Comment résoudre des équations cubiques. Comment résoudre des équations cubiques Champ de définition, ensemble de valeurs

Dans une équation cubique, l'exposant le plus élevé est 3, une telle équation a 3 racines (solutions) et ressemble à . Certaines équations cubiques ne sont pas si faciles à résoudre, mais si vous appliquez la bonne méthode (avec une bonne préparation théorique), vous pouvez trouver les racines de l'équation cubique la plus complexe - pour ce faire, utilisez la formule pour résoudre une équation quadratique, trouver des racines entières ou calculer le discriminant.

Pas

Comment résoudre une équation cubique sans terme libre

Savoir s'il y a une interception dans une équation cubique ré (\displaystyle d) . L'équation cubique a la forme une x 3 + b x 2 + c x + ré = 0 (\displaystyle ax^(3)+bx^(2)+cx+d=0). Pour qu'une équation soit considérée comme cubique, il suffit que seul le terme x 3 (\displaystyle x^(3))(c'est-à-dire qu'il peut n'y avoir aucun autre membre).

Sortez-le des crochets X (\displaystyle x) . Puisqu'il n'y a pas de terme libre dans l'équation, chaque terme de l'équation comprend une variable x (\displaystyle x). Cela signifie qu'un x (\displaystyle x) peut être mis entre parenthèses pour simplifier l'équation. Ainsi, l'équation s'écrira comme suit : X (une X 2 + b X + c) (\displaystyle x(ax^(2)+bx+c)).

Factoriser (par le produit de deux binômes) l'équation quadratique (si possible). De nombreuses équations quadratiques de la forme une X 2 + b X + c = 0 (\displaystyle ax^(2)+bx+c=0) peut être factorisé. Une telle équation sera obtenue si x (\displaystyle x) pour les parenthèses. Dans notre exemple :

Résoudre une équation quadratique à l'aide d'une formule spéciale. Faites-le si l'équation quadratique ne peut pas être factorisée. Pour trouver deux racines d'une équation, les valeurs des coefficients un (\displaystyle un), b (\ displaystyle b), c (\ displaystyle c) brancher sur la formule.

• Dans notre exemple, substituez les valeurs des coefficients un (\displaystyle un), b (\ displaystyle b), c (\ displaystyle c) (3 (\displaystyle 3), − 2 (\displaystyle -2), 14 (\displaystyle 14)) dans la formule : − b ± b 2 − 4 une c 2 une (\displaystyle (\frac (-b\pm (\sqrt (b^(2)-4ac)))(2a))) − (− 2) ± ((− 2) 2 − 4 (3) (14) 2 (3) (\displaystyle (\frac (-(-2)\pm (\sqrt (((-2)^(2 )-4(3)(14))))(2(3)))) 2 ± 4 − (12) (14) 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt (4-(12)(14))))(6))) 2 ± (4 − 168 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt ((4-168)))(6))) 2 ± − 164 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt (-164)))(6)))
• Première racine : 2 + − 164 6 (\displaystyle (\frac (2+(\sqrt (-164)))(6))) 2 + 12 , 8 je 6 (\displaystyle (\frac (2+12,8i)(6)))
• Deuxième racine : 2 − 12 , 8 je 6 (\displaystyle (\frac (2-12,8i)(6)))

1. Utilisez zéro et les racines de l'équation quadratique comme solutions de l'équation cubique. Les équations quadratiques ont deux racines, tandis que les équations cubiques en ont trois. Vous avez déjà trouvé deux solutions - ce sont les racines de l'équation quadratique. Si vous mettez "x" entre parenthèses, la troisième solution est .

   Comment trouver des racines entières à l'aide de multiplicateurs

   1. Assurez-vous que l'équation cubique a une interception ré (\displaystyle d) . Si dans une équation de la forme une x 3 + b x 2 + c x + ré = 0 (\displaystyle ax^(3)+bx^(2)+cx+d=0) avoir un membre gratuit ré (\displaystyle d)(qui n'est pas égal à zéro), cela ne fonctionnera pas de mettre "x" entre parenthèses. Dans ce cas, utilisez la méthode décrite dans cette section.

      Écrire les multiplicateurs de coefficients un (\displaystyle a) et membre gratuit ré (\displaystyle d) . Autrement dit, trouvez les facteurs du nombre lorsque x 3 (\displaystyle x^(3)) et les nombres avant le signe égal. Rappelons que les facteurs d'un nombre sont les nombres qui, multipliés ensemble, donnent ce nombre.

