Trigonomeetrias on paljusid valemeid lihtsam tuletada kui meelde jätta. Topeltnurga koosinus on imeline valem! See võimaldab teil saada redutseerimisvalemeid ja poolnurga valemeid.
Seega vajame topeltnurga ja trigonomeetrilise ühiku koosinust:
Need on isegi sarnased: topeltnurga koosinuse valemis - koosinuse ja siinuse ruutude erinevus ning trigonomeetrilises ühikus - nende summa. Kui väljendame koosinust trigonomeetrilisest ühikust:
ja asendame selle topeltnurga koosinusega, saame:
See on teine valem topeltnurga koosinuse jaoks:
See valem on redutseerimisvalemi saamise võti:
Seega on siinuse astme alandamise valem:
Kui selles asendatakse nurk alfa poolnurga alfaga pooleks ja topeltnurk kaks alfa asendatakse nurgaga alfa, siis saame siinuse poolnurga valemi:
Nüüd väljendame trigonomeetrilisest ühikust siinuse:
Asendage see avaldis topeltnurga koosinuse valemis:
Saime topeltnurga koosinuse jaoks veel ühe valemi:
See valem on koosinuse vähendamise valemi ja koosinuse poolnurga valemi leidmise võti.
Seega on koosinusastme alandamise valem:
Kui asendame selles α α-ga α/2 ja 2α α-ga, saame koosinuse poolargumendi valemi:
Kuna puutuja on siinuse ja koosinuse suhe, on puutuja valem järgmine:
Kootangens on koosinuse ja siinuse suhe. Seega on kotangensi valem:
Muidugi pole trigonomeetriliste avaldiste lihtsustamise käigus mõtet tuletada poolnurga valemeid ega iga kord astet alandada. Palju lihtsam on valemite leht enda ette panna. Ja lihtsustamine edeneb kiiremini ja visuaalne mälu lülitub meeldejätmiseks sisse.
Aga neid valemeid tasub ikka mitu korda tuletada. Siis olete täiesti kindel, et eksami ajal, kui petulehte pole võimalik kasutada, saate need hõlpsalt kätte, kui vajadus peaks tekkima.
Siinusväärtused on vahemikus [-1; 1], st. -1 ≤ sin α ≤ 1. Seega, kui |a| > 1, siis võrrandil sin x = a pole juuri. Näiteks võrrandil sin x = 2 pole juuri.
Pöördume mõne ülesande juurde.
Lahendage võrrand sin x = 1/2.
Otsus.
Pange tähele, et sin x on ühikringi punkti ordinaat, mis saadakse punkti Р (1; 0) pööramise tulemusena nurga x võrra ümber alguspunkti.
Ringjoone kahes punktis M 1 ja M 2 on ordinaat, mis võrdub ½.
Kuna 1/2 \u003d sin π / 6, siis saadakse punkt M 1 punktist P (1; 0), pöörates läbi nurga x 1 \u003d π / 6, samuti läbi nurkade x \u003d π / 6 + 2πk, kus k \u003d +/-1, +/-2, …
Punkt M 2 saadakse punktist P (1; 0) läbi nurga x 2 = 5π/6 pööramise tulemusena, samuti läbi nurkade x = 5π/6 + 2πk, kus k = +/- 1, +/-2, ... , st. nurkade korral x = π – π/6 + 2πk, kus k = +/-1, +/-2, ….
Niisiis, kõik võrrandi sin x = 1/2 juured on leitavad valemitega x = π/6 + 2πk, x = π - π/6 + 2πk, kus k € Z.
Need valemid saab ühendada üheks: x \u003d (-1) n π / 6 + πn, kus n € Z (1).
Tõepoolest, kui n on paarisarv, st. n = 2k, siis valemist (1) saame х = π/6 + 2πk ja kui n on paaritu arv, s.o. n = 2k + 1, siis valemist (1) saame х = π – π/6 + 2πk.
Vastus. x \u003d (-1) n π / 6 + πn, kus n € Z.
Lahendage võrrand sin x = -1/2.
Otsus.
Ordinaadil -1/2 on ühikringi kaks punkti M 1 ja M 2, kus x 1 = -π/6, x 2 = -5π/6. Seetõttu võib kõik võrrandi sin x = -1/2 juured leida valemitega x = -π/6 + 2πk, x = -5π/6 + 2πk, k ∈ Z.
Saame need valemid üheks ühendada: x \u003d (-1) n (-π / 6) + πn, n € Z (2).
