Il y aura également des tâches pour une solution indépendante, dont vous pourrez voir les réponses.
Les formules de multiplication abrégées vous permettent d'effectuer des transformations identiques d'expressions - polynômes. Avec leur aide, les polynômes peuvent être factorisés et, en utilisant les formules dans l'ordre inverse, les produits des binômes, des carrés et des cubes peuvent être représentés sous forme de polynômes. Considérons toutes les formules généralement acceptées pour la multiplication abrégée, leur dérivation, les tâches courantes pour les transformations identiques d'expressions utilisant ces formules, ainsi que les devoirs (les réponses sont ouvertes par des liens).
carré somme
La formule du carré de la somme est l'égalité
(le carré de la somme de deux nombres est égal au carré du premier nombre plus deux fois le produit du premier nombre et du second plus le carré du second nombre).
À la place de un et b n'importe quel nombre peut être substitué dans cette formule.
La formule somme carrée est souvent utilisée pour simplifier les calculs. Par example,
En utilisant la formule somme carrée, le polynôme peut être factorisé, c'est-à-dire représenté comme un produit de deux facteurs identiques.
Exemple 1
.
Exemple 2Écrire sous forme d'expression polynomiale
Décision. Par la formule du carré de la somme, on obtient
Le carré de la différence
La formule du carré de la différence est l'égalité
(le carré de la différence entre deux nombres est égal au carré du premier nombre moins deux fois le produit du premier nombre et du second plus le carré du second nombre).
La formule de la différence au carré est souvent utilisée pour simplifier les calculs. Par example,
En utilisant la formule du carré des différences, le polynôme peut être factorisé, c'est-à-dire représenté comme un produit de deux facteurs identiques.
La formule découle de la règle de multiplication d'un polynôme par un polynôme :
Exemple 5Écrire sous forme d'expression polynomiale
Décision. Par la formule du carré de la différence, on obtient
.
Appliquez vous-même la formule de multiplication abrégée, puis voyez la solution
Sélection carrée complète
Souvent, un polynôme du second degré contient le carré de la somme ou de la différence, mais est contenu sous une forme cachée. Pour obtenir explicitement le carré complet, vous devez transformer le polynôme. Pour ce faire, en règle générale, l'un des termes du polynôme est représenté par un produit double, puis le même nombre est ajouté et soustrait du polynôme.
Exemple 7
Décision. Ce polynôme peut être transformé comme suit :
Nous avons présenté ici 5 X sous la forme d'un produit double de 5/2 par X, ajouté au polynôme et soustrait de celui-ci le même nombre, puis appliqué la formule somme carrée pour le binôme.
On a donc prouvé l'égalité
,
est égal à un carré complet plus le nombre .
Exemple 8 Considérons un polynôme du second degré
Décision. Faisons les transformations suivantes dessus :
Nous avons présenté ici 8 X sous la forme d'un produit double X par 4, ajouté au polynôme et soustrait de celui-ci le même nombre 4², appliqué la formule du carré de différence pour le binôme X − 4 .
On a donc prouvé l'égalité
,
montrant qu'un polynôme du second degré
est égal à un carré complet plus le nombre −16.
Appliquez vous-même la formule de multiplication abrégée, puis voyez la solution
cube somme
La formule du cube somme est l'égalité
(le cube de la somme de deux nombres est égal au cube du premier nombre plus trois fois le carré du premier nombre fois le second, plus trois fois le produit du premier nombre fois le carré du second, plus le cube du deuxième nombre).
La formule du cube somme est dérivée comme suit :
Exemple 10Écrire sous forme d'expression polynomiale
Décision. D'après la formule du cube somme, on obtient
Appliquez vous-même la formule de multiplication abrégée, puis voyez la solution
cube de différence
La formule du cube différence est l'égalité
(le cube de la différence de deux nombres est égal au cube du premier nombre moins trois fois le carré du premier nombre et du second, plus trois fois le produit du premier nombre et du carré du second moins le cube de le deuxième chiffre).
À l'aide de la formule du cube somme, le polynôme peut être décomposé en facteurs, à savoir qu'il peut être représenté comme un produit de trois facteurs identiques.
La formule du cube de différence est dérivée comme suit :
Exemple 12.Écrire sous forme d'expression polynomiale
Décision. En utilisant la formule du cube différence, on obtient
Appliquez vous-même la formule de multiplication abrégée, puis voyez la solution
Différence de carrés
La formule de la différence des carrés est l'égalité
(la différence des carrés de deux nombres est égale au produit de la somme de ces nombres et de leur différence).
En utilisant la formule du cube, les sommes de tout polynôme de la forme peuvent être factorisées.
La preuve de la formule a été obtenue en utilisant la règle de multiplication des polynômes :
Exemple 14Écrire le produit sous la forme d'un polynôme
.
Décision. Par la formule de la différence des carrés, on obtient
Exemple 15 Factoriser
Décision. Cette expression sous une forme explicite ne correspond à aucune identité. Mais le nombre 16 peut être représenté comme une puissance de base 4 : 16=4². Alors l'expression originale prendra une forme différente :
,
et c'est la formule de la différence des carrés, et en appliquant cette formule, on obtient
Lors du calcul de polynômes algébriques, pour simplifier les calculs, nous utilisons formules de multiplication abrégées. Il existe sept formules de ce type au total. Ils doivent tous être connus par cœur.
Il convient également de rappeler qu'au lieu de "a" et "b" dans les formules, il peut y avoir à la fois des nombres et tout autre polynôme algébrique.
Différence de carrés
Se souvenir!
Différence de carrés deux nombres est égal au produit de la différence de ces nombres par leur somme.
une 2 - b 2 = (une - b)(a + b)- 15 2 − 2 2 = (15 − 2)(15 + 2) = 13 17 = 221
- 9a 2 − 4b 2 avec 2 = (3a − 2bc)(3a + 2bc)
carré somme
Se souvenir!
Le carré de la somme de deux nombres est égal au carré du premier nombre plus deux fois le produit du premier nombre et du second plus le carré du second nombre.