      Diviser chaque multiplicateur un (\displaystyle a) pour chaque multiplicateur ré (\displaystyle d) . Le résultat sera plusieurs fractions et plusieurs nombres entiers ; les racines d'une équation cubique seront l'un des entiers, ou la valeur négative de l'un des entiers.

      • Dans notre exemple, divisez les facteurs un (\displaystyle un) (1 et 2 ) par facteurs ré (\displaystyle d) (1 , 2 , 3 et 6 ). Tu auras: 1 (\displaystyle 1), , , , 2 (\ style d'affichage 2) et . Ajoutez maintenant les valeurs négatives des fractions et des nombres résultants à cette liste : 1 (\displaystyle 1), − 1 (\displaystyle -1), 1 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))), − 1 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2))), 1 3 (\displaystyle (\frac (1)(3))), − 1 3 (\displaystyle -(\frac (1)(3))), 1 6 (\displaystyle (\frac (1)(6))), − 1 6 (\displaystyle -(\frac (1)(6))), 2 (\ style d'affichage 2), − 2 (\displaystyle -2), 2 3 (\displaystyle (\frac (2)(3))) et − 2 3 (\displaystyle -(\frac (2)(3))). Les racines entières de l'équation cubique sont quelques nombres de cette liste.

   2. Branchez les nombres entiers dans l'équation cubique. Si cette égalité est observée, le nombre substitué est la racine de l'équation. Par exemple, branchez-vous sur l'équation 1 (\displaystyle 1):

      Utiliser la méthode de division des polynômes par Le schéma de Horner trouver rapidement les racines d'une équation. Faites-le si vous ne voulez pas insérer manuellement des nombres dans l'équation. Dans le schéma de Horner, les nombres entiers sont divisés par les valeurs des coefficients de l'équation un (\displaystyle un), b (\ displaystyle b), c (\ displaystyle c) et ré (\displaystyle d). Si les nombres sont divisibles de manière égale (c'est-à-dire que le reste est ), l'entier est la racine de l'équation.

Numéro e est une constante mathématique importante qui est à la base du logarithme népérien. Numéro e environ égal à 2,71828 avec une limite (1 + 1/n)n à n tendant vers l'infini.

Entrez la valeur de x pour trouver la valeur de la fonction exponentielle ex

Calculer des nombres avec une lettre E utiliser la calculatrice de conversion exponentielle en nombre entier

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Calcul de la calculatrice d'algèbre

Le nombre e est une constante mathématique importante qui sous-tend le logarithme népérien.

0,3 à la puissance x multiplié par 3 par la puissance x sont les mêmes

Le nombre e vaut environ 2,71828 avec une limite de (1 + 1/n)n pour n tendant vers l'infini.

Ce nombre est aussi appelé nombre d'Euler ou nombre de Napier.

Exponentielle - Une fonction exponentielle f (x) = exp (x) = ex, où e est le nombre d'Euler.

Entrez la valeur de x pour trouver la valeur de la fonction exponentielle ex

Calcul de la valeur de la fonction exponentielle dans le réseau.

Lorsque le nombre d'Euler (e) tend vers zéro, la réponse est 1.

Lorsque vous augmentez à un niveau supérieur à un, la réponse sera supérieure à l'original. Si la vitesse est supérieure à zéro mais inférieure à 1 (par exemple 0,5), la réponse sera supérieure à 1 mais inférieure à l'original (marque E). Lorsque l'exposant augmente à une puissance négative, 1 doit être divisé par le nombre e pour une puissance donnée, mais avec un signe plus.

Définitions

exposant Il s'agit d'une fonction exponentielle y (x) = e x, dont la dérivée est la même que la fonction elle-même.

L'indicateur est marqué comme, ou.

e numéro

La base de l'exposant est e.

C'est un nombre irrationnel. C'est à peu près pareil
e ≈ 2,718281828459045 …

Le nombre e est défini en dehors de la limite de séquence. C'est l'autre limite dite exceptionnelle :
.

Le nombre e peut aussi être représenté comme une série :
.

Charte exposant

Le graphique montre le degré e sur scène X.
y(x) = ex
Le graphique montre qu'il augmente de façon monotone de façon exponentielle.

formule

Les formules de base sont les mêmes que pour la fonction exponentielle avec le niveau de base e.

Expression des fonctions exponentielles avec une base arbitraire a au sens de l'exposant :
.

aussi section "Fonction exponentielle" >>>

valeurs privées

Soit y (x) = e x.

5 à la puissance x et égal à 0

Propriétés exponentielles

L'exposant a les propriétés d'une fonction exponentielle avec une base de degré e> premier

Champ de définition, ensemble de valeurs

Pour x, l'indice y (x) = e x est déterminé.
Son volume :
— ∞ < x + ∞.
Sa signification:
0 < Y < + ∞.

