Matemaatikat õppides hakkavad õpilased tutvuma erinevate geomeetriliste kujundite tüüpidega. Täna keskendume erinevat tüüpi kolmnurkadele.
Definitsioon
Geomeetrilisi kujundeid, mis koosnevad kolmest punktist, mis ei asu samal sirgel, nimetatakse kolmnurkadeks.
Punkte ühendavaid sirgeid nimetatakse külgedeks ja punkte tippudeks. Tipud on tähistatud suurte ladina tähtedega, näiteks: A, B, C.
Küljed on tähistatud nende kahe punkti nimedega, millest need koosnevad - AB, BC, AC. Ristudes moodustavad küljed nurgad. Alumist külge peetakse joonise aluseks.
Riis. 1. Kolmnurk ABC.
Kolmnurkade tüübid
Kolmnurgad liigitatakse nurkade ja külgede järgi. Igal kolmnurga tüübil on oma omadused.
Nurgakolmnurki on kolme tüüpi:
- teravnurkne;
- ristkülikukujuline;
- nüri.
Kõik nurgad teravnurkne kolmnurgad on teravad, see tähendab, et igaühe kraadimõõt ei ületa 90 0.
Ristkülikukujuline kolmnurk sisaldab täisnurka. Ülejäänud kaks nurka on alati teravad, sest vastasel juhul ületab kolmnurga nurkade summa 180 kraadi, mis on võimatu. Täisnurga vastas olevat külge nimetatakse hüpotenuusiks ja kahte ülejäänud jalga. Hüpotenuus on alati suurem kui jalg.
nüri kolmnurk sisaldab nürinurka. See tähendab, et nurk on suurem kui 90 kraadi. Sellise kolmnurga ülejäänud kaks nurka on teravad.
Riis. 2. Kolmnurkade tüübid nurkades.
Pythagorase kolmnurk on ristkülik, mille küljed on võrdsed 3, 4, 5.
Pealegi on suur külg hüpotenuus.
Selliseid kolmnurki kasutatakse sageli lihtsate geomeetriaülesannete koostamiseks. Seetõttu pidage meeles: kui kolmnurga kaks külge on võrdsed 3-ga, siis kolmas on tingimata 5. See lihtsustab arvutusi.
Kolmnurkade tüübid külgedel:
- võrdkülgne;
- võrdhaarne;
- mitmekülgne.
Võrdkülgne kolmnurk on kolmnurk, mille kõik küljed on võrdsed. Sellise kolmnurga kõik nurgad on võrdsed 60 0, see tähendab, et see on alati teravnurkne.
Võrdhaarsed kolmnurk - kolmnurk, mille ainult kaks külge on võrdsed. Neid külgi nimetatakse külgmiseks ja kolmandaks aluseks. Lisaks on võrdhaarse kolmnurga aluse nurgad võrdsed ja alati teravad.
Mitmekülgne või suvaline kolmnurk on kolmnurk, mille kõik pikkused ja nurgad ei ole üksteisega võrdsed.
Kui ülesandes pole joonise kohta selgitusi, siis loetakse, et jutt käib suvalisest kolmnurgast.
Riis. 3. Kolmnurkade tüübid külgedel.
Kolmnurga kõigi nurkade summa, olenemata selle tüübist, on 1800.
Suurema nurga vastas on suurem külg. Ja ka mis tahes külje pikkus on alati väiksem kui selle kahe teise külje summa. Neid omadusi kinnitab kolmnurga ebavõrdsuse teoreem.
On olemas kuldse kolmnurga kontseptsioon. See on võrdhaarne kolmnurk, mille kaks külge on võrdelised alusega ja võrdsed teatud arvuga. Sellisel joonisel on nurgad võrdelised suhtega 2: 2: 1.
Ülesanne:
Kas on kolmnurka, mille küljed on 6 cm, 3 cm, 4 cm?
Lahendus:
Selle ülesande lahendamiseks peate kasutama ebavõrdsust a
Mida me õppisime?
