Kuidas lahendada kuupvõrrandid. Kuidas lahendada kuupvõrrandeid Määratlusväli, väärtuste hulk

Kuupvõrrandis on kõrgeim astendaja 3, sellisel võrrandil on 3 juurt (lahendust) ja see näeb välja selline . Mõnda kuupvõrrandit polegi nii lihtne lahendada, kuid õige meetodi rakendamisel (hea teoreetilise ettevalmistusega) leiate isegi kõige keerukama kuupvõrrandi juured - selleks kasutage ruutvõrrandi lahendamise valemit, leida täisarvu juured või arvutada diskriminant.

Sammud

Kuidas lahendada kuupvõrrandit ilma vaba liikmeta

Uurige, kas kuupvõrrandis on lõikepunkt d (\displaystyle d) . Kuupvõrrandil on vorm a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 (\displaystyle ax^(3)+bx^(2)+cx+d=0). Võrrandi kuupkujuliseks käsitlemiseks piisab, kui ainult liige x 3 (\displaystyle x^(3))(st teisi liikmeid ei pruugi üldse olla).

Võtke see sulgudest välja x (\displaystyle x) . Kuna võrrandis pole vaba liiget, sisaldab iga võrrandi liige muutujat x (\displaystyle x). See tähendab, et üks x (\displaystyle x) võrrandi lihtsustamiseks võib sulgudesse panna. Seega kirjutatakse võrrand järgmiselt: x (a x 2 + b x + c) (\displaystyle x(ax^(2)+bx+c)).

Teguriseerige ruutvõrrand (võimaluse korral kahe binoomarvu korrutisega). Paljud vormi ruutvõrrandid a x 2 + b x + c = 0 (\displaystyle ax^(2)+bx+c=0) saab faktoriseerida. Selline võrrand saadakse, kui x (\displaystyle x) sulgude jaoks. Meie näites:

Lahendage ruutvõrrand spetsiaalse valemi abil. Tehke seda, kui ruutvõrrandit ei saa arvesse võtta. Võrrandi kahe juure leidmiseks koefitsientide väärtused a (\displaystyle a), b (\displaystyle b), c (\displaystyle c)ühendage valemiga.

• Meie näites asendage koefitsientide väärtused a (\displaystyle a), b (\displaystyle b), c (\displaystyle c) (3 (\displaystyle 3), − 2 (\displaystyle -2), 14 (\displaystyle 14)) valemisse: − b ± b 2 − 4 a c 2 a (\displaystyle (\frac (-b\pm (\sqrt (b^(2)-4ac)))(2a))) − (− 2) ± ((− 2) 2 − 4 (3) (14) 2 (3) (\displaystyle (\frac (-(-2)\pm (\sqrt (((-2))^(2)) )-4(3)(14))))(2(3)))) 2 ± 4 − (12) (14) 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt (4-(12)(14))))(6))) 2 ± (4–168 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt ((4-168)))(6))) 2 ± − 164 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt (-164)))(6)))
• Esimene juur: 2 + − 164 6 (\displaystyle (\frac (2+(\sqrt (-164)))(6))) 2 + 12 , 8 i 6 (\displaystyle (\frac (2+12,8i)(6)))
• Teine juur: 2–12 , 8 i 6 (\displaystyle (\frac (2-12,8i)(6)))

1. Kasutage kuupvõrrandi lahenditena ruutvõrrandi nulli ja juuri. Ruutvõrranditel on kaks juurt, kuupvõrranditel aga kolm. Olete juba leidnud kaks lahendust – need on ruutvõrrandi juured. Kui panna "x" sulgudest välja, on kolmas lahendus .

   Kuidas leida täisarvude juuri kasutades kordajaid

   1. Veenduge, et kuupvõrrandil oleks lõikepunkt d (\displaystyle d) . Kui vormi võrrandis a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 (\displaystyle ax^(3)+bx^(2)+cx+d=0) on vabaliige d (\displaystyle d)(mis ei ole võrdne nulliga), ei saa "x" sulgudest välja panna. Sel juhul kasutage selles jaotises kirjeldatud meetodit.

