Kahe avaldise summa ruut
On mitmeid juhtumeid, kus polünoomi polünoomiga korrutamist saab oluliselt lihtsustada. Nii on näiteks (2 x+ 3y) 2 .
Väljend (2 x+ 3y) 2 on kahe polünoomi korrutis, millest igaüks on võrdne (2 x+ 3y)
(2x+ 3y) 2 = (2x+ 3y)(2x+ 3y)
Saime polünoomi korrutuse polünoomiga. Teostame selle:
(2x+ 3y) 2 = (2x+ 3y)(2x+ 3y) = 4x 2 + 6xy + 6xy + 9y 2 = 4x 2 + 12xy+ 9y 2
See tähendab, et väljend (2 x+ 3y) 2 on võrdne 4x 2 + 12xy + 9y 2
(2x+ 3y) 2 = 4x 2 + 12xy+ 9y 2
Lahendame sarnase näite, mis on lihtsam:
(a+b) 2
Väljend ( a+b) 2 on kahe polünoomi korrutis, millest igaüks on võrdne ( a+b)
(a+b) 2 = (a+b)(a+b)
Teeme selle korrutamise:
(a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2
See on väljend (a+b) 2 on võrdne a 2 + 2ab + b 2
(a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
Selgub, et juhtum ( a+b) 2 saab pikendada mis tahes a ja b. Esimene näide, mille me lahendasime, nimelt (2 x+ 3y) 2 saab lahendada identiteedi abil (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 . Selleks peate muutujate asemel asendama a ja b vastavad terminid avaldisest (2 x+ 3y) 2 . Sel juhul muutuja a tiku riista 2 x, ja muutuja b tiku riista 3 y
a = 2x
b = 3y
Ja siis saame identiteeti kasutada (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 , vaid muutujate asemel a ja b peate asendama väljendid 2 x ja 3 y vastavalt:
(2x+ 3y) 2 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 3 y + (3y) 2 = 4x 2 + 12xy+ 9y 2
Nagu eelmisel korral, saime polünoomi 4x 2 + 12xy+ 9y 2 . Lahendus kirjutatakse tavaliselt lühemalt, tehes meeles kõik elementaarsed teisendused:
(2x+ 3y) 2 = 4x 2 + 12xy+ 9y 2
Identiteet (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 nimetatakse kahe avaldise summa ruudu valemiks. Seda valemit saab lugeda järgmiselt:
Kahe avaldise summa ruut võrdub esimese avaldise ruuduga pluss esimese avaldise ja teise avaldise kahekordne korrutis ja teise avaldise ruut.
Vaatleme avaldist (2 + 3) 2 . Seda saab arvutada kahel viisil: liita sulgudes ja ruudus tulemus või kasutada kahe avaldise summa ruudu valemit.
Esimene viis:
(2 + 3) 2 = 5 2 = 25
Teine viis:
(2 + 3) 2 = 2 2 + 2 × 2 × 3 + 3 2 = 4 + 12 + 9 = 25
Näide 2. Teisenda avaldis (5 a+ 3) 2 polünoomiks.
Kasutame kahe avaldise summa ruudu valemit:
(a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(5a + 3) 2 = (5a) 2 + 2 × 5 a × 3 + 3 2 = 25a 2 + 30a + 9
Tähendab, (5a + 3) 2 = 25a 2 + 30a + 9.
Proovime seda näidet lahendada ilma summaruudu valemit kasutamata. Peaksime saama sama tulemuse:
(5a + 3) 2 = (5a + 3)(5a + 3) = 25a 2 + 15a + 15a + 9 = 25a 2 + 30a + 9
Kahe avaldise summa ruudu valemil on geomeetriline tähendus. Peame meeles, et ruudu pindala arvutamiseks peate tõstma selle külje teise astmeni.
Näiteks küljega ruudu pindala a on võrdne a 2. Kui suurendate ruudu külge b, siis on pindala võrdne ( a+b) 2
Mõelge järgmisele joonisele:
Kujutage ette, et sellel joonisel näidatud ruudu külgi suurendatakse võrra b. Ruudu kõik küljed on võrdsed. Kui selle külg on suurenenud b, siis suurenevad ka teised küljed võrra b
Tulemuseks on uus ruut, mis on eelmisest suurem. Et seda hästi näha, täiendame puuduvad küljed:
Selle ruudu pindala arvutamiseks saate selles sisalduvad ruudud ja ristkülikud eraldi välja arvutada ning seejärel tulemused lisada.