Extrêmes, augmentation, diminution

L'exposant est une fonction croissante monotone, il n'a donc pas d'extrêmes.

Ses principales propriétés sont présentées dans le tableau.

Fonction inverse

L'inverse est le logarithme naturel.
;
.

Dérivés d'indicateurs

dérivé e sur scène X C'est e sur scène X :
.
N-ordre dérivé :
.
Exécution de formules > > >

intégral

aussi section "Table des intégrales indéfinies" >>>

Chambres complexes

Les opérations avec des nombres complexes sont effectuées à l'aide de Formule d'Euler:
,
où est l'unité imaginaire :
.

Expressions en termes de fonctions hyperboliques

Expressions en termes de fonctions trigonométriques

Extension de la série Power

Quand x est-il égal à zéro ?

Calculatrice régulière ou en ligne

Calculatrice régulière

La calculatrice standard vous offre des opérations de calcul simples telles que l'addition, la soustraction, la multiplication et la division.

Vous pouvez utiliser une calculatrice mathématique rapide

La calculatrice scientifique vous permet d'effectuer des opérations plus complexes et également une calculatrice comme le sinus, le cosinus, le sinus inverse, le cosinus inverse qui touche, la tangente, l'exposant, l'exposant, le logarithme, l'intérêt ainsi que les affaires dans la calculatrice de mémoire Web.

Vous pouvez entrer directement depuis le clavier, cliquez d'abord sur la zone avec la calculatrice.

Il effectue des opérations simples sur les nombres ainsi que des opérations plus complexes telles que
calculatrice mathématique en ligne.
0 + 1 = 2.
Voici deux calculatrices :

1. Calculez d'abord comme d'habitude
2. Un autre le calcule comme de l'ingénierie

Les règles s'appliquent au calculateur calculé sur le serveur

Règles de saisie des termes et des fonctions

Pourquoi ai-je besoin de ce calculateur en ligne ?

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Encore une fois, la mobilité. Si vous êtes sur un autre ordinateur, vous n'avez pas besoin de le réinstaller
Alors, utilisez ce site !

Les expressions peuvent être constituées de fonctions (écrites par ordre alphabétique) :

absolu (x) Valeur absolue X
(module X ou alors | x |) arc cos(x) Fonction - Arcoxin de Xarccosh(x) L'arcosine est hyperbolique Xarcsin(x) Fils séparés Xarcsinh(x) HyperX hyperbolique Xarctg(x) La fonction est l'arc tangente de Xarcgh(x) L'arc tangente est hyperbolique Xee nombre - environ 2,7 exp(x) Fonction - indicateur X(comme e^X) log(x) ou alors ln(x) un algorithme naturel X
(Oui log7(x), besoin de taper log(x) / log(7) (ou par exemple pour log10(x)= log(x) / log(10)) pi Le nombre "Pi" qui est d'environ 3,14 péché(x) Fonction - Sinus Xcos(x) Fonction - Cône de Xsinh(x) Fonction - Sinus hyperbolique Xen espèces(x) Fonction - cosinus-hyperbolique Xcarré(x) La fonction est la racine carrée de Xcarré(x) ou alors x^2 Fonction - carré Xtg(x) Fonction - Tangente de Xtgh(x) La fonction est une tangente hyperbolique de Xcbrt(x) La fonction est une racine cubique Xsol (x) Fonction d'arrondi X en dessous (exemple de sol (4.5) == 4.0) symbole(x) Fonction - symbole Xerf(x) Fonction d'erreur (Laplace ou intégrale de probabilité)

Les opérations suivantes peuvent être utilisées dans les termes :

Nombres réels entrer dans le formulaire 7,5 , ne pas 7,5 2*x- multiplier 3/x- séparation x^3— exponentielle x + 7- Outre, x-6- compte à rebours

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Les équations exponentielles sont des équations de la forme

x - exposant inconnu,

un et b- quelques chiffres.

Exemples d'équation exponentielle :

Et les équations :

ne sera plus représentatif.

Considérons des exemples de résolution d'équations exponentielles :

Exemple 1
Trouvez la racine de l'équation :

On ramène les degrés à la même base afin d'utiliser la propriété du degré avec un exposant réel

Ensuite, il sera possible de supprimer la base du diplôme et de procéder à l'égalité des indicateurs.

Transformons le côté gauche de l'équation :

Transformons le côté droit de l'équation :

Utilisation de la propriété degré

Réponse : 4.5.