      Kirjutage välja koefitsientide kordajad a (\displaystyle a) ja vabaliige d (\displaystyle d) . See tähendab, et leida arvu tegurid millal x 3 (\displaystyle x^(3)) ja arvud enne võrdusmärki. Tuletage meelde, et arvu tegurid on arvud, mis korrutatuna annavad selle arvu.

      Jagage iga kordaja a (\displaystyle a) iga kordaja kohta d (\displaystyle d) . Tulemuseks on palju murde ja mitu täisarvu; kuupvõrrandi juurteks on üks täisarvudest või ühe täisarvu negatiivne väärtus.

      • Meie näites jagage tegurid a (\displaystyle a) (1 ja 2 ) tegurite järgi d (\displaystyle d) (1 , 2 , 3 ja 6 ). Saate: 1 (\displaystyle 1), , , , 2 (\displaystyle 2) ja . Nüüd lisage sellesse loendisse saadud murdude ja arvude negatiivsed väärtused: 1 (\displaystyle 1), − 1 (\displaystyle -1), 1 2 (\displaystyle (\frac (1) (2))), − 1 2 (\displaystyle -(\frac (1) (2))), 1 3 (\displaystyle (\frac (1) (3))), − 1 3 (\displaystyle -(\frac (1) (3))), 1 6 (\displaystyle (\frac (1) (6))), − 1 6 (\displaystyle -(\frac (1)(6))), 2 (\displaystyle 2), − 2 (\displaystyle -2), 2 3 (\displaystyle (\frac (2) (3))) ja − 2 3 (\displaystyle -(\frac (2) (3))). Kuupvõrrandi täisarvu juured on mõned numbrid sellest loendist.

   2. Ühendage täisarvud kuupvõrrandisse. Kui seda võrdsust täheldatakse, on asendatud arv võrrandi juur. Näiteks ühendage võrrand 1 (\displaystyle 1):

      Kasutage polünoomide jagamise meetodit Horneri skeem et leida kiiresti võrrandi juured. Tehke seda, kui te ei soovi võrrandisse numbreid käsitsi ühendada. Horneri skeemis jagatakse täisarvud võrrandi koefitsientide väärtustega a (\displaystyle a), b (\displaystyle b), c (\displaystyle c) ja d (\displaystyle d). Kui arvud on võrdselt jaguvad (st jääk on ), on täisarv võrrandi juur.

Number e on oluline matemaatiline konstant, mis on naturaallogaritmi aluseks. Number e ligikaudu võrdne 2,71828-ga piiranguga (1 + 1/n)n juures n lõpmatuseni kalduv.

Eksponentfunktsiooni väärtuse leidmiseks sisestage x väärtus nt

Arvude arvutamiseks tähega E kasutage eksponentsiaalset täisarvuks teisendamise kalkulaatorit

Teata veast

‘; setTimeout(function() ( $('form:first:button:first , #form_ca:first:button:first , form:first:submit:first , #form_ca:first:submit:first').css(('display) ':'inline-block')); $("#boxadno").remove(); $('form:first:button:first , #form_ca:first:button:first , form:first:submit:first , #form_ca:first:submit:first').click(); $('form:first:button:first , #form_ca:first:button:first , form:first:submit:first , #form_ca:first:submit: first').css(('display':'none')); $('form:first:button:first , #form_ca:first:button:first , form:first:submit:first , #form_ca:first: submit:first').parent().prepend("); ), 32000); ) Kas see kalkulaator aitas teid?
Jaga seda kalkulaatorit koos sõpradega foorumis või võrgus.

Seeläbi Sina abi Meie arendamisel uued kalkulaatorid ja vanade viimistlemine.

Algebrakalkulaatori arvutamine

Arv e on oluline matemaatiline konstant, mis on naturaallogaritmi aluseks.

0,3 võimsusel x korrutatuna 3-ga võimsusega x on samad

Arv e on ligikaudu 2,71828 piiranguga (1 + 1/n)n, kui n läheb lõpmatuseni.

Seda numbrit nimetatakse ka Euleri numbriks või Napieri numbriks.

Eksponentsiaalne – eksponentsiaalne funktsioon f (x) = exp (x) = ex, kus e on Euleri arv.

Sisestage x väärtus, et leida eksponentsiaalfunktsiooni ex väärtus

Eksponentfunktsiooni väärtuse arvutamine võrgus.