Esiteks saate arvutada küljega ruudu a- selle pindala on võrdne a 2. Seejärel saate arvutada külgedega ristkülikuid a ja b- nad on võrdsed ab. Seejärel saate arvutada küljega ruudu b
Tulemuseks on järgmine alade summa:
a 2 + ab+ab + b 2
Ühesuguste ristkülikute pindalade summa saab asendada 2 korrutamisega ab, mis sõna-sõnalt tähendab "Korda kaks korda ristküliku ab pindala" . Algebraliselt saadakse see sarnaste terminite redutseerimisel ab ja ab. Tulemuseks on väljend a 2 + 2ab+ b 2 , mis on kahe avaldise summa ruudu valemi parem pool:
(a+b) 2 = a 2 + 2ab+ b 2
Kahe avaldise erinevuse ruut
Kahe avaldise erinevuse ruudu valem on järgmine:
(a-b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
Kahe avaldise erinevuse ruut võrdub esimese avaldise ruuduga, millest on lahutatud esimese avaldise kahekordne korrutis ja teine pluss teise avaldise ruut.
Kahe avaldise erinevuse ruudu valem tuletatakse samamoodi nagu kahe avaldise summa ruudu valem. Väljend ( a-b) 2 on kahe polünoomi korrutis, millest igaüks on võrdne ( a-b)
(a-b) 2 = (a-b)(a-b)
Kui teete selle korrutamise, saate polünoomi a 2 − 2ab + b 2
(a-b) 2 = (a-b)(a-b) = a 2 − ab− ab+ b 2 = a 2 − 2ab + b 2
Näide 1. Teisenda avaldis (7 x− 5) 2 polünoomiks.
Kasutame kahe avaldise erinevuse ruudu valemit:
(a-b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
(7x− 5) 2 = (7x) 2–2 × 7 x × 5 + 5 2 = 49x 2 − 70x + 25
Tähendab, (7x− 5) 2 = 49x 2 + 70x + 25.
Proovime seda näidet lahendada ilma erinevuse ruudu valemit kasutamata. Peaksime saama sama tulemuse:
(7x− 5) 2 = (7x− 5) (7x− 5) = 49x 2 − 35x − 35x + 25 = 49x 2 − 70x+ 25.
Geomeetriline tähendus on ka kahe avaldise erinevuse ruudu valemil. Kui küljega ruudu pindala a on võrdne a 2, siis ruudu pindala, mille külge on vähendatud b, on võrdne ( a-b) 2
Mõelge järgmisele joonisele:
Kujutage ette, et sellel joonisel näidatud ruudu külgi vähendatakse võrra b. Ruudu kõik küljed on võrdsed. Kui üks pool on vähendatud b, siis vähenevad ka teised küljed võrra b
Tulemuseks on uus ruut, mis on eelmisest väiksem. See on joonisel kollaselt esile tõstetud. Selle külg on a− b alates vanast küljest a võrra vähenenud b. Selle ruudu pindala arvutamiseks võite kasutada ruudu algset pindala a 2 lahutage vana ruudu külgede vähendamise käigus saadud ristkülikute pindalad. Näitame neid ristkülikuid:
Siis saame kirjutada järgmise avaldise: vana ala a 2 miinus pindala ab miinus ala ( a-b)b
a 2 − ab − (a-b)b
Laiendage avaldises olevaid sulgusid ( a-b)b
a 2 − ab - ab + b 2
Siin on sarnased terminid:
a 2 − 2ab + b 2
Tulemuseks on väljend a 2 − 2ab + b 2 , mis on kahe avaldise erinevuse ruudu valemi parem pool:
(a-b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
Üldjuhul nimetatakse summa ruudu ja vahe ruudu valemeid lühendatud korrutusvalemid. Need valemid võimaldavad polünoomide korrutamise protsessi oluliselt lihtsustada ja kiirendada.
Varem rääkisime, et kui arvestada polünoomi liiget eraldi, siis tuleb seda vaadelda koos märgiga, mis asub tema ees.
Kuid lühendatud korrutusvalemite rakendamisel ei tohiks algpolünoomi märki pidada selle termini märgiks.
Näiteks kui võtta arvesse avaldist (5 x − 2y) 2 ja me tahame kasutada valemit (a-b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 , siis selle asemel b tuleb asendada 2 y, mitte -2 y. See on valemitega töötamise funktsioon, mida ei tohiks unustada.
