En trigonométrie, de nombreuses formules sont plus faciles à déduire qu'à mémoriser. Le cosinus d'un double angle est une formule merveilleuse ! Il vous permet d'obtenir les formules de réduction et les formules de demi-angle.
Donc, nous avons besoin du cosinus du double angle et de l'unité trigonométrique :
Ils sont même similaires: dans la formule du cosinus d'un double angle - la différence entre les carrés du cosinus et du sinus, et dans l'unité trigonométrique - leur somme. Si nous exprimons le cosinus à partir de l'unité trigonométrique :
et le substituer dans le cosinus du double angle, on obtient :
Voici une autre formule du cosinus d'un angle double :
Cette formule est la clé pour obtenir la formule de réduction :
Ainsi, la formule pour abaisser le degré du sinus est :
Si dans celui-ci l'angle alpha est remplacé par un demi-angle alpha en deux, et le double angle deux alpha est remplacé par l'angle alpha, alors nous obtenons la formule du demi-angle pour le sinus :
Maintenant, à partir de l'unité trigonométrique, on exprime le sinus :
Remplacez cette expression dans la formule du cosinus d'un angle double :
Nous avons une autre formule pour le cosinus d'un angle double :
Cette formule est la clé pour trouver la réduction du cosinus et la formule du demi-angle pour le cosinus.
Ainsi, la formule pour abaisser le degré de cosinus est :
Si nous y remplaçons α par α/2, et 2α par α, alors nous obtenons la formule du demi-argument du cosinus :
Puisque la tangente est le rapport du sinus au cosinus, la formule de la tangente est la suivante :
La cotangente est le rapport du cosinus au sinus. La formule de la cotangente est donc :
Bien sûr, dans le processus de simplification des expressions trigonométriques, il est inutile de dériver des formules de demi-angle ou d'abaisser le degré à chaque fois. Il est beaucoup plus facile de mettre une feuille de formules devant soi. Et la simplification avancera plus vite, et la mémoire visuelle s'activera pour la mémorisation.
Mais cela vaut toujours la peine de dériver ces formules plusieurs fois. Ensuite, vous serez absolument sûr que pendant l'examen, lorsqu'il n'y a aucun moyen d'utiliser une feuille de triche, vous pouvez facilement les obtenir si le besoin s'en fait sentir.
Les valeurs de sinus sont dans la plage [-1 ; 1], c'est-à-dire -1 ≤ sin α ≤ 1. Donc, si |a| > 1, alors l'équation sin x = a n'a pas de racines. Par exemple, l'équation sin x = 2 n'a pas de racine.
Passons à certaines tâches.
Résolvez l'équation sin x = 1/2.
Décision.
Notez que sin x est l'ordonnée du point du cercle unitaire, qui est obtenue à la suite de la rotation du point Р (1; 0) de l'angle x autour de l'origine.
Une ordonnée égale à ½ est présente en deux points du cercle M 1 et M 2.
Depuis 1/2 \u003d sin π / 6, alors le point M 1 est obtenu à partir du point P (1; 0) en tournant de l'angle x 1 \u003d π / 6, ainsi que des angles x \u003d π / 6 + 2πk, où k \u003d +/-1, +/-2, …
Le point M 2 est obtenu à partir du point P (1; 0) en tournant de l'angle x 2 = 5π/6, ainsi que des angles x = 5π/6 + 2πk, où k = +/- 1, +/-2, ... , c'est-à-dire aux angles x = π – π/6 + 2πk, où k = +/-1, +/-2, ….
Ainsi, toutes les racines de l'équation sin x = 1/2 peuvent être trouvées par les formules x = π/6 + 2πk, x = π - π/6 + 2πk, où k € Z.
Ces formules peuvent être combinées en une seule: x \u003d (-1) n π / 6 + πn, où n € Z (1).
En effet, si n est un nombre pair, c'est-à-dire n = 2k, alors à partir de la formule (1) on obtient х = π/6 + 2πk, et si n est un nombre impair, c'est-à-dire n = 2k + 1, alors à partir de la formule (1) on obtient х = π – π/6 + 2πk.
Répondre. x \u003d (-1) n π / 6 + πn, où n € Z.
Résolvez l'équation sin x = -1/2.
Décision.