Sellest 5. klassi matemaatikakursuse materjalist saime teada, et kolmnurki liigitatakse külgede ja nurkade järgi. Kolmnurkadel on teatud omadused, mida saab kasutada probleemide lahendamisel.
Kolmnurk on 3 küljega (või 3 nurgaga) hulknurk. Kolmnurga külgi tähistatakse sageli väikeste tähtedega, mis vastavad tagatippu tähistavatele suurtele tähtedele.
Terav kolmnurk nimetatakse kolmnurgaks, mille kõik kolm nurka on teravad.
Nürinurkne kolmnurk nimetatakse kolmnurgaks, mille üks nurkadest on nüri.
Ristkülikukujuline kolmnurk nimetatakse kolmnurka, mille üks nurkadest on sirgjoon, teisisõnu, see võrdub 90 °; nimetatakse täisnurga moodustavaid külgi a, b jalad; nimetatakse täisnurga vastaskülge c hüpotenuus.
Võrdhaarne kolmnurk nimetatakse kolmnurgaks, mille kaks külge on võrdsed (a = c); neid võrdseid osapooli nimetatakse külgmine, 3. osapool kutsutakse kolmnurga alus.
Võrdkülgne kolmnurk nimetatakse kolmnurgaks, mille kõik küljed on võrdsed (a = b = c). Kui ükski selle külgedest (abc) pole kolmnurgas võrdne, on see nii mittekülgne kolmnurk.
Kolmnurkade peamised omadused
Mis tahes kolmnurgas:
Kolmnurkade võrdsustestid
Kolmnurgad on võrdsed juhul, kui nende kolmnurgad on vastavalt võrdsed:
Täisnurksete kolmnurkade võrdsustestid
Kaks täisnurkset kolmnurka on võrdsed, sel juhul täidetakse üks järgmistest kriteeriumidest:
Kõrguskolmnurk on suvalisest tipust vastasküljele (või selle jätkule) langenud risti. Seda külge nimetatakse kolmnurga alus... Kolmnurga kolm kõrgust lõikuvad alati ühes punktis, mida nimetatakse kolmnurga ortotsenter.
Teravnurkse kolmnurga ortotsenter asub kolmnurga sees ja nüri kolmnurga ortotsenter on väljaspool; täisnurkse kolmnurga ortotsenter langeb kokku täisnurga tipuga.
Mediaan on lõik, mis ühendab kolmnurga mis tahes tippu tagumise külje keskkohaga. Kolmnurga kolm mediaani lõikuvad ühes punktis, mis asub alati kolmnurga sees ja on selle massikese. See punkt jagab iga mediaani ülalt suhtega 2:1.
Poolitaja on nurga poolitaja segment tipust kuni vastasküljega lõikepunktini. Kolmnurga kolm poolitajat lõikuvad ühes punktis, mis asub alati kolmnurga sees ja on sisse kirjutatud ringi keskpunkt. Poolitaja jagab tagakülje proportsionaalselt külgnevate külgedega.
Keskmine risti on sirglõigu (külje) keskpunktist tõmmatud risti. Kolmnurga kolm keskristi ristuvad ühes punktis, mis on piiritletud ringi keskpunkt.
Teravnurkses kolmnurgas asub see punkt kolmnurga sees, nürikujulises kolmnurgas - väljaspool, ristkülikukujulises - hüpotenuusi keskel. Ortotsenter, massikese, kirjeldatud keskpunkt ja sisse kirjutatud ringi keskpunkt langevad kokku eranditult võrdkülgse kolmnurgaga.
Pythagorase aksioom
Täisnurkses kolmnurgas on hüpotenuusi pikkuse ruut võrdne jalgade pikkuste ruutude summaga.
Pythagorase aksioomi kinnitus
Ehitage ruut AKMB, kasutades küljena hüpotenuusi AB. Seejärel laiendame täisnurkse kolmnurga ABC külgi nii, et saadakse ruut CDEF, mille külg on võrdne a + b. Nüüd on selge, et ruudu CDEF pindala on võrdne (a + b) 2. Teisest küljest on see pindala võrdne nelja täisnurkse kolmnurga ja ruudu AKMB pindalade summaga, teisisõnu ,
c 2 + 4 (ab / 2) = c 2 + 2 ab,
c 2 + 2 ab = (a + b) 2,
ja meil on absoluutselt:
c 2 = a 2 + b 2.