(5x − 2y) 2
a = 5x
b = 2y
(5x − 2y) 2 = (5x) 2–2 × 5 x×2 y + (2y) 2 = 25x 2 − 20xy + 4y 2
Kui asendame −2 y, siis tähendab see, et algse avaldise sulgudes olev erinevus on asendatud summaga:
(5x − 2y) 2 = (5x + (−2y)) 2
ja sel juhul on vaja rakendada mitte erinevuse ruudu valemit, vaid summa ruudu valemit:
(5x + (−2y) 2
a = 5x
b = −2y
(5x + (−2y)) 2 = (5x) 2 + 2 × 5 x× (−2 y) + (−2y) 2 = 25x 2 − 20xy + 4y 2
Erandiks võivad olla vormiväljendid (x− (−y)) 2 . Sel juhul kasutades valemit (a-b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 selle asemel b tuleks asendada (- y)
(x− (−y)) 2 = x 2–2 × x× (− y) + (−y) 2 = x 2 + 2xy + y 2
Aga vormi ruudukujulised avaldised x − (−y), on mugavam asendada lahutamine liitmisega x+y. Seejärel võtab algne avaldis kujul ( x +y) 2 ja on võimalik kasutada summa ruudu valemit, mitte erinevust:
(x +y) 2 = x 2 + 2xy + y 2
Summa- ja vahekuubik
Kahe avaldise summa kuubi ja kahe avaldise erinevuse kuubi valemid on järgmised:
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a-b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3
Kahe avaldise summa kuubi valemit saab lugeda järgmiselt:
Kahe avaldise summa kuup võrdub esimese avaldise kuubiga pluss kolm korda esimese avaldise ruut korda teine pluss kolm korda esimese avaldise korrutis teise ruut pluss teise kuup väljendus.
Ja kahe avaldise erinevuse kuubi valemit saab lugeda järgmiselt:
Kahe avaldise erinevuse kuup on võrdne esimese avaldise kuubiga, millest on lahutatud esimese avaldise ruudu kolm korda ja teise avaldise ruudu korrutis, pluss kolm korda esimese avaldise ruudu korrutis ja teise avaldise ruudu korrutis, millest on lahutatud kuup teisest väljendist.
Ülesannete lahendamisel on soovitav neid valemeid peast teada. Kui te ei mäleta, ärge muretsege! Saate need ise välja võtta. Me juba teame, kuidas.
Tuletame iseseisvalt summa kuubiku valemi:
(a+b) 3
Väljend ( a+b) 3 on kolme polünoomi korrutis, millest igaüks on võrdne ( a+ b)
(a+b) 3 = (a+ b)(a+ b)(a+ b)
Kuid väljend ( a+b) 3 võib kirjutada ka kui (a+ b)(a+ b) 2
(a+b) 3 = (a+ b)(a+ b) 2
Sel juhul on tegur ( a+ b) 2 on kahe avaldise summa ruut. See summa ruut on võrdne avaldisega a 2 + 2ab + b 2 .
Siis ( a+b) 3 saab kirjutada kui (a+ b)(a 2 + 2ab + b 2) .
(a+b) 3 = (a+ b)(a 2 + 2ab + b 2)
Ja see on polünoomi korrutamine polünoomiga. Teostame selle:
(a+b) 3 = (a+ b)(a 2 + 2ab + b 2) = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + a 2 b + 2ab 2 + b 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Samamoodi saate tuletada kahe avaldise erinevuse kuubi valemi:
(a-b) 3 = (a- b)(a 2 − 2ab + b 2) = a 3 − 2a 2 b + ab 2 − a 2 b + 2ab 2 − b 3 = a 3 − 3a 2 b+ 3ab 2 − b 3
Näide 1. Teisenda avaldis ( x+ 1) 3 polünoomiks.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(x+ 1) 3 = x 3+3× x 2×1 + 3× x× 1 2 + 1 3 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1
Proovime seda näidet lahendada ilma kahe avaldise summa kuubivalemit kasutamata
(x+ 1) 3 = (x+ 1)(x+ 1)(x+ 1) = (x+ 1)(x 2 + 2x + 1) = x 3 + 2x 2 + x + x 2 + 2x + 1 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1
Näide 2. Avaldise teisendamine (6a 2 + 3b 3) 3 polünoomiks.
Kasutame kahe avaldise summa saamiseks kuubi valemit:
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(6a 2 + 3b 3) 3 = (6a 2) 3 + 3 × (6 a 2) 2 × 3 b 3+3×6 a 2 × (3b 3) 2 + (3b 3) 3 = 216a 6+3×36 a 4 × 3 b 3+3×6 a 2×9 b 6 + 27b 9
Näide 3. Teisenda avaldis ( n 2 − 3) 3 polünoomiks.
(a-b) = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3
(n 2 − 3) 3 = (n 2) 3–3 × ( n 2) 2×3 + 3× n 2 × 3 2 - 3 3 = n 6 − 9n 4 + 27n 2 − 27
Näide 4. Avaldise teisendamine (2x 2 − x 3) 3 polünoomiks.
