobijamo 5. Pomnožite 5 sa 2. Rezultat je 10, a zatim pogledajte broj ispod 10: 1024. Dakle, 32 2 = 1024.

Razmotrimo ekstrakciju korijena. Na primjer, pronađimo treći korijen broja 512. Iznad broja 512 u gornjem redu je 9. Podijelimo 9 sa 3, dobićemo 3. Pronađite odgovarajući broj u drugom redu. Dobijamo 8. Dakle, 83 = 512.

Sva četiri primjera su posljedica svojstava stupnjeva, koja se mogu zapisati na sljedeći način:

KORAK 3: Nazovimo to logaritam

Nakon što smo se pozabavili stepenima, pokušajmo riješiti malu jednačinu:

2 x = 4

Ova jednačina se zove indikativno. Jer X, što trebamo pronaći je indikator stepen na koji se 2 mora podići da bi se dobilo 4. Rješenje jednadžbe x = 2.

Pogledajmo još jedan sličan primjer:

2 x = 5

Recimo ponovo uslov: tražimo broj x na koji se 2 mora podići da bi se dobilo 5. Ovo pitanje nas zbunjuje. Rješenje vjerovatno postoji; na primjer, ako nacrtate grafove ovih funkcija, oni se sijeku. Ali da bismo ga pronašli, moraćemo da ga tražimo putem pokušaja i grešaka. A ovo bi moglo potrajati.

Zato su drevni naučnici smislili logaritam; znali su da rješenje jednačine postoji, ali nije uvijek bilo potrebno odmah. Matematički to piše ovako: x = log 2 5. Tako smo pronašli rješenje jednačine 2 x = 5. Odgovor: x = log 2 5. Ako damo tačan odgovor, onda je x = 2,32192809489..., a ovaj razlomak nikada ne završava.

Izraz glasi kako slijedi: logaritam od 5 do baze 2. Lako je zapamtiti: baza je uvijek napisana na dnu, u eksponencijalnom i logaritamskom zapisu.

Svojstva logaritma

Logaritmi imaju ograničenja. U matematici postoje dvije teške granice.

a) Ne možete dijeliti sa nulom

b) Izdvoji paran korijen negativnog broja(pošto će negativan broj na kvadrat uvijek biti pozitivan).

ekvivalentno pisanju

a x = b

Ograničenja za a

a je baza koja se mora podići na x stepen da se dobije b.

Ako je a = 1. Jedan na bilo koji stepen će dati jedan.

I ako a manje od nule? Negativni brojevi- kapriciozan. Mogu se podići na jedan stepen, ali ne i na drugi. Stoga i njih isključujemo. Kao rezultat, dobijamo: a > 0; a ≠ 1

Ograničenja b

Ako se pozitivan broj podigne na bilo koji stepen, također ćemo dobiti pozitivan broj. Dakle: b > 0. x može biti bilo koji broj, pošto možemo podići na bilo koji stepen.

Ako je b = 1. tada je za bilo koje a vrijednost x = 0.

Operacije nad logaritmima

Uzimajući u obzir osnovna svojstva potencija, izvodimo slične za logaritme:

Suma. Logaritam proizvoda jednak je zbroju logaritama faktora:

Razlika. Logaritam kvocijenta jednak je razlici između logaritama dividende i djelitelja:

Stepen. Logaritam stepena jednak je umnošku eksponenta i logaritma njegove baze.

glavna svojstva.

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

identične osnove

Log6 4 + log6 9.

Sada da malo zakomplikujemo zadatak.

Primjeri rješavanja logaritama

Šta ako je osnova ili argument logaritma potencija? Tada se eksponent ovog stepena može izvaditi iz predznaka logaritma prema sljedećim pravilima:

Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se posmatra ODZ logaritma: a > 0, a ≠ 1, x >

Zadatak. Pronađite značenje izraza:

Prelazak na novu osnovu

Neka je dat logaritam logax. Tada je za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 tačna jednakost:

Zadatak. Pronađite značenje izraza:

Vidi također:

Osnovna svojstva logaritma

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Eksponent je 2,718281828…. Da biste zapamtili eksponent, možete proučiti pravilo: eksponent je jednak 2,7 i dva puta je godina rođenja Lava Nikolajeviča Tolstoja.

