Polünoomide jagamine "veeru" ("nurga" järgi). Polünoomide jagamine nurgaga Avaldise jagamine avaldise järgi võrgus

avaldus

ülejäänud osa puudulik privaatne.

kommenteerida

Iga polünoomi $A(x)$ ja $B(x)$ jaoks ($B(x)$ aste on suurem kui 0) on unikaalsed polünoomid $Q(x)$ ja $R(x)$ väite tingimus.

1. Jääk pärast polünoomi $x^(4) + 3x^(3) +5$ jagamist arvuga $x^(2) + 1$ on $3x + 4$:$x^(4) + 3x^(3) +5 = (x^(2) + 3x +1)(x^(2) + 1) +3x + 4,$
2. Jääk pärast polünoomi $x^(4) + 3x^(3) +5$ jagamist arvuga $x^(4) + 1$ on $3x^(3) + 4$:$x^(4) + 3x ^(3) +5 = 1 \cpunkt (x^(2) + 1) +3x^(3) + 4,$
3. Jääk pärast polünoomi $x^(4) + 3x^(3) +5$ jagamist arvuga $x^(6) + 1$ on $x^(4) + 3x^(3) +5$:$x ^(4) + 3x^(3) +5 = 0 \cpunkt (x^(6) + 1) + x^(4) + 3x^(3) +5.$

avaldus

Iga kahe polünoomi $A(x)$ ja $B(x)$ jaoks (kus polünoomi $B(x)$ aste on nullist erinev) eksisteerib polünoomi esitus $A(x)$ kujul $A (x) = Q (x)B(x) + R(x)$, kus $Q(x)$ ja $R(x)$ on polünoomid ja $R(x)$ aste on kraadist väiksem $B(x).$

Tõestus

Tõestame väite induktsiooniga polünoomi $A(x).$ astme kohta Tähistame seda väärtusega $n$. Kui $n = 0$, on väide tõene: $A(x)$ saab esitada kujul $A(x) = 0 \cdot B(x) + A(x).$ Nüüd olgu väide tõestatud: polünoomid astmega $n \ leqm$. Tõestame väidet polünoomidele astmega $k= n+1.$

Olgu polünoomi $B(x)$ aste võrdne $m$. Vaatleme kolme juhtumit: $k< m$, $k = m$ и $k >m$ ja tõestage väide igaühe kohta.

1. $k< m$
   Polünoomi $A(x)$ saab esitada kujul

   $A(x) = 0 \cdot B(x) + A(x).$

   Väide on tehtud.

2. $k = m$
   Olgu polünoomidel $A(x)$ ja $B(x)$ vorm

   $A(x) = a_(n+1)x^(n+1) + a_(n)x^(n) + \dots + a_(1)x + a_(0), \: \mbox(kus ) \: a_(n+1) \neq 0;$

   $B(x) = b_(n+1)x^(n+1) + b_(n)x^(n) + \dots + b_(1)x + b_(0), \: \mbox(kus ) \: b_(n+1) \neq 0.$

   Esitame $A(x)$ kui

   $A(x) = \dfrac(a_(n+1))(b_(n+1))B(x) - \Big(\dfrac(a_(n+1))(b_(n+1)) B(x) – A(x)\Suur).$

   Pange tähele, et polünoomi $\dfrac(a_(n+1))(b_(n+1))B(x) - A(x)$ aste on maksimaalselt $n+1$, siis on see esitus soovitud ja väide on rahuldatud.

3. $k > m$
   Esitame polünoomi $A(x)$ kujul

   $A(x) = x(a_(n+1)x^(n) + a_(n)x^(n-1) + \dots + a_(1)) + a_(0), \: \mbox (kus) \: a_(n+1) \neq 0.$

   Vaatleme polünoomi $A"(x) = a_(n+1)x^(n) + a_(n)x^(n-1) + \dots + a_(1).$ saab esitada kui $A" (x) = Q"(x)B(x) + R"(x)$, kus polünoomi $R"(x)$ aste on väiksem kui $m$, siis $A(x) esitus $ saab ümber kirjutada kui

   $A(x) = x(Q"(x)B(x) + R"(x)) + a_(0) = xQ"(x)B(x) + xR"(x) + a_(0) .$

   Pange tähele, et polünoomi $xR"(x)$ aste on väiksem kui $m+1$, st väiksem kui $k$. Siis $xR"(x)$ vastab induktiivsele eeldusele ja seda saab esitada kui $ xR" (x) = Q""(x)B(x) + R""(x)$, kus polünoomi $R""(x)$ aste on väiksem kui $m$. Kirjutage $A esitus ümber (x)$ as

   $A(x) = xQ"(x)B(x) + Q""(x)B(x) + R""(x) + a_(0) =$

   $= (xQ"(x)+xQ""(x))B(x) + R""(x) + a_(0).$

   Polünoomi $R""(x) + a_(0)$ aste on väiksem kui $m$, seega on väide tõene.