Exemple 2
Résolvez l'inégalité :

Diviser les deux côtés de l'équation par

Remplacement inverse :

Réponse : x=0.

Résolvez l'équation et trouvez les racines sur l'intervalle donné :

On ramène tous les termes à la même base :

Remplacement:

On cherche les racines de l'équation en sélectionnant des multiples du terme libre :

- adapté, car

l'égalité tient.
- adapté, car

Comment décider ? e^(x-3) = 0 e à la puissance x-3

l'égalité tient.
- adapté, car l'égalité tient.
- ne convient pas, car l'égalité n'est pas respectée.

Remplacement inverse :

Un nombre devient 1 si son exposant est 0

Ne convient pas, car

Le membre de droite est égal à 1, car

D'ici:

Résous l'équation:

Remplacement : alors

Remplacement inverse :

1 équation :

si les bases des nombres sont égales, alors leurs exposants seront égaux, alors

2 équation :

Logarithme des deux parties en base 2 :

L'exposant vient avant l'expression, car

Le côté gauche est 2x parce que

D'ici:

Résous l'équation:

Transformons le côté gauche :

Nous multiplions les degrés selon la formule:

Simplifions : selon la formule :

Mettons-le sous la forme :

Remplacement:

Convertissons la fraction en fraction impropre :

a2 - ne convient pas, car

Remplacement inverse :

Passons à l'essentiel :

Si un

Réponse : x=20.

Résous l'équation:

O.D.Z.

Transformons le côté gauche selon la formule :

Remplacement:

On calcule la racine du discriminant :

a2-ne convient pas, car

ne prend pas de valeurs négatives

Passons à l'essentiel :

Si un

Équarrissons les deux côtés :

Rédacteurs en chef : Gavrilina Anna Viktorovna, Ageeva Lyubov Aleksandrovna

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Traduction du gros article "An Intuitive Guide To Exponential Functions & e"

Le nombre e m'a toujours excité - pas comme une lettre, mais comme une constante mathématique.

Que signifie vraiment e ?

Divers livres de mathématiques et même mon bien-aimé Wikipédia décrivent cette constante majestueuse dans un jargon scientifique complètement stupide :

La constante mathématique e est la base du logarithme népérien.

Si vous vous intéressez à ce qu'est un logarithme naturel, vous trouverez la définition suivante :

Le logarithme népérien, anciennement appelé logarithme hyperbolique, est un logarithme de base e, où e est une constante irrationnelle, approximativement égale à 2,718281828459.

Les définitions sont, bien sûr, correctes.

Mais il est extrêmement difficile de les comprendre. Bien sûr, Wikipédia n'est pas à blâmer pour cela : généralement, les explications mathématiques sont sèches et formelles, compilées dans toute la mesure de la science. De ce fait, il est difficile pour les débutants de maîtriser le sujet (et une fois tout le monde était débutant).

J'ai passé à autre chose! Aujourd'hui, je partage mes réflexions hautement intellectuelles sur quel est le numéro e et pourquoi c'est si cool ! Mettez de côté vos livres de mathématiques épais et intimidants !

Le nombre e n'est pas qu'un nombre

Décrire e comme "une constante approximativement égale à 2,71828..." revient à appeler pi "un nombre irrationnel approximativement égal à 3,1415...".

Sans doute, mais l'essentiel nous échappe encore.

Le nombre pi est le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre, le même pour tous les cercles.. Il s'agit d'une proportion fondamentale commune à tous les cercles, et par conséquent, elle est impliquée dans le calcul de la circonférence, de l'aire, du volume et de la surface des cercles, des sphères, des cylindres, etc.

Pi montre que tous les cercles sont connectés, sans parler des fonctions trigonométriques dérivées des cercles (sinus, cosinus, tangente).

Le nombre e est le taux de croissance de base pour tous les processus en croissance continue. Le nombre e vous permet de prendre un taux de croissance simple (où la différence n'est visible qu'à la fin de l'année) et de calculer les composantes de cet indicateur, la croissance normale, dans laquelle chaque nanoseconde (ou même plus vite) tout croît d'un peu Suite.

Le nombre e est impliqué à la fois dans des systèmes de croissance exponentielle et constante : population, décroissance radioactive, calcul des intérêts, et bien d'autres.

Même les systèmes étagés qui ne se développent pas uniformément peuvent être approximés par le nombre e.

Tout comme n'importe quel nombre peut être considéré comme une version "à l'échelle" de 1 (l'unité de base), tout cercle peut être considéré comme une version "à l'échelle" du cercle unitaire (rayon 1).

Une équation est donnée: e à la puissance x \u003d 0. À quoi x est-il égal?