Osnovna svojstva logaritama

Znajući ovo pravilo, znat ćete i tačna vrijednost izlagača, i datum rođenja Lava Tolstoja.

Primjeri za logaritme

Logaritamski izrazi

Primjer 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Koristeći svojstva 3.5 izračunavamo

4. Gdje .

Primjer 2. Pronađite x ako

Primjer 3. Neka je data vrijednost logaritama

Izračunajte log(x) ako

Osnovna svojstva logaritama

Logaritmi, kao i svi brojevi, mogu se sabirati, oduzimati i transformirati na sve načine. Ali pošto logaritmi nisu baš obični brojevi, ovdje postoje pravila koja se nazivaju glavna svojstva.

Svakako morate znati ova pravila - bez njih se ne može riješiti nijedan ozbiljan logaritamski problem. Osim toga, vrlo ih je malo - sve možete naučiti u jednom danu. Pa počnimo.

Sabiranje i oduzimanje logaritama

Razmotrimo dva logaritma sa istim osnovama: logax i logay. Tada se mogu sabirati i oduzimati i:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Dakle, zbir logaritama je jednak logaritmu proizvoda, a razlika je jednaka logaritmu količnika. Imajte na umu: ključna stvar je ovdje identične osnove. Ako su razlozi drugačiji, ova pravila ne funkcionišu!

Ove formule će vam pomoći da izračunate logaritamski izraz čak i kada se njegovi pojedinačni dijelovi ne uzimaju u obzir (pogledajte lekciju “Šta je logaritam”). Pogledajte primjere i pogledajte:

Pošto logaritmi imaju iste baze, koristimo formulu sume:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log2 48 − log2 3.

Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
log2 48 − log2 3 = log2 (48:3) = log2 16 = 4.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log3 135 − log3 5.

Opet su baze iste, tako da imamo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135:5) = log3 27 = 3.

Kao što vidite, originalni izrazi su sastavljeni od „loših“ logaritama, koji se ne računaju zasebno. Ali nakon transformacija ispadaju prilično normalni brojevi. Mnogi su izgrađeni na ovoj činjenici test papiri. Da, izrazi poput testa se nude u potpunosti (ponekad i bez ikakvih promjena) na Jedinstvenom državnom ispitu.

Izdvajanje eksponenta iz logaritma

Lako je vidjeti da posljednje pravilo slijedi prva dva. Ali ipak je bolje zapamtiti to - u nekim slučajevima to će značajno smanjiti količinu izračuna.

Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se poštuje ODZ logaritma: a > 0, a ≠ 1, x > 0. I još nešto: naučite primjenjivati sve formule ne samo s lijeva na desno, već i obrnuto , tj. Možete unijeti brojeve prije znaka logaritma u sam logaritam. To je ono što se najčešće traži.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log7 496.

Oslobodimo se stepena u argumentu koristeći prvu formulu:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Zadatak. Pronađite značenje izraza:

Imajte na umu da imenilac sadrži logaritam, čija su osnova i argument tačni potenci: 16 = 24; 49 = 72. Imamo:

Mislim da posljednji primjer zahtijeva pojašnjenje. Gdje su nestali logaritmi? Do poslednjeg trenutka radimo samo sa imeniocem.

Logaritamske formule. Rješenja primjera logaritama.

Osnovu i argument logaritma koji tu stoji predstavili smo u obliku stepena i iznijeli eksponente - dobili smo razlomak od tri sprata.

Pogledajmo sada glavni razlomak. Brojilac i imenilac sadrže isti broj: log2 7. Pošto je log2 7 ≠ 0, možemo smanjiti razlomak - 2/4 će ostati u nazivniku. Prema pravilima aritmetike, četvorka se može prenijeti u brojilac, što je i učinjeno. Rezultat je bio odgovor: 2.

