Kuidas arvu juure käsitsi arvutada. Uurimustöö teemal: "Ruutjuurte väljavõtmine suurtest arvudest ilma kalkulaatorita"

Matemaatika ja füüsika kursusest erinevate ülesannete lahendamisel seisavad õpilased ja üliõpilased sageli silmitsi vajadusega välja tuua teise, kolmanda või n-nda astme juured. Muidugi pole infotehnoloogia ajastul sellist probleemi kalkulaatori abil keeruline lahendada. Siiski on olukordi, kus elektroonilist assistenti pole võimalik kasutada.

Näiteks on keelatud paljudele eksamitele elektroonikat kaasa võtta. Lisaks ei pruugi kalkulaator käepärast olla. Sellistel juhtudel on kasulik teada vähemalt mõnda meetodit radikaalide käsitsi arvutamiseks.

Üks lihtsamaid viise juurte arvutamiseks on kasutades spetsiaalset tabelit... Mis see on ja kuidas seda õigesti kasutada?

Tabelit kasutades leiate suvalise arvu ruudu vahemikus 10 kuni 99. Sel juhul sisaldavad tabeli read kümnete väärtusi, veergudes - ühikute väärtusi. Rea ja veeru ristumiskohas olev lahter sisaldab kahekohalist ruutu. Ruudu 63 arvutamiseks tuleb leida rida väärtusega 6 ja veerg väärtusega 3. Ristmiku juurest leiame lahtri numbriga 3969.

Kuna juure ekstraheerimine on vastupidine ruudu suurendamisele, peate selle toimingu tegemiseks tegema vastupidist: esmalt leidke lahter numbriga, mille radikaali soovite arvutada, seejärel määrake vastus veeru ja rea ​​väärtuste järgi. . Näiteks kaaluge ruutjuure 169 arvutamist.

Leiame tabelist selle numbriga lahtri, horisontaalselt defineerime kümned - 1, vertikaalselt leiame ühikud - 3. Vastus: √169 = 13.

Samamoodi saate vastavate tabelite abil välja arvutada kuup- ja n-nda astme juured.

Selle meetodi eeliseks on selle lihtsus ja täiendavate arvutuste puudumine. Puudused on ilmsed: meetodit saab kasutada ainult piiratud arvude vahemiku jaoks (arv, mille juures asub juur, peab olema vahemikus 100 kuni 9801). Lisaks ei tööta see, kui antud numbrit tabelis pole.

Peamine faktoriseerimine

Kui ruutude tabelit pole käepärast või osutus selle abil juure leidmine võimatuks, võite proovida arvuta juure all olev arv algteguriteks... Algtegurid on need, mida saab täielikult (ilma jäägita) jagada ainult iseendaga või ühega. Näited võiksid olla 2, 3, 5, 7, 11, 13 jne.

Vaatleme juure arvutamist √576 näitel. Jagame selle algteguriteks. Saame järgmise tulemuse: √576 = √ (2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3) = √ (2 ∙ 2 ∙ 2) ² ∙ √3². Kasutades juurte põhiomadust √a² = a, vabaneme juurtest ja ruutudest, mille järel arvutame vastuse: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​= 24.

Mis siis, kui mõnel teguril pole paari? Näiteks kaaluge √54 arvutamist. Pärast faktooringut saame tulemuse järgmisel kujul: √54 = √ (2 ∙ 3 ​​∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √ (2 ∙ 3) = 3√6. Taastamatu osa võib jätta juure alla. Enamiku geomeetria ja algebra probleemide puhul loetakse see vastus lõplikuks. Kuid kui on vaja ligikaudseid väärtusi arvutada, võite kasutada meetodeid, mida arutatakse allpool.

Heroni meetod

Mida teha, kui peate vähemalt ligikaudselt teadma, mis on ekstraheeritud juur (kui täisarvu pole võimalik saada)? Kiire ja üsna täpse tulemuse annab Heroni meetodi rakendamine... Selle olemus seisneb ligikaudse valemi kasutamises:

√R = √a + (R - a) / 2√a,

kus R on arv, mille juur tuleb arvutada, a on lähim arv, mille juurväärtus on teada.

Mõelgem, kuidas meetod praktikas töötab, ja hindame selle täpsust. Arvutame välja, mis on võrdne √111-ga. Lähim arv 111-le, mille juur on teada, on 121. Seega R = 111, a = 121. Asendage väärtused valemisse:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

Nüüd kontrollime meetodi täpsust:

10,55² = 111,3025.