(un + b) 2 = une 2 + 2ab + b 2
Notez qu'avec cette formule de multiplication réduite, il est facile de trouver les carrés des grands nombres sans utiliser de calculatrice ou de longues multiplications. Expliquons avec un exemple :
Trouver 112 2 .
- Décomposons 112 en la somme de nombres dont nous nous souvenons bien des carrés.
112 = 100 + 1 - Nous écrivons la somme des nombres entre parenthèses et plaçons un carré sur les parenthèses.
112 2 = (100 + 12) 2 - Utilisons la formule somme carrée :
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 100 12 + 12 2 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544
Rappelez-vous que la formule de la somme au carré est également valable pour tous les polynômes algébriques.
- (8a + c) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2
Avertissement!
(a + b) 2 n'est pas égal à (a 2 + b 2)Le carré de la différence
Se souvenir!
Le carré de la différence entre deux nombres est égal au carré du premier nombre moins deux fois le produit du premier et du second plus le carré du second nombre.
(un − b) 2 = une 2 − 2ab + b 2
Il convient également de rappeler une transformation très utile :
(a - b) 2 = (b - a) 2La formule ci-dessus se prouve en développant simplement les parenthèses :
(a - b) 2 = une 2 -2ab + b 2 = b 2 - 2ab + une 2 = (b - a) 2cube somme
Se souvenir!
Le cube de la somme de deux nombres est égal au cube du premier nombre plus trois fois le carré du premier nombre fois le second plus trois fois le produit du premier fois le carré du second plus le cube du second.
(une + b) 3 = une 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Comment se souvenir du cube somme
Se souvenir de cette formule "terrible" est assez simple.
- Apprenez que "un 3" vient au début.
- Les deux polynômes du milieu ont des coefficients de 3.
- Rappelons que tout nombre à la puissance zéro est 1. (a 0 = 1, b 0 = 1) . Il est facile de voir que dans la formule il y a une diminution du degré "a" et une augmentation du degré "b". Vous pouvez vérifier ceci :
(une + b) 3 = une 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 une 0 = une 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Avertissement!
(a + b) 3 n'est pas égal à a 3 + b 3cube de différence
Se souvenir!
cube de différence deux nombres est égal au cube du premier nombre moins trois fois le carré du premier nombre fois le second plus trois fois le produit du premier nombre fois le carré du second moins le cube du second.
(une - b) 3 = une 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
Cette formule est mémorisée comme la précédente, mais en ne tenant compte que de l'alternance des signes "+" et "-". Il y a un « + » devant le premier membre « un 3 » (selon les règles des mathématiques, on ne l'écrit pas). Cela signifie que le membre suivant sera précédé de "-", puis de nouveau "+", etc.
(a - b) 3 = + une 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = une 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3Somme de cubes
A ne pas confondre avec le cube somme !
Se souvenir!
Somme de cubes est égal au produit de la somme de deux nombres par le carré incomplet de la différence.
une 3 + b 3 = (une + b)(a 2 - ab + b 2)La somme des cubes est le produit de deux parenthèses.
- La première parenthèse est la somme de deux nombres.
- La deuxième parenthèse est le carré incomplet de la différence des nombres. Le carré incomplet de la différence s'appelle l'expression :
(a 2 − ab + b 2)
Ce carré est incomplet, puisqu'au milieu, au lieu d'un produit double, il y a un produit ordinaire de nombres.
Différence de cubes
A ne pas confondre avec le cube différence !
Se souvenir!
Différence de cubes est égal au produit de la différence de deux nombres par le carré incomplet de la somme.
une 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2)Soyez prudent lorsque vous écrivez des caractères.
Application de formules de multiplication abrégées
Il convient de rappeler que toutes les formules ci-dessus sont également utilisées de droite à gauche.
De nombreux exemples dans les manuels sont conçus pour que vous puissiez utiliser des formules pour assembler le dos polynomial.
- une 2 + 2a + 1 = (une + 1) 2
- (ac - 4b)(ac + 4b) = une 2 c 2 - 16b 2
Vous pouvez télécharger un tableau avec toutes les formules de multiplication abrégée dans la section "
L'un des premiers sujets étudiés dans un cours d'algèbre sont les formules de multiplication abrégée. En 7e année, ils sont utilisés dans les situations les plus simples, où il s'agit de reconnaître une des formules de l'expression et de factoriser le polynôme ou, à l'inverse, de mettre rapidement au carré ou au cube la somme ou la différence. À l'avenir, le FSU sera utilisé pour résoudre rapidement des inégalités et des équations, et même pour calculer certaines expressions numériques sans calculatrice.
A quoi ressemble la liste des formules ?
Il existe 7 formules de base qui vous permettent de multiplier rapidement les polynômes entre parenthèses.
Parfois, cette liste comprend également une expansion du quatrième degré, qui découle des identités présentées et a la forme :
a⁴ - b⁴ = (a - b)(a + b)(a² + b²).
Toutes les égalités ont une paire (somme - différence), à l'exception de la différence des carrés. Il n'y a pas de formule pour la somme des carrés.
Le reste des égalités est facile à retenir.:
Il convient de rappeler que les FSO fonctionnent dans tous les cas et pour toutes les valeurs. un et b: il peut s'agir à la fois de nombres arbitraires et d'expressions entières.
Dans une situation où vous ne pouvez plus vous rappeler quel signe se trouve dans la formule devant l'un ou l'autre terme, vous pouvez ouvrir les crochets et obtenir le même résultat qu'après avoir utilisé la formule. Par exemple, si un problème survient lors de l'application de la FSU du cube de différence, vous devez écrire l'expression d'origine et faire la multiplication un par un:
(a - b)³ = (a - b)(a - b)(a - b) = (a² - ab - ab + b²)(a - b) = a³ - a²b - a²b + ab² - a²b + ab² + ab² - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³.
En conséquence, après avoir réduit tous ces termes, le même polynôme a été obtenu comme dans le tableau. Les mêmes manipulations peuvent être effectuées avec tous les autres FSO.
