द्विघात समीकरण का मूल क्या है? द्विघात समीकरणों को हल करना, मूल सूत्र, उदाहरण

गणित की कुछ समस्याओं के लिए वर्गमूल के मान की गणना करने की क्षमता की आवश्यकता होती है। ऐसी समस्याओं में दूसरे क्रम के समीकरणों को हल करना शामिल है। इस लेख में हम प्रस्तुत करेंगे प्रभावी तरीकागणना वर्गमूलऔर द्विघात समीकरण के मूलों के लिए सूत्रों के साथ काम करते समय इसका उपयोग करें।

वर्गमूल क्या है?

गणित में, यह अवधारणा प्रतीक √ से मेल खाती है। ऐतिहासिक डेटा कहता है कि इसका उपयोग पहली बार जर्मनी में 16वीं शताब्दी के पूर्वार्द्ध के आसपास किया गया था (बीजगणित पर क्रिस्टोफ रुडोल्फ द्वारा पहला जर्मन कार्य)। वैज्ञानिकों का मानना है कि निर्दिष्ट प्रतीक रूपांतरित है लैटिन अक्षर r (लैटिन में मूलांक का अर्थ है "मूल")।

किसी भी संख्या का मूल उस मान के बराबर होता है जिसका वर्ग मूलांक अभिव्यक्ति से मेल खाता है। गणित की भाषा में यह परिभाषा इस प्रकार दिखेगी: √x = y, यदि y 2 = x.

एक धनात्मक संख्या (x > 0) का मूल भी एक धनात्मक संख्या (y > 0) है, लेकिन यदि आप ऋणात्मक संख्या (x) का मूल लेते हैं< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.

यहां दो सरल उदाहरण दिए गए हैं:

√9 = 3, चूँकि 3 2 = 9; √(-9) = 3i, चूँकि i 2 = -1.

वर्गमूलों का मान ज्ञात करने के लिए हेरोन का पुनरावृत्तीय सूत्र

उपरोक्त उदाहरण बहुत सरल हैं, और उनमें जड़ों की गणना करना कठिन नहीं है। किसी भी मूल्य के लिए मूल मान खोजने में कठिनाइयाँ दिखाई देने लगती हैं जिन्हें एक वर्ग के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है प्राकृतिक संख्या, उदाहरण के लिए √10, √11, √12, √13, इस तथ्य का उल्लेख नहीं है कि व्यवहार में गैर-पूर्णांक संख्याओं के लिए मूल खोजना आवश्यक है: उदाहरण के लिए √(12,15), √(8,5) और इसी तरह।

उपरोक्त सभी मामलों में, वर्गमूल की गणना के लिए एक विशेष विधि का उपयोग किया जाना चाहिए। वर्तमान में, ऐसी कई विधियाँ ज्ञात हैं: उदाहरण के लिए, टेलर श्रृंखला विस्तार, स्तंभ विभाजन और कुछ अन्य। के सभी ज्ञात विधियाँशायद सबसे सरल और सबसे प्रभावी हेरॉन के पुनरावृत्त सूत्र का उपयोग करना है, जिसे वर्गमूल निर्धारित करने की बेबीलोनियाई विधि के रूप में भी जाना जाता है (इस बात के प्रमाण हैं कि प्राचीन बेबीलोनियों ने इसे अपनी व्यावहारिक गणना में उपयोग किया था)।

मान लीजिए कि √x का मान ज्ञात करना आवश्यक है। वर्गमूल ज्ञात करने का सूत्र है अगला दृश्य:

a n+1 = 1/2(a n +x/a n), जहां lim n->∞ (a n) => x।

आइए इस गणितीय संकेतन को समझें। √x की गणना करने के लिए, आपको एक निश्चित संख्या a 0 लेनी चाहिए (यह मनमाना हो सकता है, लेकिन परिणाम जल्दी से प्राप्त करने के लिए, आपको इसे चुनना चाहिए ताकि (a 0) 2 जितना संभव हो x के करीब हो। फिर इसे इसमें प्रतिस्थापित करें वर्गमूल की गणना के लिए संकेतित सूत्र और एक नया नंबर 1 प्राप्त करें, जो पहले से ही वांछित मान के करीब होगा। इसके बाद, आपको अभिव्यक्ति में 1 को प्रतिस्थापित करना होगा और 2 प्राप्त करना होगा। इस प्रक्रिया को आवश्यक होने तक दोहराया जाना चाहिए सटीकता प्राप्त होती है.

हेरॉन के पुनरावृत्तीय सूत्र का उपयोग करने का एक उदाहरण

किसी दी गई संख्या का वर्गमूल प्राप्त करने के लिए ऊपर वर्णित एल्गोरिथ्म कई लोगों को काफी जटिल और भ्रमित करने वाला लग सकता है, लेकिन वास्तव में सब कुछ बहुत सरल हो जाता है, क्योंकि यह सूत्र बहुत तेज़ी से परिवर्तित होता है (विशेषकर यदि एक सफल संख्या 0 को चुना जाता है) .

