Samuti tulevad iseseisva lahenduse ülesanded, mille vastuseid näete.
Lühendatud korrutusvalemid võimaldavad sooritada avaldiste – polünoomide – identseid teisendusi. Nende abil saab polünoome faktoreerida ning valemeid vastupidises järjekorras kasutades saab binoomide, ruutude ja kuubikute korrutisi esitada polünoomidena. Vaatleme kõiki üldtunnustatud lühendatud korrutamise valemeid, nende tuletamist, tavalisi ülesandeid avaldiste identsete teisenduste jaoks nende valemite abil, samuti koduseid ülesandeid (vastused neile avatakse linkidega).
summa ruut
Summa ruudu valem on võrdsus
(kahe arvu summa ruut võrdub esimese arvu ruuduga pluss esimese arvu kahekordne korrutis ja teine pluss teise arvu ruut).
Selle asemel a ja b selle valemiga saab asendada mis tahes arvu.
Arvutuste lihtsustamiseks kasutatakse sageli summaruut valemit. Näiteks,
Sum-ruutvalemit kasutades saab polünoomi faktoriseerida, nimelt esitada kahe identse teguri korrutisena.
Näide 1
.
Näide 2 Kirjutage polünoomiavaldisena
Otsus. Summa ruudu valemiga saame
Vahe ruut
Erinevuse ruudu valem on võrdsus
(kahe arvu erinevuse ruut võrdub esimese arvu ruuduga, millest on lahutatud esimese ja teise arvu kahekordne korrutis pluss teise arvu ruut).
Arvutuste lihtsustamiseks kasutatakse sageli erinevuse ruudu valemit. Näiteks,
Kasutades erinevuse ruudu valemit, saab polünoomi faktoriseerida, nimelt esitada kahe identse teguri korrutisena.
Valem tuleneb polünoomi polünoomiga korrutamise reeglist:
Näide 5 Kirjutage polünoomiavaldisena
Otsus. Vahe ruudu valemiga saame
.
Rakendage ise lühendatud korrutamisvalem ja vaadake seejärel lahendust
Täisruudu valik
Sageli sisaldab teise astme polünoom summa või erinevuse ruutu, kuid sisaldub varjatud kujul. Täisruudu selgesõnaliseks saamiseks peate polünoomi teisendama. Selleks esitatakse reeglina üks polünoomi liikmetest topeltkorrutis ning seejärel liidetakse polünoomile ja lahutatakse sellest sama arv.
Näide 7
Otsus. Seda polünoomi saab teisendada järgmiselt:
Siin oleme esitanud 5 x kahekordse korrutise kujul 5/2 by x, lisati polünoomile ja lahutati sellest sama arv, seejärel rakendati binoomile summa ruutvalem.
Seega oleme võrdsust tõestanud
,
võrdub täisruuduga pluss arvuga .
Näide 8 Vaatleme teise astme polünoomi
Otsus. Teeme sellel järgmised teisendused:
Siin oleme esitanud 8 x topelttoote kujul x 4 võrra, lisati polünoomile ja lahutati sellest sama arv 4², rakendati binoomile erinevuse ruudu valemit x − 4 .
Seega oleme võrdsust tõestanud
,
mis näitab, et teise astme polünoom
võrdub täisruuduga pluss arvuga −16.
Rakendage ise lühendatud korrutamisvalem ja vaadake seejärel lahendust
summa kuup
Summa kuubi valem on võrdsus
(kahe arvu summa kuup võrdub esimese arvu kuubiga pluss kolm korda esimese arvu ruut korda teise, pluss kolm korda esimese arvu korrutis teise ruuduga pluss kuup teisest numbrist).
Summa kuubi valem tuletatakse järgmiselt:
Näide 10 Kirjutage polünoomiavaldisena
Otsus. Summa kuubi valemi järgi saame
Rakendage ise lühendatud korrutamisvalem ja vaadake seejärel lahendust
erinevuse kuubik
Erinevuskuubi valem on võrdsus
(kahe arvu vahe kuup võrdub esimese arvu kuubiga miinus kolm korda esimese ja teise arvu ruut pluss kolm korda esimese arvu ja teise arvu ruudu korrutis miinus kuup teine number).
Summakuubi valemi abil saab polünoomi lagundada teguriteks, nimelt saab seda esitada kolme identse teguri korrutisena.
Erinevuskuubi valem tuletatakse järgmiselt:
Näide 12. Kirjutage polünoomiavaldisena
Otsus. Kasutades erinevuse kuubi valemit, saame
Rakendage ise lühendatud korrutamisvalem ja vaadake seejärel lahendust
Ruudude erinevus
Ruudude erinevuse valem on võrdsus
(kahe arvu ruutude vahe võrdub nende arvude summa ja nende erinevuse korrutisega).
Summa kuubi valemit kasutades saab iga vormi polünoomi faktoriseerida.
Valemi tõestus saadi polünoomide korrutusreegli abil:
Näide 14 Kirjutage korrutis polünoomina
.
Otsus. Ruudude erinevuse valemiga saame
Näide 15 Faktoreerida
Otsus. See väljend selgel kujul ei sobi ühegi identiteediga. Kuid arvu 16 saab esitada astmena alusega 4: 16=4². Siis on algne avaldis teistsugusel kujul:
,
ja see on ruutude erinevuse valem ja seda valemit rakendades saame
Algebraliste polünoomide arvutamisel kasutame arvutuste lihtsustamiseks lühendatud korrutusvalemid. Selliseid valemeid on kokku seitse. Neid kõiki tuleb peast teada.
Samuti tuleb meeles pidada, et valemites "a" ja "b" asemel võivad olla nii arvud kui ka muud algebralised polünoomid.
Ruudude erinevus
Pea meeles!
Ruudude erinevus kaks arvu võrdub nende arvude ja nende summa vahe korrutisega.
a 2 − b 2 = (a − b)(a + b)- 15 2 - 2 2 = (15 - 2) (15 + 2) = 13 17 = 221
- 9a 2 − 4b 2 koos 2 = (3a − 2bc)(3a + 2bc)
summa ruut
Pea meeles!