Prelazak na novu osnovu

Govoreći o pravilima za sabiranje i oduzimanje logaritama, posebno sam naglasio da oni rade samo sa istim osnovama. Šta ako su razlozi drugačiji? Šta ako nisu tačne snage istog broja?

Formule za prelazak na novu podlogu dolaze u pomoć. Formulirajmo ih u obliku teoreme:

Neka je dat logaritam logax. Tada je za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 tačna jednakost:

Konkretno, ako postavimo c = x, dobijamo:

Iz druge formule proizilazi da se baza i argument logaritma mogu zamijeniti, ali se u ovom slučaju cijeli izraz „obrće“, tj. logaritam se pojavljuje u nazivniku.

Ove formule se rijetko nalaze u običnim numeričkim izrazima. Koliko su zgodne moguće je procijeniti samo pri rješavanju logaritamskih jednačina i nejednačina.

Međutim, postoje problemi koji se nikako ne mogu riješiti osim preseljenjem u novu osnovu. Pogledajmo par ovih:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log5 16 log2 25.

Imajte na umu da argumenti oba logaritma sadrže tačne potencije. Izvadimo indikatore: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sada "obrnimo" drugi logaritam:

Kako se proizvod ne mijenja pri preraspodjelu faktora, mirno smo pomnožili četiri i dva, a zatim se pozabavili logaritmima.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log9 100 lg 3.

Osnova i argument prvog logaritma su tačni potenci. Zapišimo ovo i riješimo se indikatora:

Sada se riješimo decimalnog logaritma pomicanjem na novu bazu:

Osnovni logaritamski identitet

Često je u procesu rješavanja potrebno predstaviti broj kao logaritam na datu bazu. U ovom slučaju pomoći će nam sljedeće formule:

U prvom slučaju, broj n postaje eksponent u argumentu. Broj n može biti apsolutno bilo koji, jer je samo logaritamska vrijednost.

Druga formula je zapravo parafrazirana definicija. Tako se to zove: .

U stvari, šta se dešava ako se broj b podigne na takav stepen da broj b na ovaj stepen daje broj a? Tako je: rezultat je isti broj a. Pažljivo pročitajte ovaj odlomak ponovo - mnogi ljudi zaglave u njemu.

Kao i formule za prelazak na novu bazu, glavni logaritamski identitet ponekad je to jedino moguće rešenje.

Zadatak. Pronađite značenje izraza:

Imajte na umu da je log25 64 = log5 8 - jednostavno uzeo kvadrat iz baze i argumenta logaritma. Uzimajući u obzir pravila za množenje potencija sa istom osnovom, dobijamo:

Ako neko ne zna, ovo je bio pravi zadatak sa Jedinstvenog državnog ispita :)

Logaritamska jedinica i logaritamska nula

U zaključku ću dati dva identiteta koja se teško mogu nazvati svojstvima – radije su to posljedice definicije logaritma. Stalno se pojavljuju u problemima i, iznenađujuće, stvaraju probleme čak i „naprednim“ učenicima.

logaa = 1 je. Zapamtite jednom za svagda: logaritam bilo koje baze a te baze jednak je jedan.
loga 1 = 0 je. Baza a može biti bilo koja, ali ako argument sadrži jedan, logaritam je jednak nuli! Zato što je a0 = 1 direktna posljedica definicije.

To je sva imovina. Obavezno vježbajte u njihovoj primjeni! Preuzmite cheat sheet na početku lekcije, odštampajte ga i riješite probleme.

Vidi također:

Logaritam od b prema bazi a označava izraz. Izračunati logaritam znači pronaći stepen x () pri kojem je jednakost zadovoljena

Osnovna svojstva logaritma

Neophodno je poznavati navedena svojstva, jer se na njihovoj osnovi rješavaju gotovo svi problemi i primjeri vezani za logaritme. Ostatak egzotičnih svojstava može se izvesti kroz matematičke manipulacije sa ovim formulama

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Prilikom izračunavanja formule za zbir i razliku logaritama (3.4) nailazite prilično često. Ostali su donekle složeni, ali su u nizu zadataka neophodni za pojednostavljenje složenih izraza i izračunavanje njihovih vrijednosti.