Väide on tõestatud.

Sel juhul kutsutakse polünoomi $R(x)$ ülejäänud osa$A(x)$ jagamisest $B(x)$ ja $Q(x)$-ga - puudulik privaatne.

Kui $R(x)$ jääk on nullpolünoom, siis öeldakse, et $A(x)$ jagub $B(x)$-ga.

Tõestatakse, et polünoomidest koosnevat vale murdu saab esitada polünoomi ja õige murru summana. Põhjalikult analüüsitakse näiteid polünoomide nurgaga jagamisest ja veeruga korrutamisest.

Sisu

Teoreem

Laske Pk (x), Qn (x) on polünoomid muutujas x astmetega vastavalt k ja n, mille k ≥ n . Siis polünoom P k (x) saab esitada ainult järgmisel viisil:
(1) P k (x) = S k-n (x) Q n (x) + U n-1 (x),
kus S k-n (x)- polünoom astmega k-n , U n- 1(x)- polünoom, mille aste ei ole kõrgem kui n- 1 , või null.

Tõestus

Polünoomi määratluse järgi:
;
;
;
,
kus p i , q i - tuntud koefitsiendid, s i , u i - tundmatud koefitsiendid.

Tutvustame tähistust:
.
Asendus sisse (1) :
;
(2) .
Esimene liige paremal pool on k-astme polünoom. Teise ja kolmanda liikme summa on polünoom astmega maksimaalselt k - 1 . Võrdsusta x k koefitsiendid:
p k = s k-n q n .
Seega s k-n = p k / q n .

Teisendame võrrandi (2) :
.
Tutvustame tähistust: .
Kuna s k-n = p k / q n, siis koefitsient x k juures on võrdne nulliga. Seetõttu - see on polünoom astmega maksimaalselt k - 1 , . Seejärel saab eelmise võrrandi ümber kirjutada järgmiselt:
(3) .

Sellel võrrandil on sama kuju kui võrrandil (1) , sai ainult k väärtus 1 väiksem. Korrates seda protseduuri k-n korda, saame võrrandi:
,
millest määrame polünoomi U n- koefitsiendid 1(x).

Seega oleme määranud kõik tundmatud koefitsiendid s i , u l . Veelgi enam, s k-n ≠ 0 . Lemma on tõestatud.

Polünoomide jaotus

Võrrandi mõlema poole jagamine (1) kohta Q n (x), saame:
(4) .
Analoogiliselt kümnendarvudega S k-n (x) nimetatakse murdosa täisarvuks või privaatseks, U n- 1(x)- ülejäänud osa. Polünoomide murdosa, mille polünoomi aste lugejas on väiksem kui nimetaja polünoomi aste, nimetatakse õigeks murdeks. Polünoomide murdosa, mille polünoomi aste lugejas on suurem või võrdne nimetaja polünoomi astmega, nimetatakse valeks murdeks.

Võrrand (4) näitab, et polünoomide mis tahes vale murdosa saab lihtsustada, esitades selle täisarvulise osa ja õige murru summana.

Oma tuumaks on täisarvulised kümnendarvud polünoomid, milles muutuja on võrdne arvuga 10 . Näiteks võtame arvu 265847. Seda saab esitada järgmiselt:
.
See tähendab, et see on viienda astme polünoom alates 10 . Arvud 2, 6, 5, 8, 4, 7 on arvu laienemise koefitsiendid astmetes 10.

Seetõttu saab polünoome rakendada nurgaga jagamise reeglile (mida mõnikord nimetatakse ka veeruga jagamiseks), mida rakendatakse arvude jagamisel. Ainus erinevus seisneb selles, et polünoomide jagamisel ei pea te üheksast suuremaid arve teisendama suuremateks numbriteks. Vaatleme konkreetsete näidete abil polünoomide nurgaga jagamise protsessi.