Kahe arvu summa ruut on võrdne esimese arvu ruuduga pluss esimese arvu kahekordne korrutis ja teine pluss teise arvu ruut.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
Pange tähele, et selle vähendatud korrutamisvalemiga on seda lihtne teha leida suurte arvude ruudud ilma kalkulaatorit või pikka korrutamist kasutamata. Selgitame näitega:
Leidke 112 2 .
- Lagundame 112 arvude summaks, mille ruutu me hästi mäletame.
112 = 100 + 1 - Kirjutame sulgudesse arvude summa ja paneme sulgude kohale ruudu.
112 2 = (100 + 12) 2 - Kasutame summa ruudu valemit:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 100 12 + 12 2 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544
Pidage meeles, et ruutsumma valem kehtib ka kõigi algebraliste polünoomide puhul.
- (8a + c) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2
Hoiatus!
(a + b) 2 ei ole võrdne (a 2 + b 2)Vahe ruut
Pea meeles!
Kahe arvu erinevuse ruut võrdub esimese arvu ruuduga, millest on lahutatud esimese ja teise kahekordne korrutis pluss teise arvu ruut.
(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
Samuti tasub meeles pidada väga kasulikku teisendust:
(a - b) 2 = (b - a) 2Ülaltoodud valemit tõestatakse lihtsalt sulgude laiendamisega:
(a − b) 2 = a 2 −2ab + b 2 = b 2 − 2ab + a 2 = (b − a) 2summa kuup
Pea meeles!
Kahe arvu summa kuup võrdub esimese arvu kuubikuga pluss kolm korda esimese arvu ruut ja teine pluss kolm korda esimese numbri korrutis, teise ruut pluss teise kuup.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Kuidas jätta meelde summa kuup
Selle "kohutava" välimusega valemi mäletamine on üsna lihtne.
- Õppige, et "3" tuleb alguses.
- Kahe keskel oleva polünoomi koefitsiendid on 3.
- Tuletage meelde, et mis tahes arv nullastmeni on 1. (a 0 = 1, b 0 = 1) . On hästi näha, et valemis on astme "a" vähenemine ja astme "b" suurenemine. Saate seda kontrollida:
(a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Hoiatus!
(a + b) 3 ei ole võrdne a 3 + b 3-gaerinevuse kuubik
Pea meeles!
erinevuse kuubik kaks arvu on võrdne esimese arvu kuup miinus kolm korda esimese arvu ruut korda teine pluss kolm korda esimese arvu korrutis teise ruut miinus teise kuup.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
Seda valemit mäletatakse nagu eelmist, kuid ainult märkide "+" ja "-" vaheldumist arvesse võttes. Esimese liikme "a 3" ees on "+" (vastavalt matemaatikareeglitele me seda ei kirjuta). See tähendab, et järgmisele liikmele eelneb "-", seejärel jälle "+" jne.
(a − b) 3 = + a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3Kuubikute summa
Mitte segi ajada summa kuubikuga!
Pea meeles!
Kuubikute summa on võrdne kahe arvu summa korrutisega erinevuse mittetäieliku ruuduga.
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 − ab + b 2)Kuubikute summa on kahe sulu korrutis.
- Esimene sulg on kahe arvu summa.
- Teine sulg on arvude erinevuse mittetäielik ruut. Erinevuse mittetäielikku ruutu nimetatakse avaldiseks:
(a 2 − ab + b 2)
See ruut on mittetäielik, kuna keskel on topeltkorrutise asemel tavaline arvude korrutis.
Kuubikute erinevus
Mitte segi ajada erinevuse kuubikuga!
Pea meeles!
Kuubikute erinevus on võrdne kahe arvu vahe korrutisega summa mittetäieliku ruuduga.
a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)Olge tähemärkide kirjutamisel ettevaatlik.
Lühendatud korrutusvalemite rakendamine
Tuleb meeles pidada, et kõiki ülaltoodud valemeid kasutatakse ka paremalt vasakule.
Paljud õpikutes olevad näited on loodud selleks, et saaksite polünoomi tagasi kokku panna valemeid.
- a 2 + 2a + 1 = (a + 1) 2
- (ac − 4b)(ac + 4b) = a 2 c 2 − 16b 2
Saate alla laadida tabeli kõigi lühendatud korrutamise valemitega jaotises "
Üks esimesi algebrakursusel õpitud teemasid on lühendatud korrutamise valemid. 7. klassis kasutatakse neid kõige lihtsamates olukordades, kus on nõutav avaldises ühe valemi äratundmine ja polünoomi faktoriseerimine või vastupidi summa või vahe kiiresti ruut või kuup. Tulevikus kasutatakse FSU-d kiireks võrratuste ja võrrandite lahendamiseks ning isegi mõne arvulise avaldise arvutamiseks ilma kalkulaatorita.
Kuidas valemite loend välja näeb?
Seal on 7 põhivalemit, mis võimaldavad sulgudes olevaid polünoome kiiresti korrutada.
Mõnikord sisaldab see loend ka neljanda astme laiendust, mis tuleneb esitatud identiteetidest ja on kujul:
a4 - b4 = (a - b) (a + b) (a² + b2).
Kõigil võrdustel on paar (summa - vahe), välja arvatud ruutude erinevus. Ruudude summa valemit pole.
Ülejäänud võrdsusi on lihtne meeles pidada.:
Tuleb meeles pidada, et FSO-d töötavad igal juhul ja mis tahes väärtuste nimel. a ja b: see võib olla nii suvalised arvud kui ka täisarvulised avaldised.
Olukorras, kus järsku ei tule meelde, milline märk on valemis ühe või teise termini ees, saab sulgud avada ja saada sama tulemuse, mis pärast valemi kasutamist. Näiteks kui erinevuse kuubi FSU rakendamisel tekkis probleem, peate kirjutama algse avaldise ja korrutage ükshaaval:
(a - b)³ = (a - b) (a - b) (a - b) = (a² - ab - ab + b²) (a - b) = a³ - a²b - a²b + ab² - a²b + ab² + ab² - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³.