Uobičajeni slučajevi logaritama

Neki od uobičajenih logaritama su oni kod kojih je baza čak deset, eksponencijalna ili dva.
Logaritam na osnovu deset obično se naziva decimalni logaritam i jednostavno se označava sa lg(x).

Iz snimka se jasno vidi da na snimku nije napisano osnovno. Na primjer

Prirodni logaritam je logaritam čija je osnova eksponent (označen sa ln(x)).

Eksponent je 2,718281828…. Da biste zapamtili eksponent, možete proučiti pravilo: eksponent je jednak 2,7 i dva puta je godina rođenja Lava Nikolajeviča Tolstoja. Znajući ovo pravilo, znat ćete i tačnu vrijednost eksponenta i datum rođenja Lava Tolstoja.

I još jedan važan logaritam za bazu dva je označen sa

Derivat logaritma funkcije jednak je jedinici podijeljenom promjenljivom

Integralni ili antiderivativni logaritam je određen odnosom

Dati materijal vam je dovoljan za rješavanje široke klase zadataka vezanih za logaritme i logaritme. Da biste lakše razumjeli materijal, navest ću samo nekoliko uobičajenih primjera školski program i univerzitete.

Primjeri za logaritme

Logaritamski izrazi

Primjer 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Koristeći svojstva 3.5 izračunavamo

2.
Po svojstvu razlike logaritama imamo

3.
Koristeći svojstva 3.5 nalazimo

4. Gdje .

Naizgled složen izraz se pojednostavljuje u obliku pomoću brojnih pravila

Pronalaženje vrijednosti logaritma

Primjer 2. Pronađite x ako

Rješenje. Za izračun se primjenjuje na posljednji pojam 5 i 13 svojstava

Stavljamo to u evidenciju i žalimo

Pošto su baze jednake, izjednačavamo izraze

Logaritmi. Prvi nivo.

Neka je data vrijednost logaritama

Izračunajte log(x) ako

Rješenje: Uzmimo logaritam varijable da zapišemo logaritam kroz zbir njegovih članova

Ovo je tek početak našeg upoznavanja sa logaritmima i njihovim svojstvima. Vježbajte proračune, obogatite svoje praktične vještine - uskoro će vam trebati znanje koje steknete za rješavanje logaritamskih jednačina. Nakon što smo proučili osnovne metode za rješavanje ovakvih jednačina, proširit ćemo vaše znanje na još jednu jednako važnu temu - logaritamske nejednačine...

Osnovna svojstva logaritama

Logaritmi, kao i svi brojevi, mogu se sabirati, oduzimati i transformirati na sve načine. Ali pošto logaritmi nisu baš obični brojevi, ovdje postoje pravila koja se nazivaju glavna svojstva.

Svakako morate znati ova pravila - bez njih se ne može riješiti nijedan ozbiljan logaritamski problem. Osim toga, vrlo ih je malo - sve možete naučiti u jednom danu. Pa počnimo.

Sabiranje i oduzimanje logaritama

Razmotrimo dva logaritma sa istim osnovama: logax i logay. Tada se mogu sabirati i oduzimati i:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log6 4 + log6 9.

Pošto logaritmi imaju iste baze, koristimo formulu sume:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log2 48 − log2 3.

Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
log2 48 − log2 3 = log2 (48:3) = log2 16 = 4.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log3 135 − log3 5.

Opet su baze iste, tako da imamo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135:5) = log3 27 = 3.

Kao što vidite, originalni izrazi su sastavljeni od „loših“ logaritama, koji se ne računaju zasebno. Ali nakon transformacija dobijaju se sasvim normalni brojevi. Mnogi testovi su zasnovani na ovoj činjenici. Da, izrazi poput testa se nude u potpunosti (ponekad i bez ikakvih promjena) na Jedinstvenom državnom ispitu.