Näide polünoomide jagamisest nurgaga

.

Siin on lugejaks neljanda astme polünoom. Nimetaja on teise astme polünoom. Niivõrd kui 4 ≥ 2 , siis pole murd õige. Valime täisarvulise osa, jagades polünoomid nurgaga (veerus):

Kirjeldame üksikasjalikult jagamisprotsessi. Algsed polünoomid kirjutatakse vasakusse ja paremasse veergu. Nimetaja polünoomi alla parempoolsesse veergu tõmbame horisontaalse joone (nurga). Sellest joonest allpool, nurga all, on murdosa täisarvuline osa.

1.1 Leiame täisarvulise osa esimese liikme (nurga alt). Selleks jagame lugeja kõrgeima liikme nimetaja suurima liikmega: .

1.2 Korrutada 2x2 kohta x 2–3 x + 5:
. Tulemus kirjutatakse vasakpoolsesse veergu:

1.3 Võtame vasakpoolses veerus polünoomide erinevuse:

.

Niisiis, saime vahetulemuse:
.

Paremal pool olev murd on vale, kuna polünoomi aste lugejas ( 3 ) on suurem või võrdne nimetaja polünoomi astmega ( 2 ). Kordame arvutusi. Alles nüüd on murru lugeja vasakpoolse veeru viimasel real.
2.1 Lugeja vanem liige jagage nimetaja vanem liige: ;

2.2 Korrutame nimetajaga: ;

2.3 Ja lahutage vasakpoolse veeru viimaselt realt: ;


Vahetulemus:
.

Kordame arvutusi uuesti, kuna paremal pool on vale murd.
3.1 ;
3.2 ;
3.3 ;


Nii et saime:
.
Polünoomi aste parempoolse murru lugejas on väiksem kui nimetaja polünoomi aste, 1 < 2 . Seetõttu on murdosa õige.

;
2 x 2 - 4 x + 1 on kogu osa;
x- 8 - ülejäänud osa.

Näide 2

Valige murru täisarvuline osa ja leidke jaotuse ülejäänud osa:
.

Teeme samu toiminguid, mis eelmises näites:

Siin on jaotuse ülejäänud osa null:
.

Polünoomide korrutamine veeruga

Sarnaselt täisarvude korrutamisega saate polünoome ka veeruga korrutada. Vaatleme konkreetseid näiteid.

Näide polünoomide korrutamisest veeruga

Leidke polünoomide korrutis:
.

1

2.1
.

2.2
.

2.3
.
Tulemus kirjutatakse veergu, joondades x astmed.

3
;
;
;
.

Pange tähele, et üles saab kirjutada ainult koefitsiendid ja muutuja x astmed võib ära jätta. Seejärel näeb polünoomide veeruga korrutamine välja järgmine:

Näide 2

Leidke veerust polünoomide korrutis:
.

Polünoomide korrutamisel veeruga on oluline kirjutada üksteise alla muutuja x samad astmed. Kui mõned x-i astmed on välja jäetud, tuleks need kirjutada selgesõnaliselt nulliga korrutades või jätta tühikud.

Selles näites on mõned kraadid välja jäetud. Seetõttu kirjutame need selgesõnaliselt, korrutatuna nulliga:
.
Korrutame polünoomid veeruga.

1 Kirjutame algsed polünoomid üksteise alla veergu ja tõmbame joone.

2.1 Korrutame teise polünoomi madalaima liikme esimese polünoomiga:
.
Tulemus kirjutatakse veergu.

2.2 Teise polünoomi järgmine liige on võrdne nulliga. Seetõttu on selle korrutis esimese polünoomi järgi samuti võrdne nulliga. Nullrea võib ära jätta.

2.3 Korrutame teise polünoomi järgmise liikme esimese polünoomiga:
.
Tulemus kirjutatakse veergu, joondades x astmed.

2.3 Korrutame teise polünoomi järgmise (kõrgeima) liikme esimese polünoomiga:
.
Tulemus kirjutatakse veergu, joondades x astmed.

3 Pärast seda, kui kõik teise polünoomi liikmed on korrutatud esimesega, tõmbame joone ja liidame samade astmetega x:
.

Monoomi üldvaade

f(x)=axn, kus:

-a- koefitsient, mis võib kuuluda ükskõik millisesse komplekti N, Z, Q, R, C

-x- muutuv

-n hulka kuuluv eksponent N

Kaks monoomi on sarnased, kui neil on sama muutuja ja sama astendaja.