Selle tulemusena saadi pärast kõigi selliste liikmete redutseerimist sama polünoom, mis tabelis. Samasuguseid manipuleerimisi saab teha ka kõigi teiste FSO-dega.
FSO rakendamine võrrandite lahendamiseks
Näiteks peate lahendama võrrandi, mis sisaldab 3. astme polünoom:
x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.
Kooli õppekavas ei käsitleta universaalseid võtteid kuupvõrrandite lahendamiseks ja selliseid ülesandeid lahendatakse enamasti lihtsamate meetoditega (näiteks faktoriseerimine). Kui märkate, et identiteedi vasak pool meenutab summa kuupi, siis saab võrrandi kirjutada lihtsamal kujul:
(x + 1)³ = 0.
Sellise võrrandi juur arvutatakse suuliselt: x=-1.
Ebavõrdsust lahendatakse sarnaselt. Näiteks saame lahendada ebavõrdsuse x³ – 6x² + 9x > 0.
Kõigepealt on vaja avaldis teguriteks lagundada. Kõigepealt tuleb sulgud välja võtta x. Pärast seda peaksite tähelepanu pöörama sellele, et sulgudes oleva avaldise saab teisendada erinevuse ruuduks.
Seejärel peate leidma punktid, kus avaldis võtab nullväärtusi, ja märkima need arvureale. Konkreetsel juhul on need 0 ja 3. Seejärel määrake intervallmeetodi abil, millistel intervallidel x täidab ebavõrdsuse tingimust.
FSO-d võivad elluviimisel abiks olla mõned arvutused ilma kalkulaatori abita:
703²–203² = (703 + 203) (703–203) = 906 ∙ 500 = 453 000.
Lisaks saate avaldiste faktoringuga hõlpsalt murde vähendada ja erinevaid algebralisi avaldisi lihtsustada.
Ülesannete näited 7-8 klassile
Kokkuvõtteks analüüsime ja lahendame kaks ülesannet lühendatud korrutusvalemite rakendamiseks algebras.
Ülesanne 1. Lihtsusta väljendit:
(m + 3)² + (3m + 1) (3m - 1) - 2m (5m + 3).
Otsus. Ülesande tingimusel on vaja avaldist lihtsustada, st avada sulud, sooritada korrutamise ja astendamise toimingud ning tuua ka kõik sellised terminid. Jagame avaldise tinglikult kolmeks osaks (vastavalt terminite arvule) ja avame sulud ükshaaval, kasutades võimalusel FSU-d.
- (m + 3)² = m² + 6m + 9(ruutsumma);
- (3 m + 1) (3 m - 1) = 9 m² - 1(ruutude erinevus);
- Viimasel terminil peate tegema korrutamise: 2m (5m + 3) = 10m² + 6m.
Asendage tulemused algses avaldises:
(m² + 6m + 9) + (9m² - 1) - (10m² + 6m).
Võttes arvesse märke, avame sulud ja anname sarnased terminid:
m² + 6m + 9 + 9m² 1 - 10m² - 6m = 8.
Ülesanne 2. Lahendage võrrand, mis sisaldab tundmatut k astmega 5:
k⁵ + 4k⁴ + 4k³ - 4k² - 4k = k³.
Otsus. Sel juhul on vaja kasutada FSO-d ja rühmitamismeetodit. Peame viimase ja eelviimase termini üle kandma identiteedi paremale poole.
k⁵ + 4k⁴ + 4k³ = k³ + 4k² + 4k.
Ühine kordaja võetakse parem- ja vasakpoolsest osast (k² + 4k +4):
k³(k² + 4k + 4) = k(k² + 4k + 4).
Kõik kantakse võrrandi vasakule poolele nii, et 0 jääb paremale poolele:
k³(k² + 4k + 4) - k(k² + 4k + 4) = 0.
Jällegi peate välja võtma ühise teguri:
(k³ - k) (k² + 4k + 4) = 0.
Esimesest saadud tegurist saame tuletada k. Lühikese korrutusvalemi kohaselt on teine tegur identne (k + 2)²:
k (k² - 1) (k + 2)² = 0.
Kasutades ruutude erinevuse valemit:
k (k - 1) (k + 1) (k + 2)² = 0.
Kuna korrutis on 0, kui vähemalt üks selle teguritest on null, pole võrrandi kõigi juurte leidmine keeruline:
- k = 0;
- k - 1 = 0; k = 1;
- k + 1 = 0; k = -1;
- (k + 2)² = 0; k = -2.
Illustreerivate näidete põhjal saab aru, kuidas FSU abil valemeid meelde jätta, nende erinevusi ja ka mitmeid praktilisi probleeme lahendada. Ülesanded on lihtsad ja nende täitmine ei tohiks olla keeruline.
Tunni sisu
Kahe avaldise summa ruut
On mitmeid juhtumeid, kus polünoomi polünoomiga korrutamist saab oluliselt lihtsustada. Nii on näiteks (2 x+ 3y) 2 .