Izdvajanje eksponenta iz logaritma

Sada da malo zakomplikujemo zadatak. Šta ako je osnova ili argument logaritma potencija? Tada se eksponent ovog stepena može izvaditi iz predznaka logaritma prema sljedećim pravilima:

Lako je vidjeti da posljednje pravilo slijedi prva dva. Ali ipak je bolje zapamtiti to - u nekim slučajevima to će značajno smanjiti količinu izračuna.

Kako riješiti logaritme

To je ono što se najčešće traži.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log7 496.

Oslobodimo se stepena u argumentu koristeći prvu formulu:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Zadatak. Pronađite značenje izraza:

Imajte na umu da imenilac sadrži logaritam, čija su osnova i argument tačni potenci: 16 = 24; 49 = 72. Imamo:

Mislim da posljednji primjer zahtijeva pojašnjenje. Gdje su nestali logaritmi? Do poslednjeg trenutka radimo samo sa imeniocem. Osnovu i argument logaritma koji tu stoji predstavili smo u obliku stepena i iznijeli eksponente - dobili smo razlomak od tri sprata.

Prelazak na novu osnovu

Govoreći o pravilima za sabiranje i oduzimanje logaritama, posebno sam naglasio da oni rade samo sa istim osnovama. Šta ako su razlozi drugačiji? Šta ako nisu tačne snage istog broja?

Formule za prelazak na novu podlogu dolaze u pomoć. Formulirajmo ih u obliku teoreme:

Neka je dat logaritam logax. Tada je za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 tačna jednakost:

Konkretno, ako postavimo c = x, dobijamo:

Iz druge formule proizilazi da se baza i argument logaritma mogu zamijeniti, ali se u ovom slučaju cijeli izraz „obrće“, tj. logaritam se pojavljuje u nazivniku.

Ove formule se rijetko nalaze u običnim numeričkim izrazima. Koliko su zgodne moguće je procijeniti samo pri rješavanju logaritamskih jednačina i nejednačina.

Međutim, postoje problemi koji se nikako ne mogu riješiti osim preseljenjem u novu osnovu. Pogledajmo par ovih:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log5 16 log2 25.

Imajte na umu da argumenti oba logaritma sadrže tačne potencije. Izvadimo indikatore: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sada "obrnimo" drugi logaritam:

Kako se proizvod ne mijenja pri preraspodjelu faktora, mirno smo pomnožili četiri i dva, a zatim se pozabavili logaritmima.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log9 100 lg 3.

Osnova i argument prvog logaritma su tačni potenci. Zapišimo ovo i riješimo se indikatora:

Sada se riješimo decimalnog logaritma pomicanjem na novu bazu:

Osnovni logaritamski identitet

Često je u procesu rješavanja potrebno predstaviti broj kao logaritam na datu bazu. U ovom slučaju pomoći će nam sljedeće formule:

U prvom slučaju, broj n postaje eksponent u argumentu. Broj n može biti apsolutno bilo koji, jer je samo logaritamska vrijednost.

Druga formula je zapravo parafrazirana definicija. Tako se to zove: .

Kao i formule za prelazak na novu bazu, osnovni logaritamski identitet je ponekad jedino moguće rješenje.

Zadatak. Pronađite značenje izraza:

Imajte na umu da je log25 64 = log5 8 - jednostavno uzeo kvadrat iz baze i argumenta logaritma. Uzimajući u obzir pravila za množenje potencija sa istom osnovom, dobijamo:

Ako neko ne zna, ovo je bio pravi zadatak sa Jedinstvenog državnog ispita :)

Logaritamska jedinica i logaritamska nula

logaa = 1 je. Zapamtite jednom za svagda: logaritam bilo koje baze a te baze jednak je jedan.
loga 1 = 0 je. Baza a može biti bilo koja, ali ako argument sadrži jedan, logaritam je jednak nuli! Zato što je a0 = 1 direktna posljedica definicije.

To je sva imovina. Obavezno vježbajte u njihovoj primjeni! Preuzmite cheat sheet na početku lekcije, odštampajte ga i riješite probleme.