Application de FSO pour résoudre des équations
Par exemple, vous devez résoudre une équation contenant polynôme du 3ème degré:
x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.
Le programme scolaire ne prend pas en compte les techniques universelles de résolution des équations cubiques, et ces tâches sont le plus souvent résolues par des méthodes plus simples (par exemple, la factorisation). Si vous remarquez que le côté gauche de l'identité ressemble au cube de la somme, alors l'équation peut être écrite sous une forme plus simple :
(x + 1)³ = 0.
La racine d'une telle équation est calculée oralement : x=-1.
Les inégalités sont résolues de la même manière. Par exemple, on peut résoudre l'inégalité x³ - 6x² + 9x > 0.
Tout d'abord, il est nécessaire de décomposer l'expression en facteurs. Vous devez d'abord retirer les supports X. Après cela, vous devez faire attention à ce que l'expression entre parenthèses puisse être convertie au carré de la différence.
Ensuite, vous devez trouver les points auxquels l'expression prend des valeurs nulles et les marquer sur la droite numérique. Dans un cas particulier, ce seront 0 et 3. Ensuite, en utilisant la méthode des intervalles, déterminez dans quels intervalles x satisfera la condition d'inégalité.
Les FSO peuvent être utiles dans la réalisation quelques calculs sans l'aide d'une calculatrice:
703² - 203² = (703 + 203)(703 - 203) = 906 ∙ 500 = 453000.
De plus, en factorisant des expressions, vous pouvez facilement réduire des fractions et simplifier diverses expressions algébriques.
Exemples de tâches pour les 7e et 8e années
En conclusion, nous analyserons et résoudrons deux tâches pour l'application de formules de multiplication abrégées en algèbre.
Tâche 1. Simplifiez l'expression :
(m + 3)² + (3m + 1)(3m - 1) - 2m (5m + 3).
Décision. Dans la condition de l'affectation, il est nécessaire de simplifier l'expression, c'est-à-dire ouvrir les crochets, effectuer les opérations de multiplication et d'exponentiation, et également apporter tous ces termes. Nous divisons conditionnellement l'expression en trois parties (selon le nombre de termes) et ouvrons les crochets un par un, en utilisant le FSU si possible.
- (m + 3)² = m² + 6m + 9(somme au carré);
- (3m + 1)(3m - 1) = 9m² - 1(différence de carrés);
- Dans le dernier terme, vous devez effectuer la multiplication : 2m (5m + 3) = 10m² + 6m.
Remplacez les résultats dans l'expression d'origine :
(m² + 6m + 9) + (9m² - 1) - (10m² + 6m).
Compte tenu des signes, nous ouvrons les parenthèses et donnons comme termes :
m² + 6m + 9 + 9m² 1 - 10m² - 6m = 8.
Tâche 2. Résolvez l'équation contenant l'inconnue k à la puissance 5 :
k⁵ + 4k⁴ + 4k³ - 4k² - 4k = k³.
Décision. Dans ce cas, il est nécessaire d'utiliser l'OFS et la méthode de regroupement. Nous devons transférer les derniers et avant-derniers termes du côté droit de l'identité.
k⁵ + 4k⁴ + 4k³ = k³ + 4k² + 4k.
Le multiplicateur commun est tiré des parties droite et gauche (k² + 4k +4):
k³(k² + 4k + 4) = k(k² + 4k + 4).
Tout est transféré du côté gauche de l'équation de sorte que 0 reste du côté droit :
k³(k² + 4k + 4) - k(k² + 4k + 4) = 0.
Encore une fois, vous devez retirer le facteur commun:
(k³ - k)(k² + 4k + 4) = 0.
Du premier facteur obtenu, on peut déduire k. Selon la formule de multiplication courte, le deuxième facteur sera identiquement égal à (k + 2)²:
k (k² - 1)(k + 2)² = 0.
En utilisant la formule de la différence des carrés :
k (k - 1)(k + 1)(k + 2)² = 0.
Puisque le produit vaut 0 si au moins un de ses facteurs est nul, il ne sera pas difficile de trouver toutes les racines de l'équation :
- k = 0 ;
- k-1 = 0 ; k = 1 ;
- k + 1 = 0 ; k = -1 ;
- (k + 2)² = 0 ; k = -2.
Sur la base d'exemples illustratifs, on peut comprendre comment mémoriser les formules, leurs différences, et également résoudre plusieurs problèmes pratiques en utilisant FSU. Les tâches sont simples et ne devraient pas être difficiles à accomplir.
Contenu de la leçon
Le carré de la somme de deux expressions
Il existe un certain nombre de cas où la multiplication d'un polynôme par un polynôme peut être grandement simplifiée. Tel est par exemple le cas (2 X+ 3y) 2 .