Meetodi viga oli ligikaudu 0,3. Kui meetodi täpsust on vaja suurendada, võite korrata varem kirjeldatud samme:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Kontrollime arvutuse täpsust:

10,536² = 111,0073.

Pärast valemi uuesti rakendamist muutus viga väga ebaoluliseks.

Juure arvutamine pika jagamise teel

See ruutjuure väärtuse leidmise meetod on pisut keerulisem kui eelmised. See on aga teiste arvutusmeetodite seas ilma kalkulaatorita kõige täpsem..

Oletame, et soovite leida ruutjuure 4 kohaga pärast koma. Analüüsime arvutusalgoritmi suvalise arvu 1308.1912 näitel.

1. Jagage paberileht vertikaalse joonega kaheks osaks ja tõmmake sellest paremale, veidi ülemisest servast allapoole. Kirjutame vasakule küljele numbri, jagades selle 2-kohalisteks rühmadeks, liikudes koma paremale ja vasakule poole. Vasakpoolne esimene number võib olla ilma paarita. Kui numbri paremal küljel märk puudub, siis tuleks lisada 0. Meie puhul saame 13 08.19 12.
2. Valime suurima arvu, mille ruut on väiksem või võrdne esimese arvude rühmaga. Meie puhul on see 3. Kirjutame selle üleval paremale; 3 on tulemuse esimene number. Paremal allosas tähistame 3 × 3 = 9; seda läheb vaja järgnevateks arvutusteks. Lahutage veerus 13-st 9, saame jäägi 4.
3. Liidame 4 ülejäänud arvule järgmise numbripaari; saame 408.
4. Paremas ülanurgas olev arv korrutatakse 2-ga ja kirjutatakse all paremale, lisades sellele _ x _ =. Saame 6_ x _ =.
5. Mõttekriipsude asemel tuleb asendada sama arv, mis on väiksem või võrdne 408-ga. Saame 66 × 6 = 396. Kirjutage üleval paremale 6, kuna see on tulemuse teine ​​number. Lahutage 408-st 396, et saada 12.
6. Kordame samme 3-6. Kuna alla kantud numbrid on arvu murdosas, on vaja pärast 6 panna üleval paremale koma. Kirjutame kahekordse tulemuse kriipsudega: 72_ x _ =. Sobiv arv oleks 1: 721 × 1 = 721. Kirjutame vastuseks üles. Lahutage 1219–721 = 498.
7. Teeme eelmises lõigus toodud toimingute jada veel kolm korda, et saada vajalik arv komakohti. Kui märke pole edasisteks arvutusteks piisavalt, tuleb vasakul olevale praegusele numbrile lisada kaks nulli.

Selle tulemusena saame vastuse: √1308.1912 ≈ 36.1689. Kui kontrollite toimingut kalkulaatoriga, saate veenduda, et kõik märgid on õigesti tuvastatud.

Ruutjuure väärtuse bitipõhine arvutamine

Meetod on väga täpne... Lisaks on see üsna arusaadav ega nõua valemite meeldejätmist ega keerulist tegevusalgoritmi, kuna meetodi olemus on õige tulemuse valimine.

Võtame arvu 781 juure. Vaatleme üksikasjalikult toimingute jada.

1. Uurime välja, milline ruutjuure väärtuse bitt on kõige olulisem. Selleks paneme ruutudesse 0, 10, 100, 1000 jne ning selgitame välja, kumma nende vahel radikaalarv asub. Saame selle 10²< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
2. Valime kümnete väärtuse. Selleks tõstame kordamööda astmeni 10, 20, ..., 90, kuni saame arvu, mis ületab 781. Meie puhul saame 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. tulemuse n väärtus jääb 20 piiresse< n <30.
3. Sarnaselt eelmisele sammule valitakse ühe numbri väärtus. Teeme ruudu 21.22, ..., 29: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28² Saame selle 784.< n < 28.
4. Iga järgmine number (kümnendik, sajandik jne) arvutatakse ülaltoodud viisil. Arvutused tehakse kuni nõutava täpsuse saavutamiseni.

Enne kalkulaatorite tulekut arvutasid õpilased ja õpetajad ruutjuuri käsitsi. Arvu ruutjuure käsitsi arvutamiseks on mitu võimalust. Mõned neist pakuvad vaid ligikaudset lahendust, teised annavad täpse vastuse.

