Kako pronaći korijen decimalnog razlomka. Izdvajanje kvadratnog korijena višecifrenog broja

Sokolov Lev Vladimirovič, učenik 8. razreda Opštinske obrazovne ustanove "Tugulymskaya V(S)OSH"

Cilj rada: pronađite i pokažite te metode ekstrakcije kvadratni korijeni, koji se može koristiti bez kalkulatora pri ruci.

Skinuti:

Pregled:

Regionalna naučno-praktična konferencija

studenti gradskog okruga Tugulym

Pronalaženje kvadratnih korijena velikih brojeva bez kalkulatora

Izvođač: Lev Sokolov,

MCOU "Tugulymskaya V(S)OSH",

8. razred

Rukovodilac: Sidorova Tatjana

Nikolaevna

r.p. Tugulym, 2016

Uvod 3

Poglavlje 1. Metoda faktorizacije 4

Poglavlje 2. Vađenje kvadratnog korijena sa uglom 4

Poglavlje 3. Način upotrebe tabele kvadrata dvocifrenih brojeva 6

Poglavlje 4. Formula drevnog Babilona 6

Poglavlje 6. Kanadski metod 7

Poglavlje 7. Metoda odabira pogađanja 8

Poglavlje 8. Metoda odbitka za neparan broj 8

Zaključak 10

Reference 11

Dodatak 12

Uvod

Relevantnost istraživanja,Kada sam ove školske godine proučavao temu kvadratnih korijena, zainteresiralo me je pitanje kako možete uzeti kvadratni korijen velikih brojeva bez kalkulatora.

Zainteresovao sam se i odlučio da ovu problematiku proučim dublje nego što je u njoj navedeno školski program, a pripremite i mini-knjigu sa najviše na jednostavne načine vađenje kvadratnih korijena velikih brojeva bez kalkulatora.

Cilj rada: pronađite i pokažite one metode vađenja kvadratnih korijena koje se mogu koristiti bez kalkulatora pri ruci.

Zadaci:

Proučite literaturu o ovom pitanju.
Razmotrite karakteristike svake pronađene metode i njen algoritam.
Pokaži praktična upotreba stečeno znanje i evaluirati

Stepen složenosti u korištenju različitih metoda i algoritama.

Napravite mini-knjigu o najzanimljivijim algoritmima.

Predmet studija:matematički simboli su kvadratni korijeni.

Predmet studija:Značajke metoda za vađenje kvadratnih korijena bez kalkulatora.

Metode istraživanja:

Pronalaženje metoda i algoritama za vađenje kvadratnih korijena iz velikih brojeva bez kalkulatora.
Poređenje pronađenih metoda.
Analiza dobijenih metoda.

Svi znaju da je uzimanje kvadratnog korijena bez kalkulatora vrlo teško.

zadatak. Kada nemamo kalkulator pri ruci, počinjemo korištenjem metode odabira kako bismo pokušali zapamtiti podatke iz tablice kvadrata cijelih brojeva, ali to ne pomaže uvijek. Na primjer, tablica kvadrata cijelih brojeva ne daje odgovore na pitanja kao što je, na primjer, vađenje korijena od 75, 37,885,108,18061 i drugih, čak ni približno.

Takođe, upotreba kalkulatora je često zabranjena tokom OGE i Jedinstvenog državnog ispita.

tablice kvadrata cijelih brojeva, ali morate izdvojiti korijen od 3136 ili 7056, itd.

Ali, proučavajući literaturu na ovu temu, naučio sam da vuče korijene iz takvih brojeva

Možda bez stola i kalkulatora, ljudi su učili mnogo prije izuma mikrokalkulatora. Istražujući ovu temu, pronašao sam nekoliko načina da riješim ovaj problem.

Poglavlje 1. Metoda faktorizacije u proste faktore

Da biste izdvojili kvadratni korijen, možete rastaviti broj na njegove proste faktore i uzeti kvadratni korijen proizvoda.

Ova metoda se obično koristi prilikom rješavanja problema s korijenima u školi.

3136│2 7056│2

1568│2 3528│2

784│2 1764│2

392│2 882│2

196│2 441│3

98│2 147│3

49│7 49│7

7│7 7│7

√3136 = √2²∙2²∙2²∙7² = 2∙2∙2∙7 = 56 √3136 = √2²∙2²∙3²∙7² = 2∙2∙3∙7 = 8

Mnogi ga uspješno koriste i smatraju ga jedinim. Ekstrahiranje korijena faktorizacijom je dugotrajan zadatak, koji također ne vodi uvijek do željenog rezultata. Pokušajte uzeti kvadratni korijen od 209764? Faktoriranjem u proste faktore dobije se proizvod 2∙2∙52441. Šta dalje? Svi se susreću s ovim problemom, a u svom odgovoru mirno zapisuju ostatak razlaganja pod znakom korijena. Naravno, možete napraviti dekompoziciju pokušajima i greškama i selekcijom ako ste sigurni da ćete dobiti lijep odgovor, ali praksa pokazuje da se vrlo rijetko nude zadaci sa potpunom dekompozicijom. Češće nego ne, vidimo da se korijen ne može u potpunosti izvući.

Stoga ova metoda samo djelomično rješava problem ekstrakcije bez kalkulatora.

Poglavlje 2. Vađenje kvadratnog korijena uglom

Za izdvajanje kvadratnog korijena pomoću ugla iPogledajmo algoritam:
1. korak. Broj 8649 podijeljen je na rubove s desna na lijevo; od kojih svaka mora sadržavati dvije cifre. Dobijamo dva lica:.
2. korak. Uzimajući kvadratni korijen prvog lica od 86, dobivamosa nedostatkom. Broj 9 je prva znamenka korijena.
3rd step. Broj 9 je na kvadrat (9 2 = 81) i oduzmemo broj 81 od prvog lica, dobićemo 86-81=5. Broj 5 je prvi ostatak.
4. korak. Ostatku 5 dodamo drugu stranu 49, dobijemo broj 549.

5. korak . Udvostručimo prvu cifru korijena 9 i, upisujući s lijeve strane, dobijemo -18

Broju treba dodati sljedeće najviša cifra, tako da bi umnožak broja koji dobijemo ovom cifrom bio ili jednak broju 549 ili manji od 549. Ovo je broj 3. Nalazi se odabirom: broj desetica broja 549, tj. broj 54 podijeli se sa 18, dobijemo 3, pošto je 183 ∙ 3 = 549. Broj 3 je druga znamenka korijena.