Kui Euleri arv (e) tõuseb nullini, on vastus 1.

Kui tõstate tasemeni, mis on suurem kui üks, on vastus suurem kui algne. Kui kiirus on suurem kui null, kuid väiksem kui 1 (nt 0,5), on vastus suurem kui 1, kuid väiksem kui originaal (märk E). Kui astendaja suureneb negatiivse astmeni, tuleb 1 antud astme korral jagada arvuga e, kuid plussmärgiga.

Definitsioonid

eksponenti See on eksponentsiaalne funktsioon y (x) = e x, mille tuletis on sama, mis funktsioonil endal.

Näidik on tähistatud kui või.

e number

Eksponenti alus on e.

See on irratsionaalne arv. See on umbes sama
e ≈ 2,718281828459045 …

Arv e on määratletud väljaspool jada piiri. See on niinimetatud muu erandlik piirmäär:
.

Arvu e võib esitada ka seeriana:
.

Eksponendi graafik

Graafik näitab kraadi e etapis X.
y(x) = näit
Graafik näitab, et see suureneb monotoonselt eksponentsiaalselt.

valem

Põhivalemid on samad, mis eksponentsiaalfunktsiooni baastasemega e.

Eksponentfunktsioonide väljendamine suvalise alusega a astendaja tähenduses:
.

ka jaotis "Eksponentfunktsioon" >>>

eraväärtusi

Olgu y (x) = e x.

5 astmeks x ja võrdub 0-ga

Eksponentsed omadused

Eksponent omab astmebaasiga eksponentsiaalfunktsiooni omadusi e> esiteks

Definitsiooniväli, väärtuste kogum

X jaoks määratakse indeks y (x) = e x.
Selle maht:
— ∞ < x + ∞.
Selle tähendus:
0 < Y < + ∞.

Äärmused, suurenemine, langus

Eksponent on monotoonne kasvav funktsioon, seega pole sellel äärmusi.

Selle peamised omadused on toodud tabelis.

Pöördfunktsioon

Retsiprooks on naturaallogaritm.
;
.

Näitajate tuletised

tuletis e etapis X See on e etapis X :
.
Tuletatud N-järk:
.
Valemite täitmine >>>

lahutamatu

ka jaotis "Määramatute integraalide tabel" >>>

Komplekssed ruumid

Tehted kompleksarvudega sooritatakse kasutades Euleri valem:
,
kus on imaginaarne ühik:
.

Avaldised hüperboolsete funktsioonide järgi

Avaldised trigonomeetriliste funktsioonide järgi

Power seeria laiendus

Millal on x võrdne nulliga?

Tavaline või veebikalkulaator

Tavaline kalkulaator

Standardkalkulaator pakub lihtsaid kalkulaatoritoiminguid, nagu liitmine, lahutamine, korrutamine ja jagamine.

Võite kasutada kiiret matemaatikakalkulaatorit

Teaduskalkulaator võimaldab veebimälu kalkulaatoris teha keerukamaid tehteid ja ka kalkulaatoreid, nagu siinus, koosinus, pöördkoosinus, puutetundlik pöördkoosinus, puutuja, eksponent, eksponent, logaritm, huvi ja ka äri.

Sisestada saab otse klaviatuurilt, esmalt kliki kalkulaatoriga alale.

See teeb lihtsaid toiminguid nii numbritega kui ka keerukamate, nagu
matemaatika kalkulaator võrgus.
0 + 1 = 2.
Siin on kaks kalkulaatorit:

1. Arvutage kõigepealt nagu tavaliselt
2. Teine arvutab selle inseneritööna

Reeglid kehtivad serveris arvutatud kalkulaatorile

Terminite ja funktsioonide sisestamise reeglid

Miks ma vajan seda veebikalkulaatorit?

Veebikalkulaator – mille poolest see tavalisest kalkulaatorist erineb?

Esiteks, tavakalkulaator ei sobi transpordiks ja teiseks, praegu on Internet peaaegu kõikjal, see ei tähenda, et probleeme oleks, minge meie veebisaidile ja kasutage veebikalkulaatorit.
Veebikalkulaator – mille poolest see erineb java kalkulaatorist ja ka teistest operatsioonisüsteemide kalkulaatoritest?