Expression (2 X+ 3y) 2 est la multiplication de deux polynômes dont chacun est égal à (2 X+ 3y)
(2X+ 3y) 2 = (2X+ 3y)(2X+ 3y)
Nous avons obtenu la multiplication d'un polynôme par un polynôme. Exécutons-le :
(2X+ 3y) 2 = (2X+ 3y)(2X+ 3y) = 4X 2 + 6xy + 6xy + 9y 2 = 4X 2 + 12xy+ 9y 2
Autrement dit, l'expression (2 X+ 3y) 2 est égal à 4X 2 + 12xy + 9y 2
(2X+ 3y) 2 = 4X 2 + 12xy+ 9y 2
Résolvons un exemple similaire, qui est plus simple :
(a+b) 2
Expression ( a+b) 2 est la multiplication de deux polynômes dont chacun est égal à ( a+b)
(a+b) 2 = (a+b)(a+b)
Faisons cette multiplication :
(a+b) 2 = (a+b)(a+b) = un 2 + un B + un B + b 2 = un 2 + 2un B + b 2
C'est l'expression (a+b) 2 est égal à un 2 + 2un B + b 2
(a+b) 2 = un 2 + 2un B + b 2
Il s'avère que le cas ( a+b) 2 peut être prolongé pour tout un et b. Le premier exemple que nous avons résolu, à savoir (2 X+ 3y) 2 peut être résolu en utilisant l'identité (a+b) 2 = un 2 + 2un B + b 2 . Pour ce faire, vous devez substituer au lieu de variables un et b termes correspondants de l'expression (2 X+ 3y) 2 . Dans ce cas, la variable un match bite 2 X, et la variable b correspondre à la bite 3 y
un = 2X
b = 3y
Et puis nous pouvons utiliser l'identité (a+b) 2 = un 2 + 2un B + b 2 , mais au lieu de variables un et b vous devez remplacer les expressions 2 X et 3 y respectivement:
(2X+ 3y) 2 = (2X) 2 + 2 × 2 X× 3 y + (3y) 2 = 4X 2 + 12xy+ 9y 2
Comme la dernière fois, on a un polynôme 4X 2 + 12xy+ 9y 2 . La solution est généralement écrite plus courte, effectuant toutes les transformations élémentaires dans l'esprit :
(2X+ 3y) 2 = 4X 2 + 12xy+ 9y 2
Identité (a+b) 2 = un 2 + 2un B + b 2 s'appelle la formule du carré de la somme de deux expressions. Cette formule peut être lue comme suit :
Le carré de la somme de deux expressions est égal au carré de la première expression plus deux fois le produit de la première expression et de la seconde plus le carré de la deuxième expression.
Considérons l'expression (2 + 3) 2 . Il peut être calculé de deux manières : effectuer une addition entre parenthèses et mettre le résultat au carré, ou utiliser la formule du carré de la somme de deux expressions.
Première manière :
(2 + 3) 2 = 5 2 = 25
Deuxième manière :
(2 + 3) 2 = 2 2 + 2 × 2 × 3 + 3 2 = 4 + 12 + 9 = 25
Exemple 2. Convertir l'expression (5 un+ 3) 2 en un polynôme.
Utilisons la formule du carré de la somme de deux expressions :
(a+b) 2 = un 2 + 2un B + b 2
(5un + 3) 2 = (5un) 2 + 2 × 5 un × 3 + 3 2 = 25un 2 + 30un + 9
Moyens, (5un + 3) 2 = 25un 2 + 30un + 9.
Essayons de résoudre cet exemple sans utiliser la formule somme carrée. Nous devrions obtenir le même résultat :
(5un + 3) 2 = (5un + 3)(5un + 3) = 25un 2 + 15un + 15un + 9 = 25un 2 + 30un + 9
La formule du carré de la somme de deux expressions a une signification géométrique. Nous nous souvenons que pour calculer l'aire d'un carré, vous devez élever son côté à la puissance seconde.
Par exemple, l'aire d'un carré de côté un sera égal à un 2. Si vous augmentez le côté du carré de b, alors l'aire sera égale à ( a+b) 2
Considérez la figure suivante :
Imaginez que le côté du carré représenté sur cette figure soit augmenté de b. Un carré a tous ses côtés égaux. Si son côté est augmenté de b, alors les autres côtés augmenteront également de b
Le résultat est un nouveau carré, plus grand que le précédent. Pour bien le voir, complétons les côtés manquants :
Pour calculer l'aire de ce carré, vous pouvez calculer séparément les carrés et les rectangles qu'il contient, puis ajouter les résultats.
Tout d'abord, vous pouvez calculer un carré de côté un- son aire sera égale à un 2. Ensuite, vous pouvez calculer des rectangles avec des côtés un et b- ils seront égaux un B. Ensuite, vous pouvez calculer un carré de côté b
Le résultat est la somme des aires suivante :
un 2 + ab+ab + b 2
La somme des aires de rectangles identiques peut être remplacée en multipliant 2 un B, ce qui signifie littéralement "répéter deux fois l'aire du rectangle ab" . Algébriquement, cela s'obtient en réduisant les termes semblables un B et un B. Le résultat est une expression un 2 + 2un B+ b 2 , qui est le côté droit de la formule du carré de la somme de deux expressions :
(a+b) 2 = un 2 + 2un B+ b 2
Le carré de la différence de deux expressions
La formule du carré de la différence de deux expressions est la suivante :
(un B) 2 = un 2 − 2un B + b 2
Le carré de la différence de deux expressions est égal au carré de la première expression moins deux fois le produit de la première expression et de la seconde plus le carré de la deuxième expression.
La formule du carré de la différence de deux expressions est dérivée de la même manière que la formule du carré de la somme de deux expressions. Expression ( un B) 2 est le produit de deux polynômes dont chacun est égal à ( un B)
(un B) 2 = (un B)(un B)
Si vous effectuez cette multiplication, vous obtenez un polynôme un 2 − 2un B + b 2
(un B) 2 = (un B)(un B) = un 2 − un B− un B+ b 2 = un 2 − 2un B + b 2
Exemple 1. Convertir l'expression (7 X− 5) 2 en un polynôme.
Utilisons la formule du carré de la différence de deux expressions :
(un B) 2 = un 2 − 2un B + b 2
(7X− 5) 2 = (7X) 2 − 2 × 7 x × 5 + 5 2 = 49X 2 − 70X + 25
Moyens, (7X− 5) 2 = 49X 2 + 70X + 25.
Essayons de résoudre cet exemple sans utiliser la formule du carré des différences. Nous devrions obtenir le même résultat :
(7X− 5) 2 = (7X− 5) (7X− 5) = 49X 2 − 35X − 35X + 25 = 49X 2 − 70X+ 25.