Sammud

Peamine faktoriseerimine

Koefitsiendi radikaalarv, mis on ruut. Olenevalt juurnumbrist saad ligikaudse või täpse vastuse. Ruutarvud on arvud, millest saab eraldada terve ruutjuure. Tegurid on arvud, mille korrutamisel saadakse algne arv. Näiteks tegurid 8 on 2 ja 4, kuna 2 x 4 = 8, 25, 36, 49 on ruutarvud, kuna √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Ruuttegurid on tegurid, mis on ruutnumbrid. Esiteks proovige juurarv ruutu panna.

• Näiteks arvutage ruutjuur 400-st (käsitsi). Proovige kõigepealt teha 400 ruutu. 400 on 100 kordne, st jagub 25-ga - see on ruutarv. Kui jagate 400 25-ga, saate 16. 16 on samuti ruutnumber. Seega saab 400 arvestada ruutteguriteks 25 ja 16, st 25 x 16 = 400.
• Selle saab kirjutada järgmiselt: √400 = √ (25 x 16).

1. Mõne liikme korrutise ruutjuur on võrdne iga liikme ruutjuure korrutisega, st √ (a x b) = √a x √b. Kasutage seda reeglit ja võtke iga ruutteguri ruutjuur ja korrutage vastuse leidmiseks tulemused.

   • Meie näites ekstraheerige 25 ja 16 juur.
     • √ (25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Kui radikaalarv ei lagune kaheks ruutteguriks (ja see juhtub enamikul juhtudel), ei saa te täpset vastust täisarvu kujul leida. Kuid saate probleemi lihtsustada, arvutades arvu juure ruutteguriks ja tavaliseks teguriks (arv, millest ei saa kogu ruutjuurt eraldada). Seejärel võtate ruutjuure ja hariliku teguri juure.

   • Näiteks arvutage ruutjuur 147-st. Arvu 147 ei saa arvestada kahe ruutteguriga, kuid selle saab arvestada järgmiste teguritega: 49 ja 3. Lahendage ülesanne järgmiselt:
     • = √ (49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Vajadusel hinnake juure väärtust. Nüüd saate juure väärtust hinnata (leida ligikaudne väärtus), võrreldes seda juurarvule kõige lähemal olevate ruutarvude juurte väärtustega (mõlemal pool arvujoonel). Juureväärtuse saad kümnendmurruna, mis tuleb korrutada juuremärgi taga oleva arvuga.

   • Läheme tagasi meie näite juurde. Radikaalarv 3. Sellele lähimad ruutarvud on arvud 1 (√1 = 1) ja 4 (√4 = 2). Seega on √3 väärtus vahemikus 1 kuni 2. Kuna √3 väärtus on tõenäoliselt lähemal 2-le kui 1-le, on meie hinnang: √3 = 1,7. Korrutame selle väärtuse juurmärgis oleva arvuga: 7 x 1,7 = 11,9. Kui teete arvutused kalkulaatoriga, saate 12,13, mis on meie vastusele üsna lähedal.
     • See meetod töötab ka suurte arvude puhul. Võtke näiteks √35. Juurearv on 35. Sellele lähimad ruuduarvud on numbrid 25 (√25 = 5) ja 36 (√36 = 6). Seega on √35 vahemikus 5 kuni 6. Kuna √35 on palju lähemal 6-le kui 5-le (kuna 35 on ainult 1 võrra väiksem kui 36), võime öelda, et √35 on veidi väiksem kui 6. Kalkulaatoriga kontrollimine annab meile vastus 5,92 - meil oli õigus.

4. Teine võimalus on lisada radikaalarv algteguriteks. Algtegurid on arvud, mis jaguvad ainult 1-ga ja iseendaga. Kirjutage algtegurid ritta ja leidke samade tegurite paarid. Selliseid tegureid saab juuremärgist kaugemale välja võtta.

   • Näiteks arvutame 45 ruutjuure. Jaotame radikaalarvu algteguriteks: 45 = 9 x 5 ja 9 = 3 x 3. Seega √45 = √ (3 x 3 x 5). 3 võib võtta väljaspool juurmärki: √45 = 3√5. Nüüd saate hinnata √5.
   • Mõelge veel ühele näitele: √88.
     • = √ (2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Teil on kolm kordajat 2; võtke paar neist ja asetage need juurmärgist väljapoole.
     • = 2√ (2 x 11) = 2√2 x √11. Nüüd saate hinnata √2 ja √11 ning leida ligikaudse vastuse.