Jällegi liikuvus. Kui kasutate teist arvutit, ei pea te seda uuesti installima
Niisiis, kasutage seda saiti!

Väljendid võivad koosneda funktsioonidest (kirjutatud tähestikulises järjekorras):

absoluutne (x) Absoluutne väärtus X
(moodul X või | x |) arccos (x) Funktsioon - Arcoxin alates Xarccosh(x) Arkosiin on hüperboolne Xarcsin(x) Eraldi poeg Xarcsinh(x) HyperX hüperboolne Xarctg(x) Funktsioon on kaartangens Xarctgh(x) Arktangent on hüperboolne Xee arv - umbes 2,7 exp (x) Funktsioon - indikaator X(nagu e^X) log(x) või ln(x) naturaallogaritm X
(Jah log7(x), Tuleb sisestada log(x) / log(7) (või nt log10(x)= log(x) / log(10)) pi Arv "Pi", mis on umbes 3,14 sin(x) Funktsioon – siinus Xcos(x) Funktsioon – koonus alates Xsinh(x) Funktsioon – siinuse hüperboolne Xsularaha (x) Funktsioon – koosinus-hüperboolne Xruut (x) Funktsioon on ruutjuur Xsqr(x) või x^2 Funktsioon - ruut Xtg(x) Funktsioon – puutuja alates Xtgh(x) Funktsioon on hüperboolne puutuja Xcbrt(x) Funktsioon on kuupjuur Xmuld (x)Ümardamisfunktsioon X alumisel küljel (mullanäide (4.5) == 4.0) sümbol (x) Funktsioon - sümbol Xerf(x) Veafunktsioon (Laplace või tõenäosusintegraal)

Kasutada saab järgmisi toiminguid:

Reaalarvud sisestage vormi 7,5 , mitte 7,5 2*x- korrutamine 3/x- eraldamine x^3— eksponentsiatsioon x + 7- Pealegi, x - 6- tagasiarvestus

Laadige alla PDF

Eksponentvõrrandid on vormi võrrandid

x - tundmatu eksponent,

a ja b- mõned numbrid.

Näited eksponentsiaalvõrrandi kohta:

Ja võrrandid:

ei ole enam esinduslik.

Vaatleme eksponentsiaalvõrrandite lahendamise näiteid:

Näide 1
Leidke võrrandi juur:

Vähendame astmed samale alusele, et kasutada astme omadust reaalastendajaga

Siis on võimalik eemaldada kraadi alus ja liikuda näitajate võrdsuse poole.

Teisendame võrrandi vasaku külje:

Teisendame võrrandi parema külje:

Kraadiomaduse kasutamine

Vastus: 4.5.

Näide 2
Lahendage ebavõrdsus:

Jagage võrrandi mõlemad pooled arvuga

Vastupidine asendamine:

Vastus: x=0.

Lahendage võrrand ja leidke antud intervalli juured:

Toome kõik tingimused samale alusele:

Asendamine:

Otsime võrrandi juuri, valides vaba liikme kordsed:

- sobib, sest

võrdsus kehtib.
- sobib, sest

Kuidas otsustada? e^(x-3) = 0 e x-3 astmeni

võrdsus kehtib.
- sobib, sest võrdsus kehtib.
- ei sobi, sest võrdsust ei täideta.

Vastupidine asendamine:

Arvest saab 1, kui selle eksponent on 0

Ei sobi, sest

Parem pool on võrdne 1-ga, sest

Siit:

Lahenda võrrand:

Asendamine: siis

Vastupidine asendamine:

1 võrrand:

kui arvude alused on võrdsed, siis on nende eksponendid võrdsed, siis

2 võrrand:

Mõlema osa logaritm 2. alusele:

Eksponent tuleb avaldise ette, sest

Vasak pool on 2x kuna

Siit:

Lahenda võrrand:

Muudame vasaku külje:

Korrutame kraadid vastavalt valemile:

Lihtsustame: vastavalt valemile:

Paneme selle vormi:

Asendamine:

Teisendame murdosa valeks:

a2 - ei sobi, sest

Vastupidine asendamine:

Jõuame alumisele reale:

Kui a

Vastus: x=20.

