Division des polynômes par "colonne" ("coin"). Division de polynômes par un coin Diviser expression par expression en ligne

Déclaration

reste privé incomplet.

Commenter

Pour tout polynôme $A(x)$ et $B(x)$ (le degré de $B(x)$ est supérieur à 0), il existe des polynômes uniques $Q(x)$ et $R(x)$ condition de l'assertion.

Le reste après avoir divisé le polynôme $x^(4) + 3x^(3) +5$ par $x^(2) + 1$ est $3x + 4$ :$x^(4) + 3x^(3) +5 = (x^(2) + 3x +1)(x^(2) + 1) +3x + 4.$
Le reste après avoir divisé le polynôme $x^(4) + 3x^(3) +5$ par $x^(4) + 1$ est $3x^(3) + 4$ :$x^(4) + 3x ^( 3) +5 = 1 \cdot (x^(2) + 1) +3x^(3) + 4.$
Le reste après avoir divisé le polynôme $x^(4) + 3x^(3) +5$ par $x^(6) + 1$ est $x^(4) + 3x^(3) +5$:$x ^( 4) + 3x^(3) +5 = 0 \cdot (x^(6) + 1) + x^(4) + 3x^(3) +5.$

Déclaration

Pour deux polynômes quelconques $A(x)$ et $B(x)$ (où le degré du polynôme $B(x)$ est non nul), il existe une représentation polynomiale $A(x)$ sous la forme $A(x) = Q (x)B(x) + R(x)$, où $Q(x)$ et $R(x)$ sont des polynômes et le degré de $R(x)$ est inférieur à le degré de $B(x).$

Preuve

Nous allons démontrer l'assertion par récurrence sur le degré du polynôme $A(x).$ Notons-le $n$. Si $n = 0$, l'énoncé est vrai : $A(x)$ peut être représenté par $A(x) = 0 \cdot B(x) + A(x).$ Maintenant, démontrons l'énoncé pour polynômes de degré $n \ leqm$. Démontrons l'assertion pour les polynômes de degré $k= n+1.$

Soit le degré du polynôme $B(x)$ égal à $m$. Considérons trois cas : $k< m$, $k = m$ и $k >m$ et prouver l'assertion pour chacun d'eux.

k $< m$
Le polynôme $A(x)$ peut être représenté par
$A(x) = 0 \cdot B(x) + A(x).$
L'affirmation a été faite.
$k = m$
Soient les polynômes $A(x)$ et $B(x)$ de la forme
$A(x) = a_(n+1)x^(n+1) + a_(n)x^(n) + \dots + a_(1)x + a_(0), \: \mbox(où ) \: a_(n+1) \neq 0;$
$B(x) = b_(n+1)x^(n+1) + b_(n)x^(n) + \dots + b_(1)x + b_(0), \: \mbox(où ) \: b_(n+1) \neq 0.$
Représentons $A(x)$ comme
$A(x) = \dfrac(a_(n+1))(b_(n+1))B(x) - \Big(\dfrac(a_(n+1))(b_(n+1)) B(x) - A(x)\Gros).$
Notez que le degré du polynôme $\dfrac(a_(n+1))(b_(n+1))B(x) - A(x)$ est au plus $n+1$, alors cette représentation est la désiré et l'assertion est satisfaite.
$k > m$
Nous représentons le polynôme $A(x)$ sous la forme
$A(x) = x(a_(n+1)x^(n) + a_(n)x^(n-1) + \dots + a_(1)) + a_(0), \: \mbox (où) \ : a_(n+1) \neq 0.$
Considérons le polynôme $A"(x) = a_(n+1)x^(n) + a_(n)x^(n-1) + \dots + a_(1).$ peut être représenté par $A" (x) = Q"(x)B(x) + R"(x)$, où le degré du polynôme $R"(x)$ est inférieur à $m$, alors la représentation pour $A(x) $ peut être réécrit comme
$A(x) = x(Q"(x)B(x) + R"(x)) + a_(0) = xQ"(x)B(x) + xR"(x) + a_(0) .$
Notez que le degré du polynôme $xR"(x)$ est inférieur à $m+1$, c'est-à-dire inférieur à $k$. Alors $xR"(x)$ satisfait l'hypothèse inductive et peut être représenté par $ xR" (x) = Q""(x)B(x) + R""(x)$, où le degré du polynôme $R""(x)$ est inférieur à $m$. Réécrivez la représentation pour $A (x)$ comme
$A(x) = xQ"(x)B(x) + Q""(x)B(x) + R""(x) + a_(0) =$
$= (xQ"(x)+xQ""(x))B(x) + R""(x) + a_(0).$
Le degré du polynôme $R""(x) + a_(0)$ est inférieur à $m$, donc l'énoncé est vrai.