   Ruutjuure käsitsi arvutamine

   Pikk jaotus

   1. See meetod hõlmab pika jagamisega sarnast protsessi ja annab täpse vastuse. Kõigepealt tõmmake vertikaalne joon, mis jagab lehe kaheks pooleks, ja seejärel tõmmake paremale ja veidi alla lehe ülemisest servast vertikaalse jooneni. Nüüd jaga radikaliseeritud arv arvupaarideks, alustades koma järel olevast murdosast. Seega on number 79520789182.47897 kirjutatud kujul "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • Näiteks arvutame ruutjuure 780,14. Tõmmake kaks joont (nagu on näidatud pildil) ja kirjutage vasakpoolsesse ülaossa see number "7 80, 14". On normaalne, et esimene number vasakult on paaritu number. Vastus (antud arvu juur) kirjutatakse paremasse ülaossa.

   2. Vasakpoolse esimese arvupaari (või ühe arvu) jaoks leidke suurim täisarv n, mille ruut on väiksem või võrdne kõnealuse arvupaariga (või ühe arvuga). Teisisõnu, leidke ruutarv, mis on vasakpoolsele esimesele arvupaarile (või ühele arvule) kõige lähemal, kuid sellest väiksem, ja eraldage selle ruutarvu ruutjuur; saad numbri n. Kirjutage leitud n paremasse ülaossa ja ruut n all paremale.

      • Meie puhul on esimene number vasakul number 7. Järgmiseks 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Lahutage äsja leitud arvu n ruut esimesest vasakpoolsest numbripaarist (või ühest numbrist). Arvutuse tulemus kirjutage lahutatava (arvu n ruudu) alla.

      • Meie näites lahutage 7-st 4, et saada 3.

   4. Tõmmake teine ​​numbripaar alla ja kirjutage see eelmises etapis saadud väärtuse lähedale. Seejärel kahekordistage paremas ülanurgas olev arv ja kirjutage oma tulemus all paremale, lisades "_ × _ =".

      • Meie näites on teine ​​numbripaar "80". Kirjutage pärast 3 "80". Seejärel topelt üleval paremal olev number annab 4. Kirjutage "4_ × _ =" all paremale.

   5. Täitke paremal pool olevad kriipsud.

      • Kui meie puhul paneme kriipsude asemele arvu 8, siis 48 x 8 = 384, mis on rohkem kui 380. Seetõttu on 8 liiga suur arv, aga 7 sobib. Kirjutage kriipsude asemele 7 ja saage: 47 x 7 = 329. Kirjutage ülalt paremalt 7 – see on 780,14 nõutava ruutjuure teine ​​number.

   6. Lahutage saadud arv vasakul olevast praegusest arvust. Salvestage eelmise sammu tulemus vasakul oleva praeguse numbri alla, leidke erinevus ja kirjutage see mahaarvatava alla.

      • Meie näites lahutage 380-st 329, mis on 51.

   7. Korrake 4. sammu. Kui lammutatud arvupaar on algarvu murdosa, siis asetage täisarvu ja murdosa eraldaja (koma) ülalt paremalt soovitud ruutjuuresse. Lohistage vasakul järgmine numbripaar alla. Kahekordistage paremas ülanurgas olev arv ja kirjutage oma tulemus alla paremas nurgas, lisades "_ × _ =".

      • Meie näites on järgmine lammutatav arvupaar arvu 780.14 murdosa, seega asetage täisarvu ja murdosa eraldaja paremas ülanurgas soovitud ruutjuuresse. Võtke 14 maha ja kirjutage alla vasakus servas. Topeltnumber üleval paremal (27) on 54, seega kirjutage all paremale "54_ × _ =".

   8. Korrake samme 5 ja 6. Leidke parempoolsete sidekriipsude asemel selline suurim arv (kriipsude asemel tuleb asendada sama arv), et korrutamistulemus oleks väiksem või võrdne vasakpoolse praeguse arvuga.

      • Meie näites on 549 x 9 = 4941, mis on väiksem kui praegune arv vasakul (5114). Kirjutage üleval paremale 9 ja lahutage vasakpoolsest praegusest arvust korrutis: 5114 - 4941 = 173.