Kasutame kahe avaldise erinevuse kuubivalemit:
(a-b) = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3
(2x 2 − x 3) 3 = (2x 2) 3–3 × (2 x 2) 2× x 3+3×2 x 2×( x 3) 2 − (x 3) 3 =
8x 6–3 × 4 x 4× x 3+3×2 x 2× x 6 − x 9 =
8x 6 − 12x 7 + 6x 8 − x 9
Kahe avaldise erinevuse korrutamine nende summaga
On ülesandeid, mille puhul tuleb kahe avaldise vahe korrutada nende summaga. Näiteks:
(a-b)(a+b)
Selles avaldises kahe avaldise erinevus a ja b korrutatuna sama kahe avaldise summaga. Teeme selle korrutamise:
(a-b)(a+b) = a 2 + ab − ab − b 2 = a 2 − b 2
See on väljend (a-b)(a+b) võrdub a 2 − b 2
(a-b)(a+b) = a 2 − b 2
Näeme, et kahe avaldise erinevuse korrutamisel nende summaga saame nende avaldiste ruutude erinevuse.
Kahe avaldise erinevuse ja nende summa korrutis on võrdne nende avaldiste ruutude erinevusega.
Toimub (a-b)(a+b) saab laiendada ükskõik millisele a ja b. Lihtsamalt öeldes, kui ülesande lahendamisel on vaja korrutada kahe avaldise erinevus nende summaga, siis saab selle korrutamise asendada nende avaldiste ruutude erinevusega.
Näide 1. Tehke korrutamine (2x − 5)(2x + 5)
Selles näites on avaldise erinevus 2 x ja 5 korrutatuna nende samade avaldiste summaga. Siis valemi järgi (a-b)(a+b) = a 2 − b 2 meil on:
(2x − 5)(2x + 5) = (2x) 2 − 5 2
Arvutame parema külje, saame 4 x 2 − 25
(2x − 5)(2x + 5) = (2x) 2 − 5 2 = 4x 2 − 25
Proovime seda näidet lahendada ilma valemit kasutamata (a-b)(a+b) = a 2 − b 2 . Saame sama tulemuse 4 x 2 − 25
(2x − 5)(2x + 5) = 4x 2 − 10x + 10x − 25 = 4x 2 − 25
Näide 2. Tehke korrutamine (4x − 5y)(4x + 5y)
(a-b)(a+b) = a 2 − b 2
(4x − 5y)(4x + 5y) = (4x) 2 − (5y) 2 = 16x 2 − 25y 2
Näide 3. Tehke korrutamine (2a+ 3b)(2a− 3b)
Kasutame valemit kahe avaldise erinevuse korrutamiseks nende summaga:
(a-b)(a+b) = a 2 − b 2
(2a + 3b)(2a- 3b) = (2a) 2 − (3b) 2 = 4a 2 − 9b 2
Selles näites on terminite summa 2 a ja 3 b asub varem kui nende terminite erinevus. Ja valemis (a-b)(a+b) = a 2 − b 2 erinevus asub varem.
Pole vahet, kuidas tegurid on paigutatud ( a-b) in ( a+b) valemis. Neid saab kirjutada kui (a-b)(a+b) , ja (a+b)(a-b) . Tulemus jääb ikka olema a 2 − b 2, kuna korrutis ei muutu tegurite permutatsiooni tõttu.
Nii et selles näites on tegurid (2 a + 3b) ja 2 a- 3b) saab kirjutada kui (2a + 3b)(2a- 3b) , ja (2a- 3b)(2a + 3b) . Tulemuseks jääb ikkagi 4. a 2 − 9b 2 .
Näide 3. Tehke korrutamine (7 + 3x)(3x − 7)
Kasutame valemit kahe avaldise erinevuse korrutamiseks nende summaga:
(a-b)(a+b) = a 2 − b 2
(7 + 3x)(3x − 7) = (3x) 2 − 7 2 = 9x 2 − 49
Näide 4. Tehke korrutamine (x 2 − y 3)(x 2 + y 3)
(a-b)(a+b) = a 2 − b 2
(x 2 − y 3)(x 2 + y 3) = (x 2) 2 − (y 3) 2 = x 4 − y 6
Näide 5. Tehke korrutamine (−5x− 3y)(5x− 3y)
Avaldises (−5 x− 3y) võtame välja −1, siis saab algne avaldis järgmise kuju:
(−5x− 3y)(5x− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y)
Töö (5x + 3y)(5x − 3y) asendada ruutude erinevusega:
(−5x− 3y)(5x− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y) = −1((5x) 2 − (3y) 2)
Ruudude erinevus oli sulgudes. Kui seda ei tehta, selgub, et −1 korrutatakse ainult (5 x) 2 . Ja see toob kaasa vea ja muudab algse avaldise väärtust.