6. korak. Nalazimo ostatak 549 – 549 = 0. Pošto je ostatak nula, dobili smo tačnu vrijednost korijena – 93.

Daću vam još jedan primjer: ekstrakt √212521

Koraci algoritma	Primjer	Komentari
Podijelite broj u grupe od po 2 cifre svaka s desna na lijevo	21’ 25’ 21	Ukupan broj formiranih grupa određuje broj cifara u odgovoru
Za prvu grupu brojeva odaberite broj čiji će kvadrat biti najveći, ali ne prelazi brojeve iz prve grupe	1 grupa – 21 4 2 =16 broj - 4	Pronađeni broj je napisan na prvom mjestu u odgovoru.
Od prve grupe brojeva oduzmite kvadrat prve cifre odgovora pronađenog u koraku 2	21’ 25’ 21
Ostatku pronađenom u koraku 3, dodajte drugu grupu brojeva desno (odmaknite se)	21’ 25’ 21 16__
Udvostručenoj prvoj znamenki odgovora dodajte cifru s desne strane tako da umnožak rezultirajućeg broja na ovu cifru bude najveći, ali ne prelazi broj pronađen u koraku 4	42=8 broj - 6 866=516	Pronađeni broj je upisan u odgovoru na drugom mjestu
Od broja dobijenog u koraku 4 oduzmite broj dobijen u koraku 5. Odnesite treću grupu na ostatak	21’ 25’ 21
Udvostručenom broju koji se sastoji od prve dvije znamenke odgovora, dodajte cifru s desne strane tako da proizvod rezultirajućeg broja na ovu cifru bude najveći, ali ne prelazi broj dobiven u koraku 6	462=92 broj 1 9211=921	Pronađeni broj je upisan u odgovoru na trećem mjestu
Zapišite odgovor	√212521=461

Poglavlje 3. Kako koristiti tablicu kvadrata dvocifrenih brojeva

O ovoj metodi sam saznao sa interneta. Metoda je vrlo jednostavna i omogućava vam da odmah izvučete kvadratni korijen bilo kojeg cijelog broja od 1 do 100 s točnošću od desetina bez kalkulatora. Jedan od uslova za ovu metodu je prisustvo tabele kvadrata brojeva do 99.

(Nalazi se u svim udžbenicima algebre za 8. razred i dalje OGE ispit ponuđeno kao referenca.)

Otvorite tabelu i provjerite brzinu pronalaženja odgovora. Ali prvo, nekoliko preporuka: krajnja lijeva kolona će biti cijeli brojevi u odgovoru, a najgornja linija će biti desetine u odgovoru. A onda je sve jednostavno: zatvorite posljednje dvije znamenke broja u tablici i pronađite onaj koji vam je potreban, ne prelazeći radikalni broj, a zatim slijedite pravila ove tablice.

Pogledajmo primjer. Nađimo vrijednost √87.

Zatvaramo posljednje dvije cifre svih brojeva u tabeli i nalazimo bliske za 87 - postoje samo dvije 86 49 i 88 37. Ali 88 je već puno.

Dakle, ostalo je samo jedno - 8649.

Lijeva kolona daje odgovor 9 (ovo su cijeli brojevi), a gornja linija 3 (ovo su desetine). To znači √87≈ 9.3. Provjerimo MK √87 ≈ 9,327379.

Brzo, jednostavno, dostupno tokom ispita. Ali odmah je jasno da se korijeni veći od 100 ne mogu izvući ovom metodom. Metoda je prikladna za zadatke s malim korijenima i uz prisutnost stola.

Poglavlje 4. Formula drevnog Babilona

Stari Babilonci su koristili sljedeću metodu da pronađu približnu vrijednost kvadratnog korijena njihovog broja x. Predstavili su broj x kao zbir a 2 +b, gdje je a 2 najbliži tačan kvadrat broju x prirodni broj aa 2 . (1)

Koristeći formulu (1), izvlačimo kvadratni korijen, na primjer, iz broja 28:

Rezultat vađenja korijena od 28 pomoću MK je 5,2915026.

Kao što vidimo, babilonska metoda daje dobru aproksimaciju tačna vrijednost root

Poglavlje 5. Metoda odbacivanja cijelog kvadrata

(samo za četvorocifrene brojeve)

Vrijedi odmah pojasniti da je ova metoda primjenjiva samo na vađenje kvadratnog korijena tačnog kvadrata, a algoritam pronalaženja ovisi o veličini radikalnog broja.

Vađenje korijena do broja 75 2 = 5625

Na primjer: √¯3844 = √¯ 37 00 + 144 = 37 + 25 = 62.

Predstavljamo broj 3844 kao zbir tako što iz ovog broja odaberemo kvadrat 144, a zatim odbacimo odabrani kvadrat dabroj stotina prvog člana(37) uvijek dodajemo 25 . Dobijamo odgovor 62.

Na ovaj način možete izdvojiti samo kvadratne korijene do 75 2 =5625!

2) Vađenje korijena nakon broja 75 2 = 5625

Kako verbalno izvući kvadratni korijen iz brojeva većih od 75 2 =5625?

Na primjer: √7225 = √ 70 00 + 225 = 70 + √225 = 70 + 15 = 85.

Hajde da objasnimo, predstavićemo 7225 kao zbir 7000 i izabranog kvadrata 225. Tadadodajte kvadratni korijen broju stotina od 225, jednako 15.

Dobijamo odgovor 85.

Ova metoda pronalaženja je vrlo zanimljiva i donekle originalna, ali sam se tokom svog istraživanja sa njom susrela samo jednom u radu učiteljice iz Perma.

Možda je malo proučavan ili ima neke izuzetke.

Prilično ga je teško zapamtiti zbog dualnosti algoritma i primjenjiv je samo za četverocifrene brojeve tačnih korijena, ali sam proradio kroz mnoge primjere i uvjerio se u njegovu ispravnost. Osim toga, ova metoda je dostupna onima koji su već zapamtili kvadrate brojeva od 11 do 29, jer će bez njihovog znanja biti beskorisna.