   9. Kui teil on vaja ruutjuure jaoks leida rohkem komakohti, kirjutage praegusest arvust vasakule paar nulli ja korrake samme 4, 5 ja 6. Korrake samme, kuni saavutate soovitud täpsuse (komakohtade arv ).

   Protsessi mõistmine

   Selle meetodi valdamiseks kujutlege arvu, mille ruutjuur tuleb leida ruudu S pindalana. Sel juhul otsite sellise ruudu külje L pikkust. Arvutame L väärtuse, mille puhul L² = S.

   Andke vastuses igale numbrile täht. Tähistame A-ga esimest numbrit L väärtuses (nõutav ruutjuur). B on teine ​​number, C on kolmas ja nii edasi.

   Määrake iga esimeste numbrite paari jaoks täht. Tähistame S a-ga esimest numbripaari S väärtuses, S b-ga - teist numbripaari jne.

   Mõistke selle meetodi ja pika jaotuse vahelist seost. Nagu jagamise operatsioonis, kus iga kord, kui meid huvitab ainult üks jagatava arvu järgmine number, töötame ruutjuure arvutamisel järjestikku numbripaariga (et saada üks järgmine number jagatava arvu kohta ruutjuur).

   1. Vaatleme arvu S esimest numbripaari Sa (meie näites Sa = 7) ja leidke selle ruutjuur. Sel juhul on soovitud ruutjuure esimeseks numbriks A selline number, mille ruut on väiksem kui S a või sellega võrdne (see tähendab, et me otsime sellist A, mille võrratus A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Oletame, et soovite 88962 jagada 7-ga; siin on esimene samm sarnane: arvestame dividendinumbri 88962 esimest numbrit (8) ja valime suurima arvu, mis 7-ga korrutades annab väärtuse, mis on väiksem või võrdne 8-ga. See tähendab, et me otsime arv d, mille võrratus on tõene: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. Kujutage ette ruutu, mille pindala peate arvutama. Otsite L-i ehk ruudu külje pikkust, mille pindala on S. A, B, C on arvus L olevad numbrid. Võite selle kirjutada erinevalt: 10A + B = L (kahe- numbriline number) või 100A + 10B + C = L (kolmekohalise numbri korral) jne.

      • Lase (10A + B) ² = L² = S = 100 A² + 2 × 10 A × B + B²... Pidage meeles, et 10A + B on arv, kus B tähistab ühtesid ja A kümneid. Näiteks kui A = 1 ja B = 2, siis 10A + B võrdub 12-ga. (10A + B) ² on kogu ruudu pindala, 100A²- suure siseväljaku pindala, B²- väikese sisemise ruudu pindala, 10A × B on kummagi kahe ristküliku pindala. Lisades kirjeldatud kujundite alad, leiate algse ruudu pindala.

Mis on ruutjuur?

Tähelepanu!
On olemas täiendavaid
materjalid erijaos 555.
Neile, kes on väga "mitte väga ..."
Ja neile, kes on "väga ühtlased ...")

See kontseptsioon on väga lihtne. Loomulik, ma ütleks. Matemaatikud püüavad leida reaktsiooni igale tegevusele. Kui on liitmine, on ka lahutamine. On korrutamine - on ka jagamine. Seal on kvadratuur ... Nii et on olemas ruutjuure ekstraheerimine! See on kõik. See tegevus ( ruutjuure ekstraheerimine) on matemaatikas tähistatud selle ikooniga:

Ikooni ennast nimetatakse ilusaks sõnaks " radikaalne".

Kuidas juurt ekstraheerida? Parem on kaaluda aadressil näiteid.

Mis on 9 ruutjuur? Millise arvu ruudus saame 9? 3 ruutu annab meile 9! Need:

Aga kui palju on ruutjuur nullist? Pole probleemi! Mis ruudus annab nulli? Jah, see annab ise nulli! Tähendab:

On püütud mis on ruutjuur? Siis kaalume näiteid:

Vastused (segaselt): 6; üks; 4; 9; 5.

Otsustas? Tõepoolest, see on palju lihtsam ?!

Aga ... Mida teeb inimene, kui ta näeb juurtega ülesannet?

Inimene hakkab igatsema ... Ta ei usu juurte lihtsusse ja kergusesse. Kuigi tundub, et ta teab mis on ruutjuur...

Seda seetõttu, et inimene eiras juurte uurimisel mitmeid olulisi punkte. Siis maksavad need moehullud testide ja eksamite eest julmalt kätte ...