(−5x− 3y)(5x− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y) = −1((5x) 2 − (3y) 2) = −1(25x 2 − 9x 2)
Nüüd korrutage −1 sulgudes oleva avaldisega ja saate lõpptulemuse:
(−5x− 3y)(5x− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y) = −1((5x) 2 − (3y) 2) =
−1(25x 2 − 9y 2) = −25x 2 + 9y 2
Kahe avaldise erinevuse korrutamine nende summa mittetäieliku ruuduga
On ülesandeid, mille puhul tuleb kahe avaldise erinevus korrutada nende summa mittetäieliku ruuduga. See tükk näeb välja selline:
(a-b)(a 2 + ab + b 2)
Esimene polünoom ( a-b) on kahe avaldise ja teise polünoomi erinevus (a 2 + ab + b 2) on nende kahe avaldise summa mittetäielik ruut.
Summa mittetäielik ruut on vormi polünoom a 2 + ab + b 2 . See on sarnane summa tavalise ruuduga a 2 + 2ab + b 2
Näiteks väljend 4x 2 + 6xy + 9y 2 on avaldiste summa 2 mittetäielik ruut x ja 3 y .
Tõepoolest, väljendi esimene liige 4x 2 + 6xy + 9y 2 , nimelt 4 x 2 on avaldise 2 ruut x, alates (2 x) 2 = 4x 2. Avaldise kolmas liige 4x 2 + 6xy + 9y 2 , nimelt 9 y 2 on 3 ruut y, sest (3 y) 2 = 9y 2. keskmine munn 6 xy, on avaldiste 2 korrutis x ja 3 y.
Nii et korrutame vahe ( a-b) summa mittetäieliku ruudu võrra a 2 + ab + b 2
(a-b)(a 2 + ab + b 2) = a(a 2 + ab + b 2) − b(a 2 + ab + b 2) =
a 3 + a 2 b + ab 2 − a 2 b − ab 2 − b 3 = a 3 − b 3
See on väljend (a-b)(a 2 + ab + b 2) võrdub a 3 − b 3
(a-b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3
Seda identiteeti nimetatakse valemiks kahe avaldise erinevuse korrutamiseks nende summa mittetäieliku ruuduga. Seda valemit saab lugeda järgmiselt:
Kahe avaldise erinevuse ja nende summa mittetäieliku ruudu korrutis võrdub nende avaldiste kuubikute vahega.
Näide 1. Tehke korrutamine (2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2)
Esimene polünoom (2 x − 3y) on kahe avaldise 2 erinevus x ja 3 y. Teine polünoom 4x 2 + 6xy + 9y 2 on kahe avaldise summa mittetäielik ruut 2 x ja 3 y. See võimaldab meil kasutada valemit ilma pikki arvutusi tegemata (a-b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3 . Meie puhul korrutamine (2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2) saab asendada kuubikute vahega 2 x ja 3 y
(2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2) = (2x) 3 − (3y) 3 = 8x 3 − 27y 3
(a-b)(a 2 + ab+ b 2) = a 3 − b 3 . Saame sama tulemuse, kuid lahendus muutub pikemaks:
(2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2) = 2x(4x 2 + 6xy + 9y 2) − 3y(4x 2 + 6xy + 9y 2) =
8x 3 + 12x 2 y + 18xy 2 − 12x 2 y − 18xy 2 − 27y 3 = 8x 3 − 27y 3
Näide 2. Tehke korrutamine (3 − x)(9 + 3x + x 2)
Esimene polünoom (3 − x) on kahe avaldise erinevus ja teine polünoom on nende kahe avaldise summa mittetäielik ruut. See võimaldab meil kasutada valemit (a-b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3
(3 − x)(9 + 3x + x 2) = 3 3 − x 3 = 27 − x 3
Kahe avaldise summa korrutamine nende erinevuse mittetäieliku ruuduga
On ülesandeid, mille puhul tuleb kahe avaldise summa korrutada nende erinevuse mittetäieliku ruuduga. See tükk näeb välja selline:
(a+b)(a 2 − ab + b 2)
Esimene polünoom ( a+b (a 2 − ab + b 2) on nende kahe avaldise erinevuse mittetäielik ruut.
Erinevuse mittetäielik ruut on vormi polünoom a 2 − ab + b 2 . See on sarnane tavalise ruudu erinevusega a 2 − 2ab + b 2 välja arvatud see, et selles ei kahekordistata esimese ja teise avaldise korrutist.
Näiteks väljend 4x 2 − 6xy + 9y 2 on avaldiste erinevuse 2 mittetäielik ruut x ja 3 y .