Väljend (2 x+ 3y) 2 on kahe polünoomi korrutis, millest igaüks on võrdne (2 x+ 3y)
(2x+ 3y) 2 = (2x+ 3y)(2x+ 3y)
Saime polünoomi korrutuse polünoomiga. Teostame selle:
(2x+ 3y) 2 = (2x+ 3y)(2x+ 3y) = 4x 2 + 6xy + 6xy + 9y 2 = 4x 2 + 12xy+ 9y 2
See tähendab, et väljend (2 x+ 3y) 2 on võrdne 4x 2 + 12xy + 9y 2
(2x+ 3y) 2 = 4x 2 + 12xy+ 9y 2
Lahendame sarnase näite, mis on lihtsam:
(a+b) 2
Väljend ( a+b) 2 on kahe polünoomi korrutis, millest igaüks on võrdne ( a+b)
(a+b) 2 = (a+b)(a+b)
Teeme selle korrutamise:
(a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2
See on väljend (a+b) 2 on võrdne a 2 + 2ab + b 2
(a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
Selgub, et juhtum ( a+b) 2 saab pikendada mis tahes a ja b. Esimene näide, mille me lahendasime, nimelt (2 x+ 3y) 2 saab lahendada identiteedi abil (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 . Selleks peate muutujate asemel asendama a ja b vastavad terminid avaldisest (2 x+ 3y) 2 . Sel juhul muutuja a tiku riista 2 x, ja muutuja b tiku riista 3 y
a = 2x
b = 3y
Ja siis saame identiteeti kasutada (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 , vaid muutujate asemel a ja b peate asendama väljendid 2 x ja 3 y vastavalt:
(2x+ 3y) 2 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 3 y + (3y) 2 = 4x 2 + 12xy+ 9y 2
Nagu eelmisel korral, saime polünoomi 4x 2 + 12xy+ 9y 2 . Lahendus kirjutatakse tavaliselt lühemalt, tehes meeles kõik elementaarsed teisendused:
(2x+ 3y) 2 = 4x 2 + 12xy+ 9y 2
Identiteet (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 nimetatakse kahe avaldise summa ruudu valemiks. Seda valemit saab lugeda järgmiselt:
Kahe avaldise summa ruut võrdub esimese avaldise ruuduga pluss esimese avaldise ja teise avaldise kahekordne korrutis ja teise avaldise ruut.
Vaatleme avaldist (2 + 3) 2 . Seda saab arvutada kahel viisil: liita sulgudes ja ruudus tulemus või kasutada kahe avaldise summa ruudu valemit.
Esimene viis:
(2 + 3) 2 = 5 2 = 25
Teine viis:
(2 + 3) 2 = 2 2 + 2 × 2 × 3 + 3 2 = 4 + 12 + 9 = 25
Näide 2. Teisenda avaldis (5 a+ 3) 2 polünoomiks.
Kasutame kahe avaldise summa ruudu valemit:
(a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(5a + 3) 2 = (5a) 2 + 2 × 5 a × 3 + 3 2 = 25a 2 + 30a + 9
Tähendab, (5a + 3) 2 = 25a 2 + 30a + 9.
Proovime seda näidet lahendada ilma summaruudu valemit kasutamata. Peaksime saama sama tulemuse:
(5a + 3) 2 = (5a + 3)(5a + 3) = 25a 2 + 15a + 15a + 9 = 25a 2 + 30a + 9
Kahe avaldise summa ruudu valemil on geomeetriline tähendus. Peame meeles, et ruudu pindala arvutamiseks peate tõstma selle külje teise astmeni.
Näiteks küljega ruudu pindala a on võrdne a 2. Kui suurendate ruudu külge b, siis on pindala võrdne ( a+b) 2
Mõelge järgmisele joonisele:
Kujutage ette, et sellel joonisel näidatud ruudu külgi suurendatakse võrra b. Ruudu kõik küljed on võrdsed. Kui selle külg on suurenenud b, siis suurenevad ka teised küljed võrra b
Tulemuseks on uus ruut, mis on eelmisest suurem. Et seda hästi näha, täiendame puuduvad küljed:
Selle ruudu pindala arvutamiseks saate selles sisalduvad ruudud ja ristkülikud eraldi välja arvutada ning seejärel tulemused lisada.
Esiteks saate arvutada küljega ruudu a- selle pindala on võrdne a 2. Seejärel saate arvutada külgedega ristkülikuid a ja b- nad on võrdsed ab. Seejärel saate arvutada küljega ruudu b
Tulemuseks on järgmine alade summa:
a 2 + ab+ab + b 2
Ühesuguste ristkülikute pindalade summa saab asendada 2 korrutamisega ab, mis sõna-sõnalt tähendab "Korda kaks korda ristküliku ab pindala" . Algebraliselt saadakse see sarnaste terminite redutseerimisel ab ja ab. Tulemuseks on väljend a 2 + 2ab+ b 2 , mis on kahe avaldise summa ruudu valemi parem pool:
(a+b) 2 = a 2 + 2ab+ b 2
Kahe avaldise erinevuse ruut
Kahe avaldise erinevuse ruudu valem on järgmine:
(a-b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
Kahe avaldise erinevuse ruut võrdub esimese avaldise ruuduga, millest on lahutatud esimese avaldise kahekordne korrutis ja teine pluss teise avaldise ruut.
Kahe avaldise erinevuse ruudu valem tuletatakse samamoodi nagu kahe avaldise summa ruudu valem. Väljend ( a-b) 2 on kahe polünoomi korrutis, millest igaüks on võrdne ( a-b)
(a-b) 2 = (a-b)(a-b)
Kui teete selle korrutamise, saate polünoomi a 2 − 2ab + b 2
(a-b) 2 = (a-b)(a-b) = a 2 − ab− ab+ b 2 = a 2 − 2ab + b 2
Näide 1. Teisenda avaldis (7 x− 5) 2 polünoomiks.
Kasutame kahe avaldise erinevuse ruudu valemit:
(a-b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
(7x− 5) 2 = (7x) 2–2 × 7 x × 5 + 5 2 = 49x 2 − 70x + 25
Tähendab, (7x− 5) 2 = 49x 2 + 70x + 25.
Proovime seda näidet lahendada ilma erinevuse ruudu valemit kasutamata. Peaksime saama sama tulemuse:
(7x− 5) 2 = (7x− 5) (7x− 5) = 49x 2 − 35x − 35x + 25 = 49x 2 − 70x+ 25.