Näited: 3x2 ja -5x2; ½ x 4 ja 2√3x4

Üksteisega mittesarnaste monomialide summat nimetatakse polünoomiks (või polünoomiks). Sel juhul on monomiaalid polünoomi liikmed. Kahte terminit sisaldavat polünoomi nimetatakse binoomseks (või binoomseks).
Näide: p(x)=3x2-5; h(x)=5x-1
Kolme liiget sisaldavat polünoomi nimetatakse trinoomiks.

Ühe muutujaga polünoomi üldvorm

kus:

• a n,a n-1,a n-2,...,a 1,a 0 on polünoomi koefitsiendid. Need võivad olla loomulikud, täisarvud, ratsionaal-, reaal- või kompleksarvud.
• a n- koefitsient kõrgeima eksponendiga terminil (juhtkoefitsient)
• a 0- koefitsient väikseima eksponendiga liikme juures (vaba liige või konstant)
• n- polünoomaste

Näide 1
p(x)=5x3 -2x2 +7x-1

• kolmanda astme polünoom koefitsientidega 5, -2, 7 ja -1
• 5 - juhtiv tegur
• -1 - tasuta liige
• x- muutuv

Näide 2
h(x)=-2√3x4 +½x-4

• neljanda astme polünoom koefitsientidega -2√3,½ ja -4
• -2√3 - juhtiv tegur
• -4 - tasuta liige
• x- muutuv

Polünoomide jagunemine

p(x) ja q(x)- kaks polünoomi:
p(x)=a n x n +a n-1 x n-1 +...+a 1 x 1 +a 0
q(x)=a p x p +a p-1 x p-1 +...+a 1 x 1 +a 0

Jagatise jagatise ja jäägi leidmiseks p(x) peal q(x), peate kasutama järgmist algoritmi:

1. Kraad p(x) peab olema suurem või võrdne q(x).
2. Peame kirjutama mõlemad polünoomid kahanevas järjekorras. Kui sisse p(x)ühegi astmega terminit pole, see tuleb lisada koefitsiendiga 0.
3. Juhtiv liige p(x) jagatud juhtivaks liikmeks q(x), ja tulemus kirjutatakse eraldusjoone alla (nimetajasse).
4. Korrutame tulemuse kõigi liikmetega q(x) ja kirjutage termini alla vastandmärkidega tulemus p(x) vastavate kraadidega.
5. Lisame termini haaval sama astmega terminid.
6. Ülejäänud terminid määrame tulemusele p(x).
7. Jagame saadud polünoomi juhtliikme polünoomi esimese liikmega q(x) ja korrake samme 3-6.
8. Seda protseduuri korratakse seni, kuni äsja saadud polünoomi aste on väiksem kui q(x). See polünoom on jaotuse ülejäänud osa.
9. Eraldusjoone alla kirjutatud polünoom on jagamise (jagatise) tulemus.

Näide 1
Samm 1 ja 2) $p(x)=x^5-3x^4+2x^3+7x^2-3x+5 \\ q(x)=x^2-x+1$

3) x5 -3x4 +2x3 +7x2 -3x+5

4) x 5 -3x4 +2x3 +7x2 -3x+5

5) x 5 -3x4 +2x3 +7x2 -3x+5

6) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

/ -2x 4 -x 3 +7x 2 -3x+5

7) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

/ -2x 4 +x 3 +7x 2 -3x+5

2x4 -2x3 +2x2

/ -x 3 +9x 2 -3x+5

8) x5 -3x4 +2x3 +7x2 -3x+5

/ -2x 4 -x 3 +7x 2 -3x+5

2x4 -2x3 +2x2

/ -x 3 +9x 2 -3x+5

/ 6x-3 STOP

x 3 -2x 2 -x+8 --> C(x) Privaatne

Vastus: p(x) = x 5 - 3x 4 + 2x 3 + 7x 2 - 3x + 5 = (x 2 - x + 1) (x 3 - 2x 2 - x + 8) + 6x - 3

