Un triangle est une figure géométrique composée de trois lignes droites reliées par des points qui ne se trouvent pas sur la même ligne droite. Les points de connexion des lignes sont les sommets du triangle, qui sont désignés avec des lettres latines(par exemple A, B, C). Les lignes droites reliant un triangle sont appelées segments, qui sont également généralement désignés par des lettres latines. On distingue les types de triangles suivants :

Rectangulaire.
Obtus.
Angulaire aigu.
Polyvalent.
Équilatéral.
Isocèle.

Formules générales pour calculer l'aire d'un triangle

Formule pour l'aire d'un triangle basée sur la longueur et la hauteur

S= une*h/2,
où a est la longueur du côté du triangle dont il faut trouver l'aire, h est la longueur de la hauteur tirée jusqu'à la base.

La formule du héron

S=√р*(р-а)*(р-b)*(pc),
où √ est Racine carrée, p est le demi-périmètre du triangle, a,b,c est la longueur de chaque côté du triangle. Le demi-périmètre d'un triangle peut être calculé à l'aide de la formule p=(a+b+c)/2.

Formule pour l'aire d'un triangle basée sur l'angle et la longueur du segment

S = (a*b*sin(α))/2,
Où b, c est la longueur des côtés du triangle, sin(α) est le sinus de l'angle entre les deux côtés.

Formule pour l'aire d'un triangle étant donné le rayon du cercle inscrit et trois côtés

S=p*r,
où p est le demi-périmètre du triangle dont il faut trouver l'aire, r est le rayon du cercle inscrit dans ce triangle.

Formule pour l'aire d'un triangle basée sur trois côtés et le rayon du cercle circonscrit autour de lui

S= (a*b*c)/4*R,
où a,b,c est la longueur de chaque côté du triangle, R est le rayon du cercle circonscrit autour du triangle.

Formule pour l'aire d'un triangle utilisant les coordonnées cartésiennes des points

Les coordonnées cartésiennes des points sont des coordonnées dans le système xOy, où x est l'abscisse, y est l'ordonnée. Le système de coordonnées cartésiennes xOy sur un plan est constitué des axes numériques Ox et Oy mutuellement perpendiculaires ayant une origine commune au point O. Si les coordonnées des points sur ce plan sont données sous la forme A(x1, y1), B(x2, y2 ) et C(x3, y3 ), vous pouvez alors calculer l'aire du triangle à l'aide de la formule suivante, qui est obtenue à partir du produit vectoriel de deux vecteurs.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
où || signifie module.

Comment trouver l'aire d'un triangle rectangle

Un triangle rectangle est un triangle dont un angle mesure 90 degrés. Un triangle ne peut avoir qu’un seul angle.

Formule pour l'aire d'un triangle rectangle sur deux côtés

S= une*b/2,
où a,b est la longueur des jambes. Les jambes sont les côtés adjacents à un angle droit.

Formule pour l'aire d'un triangle rectangle basée sur l'hypoténuse et l'angle aigu

S = a*b*sin(α)/ 2,
où a, b sont les jambes du triangle et sin(α) est le sinus de l'angle auquel les lignes a, b se coupent.

Formule pour l'aire d'un triangle rectangle basée sur le côté et l'angle opposé

S = une*b/2*tg(β),
où a, b sont les branches du triangle, tan(β) est la tangente de l'angle auquel les branches a, b sont connectées.

Comment calculer l'aire d'un triangle isocèle

Un triangle isocèle est un triangle qui possède deux côtés égaux. Ces côtés sont appelés les côtés et l’autre côté est la base. Pour calculer l'aire d'un triangle isocèle, vous pouvez utiliser l'une des formules suivantes.

Formule de base pour calculer l'aire d'un triangle isocèle

S=h*c/2,
où c est la base du triangle, h est la hauteur du triangle abaissé jusqu'à la base.

Formule d'un triangle isocèle basée sur le côté et la base

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
où c est la base du triangle, a est la taille de l'un des côtés du triangle isocèle.

Comment trouver l'aire d'un triangle équilatéral

Un triangle équilatéral est un triangle dont tous les côtés sont égaux. Pour calculer la superficie triangle équilatéral vous pouvez utiliser la formule suivante :
S = (√3*a*a)/4,
où a est la longueur du côté du triangle équilatéral.

Les formules ci-dessus vous permettront de calculer l'aire requise du triangle. Il est important de se rappeler que pour calculer l'aire des triangles, vous devez prendre en compte le type de triangle et les données disponibles qui peuvent être utilisées pour le calcul.

Instructions

Des soirées et les angles sont considérés comme des éléments de base UN. Un triangle est complètement défini par l'un de ses éléments de base suivants : soit trois côtés, soit un côté et deux angles, soit deux côtés et un angle entre eux. Pour l'existence Triangle donné par trois côtés a, b, c, il est nécessaire et suffisant de satisfaire les inégalités dites inégalités Triangle:
a+b > c,
a+c > b,
b+c > a.

Pour la construction Triangle sur trois côtés a, b, c, il faut à partir du point C du segment CB = a tracer un cercle de rayon b à l'aide d'un compas. Ensuite, de la même manière, tracez un cercle à partir du point B avec un rayon égal au côté c. Leur point d'intersection A est le troisième sommet du Triangle ABC, où AB=c, CB=a, CA=b - côtés Triangle. Le problème est que, si les côtés a, b, c satisfont aux inégalités Triangle spécifié à l’étape 1.

Zone S ainsi construite Triangle ABC avec les côtés connus a, b, c, est calculé à l'aide de la formule de Heron :
S = v (p (p-a)(p-b)(p-c)),
où a, b, c sont des côtés Triangle, p – demi-périmètre.
p = (a+b+c)/2

Si un triangle est équilatéral, c'est-à-dire que tous ses côtés sont égaux (a=b=c).Aire Triangle calculé par la formule :
S=(a^2 v3)/4

Si le triangle est rectangle, c'est-à-dire qu'un de ses angles est égal à 90° et que les côtés qui le forment sont des jambes, le troisième côté est l'hypoténuse. DANS dans ce cas carré est égal au produit des jambes divisé par deux.
S=ab/2

Trouver carré Triangle, vous pouvez utiliser l'une des nombreuses formules. Choisissez une formule en fonction des données déjà connues.

Tu auras besoin de

connaissance des formules pour trouver l'aire d'un triangle

Instructions

Si vous connaissez la taille d'un des côtés et la valeur de la hauteur abaissée de ce côté à partir de l'angle opposé à celui-ci, alors vous pouvez trouver l'aire en utilisant la formule suivante : S = a*h/2, où S est l'aire. du triangle, a est l'un des côtés du triangle, et h - hauteur, au côté a.

Il existe une méthode connue pour déterminer l'aire d'un triangle si ses trois côtés sont connus. C'est la formule de Heron. Pour simplifier son enregistrement, une valeur intermédiaire est introduite - semi-périmètre : p = (a+b+c)/2, où a, b, c - . Alors la formule de Heron est la suivante : S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^½, ^ exponentiation.

Supposons que vous connaissiez l'un des côtés d'un triangle et trois angles. Il est alors facile de trouver l'aire du triangle : S = a²sinα sinγ / (2sinβ), où β est l'angle opposé au côté a, et α et γ sont des angles adjacents au côté.

Vidéo sur le sujet

note

Le plus formule générale, qui convient à tous les cas est la formule de Héron.

Sources:

Astuce 3 : Comment trouver l'aire d'un triangle en fonction de trois côtés

Trouver l'aire d'un triangle est l'un des problèmes les plus courants en planimétrie scolaire. Connaître les trois côtés d'un triangle suffit pour déterminer l'aire de n'importe quel triangle. Dans des cas particuliers de triangles équilatéraux, il suffit de connaître respectivement les longueurs de deux et d'un côté.

Tu auras besoin de

longueurs des côtés des triangles, formule de Heron, théorème du cosinus

Instructions

La formule de Heron pour l'aire d'un triangle est la suivante : S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Si on écrit le demi-périmètre p, on obtient : S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c )/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Vous pouvez dériver une formule pour l'aire d'un triangle à partir de considérations, par exemple en appliquant le théorème du cosinus.

D'après le théorème du cosinus, AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). En utilisant les notations introduites, celles-ci peuvent également être écrites sous la forme : b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Par conséquent, cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

L'aire d'un triangle est également trouvée par la formule S = a*c*sin(ABC)/2 en utilisant deux côtés et l'angle qui les sépare. Le sinus de l'angle ABC peut être exprimé en fonction de celui-ci en utilisant la formule de base identité trigonométrique: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2) En remplaçant le sinus dans la formule de l'aire et en l'écrivant, vous pouvez arriver à la formule de l'aire du triangle ABC.

Vidéo sur le sujet

Pour effectuer des travaux de réparation, il peut être nécessaire de mesurer carré des murs Cela facilite le calcul de la quantité requise de peinture ou de papier peint. Pour les mesures, il est préférable d'utiliser un ruban à mesurer ou un ruban à mesurer. Les mesures doivent être prises après des murs ont été nivelés.

Tu auras besoin de

-roulette;
-échelle.

Instructions

Compter carré murs, vous devez connaître la hauteur exacte des plafonds et également mesurer la longueur le long du sol. Cela se fait comme suit : prenez un centimètre et posez-le sur la plinthe. Habituellement, un centimètre ne suffit pas pour toute la longueur, alors fixez-le dans le coin, puis déroulez-le jusqu'à la longueur maximale. À ce stade, faites une marque avec un crayon, notez le résultat obtenu et effectuez d'autres mesures de la même manière, en commençant par le dernier point de mesure.

Les plafonds standards sont de 2 mètres 80 centimètres, 3 mètres et 3 mètres 20 centimètres, selon les maisons. Si la maison a été construite avant les années 50, la hauteur réelle est probablement légèrement inférieure à celle indiquée. Si vous calculez carré pour les travaux de réparation, une petite quantité ne fera pas de mal - à considérer en fonction de la norme. Si vous avez encore besoin de connaître la hauteur réelle, prenez des mesures. Le principe est similaire à la mesure de la longueur, mais vous aurez besoin d'un escabeau.

Multipliez les indicateurs résultants - c'est carré le vôtre des murs. Certes, pour peindre ou pour peindre, il faut soustraire carré ouvertures de portes et de fenêtres. Pour ce faire, posez un centimètre le long de l'ouverture. S'il s'agit d'une porte que vous allez changer par la suite, alors procédez au retrait du cadre de porte en tenant compte uniquement carré directement à l'ouverture elle-même. La superficie de la fenêtre est calculée le long du périmètre de son cadre. Après carré fenêtre et porte calculées, soustrayez le résultat de la surface totale résultante de la pièce.

Veuillez noter que deux personnes doivent mesurer la longueur et la largeur de la pièce, cela permet de fixer plus facilement un centimètre ou un ruban à mesurer et, par conséquent, d'obtenir plus résultat exact. Prenez la même mesure plusieurs fois pour vous assurer que les chiffres que vous obtenez sont exacts.

Vidéo sur le sujet

Trouver le volume d'un triangle est vraiment une tâche non triviale. Le fait est qu'un triangle est une figure à deux dimensions, c'est-à-dire il se trouve entièrement dans un seul plan, ce qui signifie qu'il n'a tout simplement pas de volume. Bien sûr, on ne trouve pas quelque chose qui n’existe pas. Mais n'abandonnons pas ! Nous pouvons accepter l'hypothèse suivante : le volume d'une figure bidimensionnelle est son aire. Nous chercherons l'aire du triangle.

Tu auras besoin de

feuille de papier, crayon, règle, calculatrice

Instructions

Dessinez sur une feuille de papier à l’aide d’une règle et d’un crayon. En examinant attentivement le triangle, vous pouvez vous assurer qu'il n'y a vraiment pas de triangle, puisqu'il est dessiné sur un plan. Étiquetez les côtés du triangle : un côté est le côté "a", l'autre côté "b" et le troisième côté "c". Étiquetez les sommets du triangle avec les lettres « A », « B » et « C ».

Mesurez n'importe quel côté du triangle avec une règle et notez le résultat. Après cela, restituez une perpendiculaire au côté mesuré à partir du sommet opposé, une telle perpendiculaire sera la hauteur du triangle. Dans le cas représenté sur la figure, la perpendiculaire "h" est restituée du côté "c" à partir du sommet "A". Mesurez la hauteur obtenue avec une règle et notez le résultat de la mesure.

Il peut être difficile pour vous de rétablir la perpendiculaire exacte. Dans ce cas, vous devez utiliser une formule différente. Mesurez tous les côtés du triangle avec une règle. Après cela, calculez le demi-périmètre du triangle « p » en additionnant les longueurs des côtés résultantes et en divisant leur somme par deux. Ayant à votre disposition la valeur du demi-périmètre, vous pouvez utiliser la formule de Héron. Pour ce faire, vous devez prendre la racine carrée de ce qui suit : p(p-a)(p-b)(p-c).

Vous avez obtenu l'aire requise du triangle. Le problème de trouver le volume d’un triangle n’a pas été résolu, mais comme mentionné ci-dessus, le volume ne l’est pas. Vous pouvez trouver un volume qui est essentiellement un triangle dans le monde tridimensionnel. Si nous imaginons que notre triangle d'origine est devenu une pyramide tridimensionnelle, alors le volume d'une telle pyramide sera le produit de la longueur de sa base par l'aire du triangle que nous avons obtenu.

note

Plus vous mesurez avec soin, plus vos calculs seront précis.

Sources:

Calculateur «Tout pour tout» - un portail pour les valeurs de référence
volume triangulaire en 2019

Les trois points qui définissent de manière unique un triangle dans le système de coordonnées cartésiennes sont ses sommets. Connaissant leur position par rapport à chacun des axes de coordonnées, vous pouvez calculer tous les paramètres de cette figure plate, y compris ceux limités par son périmètre carré. Cela peut être fait de plusieurs manières.

Instructions

Utilisez la formule de Heron pour calculer la superficie Triangle. Il s'agit des dimensions des trois côtés de la figure, alors commencez vos calculs par . La longueur de chaque côté doit être égale à la racine de la somme des carrés des longueurs de ses projections sur les axes de coordonnées. Si l'on note les coordonnées A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) et C(X₃,Y₃,Z₃), les longueurs de leurs côtés peuvent s'exprimer ainsi : AB = √((X₁- X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Pour simplifier les calculs, introduisez une variable auxiliaire - le demi-périmètre (P). Du fait que cela représente la moitié de la somme des longueurs de tous les côtés : P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁- Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃) ²).

Le triangle est une figure familière à tous. Et ce malgré la riche variété de ses formes. Rectangulaire, équilatéral, aigu, isocèle, obtus. Chacun d’eux est différent d’une certaine manière. Mais pour tout le monde, vous devez connaître l'aire d'un triangle.

Formules communes à tous les triangles qui utilisent les longueurs de côtés ou les hauteurs

Les désignations qui y sont adoptées : côtés - a, b, c ; hauteurs sur les côtés correspondants sur a, n in, n with.

1. L'aire d'un triangle est calculée comme le produit de ½, d'un côté et de la hauteur qui lui est soustraite. S = ½ * une * n une. Les formules des deux autres côtés doivent être écrites de la même manière.

2. La formule de Héron, dans laquelle apparaît le demi-périmètre (il est généralement désigné par la petite lettre p, contrairement au périmètre complet). Le demi-périmètre doit être calculé comme suit : additionnez tous les côtés et divisez-les par 2. La formule du demi-périmètre est : p = (a+b+c) / 2. Ensuite l'égalité pour l'aire de le chiffre ressemble à ceci : S = √ (p * (p - a) * ( р - в) * (р - с)).

3. Si vous ne souhaitez pas utiliser de demi-périmètre, alors une formule qui contient uniquement les longueurs des côtés sera utile : S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a ) * (a + c - c) * (a + b - c)). Il est légèrement plus long que le précédent, mais cela vous aidera si vous avez oublié comment trouver le demi-périmètre.

Formules générales impliquant les angles d'un triangle

Notations nécessaires pour lire les formules : α, β, γ - angles. Ils se trouvent respectivement sur les côtés opposés a, b et c.

1. Selon lui, la moitié du produit de deux côtés et le sinus de l'angle qui les sépare est égal à l'aire du triangle. Soit : S = ½ a * b * sin γ. D'une manière similaire vous devriez écrire les formules pour les deux autres cas.

2. L'aire d'un triangle peut être calculée à partir d'un côté et de trois angles connus. S = (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Il existe également une formule avec un côté connu et deux angles adjacents. Cela ressemble à ceci : S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Les deux dernières formules ne sont pas les plus simples. Il est assez difficile de s'en souvenir.

Formules générales pour les situations où les rayons des cercles inscrits ou circonscrits sont connus

Désignations supplémentaires : r, R - rayons. Le premier est utilisé pour le rayon du cercle inscrit. Le second est pour celui décrit.

1. La première formule par laquelle l'aire d'un triangle est calculée est liée au demi-périmètre. S = r * r. Une autre façon de l'écrire est : S = ½ r * (a + b + c).

2. Dans le second cas, il faudra multiplier tous les côtés du triangle et les diviser par quatre fois le rayon du cercle circonscrit. En expression littérale, cela ressemble à ceci : S = (a * b * c) / (4R).

3. La troisième situation permet de se passer de connaître les côtés, mais vous aurez besoin des valeurs des trois angles. S = 2 R 2 * péché α * péché β * péché γ.

Cas particulier : triangle rectangle

C’est la situation la plus simple, puisque seule la longueur des deux jambes est requise. Ils sont désignés par les lettres latines a et b. Carré triangle rectangleégal à la moitié de l'aire du rectangle qui lui est ajouté.

Mathématiquement, cela ressemble à ceci : S = ½ a * b. C'est le plus simple à retenir. Parce que cela ressemble à la formule de l'aire d'un rectangle, seule une fraction apparaît, indiquant la moitié.

Cas particulier : triangle isocèle

Comme il a deux côtés égaux, certaines formules pour son aire semblent quelque peu simplifiées. Par exemple, la formule de Heron, qui calcule l'aire d'un triangle isocèle, prend la forme suivante :

S = ½ po √((a + ½ po)*(a - ½ po)).

Si vous le transformez, il deviendra plus court. Dans ce cas, la formule de Heron pour un triangle isocèle s’écrit comme suit :

S = ¼ po √(4 * a 2 - b 2).

La formule de l'aire semble un peu plus simple que pour un triangle arbitraire si les côtés et l'angle qui les sépare sont connus. S = ½ a 2 * sin β.

Cas particulier : triangle équilatéral

Habituellement, dans les problèmes, l'aspect est connu ou peut être découvert d'une manière ou d'une autre. Alors la formule pour trouver l'aire d'un tel triangle est la suivante :

S = (une 2 √3) / 4.

Problèmes pour trouver la zone si le triangle est représenté sur du papier à carreaux

La situation la plus simple est lorsqu'un triangle rectangle est dessiné de manière à ce que ses jambes coïncident avec les lignes du papier. Ensuite, il vous suffit de compter le nombre de cellules qui rentrent dans les jambes. Multipliez-les ensuite et divisez par deux.

Lorsque le triangle est aigu ou obtus, il doit être dessiné en rectangle. Ensuite, la figure résultante aura 3 triangles. L’un est celui donné dans le problème. Et les deux autres sont auxiliaires et rectangulaires. Les superficies des deux derniers doivent être déterminées à l’aide de la méthode décrite ci-dessus. Calculez ensuite l'aire du rectangle et soustrayez-en celles calculées pour les auxiliaires. L'aire du triangle est déterminée.

La situation dans laquelle aucun des côtés du triangle ne coïncide avec les lignes du papier s'avère beaucoup plus compliquée. Ensuite, il faut l'inscrire dans un rectangle de manière à ce que les sommets de la figure originale se trouvent sur ses côtés. Dans ce cas, il y aura trois triangles rectangles auxiliaires.

Exemple de problème utilisant la formule de Heron

Condition. Certains triangles ont des côtés connus. Ils sont égaux à 3, 5 et 6 cm, il faut connaître son aire.

Vous pouvez maintenant calculer l'aire du triangle en utilisant la formule ci-dessus. Sous la racine carrée se trouve le produit de quatre nombres : 7, 4, 2 et 1. Autrement dit, l'aire est √(4 * 14) = 2 √(14).

Si une plus grande précision n'est pas requise, vous pouvez alors prendre la racine carrée de 14. Elle est égale à 3,74. La zone sera alors 7,48.

Répondre. S = 2 √14 cm 2 ou 7,48 cm 2.

Exemple de problème avec un triangle rectangle

Condition. Une jambe d'un triangle rectangle est 31 cm plus grande que la seconde. Vous devez connaître leurs longueurs si l'aire du triangle est de 180 cm 2.
Solution. Nous devrons résoudre un système de deux équations. Le premier est lié à la superficie. La seconde concerne le rapport des jambes, qui est donné dans le problème.
180 = ½ a * b ;

une = b + 31.
Premièrement, la valeur de « a » doit être remplacée dans la première équation. Il s'avère : 180 = ½ (po + 31) * po. Il n’y a qu’une seule inconnue, donc facile à résoudre. Après avoir ouvert les parenthèses on obtient équation quadratique: en 2 + 31 en - 360 = 0. Il donne deux valeurs pour "in" : 9 et - 40. Le deuxième nombre ne convient pas comme réponse, puisque la longueur du côté d'un triangle ne peut pas être négative valeur.

Il reste à calculer la deuxième étape : ajoutez au nombre obtenu 31. Vous obtenez 40. Ce sont les quantités recherchées dans le problème.

Répondre. Les pattes du triangle mesurent 9 et 40 cm.

Problème de trouver un côté à travers l'aire, le côté et l'angle d'un triangle

Condition. L'aire d'un certain triangle est de 60 cm 2. Il est nécessaire de calculer un de ses côtés si le deuxième côté mesure 15 cm et que l'angle entre eux est de 30º.

Solution. Basé notations acceptées, le côté souhaité « a », le côté connu « b », l'angle donné « γ ». Ensuite, la formule de l’aire peut être réécrite comme suit :

60 = ½ a * 15 * sin 30º. Ici, le sinus de 30 degrés est de 0,5.

Après transformations, « a » s'avère être égal à 60 / (0,5 * 0,5 * 15). Cela fait 16.

Répondre. Le côté requis est de 16 cm.

Problème concernant un carré inscrit dans un triangle rectangle

Condition. Le sommet d'un carré de 24 cm de côté coïncide avec l'angle droit du triangle. Les deux autres reposent sur les côtés. Le troisième appartient à l'hypoténuse. La longueur d'une des jambes est de 42 cm. Quelle est l'aire du triangle rectangle ?

Solution. Considérons deux triangles rectangles. Le premier est celui spécifié dans la tâche. La seconde est basée sur la branche connue du triangle d’origine. Ils sont similaires car ils ont un angle commun et sont formés de lignes parallèles.

Alors les rapports de leurs jambes sont égaux. Les jambes du plus petit triangle sont égales à 24 cm (côté du carré) et 18 cm (étant donné la jambe 42 cm, soustrayez le côté du carré 24 cm). Les pattes correspondantes d'un grand triangle mesurent 42 cm et x cm, c'est ce « x » qui est nécessaire pour calculer l'aire du triangle.

18/42 = 24/x, c'est-à-dire x = 24 * 42 / 18 = 56 (cm).

L'aire est alors égale au produit de 56 et 42 divisé par deux, soit 1176 cm 2.

Répondre. La surface requise est de 1176 cm 2.

Aire d'un triangle - formules et exemples de résolution de problèmes

Ci-dessous sont formules pour trouver l'aire d'un triangle arbitraire qui conviennent pour trouver l'aire de n'importe quel triangle, quels que soient ses propriétés, ses angles ou ses tailles. Les formules sont présentées sous forme d'image, avec des explications sur leur application ou une justification de leur exactitude. Les correspondances sont également indiquées dans une figure séparée désignations de lettres dans les formules et les symboles graphiques du dessin.

Note . Si le triangle a propriétés spéciales(isocèle, rectangulaire, équilatéral), vous pouvez utiliser les formules données ci-dessous, ainsi que des formules spéciales supplémentaires qui ne sont valables que pour les triangles ayant ces propriétés :

"Formule pour l'aire d'un triangle équilatéral"

Formules d'aire triangulaire

Explications des formules:
une, b, c- les longueurs des côtés du triangle dont on veut trouver l'aire
r- rayon du cercle inscrit dans le triangle
R.- rayon du cercle circonscrit au triangle
h- hauteur du triangle abaissé sur le côté
p- demi-périmètre d'un triangle, 1/2 de la somme de ses côtés (périmètre)
α - angle opposé au côté a du triangle
β - angle opposé au côté b du triangle
γ - angle opposé au côté c du triangle
h un, h b , h c- hauteur du triangle abaissé des côtés a, b, c

Veuillez noter que les notations ci-dessus correspondent à la figure ci-dessus, de sorte que lors de la résolution vrai problème en termes de géométrie, il était visuellement plus facile pour vous de remplacer les bons endroits les formules sont des valeurs correctes.

L'aire du triangle est la moitié du produit de la hauteur du triangle et de la longueur du côté dont cette hauteur est abaissée(Formule 1). L’exactitude de cette formule peut être comprise logiquement. La hauteur abaissée jusqu'à la base divisera un triangle arbitraire en deux rectangles. Si vous construisez chacun d'eux dans un rectangle de dimensions b et h, alors évidemment l'aire de ces triangles sera égale exactement à la moitié de l'aire du rectangle (Spr = bh)
L'aire du triangle est la moitié du produit de ses deux côtés par le sinus de l'angle qui les sépare(Formule 2) (voir un exemple de résolution d'un problème en utilisant cette formule ci-dessous). Même s'il semble différent du précédent, il peut facilement s'y transformer. Si nous abaissons la hauteur de l'angle B au côté b, il s'avère que le produit du côté a et du sinus de l'angle γ, selon les propriétés du sinus dans un triangle rectangle, est égal à la hauteur du triangle que nous avons dessiné , ce qui nous donne la formule précédente
L'aire d'un triangle arbitraire peut être trouvée à travers travail la moitié du rayon du cercle qui y est inscrit par la somme des longueurs de tous ses côtés(Formule 3), en termes simples, vous devez multiplier le demi-périmètre du triangle par le rayon du cercle inscrit (c'est plus facile à retenir)
L'aire d'un triangle arbitraire peut être trouvée en divisant le produit de tous ses côtés par 4 rayons du cercle circonscrit autour de lui (Formule 4)
La formule 5 consiste à trouver l'aire d'un triangle à travers les longueurs de ses côtés et son demi-périmètre (la moitié de la somme de tous ses côtés)
La formule du héron(6) est une représentation de la même formule sans utiliser la notion de demi-périmètre, uniquement à travers les longueurs des côtés
L'aire d'un triangle arbitraire est égale au produit du carré du côté du triangle et des sinus des angles adjacents à ce côté divisé par le double sinus de l'angle opposé à ce côté (Formule 7)
L'aire d'un triangle arbitraire peut être trouvée comme le produit de deux carrés du cercle circonscrit autour de lui par les sinus de chacun de ses angles. (Formule 8)
Si la longueur d'un côté et les valeurs de deux angles adjacents sont connues, alors l'aire du triangle peut être trouvée comme le carré de ce côté divisé par la double somme des cotangentes de ces angles (Formule 9)
Si seule la longueur de chacune des hauteurs du triangle est connue (Formule 10), alors l'aire d'un tel triangle est inversement proportionnelle aux longueurs de ces hauteurs, comme selon la formule de Héron
La Formule 11 permet de calculer aire d'un triangle basée sur les coordonnées de ses sommets, qui sont spécifiés sous forme de valeurs (x;y) pour chacun des sommets. Veuillez noter que la valeur résultante doit être prise modulo, car les coordonnées des sommets individuels (ou même de tous) peuvent se situer dans la région des valeurs négatives.

Note. Voici des exemples de résolution de problèmes de géométrie pour trouver l'aire d'un triangle. Si vous avez besoin de résoudre un problème de géométrie qui n'est pas similaire ici, écrivez-le sur le forum. Dans les solutions, au lieu du symbole "racine carrée", la fonction sqrt() peut être utilisée, dans laquelle sqrt est le symbole racine carrée, et l'expression radicale est indiquée entre parenthèses.Parfois, pour des expressions radicales simples, le symbole peut être utilisé √

Tâche. Trouver l'aire donnée par deux côtés et l'angle entre eux

Les côtés du triangle mesurent 5 et 6 cm et l'angle entre eux est de 60 degrés. Trouver l'aire du triangle.

Solution.

Pour résoudre ce problème, nous utilisons la formule numéro deux de la partie théorique de la leçon.
L'aire d'un triangle peut être trouvée à travers les longueurs de deux côtés et le sinus de l'angle qui les sépare et sera égale à
S = 1/2 ab sin γ

Puisque nous disposons de toutes les données nécessaires à la solution (selon la formule), nous ne pouvons substituer que les valeurs des conditions du problème dans la formule :
S = 1/2 * 5 * 6 * péché 60

Dans le tableau des valeurs des fonctions trigonométriques, nous trouverons et substituerons la valeur du sinus 60 degrés dans l'expression. Ce sera égal à la racine de trois fois deux.
S = 15 √3 / 2

Répondre: 7,5 √3 (selon les exigences du professeur, vous pouvez probablement laisser 15 √3/2)

Tâche. Trouver l'aire d'un triangle équilatéral

Trouvez l'aire d'un triangle équilatéral de 3 cm de côté.

Solution .

L'aire d'un triangle peut être trouvée à l'aide de la formule de Heron :

S = 1/4 carré ((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Puisque a = b = c, la formule de l'aire d'un triangle équilatéral prend la forme :

S = √3 / 4 * une 2

S = √3 / 4 * 3 2

Répondre: 9 √3 / 4.

Tâche. Changement de surface lors du changement de longueur des côtés

Combien de fois l'aire du triangle augmentera-t-elle si les côtés sont augmentés de 4 fois ?

Solution.

Puisque les dimensions des côtés du triangle nous sont inconnues, pour résoudre le problème nous supposerons que les longueurs des côtés sont respectivement égales à des nombres arbitraires a, b, c. Ensuite, afin de répondre à la question du problème, on trouve l'aire triangle donné, puis trouvez l'aire d'un triangle dont les côtés sont quatre fois plus grands. Le rapport des aires de ces triangles nous donnera la réponse au problème.

Ci-dessous, nous fournissons une explication textuelle de la solution au problème étape par étape. Cependant, à la toute fin, cette même solution est présentée sous une forme graphique plus pratique. Les personnes intéressées peuvent immédiatement consulter les solutions.

Pour résoudre, on utilise la formule de Héron (voir ci-dessus dans la partie théorique de la leçon). Cela ressemble à ceci :

S = 1/4 carré ((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(voir première ligne de l'image ci-dessous)

Les longueurs des côtés d'un triangle arbitraire sont spécifiées par les variables a, b, c.
Si les côtés sont augmentés de 4 fois, alors l'aire du nouveau triangle c sera :

S 2 = 1/4 carré ((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(voir deuxième ligne dans l'image ci-dessous)

Comme vous pouvez le voir, 4 est un facteur commun qui peut être retiré des parenthèses des quatre expressions selon règles générales mathématiques.
Alors

S 2 = 1/4 carré(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - sur la troisième ligne de l'image
S 2 = 1/4 carré(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - quatrième ligne

La racine carrée du nombre 256 est parfaitement extraite, alors retirons-la sous la racine
S 2 = 16 * 1/4 carré((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 carré((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(voir cinquième ligne de l'image ci-dessous)

Pour répondre à la question posée dans le problème, il suffit de diviser l'aire du triangle obtenu par l'aire de celui d'origine.
Déterminons les rapports de superficie en divisant les expressions les unes par les autres et en réduisant la fraction résultante.

Le triangle est l'un des plus courants formes géométriques, dont nous faisons déjà connaissance dans école primaire. Chaque élève est confronté à la question de savoir comment trouver l'aire d'un triangle dans les cours de géométrie. Alors, quelles caractéristiques de la recherche de l'aire d'une figure donnée peuvent être identifiées ? Dans cet article, nous examinerons les formules de base nécessaires pour accomplir une telle tâche et analyserons également les types de triangles.

Types de triangles

Vous pouvez trouver l'aire d'un triangle absolument différentes façons, car en géométrie il existe plus d’un type de figures contenant trois angles. Ces types comprennent :

Obtus.
Équilatéral (correct).
Triangle rectangle.
Isocèle.

Examinons de plus près chacun des types de triangles existants.

Cette figure géométrique est considérée comme la plus courante lors de la résolution de problèmes géométriques. Lorsqu'il est nécessaire de dessiner un triangle arbitraire, cette option vient à la rescousse.

Dans un triangle aigu, comme son nom l’indique, tous les angles sont aigus et totalisent 180°.

Ce type de triangle est également très courant, mais un peu moins courant qu'un triangle aigu. Par exemple, lors de la résolution de triangles (c'est-à-dire que plusieurs de ses côtés et angles sont connus et que vous devez trouver les éléments restants), vous devez parfois déterminer si l'angle est obtus ou non. Le cosinus est un nombre négatif.

B, la valeur d'un des angles dépasse 90°, donc les deux angles restants peuvent prendre de petites valeurs (par exemple 15° voire 3°).

Pour trouver l'aire d'un triangle de ce genre, vous devez connaître certaines nuances, dont nous parlerons ensuite.

Triangles réguliers et isocèles

Un polygone régulier est une figure qui comprend n angles et dont les côtés et les angles sont tous égaux. C'est ce qu'est un triangle régulier. Puisque la somme de tous les angles d’un triangle est de 180°, alors chacun des trois angles vaut 60°.

Un triangle régulier, en raison de sa propriété, est aussi appelé figure équilatérale.

Il convient également de noter qu'un seul cercle peut être inscrit dans un triangle régulier, qu'un seul cercle peut être décrit autour de lui et que leurs centres sont situés au même point.

En plus du type équilatéral, on peut également distinguer un triangle isocèle, qui en est légèrement différent. Dans un tel triangle, deux côtés et deux angles sont égaux l'un à l'autre, et le troisième côté (auquel le côté adjacent angles égaux) est la base.

La figure montre un triangle isocèle DEF dont les angles D et F sont égaux et DF est la base.

Triangle rectangle

Un triangle rectangle est ainsi nommé car l’un de ses angles est droit, c’est-à-dire égal à 90°. Les deux autres angles totalisent 90°.

Le plus grand côté d’un tel triangle, opposé à l’angle de 90°, est l’hypoténuse, tandis que les deux autres côtés sont les jambes. Pour ce type de triangle, le théorème de Pythagore s'applique :

La somme des carrés des longueurs des jambes est égale au carré de la longueur de l'hypoténuse.

La figure montre un triangle rectangle BAC avec l'hypoténuse AC et les pattes AB et BC.

Pour trouver l'aire d'un triangle à angle droit, il faut savoir valeurs numériques ses jambes.

Passons aux formules pour trouver l'aire d'une figure donnée.

Formules de base pour trouver une zone

En géométrie, il existe deux formules qui conviennent pour trouver l'aire de la plupart des types de triangles, à savoir pour les triangles aigus, obtus, réguliers et isocèles. Regardons chacun d'eux.

Par côté et en hauteur

Cette formule est universelle pour trouver l'aire de la figure que nous considérons. Pour ce faire, il suffit de connaître la longueur du côté et la longueur de la hauteur qui y est dessinée. La formule elle-même (la moitié du produit de la base et de la hauteur) est la suivante :

où A est le côté d’un triangle donné et H est la hauteur du triangle.

Par exemple, pour trouver la zone Triangle aigu ACB, vous devez multiplier son côté AB par la hauteur CD et diviser la valeur obtenue par deux.

Cependant, il n’est pas toujours facile de trouver l’aire d’un triangle de cette façon. Par exemple, pour utiliser cette formule pour un triangle obtus, vous devez prolonger l'un de ses côtés et ensuite seulement lui tracer une altitude.

En pratique, cette formule est utilisée plus souvent que d’autres.

Des deux côtés et coin

Cette formule, comme la précédente, convient à la plupart des triangles et, dans sa signification, est une conséquence de la formule pour trouver l'aire par côté et par hauteur d'un triangle. Autrement dit, la formule en question peut être facilement dérivée de la précédente. Sa formulation ressemble à ceci :

S = ½*sinO*A*B,

où A et B sont les côtés du triangle et O est l'angle entre les côtés A et B.

Rappelons que le sinus d'un angle peut être visualisé dans un tableau spécial nommé d'après l'éminent mathématicien soviétique V. M. Bradis.

Passons maintenant à d'autres formules qui ne conviennent qu'à des types de triangles exceptionnels.

Aire d'un triangle rectangle

En plus de la formule universelle, qui inclut la nécessité de trouver l'altitude dans un triangle, l'aire d'un triangle contenant un angle droit peut être trouvée à partir de ses jambes.

Ainsi, l'aire d'un triangle contenant un angle droit est la moitié du produit de ses pattes, soit :

où a et b sont les jambes d'un triangle rectangle.

Triangle régulier

Ce type les figures géométriques diffèrent en ce que son aire peut être trouvée avec la valeur indiquée d'un seul de ses côtés (puisque tous les côtés triangle régulier sont égaux). Ainsi, face à la tâche de « trouver l'aire d'un triangle lorsque les côtés sont égaux », vous devez utiliser la formule suivante :

S = UNE 2 *√3 / 4,

où A est le côté du triangle équilatéral.

La formule du héron

La dernière option pour trouver l'aire d'un triangle est la formule de Heron. Pour l'utiliser, vous devez connaître les longueurs des trois côtés de la figure. La formule de Heron ressemble à ceci :

S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c),

où a, b et c sont les côtés d'un triangle donné.

Parfois, le problème est posé : « l’aire d’un triangle régulier consiste à trouver la longueur de son côté ». Dans ce cas, il faut utiliser la formule que l'on connaît déjà pour trouver l'aire d'un triangle régulier et en déduire la valeur du côté (ou de son carré) :

UNE 2 = 4S / √3.

Tâches d'examen

Il existe de nombreuses formules dans les problèmes GIA en mathématiques. De plus, il est souvent nécessaire de trouver l'aire d'un triangle sur du papier quadrillé.

Dans ce cas, il est plus pratique de tracer la hauteur sur l'un des côtés de la figure, de déterminer sa longueur à partir des cellules et d'utiliser formule universelle pour trouver la zone :

Ainsi, après avoir étudié les formules présentées dans l'article, vous n'aurez aucun problème à trouver l'aire d'un triangle de quelque nature que ce soit.