Et tout facteur de croissance peut être considéré comme une version "mise à l'échelle" de e (un facteur de croissance "unique").

Donc le nombre e n'est pas un nombre aléatoire pris au hasard. Le nombre e incarne l'idée que tous les systèmes en croissance continue sont des versions à l'échelle de la même métrique.

Le concept de croissance exponentielle

Commençons par regarder un système de base qui double sur une période de temps donnée.

Par example:

• Les bactéries se divisent et "doublent" en nombre toutes les 24 heures
• Nous obtenons deux fois plus de nouilles si nous les cassons en deux
• Votre argent double chaque année si vous obtenez 100 % de profit (chanceux !)

Et ça ressemble à quelque chose comme ça :

Diviser par deux ou doubler est une progression très simple. Bien sûr, on peut tripler ou quadrupler, mais doubler est plus commode pour l'explication.

Mathématiquement, si nous avons x divisions, nous obtenons 2^x fois plus de bien que nous n'en avions au début.

Si une seule partition est créée, nous obtenons 2 ^ 1 fois plus. S'il y a 4 partitions, nous obtenons 2^4=16 parties. La formule générale ressemble à ceci :

En d'autres termes, un doublement correspond à une augmentation de 100 %.

Nous pouvons réécrire cette formule comme ceci :

croissance = (1+100%)x

C'est la même égalité, nous venons de diviser "2" en ses composants, ce qui correspond essentiellement à : la valeur initiale (1) plus 100 %. Intelligent, non ?

Bien sûr, nous pouvons substituer n'importe quel autre nombre (50 %, 25 %, 200 %) au lieu de 100 % et obtenir la formule de croissance pour ce nouveau ratio.

La formule générale pour x périodes de la série chronologique ressemblera à :

croissance = (1+croissance)x

Cela signifie simplement que nous utilisons le taux de rendement, (1 + croissance), "x" fois de suite.

Regardons de plus près

Notre formule suppose que la croissance se produit par étapes discrètes. Nos bactéries attendent et attendent, et puis bam !, et à la dernière minute, leur nombre double. Notre bénéfice sur les intérêts du dépôt apparaît comme par magie exactement après 1 an.

Sur la base de la formule écrite ci-dessus, les bénéfices augmentent par étapes. Des points verts apparaissent soudainement.

Mais le monde n'est pas toujours comme ça.

Si on zoome, on voit que nos amies les bactéries se divisent en permanence :

Le chevreau vert ne sort pas de rien : il grandit lentement du parent bleu. Après 1 période de temps (24 heures dans notre cas), l'ami vert est déjà bien mûr. Ayant mûri, il devient un membre bleu à part entière du troupeau et peut créer lui-même de nouvelles cellules vertes.

Cette information changera-t-elle d'une manière ou d'une autre notre équation ?

Dans le cas des bactéries, les cellules vertes à moitié formées ne peuvent toujours rien faire jusqu'à ce qu'elles grandissent et se séparent complètement de leurs parents bleus. L'équation est donc correcte.

Dans le prochain article, nous examinerons un exemple de la croissance exponentielle de votre argent.

Attention!
Il y a d'autres
matériel dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui fortement "pas très..."
Et pour ceux qui "beaucoup...")

Quoi "inégalité carrée" ? Pas une question !) Si vous prenez quelconqueéquation quadratique et changer le signe dedans "=" (égal) à toute icône d'inégalité ( > ≥ < ≤ ≠ ), on obtient une inégalité quadratique. Par example:

1. x2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 +3x > 0

3. x2 ≤ 4

Bon, vous voyez l'idée...)

J'ai sciemment lié équations et inégalités ici. Le fait est que la première étape dans la résolution quelconque inégalité au carré - résoudre l'équation à partir de laquelle cette inégalité est faite. Pour cette raison - l'incapacité à résoudre des équations quadratiques conduit automatiquement à un échec complet des inégalités. L'indice est-il clair ?) Le cas échéant, regardez comment résoudre les équations quadratiques. Tout y est détaillé. Et dans cette leçon, nous traiterons des inégalités.

L'inéquation prête à être résolue est de la forme : gauche - trinôme carré hache 2 +bx+c, à droite - zéro. Le signe d'inégalité peut être absolument n'importe quoi. Les deux premiers exemples sont ici sont prêts à prendre une décision. Le troisième exemple doit encore être préparé.

Si vous aimez ce site...

Au fait, j'ai quelques autres sites intéressants pour vous.)

Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et découvrir votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprendre - avec intérêt !)

vous pouvez vous familiariser avec les fonctions et les dérivés.