Näide 2
p(x)=x 4 +3x 2 +2x-8
q(x)=x 2 -3x

X 4 +0x 3 +3x 2 +2x-8

/ 3x 3 +3x 2 +2x-8

/ 38x-8 r(x) STOP

x 2 +3x+12 --> C(x) jagatis

Vastus: x 4 + 3x 2 + 2x - 8 = (x 2 - 3x) (x 2 + 3x + 12) + 38x - 8

Jagamine esimese astme polünoomiga

Seda jagamist saab teha ülaltoodud algoritmi kasutades või veelgi kiiremini Horneri meetodi abil.
Kui a f(x)=a n x n +a n-1 x n-1 +...+a 1 x+a 0, saab polünoomi ümber kirjutada kujul f(x)=a 0 +x(a 1 +x(a 2 +...+x(a n-1 +a n x)...))

q(x)- esimese astme polünoom ⇒ q(x)=mx+n
Siis on jagatis oleval polünoomil aste n-1.

Horneri meetodi järgi $x_0=-\frac(n)(m)$.
b n-1 =a n
b n-2 =x 0 .b n-1 +a n-1
b n-3 =x 0 .b n-2 +a n-2
...
b 1 \u003d x 0 .b 2 +a 2
b 0 = x 0 .b 1 +a 1
r = x 0 .b 0 + a 0
kus b n-1 x n-1 +b n-2 x n-2 +...+b 1 x+b 0- privaatne. Jääk on nullkraadi polünoom, kuna jäägi polünoomi aste peab olema väiksem kui jagaja aste.
Jagamine jäägiga ⇒ p(x)=q(x).c(x)+r ⇒ p(x)=(mx+n).c(x)+r kui $x_0=-\frac(n)(m)$
Pange tähele, et p(x 0)=0.c(x 0)+r ⇒ p(x 0)=r

Näide 3
p(x)=5x4-2x3 +4x2-6x-7
q(x)=x-3
p(x)=-7+x(-6+x(4+x(-2+5x)))
x 0 =3

b 3 \u003d 5
b 2 = 3,5-2 \u003d 13
b 1 =3,13+4=43 ⇒ c(x)=5x3 +13x2 +43x+123; r = 362
b 0 = 3,43-6 \u003d 123
r = 3,123-7 = 362
5x4 -2x3 +4x2 -6x-7=(x-3)(5x3 +13x2 +43x+123)+362

Näide 4
p(x)=-2x 5 +3x 4 +x 2 -4x+1
q(x)=x+2
p(x)=-2x5 +3x4 +0x3 +x2-4x+1
q(x)=x+2
x 0 \u003d -2
p(x)=1+x(-4+x(1+x(0+x(3-2x))))

b 4 \u003d -2          b 1 = (-2). (-14) + 1 = 29
b 3 =(-2).(-2)+3=7     b 0 =(-2).29-4=-62
b2=(-2).7+0=-14     r=(-2).(-62)+1=125
⇒ c(x)=-2x4 +7x3 -14x2 +29x-62; r = 125
-2x 5 +3x 4 +x 2 -4x+1=(x+2)(-2x 4 +7x 3 -14x 2 +29x-62)+125

Näide 5
p(x)=3x3 -5x2 +2x+3
q(x)=2x-1
$x_0=\frac(1)(2)$
p(x)=3+x(2+x(-5+3x))
b2=3
$b_1=\frac(1)(2)\cdot 3-5=-\frac(7)(2)$
$b_0=\frac(1)(2)\cdot \left(-\frac(7)(2)\right)+2=-\frac(7)(4)+2=\frac(1)(4 )$
$r=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(4)+3=\frac(1)(8)+3=\frac(25)(8) \Paremnool c(x)= 3x^2-\frac(7)(2)x+\frac(1)(4)$
$\Paremnool 3x^3-5x^2+2x+3=(2x-1)(3x^2--\frac(7)(2)x+\frac(1)(4))+\frac(25) (8) $
Järeldus
Kui jagame polünoomiga, mille aste on suurem kui üks, peame jagatise ja jäägi leidmiseks kasutama algoritmi 1-9 .
Kui jagame esimese astme polünoomiga mx+n, siis jagatise ja jäägi leidmiseks tuleb kasutada Horneri meetodit $x_0=-\frac(n)(m)$.
Kui meid huvitab ainult jaotuse ülejäänud osa, piisab leidmisest p(x0).
Näide 6
p(x)=-4x4 +3x3 +5x2-x+2
q(x)=x-1
x 0 =1
r=p(1)=-4,1+3,1+5,1-1+2=5
r = 5

Olgu see nõutav

(2x 3 - 7x 2 + x + 1) ÷ (2x - 1).