L'ordonnée -1/2 a deux points du cercle unité M 1 et M 2, où x 1 = -π/6, x 2 = -5π/6. Par conséquent, toutes les racines de l'équation sin x = -1/2 peuvent être trouvées par les formules x = -π/6 + 2πk, x = -5π/6 + 2πk, k ∈ Z.
Nous pouvons combiner ces formules en une seule: x \u003d (-1) n (-π / 6) + πn, n € Z (2).
En effet, si n = 2k, alors par la formule (2) on obtient x = -π/6 + 2πk, et si n = 2k – 1, alors par la formule (2) on trouve x = -5π/6 + 2πk.
Répondre. x \u003d (-1) n (-π / 6) + πn, n € Z.
Ainsi, chacune des équations sin x = 1/2 et sin x = -1/2 a un nombre infini de racines.
Sur le segment -π/2 ≤ x ≤ π/2, chacune de ces équations n'a qu'une seule racine :
x 1 \u003d π / 6 - la racine de l'équation sin x \u003d 1/2 et x 1 \u003d -π / 6 - la racine de l'équation sin x \u003d -1/2.
Le nombre π/6 est appelé arc sinus du nombre 1/2 et s'écrit : arc sinus 1/2 = π/6 ; le nombre -π/6 s'appelle l'arcsinus du nombre -1/2 et ils écrivent : arcsin (-1/2) = -π/6.
En général, l'équation sin x \u003d a, où -1 ≤ a ≤ 1, sur le segment -π / 2 ≤ x ≤ π / 2 n'a qu'une seule racine. Si a ≥ 0, alors la racine est comprise dans l'intervalle ; si un< 0, то в промежутке [-π/2; 0). Этот корень называют арксинусом числа а и обозначают arcsin а.
Ainsi, l'arc sinus du nombre a € [–1 ; 1] un tel nombre est appelé un € [–π/2 ; π/2], dont le sinus est a.
arcsin a = α si sin α = a et -π/2 ≤ x ≤ π/2 (3).
Par exemple, arcsin √2/2 = π/4, puisque sin π/4 = √2/2 et – π/2 ≤ π/4 ≤ π/2 ;
arcsin (-√3/2) = -π/3, puisque sin (-π/3) = -√3/2 et – π/2 ≤ 
– π/3 ≤ π/2.
De la même manière que cela a été fait lors de la résolution des problèmes 1 et 2, on peut montrer que les racines de l'équation sin x = a, où |a| ≤ 1 sont exprimés par la formule
x \u003d (-1) n arcsen a + πn, n € Z (4).
On peut aussi prouver que pour tout a [-1 ; 1] la formule arcsin (-a) = -arcsin a est valide.
De la formule (4), il s'ensuit que les racines de l'équation
sin x \u003d a pour a \u003d 0, a \u003d 1, a \u003d -1 peut être trouvé en utilisant des formules plus simples :
sin x \u003d 0 x \u003d πn, n € Z (5)
péché x \u003d 1 x \u003d π / 2 + 2πn, n € Z (6)
sin x \u003d -1 x \u003d -π / 2 + 2πn, n € Z (7)
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|BD| - la longueur de l'arc de cercle centré au point A.
α est l'angle exprimé en radians.
Tangente ( tga) est une fonction trigonométrique dépendant de l'angle α entre l'hypoténuse et la branche d'un triangle rectangle, égal au rapport de la longueur de la branche opposée |BC| à la longueur de la branche adjacente |AB| .
Cotangente ( ctgα) est une fonction trigonométrique dépendant de l'angle α entre l'hypoténuse et la branche d'un triangle rectangle, égal au rapport de la longueur de la branche adjacente |AB| à la longueur de la jambe opposée |BC| .
Tangente
Où n- entier.
Dans la littérature occidentale, la tangente est notée comme suit :
.
;
;
.
Graphique de la fonction tangente, y = tg x
Cotangente
Où n- entier.
Dans la littérature occidentale, la cotangente est notée comme suit :
.
La notation suivante a également été adoptée :
;
;
.
Graphique de la fonction cotangente, y = ctg x
Propriétés de la tangente et de la cotangente
Périodicité
Fonctions y= TG x et y= ctg x sont périodiques de période π.
Parité
Les fonctions tangente et cotangente sont impaires.