Poglavlje 6. Kanadska metoda

√ X = √ S + (X - S) / (2 √ S), gdje je X broj koji treba dati kvadratni korijen, a S je broj najbližeg tačnog kvadrata.

Pokušajmo uzeti kvadratni korijen od 75

√ 75 = 9 + (- 6/18) = 9 - 0,333 = 8,667

Uz detaljno proučavanje ove metode, lako se može dokazati njena sličnost s babilonskom i argumentirati za autorsko pravo pronalaska ove formule, ako postoji u stvarnosti. Metoda je jednostavna i praktična.

Poglavlje 7. Metoda odabira pogađanja

Ovu metodu nude studenti engleskog jezika na Fakultetu matematike u Londonu, ali svi su nehotice koristili ovu metodu barem jednom u životu. Zasniva se na selekciji različita značenja kvadrate sličnih brojeva sužavanjem područja pretraživanja. Svatko može savladati ovu metodu, ali je malo vjerovatno da će se koristiti, jer zahtijeva ponovljeno izračunavanje proizvoda stupca ne uvijek ispravno pogodenih brojeva. Ova metoda gubi i u ljepoti rješenja i u vremenu. Algoritam je jednostavan:

Recimo da želite uzeti kvadratni korijen od 75.

Budući da je 8 2 = 64 i 9 2 = 81, znate da je odgovor negdje između.

Pokušajte izgraditi 8.5 2 i dobićete 72,25 (premalo)

Sada probajte 8.6 2 i dobijete 73,96 (premalo, ali sve bliže)

Sada probajte 8.7 2 i dobićete 75,69 (preveliko)

Sada znate da je odgovor između 8,6 i 8,7

Pokušajte izgraditi 8.65 2 i dobićete 74,8225 (premalo)

Sada probajte 8.66 2... i tako dalje.

Nastavite dok ne dobijete odgovor koji je dovoljno tačan za vas.

Poglavlje 8. Metoda oduzimanja neparnog broja

Mnogi ljudi znaju metodu vađenja kvadratnog korijena faktoringom broja u proste faktore. U svom radu predstaviću još jedan način na koji možete saznati cijeli broj kvadratnog korijena broja. Metoda je vrlo jednostavna. Imajte na umu da su sljedeće jednakosti tačne za kvadrate brojeva:

1=1 2

1+3=2 2

1+3+5=3 2

1+3+5+7=4 2 itd.

Pravilo: možete saznati cijeli dio kvadratnog korijena broja oduzimanjem od njega sve neparne brojeve redom dok ostatak ne bude manji od sljedećeg oduzetog broja ili jednak nuli, i brojanjem izvršenih radnji.

Na primjer, da dobijete kvadratni korijen od 36 i 121 ovo je:

Ukupno oduzimanje = 6, dakle kvadratni korijen od 36 = 6.

Ukupan broj oduzimanja = 11, pa je √121 = 11.

Drugi primjer: hajde da pronađemo √529

Rješenje: 1)_529

2)_528

3)_525

4)_520

5)_513

6)_504

7)_493

8)_480

9)_465

10)_448

11)_429

12)_408

13)_385

14)_360

15)_333

16)_304

17)_273

18)_240

19)_205

20)_168

21)_129

22)_88

23)_45

Odgovor: √529 = 23

Naučnici ovu metodu nazivaju vađenjem aritmetičkog kvadratnog korijena, a iza kulisa "metodom kornjače" zbog sporosti.
Nedostatak ove metode je što ako korijen koji se izdvaja nije cijeli broj, tada možete saznati samo cijeli njegov dio, ali ne preciznije. Istovremeno, ova metoda je prilično dostupna djeci koja rješavaju jednostavne matematičke probleme koji zahtijevaju vađenje kvadratnog korijena. Pokušajte izvući kvadratni korijen iz broja, na primjer, 5963364 na ovaj način i shvatit ćete da to "radi", naravno, bez grešaka za tačne korijene, ali je jako, jako dugo u rješenju.

Zaključak

Metode ekstrakcije korijena opisane u ovom radu nalaze se u mnogim izvorima. Međutim, pokazalo se da je njihovo razumijevanje bio težak zadatak za mene, što je izazvalo veliko interesovanje. Predstavljeni algoritmi omogućit će svima koje zanima ova tema da brzo savladaju vještine izračunavanja kvadratnog korijena, mogu se koristiti prilikom provjere rješenja i ne ovise o kalkulatoru.

Kao rezultat mog istraživanja došao sam do zaključka: razne načine uzimanje kvadratnog korijena bez kalkulatora je neophodno u srednjoškolskom kursu matematike za razvoj računskih vještina.

Teorijski značaj istraživanja – sistematizovane su glavne metode vađenja kvadratnih korijena.

Praktični značaj:u kreiranju mini knjige koja sadrži referentni dijagram za vađenje kvadratnih korijena na različite načine (Dodatak 1).

Literatura i Internet stranice:

I.N. Sergejev, S.N. Olehnik, S.B. Gashkov “Primjena matematike.” – M.: Nauka, 1990
Kerimov Z., "Kako pronaći cijeli korijen?" Naučno-matematički popularni časopis "Kvant" br. 2, 1980
Petrakov I.S. “matematički klubovi 8-10 razreda”; Knjiga za nastavnike.

–M.: Obrazovanje, 1987

Tikhonov A.N., Kostomarov D.P. “Priče o primijenjenoj matematici.” - M.: Nauka. Glavna redakcija fizičke i matematičke literature, 1979
Tkacheva M.V. Domaća matematika. Knjiga za učenike 8. razreda obrazovne institucije. – Moskva, Prosvjeta, 1994.
Zhokhov V.I., Pogodin V.N. Referentne tabele iz matematike.-M.: Doo Izdavačka kuća “ROSMEN-PRESS”, 2004.-120 str.
http://translate.google.ru/translate
http://www.murderousmaths.co.uk/books/sqroot.htm
http://ru.wikipedia.ord /wiki /teorema/

Dobar dan, dragi gosti!

Zovem se Lev Sokolov, učim u 8. razredu u večernjoj školi.

Predstavljam Vašoj pažnji rad na temu: “Pronalaženje kvadratnih korijena velikih brojeva bez kalkulatora."