(2x) 2 − 2x× 3 y + (3y) 2 = 4x 2 − 6xy + 9y 2
Tuleme tagasi algse näite juurde. Korrutame summa a+b erinevuse mittetäieliku ruudu järgi a 2 − ab + b 2
(a+b)(a 2 − ab + b 2) = a(a 2 − ab + b 2) + b(a 2 − ab + b 2) =
a 3 − a 2 b + ab 2 + a 2 b − ab 2 + b 3 = a 3 + b 3
See on väljend (a+b)(a 2 − ab + b 2) võrdub a 3 + b 3
(a+b)(a 2 − ab + b 2) = a 3 + b 3
Seda identiteeti nimetatakse valemiks kahe avaldise summa korrutamiseks nende erinevuse mittetäieliku ruuduga. Seda valemit saab lugeda järgmiselt:
Kahe avaldise summa ja nende erinevuse mittetäieliku ruudu korrutis võrdub nende avaldiste kuubikute summaga.
Näide 1. Tehke korrutamine (2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2)
Esimene polünoom (2 x + 3y) on kahe avaldise 2 summa x ja 3 y, ja teine polünoom 4x 2 − 6xy + 9y 2 on nende avaldiste erinevuse mittetäielik ruut. See võimaldab meil kasutada valemit ilma pikki arvutusi tegemata (a+b)(a 2 − ab + b 2) = a 3 + b 3 . Meie puhul korrutamine (2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2) saab asendada kuubikute summaga 2 x ja 3 y
(2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2) = (2x) 3 + (3y) 3 = 8x 3 + 27y 3
Proovime sama näidet lahendada ilma valemit kasutamata (a+b)(a 2 − ab+ b 2) = a 3 + b 3 . Saame sama tulemuse, kuid lahendus muutub pikemaks:
(2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2) = 2x(4x 2 − 6xy + 9y 2) + 3y(4x 2 − 6xy + 9y 2) =
8x 3 − 12x 2 y + 18xy 2 + 12x 2 y − 18xy 2 + 27y 3 = 8x 3 + 27y 3
Näide 2. Tehke korrutamine (2x+ y)(4x 2 − 2xy + y 2)
Esimene polünoom (2 x+ y) on kahe avaldise ja teise polünoomi summa (4x 2 − 2xy + y 2) on nende avaldiste erinevuse mittetäielik ruut. See võimaldab meil kasutada valemit (a+b)(a 2 − ab+ b 2) = a 3 + b 3
(2x+ y)(4x 2 − 2xy + y 2) = (2x) 3 + y 3 = 8x 3 + y 3
Proovime sama näidet lahendada ilma valemit kasutamata (a+b)(a 2 − ab+ b 2) = a 3 + b 3 . Saame sama tulemuse, kuid lahendus muutub pikemaks:
(2x+ y)(4x 2 − 2xy + y 2) = 2x(4x 2 − 2xy + y 2) + y(4x 2 − 2xy + y 2) =
8x 3 − 4x 2 y + 2xy 2 + 4x 2 y − 2xy 2 + y 3 = 8x 3 + y 3
Ülesanded iseseisvaks lahendamiseks
Kas teile tund meeldis?
Liituge meie uue Vkontakte grupiga ja hakake uute õppetundide kohta teateid saama
Selles õppetükis tutvume summa ruudu ja vahe ruudu valemitega ning tuletame need. Tõestame summa ruudu valemit geomeetriliselt. Lisaks lahendame nende valemite abil palju erinevaid näiteid.
Mõelge summa ruudu valemile:
Niisiis, oleme tuletanud summa ruudu valemi:
Verbaalselt väljendatakse seda valemit järgmiselt: summa ruut võrdub esimese arvu ruuduga pluss esimese arvu kahekordne korrutis teisega pluss teise arvu ruut.
Seda valemit on lihtne geomeetriliselt esitada.
Mõelge ruudule, mille külg on:
Ruudukujuline ala.
Teisest küljest saab sama ruutu kujutada erinevalt, jagades külje a-ks ja b-ks (joonis 1).
Riis. 1. Ruut
Seejärel saab ruudu pindala esitada pindalade summana:
Kuna ruudud olid samad, on nende pindalad võrdsed, mis tähendab:
Niisiis, oleme geomeetriliselt tõestanud summa ruudu valemit.
Mõelge näidetele:
Kommentaar: näide on lahendatud summa ruutvalemi abil.
Tuletame erinevuse ruudu valemi:
Niisiis, oleme tuletanud erinevuse ruudu valemi:
Verbaalselt väljendatakse seda valemit järgmiselt: erinevuse ruut võrdub esimese arvu ruuduga miinus esimese arvu kahekordne korrutis teisega pluss teise arvu ruut.