Geomeetriline tähendus on ka kahe avaldise erinevuse ruudu valemil. Kui küljega ruudu pindala a on võrdne a 2, siis ruudu pindala, mille külge on vähendatud b, on võrdne ( a-b) 2
Mõelge järgmisele joonisele:
Kujutage ette, et sellel joonisel näidatud ruudu külgi vähendatakse võrra b. Ruudu kõik küljed on võrdsed. Kui üks pool on vähendatud b, siis vähenevad ka teised küljed võrra b
Tulemuseks on uus ruut, mis on eelmisest väiksem. See on joonisel kollaselt esile tõstetud. Selle külg on a− b alates vanast küljest a võrra vähenenud b. Selle ruudu pindala arvutamiseks võite kasutada ruudu algset pindala a 2 lahutage vana ruudu külgede vähendamise käigus saadud ristkülikute pindalad. Näitame neid ristkülikuid:
Siis saame kirjutada järgmise avaldise: vana ala a 2 miinus pindala ab miinus ala ( a-b)b
a 2 − ab − (a-b)b
Laiendage avaldises olevaid sulgusid ( a-b)b
a 2 − ab - ab + b 2
Siin on sarnased terminid:
a 2 − 2ab + b 2
Tulemuseks on väljend a 2 − 2ab + b 2 , mis on kahe avaldise erinevuse ruudu valemi parem pool:
(a-b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
Üldjuhul nimetatakse summa ruudu ja vahe ruudu valemeid lühendatud korrutusvalemid. Need valemid võimaldavad polünoomide korrutamise protsessi oluliselt lihtsustada ja kiirendada.
Varem rääkisime, et kui arvestada polünoomi liiget eraldi, siis tuleb seda vaadelda koos märgiga, mis asub tema ees.
Kuid lühendatud korrutusvalemite rakendamisel ei tohiks algpolünoomi märki pidada selle termini märgiks.
Näiteks kui võtta arvesse avaldist (5 x − 2y) 2 ja me tahame kasutada valemit (a-b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 , siis selle asemel b tuleb asendada 2 y, mitte -2 y. See on valemitega töötamise funktsioon, mida ei tohiks unustada.
(5x − 2y) 2
a = 5x
b = 2y
(5x − 2y) 2 = (5x) 2–2 × 5 x×2 y + (2y) 2 = 25x 2 − 20xy + 4y 2
Kui asendame −2 y, siis tähendab see, et algse avaldise sulgudes olev erinevus on asendatud summaga:
(5x − 2y) 2 = (5x + (−2y)) 2
ja sel juhul on vaja rakendada mitte erinevuse ruudu valemit, vaid summa ruudu valemit:
(5x + (−2y) 2
a = 5x
b = −2y
(5x + (−2y)) 2 = (5x) 2 + 2 × 5 x× (−2 y) + (−2y) 2 = 25x 2 − 20xy + 4y 2
Erandiks võivad olla vormiväljendid (x− (−y)) 2 . Sel juhul kasutades valemit (a-b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 selle asemel b tuleks asendada (- y)
(x− (−y)) 2 = x 2–2 × x× (− y) + (−y) 2 = x 2 + 2xy + y 2
Aga vormi ruudukujulised avaldised x − (−y), on mugavam asendada lahutamine liitmisega x+y. Seejärel võtab algne avaldis kujul ( x +y) 2 ja on võimalik kasutada summa ruudu valemit, mitte erinevust:
(x +y) 2 = x 2 + 2xy + y 2
Summa- ja vahekuubik
Kahe avaldise summa kuubi ja kahe avaldise erinevuse kuubi valemid on järgmised:
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a-b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3
Kahe avaldise summa kuubi valemit saab lugeda järgmiselt:
Kahe avaldise summa kuup võrdub esimese avaldise kuubiga pluss kolm korda esimese avaldise ruut korda teine pluss kolm korda esimese avaldise korrutis teise ruut pluss teise kuup väljendus.
Ja kahe avaldise erinevuse kuubi valemit saab lugeda järgmiselt:
Kahe avaldise erinevuse kuup on võrdne esimese avaldise kuubiga, millest on lahutatud esimese avaldise ruudu kolm korda ja teise avaldise ruudu korrutis, pluss kolm korda esimese avaldise ruudu korrutis ja teise avaldise ruudu korrutis, millest on lahutatud kuup teisest väljendist.
Ülesannete lahendamisel on soovitav neid valemeid peast teada. Kui te ei mäleta, ärge muretsege! Saate need ise välja võtta. Me juba teame, kuidas.
Tuletame iseseisvalt summa kuubiku valemi:
(a+b) 3
Väljend ( a+b) 3 on kolme polünoomi korrutis, millest igaüks on võrdne ( a+ b)
(a+b) 3 = (a+ b)(a+ b)(a+ b)
Kuid väljend ( a+b) 3 võib kirjutada ka kui (a+ b)(a+ b) 2
(a+b) 3 = (a+ b)(a+ b) 2
Sel juhul on tegur ( a+ b) 2 on kahe avaldise summa ruut. See summa ruut on võrdne avaldisega a 2 + 2ab + b 2 .
Siis ( a+b) 3 saab kirjutada kui (a+ b)(a 2 + 2ab + b 2) .
(a+b) 3 = (a+ b)(a 2 + 2ab + b 2)
Ja see on polünoomi korrutamine polünoomiga. Teostame selle:
(a+b) 3 = (a+ b)(a 2 + 2ab + b 2) = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + a 2 b + 2ab 2 + b 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Samamoodi saate tuletada kahe avaldise erinevuse kuubi valemi:
(a-b) 3 = (a- b)(a 2 − 2ab + b 2) = a 3 − 2a 2 b + ab 2 − a 2 b + 2ab 2 − b 3 = a 3 − 3a 2 b+ 3ab 2 − b 3
Näide 1. Teisenda avaldis ( x+ 1) 3 polünoomiks.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(x+ 1) 3 = x 3+3× x 2×1 + 3× x× 1 2 + 1 3 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1
Proovime seda näidet lahendada ilma kahe avaldise summa kuubivalemit kasutamata
(x+ 1) 3 = (x+ 1)(x+ 1)(x+ 1) = (x+ 1)(x 2 + 2x + 1) = x 3 + 2x 2 + x + x 2 + 2x + 1 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1
Näide 2. Avaldise teisendamine (6a 2 + 3b 3) 3 polünoomiks.