Kuvasuhe juhuslikus kolmnurgas
Üldjuhul (juhusliku kolmnurga jaoks) on meil:
c 2 = a 2 + b 2 - 2 ab * cos C,
kus C on külgede a ja b vaheline nurk.
Lisaks saidile:
Täna läheme Geomeetria riiki, kus teeme tutvust erinevat tüüpi kolmnurkadega.
Mõelge geomeetrilistele kujunditele ja leidke nende hulgast "liigsed" (joonis 1).
Riis. 1. Illustratsioon näiteks
Näeme, et arvud # 1, 2, 3, 5 on nelinurgad. Igal neist on oma nimi (joon. 2).
Riis. 2. Nelinurgad
See tähendab, et "lisa" kujund on kolmnurk (joon. 3).
Riis. 3. Illustratsioon näiteks
Kolmnurk on kujund, mis koosneb kolmest punktist, mis ei asu ühel sirgel, ja kolmest segmendist, mis neid punkte paarikaupa ühendavad.
Punkte nimetatakse kolmnurga tipud, segmendid – see peod... Kolmnurga küljed moodustuvad kolmnurga tippudes on kolm nurka.
Kolmnurga peamised märgid on kolm külge ja kolm nurka. Nurga osas on kolmnurgad teravnurkne, ristkülikukujuline ja nürinurkne.
Kolmnurka nimetatakse teravnurkseks, kui kõik kolm nurka on teravad, st alla 90 ° (joonis 4).
Riis. 4. Teravnurkne kolmnurk
Kolmnurka nimetatakse ristkülikuks, kui selle üks nurk on 90 ° (joonis 5).
Riis. 5. Täisnurkne kolmnurk
Kolmnurka nimetatakse nüriks, kui selle üks nurk on nüri, see tähendab rohkem kui 90 ° (joonis 6).
Riis. 6. Nürinurkne kolmnurk
Võrdsete külgede arvu järgi on kolmnurgad võrdkülgsed, võrdhaarsed, mitmekülgsed.
Võrdhaarne kolmnurk on kolmnurk, mille kaks külge on võrdsed (joon. 7).
Riis. 7. Võrdhaarne kolmnurk
Neid pidusid nimetatakse külgmine, kolmas külg - alus. Võrdhaarses kolmnurgas on nurgad aluse juures võrdsed.
Võrdhaarsed kolmnurgad on teravnurkne ja nürinurkne(joonis 8) .
Riis. 8. Teravad ja nürid võrdhaarsed kolmnurgad
Võrdkülgne kolmnurk on kolmnurk, mille kõik kolm külge on võrdsed (joonis 9).
Riis. 9. Võrdkülgne kolmnurk
Võrdkülgses kolmnurgas kõik nurgad on võrdsed. Võrdkülgsed kolmnurgad alati teravnurkne.
Mitmekülgseks nimetatakse kolmnurka, mille kõik kolm külge on erineva pikkusega (joon. 10).
Riis. 10. Mitmekülgne kolmnurk
Täitke ülesanne. Jaga need kolmnurgad kolme rühma (joonis 11).
Riis. 11. Ülesande illustratsioon
Esiteks jagame nurkade suuruse järgi.
Teravad kolmnurgad: nr 1, nr 3.
Ristkülikukujulised kolmnurgad: nr 2, nr 6.
Nürikujulised kolmnurgad: nr 4, nr 5.
Jagame samad kolmnurgad võrdsete külgede arvu järgi rühmadesse.
Mitmekülgsed kolmnurgad: nr 4, nr 6.
Võrdhaarsed kolmnurgad: nr 2, nr 3, nr 5.
Võrdkülgne kolmnurk: nr 1.
Mõelge joonistele.