La formule du carré de la différence de deux expressions a aussi une signification géométrique. Si l'aire d'un carré de côté un est égal à un 2 , puis l'aire du carré dont le côté est réduit de b, sera égal à ( un B) 2
Considérez la figure suivante :
Imaginez que le côté du carré représenté sur cette figure soit réduit de b. Un carré a tous ses côtés égaux. Si un côté est réduit de b, alors les autres côtés diminueront également de b
Le résultat est un nouveau carré, plus petit que le précédent. Il est surligné en jaune sur la figure. Son côté est un− b depuis l'ancien côté un diminué de b. Pour calculer l'aire de ce carré, vous pouvez utiliser l'aire d'origine du carré un 2 soustrayez les aires des rectangles obtenus lors du processus de réduction des côtés de l'ancien carré. Montrons ces rectangles :
On peut alors écrire l'expression suivante : zone ancienne un 2 zone moins un B zone moins ( un B)b
un 2 − un B − (un B)b
Développez les crochets dans l'expression ( un B)b
un 2 − ab - ab + b 2
Voici des termes similaires :
un 2 − 2un B + b 2
Le résultat est une expression un 2 − 2un B + b 2 , qui est le côté droit de la formule du carré de la différence de deux expressions :
(un B) 2 = un 2 − 2un B + b 2
Les formules du carré de la somme et du carré de la différence sont généralement appelées formules de multiplication abrégées. Ces formules vous permettent de simplifier et d'accélérer considérablement le processus de multiplication des polynômes.
Nous avons dit précédemment que si l'on considère un membre d'un polynôme séparément, il doit être considéré avec le signe qui se trouve devant lui.
Mais lors de l'application des formules de multiplication abrégées, le signe du polynôme d'origine ne doit pas être considéré comme le signe de ce terme lui-même.
Par exemple, étant donné l'expression (5 X − 2y) 2 , et nous voulons utiliser la formule (un B) 2 = un 2 − 2un B + b 2 , alors au lieu de b besoin de remplacer 2 y, pas −2 y. C'est une caractéristique du travail avec des formules qu'il ne faut pas oublier.
(5X − 2y) 2
un = 5X
b = 2y
(5X − 2y) 2 = (5X) 2 − 2 × 5 X×2 y + (2y) 2 = 25X 2 − 20xy + 4y 2
Si on substitue −2 y, cela signifie que la différence entre les parenthèses de l'expression originale a été remplacée par la somme :
(5X − 2y) 2 = (5X + (−2y)) 2
et dans ce cas il faut appliquer non pas la formule du carré de la différence, mais la formule du carré de la somme :
(5X + (−2y) 2
un = 5X
b = −2y
(5X + (−2y)) 2 = (5X) 2 + 2 × 5 X× (−2 y) + (−2y) 2 = 25X 2 − 20xy + 4y 2
Une exception peut être les expressions de la forme (X− (−y)) 2 . Dans ce cas, en utilisant la formule (un B) 2 = un 2 − 2un B + b 2 à la place de b doit être remplacé (− y)
(X− (−y)) 2 = X 2 − 2 × X× (− y) + (−y) 2 = X 2 + 2xy + y 2
Mais les expressions au carré de la forme X − (−y) , il sera plus commode de remplacer la soustraction par l'addition x+y. Alors l'expression originale prendra la forme ( x +y) 2 et il sera possible d'utiliser la formule du carré de la somme, et non la différence :
(x +y) 2 = X 2 + 2xy + y 2
Cube somme et cube différence
Les formules du cube de la somme de deux expressions et du cube de la différence de deux expressions sont les suivantes :
(un + b) 3 = un 3 + 3un 2 b + 3un B 2 + b 3
(un B) 3 = un 3 − 3un 2 b + 3un B 2 − b 3
La formule du cube de la somme de deux expressions peut être lue comme ceci :
Le cube de la somme de deux expressions est égal au cube de la première expression plus trois fois le carré de la première expression fois la seconde plus trois fois le produit de la première expression fois le carré de la seconde plus le cube de la seconde expression.
Et la formule du cube de la différence de deux expressions peut être lue comme suit :
Le cube de la différence de deux expressions est égal au cube de la première expression moins trois fois le produit du carré de la première expression et de la seconde plus trois fois le produit de la première expression et du carré de la seconde moins le cube de la seconde expression.
Lors de la résolution de problèmes, il est souhaitable de connaître ces formules par cœur. Si vous ne vous en souvenez pas, ne vous inquiétez pas ! Vous pouvez les retirer vous-même. Nous savons déjà comment.
Dérivons nous-mêmes la formule du cube somme :
(a+b) 3
Expression ( a+b) 3 est un produit de trois polynômes dont chacun est égal à ( un+ b)
(a+b) 3 = (un+ b)(un+ b)(un+ b)
Mais l'expression ( a+b) 3 peut aussi s'écrire (un+ b)(un+ b) 2
(a+b) 3 = (un+ b)(un+ b) 2
Dans ce cas, le facteur ( un+ b) 2 est le carré de la somme des deux expressions. Ce carré de la somme est égal à l'expression un 2 + 2un B + b 2 .
Puis ( a+b) 3 peut s'écrire (un+ b)(un 2 + 2un B + b 2) .
(a+b) 3 = (un+ b)(un 2 + 2un B + b 2)
Et c'est la multiplication d'un polynôme par un polynôme. Exécutons-le :
(a+b) 3 = (un+ b)(un 2 + 2un B + b 2) = un 3 + 2un 2 b + un B 2 + un 2 b + 2un B 2 + b 3 = un 3 + 3un 2 b + 3un B 2 + b 3
De même, vous pouvez dériver la formule du cube de la différence de deux expressions :
(un B) 3 = (un- b)(un 2 − 2un B + b 2) = un 3 − 2un 2 b + un B 2 − un 2 b + 2un B 2 − b 3 = un 3 − 3un 2 b+ 3un B 2 − b 3
Exemple 1. Convertissez l'expression ( X+ 1) 3 en un polynôme.
(un + b) 3 = un 3 + 3un 2 b + 3un B 2 + b 3
(X+ 1) 3 = X 3+3× X 2×1 + 3× X× 1 2 + 1 3 = X 3 + 3X 2 + 3X + 1
Essayons de résoudre cet exemple sans utiliser la formule du cube de la somme de deux expressions
(X+ 1) 3 = (X+ 1)(X+ 1)(X+ 1) = (X+ 1)(X 2 + 2X + 1) = X 3 + 2X 2 + X + X 2 + 2X + 1 = X 3 + 3X 2 + 3X + 1
Exemple 2. Convertir l'expression (6un 2 + 3b 3) 3 en un polynôme.