Kasutame kahe avaldise summa saamiseks kuubi valemit:
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(6a 2 + 3b 3) 3 = (6a 2) 3 + 3 × (6 a 2) 2 × 3 b 3+3×6 a 2 × (3b 3) 2 + (3b 3) 3 = 216a 6+3×36 a 4 × 3 b 3+3×6 a 2×9 b 6 + 27b 9
Näide 3. Teisenda avaldis ( n 2 − 3) 3 polünoomiks.
(a-b) = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3
(n 2 − 3) 3 = (n 2) 3–3 × ( n 2) 2×3 + 3× n 2 × 3 2 - 3 3 = n 6 − 9n 4 + 27n 2 − 27
Näide 4. Avaldise teisendamine (2x 2 − x 3) 3 polünoomiks.
Kasutame kahe avaldise erinevuse kuubivalemit:
(a-b) = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3
(2x 2 − x 3) 3 = (2x 2) 3–3 × (2 x 2) 2× x 3+3×2 x 2×( x 3) 2 − (x 3) 3 =
8x 6–3 × 4 x 4× x 3+3×2 x 2× x 6 − x 9 =
8x 6 − 12x 7 + 6x 8 − x 9
Kahe avaldise erinevuse korrutamine nende summaga
On ülesandeid, mille puhul tuleb kahe avaldise vahe korrutada nende summaga. Näiteks:
(a-b)(a+b)
Selles avaldises kahe avaldise erinevus a ja b korrutatuna sama kahe avaldise summaga. Teeme selle korrutamise:
(a-b)(a+b) = a 2 + ab − ab − b 2 = a 2 − b 2
See on väljend (a-b)(a+b) võrdub a 2 − b 2
(a-b)(a+b) = a 2 − b 2
Näeme, et kahe avaldise erinevuse korrutamisel nende summaga saame nende avaldiste ruutude erinevuse.
Kahe avaldise erinevuse ja nende summa korrutis on võrdne nende avaldiste ruutude erinevusega.
Toimub (a-b)(a+b) saab laiendada ükskõik millisele a ja b. Lihtsamalt öeldes, kui ülesande lahendamisel on vaja korrutada kahe avaldise erinevus nende summaga, siis saab selle korrutamise asendada nende avaldiste ruutude erinevusega.
Näide 1. Tehke korrutamine (2x − 5)(2x + 5)
Selles näites on avaldise erinevus 2 x ja 5 korrutatuna nende samade avaldiste summaga. Siis valemi järgi (a-b)(a+b) = a 2 − b 2 meil on:
(2x − 5)(2x + 5) = (2x) 2 − 5 2
Arvutame parema külje, saame 4 x 2 − 25
(2x − 5)(2x + 5) = (2x) 2 − 5 2 = 4x 2 − 25
Proovime seda näidet lahendada ilma valemit kasutamata (a-b)(a+b) = a 2 − b 2 . Saame sama tulemuse 4 x 2 − 25
(2x − 5)(2x + 5) = 4x 2 − 10x + 10x − 25 = 4x 2 − 25
Näide 2. Tehke korrutamine (4x − 5y)(4x + 5y)
(a-b)(a+b) = a 2 − b 2
(4x − 5y)(4x + 5y) = (4x) 2 − (5y) 2 = 16x 2 − 25y 2
Näide 3. Tehke korrutamine (2a+ 3b)(2a− 3b)
Kasutame valemit kahe avaldise erinevuse korrutamiseks nende summaga:
(a-b)(a+b) = a 2 − b 2
(2a + 3b)(2a- 3b) = (2a) 2 − (3b) 2 = 4a 2 − 9b 2
Selles näites on terminite summa 2 a ja 3 b asub varem kui nende terminite erinevus. Ja valemis (a-b)(a+b) = a 2 − b 2 erinevus asub varem.
Pole vahet, kuidas tegurid on paigutatud ( a-b) in ( a+b) valemis. Neid saab kirjutada kui (a-b)(a+b) , ja (a+b)(a-b) . Tulemus jääb ikka olema a 2 − b 2, kuna korrutis ei muutu tegurite permutatsiooni tõttu.
Nii et selles näites on tegurid (2 a + 3b) ja 2 a- 3b) saab kirjutada kui (2a + 3b)(2a- 3b) , ja (2a- 3b)(2a + 3b) . Tulemuseks jääb ikkagi 4. a 2 − 9b 2 .
Näide 3. Tehke korrutamine (7 + 3x)(3x − 7)
Kasutame valemit kahe avaldise erinevuse korrutamiseks nende summaga:
(a-b)(a+b) = a 2 − b 2
(7 + 3x)(3x − 7) = (3x) 2 − 7 2 = 9x 2 − 49
Näide 4. Tehke korrutamine (x 2 − y 3)(x 2 + y 3)
(a-b)(a+b) = a 2 − b 2
(x 2 − y 3)(x 2 + y 3) = (x 2) 2 − (y 3) 2 = x 4 − y 6
Näide 5. Tehke korrutamine (−5x− 3y)(5x− 3y)
Avaldises (−5 x− 3y) võtame välja −1, siis saab algne avaldis järgmise kuju:
(−5x− 3y)(5x− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y)
Töö (5x + 3y)(5x − 3y) asendada ruutude erinevusega:
(−5x− 3y)(5x− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y) = −1((5x) 2 − (3y) 2)
Ruudude erinevus oli sulgudes. Kui seda ei tehta, selgub, et −1 korrutatakse ainult (5 x) 2 . Ja see toob kaasa vea ja muudab algse avaldise väärtust.