Domaines de définition et de valeurs, ascendants, descendants
Les fonctions tangente et cotangente sont continues sur leur domaine de définition (voir la preuve de continuité). Les principales propriétés de la tangente et de la cotangente sont présentées dans le tableau ( n- entier).
| y= TG x | y= ctg x | |
| Portée et continuité | ||
| Plage de valeurs | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Ascendant | - | |
| Descendant | - | |
| Extrêmes | - | - |
| Zéros, y= 0 | ||
| Points d'intersection avec l'axe y, x = 0 | y= 0 | - |
Formules
Expressions en termes de sinus et de cosinus
;
;
;
;
;
Formules pour la tangente et la cotangente de la somme et de la différence
Le reste des formules est facile à obtenir, par exemple
Produit de tangentes
La formule pour la somme et la différence des tangentes
Ce tableau montre les valeurs des tangentes et des cotangentes pour certaines valeurs de l'argument. 
Expressions en termes de nombres complexes
Expressions en termes de fonctions hyperboliques
;
;
Dérivés
; .
.
Dérivée d'ordre n par rapport à la variable x de la fonction :
.
Dérivation des formules pour tangente > > > ; pour cotangente > > >
Intégrales
Extensions en série
Pour obtenir le développement de la tangente en puissances de x, il faut prendre plusieurs termes du développement en une série de puissances pour les fonctions péché x et parce que x et diviser ces polynômes entre eux , . Cela se traduit par les formules suivantes.
À .
à .
où B n- Nombres de Bernoulli. Ils sont déterminés soit à partir de la relation de récurrence :
;
;
où .
Ou selon la formule de Laplace : 
Fonctions inverses
Les fonctions inverses de la tangente et de la cotangente sont respectivement arctangente et arccotangente.
Arctangente, arctg
, où n- entier.
Arc tangente, arcctg
, où n- entier.
Références:
DANS. Bronstein, KA Semendyaev, Manuel de mathématiques pour les ingénieurs et les étudiants des établissements d'enseignement supérieur, Lan, 2009.
G. Korn, Manuel de mathématiques pour chercheurs et ingénieurs, 2012.
Les identités trigonométriques les plus simples
Le quotient de la division du sinus de l'angle alpha par le cosinus du même angle est égal à la tangente de cet angle (formule 1). Voir aussi la preuve de l'exactitude de la transformation des identités trigonométriques les plus simples.
Le quotient de la division du cosinus de l'angle alpha par le sinus du même angle est égal à la cotangente du même angle (Formule 2)
La sécante d'un angle est égale à un divisé par le cosinus du même angle (Formule 3)
La somme des carrés du sinus et du cosinus d'un même angle est égale à un (formule 4). voir aussi la preuve de la somme des carrés du cosinus et du sinus.
La somme de l'unité et de la tangente de l'angle est égale au rapport de l'unité au carré du cosinus de cet angle (Formule 5)
L'unité plus la cotangente de l'angle est égale au quotient de la division de l'unité par le sinus carré de cet angle (Formule 6)
Le produit de la tangente et de la cotangente d'un même angle est égal à un (formule 7).
Conversion des angles négatifs des fonctions trigonométriques (pairs et impairs)
Afin de se débarrasser de la valeur négative de la mesure en degrés de l'angle lors du calcul du sinus, du cosinus ou de la tangente, vous pouvez utiliser les transformations trigonométriques suivantes (identités) basées sur les principes des fonctions trigonométriques paires ou impaires.
Comme vu, cosinus et sécante est même fonction, sinus, tangente et cotangente sont des fonctions impaires.
Le sinus d'un angle négatif est égal à la valeur négative du sinus de ce même angle positif (moins le sinus d'alpha).
Le cosinus "moins alpha" donnera la même valeur que le cosinus de l'angle alpha.
Tangente moins alpha est égal à moins tangente alpha.
Formules de réduction d'angle double (sinus, cosinus, tangente et cotangente d'un angle double)
Si vous avez besoin de diviser l'angle en deux, ou inversement, passer d'un angle double à un seul, vous pouvez utiliser les identités trigonométriques suivantes :
Conversion à double angle (sinus à double angle, cosinus à double angle et tangente à double angle) en un seul se déroule selon les règles suivantes :
Sinus d'un angle double est égal au double du produit du sinus et du cosinus d'un même angle
Cosinus d'un angle double est égal à la différence entre le carré du cosinus d'un seul angle et le carré du sinus de cet angle
Cosinus d'un angle doubleégal à deux fois le carré du cosinus d'un seul angle moins un
Cosinus d'un angle double est égal à un moins le double sinus carré d'un seul angle
Tangente à angle double est égal à une fraction dont le numérateur est le double de la tangente d'un seul angle et dont le dénominateur est égal à un moins la tangente du carré d'un seul angle.