Esimene punkt. Juured tuleb nägemise järgi ära tunda!

Kui palju on 49 ruutjuur? Seitse? Õige! Kust sa teadsid seda seitset? Kas olete teinud 7 ruudu ja saanud 49? Õige! Pange tähele, et ekstrakt juur 49-st pidime tegema pöördoperatsiooni - 7-sse ruutu! Ja veenduge, et me vahele ei jääks. Või võisid nad vahele jätta...

See on raskus juurte ekstraheerimine. Ruut iga numbriga saab hakkama ilma liigsete probleemideta. Korrutage arv veerus iseendaga – ja ongi kõik. Aga selleks juure ekstraheerimine nii lihtsat ja tõrgeteta tehnoloogiat pole olemas. Peab korja üles vastake ja kontrollige, kas see on ruudukujuline.

See keeruline loomeprotsess – vastuse valimine – on oluliselt lihtsustatud, kui mäleta populaarsete arvude ruudud. Nagu korrutustabel. Kui näiteks on vaja 4 korrutada 6-ga – sa ei liida 4 6 korda, eks? Kohe tuleb vastus 24. Kuigi mitte kõik ei tule selle peale, jah ...

Tasuta ja edukaks juurtega tööks piisab numbrite ruutude 1 kuni 20 teadmisest. seal ja tagasi. Need. peaksite lihtsalt nimetama nii 11 ruudu kui ka ruutjuure 121-st. Selle meeldejätmise saavutamiseks on kaks võimalust. Esimene on õppida ruutude tabelit. See on suurepärane näidete lahendamiseks. Teine on lahendada rohkem näiteid. See aitab teil ruutude tabelit oluliselt meeles pidada.

Ja ei mingeid kalkulaatoreid! Ainult kontrollimise eesmärgil. Vastasel juhul aeglustate eksamit halastamatult ...

Niisiis, mis on ruutjuur Ja kuidas ekstrakti juured- Ma arvan, et see on arusaadav. Nüüd uurime, MILLEST saate need välja võtta.

Teine punkt. Root, ma ei tunne sind!

Millistest arvudest saab ruutjuure? Jah, peaaegu iga. Lihtsam on aru saada, mida see on keelatud ekstraheerige need.

Proovime arvutada järgmise juure:

Selleks peate valima arvu, mis ruudus annab meile -4. Valime.

Mida ei valita? 2 2 annab +4. (-2) 2 annab jälle +4! See on kõik ... Pole olemas numbreid, mis ruudus annavad meile negatiivse arvu! Kuigi ma tean selliseid numbreid. Aga ma ei ütle teile). Minge kolledžisse - saate ise teada.

Sama lugu on iga negatiivse arvuga. Siit järeldus:

Negatiivse arvuga avaldis ruutjuure märgi all - pole mõtet! See on keelatud operatsioon. Sama keelatud kui nulliga jagamine. Pidage seda tõsiasja irooniliselt meeles! Või teisisõnu:

Negatiivsetest arvudest ei saa välja võtta ruutjuuri!

Aga kõigist teistest - saate. Näiteks on täiesti võimalik arvutada

Esmapilgul on see väga raske. Korja üles murrud ja pane need ruudukujuliseks ... Ära muretse. Kui käsitleme juurte omadusi, taandatakse sellised näited samasse ruutude tabelisse. Elu muutub lihtsamaks!

Noh, okei murrud. Kuid me kohtame endiselt selliseid väljendeid nagu:

Pole viga. Kõik on sama. Kahe ruutjuur on arv, mille ruudustamisel saame kaks. Ainult arv on täiesti ebaühtlane ... Siin see on:

Huvitaval kombel ei lõpe see murd kunagi ... Selliseid numbreid nimetatakse irratsionaalseteks. Ruutjuurtes on see kõige tavalisem asi. Muide, seepärast kutsutaksegi juurtega väljendeid irratsionaalne... Selge see, et sellist lõpmatut murdu on ebamugav kogu aeg kirjutada. Seetõttu jätavad nad lõpmatu murdosa asemel selle järgmiselt:

Kui näite lahendamisel tekib midagi, mida pole võimalik taastada, näiteks:

siis jätame selle nii. See on vastus.

Peate sellest ikoonide all selgelt aru saama

Muidugi, kui numbri juur on välja võetud sile, peate seda tegema. Näiteks ülesande vastus vormis

päris täisväärtuslik vastus.