Utilisons la formule du cube pour la somme de deux expressions :
(un + b) 3 = un 3 + 3un 2 b + 3un B 2 + b 3
(6un 2 + 3b 3) 3 = (6un 2) 3 + 3 × (6 un 2) 2×3 b 3+3×6 un 2 × (3b 3) 2 + (3b 3) 3 = 216un 6+3×36 un 4×3 b 3+3×6 un 2×9 b 6 + 27b 9
Exemple 3. Convertir l'expression ( n 2 − 3) 3 en un polynôme.
(un B) = un 3 − 3un 2 b + 3un B 2 − b 3
(n 2 − 3) 3 = (n 2) 3 − 3 × ( n 2) 2×3 + 3× n 2 × 3 2 − 3 3 = n 6 − 9n 4 + 27n 2 − 27
Exemple 4. Convertir l'expression (2X 2 − X 3) 3 en un polynôme.
Utilisons la formule du cube de la différence de deux expressions :
(un B) = un 3 − 3un 2 b + 3un B 2 − b 3
(2X 2 − X 3) 3 = (2X 2) 3 − 3 × (2 X 2) 2× X 3+3×2 X 2×( X 3) 2 − (X 3) 3 =
8X 6 - 3 × 4 X 4× X 3+3×2 X 2× X 6 − X 9 =
8X 6 − 12X 7 + 6X 8 − X 9
Multiplier la différence de deux expressions par leur somme
Il existe des problèmes dans lesquels il est nécessaire de multiplier la différence de deux expressions par leur somme. Par example:
(un B)(a+b)
Dans cette expression, la différence de deux expressions un et b multiplié par la somme des deux mêmes expressions. Faisons cette multiplication :
(un B)(a+b) = un 2 + un B − un B − b 2 = un 2 − b 2
C'est l'expression (un B)(a+b) équivaut à un 2 − b 2
(un B)(a+b) = un 2 − b 2
On voit qu'en multipliant la différence de deux expressions par leur somme, on obtient la différence des carrés de ces expressions.
Le produit de la différence de deux expressions par leur somme est égal à la différence des carrés de ces expressions.
Événement (un B)(a+b) peut être étendu à n'importe quel un et b. En termes simples, si lors de la résolution d'un problème, il est nécessaire de multiplier la différence de deux expressions par leur somme, cette multiplication peut être remplacée par la différence des carrés de ces expressions.
Exemple 1. Effectuer la multiplication (2X − 5)(2X + 5)
Dans cet exemple, la différence d'expression est 2 X et 5 multiplié par la somme de ces mêmes expressions. Alors selon la formule (un B)(a+b) = un 2 − b 2 on a:
(2X − 5)(2X + 5) = (2X) 2 − 5 2
On calcule le côté droit, on obtient 4 X 2 − 25
(2X − 5)(2X + 5) = (2X) 2 − 5 2 = 4X 2 − 25
Essayons de résoudre cet exemple sans utiliser la formule (un B)(a+b) = un 2 − b 2 . Nous obtiendrons le même résultat 4 X 2 − 25
(2X − 5)(2X + 5) = 4X 2 − 10X + 10X − 25 = 4X 2 − 25
Exemple 2. Effectuer la multiplication (4X − 5y)(4X + 5y)
(un B)(a+b) = un 2 − b 2
(4X − 5y)(4X + 5y) = (4X) 2 − (5y) 2 = 16X 2 − 25y 2
Exemple 3. Effectuer la multiplication (2un+ 3b)(2un− 3b)
Utilisons la formule pour multiplier la différence de deux expressions par leur somme :
(un B)(a+b) = un 2 − b 2
(2un + 3b)(2un- 3b) = (2un) 2 − (3b) 2 = 4un 2 − 9b 2
Dans cet exemple, la somme des termes est 2 un et 3 b situé plus tôt que la différence de ces termes. Et dans la formule (un B)(a+b) = un 2 − b 2 la différence se situe plus tôt.
Peu importe la façon dont les facteurs sont disposés ( un B) dans ( a+b) dans la formule. Ils peuvent être écrits comme (un B)(a+b) , et (a+b)(un B) . Le résultat sera toujours un 2 − b 2 , puisque le produit ne change pas d'une permutation des facteurs.
Ainsi, dans cet exemple, les facteurs (2 un + 3b) et 2 un- 3b) peut s'écrire (2un + 3b)(2un- 3b) , et (2un- 3b)(2un + 3b) . Le résultat sera toujours 4. un 2 − 9b 2 .
Exemple 3. Effectuer la multiplication (7 + 3X)(3X − 7)
Utilisons la formule pour multiplier la différence de deux expressions par leur somme :
(un B)(a+b) = un 2 − b 2
(7 + 3X)(3X − 7) = (3X) 2 − 7 2 = 9X 2 − 49
Exemple 4. Effectuer la multiplication (X 2 − y 3)(X 2 + y 3)
(un B)(a+b) = un 2 − b 2
(X 2 − y 3)(X 2 + y 3) = (X 2) 2 − (y 3) 2 = X 4 − y 6
Exemple 5. Effectuer la multiplication (−5X− 3y)(5X− 3y)
Dans l'expression (−5 X− 3y) on enlève −1, alors l'expression originale prendra la forme suivante :
(−5X− 3y)(5X− 3y) = −1(5X + 3y)(5X − 3y)
Travail (5X + 3y)(5X − 3y) remplacer par la différence des carrés :
(−5X− 3y)(5X− 3y) = −1(5X + 3y)(5X − 3y) = −1((5X) 2 − (3y) 2)
La différence des carrés était entre parenthèses. Si cela n'est pas fait, alors il s'avérera que −1 n'est multiplié que par (5 X) 2 . Et cela conduira à une erreur et modifiera la valeur de l'expression d'origine.