Lahenda võrrand:

O.D.Z.

Teisendame vasaku külje valemi järgi:

Asendamine:

Arvutame diskriminandi juure:

a2-ei sobi, sest

ei võta negatiivseid väärtusi

Jõuame alumisele reale:

Kui a

Teeme mõlemad pooled ruudukujuliseks:

Artikli toimetajad: Gavrilina Anna Viktorovna, Ageeva Ljubov Aleksandrovna

Tagasi teemade juurde

Suure artikli "Intuitiivne juhend eksponentsiaalsete funktsioonide ja e" tõlge

Arv e on mind alati erutanud – mitte tähena, vaid matemaatilise konstantina.

Mida e tegelikult tähendab?

Erinevad matemaatilised raamatud ja isegi minu armastatud Wikipedia kirjeldavad seda majesteetlikku konstanti täiesti rumala teadusliku žargooniga:

Matemaatiline konstant e on naturaallogaritmi alus.

Kui olete huvitatud sellest, mis on naturaalne logaritm, leiate järgmise definitsiooni:

Naturaalne logaritm, varem tuntud kui hüperboolne logaritm, on logaritm, mille alus on e, kus e on irratsionaalne konstant, mis on ligikaudu võrdne 2,718281828459-ga.

Definitsioonid on loomulikult õiged.

Kuid neist on äärmiselt raske aru saada. Vikipeedia pole selles muidugi süüdi: tavaliselt on matemaatilised seletused kuivad ja formaalsed, koostatud teaduse täies mahus. Seetõttu on algajatel raske ainet omandada (ja kunagi olid kõik algajad).

Ma olen üle sellest! Täna jagan oma väga intellektuaalseid mõtteid selle kohta mis on e number ja miks see nii lahe on! Pange oma paksud hirmutavad matemaatikaraamatud kõrvale!

Arv e ei ole lihtsalt arv

Kirjeldades e-d kui "konstanti, mis on ligikaudu võrdne 2,71828-ga..." on sama, kui nimetada pi "irratsionaalarvuks, mis on ligikaudu võrdne 3,1415-ga...".

Kahtlemata on see nii, kuid olemus jääb meist siiski kõrvale.

Arv pi on ringi ümbermõõdu ja selle läbimõõdu suhe, mis on kõigi ringide puhul sama.. See on kõigi ringide jaoks ühine põhiproportsioon ja seetõttu on see seotud ringide, sfääride, silindrite jne ümbermõõdu, pindala, ruumala ja pindala arvutamisega.

Pi näitab, et kõik ringid on ühendatud, rääkimata ringidest tuletatud trigonomeetrilistest funktsioonidest (siinus, koosinus, puutuja).

Arv e on kõigi pidevalt kasvavate protsesside põhikasvukordaja. Arv e võimaldab võtta lihtsa kasvutempo (kus vahe on näha alles aasta lõpus) ​​ja arvutada selle näitaja komponendid, normaalkasv, mille jooksul iga nanosekundi (või isegi kiiremini) kõik kasvab veidi. rohkem.

Arv e on seotud nii eksponentsiaalse kui ka pideva kasvuga süsteemidega: rahvaarv, radioaktiivne lagunemine, intresside arvutamine ja paljud, paljud teised.

Isegi astmelised süsteemid, mis ei kasva ühtlaselt, on ligikaudsed arvuga e.

Nii nagu mis tahes arvu võib pidada 1 (põhiühiku) "skaalatud" versiooniks, võib iga ringi pidada ühiku ringi (raadius 1) "skaalatud" versiooniks.

Antakse võrrand: e astmega x \u003d 0. Millega x võrdub?

Ja mis tahes kasvufaktorit võib pidada e "mastaabitud" versiooniks ("üksik" kasvufaktor).

Seega ei ole arv e juhuslik arv. E-arv kehastab ideed, et kõik pidevalt kasvavad süsteemid on sama mõõdiku skaleeritud versioonid.

Eksponentsiaalse kasvu mõiste

Alustuseks vaatame põhisüsteemi, mis teatud aja jooksul kahekordistub.