Mõelge näidetele:
Summa ruudu ja vahe ruudu valemid võivad töötada nii vasakult paremale kui ka paremalt vasakule. Vasakult paremale kasutamisel on need lühendatud korrutusvalemid, mida kasutatakse näidete arvutamisel ja teisendamisel. Ja kui seda kasutatakse paremalt vasakule - faktoriseerimise valemid.
Mõelge näidetele, mille puhul peate antud polünoomi faktoriseerima, rakendades summa ruudu ja erinevuse ruudu valemeid. Selleks peate polünoomi väga hoolikalt vaatama ja täpselt kindlaks määrama, kuidas seda õigesti laiendada.
Kommentaar: polünoomi faktoriseerimiseks peate määrama, mis selles avaldises on esindatud. Seega näeme väljakut ja ühtsuse väljakut. Nüüd peame leidma topelttoote – see on . Niisiis, kõik vajalikud elemendid on olemas, peate lihtsalt kindlaks tegema, kas see on summa või erinevuse ruut. Kahekordse korrutise ees on plussmärk, mis tähendab, et meil on summa ruut.
Lühendatud korrutusvalemid.
Lühendatud korrutamise valemite uurimine: summa ruut ja kahe avaldise erinevuse ruut; kahe avaldise ruutude erinevus; kahe avaldise summa ja vahe kuup; kahe avaldise kuubikute summad ja erinevused.
Lühendatud korrutusvalemite rakendamine näidete lahendamisel.
Avaldiste lihtsustamiseks, polünoomide faktoriseerimiseks ja polünoomide taandamiseks standardvormiks kasutatakse lühendatud korrutusvalemeid. Lühendatud korrutusvalemid, mida peate peast teadma.
Olgu a, b R. Seejärel:
1. Kahe avaldise summa ruut on esimese avaldise ruut pluss esimese avaldise kahekordne korrutis ja teine pluss teise avaldise ruut.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. Kahe avaldise erinevuse ruut on esimese avaldise ruut miinus esimese avaldise kahekordne korrutis ja teine pluss teise avaldise ruut.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. Ruudude erinevus kaks avaldist on võrdne nende avaldiste erinevuse ja nende summa korrutisega.
a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)
4. summa kuup kahest avaldisest on võrdne esimese avaldise kuubiga pluss kolm korda esimese avaldise ruut korda teine pluss kolm korda esimese avaldise korrutis teise avaldise kuubiga pluss teise avaldise kuup.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. erinevuse kuubik kahest avaldisest on võrdne esimese avaldise kuubiga miinus kolm korda esimese avaldise ruudu korrutis ja teise pluss kolm korda esimese avaldise ja teise avaldise ruudu korrutis, millest on lahutatud teise avaldise kuup.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Kuubikute summa kaks avaldist võrdub esimese ja teise avaldise summa korrutisega nende avaldiste erinevuse mittetäieliku ruuduga.
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. Kuubikute erinevus kahe avaldise väärtus on võrdne esimese ja teise avaldise erinevuse korrutisega nende avaldiste summa mittetäieliku ruuduga.
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Lühendatud korrutusvalemite rakendamine näidete lahendamisel.
Näide 1
Arvutama
a) Kasutades kahe avaldise summa ruudu valemit, saame
(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
b) Kasutades kahe avaldise ruudu erinevuse valemit, saame
98 2 = (100 - 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 \u003d 10000 - 400 + 4 \u003d 9604
Näide 2
Arvutama
Kasutades kahe avaldise ruutude erinevuse valemit, saame
Näide 3
Väljendi lihtsustamine
(x - y) 2 + (x + y) 2
Kasutame kahe avaldise summa ruudu ja kahe avaldise vahe ruudu valemeid
(x - y) 2 + (x + y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 \u003d 2x 2 + 2y 2
Lühendatud korrutusvalemid ühes tabelis:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Samuti tulevad iseseisva lahenduse ülesanded, mille vastuseid näete.
Lühendatud korrutusvalemid võimaldavad sooritada avaldiste – polünoomide – identseid teisendusi. Nende abil saab polünoome faktoreerida ning valemeid vastupidises järjekorras kasutades saab binoomide, ruutude ja kuubikute korrutisi esitada polünoomidena. Vaatleme kõiki üldtunnustatud lühendatud korrutamise valemeid, nende tuletamist, tavalisi ülesandeid avaldiste identsete teisenduste jaoks nende valemite abil, samuti koduseid ülesandeid (vastused neile avatakse linkidega).
summa ruut
Summa ruudu valem on võrdsus
(kahe arvu summa ruut võrdub esimese arvu ruuduga pluss esimese arvu kahekordne korrutis ja teine pluss teise arvu ruut).