(−5X− 3y)(5X− 3y) = −1(5X + 3y)(5X − 3y) = −1((5X) 2 − (3y) 2) = −1(25X 2 − 9X 2)
Multipliez maintenant −1 par l'expression entre parenthèses et obtenez le résultat final :
(−5X− 3y)(5X− 3y) = −1(5X + 3y)(5X − 3y) = −1((5X) 2 − (3y) 2) =
−1(25X 2 − 9y 2) = −25X 2 + 9y 2
Multiplier la différence de deux expressions par le carré incomplet de leur somme
Il y a des problèmes dans lesquels il faut multiplier la différence de deux expressions par le carré incomplet de leur somme. Cette pièce ressemble à ceci :
(un B)(un 2 + un B + b 2)
Premier polynôme ( un B) est la différence de deux expressions, et le deuxième polynôme (un 2 + un B + b 2) est le carré incomplet de la somme de ces deux expressions.
Le carré incomplet de la somme est un polynôme de la forme un 2 + un B + b 2 . Il est similaire au carré habituel de la somme un 2 + 2un B + b 2
Par exemple, l'expression 4X 2 + 6xy + 9y 2 est un carré incomplet de la somme des expressions 2 X et 3 y .
En effet, le premier terme de l'expression 4X 2 + 6xy + 9y 2 , à savoir 4 X 2 est le carré de l'expression 2 X, puisque (2 X) 2 = 4X 2. Le troisième terme de l'expression 4X 2 + 6xy + 9y 2 , à savoir 9 y 2 est le carré de 3 y, car (3 y) 2 = 9y 2. mi bite 6 xy, est le produit des expressions 2 X et 3 y.
Multiplions donc la différence ( un B) par un carré incomplet de la somme un 2 + un B + b 2
(un B)(un 2 + un B + b 2) = un(un 2 + ab + b 2) − b(un 2 + un B + b 2) =
un 3 + un 2 b + un B 2 − un 2 b − un B 2 − b 3 = un 3 − b 3
C'est l'expression (un B)(un 2 + un B + b 2) équivaut à un 3 − b 3
(un B)(un 2 + un B + b 2) = un 3 − b 3
Cette identité s'appelle la formule pour multiplier la différence de deux expressions par le carré incomplet de leur somme. Cette formule peut être lue comme suit :
Le produit de la différence de deux expressions par le carré incomplet de leur somme est égal à la différence des cubes de ces expressions.
Exemple 1. Effectuer la multiplication (2X − 3y)(4X 2 + 6xy + 9y 2)
Premier polynôme (2 X − 3y) est la différence de deux expressions 2 X et 3 y. Deuxième polynôme 4X 2 + 6xy + 9y 2 est le carré incomplet de la somme de deux expressions 2 X et 3 y. Cela nous permet d'utiliser la formule sans faire de longs calculs (un B)(un 2 + un B + b 2) = un 3 − b 3 . Dans notre cas, la multiplication (2X − 3y)(4X 2 + 6xy + 9y 2) peut être remplacé par la différence de cubes 2 X et 3 y
(2X − 3y)(4X 2 + 6xy + 9y 2) = (2X) 3 − (3y) 3 = 8X 3 − 27y 3
(un B)(un 2 + un B+ b 2) = un 3 − b 3 . On obtient le même résultat, mais la solution devient plus longue :
(2X − 3y)(4X 2 + 6xy + 9y 2) = 2X(4X 2 + 6xy + 9y 2) − 3y(4X 2 + 6xy + 9y 2) =
8x3 + 12X 2 y + 18xy 2 − 12X 2 y − 18xy 2 − 27y 3 = 8X 3 − 27y 3
Exemple 2. Effectuer la multiplication (3 − X)(9 + 3X + X 2)
Le premier polynôme (3 − X) est la différence des deux expressions, et le deuxième polynôme est le carré incomplet de la somme de ces deux expressions. Cela nous permet d'utiliser la formule (un B)(un 2 + un B + b 2) = un 3 − b 3
(3 − X)(9 + 3X + X 2) = 3 3 − X 3 = 27 − X 3
Multiplier la somme de deux expressions par le carré incomplet de leur différence
Il existe des problèmes dans lesquels il est nécessaire de multiplier la somme de deux expressions par le carré incomplet de leur différence. Cette pièce ressemble à ceci :
(a+b)(un 2 − un B + b 2)
Premier polynôme ( a+b (un 2 − un B + b 2) est un carré incomplet de la différence de ces deux expressions.
Le carré incomplet de la différence est un polynôme de la forme un 2 − un B + b 2 . Il est similaire à la différence au carré habituelle un 2 − 2un B + b 2 sauf que le produit de la première et de la seconde expression n'y est pas doublé.
Par exemple, l'expression 4X 2 − 6xy + 9y 2 est un carré incomplet de la différence des expressions 2 X et 3 y.
(2X) 2 − 2X× 3 y + (3y) 2 = 4X 2 − 6xy + 9y 2
Revenons à l'exemple initial. Multiplions la somme a+b par le carré incomplet de la différence un 2 − un B + b 2
(a+b)(un 2 − un B + b 2) = un(un 2 − ab + b 2) + b(un 2 − un B + b 2) =
un 3 − un 2 b + un B 2 + un 2 b − un B 2 + b 3 = un 3 + b 3
C'est l'expression (a+b)(un 2 − un B + b 2) équivaut à un 3 + b 3
(a+b)(un 2 − un B + b 2) = un 3 + b 3
Cette identité s'appelle la formule pour multiplier la somme de deux expressions par le carré incomplet de leur différence. Cette formule peut être lue comme suit :
Le produit de la somme de deux expressions par le carré incomplet de leur différence est égal à la somme des cubes de ces expressions.