Prilikom proučavanja temekvadratne korijene ove školske godine zanimalo me pitanje kako izvući kvadratni korijen velikih brojeva bez kalkulatora i odlučio sam da to dublje proučim, pošto sljedeće godine moram polagati ispit iz matematike.

Svrha mog rada:pronađite i pokažite načine za izvlačenje kvadratnih korijena bez kalkulatora

Za postizanje cilja odlučio sam sljedeće zadaci:

1. Proučite literaturu o ovom pitanju.

2. Razmotrite karakteristike svake pronađene metode i njen algoritam.

3. Prikazati praktičnu primenu stečenog znanja i proceniti stepen složenosti korišćenja različitih metoda i algoritama.

4. Kreirajte mini-knjigu prema najzanimljivijim algoritmima.

Predmet mog istraživanja je biokvadratni korijeni.

Predmet studija:načini izvlačenja kvadratnih korijena bez kalkulatora.

Metode istraživanja:

1. Tražite metode i algoritme za vađenje kvadratnih korijena iz velikih brojeva bez kalkulatora.

2. Poređenje i analiza pronađenih metoda.

Pronašao sam i proučio 8 načina za pronalaženje kvadratnih korijena bez kalkulatora i primjenio ih u praksi. Nazivi pronađenih metoda prikazani su na slajdu.

Fokusiraću se na one koji su mi se svideli.

Na primjeru ću pokazati kako možete izvući kvadratni korijen broja 3025 koristeći osnovnu faktorizaciju.

Glavni nedostatak ove metode- potrebno je puno vremena.

Koristeći formulu Drevnog Babilona, izvući ću kvadratni korijen istog broja 3025.

Metoda je pogodna samo za male brojeve.

Iz istog broja 3025 izvlačimo kvadratni korijen pomoću ugla.

Po mom mišljenju, ovo je najuniverzalnija metoda, može se primijeniti na bilo koji broj.

IN moderna nauka Postoji mnogo načina za izvlačenje kvadratnog korijena bez kalkulatora, ali nisam ih sve proučio.

Praktični značaj mog rada:u kreiranju mini knjige koja sadrži referentni dijagram za vađenje kvadratnih korijena na različite načine.

Rezultati mog rada mogu se uspješno koristiti u matematici, fizici i drugim predmetima gdje je potrebno vađenje korijena bez kalkulatora.

Hvala vam na pažnji!

Pregled:

Da biste koristili preglede prezentacija, kreirajte račun za sebe ( račun) Guglajte i prijavite se: https://accounts.google.com

Naslovi slajdova:

Izvlačenje kvadratnih korijena iz velikih brojeva bez kalkulatora Izvođač: Lev Sokolov, MKOU "Tugulymskaya V(S)OSH", 8. razred Voditelj: Sidorova Tatyana Nikolaevna I kategorija, nastavnik matematike r.p. Tugulym

Pravilna primjena metoda može se naučiti primjenom i raznim primjerima. G. Zeiten Svrha rada: pronaći i pokazati one metode vađenja kvadratnih korijena koje se mogu koristiti bez kalkulatora pri ruci. Ciljevi: - Proučiti literaturu o ovom pitanju. - Razmotrite karakteristike svake pronađene metode i njen algoritam. - Prikazati praktičnu primenu stečenog znanja i proceniti stepen složenosti korišćenja različitih metoda i algoritama. - Napravite mini-knjigu o najzanimljivijim algoritmima.

Predmet istraživanja: kvadratni korijeni Predmet istraživanja: metode vađenja kvadratnih korijena bez kalkulatora. Metode istraživanja: Tražite metode i algoritme za vađenje kvadratnih korijena iz velikih brojeva bez kalkulatora. Poređenje pronađenih metoda. Analiza dobijenih metoda.

Metode za vađenje kvadratnih korijena: 1. Metoda razlaganja u proste faktore 2. Vađenje kvadratnog korijena korištenjem ugla 3. Metoda korištenja tablice kvadrata dvocifrenih brojeva 4. Formula starog Babilona 5. Metoda odbacivanja savršenog kvadrata 6. Kanadska metoda 7. Metoda pogađanja 8. Metoda odbitaka neparan broj

Metoda razlaganja u proste faktore Da biste izvukli kvadratni korijen, možete faktorirati broj u proste faktore i izvući kvadratni korijen proizvoda. 3136│2 7056│2 209764│2 1568│2 3528│2 104882│2 784│2 1764│2 52441│229 392│292│942│1922│2982│1 1│3 98│2 147│3 √ 209764 = √2∙2∙52441 = 49│7 49│7 = √2²∙229² = 458. 7│7 7│7 √3136 = √ 2²∙2∙2∙² √ 2²∙2∙2∙² =∙2∙²∙² √7056 = √2²∙2²∙3²∙7² = 2∙2∙3∙7 = 84. Nije uvijek lako razgraditi, češće se ne uklanja potpuno, potrebno je dosta vremena.

Formula starog Babilona (babilonska metoda) Algoritam za vađenje kvadratnog korijena pomoću drevne babilonske metode. 1 . Predstavite broj c kao zbir a² + b, gdje je a² tačan kvadrat prirodnog broja a najbliži broju c (a² ≈ c); 2. Približna vrijednost korijena izračunava se pomoću formule: Rezultat vađenja korijena pomoću kalkulatora je 5,292.

Izdvajanje kvadratnog korijena uglom Metoda je gotovo univerzalna, jer je primjenjiva na sve brojeve, ali sastavljanje rebusa (pogađanje broja na kraju broja) zahtijeva logiku i dobre računske vještine sa kolonom.

Algoritam za vađenje kvadratnog korijena pomoću ugla 1. Podijelite broj (5963364) u parove s desna na lijevo (5`96`33`64) 2. Izdvojite kvadratni korijen iz prve grupe s lijeve strane (- broj 2) . Ovako dobijamo prvu cifru broja. 3. Pronađite kvadrat prve cifre (2 2 =4). 4. Pronađite razliku između prve grupe i kvadrata prve cifre (5-4=1). 5. Skidamo sljedeće dvije cifre (dobijemo broj 196). 6. Udvostručite prvu cifru koju smo pronašli i upišite je lijevo iza linije (2*2=4). 7. Sada moramo pronaći drugu cifru broja: udvostručiti prvu cifru koju smo pronašli postaje cifra desetice broja, kada se pomnoži sa brojem jedinica, trebamo dobiti broj manji od 196 (ovo je broj 4, 44*4=176). 4 je druga znamenka &. 8. Pronađite razliku (196-176=20). 9. Rušimo sljedeću grupu (dobijamo broj 2033). 10. Udvostručimo broj 24, dobićemo 48. 11. 48 desetica u broju, kada se pomnoži sa brojem jedinica, trebalo bi da dobijemo broj manji od 2033 (484*4=1936). Cifra jedinice koju smo pronašli (4) je treća znamenka broja. Zatim se proces ponavlja.