(−5x− 3y)(5x− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y) = −1((5x) 2 − (3y) 2) = −1(25x 2 − 9x 2)
Nüüd korrutage −1 sulgudes oleva avaldisega ja saate lõpptulemuse:
(−5x− 3y)(5x− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y) = −1((5x) 2 − (3y) 2) =
−1(25x 2 − 9y 2) = −25x 2 + 9y 2
Kahe avaldise erinevuse korrutamine nende summa mittetäieliku ruuduga
On ülesandeid, mille puhul tuleb kahe avaldise erinevus korrutada nende summa mittetäieliku ruuduga. See tükk näeb välja selline:
(a-b)(a 2 + ab + b 2)
Esimene polünoom ( a-b) on kahe avaldise ja teise polünoomi erinevus (a 2 + ab + b 2) on nende kahe avaldise summa mittetäielik ruut.
Summa mittetäielik ruut on vormi polünoom a 2 + ab + b 2 . See on sarnane summa tavalise ruuduga a 2 + 2ab + b 2
Näiteks väljend 4x 2 + 6xy + 9y 2 on avaldiste summa 2 mittetäielik ruut x ja 3 y .
Tõepoolest, väljendi esimene liige 4x 2 + 6xy + 9y 2 , nimelt 4 x 2 on avaldise 2 ruut x, alates (2 x) 2 = 4x 2. Avaldise kolmas liige 4x 2 + 6xy + 9y 2 , nimelt 9 y 2 on 3 ruut y, sest (3 y) 2 = 9y 2. keskmine munn 6 xy, on avaldiste 2 korrutis x ja 3 y.
Nii et korrutame vahe ( a-b) summa mittetäieliku ruudu võrra a 2 + ab + b 2
(a-b)(a 2 + ab + b 2) = a(a 2 + ab + b 2) − b(a 2 + ab + b 2) =
a 3 + a 2 b + ab 2 − a 2 b − ab 2 − b 3 = a 3 − b 3
See on väljend (a-b)(a 2 + ab + b 2) võrdub a 3 − b 3
(a-b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3
Seda identiteeti nimetatakse valemiks kahe avaldise erinevuse korrutamiseks nende summa mittetäieliku ruuduga. Seda valemit saab lugeda järgmiselt:
Kahe avaldise erinevuse ja nende summa mittetäieliku ruudu korrutis võrdub nende avaldiste kuubikute vahega.
Näide 1. Tehke korrutamine (2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2)
Esimene polünoom (2 x − 3y) on kahe avaldise 2 erinevus x ja 3 y. Teine polünoom 4x 2 + 6xy + 9y 2 on kahe avaldise summa mittetäielik ruut 2 x ja 3 y. See võimaldab meil kasutada valemit ilma pikki arvutusi tegemata (a-b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3 . Meie puhul korrutamine (2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2) saab asendada kuubikute vahega 2 x ja 3 y
(2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2) = (2x) 3 − (3y) 3 = 8x 3 − 27y 3
(a-b)(a 2 + ab+ b 2) = a 3 − b 3 . Saame sama tulemuse, kuid lahendus muutub pikemaks:
(2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2) = 2x(4x 2 + 6xy + 9y 2) − 3y(4x 2 + 6xy + 9y 2) =
8x 3 + 12x 2 y + 18xy 2 − 12x 2 y − 18xy 2 − 27y 3 = 8x 3 − 27y 3
Näide 2. Tehke korrutamine (3 − x)(9 + 3x + x 2)
Esimene polünoom (3 − x) on kahe avaldise erinevus ja teine polünoom on nende kahe avaldise summa mittetäielik ruut. See võimaldab meil kasutada valemit (a-b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3
(3 − x)(9 + 3x + x 2) = 3 3 − x 3 = 27 − x 3
Kahe avaldise summa korrutamine nende erinevuse mittetäieliku ruuduga
On ülesandeid, mille puhul tuleb kahe avaldise summa korrutada nende erinevuse mittetäieliku ruuduga. See tükk näeb välja selline:
(a+b)(a 2 − ab + b 2)
Esimene polünoom ( a+b (a 2 − ab + b 2) on nende kahe avaldise erinevuse mittetäielik ruut.
Erinevuse mittetäielik ruut on vormi polünoom a 2 − ab + b 2 . See on sarnane tavalise ruudu erinevusega a 2 − 2ab + b 2 välja arvatud see, et selles ei kahekordistata esimese ja teise avaldise korrutist.
Näiteks väljend 4x 2 − 6xy + 9y 2 on avaldiste erinevuse 2 mittetäielik ruut x ja 3 y .
(2x) 2 − 2x× 3 y + (3y) 2 = 4x 2 − 6xy + 9y 2
Tuleme tagasi algse näite juurde. Korrutame summa a+b erinevuse mittetäieliku ruudu järgi a 2 − ab + b 2
(a+b)(a 2 − ab + b 2) = a(a 2 − ab + b 2) + b(a 2 − ab + b 2) =
a 3 − a 2 b + ab 2 + a 2 b − ab 2 + b 3 = a 3 + b 3
See on väljend (a+b)(a 2 − ab + b 2) võrdub a 3 + b 3
(a+b)(a 2 − ab + b 2) = a 3 + b 3
Seda identiteeti nimetatakse valemiks kahe avaldise summa korrutamiseks nende erinevuse mittetäieliku ruuduga. Seda valemit saab lugeda järgmiselt:
Kahe avaldise summa ja nende erinevuse mittetäieliku ruudu korrutis võrdub nende avaldiste kuubikute summaga.