Näiteks:

• Bakterite arv jaguneb ja "kahekordistub" iga 24 tunni järel
• Me saame kaks korda rohkem nuudleid, kui murrame need pooleks
• Teie raha kahekordistub igal aastal, kui saate 100% kasumi (õnne!)

Ja see näeb välja umbes selline:

Kahega jagamine või kahekordistamine on väga lihtne edasiminek. Muidugi võime kolme- või neljakordistada, kuid kahekordistamine on selgituseks mugavam.

Matemaatiliselt, kui meil on x jaotust, saame 2^x korda rohkem head kui alguses.

Kui tehakse ainult 1 partitsioon, saame 2^1 korda rohkem. Kui partitsioone on 4, saame 2^4=16 osa. Üldvalem näeb välja selline:

Teisisõnu, kahekordistamine on 100% tõus.

Saame selle valemi ümber kirjutada järgmiselt:

kasv = (1+100%)x

See on sama võrdsus, me lihtsalt jagasime "2" selle komponentideks, mis sisuliselt on see arv: algväärtus (1) pluss 100%. Tark, eks?

Muidugi võime 100% asemel asendada mis tahes muu arvu (50%, 25%, 200%) ja saame selle uue suhte kasvuvalemi.

Aegridade x perioodi üldvalem näeb välja järgmine:

kasv = (1+kasv)x

See tähendab lihtsalt, et kasutame tulumäära (1 + kasv) "x" korda järjest.

Vaatame lähemalt

Meie valem eeldab, et kasv toimub diskreetsete sammudena. Meie bakterid ootavad ja ootavad, ja siis bam!, ja viimasel hetkel kahekordistub nende arv. Meie hoiuse intressikasum ilmub võluväel täpselt 1 aasta pärast.

Eespool kirjutatud valemi põhjal kasvab kasum sammude kaupa. Rohelised täpid ilmuvad äkki.

Kuid maailm ei ole alati selline.

Kui me sisse suumime, näeme, et meie bakterisõbrad jagunevad pidevalt:

Roheline lapsuke ei sünni mitte millestki: ta kasvab aeglaselt välja sinisest vanemast. Pärast 1 perioodi (meie puhul 24 tundi) on roheline sõber juba täielikult küps. Pärast küpsemist saab ta karja täieõiguslikuks siniseks liikmeks ja suudab ise uusi rohelisi rakke luua.

Kas see teave muudab kuidagi meie võrrandit?

Bakterite puhul ei saa pooleldi moodustunud rohelised rakud ikkagi midagi teha enne, kui nad suureks kasvavad ja oma sinistest vanematest täielikult eralduvad. Seega on võrrand õige.

Järgmises artiklis vaatleme näidet teie raha eksponentsiaalsest kasvust.

Tähelepanu!
On olemas täiendavaid
materjal erijaos 555.
Neile, kes tugevalt "mitte väga..."
Ja neile, kes "väga...")

Mida "ruudu ebavõrdsus"? Pole küsimust!) Kui võtate ükskõik milline ruutvõrrand ja muutke selles olevat märki "=" (võrdne) mis tahes ebavõrdsuse ikooniga ( > ≥ < ≤ ≠ ), saame ruutvõrratuse. Näiteks:

1. x2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 + 3x > 0

3. x2 ≤ 4

Noh, saate aru...)

Sidusin siin teadlikult võrrandid ja ebavõrdsused. Fakt on see, et esimene samm lahendamisel ükskõik milline ruudu ebavõrdsus - lahendage võrrand, millest see võrratus tehakse. Sel põhjusel - suutmatus lahendada ruutvõrrandeid viib automaatselt ebavõrdsuse täieliku ebaõnnestumiseni. Kas vihje on selge?) Kui midagi, siis vaadake, kuidas ruutvõrrandi lahendada. Seal on kõik üksikasjalikult kirjas. Ja selles õppetükis käsitleme ebavõrdsust.

Lahendusvalmis ebavõrdsus on järgmisel kujul: vasak - ruudukujuline kolmik ax 2 +bx+c, paremal - null. Ebavõrdsuse märk võib olla absoluutselt ükskõik milline. Kaks esimest näidet on siin on otsuseks valmis. Kolmas näide tuleb veel ette valmistada.

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õppimine – huviga!)

saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.