Exemple 1. Effectuer la multiplication (2X + 3y)(4X 2 − 6xy + 9y 2)
Premier polynôme (2 X + 3y) est la somme de deux expressions 2 X et 3 y, et le deuxième polynôme 4X 2 − 6xy + 9y 2 est le carré incomplet de la différence de ces expressions. Cela nous permet d'utiliser la formule sans faire de longs calculs (a+b)(un 2 − un B + b 2) = un 3 + b 3 . Dans notre cas, la multiplication (2X + 3y)(4X 2 − 6xy + 9y 2) peut être remplacé par la somme des cubes 2 X et 3 y
(2X + 3y)(4X 2 − 6xy + 9y 2) = (2X) 3 + (3y) 3 = 8X 3 + 27y 3
Essayons de résoudre le même exemple sans utiliser la formule (a+b)(un 2 − un B+ b 2) = un 3 + b 3 . On obtient le même résultat, mais la solution devient plus longue :
(2X + 3y)(4X 2 − 6xy + 9y 2) = 2X(4X 2 − 6xy + 9y 2) + 3y(4X 2 − 6xy + 9y 2) =
8X 3 − 12X 2 y + 18xy 2 + 12X 2 y − 18xy 2 + 27y 3 = 8X 3 + 27y 3
Exemple 2. Effectuer la multiplication (2X+ y)(4X 2 − 2xy + y 2)
Premier polynôme (2 X+ y) est la somme de deux expressions, et le deuxième polynôme (4X 2 − 2xy + y 2) est un carré incomplet de la différence de ces expressions. Cela nous permet d'utiliser la formule (a+b)(un 2 − un B+ b 2) = un 3 + b 3
(2X+ y)(4X 2 − 2xy + y 2) = (2X) 3 + y 3 = 8X 3 + y 3
Essayons de résoudre le même exemple sans utiliser la formule (a+b)(un 2 − un B+ b 2) = un 3 + b 3 . On obtient le même résultat, mais la solution devient plus longue :
(2X+ y)(4X 2 − 2xy + y 2) = 2X(4X 2 − 2xy + y 2) + y(4X 2 − 2xy + y 2) =
8X 3 − 4X 2 y + 2xy 2 + 4X 2 y − 2xy 2 + y 3 = 8X 3 + y 3
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Afin de simplifier les polynômes algébriques, il existe formules de multiplication abrégées. Il n'y en a pas beaucoup et ils sont faciles à retenir, mais vous devez vous en souvenir. La notation utilisée dans les formules peut prendre n'importe quelle forme (nombre ou polynôme).
La première formule de multiplication abrégée s'appelle différence de carrés. Cela réside dans le fait que du carré d'un nombre, le carré du deuxième nombre est soustrait égal à la différence entre ces nombres, ainsi que leur produit.
une 2 - b 2 \u003d (une - b) (une + b)
Analysons pour plus de clarté :
22 2 - 4 2 = (22-4)(22+4)=18 * 26 = 468
9a 2 - 4b 2 c 2 = (3a - 2bc)(3a + 2bc)
La deuxième formule sur somme des carrés. Cela ressemble à, la somme de deux valeurs au carré est égale au carré de la première valeur, le double produit de la première valeur multiplié par la seconde lui est ajouté, le carré de la deuxième valeur leur est ajouté.
(une + b) 2 = une 2 + 2ab + b 2
Grâce à cette formule, il devient beaucoup plus facile de calculer le carré d'un grand nombre, sans recourir à la technologie informatique.
Ainsi par exemple : le carré de 112 sera
1) Au début, nous analyserons 112 en nombres dont les carrés nous sont familiers
112 = 100 + 12
2) Nous inscrivons le reçu entre parenthèses au carré
112 2 = (100+12) 2
3) En appliquant la formule, on obtient :
112 2 = (100+12) 2 = 100 2 + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544
La troisième formule est différence au carré. Qui dit que deux valeurs soustraites l'une de l'autre au carré sont égales au fait que, de la première valeur au carré, on soustrait le double produit de la première valeur multiplié par la seconde, en leur ajoutant le carré de la deuxième valeur .
(un + b) 2 \u003d un 2 - 2ab + b 2
où (a - b) 2 est égal à (b - a) 2 . Pour le prouver, (a-b) 2 = a 2 -2ab + b 2 = b 2 -2ab + a 2 = (b-a) 2
La quatrième formule de multiplication abrégée s'appelle cube somme. Ce qui ressemble à: deux termes de la valeur dans le cube sont égaux au cube de 1 valeur, le produit triple de 1 valeur au carré multiplié par la 2ème valeur est ajouté, à eux est ajouté le triple produit de 1 valeur multiplié par le carré de 2 valeur, plus la deuxième valeur au cube.
(a + b) 3 \u003d une 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Le cinquième, comme vous l'avez déjà compris, s'appelle cube de différence. Qui trouve les différences entre les valeurs, à partir de la première désignation dans le cube on soustrait le triple produit de la première désignation au carré multiplié par la seconde, le triple produit de la première désignation multiplié par le carré de la deuxième désignation leur est ajouté , moins la deuxième désignation dans le cube.
(a-b) 3 \u003d une 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
Le sixième s'appelle somme de cubes. La somme des cubes est égale au produit de deux termes multiplié par le carré incomplet de la différence, puisqu'il n'y a pas de valeur doublée au milieu.
une 3 + b 3 \u003d (une + b) (une 2 -ab + b 2)
D'une autre manière, vous pouvez dire que la somme des cubes peut être appelée le produit entre deux parenthèses.
Le septième et dernier s'appelle différence de cubes(il est facile de le confondre avec la formule du cube de différence, mais ce sont des choses différentes). La différence des cubes est égale au produit de la différence de deux valeurs multipliée par le carré incomplet de la somme, puisqu'il n'y a pas de valeur doublée au milieu.
une 3 - b 3 \u003d (a-b) (a 2 + ab + b 2)
Et donc il n'y a que 7 formules de multiplication abrégée, elles se ressemblent et sont faciles à retenir, la seule chose importante est de ne pas se confondre dans les signes. Ils sont également conçus pour être utilisés dans l'ordre inverse et il existe un certain nombre de tâches de ce type rassemblées dans les manuels. Soyez prudent et vous réussirez.
Si vous avez des questions sur les formules, assurez-vous de les écrire dans les commentaires. Nous serons ravis de vous répondre !
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