L'affirmation a été prouvée.

Dans ce cas, le polynôme $R(x)$ est appelé reste en divisant $A(x)$ par $B(x)$, et $Q(x)$ - privé incomplet.

Si le reste de $R(x)$ est un polynôme nul, alors on dit que $A(x)$ est divisible par $B(x)$.

Une preuve est donnée qu'une fraction impropre composée de polynômes peut être représentée comme la somme d'un polynôme et d'une fraction propre. Des exemples de division de polynômes par un coin et de multiplication par une colonne sont analysés en détail.

Teneur

Théorème

Soit Pk (X), Qn (X) sont des polynômes en variable x de degrés k et n , respectivement, avec k ≥ n . Alors le polynôme P k (X) ne peut être représenté que de la manière suivante :
(1) Paquet (x) = S k-n (x) Q n (x) + U n-1 (x),
où S k-n (X)- polynôme de degré k-n , U n- 1 fois)- polynôme de degré non supérieur à n- 1 , ou zéro.

Preuve

Par définition d'un polynôme :
;
;
;
,
où p i , q i - coefficients connus, s i , u i - coefficients inconnus.

Introduisons la notation :
.
Remplaçant dans (1) :
;
(2) .
Le premier terme de droite est un polynôme de degré k. La somme des deuxième et troisième termes est un polynôme de degré au plus k - 1 . Mettre les coefficients en x k :
p k = s k-n q n .
Donc s k-n = p k / q n .

Transformons l'équation (2) :
.
Introduisons la notation : .
Puisque s k-n = p k / q n , alors le coefficient à x k est égal à zéro. Donc - c'est un polynôme de degré au plus k - 1 , . Alors l'équation précédente peut être réécrite comme suit :
(3) .

Cette équation a la même forme que l'équation (1) , seule la valeur de k est devenue 1 plus petite. En répétant cette procédure k-n fois, nous obtenons l'équation :
,
à partir duquel on détermine les coefficients du polynôme U n- 1 fois).

Ainsi, nous avons déterminé tous les coefficients inconnus s i , u l . De plus, s k-n ≠ 0 . Le lemme est prouvé.

Division de polynômes

Diviser les deux côtés de l'équation (1) sur Qn (X), on a:
(4) .
Par analogie avec les nombres décimaux, S k-n (X) est appelée la partie entière de la fraction ou privée, U n- 1 fois)- le reste de la division. Une fraction de polynômes dans laquelle le degré du polynôme au numérateur est inférieur au degré du polynôme au dénominateur est appelée une fraction propre. Une fraction de polynômes dans laquelle le degré du polynôme au numérateur est supérieur ou égal au degré du polynôme au dénominateur est appelée une fraction impropre.

L'équation (4) montre que toute fraction impropre de polynômes peut être simplifiée en la représentant comme la somme d'une partie entière et d'une fraction propre.

À la base, les nombres décimaux entiers sont des polynômes, dans lesquels la variable est égale au nombre 10 . Prenons par exemple le nombre 265847. Il peut être représenté par :
.
Autrement dit, c'est un polynôme du cinquième degré de 10 . Les nombres 2, 6, 5, 8, 4, 7 sont les coefficients de l'expansion du nombre en puissances de 10.

Par conséquent, les polynômes peuvent être appliqués à la règle de division par un coin (parfois appelée division par une colonne), qui s'applique à la division des nombres. La seule différence est que, lors de la division de polynômes, vous n'avez pas besoin de convertir les nombres supérieurs à neuf en chiffres supérieurs. Considérez le processus de division de polynômes par un coin à l'aide d'exemples spécifiques.

Un exemple de division de polynômes par un coin

Ici, le numérateur est un polynôme du quatrième degré. Le dénominateur est un polynôme du second degré. Dans la mesure où 4 ≥ 2 , alors la fraction n'est pas correcte. On sélectionne la partie entière en divisant les polynômes par un coin (dans une colonne) :

Donnons une description détaillée du processus de division. Les polynômes originaux sont écrits dans les colonnes de gauche et de droite. Sous le polynôme dénominateur, dans la colonne de droite, on trace une ligne horizontale (coin). En dessous de cette ligne, à un angle, il y aura une partie entière de la fraction.

1.1 Nous trouvons le premier membre de la partie entière (sous le coin). Pour ce faire, on divise le terme le plus élevé du numérateur par le terme le plus élevé du dénominateur : .

1.2 Multiplier 2x2 sur x 2 - 3 fois + 5:
. Le résultat est écrit dans la colonne de gauche :

1.3 On prend la différence des polynômes dans la colonne de gauche :

.

Donc, nous avons obtenu un résultat intermédiaire :
.

La fraction du côté droit est incorrecte car le degré du polynôme au numérateur ( 3 ) est supérieur ou égal au degré du polynôme au dénominateur ( 2 ). Nous répétons les calculs. Ce n'est que maintenant que le numérateur de la fraction se trouve dans la dernière ligne de la colonne de gauche.
2.1 Diviser le membre le plus ancien du numérateur par le membre le plus ancien du dénominateur : ;

2.2 On multiplie par le dénominateur : ;

2.3 Et soustrayez de la dernière ligne de la colonne de gauche : ;

Résultat intermédiaire :
.

Nous répétons à nouveau les calculs, car il y a une fraction impropre du côté droit.
3.1 ;
3.2 ;
3.3 ;

Alors on a :
.
Le degré du polynôme au numérateur de la fraction de droite est inférieur au degré du polynôme dénominateur, 1 < 2 . La fraction est donc correcte.

;
2 × 2 - 4 × + 1 est la partie entière ;
X- 8 - reste de la division.

Exemple 2

Sélectionnez la partie entière de la fraction et trouvez le reste de la division :
.

Nous effectuons les mêmes actions que dans l'exemple précédent :

Ici le reste de la division est nul :
.

Multiplication de polynômes par une colonne

Vous pouvez également multiplier des polynômes par une colonne, similaire à la multiplication d'entiers. Prenons des exemples précis.

Un exemple de multiplication de polynômes par une colonne

Trouver le produit de polynômes :
.

2.1
.

2.2
.

2.3
.
Le résultat est écrit dans une colonne, en alignant les puissances de x.

3
;
;
;
.

Notez que seuls les coefficients peuvent être écrits et que les puissances de la variable x peuvent être omises. Ensuite, la multiplication par une colonne de polynômes ressemblera à ceci :

Exemple 2

Trouver le produit de polynômes dans une colonne :
.

Lors de la multiplication de polynômes par une colonne, il est important d'écrire les mêmes puissances de la variable x les unes sous les autres. Si certaines puissances de x sont omises, alors elles doivent être écrites explicitement en multipliant par zéro, ou laisser des espaces.

Dans cet exemple, certains degrés sont omis. Par conséquent, nous les écrivons explicitement, multipliés par zéro :
.
Nous multiplions les polynômes par une colonne.

1 Nous écrivons les polynômes originaux les uns sous les autres dans une colonne et traçons une ligne.

2.1 Nous multiplions le terme le plus bas du second polynôme par le premier polynôme :
.
Le résultat est écrit dans une colonne.

2.2 Le terme suivant du deuxième polynôme est égal à zéro. Par conséquent, son produit par le premier polynôme est également égal à zéro. La ligne nulle peut être omise.

2.3 Nous multiplions le terme suivant du second polynôme par le premier polynôme :
.
Le résultat est écrit dans une colonne, en alignant les puissances de x.

2.3 Nous multiplions le terme suivant (le plus élevé) du deuxième polynôme par le premier polynôme :
.
Le résultat est écrit dans une colonne, en alignant les puissances de x.

3 Après que tous les termes du deuxième polynôme ont été multipliés par le premier, on trace une ligne et additionne les termes de mêmes puissances x :
.

Vue générale du monôme

f(x)=axn, où:

-un- coefficient pouvant appartenir à n'importe lequel des ensembles N, Z, Q, R, C

-X- variables

-n exposant qui appartient à l'ensemble N

Deux monômes sont semblables s'ils ont la même variable et le même exposant.

Exemples: 3x2 et -5x2; ½ x 4 et 2√3x4

La somme de monômes qui ne sont pas similaires les uns aux autres s'appelle un polynôme (ou polynôme). Dans ce cas, les monômes sont des termes du polynôme. Un polynôme contenant deux termes est appelé binôme (ou binôme).
Exemple: p(x)=3x2-5 ; h(x)=5x-1
Un polynôme contenant trois termes est appelé un trinôme.

Forme générale d'un polynôme à une variable

où:

une n ,une n-1 ,une n-2 ,...,une 1 ,une 0 sont les coefficients du polynôme. Il peut s'agir de nombres naturels, entiers, rationnels, réels ou complexes.
un- coefficient au terme avec l'exposant le plus élevé (coefficient principal)
un 0- coefficient au terme avec le plus petit exposant (terme libre, ou constant)
n- degré polynomial

Exemple 1
p(x)=5x 3 -2x 2 +7x-1

polynôme du troisième degré à coefficients 5, -2, 7 et -1
5 - facteur déterminant
-1 - Membre gratuit
X- variables

Exemple 2
h(x)=-2√3x 4 +½x-4

polynôme du quatrième degré à coefficients -2√3.½ et -4
-2√3 - facteur déterminant
-4 - Membre gratuit
X- variables

Division polynomiale

p(x) et q(x)- deux polynômes :
p(x)=a n X n +a n-1 x n-1 +...+a 1 x 1 +a 0
q(x)=a p x p +a p-1 x p-1 +...+a 1 x 1 +a 0

Pour trouver le quotient et le reste d'une division p(x) sur le q(x), vous devez utiliser l'algorithme suivant :

Diplôme p(x) doit être supérieur ou égal à q(x).
Il faut écrire les deux polynômes dans l'ordre décroissant. Si dans p(x) il n'y a pas de terme de degré, il faut l'ajouter avec un coefficient de 0.
Membre principal p(x) divisé en membre dirigeant q(x), et le résultat est écrit sous la ligne de séparation (au dénominateur).
Nous multiplions le résultat par tous les termes q(x) et écrivez le résultat de signes opposés sous les termes p(x) avec les diplômes correspondants.
On additionne terme à terme les termes de mêmes degrés.
Nous attribuons les termes restants au résultat p(x).
On divise le terme principal du polynôme résultant par le premier terme du polynôme q(x) et répétez les étapes 3 à 6.
Cette procédure est répétée jusqu'à ce que le polynôme nouvellement obtenu ait un degré inférieur à q(x). Ce polynôme sera le reste de la division.
Le polynôme écrit sous la ligne séparatrice est le résultat de la division (quotient).

Exemple 1
Étapes 1 et 2) $p(x)=x^5-3x^4+2x^3+7x^2-3x+5 \\ q(x)=x^2-x+1$

3) x5 -3x4 +2x3 +7x2 -3x+5

4) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

5) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

6)x5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

/ -2x 4 -x 3 +7x 2 -3x+5

7) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

/ -2x 4 +x 3 +7x 2 -3x+5

2x4 -2x3 +2x2

/ -x 3 +9x 2 -3x+5

8) x5 -3x4 +2x3 +7x2 -3x+5

/ -2x 4 -x 3 +7x 2 -3x+5

2x4 -2x3 +2x2

/ -x 3 +9x 2 -3x+5

/ 6x-3 ARRÊT

x 3 -2x 2 -x+8 --> C(x) Privé

Réponse : p(x) = x 5 - 3x 4 + 2x 3 + 7x 2 - 3x + 5 = (x 2 - x + 1)(x 3 - 2x 2 - x + 8) + 6x - 3

Exemple 2
p(x)=x 4 +3x 2 +2x-8
q(x)=x 2 -3x

X 4 +0x 3 +3x 2 +2x-8

/ 3x 3 +3x 2 +2x-8

/ 38x-8 r(x) ARRÊTER

x 2 +3x+12 --> C(x) Quotient

Réponse : x 4 + 3x 2 + 2x - 8 = (x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 12) + 38x - 8

Division par un polynôme du premier degré

Cette division peut être effectuée en utilisant l'algorithme ci-dessus, ou même plus rapidement en utilisant la méthode de Horner.
Si un f(x)=a n X n +a n-1 x n-1 +...+a 1 x+a 0, le polynôme peut être réécrit comme f(x)=a 0 +x(a 1 +x(a 2 +...+x(a n-1 +a n x)...))

q(x)- polynôme du premier degré ⇒ q(x)=mx+n
Alors le polynôme dans le quotient aura un degré n-1.

Selon la méthode de Horner, $x_0=-\frac(n)(m)$.
b n-1 =a n
b n-2 =x 0 .b n-1 +a n-1
b n-3 =x 0 .b n-2 +a n-2
...
b 1 \u003d x 0 .b 2 + un 2
b 0 =x 0 .b 1 +a 1
r=x 0 .b 0 +a 0
où b n-1 x n-1 +b n-2 x n-2 +...+b 1 x+b 0- privé. Le reste sera un polynôme de degré zéro, puisque le degré du polynôme dans le reste doit être inférieur au degré du diviseur.
Division avec reste ⇒ p(x)=q(x).c(x)+r ⇒ p(x)=(mx+n).c(x)+r si $x_0=-\frac(n)(m)$
Noter que p(x 0)=0.c(x 0)+r ⇒ p(x 0)=r

Exemple 3
p(x)=5x 4 -2x 3 +4x 2 -6x-7
q(x)=x-3
p(x)=-7+x(-6+x(4+x(-2+5x)))
x 0 = 3

b 3 \u003d 5
b 2 \u003d 3,5-2 \u003d 13
b 1 =3.13+4=43 ⇒ c(x)=5x 3 +13x 2 +43x+123 ; r=362
b 0 \u003d 3,43-6 \u003d 123
r=3.123-7=362
5x 4 -2x 3 +4x 2 -6x-7=(x-3)(5x 3 +13x 2 +43x+123)+362

Exemple 4
p(x)=-2x 5 +3x 4 +x 2 -4x+1
q(x)=x+2
p(x)=-2x 5 +3x 4 +0x 3 +x 2 -4x+1
q(x)=x+2
x 0 \u003d -2
p(x)=1+x(-4+x(1+x(0+x(3-2x))))

b 4 \u003d -2 b 1 =(-2).(-14)+1=29
b 3 =(-2).(-2)+3=7 b 0 =(-2).29-4=-62
b2=(-2).7+0=-14 r=(-2).(-62)+1=125
⇒ c(x)=-2x 4 +7x 3 -14x 2 +29x-62 ; r=125
-2x 5 +3x 4 +x 2 -4x+1=(x+2)(-2x 4 +7x 3 -14x 2 +29x-62)+125

Exemple 5
p(x)=3x 3 -5x 2 +2x+3
q(x)=2x-1
$x_0=\frac(1)(2)$
p(x)=3+x(2+x(-5+3x))
b2=3
$b_1=\frac(1)(2)\cdot 3-5=-\frac(7)(2)$
$b_0=\frac(1)(2)\cdot \left(-\frac(7)(2)\right)+2=-\frac(7)(4)+2=\frac(1)(4 )$
$r=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(4)+3=\frac(1)(8)+3=\frac(25)(8) \Rightarrow c(x)= 3x^2-\frac(7)(2)x+\frac(1)(4)$
$\Rightarrow 3x^3-5x^2+2x+3=(2x-1)(3x^2--\frac(7)(2)x+\frac(1)(4))+\frac(25) (8)$
Conclusion
Si nous divisons par un polynôme de degré supérieur à un, nous devons utiliser l'algorithme pour trouver le quotient et le reste 1-9 .
Si on divise par un polynôme du premier degré mx+n, alors pour trouver le quotient et le reste, il faut utiliser la méthode de Horner avec $x_0=-\frac(n)(m)$.
Si on ne s'intéresse qu'au reste de la division, il suffit de trouver p(x0).
Exemple 6
p(x)=-4x 4 +3x 3 +5x 2 -x+2
q(x)=x-1
x 0 = 1
r=p(1)=-4.1+3.1+5.1-1+2=5
r=5

Qu'il soit exigé

(2x 3 - 7x 2 + x + 1) ÷ (2x - 1).

Ici, le produit (2x 3 - 7x 2 + x + 1) et un facteur (2x - 1) sont donnés, - vous devez trouver un autre facteur. Dans cet exemple, il est immédiatement clair (mais cela ne peut pas être établi en général) que l'autre, le facteur souhaité ou le quotient, est également un polynôme. C'est clair car ce produit a 4 termes, et ce multiplicateur n'est que de 2. Cependant, il est impossible de dire à l'avance combien de termes le multiplicateur recherché a : il peut y avoir 2 termes, 3 termes, etc. En se rappelant que le terme le plus élevé du produit résulte toujours de la multiplication du terme le plus élevé d'un facteur par le terme le plus élevé d'un autre (voir multiplication d'un polynôme par un polynôme) et qu'il ne peut y avoir de tels termes, on est sûr que 2x 3 (le terme le plus élevé de ce produit) proviendra de la multiplication de 2x (le terme le plus élevé de ce facteur) par le terme dominant inconnu du multiplicateur recherché. Pour trouver le dernier, nous devons donc diviser 2x 3 par 2x - nous obtenons x 2 . C'est le doyen du privé.

Rappelons alors que lors de la multiplication d'un polynôme par un polynôme, chaque terme d'un polynôme doit être multiplié par chaque terme de l'autre. Par conséquent, ce produit (2x 3 - 7x 2 + x + 1) est le produit du diviseur (2x - 1) et de tous les termes du quotient. Mais nous pouvons maintenant trouver le produit du diviseur et du premier membre (le plus élevé) du quotient, c'est-à-dire (2x - 1) ∙ x 2 ; on obtient 2x 3 - x 2 . Connaissant le produit du diviseur par tous les termes du quotient (it = 2x 3 - 7x 2 + x + 1) et connaissant le produit du diviseur par le 1er terme du quotient (it = 2x 3 - x 2), par soustraction on peut trouver le produit du diviseur par tous les autres, sauf le 1er, membres du privé. Avoir

(2x 3 - 7x 2 + x + 1) - (2x 3 - x 2) = 2x 3 - 7x 2 + x + 1 - 2x 3 + x 2 = -6x 2 + x + 1.

Le terme le plus élevé (–6x 2) de ce produit restant doit être le produit du terme le plus élevé du diviseur (2x) et du terme le plus élevé du reste (sauf le 1er terme) du quotient. De là, nous trouvons le terme supérieur du quotient restant. Nous avons besoin de –6x 2 ÷ 2x, nous obtenons –3x. C'est le deuxième terme du quotient recherché. Nous pouvons à nouveau trouver le produit du diviseur (2x - 1) et du second terme de quotient, qui vient d'être trouvé, c'est-à-dire -3x.

Nous obtenons (2x - 1) ∙ (-3x) \u003d -6x 2 + 3x. De ce produit entier, nous avons déjà soustrait le produit du diviseur par le 1er terme du quotient et obtenu le reste -6x 2 + x + 1, qui est le produit du diviseur par le reste, à l'exception du 1er, termes du quotient. En y soustrayant le produit que l'on vient de trouver -6x 2 + 3x, on obtient le reste, qui est le produit du diviseur par tous les autres, sauf le 1er et le 2ème, membres du quotient :

-6x 2 + x + 1 - (-6x 2 + 3x) = -6x 2 + x + 1 + 6x 2 - 3x = -2x + 1.

En divisant le terme senior de ce produit restant (–2x) par le terme senior du diviseur (2x), on obtient le terme senior du reste du quotient, ou son troisième terme, (–2x) ÷ 2x = –1, c'est le 3ème terme du quotient.

En multipliant le diviseur par celui-ci, on obtient

(2x – 1) ∙ (–1) = –2x + 1.

En soustrayant ce produit du diviseur par le 3e terme du quotient du produit entier restant jusqu'à présent, c'est-à-dire

(–2x + 1) – (–2x + 1) = –2x + 1 + 2x – 1 = 0,

nous verrons que dans notre exemple le produit est divisé en le reste, sauf pour les 1er, 2ème et 3ème, membres du quotient = 0, d'où nous concluons que le quotient n'a plus de membres, c'est-à-dire

(2x 3 - 7x 2 + x + 1) ÷ (2x - 1) = x 2 - 3x - 1.

D'après ce qui précède, nous voyons: 1) il est commode d'organiser les termes du dividende et du diviseur en puissances décroissantes, 2) il est nécessaire d'établir une sorte d'ordre pour effectuer les calculs. Un tel ordre pratique peut être considéré comme celui qui est utilisé en arithmétique lors de la division de nombres à valeurs multiples. Après cela, nous organisons tous les calculs précédents comme suit (des explications plus brèves sont données sur le côté):

Les soustractions nécessaires ici sont effectuées en changeant les signes des termes du sous-traitant, et ces signes variables sont écrits en haut.

Oui, c'est écrit

Cela signifie : la soustraction était 2x 3 - x 2, et après avoir changé de signe, nous avons obtenu -2x 3 + x 2.

En raison de la disposition acceptée des calculs, du fait que les termes du dividende et du diviseur sont disposés en puissances décroissantes, et du fait que les degrés de la lettre x dans les deux polynômes diminuent à chaque fois de 1, il s'est avéré que ces termes sont écrits les uns sous les autres (par exemple : –7x 2 et +x 2) pourquoi il est facile de les convertir. On peut noter que tous les membres du dividende ne sont pas nécessaires à chaque instant du calcul. Par exemple, le terme +1 n'est pas nécessaire au moment où le 2e terme du quotient a été trouvé, et cette partie du calcul peut être simplifiée.

Plus d'exemples :

1. (2a 4 - 3ab 3 - b 4 - 3a 2 b 2) ÷ (b 2 + a 2 + ab).

Disposez les lettres a en puissances décroissantes et le dividende et le diviseur :

(Notez qu'ici, en raison de l'absence d'un terme avec un 3 dans le dividende, lors de la première soustraction, il s'est avéré que des termes non similaires -a 2 b 2 et -2a 3 b sont signés l'un sous l'autre. Bien sûr, ils ne peut pas être réduit à un seul mandat et les deux sont écrits en dessous de la ligne d'ancienneté).

Dans les deux exemples, il faut être plus attentif aux termes similaires : 1) des termes non similaires s'avèrent souvent être écrits les uns sous les autres et 2) parfois (comme, par exemple, dans le dernier exemple, les termes -4a n et -a n à la première soustraction) des termes similaires sortent écrits pas l'un en dessous de l'autre.

Il est possible d'effectuer la division des polynômes dans un ordre différent, à savoir : chercher à chaque fois le terme le plus bas ou le tout ou le quotient restant. Il convient dans ce cas d'ordonner ces polynômes en puissances ascendantes d'une lettre. Par example:

Cet article examinera les fractions rationnelles, son allocation de parties entières. Les fractions ont raison et tort. Lorsque le numérateur est inférieur au dénominateur dans une fraction, il s'agit d'une fraction propre, et vice versa.

Prenons des exemples de fractions propres : 1 2, 9 29, 8 17, impropres : 16 3, 21 20, 301 24.

Nous calculerons des fractions qui peuvent être réduites, c'est-à-dire que 12 16 est 3 4, 21 14 est 3 2.

Lors de la sélection de la partie entière, le processus de division du numérateur par le dénominateur est effectué. Ensuite, une telle fraction peut être représentée comme la somme d'un entier et d'une partie fractionnaire, où la partie fractionnaire est considérée comme le rapport du reste de la division et du dénominateur.

Exemple 1

Trouvez le reste lorsque 27 est divisé par 4.

Décision

Il faut faire une division par une colonne, alors on obtient que

Donc, 27 4 \u003d partie entière + le reste des n et m et mineur \u003d 6 + 3 4

Répondre: reste 3 .

Exemple 2

Sélectionnez les parties entières 331 12 et 41 57 .

Décision

Nous divisons le dénominateur par le numérateur en utilisant un coin :

Par conséquent, nous avons ce 331 12 \u003d 27 + 7 12.

La deuxième fraction est correcte, ce qui signifie que la partie entière est égale à zéro.

Répondre: parties entières 27 et 0 .

Considérons la classification des polynômes, en d'autres termes, une fonction rationnelle fractionnaire. Il est considéré comme correct lorsque le degré du numérateur est inférieur au degré du dénominateur, sinon il est considéré comme incorrect.

Définition 1

Division d'un polynôme par un polynôme se produit selon le principe de la division par un angle et la représentation de la fonction comme la somme des parties entière et fractionnaire.

Pour diviser un polynôme en un binôme linéaire, le schéma de Horner est utilisé.

Exemple 3

Divisez x 9 + 7 x 7 - 3 2 x 3 - 2 par le monôme 2 x 2.

Décision

En utilisant la propriété de division, on écrit que

x 9 + 7 x 7 - 3 2 x 3 - 2 2 x 2 = x 9 2 x 2 + 7 x 7 2 x 2 - 3 2 x 3 2 x 2 + x 2 2 x 2 - 2 2 x 2 = = 1 2 x 7 + 7 2 x 5 - 3 4 x + 1 2 - 2 2 x - 2 .

Souvent, ce type de transformation est effectué lors de la prise d'intégrales.

Exemple 4

Diviser un polynôme par un polynôme : 2 x 3 + 3 par x 3 + x.

Décision

Le signe de division peut être écrit comme une fraction de la forme 2 x 3 + 3 x 3 + x. Maintenant, vous devez sélectionner la partie entière. Nous le faisons en divisant par une colonne. On comprend ça

Ainsi, nous obtenons que la partie entière a la valeur - 2 x + 3, alors l'expression entière s'écrit 2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 + - 2 x + 3 x 3 + x

Exemple 5

Divisez et trouvez le reste après avoir divisé 2 x 6 - x 5 + 12 x 3 - 72 x 2 + 3 par x 3 + 2 x 2 - 1 .

Décision

Fixons une fraction de la forme 2 x 6 - x 5 + 12 x 3 - 72 x 2 + 3 x 3 + 2 x 2 - 1 .

Le degré du numérateur est supérieur à celui du dénominateur, ce qui signifie que nous avons une fraction impropre. En utilisant la division par une colonne, sélectionnez la partie entière. On comprend ça

Recommençons la division et obtenons :

De là, nous avons que le reste est - 65 x 2 + 10 x - 3, d'où :

2 x 6 - x 5 + 12 x 3 - 72 x 2 + 3 x 3 + 2 x 2 - 1 = 2 x 3 - 5 x 2 + 10 x - 6 + - 65 x 2 + 10 x - 3 x 3 + 2 x 2 - 1

Il existe des cas où il est nécessaire d'effectuer en plus une conversion de fraction afin de pouvoir révéler le reste lors de la division. Il ressemble à ceci :

3 x 5 + 2 x 4 - 12 x 2 - 4 x 3 - 3 = 3 x 2 x 3 - 3 - 3 x 2 x 3 - 3 + 3 x 5 + 2 x 4 - 12 x 2 - 4 x 3 - 3 = = 3 x 2 x 3 - 3 + 2 x 4 - 3 x 2 - 4 x 3 - 3 = 3 x 2 + 2 x 4 - 3 x 2 - 4 x 3 - 3 = = 3 x 2 + 2 x x 3 - 3 - 2 x 3 - 3 + 2 x 4 - 3 x 2 - 4 x 3 - 3 = = 3 x 2 + 2 x (x 3 - 3) - 3 x 2 + 6 x - 4 x 3 - 3 = 3 x 2 + 2 x + - 3 x 2 + 6 x - 4 x 3 - 3

Cela signifie que le reste en divisant 3 x 5 + 2 x 4 - 12 x 2 - 4 par x 3 - 3 donne la valeur - 3 x 2 + 6 x - 4. Pour trouver rapidement le résultat, des formules de multiplication abrégées sont utilisées.

Exemple 6

Divisez 8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 par 2 x + 3 .

Décision

Écrivons la division sous forme de fraction. Nous obtenons que 8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 2 x + 3 . Notez que dans le numérateur, l'expression peut être ajoutée à l'aide de la formule du cube somme. Nous avons ça

8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 2 x + 3 = (2 x + 3) 3 2 x + 3 = (2 x + 3) 2 = 4 x 2 + 12 x + 9

Le polynôme donné est divisible sans reste.

Pour la solution, une méthode de solution plus pratique est utilisée, et la division d'un polynôme par un polynôme est considérée comme la plus universelle, par conséquent, elle est souvent utilisée lors de la sélection d'une partie entière. L'entrée finale doit contenir le polynôme résultant de la division.

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