Näide 1. Tehke korrutamine (2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2)
Esimene polünoom (2 x + 3y) on kahe avaldise 2 summa x ja 3 y, ja teine polünoom 4x 2 − 6xy + 9y 2 on nende avaldiste erinevuse mittetäielik ruut. See võimaldab meil kasutada valemit ilma pikki arvutusi tegemata (a+b)(a 2 − ab + b 2) = a 3 + b 3 . Meie puhul korrutamine (2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2) saab asendada kuubikute summaga 2 x ja 3 y
(2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2) = (2x) 3 + (3y) 3 = 8x 3 + 27y 3
Proovime sama näidet lahendada ilma valemit kasutamata (a+b)(a 2 − ab+ b 2) = a 3 + b 3 . Saame sama tulemuse, kuid lahendus muutub pikemaks:
(2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2) = 2x(4x 2 − 6xy + 9y 2) + 3y(4x 2 − 6xy + 9y 2) =
8x 3 − 12x 2 y + 18xy 2 + 12x 2 y − 18xy 2 + 27y 3 = 8x 3 + 27y 3
Näide 2. Tehke korrutamine (2x+ y)(4x 2 − 2xy + y 2)
Esimene polünoom (2 x+ y) on kahe avaldise ja teise polünoomi summa (4x 2 − 2xy + y 2) on nende avaldiste erinevuse mittetäielik ruut. See võimaldab meil kasutada valemit (a+b)(a 2 − ab+ b 2) = a 3 + b 3
(2x+ y)(4x 2 − 2xy + y 2) = (2x) 3 + y 3 = 8x 3 + y 3
Proovime sama näidet lahendada ilma valemit kasutamata (a+b)(a 2 − ab+ b 2) = a 3 + b 3 . Saame sama tulemuse, kuid lahendus muutub pikemaks:
(2x+ y)(4x 2 − 2xy + y 2) = 2x(4x 2 − 2xy + y 2) + y(4x 2 − 2xy + y 2) =
8x 3 − 4x 2 y + 2xy 2 + 4x 2 y − 2xy 2 + y 3 = 8x 3 + y 3
Ülesanded iseseisvaks lahendamiseks
Kas teile tund meeldis?
Liituge meie uue Vkontakte grupiga ja hakake uute õppetundide kohta teateid saama
Algebraliste polünoomide lihtsustamiseks on olemas lühendatud korrutusvalemid. Neid pole nii palju ja neid on lihtne meeles pidada, kuid peate neid meeles pidama. Valemites kasutatav tähistus võib olla mis tahes kujul (arv või polünoom).
Esimest lühendatud korrutamisvalemit nimetatakse ruutude erinevus. See seisneb selles, et ühe arvu ruudust lahutatakse teise numbri ruut, mis on võrdne nende arvude vahega, samuti nende korrutis.
a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)
Analüüsime selguse huvides:
22 2 - 4 2 = (22-4)(22+4)=18 * 26 = 468
9a 2 - 4b 2 c 2 = (3a - 2bc) (3a + 2bc)
Teine valem umbes ruutude summa. See kõlab nii, et kahe väärtuse ruudu summa võrdub esimese väärtuse ruuduga, sellele lisatakse esimese väärtuse topeltkorrutis, mis on korrutatud teisega, ja neile lisatakse teise väärtuse ruut.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
Tänu sellele valemile on suure arvu ruudu arvutamine palju lihtsam ilma arvutitehnoloogiat kasutamata.
Nii näiteks: ruut 112 saab olema
1) Alguses analüüsime 112 arvudeks, mille ruudud on meile tuttavad
112 = 100 + 12
2) Saadud sisestame sulgudesse ruudus
112 2 = (100+12) 2
3) Valemit rakendades saame:
112 2 = (100+12) 2 = 100 2 + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544
Kolmas valem on vahe ruudus. Mis ütleb, et kaks väärtust, mis lahutatakse üksteisest ruudus, on võrdne tõsiasjaga, et esimesest ruudus olevast väärtusest lahutame esimese väärtuse topeltkorrutise korrutatud teisega, lisades neile teise väärtuse ruudu. .
(a + b) 2 \u003d a 2 - 2ab + b 2
kus (a - b) 2 võrdub (b - a) 2 . Selle tõestamiseks (a-b) 2 = a 2 -2ab + b 2 = b 2 -2ab + a 2 = (b-a) 2
Neljandat lühendatud korrutamisvalemit nimetatakse summa kuup. Mis kõlab nii: kuubis oleva väärtuse kaks liiget on võrdsed 1 väärtusega kuubiga, lisatakse 1 väärtuse kolmikkorrutis korrutatuna 2. väärtusega, neile lisatakse 1 väärtuse kolmikkorrutis korrutatuna ruuduga. väärtusest 2, millele lisandub teine väärtus kuubitatuna.
(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Viiendat, nagu te juba aru saite, nimetatakse erinevuse kuubik. Mis leiab väärtuste erinevused, kuna kuubi esimesest tähistusest lahutame esimese tähise kolmikkorrutise korrutatuna teisega, neile liidetakse esimese tähise kolmikkorrutis korrutatuna teise tähise ruuduga. , miinus teine tähistus kuubis.
(a-b) 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
Kuuendat nimetatakse kuubikute summa. Kuubikute summa on võrdne kahe liikme korrutisega erinevuse mittetäieliku ruuduga, kuna keskel pole kahekordset väärtust.
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 -ab + b 2)
Teisel viisil võib öelda, et kuubikute summat võib nimetada kahes sulus olevaks korruseks.
Seitsmes ja viimane on nn kuubikute erinevus(seda on lihtne segi ajada erinevuse kuubi valemiga, kuid need on erinevad asjad). Kuubikute erinevus võrdub kahe väärtuse erinevuse korrutisega summa mittetäieliku ruuduga, kuna keskel pole kahekordset väärtust.
a 3 - b 3 \u003d (a-b) (a 2 + ab + b 2)
Ja seega on lühendatud korrutamiseks ainult 7 valemit, need on üksteisega sarnased ja kergesti meeldejäävad, oluline on ainult see, et märkides mitte segadusse sattuda. Need on mõeldud kasutamiseks ka vastupidises järjekorras ja selliseid ülesandeid on õpikutesse kogutud päris palju. Olge ettevaatlik ja õnnestub.
Kui teil on valemite kohta küsimusi, kirjutage need kindlasti kommentaaridesse. Vastame teile hea meelega!
Kui olete rasedus- ja sünnituspuhkusel, kuid soovite raha teenida. Lihtsalt järgige linki Interneti-äri Oriflame'iga. Kõik on kirjutatud ja näidatud väga üksikasjalikult. See saab olema huvitav!
Laadimine...