Siin on antud korrutis (2x 3 - 7x 2 + x + 1) ja üks tegur (2x - 1), - peate leidma teise teguri. Selles näites on kohe selge (aga seda ei saa üldiselt kindlaks teha), et teine, soovitav tegur või jagatis, on samuti polünoom. See on selge, kuna sellel tootel on 4 liiget ja see kordaja on ainult 2. Siiski on võimatu ette öelda, mitu liiget soovitud kordajal on: võib olla 2 terminit, 3 terminit jne. Pidades meeles, et kõrgeim liige korrutisest selgub alati, kui korrutada ühe teguri kõrgeim liige teise kõrgeima liikmega (vt polünoomi korrutamine polünoomiga) ja et selliseid termineid ei saa olla, oleme kindlad, et 2x 3 (suurim liige see toode) saadakse 2x (selle teguri kõrgeim liige) korrutamisel otsitava kordaja tundmatu eessõnaga. Viimase leidmiseks peame seetõttu 2x 3 jagama 2x - saame x 2 . See on reameeskonna vanem liige.

Tuletame siis meelde, et polünoomi polünoomiga korrutamisel tuleb ühe polünoomi iga liige korrutada teise iga liikmega. Seetõttu on see korrutis (2x 3 - 7x 2 + x + 1) jagaja (2x - 1) ja jagatise kõigi liikmete korrutis. Kuid nüüd saame leida jagaja ja jagatise esimese (kõrgeima) liikme korrutise, st (2x - 1) ∙ x 2; saame 2x 3 - x 2 . Teades jagaja korrutist jagatise kõigi liikmete järgi (see = 2x 3 - 7x 2 + x + 1) ja teades jagaja korrutist jagatise 1. liikme järgi (it = 2x 3 - x 2), lahutamisel leiame jagaja korrutise kõigi teistega, välja arvatud 1., privaatse liikmed. Hangi

(2x 3 - 7x 2 + x + 1) - (2x 3 - x 2) = 2x 3 - 7x 2 + x + 1 - 2x 3 + x 2 = -6x 2 + x + 1.

Ülejäänud korrutise kõrgeim liige (–6x 2) peab olema jagatise jagaja kõrgeima liikme (2x) ja ülejäänud (välja arvatud 1. liige) kõrgeima liikme korrutis. Siit leiame järelejäänud jagatise vanem liikme. Vajame –6x 2 ÷ 2x, saame –3x. See on soovitud jagatise teine ​​liige. Leiame jällegi jagaja (2x - 1) ja teise, just leitud jagatisliikme korrutise, st -3x.

Saame (2x - 1) ∙ (-3x) \u003d -6x 2 + 3x. Kogu sellest korrutisest oleme juba lahutanud jagaja korrutise jagatise 1. liikmega ja saanud jäägi -6x 2 + x + 1, mis on jagaja korrutis ülejäänud osaga, välja arvatud 1. liige jagatisest. Lahutades sellest äsja leitud korrutis -6x 2 + 3x, saame jäägi, mis on jagaja korrutis kõigi teistega, välja arvatud jagatise 1. ja 2. liikmed:

-6x 2 + x + 1 - (-6x 2 + 3x) = -6x 2 + x + 1 + 6x 2 - 3x = -2x + 1.

Jagades selle järelejäänud korrutise vanema tähtaja (–2x) jagaja vanema tähtajaga (2x), saame ülejäänud jagatise vanema tähtaja ehk selle kolmanda liikme (–2x) ÷ 2x = –1, see on jagatise 3. liige.

Korrutades jagaja sellega, saame

(2x – 1) ∙ (–1) = –2x + 1.

Lahutades selle jagaja korrutise jagatise 3. liikmega kogu seni järelejäänud korrutisest, s.o.

(–2x + 1) – (–2x + 1) = –2x + 1 + 2x – 1 = 0,

näeme, et meie näites on korrutis jagatud ülejäänuteks, välja arvatud 1., 2. ja 3., jagatise liikmed = 0, millest järeldame, et jagatises pole enam liikmeid, s.t.