Cotangente à angle double est égal à une fraction dont le numérateur est le carré de la cotangente d'un seul angle moins un, et le dénominateur est égal au double de la cotangente d'un seul angle
Formules universelles de substitution trigonométrique
Les formules de conversion ci-dessous peuvent être utiles lorsque vous devez diviser l'argument de la fonction trigonométrique (sin α, cos α, tg α) par deux et amener l'expression à la valeur de la moitié de l'angle. De la valeur de α nous obtenons α/2 .Ces formules sont appelées formules de la substitution trigonométrique universelle. Leur valeur réside dans le fait que l'expression trigonométrique avec leur aide est réduite à l'expression de la tangente d'un demi-angle, quelles que soient les fonctions trigonométriques (sin cos tg ctg) qui se trouvaient à l'origine dans l'expression. Après cela, l'équation avec la tangente d'un demi-angle est beaucoup plus facile à résoudre.
Identités de transformation trigonométrique demi-angle
Voici les formules pour la conversion trigonométrique de la moitié de la valeur d'un angle en sa valeur entière.La valeur de l'argument de la fonction trigonométrique α/2 est réduite à la valeur de l'argument de la fonction trigonométrique α.
Formules trigonométriques pour ajouter des angles
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α
sin (α - β) = sin α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
Tangente et cotangente de la somme des angles alpha et beta peuvent être convertis selon les règles suivantes pour convertir les fonctions trigonométriques :
Tangente de la somme des angles est égal à une fraction dont le numérateur est la somme de la tangente du premier et de la tangente du deuxième angle, et le dénominateur est un moins le produit de la tangente du premier angle et de la tangente du deuxième angle.
Tangente de différence d'angle est égal à une fraction dont le numérateur est égal à la différence entre la tangente de l'angle réduit et la tangente de l'angle à soustraire, et dont le dénominateur est un plus le produit des tangentes de ces angles.
Cotangente de la somme des angles est égal à une fraction dont le numérateur est égal au produit des cotangentes de ces angles plus un, et le dénominateur est égal à la différence entre la cotangente du deuxième angle et la cotangente du premier angle.
Cotangente de la différence d'angle est égal à une fraction dont le numérateur est le produit des cotangentes de ces angles moins un, et le dénominateur est égal à la somme des cotangentes de ces angles.
Ces identités trigonométriques sont pratiques à utiliser lorsque vous devez calculer, par exemple, la tangente de 105 degrés (tg 105). S'il est représenté par tg (45 + 60), vous pouvez utiliser les transformations identiques données de la tangente de la somme des angles, après quoi vous substituez simplement les valeurs tabulaires de la tangente de 45 et de la tangente de 60 degrés.
Formules pour convertir la somme ou la différence de fonctions trigonométriques
Les expressions représentant la somme de la forme sin α + sin β peuvent être converties à l'aide des formules suivantes :
Formules à trois angles - convertir sin3α cos3α tg3α en sinα cosα tgα
Parfois, il est nécessaire de convertir la valeur triple de l'angle pour que l'angle α devienne l'argument de la fonction trigonométrique au lieu de 3α.Dans ce cas, vous pouvez utiliser les formules (identités) pour la transformation de l'angle triple :
Formules pour transformer le produit de fonctions trigonométriques
S'il devient nécessaire de convertir le produit de sinus d'angles différents de cosinus d'angles différents, ou même le produit de sinus et cosinus, alors vous pouvez utiliser les identités trigonométriques suivantes :
Dans ce cas, le produit des fonctions sinus, cosinus ou tangente de différents angles sera converti en une somme ou une différence.
Formules pour réduire les fonctions trigonométriques
Vous devez utiliser la table de distribution comme suit. Dans la ligne, sélectionnez la fonction qui nous intéresse. La colonne est un angle. Par exemple, le sinus de l'angle (α+90) à l'intersection de la première ligne et de la première colonne, on trouve que sin (α+90) = cos α .
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