Tõepoolest, kui n = 2k, siis valemiga (2) saame x = -π/6 + 2πk ja kui n = 2k – 1, siis valemiga (2) leiame x = -5π/6 + 2πk.
Vastus. x \u003d (-1) n (-π / 6) + πn, n € Z.
Seega on igal võrrandil sin x = 1/2 ja sin x = -1/2 lõpmatu arv juuri.
Lõigus -π/2 ≤ x ≤ π/2 on igal võrrandil ainult üks juur:
x 1 \u003d π / 6 - võrrandi sin x \u003d 1/2 ja x 1 \u003d -π / 6 juur - võrrandi sin x \u003d -1/2 juur.
Arvu π/6 nimetatakse arvu 1/2 arkosiiniks ja kirjutatakse: arcsin 1/2 = π/6; arvu -π/6 nimetatakse arvu -1/2 arkosiiniks ja nad kirjutavad: arcsin (-1/2) = -π/6.
Üldiselt on võrrandil sin x \u003d a, kus -1 ≤ a ≤ 1, lõigul -π / 2 ≤ x ≤ π / 2 on ainult üks juur. Kui a ≥ 0, siis on juur antud intervalliga; kui a< 0, то в промежутке [-π/2; 0). Этот корень называют арксинусом числа а и обозначают arcsin а.
Seega arvu a arcsinus € [–1; 1] sellist arvu nimetatakse € [–π/2; π/2], mille siinus on a.
arcsin a = α, kui sin α = a ja -π/2 ≤ x ≤ π/2 (3).
Näiteks arcsin √2/2 = π/4, kuna sin π/4 = √2/2 ja – π/2 ≤ π/4 ≤ π/2;
arcsin (-√3/2) = -π/3, kuna sin (-π/3) = -√3/2 ja – π/2 ≤ 
– π/3 ≤ π/2.
Sarnaselt sellele, kuidas seda tehti ülesannete 1 ja 2 lahendamisel, saab näidata, et võrrandi juured sin x = a, kus |a| ≤ 1 väljendatakse valemiga
x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n € Z (4).
Samuti võime tõestada, et iga [-1; 1] kehtib valem arcsin (-a) = -arcsin a.
Valemist (4) järeldub, et võrrandi juured
sin x \u003d a \u003d 0, a \u003d 1, a \u003d -1 jaoks saab leida lihtsamate valemite abil:
sin x \u003d 0 x \u003d πn, n € Z (5)
sin x \u003d 1 x \u003d π / 2 + 2πn, n € Z (6)
sin x \u003d -1 x \u003d -π / 2 + 2πn, n € Z (7)
saidil, materjali täieliku või osalise kopeerimise korral on nõutav link allikale.
|BD| - punktis A tsentreeritud ringikaare pikkus.
α on radiaanides väljendatud nurk.
Tangent ( tgα) on trigonomeetriline funktsioon, mis sõltub täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi ja haru vahelisest nurgast α, mis on võrdne vastasharu pikkuse suhtega |BC| külgneva jala pikkusele |AB| .
Kotangent ( ctgα) on trigonomeetriline funktsioon, mis sõltub täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi ja haru vahelisest nurgast α, mis on võrdne külgneva haru pikkuse suhtega |AB| vastasjala pikkuseni |BC| .
Tangent
Kus n- terve.
Lääne kirjanduses on puutuja tähistatud järgmiselt:
.
;
;
.
Puutujafunktsiooni graafik, y = tg x
Kotangent
Kus n- terve.
Lääne kirjanduses on kootangens tähistatud järgmiselt:
.
Samuti on kasutusele võetud järgmine märge:
;
;
.
Kootangensfunktsiooni graafik, y = ctg x
Tangensi ja kotangensi omadused
Perioodilisus
Funktsioonid y= tg x ja y= ctg x on perioodilised perioodiga π.
Pariteet
Funktsioonid puutuja ja kotangent on paaritud.
Määratlusvaldkonnad ja väärtused, tõusev, kahanev
Funktsioonid tangens ja kotangent on oma definitsioonipiirkonnas pidevad (vt pidevuse tõestust). Puutuja ja kotangensi peamised omadused on toodud tabelis ( n- täisarv).
| y= tg x | y= ctg x | |
| Ulatus ja järjepidevus | ||
| Väärtuste vahemik | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Kasvav | - | |
| Langevad | - | |
| Äärmused | - | - |
| Nullid, y= 0 | ||
| Lõikepunktid y-teljega, x = 0 | y= 0 | - |
Valemid
Avaldised siinuse ja koosinuse mõistes
;
;
;
;
;
Summa ja vahe puutuja ja kotangensi valemid
Ülejäänud valemeid on näiteks lihtne hankida
Puutujate korrutis
Puutujate summa ja erinevuse valem
See tabel näitab mõne argumendi väärtuse puutujate ja kotangentide väärtusi. 
Avaldised kompleksarvude kujul
Avaldised hüperboolsete funktsioonide järgi
;
;
Tuletised
; .
.
Funktsiooni muutuja x n-ndat järku tuletis:
.
Tangensi > > > valemite tuletamine ; kotangensi jaoks >>>
Integraalid
Laiendused seeriateks
Puutuja laienduse saamiseks x astmetes tuleb funktsioonide astmereas võtta mitu laienduse liiget sin x ja cos x ja jagage need polünoomid üksteiseks , . Selle tulemuseks on järgmised valemid.
Kell .
aadressil .
kus B n- Bernoulli numbrid. Need määratakse kas kordumise seose põhjal:
;
;
kus .
Või vastavalt Laplace'i valemile: 
Pöördfunktsioonid
Tangensi ja kotangensi pöördfunktsioonid on vastavalt arktangens ja arkotangens.
Arktangent, arctg
, kus n- terve.
Kaare puutuja, arcctg
, kus n- terve.
Viited:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Matemaatika käsiraamat inseneridele ja kõrgkoolide üliõpilastele, Lan, 2009.
G. Korn, Matemaatika käsiraamat teadlastele ja inseneridele, 2012.
Lihtsamad trigonomeetrilised identiteedid
Nurga alfa siinuse jagamine sama nurga koosinusega on võrdne selle nurga puutujaga (valem 1). Vaata ka lihtsaimate trigonomeetriliste identiteetide teisenduse õigsuse tõestust.
Nurga alfa koosinuse jagamine sama nurga siinuse jagatis on võrdne sama nurga kootangensiga (valem 2)
Nurga sekant võrdub nurgaga, mis on jagatud sama nurga koosinusega (valem 3)
Sama nurga siinuse ja koosinuse ruutude summa on võrdne ühega (valem 4). vaata ka koosinuse ja siinuse ruutude summa tõestust.
Ühiku ja nurga puutuja summa on võrdne ühiku ja selle nurga koosinuse ruudu suhtega (valem 5)
Ühik pluss nurga kootangens on võrdne ühiku jagatisega selle nurga siinusruuduga (valem 6)
Sama nurga puutuja ja kotangensi korrutis on võrdne ühega (valem 7).
Trigonomeetriliste funktsioonide negatiivsete nurkade teisendamine (paaris ja paaritu)
Selleks, et siinuse, koosinuse või puutuja arvutamisel vabaneda nurga astmemõõdu negatiivsest väärtusest, saate paaris või paaritu trigonomeetriliste funktsioonide põhimõtete alusel kasutada järgmisi trigonomeetrilisi teisendusi (identiteete).
Nagu nähtud, koosinus ja secant on ühtlane funktsioon, siinus, puutuja ja kotangens on paaritu funktsioonid.
Negatiivse nurga siinus on võrdne sama positiivse nurga siinuse negatiivse väärtusega (miinus alfa siinus).
Koosinus "miinus alfa" annab sama väärtuse kui nurga alfa koosinus.
Puutuja miinus alfa on võrdne miinus puutujaga alfa.
Topeltnurga vähendamise valemid (topeltnurga siinus, koosinus, puutuja ja kotangens)
Kui teil on vaja nurk jagada pooleks või vastupidi, minna topeltnurgalt ühele, saate kasutada järgmisi trigonomeetrilisi identiteete:
Topeltnurga teisendus (topeltnurga siinus, topeltnurga koosinus ja topeltnurga puutuja) toimub üheks vastavalt järgmistele reeglitele:
Topeltnurga siinus võrdub ühe nurga siinuse ja koosinuse kahekordse korrutisega
Topeltnurga koosinus on võrdne ühe nurga koosinuse ruudu ja selle nurga siinuse ruudu vahega
Topeltnurga koosinus võrdub ühe nurga koosinuse kahekordse ruuduga miinus üks
Topeltnurga koosinus võrdub ühe miinus ühe nurga topeltsiinuse ruut
Topeltnurga puutuja on võrdne murdosaga, mille lugeja on ühe nurga puutuja kaks korda suurem ja mille nimetaja on võrdne ühega, millest on lahutatud üksiknurga ruudu puutuja.
Topeltnurga kotangents on võrdne murdosaga, mille lugeja on ühe nurga kotangens miinus üks ruut ja nimetaja on võrdne üksiknurga kahekordse kotangensiga
Universaalsed trigonomeetrilised asendusvalemid
Alltoodud teisendusvalemid võivad olla kasulikud, kui peate jagama trigonomeetrilise funktsiooni argumendi (sin α, cos α, tg α) kahega ja viima avaldise poole nurga väärtuseni. α väärtusest saame α/2 .Neid valemeid nimetatakse universaalse trigonomeetrilise asenduse valemid. Nende väärtus seisneb selles, et trigonomeetriline avaldis nende abiga taandatakse poolnurga puutuja avaldisele, olenemata sellest, millised trigonomeetrilised funktsioonid (sin cos tg ctg) avaldises algselt olid. Pärast seda on võrrandit poole nurga puutujaga palju lihtsam lahendada.
Trigonomeetrilised poolnurga teisenduse identiteedid
Järgnevalt on toodud valemid poole nurga väärtuse trigonomeetriliseks teisendamiseks selle täisarvuks.Trigonomeetrilise funktsiooni α/2 argumendi väärtus taandatakse trigonomeetrilise funktsiooni α argumendi väärtuseks.
Trigonomeetrilised valemid nurkade liitmiseks
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α
sin (α - β) = sin α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
Nurkade summa puutuja ja kotangens alfa- ja beetaversiooni saab teisendada vastavalt järgmistele trigonomeetriliste funktsioonide teisendamise reeglitele:
Nurkade summa puutuja on võrdne murdosaga, mille lugeja on esimese nurga puutuja ja teise nurga puutuja summa ning nimetaja on üks miinus esimese nurga puutuja ja teise nurga puutuja korrutis.
Nurkade erinevuse puutuja on võrdne murdosaga, mille lugeja on võrdne vähendatud nurga puutuja ja lahutatava nurga puutuja vahega ning nimetaja on üks pluss nende nurkade puutujate korrutis.
Nurkade summa kotangents on võrdne murdosaga, mille lugeja on võrdne nende nurkade kotangentide pluss ühe korrutisega ning nimetaja on võrdne teise nurga ja esimese nurga kotangensi vahega.
Nurga erinevuse kotangents on võrdne murdosaga, mille lugeja on nende nurkade kaastangentide korrutis miinus üks ja nimetaja on võrdne nende nurkade kotangentide summaga.
Neid trigonomeetrilisi identiteete on mugav kasutada, kui peate arvutama näiteks 105 kraadi puutuja (tg 105). Kui see on esitatud kui tg (45 + 60), saate kasutada nurkade summa puutuja antud identseid teisendusi, mille järel asendate lihtsalt puutuja 45 ja puutuja tabeliväärtused. 60 kraadist.
Valemid trigonomeetriliste funktsioonide summa või erinevuse teisendamiseks
Avaldised, mis esindavad vormi sin α + sin β summat, saab teisendada järgmiste valemite abil:
Kolmiknurga valemid – sin3α cos3α tg3α teisendamine sinα cosα tgα
Mõnikord on vaja nurga kolmikväärtus teisendada nii, et nurk α saaks trigonomeetrilise funktsiooni argumendiks 3α asemel.Sel juhul saate kolmiknurga teisendamiseks kasutada valemeid (identiteete):
Valemid trigonomeetriliste funktsioonide korrutise teisendamiseks
Kui on vaja teisendada erinevate nurkade koosinuste eri nurkade siinuste korrutis või isegi siinuse ja koosinuse korrutis, saate kasutada järgmisi trigonomeetrilisi identiteete:
Sel juhul teisendatakse erinevate nurkade siinus-, koosinus- või puutujafunktsioonide korrutis summaks või erinevuseks.
Valemid trigonomeetriliste funktsioonide vähendamiseks
Valamislauda peate kasutama järgmiselt. Valige realt funktsioon, mis meid huvitab. Veerg on nurk. Näiteks nurga (α+90) siinus esimese rea ja esimese veeru ristumiskohas saame teada, et sin (α+90) = cos α .
Laadimine...