(2x 3 - 7x 2 + x + 1) ÷ (2x - 1) = x 2 - 3x - 1.

Eelnevast näeme: 1) dividendi ja jagaja tingimusi on mugav järjestada kahanevates astmetes, 2) on vaja kehtestada mingisugune arvutuste tegemise järjekord. Selliseks mugavaks järjekorraks võib pidada seda, mida kasutatakse aritmeetikas mitme väärtusega arvude jagamisel. Pärast seda korraldame kõik eelnevad arvutused järgmiselt (lühemad selgitused on toodud küljel):

Need lahutamised, mida siin on vaja, tehakse alamosa tingimuste märkide muutmisega ja need muutujamärgid kirjutatakse peale.

Jah, see on kirjutatud

See tähendab: alamosa oli 2x 3 - x 2 ja pärast märkide vahetamist saime -2x 3 + x 2.

Arvutuste aktsepteeritud paigutuse tõttu, kuna dividendi ja jagaja tingimused on paigutatud kahanevatesse astmetesse ning kuna tähe x astmed mõlemas polünoomis langevad iga kord 1 võrra, pöördus see välja, et sellised terminid on üksteise alla kirjutatud (näiteks: –7x 2 ja +x 2), miks on neid lihtne heita. Võib märkida, et mitte kõiki dividendi liikmeid pole igal arvutamise hetkel vaja. Näiteks ei ole liiget +1 vaja hetkel, kus jagatise 2. liige leiti, ja seda arvutuse osa saab lihtsustada.

Veel näiteid:

1. (2a 4 - 3ab 3 - b 4 - 3a 2 b 2) ÷ (b 2 + a 2 + ab).

Järjesta tähed a kahanevatesse astmetesse ning dividend ja jagaja:

(Pange tähele, et siin, kuna dividendis 3-ga liiget ei olnud, siis esimeses lahutamises selgus, et üksteise alla ei kirjutata sarnaseid termineid -a 2 b 2 ja -2a 3 b. Muidugi ei saa taandada ühele ametiajale ja mõlemad on kirjutatud staažirea alla).

Mõlema näite puhul tuleks tähelepanelikum olla sarnaste terminite suhtes: 1) mitte sarnased terminid ei osutu sageli üksteise alla kirjutatuks ja 2) mõnikord (nagu näiteks viimases näites terminid -4a n ja -a n esimesel lahutamisel) tulevad välja sarnased terminid, mis ei ole kirjutatud üksteise alla.

Polünoomide jagamist on võimalik läbi viia erinevas järjekorras, nimelt: iga kord otsida madalaimat liiget või kogu või ülejäänud jagatist. Sel juhul on mugav paigutada need polünoomid mõne tähe kasvavatesse astmetesse. Näiteks:

Selles artiklis käsitletakse ratsionaalseid murde ja selle täisarvude valikut. Murrud on õiged ja valed. Kui lugeja on murdosa nimetajast väiksem, on see õige murd ja vastupidi.

Mõelge õigete murdude näidetele: 1 2, 9 29, 8 17, sobimatud: 16 3, 21 20, 301 24.

Arvutame murdu, mida saab vähendada, see tähendab, et 12 16 on 3 4, 21 14 on 3 2.

Täisarvulise osa valimisel viiakse läbi lugeja jagamine nimetajaga. Siis saab sellist murdosa esitada täisarvu ja murdosa summana, kus murdosa loetakse jagamise jäägi ja nimetaja suhteks.

Näide 1

Leidke jääk, kui 27 jagatakse 4-ga.

Otsus

On vaja teha jagamine veeruga, siis saame selle

Niisiis, 27 4 \u003d täisarvuline osa + ülejäänud n ja m ning kaevandaja \u003d 6 + 3 4

Vastus:ülejäänud 3.

Näide 2

Valige terved osad 331 12 ja 41 57 .

Otsus

Jagame nimetaja nurga abil lugejaga:

Seetõttu on meil 331 12 \u003d 27 + 7 12.

Teine murd on õige, mis tähendab, et täisarvu osa on võrdne nulliga.

Vastus: täisarvu osad 27 ja 0 .

Mõelge polünoomide klassifikatsioonile, teisisõnu murdosalisele ratsionaalfunktsioonile. Seda peetakse õigeks, kui lugeja aste on nimetaja astmest väiksem, vastasel juhul loetakse see valeks.