Selle asemel a ja b selle valemiga saab asendada mis tahes arvu.
Arvutuste lihtsustamiseks kasutatakse sageli summaruut valemit. Näiteks,
Sum-ruutvalemit kasutades saab polünoomi faktoriseerida, nimelt esitada kahe identse teguri korrutisena.
Näide 1
.
Näide 2 Kirjutage polünoomiavaldisena
Otsus. Summa ruudu valemiga saame
Vahe ruut
Erinevuse ruudu valem on võrdsus
(kahe arvu erinevuse ruut võrdub esimese arvu ruuduga, millest on lahutatud esimese ja teise arvu kahekordne korrutis pluss teise arvu ruut).
Arvutuste lihtsustamiseks kasutatakse sageli erinevuse ruudu valemit. Näiteks,
Kasutades erinevuse ruudu valemit, saab polünoomi faktoriseerida, nimelt esitada kahe identse teguri korrutisena.
Valem tuleneb polünoomi polünoomiga korrutamise reeglist:
Näide 5 Kirjutage polünoomiavaldisena
Otsus. Vahe ruudu valemiga saame
.
Rakendage ise lühendatud korrutamisvalem ja vaadake seejärel lahendust
Täisruudu valik
Sageli sisaldab teise astme polünoom summa või erinevuse ruutu, kuid sisaldub varjatud kujul. Täisruudu selgesõnaliseks saamiseks peate polünoomi teisendama. Selleks esitatakse reeglina üks polünoomi liikmetest topeltkorrutis ning seejärel liidetakse polünoomile ja lahutatakse sellest sama arv.
Näide 7
Otsus. Seda polünoomi saab teisendada järgmiselt:
Siin oleme esitanud 5 x kahekordse korrutise kujul 5/2 by x, lisati polünoomile ja lahutati sellest sama arv, seejärel rakendati binoomile summa ruutvalem.
Seega oleme võrdsust tõestanud
,
võrdub täisruuduga pluss arvuga .
Näide 8 Vaatleme teise astme polünoomi
Otsus. Teeme sellel järgmised teisendused:
Siin oleme esitanud 8 x topelttoote kujul x 4 võrra, lisati polünoomile ja lahutati sellest sama arv 4², rakendati binoomile erinevuse ruudu valemit x − 4 .
Seega oleme võrdsust tõestanud
,
mis näitab, et teise astme polünoom
võrdub täisruuduga pluss arvuga −16.
Rakendage ise lühendatud korrutamisvalem ja vaadake seejärel lahendust
summa kuup
Summa kuubi valem on võrdsus
(kahe arvu summa kuup võrdub esimese arvu kuubiga pluss kolm korda esimese arvu ruut korda teise, pluss kolm korda esimese arvu korrutis teise ruuduga pluss kuup teisest numbrist).
Summa kuubi valem tuletatakse järgmiselt:
Näide 10 Kirjutage polünoomiavaldisena
Otsus. Summa kuubi valemi järgi saame
Rakendage ise lühendatud korrutamisvalem ja vaadake seejärel lahendust
erinevuse kuubik
Erinevuskuubi valem on võrdsus
(kahe arvu vahe kuup võrdub esimese arvu kuubiga miinus kolm korda esimese ja teise arvu ruut pluss kolm korda esimese arvu ja teise arvu ruudu korrutis miinus kuup teine number).
Summakuubi valemi abil saab polünoomi lagundada teguriteks, nimelt saab seda esitada kolme identse teguri korrutisena.
Erinevuskuubi valem tuletatakse järgmiselt:
Näide 12. Kirjutage polünoomiavaldisena
Otsus. Kasutades erinevuse kuubi valemit, saame
Rakendage ise lühendatud korrutamisvalem ja vaadake seejärel lahendust
Ruudude erinevus
Ruudude erinevuse valem on võrdsus
(kahe arvu ruutude vahe võrdub nende arvude summa ja nende erinevuse korrutisega).
Summa kuubi valemit kasutades saab iga vormi polünoomi faktoriseerida.
Valemi tõestus saadi polünoomide korrutusreegli abil:
Näide 14 Kirjutage korrutis polünoomina
.
Otsus. Ruudude erinevuse valemiga saame
Näide 15 Faktoreerida
Otsus. See väljend selgel kujul ei sobi ühegi identiteediga. Kuid arvu 16 saab esitada astmena alusega 4: 16=4². Siis on algne avaldis teistsugusel kujul:
,
ja see on ruutude erinevuse valem ja seda valemit rakendades saame
Laadimine...