Ja loomulikult peate peast teadma ligikaudseid väärtusi:

Need teadmised aitavad rasketes ülesannetes olukorda palju hinnata.

Kolmas punkt. Kõige kavalam.

Peamise segaduse juurtega töötamisel toob see punkt. Tema on see, kes annab enesekindluse puudumise oma võimete suhtes ... Tegeleme selle moeröögatusega korralikult!

Alustuseks võtame neist nelja ruutjuure uuesti. Mis, kas ma olen sind selle juurega juba kätte saanud?) Ei midagi, nüüd läheb huvitavaks!

Mis on arv ruudus 4? Noh, kaks, kaks - ma kuulen rahulolematuid vastuseid ...

Õige. Kaks. Aga lõppude lõpuks miinus kaks annab 4 ruudu ... Vahepeal vastus

õige ja vastus

jäme viga. Nagu nii.

Mis siis on?

Tõepoolest, (-2) 2 = 4. Ja ruutjuure nelja definitsiooni all miinus kaks on üsna sobiv ... See on ka ruutjuur neljast.

Aga! Matemaatika koolikursuses on tavaks lugeda ruutjuurena ainult mittenegatiivsed arvud! St null ja kõik positiivsed. Mõeldi isegi eritermin: numbrist a- see mittenegatiivne arv, mille ruut on a... Negatiivsed tulemused aritmeetilise ruutjuure ekstraheerimisel jäetakse lihtsalt kõrvale. Koolis on kõik ruutjuured aritmeetika... Kuigi seda pole konkreetselt mainitud.

Olgu, see on arusaadav. Veelgi parem on mitte vaevata negatiivsete tulemustega ... See pole veel segadus.

Segadus algab ruutvõrrandite lahendamisel. Näiteks peate lahendama järgmise võrrandi.

Võrrand on lihtne, kirjutame vastuse (nagu õpetatud):

See vastus (muide, täiesti õige) on lihtsalt lühendatud märge kaks vastused:

Lõpeta peatus! Natuke kõrgemale kirjutasin, et ruutjuur on arv alati mittenegatiivne! Ja siin on üks vastustest - negatiivne! Häire. See on esimene (kuid mitte viimane) probleem, mis tekitab umbusku juurte vastu... Lahendame selle probleemi. Kirjutame vastused (puhtalt mõistmiseks!) nii:

Sulud ei muuda vastuse olemust. Eraldasin lihtsalt sulgudega märgid alates juur... Nüüd on selgelt näha, et juur ise (sulgudes) on ikkagi mittenegatiivne arv! Ja märgid on võrrandi lahendamise tulemus... Tõepoolest, mis tahes võrrandi lahendamisel peame kirjutama kõik x, mis algsesse võrrandisse asendatuna annab õige tulemuse. Meie võrrand sobib viie juurega (positiivne!) Nii plussi kui miinusega.

Nagu nii. Kui sa lihtsalt võtke ruutjuur millestki välja, sina alati saada üks mittenegatiivne tulemus. Näiteks:

Sest see - aritmeetiline ruutjuur.

Aga kui lahendate mingisuguse ruutvõrrandi, näiteks:

siis alati Selgub kaks vastus (pluss ja miinus):

Sest see on võrrandi lahendus.

Loodan, mis on ruutjuur oma väikeste punktidega saite sellest aru. Nüüd jääb üle välja selgitada, mida saab juurtega teha, millised on nende omadused. Ja mis on täkked ja veealune koorik ... vabandust, kivid!)

Kõik see on järgmistes õppetundides.

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Kiire valideerimise testimine. Õppimine – huviga!)

saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.

Juur n-naturaalarvu aste a sellist numbrit kutsutakse, n- mille aste on a... Juur on tähistatud järgmiselt:. Sümbolit √ kutsutakse juurmärk või radikaalne märk, number a - juurnumber, n - juureksponent.

Nimetatakse tegevust, mille abil leitakse antud astme juur juure ekstraheerimine.

Kuna juure mõiste definitsiooni järgi n-th kraad

siis juure ekstraheerimine- astmele tõstmise pöördtegevus, mille abil vastavalt etteantud astmele ja antud astendajale leitakse astme alus.

Ruutjuur

Arvu ruutjuur a on arv, mille ruut on võrdne a.

Ruutjuure arvutamist nimetatakse ruutjuureks.