Definitsioon 1

Polünoomi jagamine polünoomiga toimub vastavalt nurgaga jagamise põhimõttele ning funktsiooni esitamisele täisarvu ja murdosa summana.

Polünoomi jagamiseks lineaarseks binoomiks kasutatakse Horneri skeemi.

Näide 3

Jagage x 9 + 7 x 7 - 3 2 x 3 - 2 monomiaaliga 2 x 2.

Otsus

Kasutades jagamise omadust, kirjutame selle

x 9 + 7 x 7 - 3 2 x 3 - 2 2 x 2 = x 9 2 x 2 + 7 x 7 2 x 2 - 3 2 x 3 2 x 2 + x 2 2 x 2 - 2 2 x 2 = = 1 2 x 7 + 7 2 x 5 - 3 4 x + 1 2 - 2 2 x - 2 .

Sageli tehakse seda tüüpi teisendusi integraalide võtmisel.

Näide 4

Polünoomi jagamine polünoomiga: 2 x 3 + 3 x 3 + x-ga.

Otsus

Jagamismärgi saab kirjutada murdosa kujul 2 x 3 + 3 x 3 + x. Nüüd peate valima kogu osa. Teeme seda veeruga jagades. Me saame sellest aru

Seega saame, et täisarvulise osa väärtus on - 2 x + 3, siis kirjutatakse kogu avaldis 2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 + - 2 x + 3 x 3 + x

Näide 5

Jagage ja leidke jääk pärast 2 x 6 - x 5 + 12 x 3 - 72 x 2 + 3 jagamist x 3 + 2 x 2 - 1-ga.

Otsus

Fikseerime murdosa kujust 2 x 6 - x 5 + 12 x 3 - 72 x 2 + 3 x 3 + 2 x 2 - 1 .

Lugeja aste on suurem kui nimetaja oma, mis tähendab, et meil on vale murd. Valige veeruga jagamise abil kogu osa. Me saame sellest aru

Teeme jagamise uuesti ja saame:

Siit saame, et jääk on - 65 x 2 + 10 x - 3, seega:

2 x 6 - x 5 + 12 x 3 - 72 x 2 + 3 x 3 + 2 x 2 - 1 = 2 x 3 - 5 x 2 + 10 x - 6 + - 65 x 2 + 10 x - 3 x 3 + 2x2-1

On juhtumeid, kus on vaja täiendavalt teha murdosa teisendus, et jagamisel oleks võimalik jääk paljastada. See näeb välja selline:

3 x 5 + 2 x 4 - 12 x 2 - 4 x 3 - 3 = 3 x 2 x 3 - 3 - 3 x 2 x 3 - 3 + 3 x 5 + 2 x 4 - 12 x 2 - 4 x 3 - 3 = = 3 x 2 x 3 - 3 + 2 x 4 - 3 x 2 - 4 x 3 - 3 = 3 x 2 + 2 x 4 - 3 x 2 - 4 x 3 - 3 = = 3 x 2 + 2 x x 3 - 3 - 2 x x 3 - 3 + 2 x 4 - 3 x 2 - 4 x 3 - 3 = = 3 x 2 + 2 x (x 3 - 3) - 3 x 2 + 6 x - 4 x 3 - 3 = 3 x 2 + 2 x + - 3 x 2 + 6 x - 4 x 3 - 3

See tähendab, et jääk 3 x 5 + 2 x 4 - 12 x 2 - 4 jagamisel x 3 - 3-ga annab väärtuse - 3 x 2 + 6 x - 4. Tulemuse kiireks leidmiseks kasutatakse lühendatud korrutusvalemeid.

Näide 6

Jagage 8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 2 x + 3-ga.

Otsus

Kirjutame jagamise murruna. Saame, et 8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 2 x + 3 . Pange tähele, et lugejas saab avaldise lisada summa kuubi valemi abil. Meil on see

8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 2 x + 3 = (2 x + 3) 3 2 x + 3 = (2 x + 3) 2 = 4 x 2 + 12 x + 9

Antud polünoom on jagatav ilma jäägita.

Lahenduseks kasutatakse mugavamat lahendusmeetodit ning polünoomi jagamist polünoomiga peetakse kõige universaalsemaks, seetõttu kasutatakse seda sageli täisarvulise osa valimisel. Lõplik kirje peab sisaldama jagamisest saadud polünoomi.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter