Comment changer la base d'un logarithme. Propriétés des logarithmes et exemples de leurs solutions. Le guide complet (2019)

Cela découle de sa définition. Et donc le logarithme du nombre b basé sur UN est défini comme l'exposant auquel un nombre doit être élevé un pour obtenir le numéro b(le logarithme n'existe que pour les nombres positifs).

De cette formulation il résulte que le calcul x = journal a b, équivaut à résoudre l’équation un x = b. Par exemple, journal 2 8 = 3 parce que 8 = 2 3 . La formulation du logarithme permet de justifier que si b = un c, puis le logarithme du nombre b basé sur unéquivaut à Avec. Il est également clair que le thème des logarithmes est étroitement lié au thème des puissances d’un nombre.

Avec les logarithmes, comme avec tous les nombres, vous pouvez faire opérations d'addition, de soustraction et transformer de toutes les manières possibles. Mais étant donné que les logarithmes ne sont pas des nombres entièrement ordinaires, leurs propres règles spéciales s'appliquent ici, appelées propriétés principales.

Additionner et soustraire des logarithmes.

Prenons deux logarithmes de mêmes bases : enregistrer un x Et Connectez-vous un y. Il est alors possible d'effectuer des opérations d'addition et de soustraction :

log a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x: y).

enregistrer un(X 1 . X 2 . X 3 ... xk) = enregistrer un x 1 + enregistrer un x 2 + enregistrer un x 3 + ... + log a x k.

Depuis théorème du quotient du logarithme Une autre propriété du logarithme peut être obtenue. Il est de notoriété publique que le journal un 1= 0, donc

enregistrer un 1 /b=journal un 1 - journal un B= - journal un B.

Cela signifie qu'il y a une égalité :

log a 1 / b = - log a b.

Logarithmes de deux nombres réciproques pour la même raison, ils différeront les uns des autres uniquement par leur signe. Donc:

Journal 3 9= - journal 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

Les propriétés de base du logarithme naturel, du graphique, du domaine de définition, de l'ensemble de valeurs, des formules de base, de la dérivée, de l'intégrale, du développement en séries entières et de la représentation de la fonction ln x à l'aide de nombres complexes sont données.

Définition

Un algorithme naturel est la fonction y = dans x, l'inverse de l'exponentielle, x = e y, et est le logarithme à la base du nombre e : ln x = log e x.

Le logarithme népérien est largement utilisé en mathématiques car sa dérivée a la forme la plus simple : (lnx)′ = 1/x.

Basé définitions, la base du logarithme népérien est le nombre e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Graphique de la fonction y = dans x.

Graphique du logarithme népérien (fonctions y = dans x) est obtenu à partir du graphique exponentiel par réflexion miroir par rapport à la droite y = x.

Le logarithme népérien est défini pour les valeurs positives de la variable x. Il augmente de façon monotone dans son domaine de définition.

À x → 0 la limite du logarithme népérien est moins l'infini (-∞).

Comme x → + ∞, la limite du logarithme népérien est plus l'infini (+ ∞). Pour x grand, le logarithme augmente assez lentement. Toute fonction puissance x a avec un exposant positif a croît plus vite que le logarithme.

Propriétés du logarithme népérien

Domaine de définition, ensemble de valeurs, extrema, augmentation, diminution

Le logarithme népérien est une fonction croissante de façon monotone, il n’a donc pas d’extrema. Les principales propriétés du logarithme népérien sont présentées dans le tableau.

valeurs ln x

ln 1 = 0

Formules de base pour les logarithmes naturels

Formules issues de la définition de la fonction inverse :

La propriété principale des logarithmes et ses conséquences

Formule de remplacement de base

Tout logarithme peut être exprimé en termes de logarithmes naturels en utilisant la formule de substitution de base :

Des preuves de ces formules sont présentées dans la section "Logarithme".

Fonction inverse

L'inverse du logarithme népérien est l'exposant.

Si donc

Si donc.

Dérivée ln x

Dérivée du logarithme népérien :
.
Dérivée du logarithme népérien du module x :
.
Dérivée du nième ordre :
.
Formules dérivées > > >

Intégral

L'intégrale est calculée par intégration par parties :
.
Donc,

Expressions utilisant des nombres complexes

Considérons la fonction de la variable complexe z :
.
Exprimons la variable complexe z par module r et argumentation φ :
.
En utilisant les propriétés du logarithme, on a :
.
Ou
.
L'argument φ n'est pas défini de manière unique. Si tu mets
, où n est un nombre entier,
ce sera le même numéro pour différents n.

Par conséquent, le logarithme népérien, en fonction d’une variable complexe, n’est pas une fonction à valeur unique.

Extension de la série de puissance

Lorsque l’agrandissement a lieu :

Les références:
DANS. Bronstein, KA (2004). Semendyaev, Manuel de mathématiques pour ingénieurs et étudiants, « Lan », 2009.

Nous continuons à étudier les logarithmes. Dans cet article, nous parlerons de calculer des logarithmes, ce processus est appelé logarithme. Nous comprendrons d’abord le calcul des logarithmes par définition. Voyons ensuite comment les valeurs des logarithmes sont trouvées à l'aide de leurs propriétés. Après cela, nous nous concentrerons sur le calcul des logarithmes à travers les valeurs initialement spécifiées d'autres logarithmes. Enfin, apprenons à utiliser les tables de logarithmes. La théorie entière est fournie avec des exemples avec des solutions détaillées.

Navigation dans les pages.

Calculer des logarithmes par définition

Dans les cas les plus simples, il est possible d'effectuer assez rapidement et facilement trouver le logarithme par définition. Examinons de plus près comment ce processus se déroule.

Son essence est de représenter le nombre b sous la forme a c, à partir duquel, par définition d'un logarithme, le nombre c est la valeur du logarithme. Autrement dit, par définition, la chaîne d'égalités suivante correspond à la recherche du logarithme : log a b=log a a c =c.

Ainsi, calculer un logarithme revient par définition à trouver un nombre c tel que a c = b, et le nombre c lui-même est la valeur souhaitée du logarithme.

Compte tenu des informations contenues dans les paragraphes précédents, lorsque le nombre sous le signe du logarithme est donné par une certaine puissance de la base du logarithme, vous pouvez immédiatement indiquer à quoi est égal le logarithme - il est égal à l'exposant. Montrons les solutions à l'aide d'exemples.

Exemple.

Trouvez log 2 2 −3 et calculez également le logarithme népérien du nombre e 5,3.

Solution.

La définition du logarithme permet de dire immédiatement que log 2 2 −3 =−3. En effet, le nombre sous le signe du logarithme est égal à la base 2 à la puissance −3.

De même, on retrouve le deuxième logarithme : lne 5,3 =5,3.

Répondre:

log 2 2 −3 =−3 et lne 5,3 =5,3.

Si le nombre b sous le signe du logarithme n'est pas spécifié comme puissance de la base du logarithme, vous devez alors examiner attentivement s'il est possible de proposer une représentation du nombre b sous la forme a c . Souvent cette représentation est assez évidente, surtout lorsque le nombre sous le signe du logarithme est égal à la base à la puissance 1, ou 2, ou 3,...

Exemple.

Calculez les logarithmes log 5 25 , et .

Solution.

Il est facile de voir que 25=5 2, cela permet de calculer le premier logarithme : log 5 25=log 5 5 2 =2.

Passons au calcul du deuxième logarithme. Le nombre peut être représenté par une puissance de 7 : (à voir si nécessaire). Ainsi, .

Réécrivons le troisième logarithme en le formulaire suivant. Maintenant tu peux voir ça , d'où nous concluons que . Par conséquent, par la définition du logarithme .

Brièvement, la solution pourrait s'écrire comme suit : .

Répondre:

journal 5 25=2 , Et .

Lorsque sous le signe du logarithme se trouve un nombre suffisamment grand entier naturel, alors cela ne ferait pas de mal de le prendre en compte dans les facteurs premiers. Il est souvent utile de représenter un nombre tel qu'une certaine puissance de la base du logarithme, et donc de calculer ce logarithme par définition.

Exemple.

Trouvez la valeur du logarithme.

Solution.

Certaines propriétés des logarithmes permettent de spécifier immédiatement la valeur des logarithmes. Ces propriétés incluent la propriété du logarithme de un et la propriété du logarithme d'un nombre égal à la base : log 1 1=log a a 0 =0 et log a a=log a a 1 =1. Autrement dit, lorsque sous le signe du logarithme se trouve un nombre 1 ou un nombre a égal à la base du logarithme, alors dans ces cas les logarithmes sont respectivement égaux à 0 et 1.

Exemple.

À quoi sont égaux les logarithmes et log10 ?

Solution.

Puisque , alors de la définition du logarithme il résulte .

Dans le deuxième exemple, le nombre 10 sous le signe du logarithme coïncide avec sa base, donc le logarithme décimal de dix est égal à un, c'est-à-dire lg10=lg10 1 =1.

Répondre:

ET lg10=1 .

Notez que le calcul des logarithmes par définition (dont nous avons parlé dans le paragraphe précédent) implique l'utilisation de l'égalité log a a p =p, qui est l'une des propriétés des logarithmes.

En pratique, lorsqu'un nombre sous le signe du logarithme et la base du logarithme sont facilement représentés comme une puissance d'un certain nombre, il est très pratique d'utiliser la formule , qui correspond à l'une des propriétés des logarithmes. Regardons un exemple de recherche d'un logarithme qui illustre l'utilisation de cette formule.

Exemple.

Calculez le logarithme.

Solution.

Répondre:

Les propriétés des logarithmes non mentionnées ci-dessus sont également utilisées dans les calculs, mais nous en parlerons dans les paragraphes suivants.

Trouver des logarithmes à l'aide d'autres logarithmes connus

Les informations contenues dans ce paragraphe poursuivent le sujet de l'utilisation des propriétés des logarithmes lors de leur calcul. Mais ici, la principale différence est que les propriétés des logarithmes sont utilisées pour exprimer le logarithme original en fonction d'un autre logarithme dont la valeur est connue. Donnons un exemple pour clarifier. Disons que nous savons que log 2 3≈1,584963, alors nous pouvons trouver, par exemple, log 2 6 en effectuant une petite transformation en utilisant les propriétés du logarithme : log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Dans l’exemple ci-dessus, il nous suffisait d’utiliser la propriété du logarithme d’un produit. Cependant, il est beaucoup plus souvent nécessaire d'utiliser un arsenal plus large de propriétés de logarithmes afin de calculer le logarithme d'origine à travers ceux donnés.

Exemple.

Calculez le logarithme de 27 en base 60 si vous savez que log 60 2=a et log 60 5=b.

Solution.

Nous devons donc trouver le journal 60 27 . Il est facile de voir que 27 = 3 3 , et le logarithme original, en raison de la propriété du logarithme de la puissance, peut être réécrit sous la forme 3·log 60 3 .

Voyons maintenant comment exprimer log 60 3 en termes de logarithmes connus. La propriété du logarithme d'un nombre égal à la base permet d'écrire le log d'égalité 60 60=1. Par contre, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Ainsi, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Ainsi, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

Enfin, nous calculons le logarithme original : log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Répondre:

log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Séparément, il convient de mentionner la signification de la formule de transition vers une nouvelle base du logarithme de la forme . Il permet de passer de logarithmes à base quelconque à des logarithmes à base spécifique dont les valeurs sont connues ou il est possible de les retrouver. Habituellement, à partir du logarithme original, en utilisant la formule de transition, ils passent aux logarithmes dans l'une des bases 2, e ou 10, car pour ces bases il existe des tableaux de logarithmes qui permettent de calculer leurs valeurs avec un certain degré de précision. Dans le paragraphe suivant, nous montrerons comment cela se fait.

Tables de logarithme et leurs utilisations

Pour le calcul approximatif des valeurs du logarithme, vous pouvez utiliser tables de logarithme. La table de logarithme base 2 la plus couramment utilisée est la table logarithmes naturels et un tableau de logarithmes décimaux. Lorsque vous travaillez dans le système de nombres décimaux, il est pratique d'utiliser un tableau de logarithmes basé sur la base dix. Avec son aide, nous apprendrons à trouver les valeurs des logarithmes.

Le tableau présenté permet de retrouver les valeurs des logarithmes décimaux des nombres de 1 000 à 9 999 (avec trois décimales) avec une précision d'un dix millième. Nous analyserons le principe de recherche de la valeur d'un logarithme à l'aide d'un tableau de logarithmes décimaux en exemple spécifique– c’est plus clair comme ça. Trouvons log1.256.

Dans la colonne de gauche du tableau des logarithmes décimaux on retrouve les deux premiers chiffres du nombre 1,256, c'est-à-dire qu'on trouve 1,2 (ce nombre est entouré en bleu pour plus de clarté). Le troisième chiffre du nombre 1.256 (chiffre 5) se trouve dans la première ou la dernière ligne à gauche de la double ligne (ce nombre est entouré de rouge). Le quatrième chiffre du nombre initial 1.256 (chiffre 6) se trouve dans la première ou la dernière ligne à droite de la double ligne (ce nombre est entouré d'un trait vert). On retrouve maintenant les nombres dans les cellules du tableau des logarithmes à l'intersection de la ligne marquée et des colonnes marquées (ces nombres sont mis en évidence orange). La somme des nombres marqués donne la valeur souhaitée du logarithme décimal précis à la quatrième décimale, c'est-à-dire log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Est-il possible, à l'aide du tableau ci-dessus, de trouver les valeurs des logarithmes décimaux des nombres qui ont plus de trois chiffres après la virgule décimale, ainsi que ceux qui dépassent la plage de 1 à 9,999 ? Oui, vous pouvez. Montrons comment cela se fait avec un exemple.

Calculons lg102.76332. Vous devez d'abord écrire numéro sous forme standard: 102,76332=1,0276332·10 2. Après cela, la mantisse doit être arrondie à la troisième décimale, nous avons 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, tandis que le logarithme décimal d'origine est approximativement égal au logarithme du nombre résultant, c'est-à-dire que nous prenons log102,76332≈lg1,028·10 2. Nous appliquons maintenant les propriétés du logarithme : lg1,028·10 2 =lg1,028+lg10 2 =lg1,028+2. Enfin, on retrouve la valeur du logarithme lg1.028 à partir du tableau des logarithmes décimaux lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. En conséquence, l'ensemble du processus de calcul du logarithme ressemble à ceci : log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1,028+lg10 2 =log1,028+2≈0,012+2=2,012.

En conclusion, il convient de noter qu'en utilisant un tableau de logarithmes décimaux, vous pouvez calculer la valeur approximative de n'importe quel logarithme. Pour ce faire, il suffit d'utiliser la formule de transition pour accéder aux logarithmes décimaux, retrouver leurs valeurs dans le tableau et effectuer les calculs restants.

Par exemple, calculons log 2 3 . D'après la formule de transition vers une nouvelle base du logarithme, nous avons . À partir du tableau des logarithmes décimaux, nous trouvons log3≈0,4771 et log2≈0,3010. Ainsi, .

Bibliographie.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. et autres Algèbre et débuts de l'analyse : Manuel pour les classes 10 - 11 des établissements d'enseignement général.
Gusev V.A., Mordkovitch A.G. Mathématiques (un manuel pour ceux qui entrent dans les écoles techniques).

*Étudiant en master sous orientation scientifique Isakhova A.A.,Doctorat en modélisation mathématique et informatique

Avez-vous déjà pensé à la façon dont les gens comptaient dans les temps anciens, quand il n'y avait ni calculatrices ni ordinateurs ? Les calculs étaient effectués manuellement, sur papier ou mentalement. Même si les tâches auxquelles ils étaient confrontés étaient aussi complexes que celles d’aujourd’hui.

Absence des ordinateurs a poussé les mathématiciens de l’Antiquité à simplifier les calculs. Ils ont imaginé des tableaux avec des expressions déjà calculées (par exemple, une table de multiplication) et ont cherché des moyens de remplacer des opérations complexes par des opérations simples. Aujourd’hui, nous allons parler d’une de ces « simplifications » ou de la façon dont les gens ont appris à remplacer la multiplication par l’addition et la division par la soustraction. Grâce à cela, le logarithme a été inventé. Pour comprendre de quoi il s’agit, vous n’avez besoin que de trois étapes.

ÉTAPE 1 : Simplifier et simplifier encore

Commençons par un exemple simple.

2 + 2 = 4

Compliquons le problème et trouvons la somme de cinq deux.

2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10

Et nous avons facilement accompli cette tâche. Et si vous aviez besoin de trouver la somme de 1 000 000 de deux ? L’utilisation d’une méthode de calcul similaire prendra beaucoup de temps et d’espace. Mais des mathématiciens rusés ont réalisé à quel point il est facile de procéder ainsi. Ils ont proposé l’opération de multiplication. Voyons à quoi cela ressemble :

2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 128

Pour simplifier cette expression, les mathématiciens ont imaginé l’opération d’exponentiation. Il est clair que nous parlons de multiplier le même nombre par lui-même n fois, pourquoi le dupliquer et l'écrire encore et encore ? N'est-il pas plus facile de l'écrire de cette façon ?

Ici UN– la base du diplôme, n– exposant. Ainsi, nous avons considérablement raccourci l'enregistrement. Quelle que soit la valeur de l'exposant, l'expression semblera très succincte :

Michael Stiefel(1487-1567) - Mathématicien allemand, a apporté d'importantes contributions au développement de l'algèbre et de ses domaines tels que les progressions, les exponentiations et les nombres négatifs. Stiefel a été le premier à utiliser les concepts d'« exposant » et de « racine ». Malgré le fait que le scientifique ait effectivement utilisé des logarithmes, la gloire du découvreur revient au mathématicien écossais John Napier (1550-1617).

ÉTAPE 2 : Comprendre les propriétés des diplômes

Comme nous l'avons déjà dit, les mathématiciens de l'Antiquité ne s'embarrassaient pas de calculs à chaque fois qu'ils avaient besoin de multiplier ou d'additionner des nombres, mais utilisaient des tableaux avec des résultats pré-calculés. Très confortablement ! À l'aide d'un tableau similaire, un mathématicien allemand Michael Stiefel remarqué un modèle intéressant entre la progression arithmétique et géométrique.

Progression arithmétique	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Progression géométrique	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024
Notation de puissance	2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6	2 7	2 8	2 9	2 10

Essayons de la voir aussi. Après tout, ce modèle vous permet de simplifier les opérations Multiplication et division. Il faut calculer le produit de deux nombres :

16 × 64 = ?

Avant de commencer les calculs, jetez un œil au tableau et trouvez ces nombres : ce sont les termes progression géométrique par incréments de 2. Les nombres au-dessus d'eux dans la rangée du haut : 4 au-dessus de 16 ; 6 sur 64 sont les termes d’une progression arithmétique. Additionnons ces nombres : 4 + 6 = 10. Voyons maintenant quel nombre se trouve sous le nombre 10 dans la deuxième ligne - 1024. Mais si nous terminons notre tâche initiale 16x64, le résultat sera égal à 1024. Cela signifie que, en utilisant le tableau et en sachant seulement additionner des nombres, vous pouvez facilement trouver le produit.

Considérons maintenant l'opération de division :

Regardez à nouveau le tableau et trouvez les nombres correspondants dans la rangée du haut. Nous obtenons respectivement 10 et 7. Si lorsque nous multiplions nous additionnons, alors lorsque nous divisons nous soustrayons : 10–7 = 3. Nous regardons le nombre sous le nombre 3 dans la deuxième rangée, c'est 8. Par conséquent, 1024 : 128 = 8.

De même, vous pouvez utiliser une table pour les opérations exponentiation et extraction de racines.

Par exemple, nous devons mettre au carré 32. Nous regardons le nombre supérieur à 32 dans la rangée du haut. Nous obtenons 5. Multipliez 5 par 2. Le résultat est 10, puis regardez le nombre sous 10 : 1024. D'où 32 2 = 1024.

Considérons l'extraction des racines. Par exemple, trouvons la troisième racine du nombre 512. Au-dessus du nombre 512 dans la rangée du haut se trouve 9. Divisez 9 par 3, nous obtenons 3. Trouvez le nombre correspondant dans la deuxième rangée. Nous obtenons 8. Donc 83 = 512.

Les quatre exemples sont une conséquence des propriétés des diplômes, qui peuvent s’écrire comme suit :

ÉTAPE 3 : Appelons cela un logarithme

Après avoir traité des degrés, essayons de résoudre une petite équation :

2 x = 4

Cette équation s'appelle indicatif. Parce que X, ce que nous devons trouver est indicateur la puissance à laquelle 2 doit être élevé pour obtenir 4. Solution de l'équation x = 2.

Regardons un autre exemple similaire :

2 x = 5

Répétons la condition : nous cherchons le nombre x auquel il faut élever 2 pour obtenir 5. Cette question nous laisse perplexes. Une solution existe probablement ; par exemple, si vous dessinez des graphiques de ces fonctions, elles se croisent. Mais pour le trouver, nous devrons le rechercher par essais et erreurs. Et cela pourrait prendre beaucoup de temps.

C'est pourquoi les anciens scientifiques ont inventé le logarithme : ils savaient qu'une solution à l'équation existait, mais elle n'était pas toujours nécessaire dans l'immédiat. Mathématiquement, cela s'écrit ainsi : x = journal 2 5. Nous avons donc trouvé la solution de l'équation 2 x = 5. Réponse : x = log 2 5. Si nous donnons la réponse exacte, alors x = 2,32192809489..., et cette fraction ne finit jamais.

L'expression se lit comme suit : logarithme de 5 en base 2. C'est facile à retenir : la base est toujours écrite en bas, en notation exponentielle et logarithmique.

Propriétés du logarithme

Les logarithmes ont restrictions. Il y a deux limites strictes en mathématiques.

a) On ne peut pas diviser par zéro

b) Extraire la racine paire d'un nombre négatif(puisqu'un nombre négatif au carré sera toujours positif).

équivalent à l'écriture

une x = b

Restrictions sur un

a est la base qu'il faut élever à la puissance x pour obtenir b.

Si a = 1. Un à n’importe quelle puissance en donnera un.

Et si un moins que zéro? Nombres négatifs- capricieux. Ils peuvent être élevés à un degré, mais pas à un autre. C’est pourquoi nous les excluons également. En conséquence, nous obtenons : a > 0 ; une ≠ 1

Restrictions sur b

Si un nombre positif est élevé à une puissance quelconque, nous obtenons également un nombre positif. D'où : b > 0. x peut être n'importe quel nombre, puisque nous pouvons l'élever à n'importe quelle puissance.

Si b = 1. alors pour tout a la valeur x = 0.

Opérations sur les logarithmes

En tenant compte des propriétés fondamentales des puissances, nous en dérivons des propriétés similaires pour les logarithmes :

Somme. Le logarithme du produit est égal à la somme des logarithmes des facteurs :

Différence. Le logarithme du quotient est égal à la différence entre les logarithmes du dividende et du diviseur :

Degré. Le logarithme d'une puissance est égal au produit de l'exposant et du logarithme de sa base.

propriétés principales.

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x : y).

motifs identiques

Log6 4 + log6 9.

Maintenant, compliquons un peu la tâche.

Exemples de résolution de logarithmes

Et si la base ou l’argument d’un logarithme était une puissance ? Ensuite, l'exposant de ce degré peut être soustrait du signe du logarithme selon les règles suivantes :

Bien entendu, toutes ces règles ont du sens si l'ODZ du logarithme est respectée : a > 0, a ≠ 1, x >

Tâche. Trouvez le sens de l'expression :

Transition vers une nouvelle fondation

Soit le logarithme logax. Alors pour tout nombre c tel que c > 0 et c ≠ 1, l'égalité est vraie :

Tâche. Trouvez le sens de l'expression :

Voir également:

Propriétés de base du logarithme

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

L'exposant est 2,718281828…. Pour mémoriser l'exposant, vous pouvez étudier la règle : l'exposant est égal à 2,7 et deux fois l'année de naissance de Léon Nikolaïevitch Tolstoï.

Propriétés de base des logarithmes

Connaissant cette règle, vous saurez et valeur exacte exposants, et la date de naissance de Léon Tolstoï.

Exemples de logarithmes

Expressions logarithmiques

Exemple 1.
UN). x=10ac^2 (a>0,c>0).

En utilisant les propriétés 3.5, nous calculons

4. Où .

Exemple 2. Trouver x si

Exemple 3. Soit la valeur des logarithmes

Calculer log(x) si

Propriétés de base des logarithmes

Les logarithmes, comme tous les nombres, peuvent être ajoutés, soustraits et transformés de toutes les manières possibles. Mais comme les logarithmes ne sont pas exactement des nombres ordinaires, il existe ici des règles appelées propriétés principales.

Vous devez absolument connaître ces règles - sans elles, aucun problème logarithmique sérieux ne peut être résolu. De plus, il y en a très peu - on peut tout apprendre en une journée. Alors, commençons.

Additionner et soustraire des logarithmes

Considérons deux logarithmes avec les mêmes bases : logax et logay. Ensuite, ils peuvent être ajoutés et soustraits, et :

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x : y).

Ainsi, la somme des logarithmes est égale au logarithme du produit et la différence est égale au logarithme du quotient. Attention : le point clé ici est motifs identiques. Si les raisons sont différentes, ces règles ne fonctionnent pas !

Ces formules vous aideront à calculer une expression logarithmique même lorsque ses parties individuelles ne sont pas prises en compte (voir la leçon « Qu'est-ce qu'un logarithme »). Jetez un œil aux exemples et voyez :

Puisque les logarithmes ont les mêmes bases, nous utilisons la formule de somme :
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log2 48 − log2 3.

Les bases sont les mêmes, on utilise la formule de différence :
log2 48 − log2 3 = log2 (48 : 3) = log2 16 = 4.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log3 135 − log3 5.

Là encore les bases sont les mêmes, on a donc :
log3 135 − log3 5 = log3 (135 : 5) = log3 27 = 3.

Comme vous pouvez le constater, les expressions originales sont constituées de « mauvais » logarithmes, qui ne sont pas calculés séparément. Mais après les transformations, ils s'avèrent plutôt nombres normaux. Beaucoup sont construits sur ce fait papiers de test. Oui, des expressions de type test sont proposées très sérieusement (parfois avec pratiquement aucun changement) lors de l'examen d'État unifié.

Extraire l'exposant du logarithme

Il est facile de voir que la dernière règle suit les deux premières. Mais il vaut quand même mieux s'en souvenir - dans certains cas, cela réduira considérablement le nombre de calculs.

Bien sûr, toutes ces règles ont du sens si l'ODZ du logarithme est observé : a > 0, a ≠ 1, x > 0. Et encore une chose : apprenez à appliquer toutes les formules non seulement de gauche à droite, mais aussi vice versa , c'est à dire. Vous pouvez saisir les nombres avant le signe du logarithme dans le logarithme lui-même. C'est ce qui est le plus souvent demandé.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log7 496.

Débarrassons-nous du degré dans l'argument en utilisant la première formule :
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Tâche. Trouvez le sens de l'expression :

Notez que le dénominateur contient un logarithme dont la base et l'argument sont des puissances exactes : 16 = 24 ; 49 = 72. On a :

Je pense que le dernier exemple nécessite quelques éclaircissements. Où sont passés les logarithmes ? Jusqu'au tout dernier moment, nous travaillons uniquement avec le dénominateur.

Formules de logarithme. Exemples de solutions de logarithmes.

Nous avons présenté la base et l'argument du logarithme sous forme de puissances et avons retiré les exposants - nous avons obtenu une fraction « à trois étages ».

Examinons maintenant la fraction principale. Le numérateur et le dénominateur contiennent le même nombre : log2 7. Puisque log2 7 ≠ 0, nous pouvons réduire la fraction - 2/4 resteront au dénominateur. Selon les règles de l'arithmétique, le quatre peut être transféré au numérateur, ce qui a été fait. Le résultat fut la réponse : 2.

Transition vers une nouvelle fondation

En parlant des règles d'addition et de soustraction de logarithmes, j'ai spécifiquement souligné qu'elles ne fonctionnent qu'avec les mêmes bases. Et si les raisons étaient différentes ? Et s’il ne s’agissait pas de puissances exactes du même nombre ?

Les formules de transition vers une nouvelle fondation viennent à la rescousse. Formulons-les sous la forme d'un théorème :

Soit le logarithme logax. Alors pour tout nombre c tel que c > 0 et c ≠ 1, l'égalité est vraie :

En particulier, si on pose c = x, on obtient :

De la deuxième formule, il s'ensuit que la base et l'argument du logarithme peuvent être intervertis, mais dans ce cas, l'expression entière est « retournée », c'est-à-dire le logarithme apparaît au dénominateur.

Ces formules se retrouvent rarement dans les expressions numériques ordinaires. Il est possible d'évaluer leur commodité uniquement lors de la résolution d'équations logarithmiques et d'inégalités.

Cependant, il existe des problèmes qui ne peuvent être résolus qu’en passant à une nouvelle fondation. Examinons-en quelques-uns :

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log5 16 log2 25.

Notez que les arguments des deux logarithmes contiennent des puissances exactes. Supprimons les indicateurs : log5 16 = log5 24 = 4log5 2 ; log2 25 = log2 52 = 2log2 5 ;

Maintenant, « inversons » le deuxième logarithme :

Étant donné que le produit ne change pas lors de la réorganisation des facteurs, nous avons calmement multiplié quatre par deux, puis nous sommes occupés des logarithmes.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log9 100 lg 3.

La base et l'argument du premier logarithme sont des puissances exactes. Écrivons cela et débarrassons-nous des indicateurs :

Débarrassons-nous maintenant du logarithme décimal en passant à une nouvelle base :

Identité logarithmique de base

Souvent, dans le processus de résolution, il est nécessaire de représenter un nombre sous forme de logarithme sur une base donnée. Dans ce cas, les formules suivantes nous aideront :

Dans le premier cas, le nombre n devient l’exposant de l’argument. Le nombre n peut être absolument n'importe quoi, car il s'agit simplement d'une valeur logarithmique.

La deuxième formule est en fait une définition paraphrasée. C'est comme ça que ça s'appelle : .

En fait, que se passe-t-il si le nombre b est élevé à une puissance telle que le nombre b à cette puissance donne le nombre a ? C'est vrai : le résultat est le même nombre a. Relisez attentivement ce paragraphe – de nombreuses personnes restent bloquées dessus.

Comme les formules de transition vers une nouvelle base, le principal identité logarithmique c'est parfois la seule solution possible.

Tâche. Trouvez le sens de l'expression :

Notez que log25 64 = log5 8 - prend simplement le carré de la base et l'argument du logarithme. En tenant compte des règles de multiplication des puissances de même base, on obtient :

Si quelqu'un ne le sait pas, c'était une véritable tâche de l'examen d'État unifié :)

Unité logarithmique et zéro logarithmique

En conclusion, je donnerai deux identités qui peuvent difficilement être qualifiées de propriétés - elles sont plutôt des conséquences de la définition du logarithme. Ils apparaissent constamment dans les problèmes et, étonnamment, créent des problèmes même pour les étudiants « avancés ».

logaa = 1 est. Rappelez-vous une fois pour toutes : le logarithme de n’importe quelle base a de cette base elle-même est égal à un.
loga 1 = 0 est. La base a peut être n'importe quoi, mais si l'argument en contient un, le logarithme est égal à zéro ! Parce que a0 = 1 est une conséquence directe de la définition.

C'est toutes les propriétés. Assurez-vous de vous entraîner à les mettre en pratique ! Téléchargez l'aide-mémoire au début de la leçon, imprimez-la et résolvez les problèmes.

Voir également:

Le logarithme de b en base a désigne l'expression. Calculer le logarithme signifie trouver une puissance x () à laquelle l'égalité est satisfaite

Propriétés de base du logarithme

Il est nécessaire de connaître les propriétés ci-dessus, car presque tous les problèmes et exemples liés aux logarithmes sont résolus sur cette base. Le reste des propriétés exotiques peut être dérivé par des manipulations mathématiques avec ces formules

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Lorsque vous calculez la formule de la somme et de la différence des logarithmes (3.4), vous la rencontrez assez souvent. Le reste est quelque peu complexe, mais dans un certain nombre de tâches, ils sont indispensables pour simplifier des expressions complexes et calculer leurs valeurs.

Cas courants de logarithmes

Certains des logarithmes courants sont ceux dont la base est même dix, exponentielle ou deux.
Le logarithme en base dix est généralement appelé logarithme décimal et est simplement noté lg(x).

Il ressort clairement de l’enregistrement que les bases ne sont pas écrites dans l’enregistrement. Par exemple

Un logarithme népérien est un logarithme dont la base est un exposant (noté ln(x)).

L'exposant est 2,718281828…. Pour mémoriser l'exposant, vous pouvez étudier la règle : l'exposant est égal à 2,7 et deux fois l'année de naissance de Léon Nikolaïevitch Tolstoï. Connaissant cette règle, vous connaîtrez à la fois la valeur exacte de l'exposant et la date de naissance de Léon Tolstoï.

Et un autre logarithme important en base deux est noté

La dérivée du logarithme d'une fonction est égale à un divisé par la variable

Le logarithme intégral ou primitive est déterminé par la relation

Le matériel fourni vous suffit pour résoudre une large classe de problèmes liés aux logarithmes et aux logarithmes. Pour vous aider à comprendre le matériel, je vais donner juste quelques exemples courants de programme scolaire et les universités.

Exemples de logarithmes

Expressions logarithmiques

Exemple 1.
UN). x=10ac^2 (a>0,c>0).

En utilisant les propriétés 3.5, nous calculons

2.
Par la propriété de différence des logarithmes on a

3.
En utilisant les propriétés 3.5, nous trouvons

4. Où .

Une expression apparemment complexe est simplifiée pour être formée à l'aide d'un certain nombre de règles

Trouver des valeurs de logarithme

Exemple 2. Trouver x si

Solution. Pour le calcul, on applique aux derniers termes 5 et 13 les propriétés

Nous l'enregistrons et pleurons

Puisque les bases sont égales, on assimile les expressions

Logarithmes. Premier niveau.

Soit la valeur des logarithmes

Calculer log(x) si

Solution : Prenons un logarithme de la variable pour écrire le logarithme à travers la somme de ses termes

Ce n'est que le début de notre connaissance des logarithmes et de leurs propriétés. Entraînez-vous aux calculs, enrichissez vos compétences pratiques - vous aurez bientôt besoin des connaissances acquises pour résoudre des équations logarithmiques. Après avoir étudié les méthodes de base pour résoudre de telles équations, nous élargirons vos connaissances à un autre sujet tout aussi important : les inégalités logarithmiques...

Propriétés de base des logarithmes

Additionner et soustraire des logarithmes

Considérons deux logarithmes avec les mêmes bases : logax et logay. Ensuite, ils peuvent être ajoutés et soustraits, et :

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x : y).

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log6 4 + log6 9.

Puisque les logarithmes ont les mêmes bases, nous utilisons la formule de somme :
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log2 48 − log2 3.

Les bases sont les mêmes, on utilise la formule de différence :
log2 48 − log2 3 = log2 (48 : 3) = log2 16 = 4.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log3 135 − log3 5.

Là encore les bases sont les mêmes, on a donc :
log3 135 − log3 5 = log3 (135 : 5) = log3 27 = 3.

Comme vous pouvez le constater, les expressions originales sont constituées de « mauvais » logarithmes, qui ne sont pas calculés séparément. Mais après les transformations, on obtient des nombres tout à fait normaux. De nombreux tests sont basés sur ce fait. Oui, des expressions de type test sont proposées très sérieusement (parfois avec pratiquement aucun changement) lors de l'examen d'État unifié.

Extraire l'exposant du logarithme

Maintenant, compliquons un peu la tâche. Et si la base ou l’argument d’un logarithme était une puissance ? Ensuite, l'exposant de ce degré peut être soustrait du signe du logarithme selon les règles suivantes :

Il est facile de voir que la dernière règle suit les deux premières. Mais il vaut quand même mieux s'en souvenir - dans certains cas, cela réduira considérablement le nombre de calculs.

Comment résoudre des logarithmes

C'est ce qui est le plus souvent demandé.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log7 496.

Débarrassons-nous du degré dans l'argument en utilisant la première formule :
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Tâche. Trouvez le sens de l'expression :

Notez que le dénominateur contient un logarithme dont la base et l'argument sont des puissances exactes : 16 = 24 ; 49 = 72. On a :

Je pense que le dernier exemple nécessite quelques éclaircissements. Où sont passés les logarithmes ? Jusqu'au tout dernier moment, nous travaillons uniquement avec le dénominateur. Nous avons présenté la base et l'argument du logarithme sous forme de puissances et avons retiré les exposants - nous avons obtenu une fraction « à trois étages ».

Transition vers une nouvelle fondation

Les formules de transition vers une nouvelle fondation viennent à la rescousse. Formulons-les sous la forme d'un théorème :

Soit le logarithme logax. Alors pour tout nombre c tel que c > 0 et c ≠ 1, l'égalité est vraie :

En particulier, si on pose c = x, on obtient :

Cependant, il existe des problèmes qui ne peuvent être résolus qu’en passant à une nouvelle fondation. Examinons-en quelques-uns :

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log5 16 log2 25.

Notez que les arguments des deux logarithmes contiennent des puissances exactes. Supprimons les indicateurs : log5 16 = log5 24 = 4log5 2 ; log2 25 = log2 52 = 2log2 5 ;

Maintenant, « inversons » le deuxième logarithme :

Étant donné que le produit ne change pas lors de la réorganisation des facteurs, nous avons calmement multiplié quatre par deux, puis nous sommes occupés des logarithmes.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log9 100 lg 3.

La base et l'argument du premier logarithme sont des puissances exactes. Écrivons cela et débarrassons-nous des indicateurs :

Débarrassons-nous maintenant du logarithme décimal en passant à une nouvelle base :

Identité logarithmique de base

Souvent, dans le processus de résolution, il est nécessaire de représenter un nombre sous forme de logarithme sur une base donnée. Dans ce cas, les formules suivantes nous aideront :

Dans le premier cas, le nombre n devient l’exposant de l’argument. Le nombre n peut être absolument n'importe quoi, car il s'agit simplement d'une valeur logarithmique.

La deuxième formule est en fait une définition paraphrasée. C'est comme ça que ça s'appelle : .

Comme les formules pour passer à une nouvelle base, l’identité logarithmique de base est parfois la seule solution possible.

Tâche. Trouvez le sens de l'expression :

Notez que log25 64 = log5 8 - prend simplement le carré de la base et l'argument du logarithme. En tenant compte des règles de multiplication des puissances de même base, on obtient :

Si quelqu'un ne le sait pas, c'était une véritable tâche de l'examen d'État unifié :)

Unité logarithmique et zéro logarithmique

logaa = 1 est. Rappelez-vous une fois pour toutes : le logarithme de n’importe quelle base a de cette base elle-même est égal à un.
loga 1 = 0 est. La base a peut être n'importe quoi, mais si l'argument en contient un, le logarithme est égal à zéro ! Parce que a0 = 1 est une conséquence directe de la définition.

C'est toutes les propriétés. Assurez-vous de vous entraîner à les mettre en pratique ! Téléchargez l'aide-mémoire au début de la leçon, imprimez-la et résolvez les problèmes.