Ruutjuure ekstraheerimine- ruutude tõstmise (või arvu teise astmeni tõstmise) vastupidine toiming. Ruututamisel on arv teada, tuleb leida selle ruut. Ruutjuure eraldamisel on arvu ruut teada, sellest tuleb leida arv ise.

Seetõttu saate sooritatud toimingu õigsuse kontrollimiseks tõsta leitud juure teise astmeni ja kui võimsus on võrdne radikaalarvuga, siis leiti juur õigesti.

Vaatame ruutjuure eraldamist ja selle kontrollimist näitega. Arvutame või (juure eksponenti väärtusega 2 tavaliselt ei kirjutata, kuna 2 on väikseim eksponent ja tuleb meeles pidada, et kui juure märgi kohal pole eksponenti, siis eeldatakse astendajat 2), selleks peame leidma arvu, mille teiseks tõstmisel on aste 49. Ilmselgelt on see arv 7, kuna

7 7 = 7 2 = 49.

Ruutjuure arvutamine

Kui antud arv on 100 või väiksem, saab selle ruutjuure arvutada korrutustabeli abil. Näiteks 25 ruutjuur on 5, sest 5 5 = 25.

Nüüd vaatame, kuidas leida suvalise arvu ruutjuur ilma kalkulaatorit kasutamata. Näiteks võtame arvu 4489 ja hakkame seda samm-sammult arvutama.

1. Teeme kindlaks, millistest bittidest peaks nõutav juur koosnema. Kuna 10 2 = 10 10 = 100 ja 100 2 = 100 100 = 10000, saab selgeks, et soovitud juur peab olema suurem kui 10 ja väiksem kui 100, s.o. koosnevad kümnetest ja ühikutest.
2. Leidke juure kümnete arv. Kümnete korrutamisest saadakse sajad, meie arvus on neid 44, seega peaks juur sisaldama nii palju kümneid, et kümnete ruut annab ligikaudu 44 sadu. Seetõttu peaks juurtes olema 6 kümnendit, sest 60 2 = 3600 ja 70 2 = 4900 (see on liiga palju). Nii saime teada, et meie juur sisaldab 6 kümnendit ja mitut ühikut, kuna see on vahemikus 60 kuni 70.
3. Korrutustabel aitab määrata juurtes olevate ühikute arvu. Vaadates arvu 4489, näeme, et selle viimane number on 9. Nüüd vaatame korrutustabelit ja näeme, et 9 ühikut saab ainult siis, kui arvud 3 ja 7 on ruudus. 63 või 67.
4. Kontrollime saadud numbreid 63 ja 67, jagades need ruutudeks: 63 2 = 3969, 67 2 = 4489.

Vaatleme seda algoritmi näitena. Otsi

1. samm. Jagame juure all oleva numbri kaheks numbriks (paremalt vasakule):

2. samm. Eraldame esimese tahu ruutjuure, see tähendab arvust 65, saame arvu 8. Esimese tahu alla kirjutame numbri 8 ruudu ja lahutame. Määrame jäägile teise tahu (59):

(number 159 on esimene jääk).

3. samm. Kahekordistame leitud juure ja kirjutame tulemuse vasakule:

4. samm. Ülejäänus (159) eraldame paremalt ühe numbri, vasakul saame kümnete arvu (see võrdub 15-ga). Seejärel jagame 15 juure kahekordistunud esimese numbriga ehk 16-ga, kuna 15 ei jagu 16-ga, siis jagatis saame nulli, mille kirjutame juure teiseks numbriks. Seega jagatis saime arvu 80, mille kahekordistame uuesti ja lammutame järgmise näo

(number 15 901 on teine ​​jääk).

5. samm. Eraldage teises jäägis üks number paremalt ja jagage saadud arv 1590 160-ga. Kirjutage tulemus (arv 9) juure kolmandaks numbriks ja määrake see arvule 160. Korrutage saadud arv 1609 9-ga ja leidke järgmine jääk (1420):

Edasised toimingud tehakse algoritmis näidatud järjekorras (juurt saab vajaliku täpsusega eraldada).

kommenteerida. Kui radikaalavaldis on kümnendmurd, jagatakse selle täisarvuline osa kaheks numbriks paremalt vasakule, murdosa - kaheks numbriks vasakult paremale ja juur ekstraheeritakse vastavalt määratud algoritmile.

DIDAKTILINE MATERJAL

1. Eraldage arvu ruutjuur: a) 32; b) 32,45; c) 249,5; d) 0,9511.