Mõelge, millise traadijupi te iga kolmnurga tegite (joonis 12).
Riis. 12. Ülesande illustratsioon
Sa võid niimoodi arutleda.
Esimene traadijupp on jagatud kolmeks võrdseks osaks, nii et sellest saab teha võrdkülgse kolmnurga. Joonisel on ta näidatud kolmandana.
Teine traadijupp on jagatud kolmeks erinevaks osaks, nii et saad sellest teha mitmekülgse kolmnurga. Teda on joonisel näidatud esimesena.
Kolmas traadijupp on jagatud kolmeks osaks, kus kaks osa on ühepikkused, mis tähendab, et sellest saab teha võrdhaarse kolmnurga. Joonisel on ta näidatud teisena.
Tänases tunnis tutvusime erinevate kolmnurkade tüüpidega.
Bibliograafia
- M.I. Moreau, M.A. Bantova jt. Matemaatika: Õpik. 3. klass: 2 osas, 1. osa. - M .: "Haridus", 2012.a.
- M.I. Moreau, M.A. Bantova jt. Matemaatika: Õpik. 3. klass: 2 osas, 2. osa. - M .: "Haridus", 2012.a.
- M.I. Moreau. Matemaatikatunnid: juhendid õpetajatele. 3. klass. - M .: Haridus, 2012.
- Normatiivne juriidiline dokument. Õpitulemuste jälgimine ja hindamine. - M .: "Haridus", 2011.
- "Venemaa kool": programmid põhikoolile. - M .: "Haridus", 2011.
- S.I. Volkova. Matemaatika: Kontrolltöö. 3. klass. - M .: Haridus, 2012.
- V.N. Rudnitskaja. Testid. - M .: "Eksam", 2012.
- Nsportal.ru ().
- Prosv.ru ().
- Do.gendocs.ru ().
Kodutöö
1. Täitke fraasid.
a) Kolmnurk on kujund, mis koosneb ..., mis ei asu ühel sirgel, ja ..., mis ühendab neid punkte paarikaupa.
b) Punkte nimetatakse … , segmendid – see … ... Kolmnurga küljed moodustuvad kolmnurga tippudes ….
c) Nurga osas on kolmnurgad …,…,….
d) Võrdsete külgede arvu järgi on kolmnurgad…,…,….
2. Joonista
a) täisnurkne kolmnurk;
b) teravnurkne kolmnurk;
c) nürinurkne kolmnurk;
d) võrdkülgne kolmnurk;
e) mitmekülgne kolmnurk;
f) võrdhaarne kolmnurk.
3. Tehke tunni teemal ülesanne oma kaaslastele.
Võib-olla on geomeetria kõige elementaarsem, lihtsam ja huvitavam kujund kolmnurk. Gümnaasiumikursusel uuritakse selle põhiomadusi, kuid mõnikord kujunevad teadmised sellel teemal puudulikuks. Kolmnurkade tüübid määravad esialgu nende omadused. Kuid see seisukoht jääb segaseks. Seetõttu analüüsime nüüd seda teemat veidi üksikasjalikumalt.
Kolmnurkade tüübid sõltuvad nurkade astmest. Need figuurid on teravad, ristkülikukujulised ja nürid. Kui kõik nurgad ei ületa 90 kraadi, võib seda joonist julgelt nimetada teravnurgaks. Kui kolmnurga vähemalt üks nurk on 90 kraadi, siis on tegemist ristkülikukujulise alamliigiga. Sellest tulenevalt nimetatakse kõigil muudel juhtudel vaadeldavat nüri.
Teravnurksete alamliikide puhul on palju probleeme. Eripäraks on poolitajate, mediaanide ja kõrguste lõikepunktide sisemine asukoht. Muudel juhtudel ei pruugi see tingimus olla täidetud. Kuju "kolmnurga" tüüpi pole keeruline kindlaks teha. Piisab, kui tead näiteks iga nurga koosinust. Kui mõni väärtustest on nullist väiksem, on kolmnurk nagunii nüri. Kui astendaja on null, on joonisel täisnurk. Kõik positiivsed väärtused näitavad teile kindlasti, et see on terava nurgaga vaade.
Tavalise kolmnurga kohta on võimatu mitte öelda. See on kõige ideaalsem vaade, kus kõik mediaanide, poolitajate ja kõrguste lõikepunktid langevad kokku. Samas kohas asub ka sisse kirjutatud ja piiritletud ringi keskpunkt. Ülesannete lahendamiseks peate teadma ainult ühte külge, kuna nurgad antakse teile algselt ja ülejäänud kaks külge on teada. See tähendab, et kuju määrab ainult üks parameeter. Nende peamine omadus on kahe külje ja nurkade võrdsus aluses.
Mõnikord on küsimus selles, kas antud külgedega kolmnurk on olemas. Tegelikult küsitakse teilt, kas see kirjeldus sobib põhitüüpidega. Näiteks kui kahe poole summa on väiksem kui kolmas, siis tegelikkuses pole sellist arvu üldse olemas. Kui ülesandeks on leida kolmnurga külgedega 3,5,9 nurkade koosinused, siis siin on ilmselge seletatav ilma keerukate matemaatiliste nippideta. Oletame, et soovite jõuda punktist A punkti B. Vahemaa sirgjoonel on 9 kilomeetrit. Küll aga tuli meelde, et poes tuleb minna punkti C. Kaugus punktist A punkti C on 3 kilomeetrit ja punktist C punkti B - 5. Seega selgub, et poest läbi liikudes kõnnite kilomeetri võrra vähem. Kuid kuna punkt C ei asu joonel AB, peate läbima täiendava vahemaa. Siin tekibki vastuolu. See on muidugi tingimuslik seletus. Matemaatika teab rohkem kui ühte võimalust tõestada, et kõikvõimalikud kolmnurgad järgivad põhiidentiteeti. See ütleb, et kahe külje summa on suurem kui kolmanda pikkus.
Igal liigil on järgmised omadused:
1) Kõikide nurkade summa on 180 kraadi.
2) Alati on ortotsenter – kõigi kolme kõrguse lõikepunkt.
3) Kõik kolm sisenurkade tippudest tõmmatud mediaani lõikuvad ühes kohas.
4) Suvalise kolmnurga ümber saate kirjeldada ringi. Ringi on võimalik sisse kirjutada ka nii, et sellel oleks ainult kolm kokkupuutepunkti ja see ei ulatuks väliskülgedest kaugemale.
Nüüd olete tuttav põhiomadustega, mis eri tüüpi kolmnurkadel on. Edaspidi on oluline probleemi lahendamisel aru saada, millega tegu.
Kolmnurgad
Kolmnurk nimetatakse kujundit, mis koosneb kolmest punktist, mis ei asu ühel sirgel, ja kolmest neid punkte paarikaupa ühendavast segmendist. Punkte nimetatakse tipud kolmnurk ja joonelõigud on selle peod.
Kolmnurkade tüübid
Kolmnurka nimetatakse võrdhaarne, kui tema kaks külge on võrdsed. Neid võrdseid külgi nimetatakse külgmised küljed, ja kutsutakse kolmas osapool alus kolmnurk.
Nimetatakse kolmnurka, mille kõik küljed on võrdsed võrdkülgsed või õige.
Kolmnurka nimetatakse ristkülikukujuline, kui sellel on täisnurk, see tähendab 90 ° nurk. Täisnurkse kolmnurga täisnurga vastaskülge nimetatakse hüpotenuus, kutsutakse kaks ülejäänud osapoolt jalad.
Kolmnurka nimetatakse teravnurkne kui selle kõik kolm nurka on teravad, st alla 90 °.
Kolmnurka nimetatakse nüri kui üks selle nurkadest on nüri, see tähendab rohkem kui 90 °.
Kolmnurga põhijooned
Mediaan
Mediaan Kolmnurk on lõik, mis ühendab kolmnurga tippu selle kolmnurga vastaskülje keskkohaga. 
Kolmnurga mediaanide omadused
Mediaan jagab kolmnurga kaheks võrdse pindalaga kolmnurgaks.
Kolmnurga mediaanid lõikuvad ühes punktis, mis jagab need kõik suhtega 2: 1, lugedes tipust. Seda punkti nimetatakse raskuskese kolmnurk.
Kogu kolmnurk jagatakse selle mediaanide järgi kuueks võrdseks kolmnurgaks.
Poolitaja
Nurgapoolitaja- see on kiir, mis väljub selle tipust, läheb selle külgede vahelt ja jagab selle nurga pooleks. Kolmnurga poolitaja on kolmnurga poolitaja lõik, mis ühendab tippu selle kolmnurga vastasküljel asuva punktiga. 
Kolmnurga poolitajate omadused
Kõrgus
Kõrgus kolmnurka nimetatakse risti, mis on tõmmatud kolmnurga tipust selle kolmnurga vastaskülge sisaldava joonega. 
Kolmnurga kõrguse omadused
V täisnurkne kolmnurk täisnurga tipust tõmmatud kõrgus jagab selle kaheks kolmnurgaks, sarnased originaal.
V teravnurkne kolmnurk tema kaks kõrgust on temast ära lõigatud sarnased kolmnurgad.
Keskmine risti
Nimetatakse sirgjoont, mis läbib temaga risti oleva lõigu keskpunkti keskmine risti segmendi juurde .
Kolmnurga keskpunkti perpendikulaaride omadused
Lõiguga risti oleva keskpunkti iga punkt on selle lõigu otstest võrdsel kaugusel. Tõsi on ka vastupidine: iga lõigu otstest võrdsel kaugusel asuv punkt asub sellega risti.
Kolmnurga külgede ristide lõikepunkt on keskpunkt selle kolmnurga ümber piiratud ring.
keskmine joon
Kolmnurga keskjoon nimetatakse lõiguks, mis ühendab selle kahe külje keskpunkte.
Kolmnurga keskjoone omadus
Kolmnurga keskjoon on paralleelne selle ühe küljega ja on võrdne poolega sellest küljest.
Valemid ja suhted
Kolmnurkade võrdsustestid
Kaks kolmnurka on võrdsed, kui nad on vastavalt võrdsed:
kaks külge ja nendevaheline nurk;
kaks nurka ja nendega külgnev külg;
kolm külge.
Täisnurksete kolmnurkade võrdsustestid
Kaks täisnurkne kolmnurk on võrdsed, kui need on vastavalt võrdsed: 
hüpotenuus ja teravnurk;
jalg ja vastasnurk;
jalg ja külgnev nurk;
kaks jalg;
hüpotenuus ja jalg.
Kolmnurkade sarnasus
Kaks kolmnurka on sarnased, kui üks järgmistest tingimustest nimetatakse sarnasuse märgid:
ühe kolmnurga kaks nurka on võrdsed teise kolmnurga kahe nurgaga;
ühe kolmnurga kaks külge on võrdelised teise kolmnurga kahe küljega ja nende külgede moodustatud nurgad on võrdsed;
ühe kolmnurga kolm külge on vastavalt võrdelised teise kolmnurga kolme küljega.
Sellistes kolmnurkades vastavad jooned ( kõrgused, mediaanid, poolitajad jne) on proportsionaalsed.
Siinuse teoreem
Kolmnurga küljed on võrdelised vastasnurkade siinustega ja kuvasuhe on läbimõõt
kolmnurga ümber piiratud ring:
Koosinusteoreem
Kolmnurga külje ruut on võrdne kahe teise külje ruutude summaga, millest on lahutatud nende külgede kahekordne korrutis nendevahelise nurga koosinusega:
a 2 = b 2 + c 2 - 2eKr cos
Kolmnurga pindalavalemid
Suvaline kolmnurk
a, b, c - peod; - külgedevaheline nurk a ja b- poolperimeeter; R - piiritletud ringi raadius; r - sisse kirjutatud ringi raadius; S - ruut; h a - külgmine kõrgus a.
Laadimine ...