Metoda oduzimanja neparnog broja ( aritmetička metoda) Algoritam kvadratnog korijena: Oduzmite neparne brojeve sve dok ostatak ne bude manji od sljedećeg broja koji treba oduzeti ili jednak nuli. Izračunajte broj izvršenih radnji - ovaj broj je cijeli dio broja kvadratnog korijena koji se izdvaja. Primjer 1: izračunajte 1. 9 − 1 = 8; 8 − 3 = 5; 5 − 5 = 0. 2. 3 akcije završene

36 - 1 = 35 - 3 = 32 - 5 = 27 - 7 = 20 - 9 = 11 - 11 = 0 ukupan broj oduzimanja = 6, dakle kvadratni korijen od 36 = 6. 121 – 1 = 120 - 3 = 117- 5 = 112 - 7 = 105 - 9 = 96 - 11 = 85 – 13 = 72 - 15 = 57 – 17 = 40 - 19 = 21 - 21 = 0 Ukupan broj oduzimanja = 11, dakle kvadratni korijen od 121 = 11. 5963364 = ??? Ruski naučnici iza scene nazivaju je "metodom kornjače" zbog sporosti. Nezgodno je za veliki broj.

Teorijski značaj istraživanja – sistematizovane su glavne metode vađenja kvadratnih korijena. Praktični značaj: u kreiranju mini knjige koja sadrži referentni dijagram za vađenje kvadratnih korijena na različite načine.

Hvala vam na pažnji!

Pregled:

Neki problemi zahtijevaju uzimanje kvadratnog korijena velikog broja. Kako uraditi?

Metoda oduzimanja neparnog broja.

Metoda je vrlo jednostavna. Imajte na umu da su sljedeće jednakosti tačne za kvadrate brojeva:

1=1 2

1+3=2 2

1+3+5=3 2

1+3+5+7=4 2 itd.

pravilo: Možete saznati cijeli dio kvadratnog korijena broja oduzimanjem od njega sve neparne brojeve redom dok ostatak ne bude manji od sljedećeg oduzetog broja ili jednak nuli, i brojanjem izvršenih radnji.

Na primjer, da biste dobili kvadratni korijen od 36 i 121 je:

36 - 1 = 35 - 3 = 32 - 5 = 27 - 7 = 20 - 9 = 11 - 11 = 0

Ukupan broj oduzimanja = 6, dakle kvadratni korijen 36 = 6.

121 - 1 = 120 - 3 = 117- 5 = 112 - 7 = 105 - 9 = 96 - 11 = 85 – 13 = 72 - 15 = 57 – 17 = 40 - 19 = 21 - 21 = 0

Ukupan broj oduzimanja = 11, dakle√121 = 11.

Kanadska metoda.

Ovo brza metoda otkrili su mladi naučnici na jednom od vodećih kanadskih univerziteta u 20. veku. Njegova tačnost nije veća od dvije do tri decimale. Evo njihove formule:

√ X = √ S + (X - S) / (2 √ S), gdje je X broj koji treba dati kvadratni korijen, a S je broj najbližeg tačnog kvadrata.

Primjer. Uzmi kvadratni korijen od 75.

X = 75, S = 81. To znači da je √ S = 9.

Izračunajmo √75 koristeći ovu formulu: √ 75 = 9 + (75 - 81) / (2∙9)
√ 75 = 9 + (- 6/18) = 9 - 0,333 = 8,667

Metoda za vađenje kvadratnih korijena pomoću ugla.

1. Podijelite broj (5963364) u parove s desna na lijevo (5`96`33`64)

2. Uzmi kvadratni korijen prve grupe s lijeve strane (- broj 2). Ovako dobijamo prvu cifru broja.

3. Pronađite kvadrat prve cifre (2 2 =4).

4. Pronađite razliku između prve grupe i kvadrata prve cifre (5-4=1).

5. Skidamo sljedeće dvije cifre (dobijemo broj 196).

6. Udvostručite prvu cifru koju smo pronašli i upišite je lijevo iza linije (2*2=4).

7. Sada moramo pronaći drugu cifru broja: udvostručiti prvu cifru koju smo pronašli postaje cifra desetice broja, kada se pomnoži sa brojem jedinica, treba da dobijete broj manji od 196 (ovo je broj 4, 44*4=176). 4 je druga znamenka &.

8. Pronađite razliku (196-176=20).

9. Rušimo sljedeću grupu (dobijamo broj 2033).

10. Udvostručite broj 24, dobijamo 48.

U broju ima 11,48 desetica, kada se pomnoži sa brojem jedinica, trebalo bi da dobijemo broj manji od 2033 (484*4=1936). Cifra jedinice koju smo pronašli (4) je treća znamenka broja.

Akcija kvadratni korijeninverzno djelovanju kvadriranja.

√81= 9 9 2 =81.

Metoda odabira.

primjer: Izdvojite korijen broja 676.

Primjećujemo da je 20 2 = 400, a 30 2 = 900, što znači 20

Tačni kvadrati prirodnih brojeva završavaju se sa 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Broj 6 daje 4 2 i 6 2 .
To znači da ako je korijen uzet iz 676, onda je to ili 24 ili 26.

Ostalo je da se proveri: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Odgovor: √ 676 = 26.

Drugi primjer: √6889.

Budući da je 80 2 = 6400 i 90 2 = 8100, zatim 80 Broj 9 daje 3 2 i 7 2 , tada je √6889 jednako ili 83 ili 87.

Provjerimo: 83 2 = 6889.

Odgovor: √6889 = 83.

Ako vam je teško riješiti metodom selekcije, možete faktorizirati radikalni izraz.

Na primjer, pronađite √893025.

Uzmimo na faktor broj 893025, zapamtite, ovo ste radili u šestom razredu.

Dobijamo: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Babilonska metoda.

Korak 1. Predstavite broj x kao zbir: x=a 2 + b, gdje je a 2 najbliži tačan kvadrat prirodnog broja a broju x.

Korak #2. Koristite formulu:

Primjer. Izračunati.

Aritmetička metoda.

Od broja oduzimamo sve neparne brojeve redom dok ostatak ne bude manji od sljedećeg broja koji treba oduzeti ili jednak nuli. Nakon brojanja izvršenih radnji, određujemo cijeli broj kvadratnog korijena broja.

Primjer. Izračunaj cijeli dio broja.

Rješenje. 12 - 1 = 11; 11 - 3 = 8; 8 - 5 = 3; 3 3 - cijeli dio brojevi. Dakle, .

Metoda (poznata kao Newtonova metoda)je kako slijedi.

Neka je 1 - prva aproksimacija broja(kao 1 možete uzeti vrijednosti kvadratnog korijena prirodnog broja - tačan kvadrat koji ne prelazi .

Ova metoda vam omogućava da izvučete kvadratni korijen velikog broja s bilo kojom točnošću, iako sa značajnim nedostatkom: glomaznost proračuna.

Metoda evaluacije.

Korak 1. Saznajte raspon u kojem se nalazi izvorni korijen (100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10.000).

Korak #2. By zadnja cifra Odredite kojom cifrom završava broj koji tražite.

Broj jedinica od x
Broj jedinica od x 2

Korak #3. Kvadrirajte očekivane brojeve i od njih odredite željeni broj.

Primjer 1. Izračunajte .

Rješenje. 2500 50 2 2 50

= *2 ili = *8.

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

Dakle = 58.

Prije kalkulatora, učenici i nastavnici su ručno izračunavali kvadratni korijen. Postoji nekoliko načina za ručno izračunavanje kvadratnog korijena broja. Neki od njih nude samo okvirno rješenje, drugi daju tačan odgovor.

Koraci

Primena faktorizacije

Faktori radikalni broj u faktore koji su kvadratni brojevi. U zavisnosti od radikalnog broja, dobićete približan ili tačan odgovor. Kvadratni brojevi su brojevi iz kojih se može uzeti cijeli kvadratni korijen. Faktori su brojevi koji, kada se pomnože, daju originalni broj. Na primjer, faktori broja 8 su 2 i 4, budući da su 2 x 4 = 8, brojevi 25, 36, 49 su kvadratni brojevi, jer je √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. su faktori , koji su kvadratni brojevi. Prvo, pokušajte rastaviti radikalni broj na kvadratne faktore.

Na primjer, izračunajte kvadratni korijen od 400 (ručno). Prvo pokušajte rastaviti 400 na kvadratne faktore. 400 je višekratnik 100, odnosno djeljiv sa 25 - ovo je kvadratni broj. Ako podijelite 400 sa 25, dobijete 16. Broj 16 je također kvadratni broj. Dakle, 400 se može razložiti na kvadratne faktore 25 i 16, odnosno 25 x 16 = 400.
Ovo se može napisati na sljedeći način: √400 = √(25 x 16).

Kvadratni korijen proizvoda nekih članova jednak je proizvodu kvadratnih korijena svakog člana, odnosno √(a x b) = √a x √b. Koristite ovo pravilo da uzmete kvadratni korijen svakog kvadratnog faktora i pomnožite rezultate da biste pronašli odgovor.
- U našem primjeru uzmite korijen od 25 i 16.
  - √(25 x 16)
  - √25 x √16
  - 5 x 4 = 20
Ako se radikalni broj ne rastavlja na dva kvadratna faktora (a to se dešava u većini slučajeva), nećete moći pronaći tačan odgovor u obliku cijelog broja. Ali možete pojednostaviti problem tako što ćete radikalni broj razložiti na kvadratni faktor i običan faktor (broj iz kojeg se ne može uzeti cijeli kvadratni korijen). Tada ćete uzeti kvadratni korijen kvadratnog faktora i uzeti korijen zajedničkog faktora.
- Na primjer, izračunajte kvadratni korijen broja 147. Broj 147 se ne može rastaviti na dva kvadratna faktora, ali se može razložiti na sljedeće faktore: 49 i 3. Riješite problem na sljedeći način:
  - = √(49 x 3)
  - = √49 x √3
  - = 7√3
Ako je potrebno, procijenite vrijednost korijena. Sada možete procijeniti vrijednost korijena (pronaći približnu vrijednost) upoređujući je s vrijednostima korijena kvadratnih brojeva koji su najbliži (s obje strane brojevne linije) radikalnom broju. Dobit ćete vrijednost korijena kao decimalni, koji se mora pomnožiti sa brojem iza znaka korijena.
- Vratimo se našem primjeru. Radikalni broj je 3. Njemu najbliži kvadratni brojevi će biti brojevi 1 (√1 = 1) i 4 (√4 = 2). Dakle, vrijednost √3 nalazi se između 1 i 2. Pošto je vrijednost √3 vjerovatno bliža 2 nego 1, naša procjena je: √3 = 1,7. Ovu vrijednost množimo brojem u predznaku korijena: 7 x 1,7 = 11,9. Ako izračunate na kalkulatoru, dobićete 12.13, što je prilično blizu našem odgovoru.
  - Ova metoda također funkcionira sa veliki brojevi. Na primjer, uzmite u obzir √35. Radikalni broj je 35. Najbliži kvadratni brojevi njemu će biti brojevi 25 (√25 = 5) i 36 (√36 = 6). Dakle, vrijednost √35 nalazi se između 5 i 6. Pošto je vrijednost √35 mnogo bliža 6 nego 5 (jer je 35 samo 1 manje od 36), možemo reći da je √35 nešto manje od 6 Provjera na kalkulatoru daje nam odgovor 5,92 - bili smo u pravu.
Drugi način je rastavljanje radikalnog broja u proste faktore. Osnovni faktori su brojevi koji su djeljivi samo sa 1 i sami sobom. Napišite proste faktore u nizu i pronađite parove identičnih faktora. Takvi faktori se mogu izdvojiti iz korijenskog znaka.
- Na primjer, izračunajte kvadratni korijen od 45. Radikalni broj činimo u proste faktore: 45 = 9 x 5, i 9 = 3 x 3. Dakle, √45 = √(3 x 3 x 5). 3 se može uzeti kao korijenski znak: √45 = 3√5. Sada možemo procijeniti √5.
- Pogledajmo još jedan primjer: √88.
  - = √(2 x 44)
  - = √ (2 x 4 x 11)
  - = √ (2 x 2 x 2 x 11). Dobili ste tri množitelja od 2; uzmite ih nekoliko i pomaknite ih dalje od korijenskog znaka.
  - = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Sada možete procijeniti √2 i √11 i pronaći približan odgovor.
Ručno izračunavanje kvadratnog korijena

Koristeći dugu podjelu
1. Ova metoda uključuje proces sličan dugoj podjeli i daje tačan odgovor. Prvo nacrtajte okomitu liniju koja dijeli list na dvije polovine, a zatim desno i malo ispod gornjeg ruba lista povucite vodoravnu liniju do okomite linije. Sada podijelite radikalni broj na parove brojeva, počevši od razlomka nakon decimalnog zareza. Dakle, broj 79520789182.47897 je napisan kao "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".
  - Na primjer, izračunajmo kvadratni korijen broja 780,14. Nacrtajte dvije linije (kao što je prikazano na slici) i upišite zadati broj u obliku “7 80, 14” u gornjem lijevom kutu. Normalno je da je prva cifra slijeva neparna cifra. Odgovor (koren od dati broj) upisati ćete gore desno.
2. Za prvi par brojeva (ili jedan broj) s lijeve strane, pronađite najveći cijeli broj n čiji je kvadrat manji ili jednak paru brojeva (ili jednom broju) o kojem je riječ. Drugim riječima, pronađite kvadratni broj koji je najbliži, ali manji od prvog para brojeva (ili jednog broja) s lijeve strane, i uzmite kvadratni korijen tog kvadratni broj; dobićete broj n. Napišite n koje ste pronašli u gornjem desnom uglu, a kvadrat od n upišite dolje desno.
  - U našem slučaju, prvi broj lijevo će biti 7. Sljedeći, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.
3. Od prvog para brojeva (ili jednog broja) s lijeve strane oduzmite kvadrat broja n koji ste upravo pronašli. Rezultat izračunavanja upišite ispod oduzetog (kvadrata broja n).
  - U našem primjeru oduzmite 4 od 7 i dobijete 3.
4. Zabilježite drugi par brojeva i zapišite ga pored vrijednosti dobivene u prethodnom koraku. Zatim udvostručite broj u gornjem desnom uglu i upišite rezultat u donjem desnom uglu sa dodatkom "_×_=".
  - U našem primjeru, drugi par brojeva je "80". Napišite "80" nakon 3. Zatim, dupli broj u gornjem desnom uglu daje 4. Napišite "4_×_=" dolje desno.
5. Popunite prazna polja na desnoj strani.
  - U našem slučaju, ako stavimo broj 8 umjesto crtica, onda je 48 x 8 = 384, što je više od 380. Dakle, 8 je preveliki broj, ali 7 će biti dovoljno. Napišite 7 umjesto crtica i dobijete: 47 x 7 = 329. Napišite 7 u gornjem desnom kutu - ovo je druga znamenka u željenom kvadratnom korijenu broja 780,14.
6. Oduzmite rezultirajući broj od trenutnog broja na lijevoj strani. Rezultat iz prethodnog koraka upišite ispod trenutnog broja s lijeve strane, pronađite razliku i upišite je ispod oduzetog.
  - U našem primjeru oduzmite 329 od 380, što je jednako 51.
7. Ponovite korak 4. Ako je par brojeva koji se prenosi razlomak originalnog broja, onda stavite razdjelnik (zarez) između cijelog broja i razlomaka u traženom kvadratnom korijenu u gornjem desnom kutu. Na lijevoj strani, spustite sljedeći par brojeva. Udvostručite broj u gornjem desnom uglu i upišite rezultat u donjem desnom uglu sa dodatkom "_×_=".
  - U našem primjeru, sljedeći par brojeva koji treba ukloniti bit će razlomak broja 780,14, pa stavite razdjelnik cijelog broja i razlomaka u željeni kvadratni korijen u gornjem desnom uglu. Skinite 14 i upišite ga dolje lijevo. Dvostruki broj u gornjem desnom uglu (27) je 54, pa napišite "54_×_=" dolje desno.
8. Ponovite korake 5 i 6. Nađi jednog najveći broj umjesto crtica na desnoj strani (umjesto crtica trebate zamijeniti isti broj) tako da rezultat množenja bude manji ili jednak trenutnom broju na lijevoj strani.
  - U našem primjeru, 549 x 9 = 4941, što je manje od trenutnog broja na lijevoj strani (5114). Napišite 9 u gornjem desnom kutu i oduzmite rezultat množenja od trenutnog broja na lijevoj strani: 5114 - 4941 = 173.
9. Ako trebate pronaći više decimalnih mjesta za kvadratni korijen, upišite nekoliko nula lijevo od trenutnog broja i ponovite korake 4, 5 i 6. Ponavljajte korake dok ne dobijete tačnost odgovora (broj decimalnih mjesta) koju želite potreba.
Razumijevanje procesa
1. Razmotrimo prvi par znamenki Sa broja S (Sa = 7 u našem primjeru) i pronađimo njegov kvadratni korijen. U ovom slučaju, prva znamenka A željene vrijednosti kvadratnog korijena bit će cifra čiji je kvadrat manji ili jednak S a (to jest, tražimo A takav da je nejednakost A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.
  - Recimo da trebamo podijeliti 88962 sa 7; ovdje će prvi korak biti sličan: razmatramo prvu cifru djeljivog broja 88962 (8) i biramo najveći broj koji, kada se pomnoži sa 7, daje vrijednost manju ili jednaku 8. To jest, tražimo broj d za koji je tačna nejednakost: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.
2. Mentalno zamislite kvadrat čiju površinu trebate izračunati. Tražite L, odnosno dužinu stranice kvadrata čija je površina jednaka S. A, B, C su brojevi u broju L. Možete ga napisati drugačije: 10A + B = L (za dvocifreni broj) ili 100A + 10B + C = L (za trocifreni broj) i tako dalje.
  - Neka (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Zapamtite da je 10A+B broj u kojem cifra B označava jedinice, a cifra A označava desetice. Na primjer, ako je A=1 i B=2, tada je 10A+B jednako broju 12. (10A+B)² je površina cijelog kvadrata, 100A²- površina velikog unutrašnjeg kvadrata, B²- površina malog unutrašnjeg kvadrata, 10A×B- površina svakog od dva pravougaonika. Zbrajanjem površina opisanih figura, naći ćete površinu originalnog kvadrata.

Pogledajmo ovaj algoritam koristeći primjer. Naći ćemo

1. korak. Broj ispod korijena dijelimo na dvocifrena lica (s desna na lijevo):

2. korak. Uzimamo kvadratni korijen prvog lica, odnosno od broja 65 dobijamo broj 8. Ispod prvog lica upisujemo kvadrat broja 8 i oduzimamo. Drugo lice (59) dodjeljujemo ostatku:

(broj 159 je prvi ostatak).

3rd step. Udvostručimo pronađeni korijen i zapišemo rezultat lijevo:

4. korak. Odvojimo jednu cifru na desnoj strani u ostatku (159), a na lijevoj strani dobijemo broj desetica (jednako je 15). Zatim 15 podijelimo sa dvostrukom prvom cifrom korijena, tj. sa 16, pošto 15 nije djeljivo sa 16, količnik rezultira nulom, koju zapisujemo kao drugu cifru korijena. Dakle, u količniku smo dobili broj 80, koji ponovo udvostručimo i uklonimo sljedeću ivicu

(broj 15.901 je drugi ostatak).

5. korak. U drugom ostatku odvojimo jednu cifru s desne strane i dobijeni broj 1590 podijelimo sa 160. Rezultat (broj 9) zapišemo kao treću cifru korijena i dodamo ga broju 160. Dobijeni broj 1609 pomnožimo sa 9 i pronađite sljedeći ostatak (1420):

Nakon toga, radnje se izvode u redoslijedu navedenom u algoritmu (korijen se može izdvojiti sa potrebnim stepenom tačnosti).

Komentar. Ako je radikalni izraz decimalni razlomak, tada se cijeli njegov dio dijeli na rubove od dvije znamenke s desna na lijevo, razlomački dio - dvije znamenke s lijeva na desno, a korijen se izdvaja prema navedenom algoritmu.

DIDAKTIČKI MATERIJAL

1. Uzmi kvadratni korijen broja: a) 32; b) 32,45; c) 249,5; d) 0,9511.

Bibliografski opis: Pryostanovo S. M., Lysogorova L. V. Metode vađenja kvadratnog korijena // Mladi naučnik. 2017. br. 2.2. str. 76-77..02.2019.).

Ključne riječi : kvadratni korijen, ekstrakcija kvadratnog korijena.

Na časovima matematike upoznao sam se s konceptom kvadratnog korijena i operacijom vađenja kvadratnog korijena. Zanimalo me je da li je vađenje kvadratnog korijena moguće samo pomoću tablice kvadrata, pomoću kalkulatora ili postoji način da se izvuče ručno. Našao sam nekoliko načina: formulu Drevnog Babilona, kroz rješavanje jednačina, metodu odbacivanja potpunog kvadrata, Newtonovu metodu, geometrijsku metodu, grafičku metodu (, ), metodu pogađanja, metodu oduzimanja neparnih brojeva.

Razmotrite sljedeće metode:

Razložimo u proste faktore koristeći kriterijum djeljivosti 27225=5*5*3*3*11*11. Dakle

TO Kanadska metoda. Ovu brzu metodu otkrili su mladi naučnici na jednom od vodećih kanadskih univerziteta u 20. vijeku. Njegova tačnost nije veća od dvije do tri decimale.

gdje je x broj iz kojeg se mora izdvojiti korijen, c je broj najbližeg kvadrata), na primjer:

=5,92

U koloni. Ova metoda vam omogućava da pronađete približnu vrijednost korijena bilo kojeg realnog broja sa bilo kojom unaprijed određenom tačnošću. Nedostaci ove metode uključuju sve veću složenost proračuna kako se broj pronađenih cifara povećava. Za ručno izdvajanje korijena koristi se notacija slična dugoj podjeli

Algoritam kvadratnog korijena

1. Razlomački dio i cijeli broj dijelimo odvojeno od zareza na ivici dvije cifre u svakom licu ( poljubac dio - s desna na lijevo; razlomak- s lijeva na desno). Moguće je da cijeli broj može sadržavati jednu cifru, a razlomak može sadržavati nule.

2. Ekstrakcija počinje s lijeva na desno i biramo broj čiji kvadrat ne prelazi broj u prvom licu. Ovaj broj kvadriramo i upišemo ga ispod broja na prvoj strani.

3. Pronađite razliku između broja na prvom licu i kvadrata odabranog prvog broja.

4. Dodamo sljedeću ivicu rezultujućoj razlici, rezultirajući broj će biti djeljiv. Hajde da se obrazujemo razdjelnik. Udvostručimo prvu odabranu cifru odgovora (množimo sa 2), dobijemo broj desetica djelitelja, a broj jedinica treba biti takav da njegov proizvod na cijeli djelitelj ne prelazi dividendu. Odabrani broj zapisujemo kao odgovor.

5. Uzimamo sljedeću ivicu do rezultirajuće razlike i izvodimo radnje prema algoritmu. Ako se ispostavi da je ovo lice lice razlomka, onda u odgovor stavljamo zarez. (Sl. 1.)

Koristeći ovu metodu, možete izdvojiti brojeve s različitim preciznostima, na primjer, do hiljaditih. (Sl.2)

Uzimajući u obzir različite metode vađenja kvadratnog korijena, možemo zaključiti: u svakom konkretnom slučaju morate odlučiti o izboru najefikasnijeg kako biste potrošili manje vremena na rješavanje

književnost:

Kiselev A. Elementi algebre i analize. Prvi dio.-M.-1928

Ključne riječi: kvadratni korijen, kvadratni korijen.

Napomena: Članak opisuje metode za vađenje kvadratnih korijena i daje primjere vađenja korijena.

Skinuti:

Pregled:

Pregled:

Naslovi slajdova:

Pregled:

Koraci

Primena faktorizacije

Ručno izračunavanje kvadratnog korijena

Koristeći dugu podjelu

Razumijevanje procesa

DIDAKTIČKI MATERIJAL