आइए एक सरल उदाहरण दें: आपको √11 की गणना करने की आवश्यकता है। आइए 0 = 3 चुनें, क्योंकि 3 2 = 9, जो 4 2 = 16 की तुलना में 11 के करीब है। सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है:

ए 1 = 1/2(3 + 11/3) = 3.333333;

ए 2 = 1/2(3.33333 + 11/3.33333) = 3.316668;

ए 3 = 1/2(3.316668 + 11/3.316668) = 3.31662।

गणना जारी रखने का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि हमने पाया कि 2 और 3 में अंतर केवल दशमलव के 5वें स्थान पर शुरू होता है। इस प्रकार, 0.0001 की सटीकता के साथ √11 की गणना करने के लिए सूत्र को केवल 2 बार लागू करना पर्याप्त था।

आजकल, जड़ों की गणना करने के लिए कैलकुलेटर और कंप्यूटर का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, हालांकि, उनके सटीक मूल्य की मैन्युअल रूप से गणना करने में सक्षम होने के लिए चिह्नित सूत्र को याद रखना उपयोगी है।

दूसरे क्रम के समीकरण

यह समझना कि वर्गमूल क्या है और इसकी गणना करने की क्षमता का उपयोग द्विघात समीकरणों को हल करने में किया जाता है। इन समीकरणों को एक अज्ञात के साथ समानता कहा जाता है, जिसका सामान्य रूप नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है।

यहां सी, बी और ए कुछ संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं, और ए शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए, और सी और बी के मान पूरी तरह से मनमाने ढंग से हो सकते हैं, जिसमें शून्य के बराबर भी शामिल है।

x का कोई भी मान जो चित्र में दर्शाई गई समानता को संतुष्ट करता है, उसके मूल कहलाते हैं (इस अवधारणा को वर्गमूल √ के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए)। चूँकि विचाराधीन समीकरण दूसरे क्रम (x 2) का है, तो इसके दो से अधिक मूल नहीं हो सकते। आइए लेख में आगे देखें कि इन जड़ों को कैसे खोजा जाए।

द्विघात समीकरण (सूत्र) के मूल ज्ञात करना

विचाराधीन समानता के प्रकार को हल करने की इस विधि को सार्वभौमिक विधि या विभेदक विधि भी कहा जाता है। इसका उपयोग किसी भी द्विघात समीकरण के लिए किया जा सकता है। द्विघात समीकरण के विभेदक और मूल का सूत्र इस प्रकार है:

यह दर्शाता है कि मूल समीकरण के तीन गुणांकों में से प्रत्येक के मान पर निर्भर करते हैं। इसके अलावा, x 1 की गणना x 2 की गणना से केवल वर्गमूल के सामने के चिह्न से भिन्न होती है। मूल अभिव्यक्ति, जो b 2 - 4ac के बराबर है, प्रश्न में समानता के विभेदक से अधिक कुछ नहीं है। द्विघात समीकरण के मूलों के सूत्र में विवेचक एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है क्योंकि यह समाधानों की संख्या और प्रकार निर्धारित करता है। इसलिए, यदि यह शून्य के बराबर है, तो केवल एक ही समाधान होगा, यदि यह सकारात्मक है, तो समीकरण की दो वास्तविक जड़ें हैं, और अंत में, एक नकारात्मक विभेदक दो जटिल जड़ों x 1 और x 2 की ओर ले जाता है।

विएटा का प्रमेय या दूसरे क्रम के समीकरणों की जड़ों के कुछ गुण

16वीं शताब्दी के अंत में, आधुनिक बीजगणित के संस्थापकों में से एक, एक फ्रांसीसी, दूसरे क्रम के समीकरणों का अध्ययन करते हुए, इसकी जड़ों के गुणों को प्राप्त करने में सक्षम था। गणितीय रूप से इन्हें इस प्रकार लिखा जा सकता है:

एक्स 1 + एक्स 2 = -बी/ए और एक्स 1 * एक्स 2 = सी/ए।

दोनों समानताएं किसी के द्वारा भी आसानी से प्राप्त की जा सकती हैं; ऐसा करने के लिए, आपको बस विवेचक के साथ सूत्र के माध्यम से प्राप्त जड़ों के साथ उचित गणितीय संचालन करने की आवश्यकता है।

इन दो अभिव्यक्तियों के संयोजन को द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए दूसरा सूत्र कहा जा सकता है, जो विभेदक का उपयोग किए बिना इसके समाधान का अनुमान लगाना संभव बनाता है। यहां यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यद्यपि दोनों अभिव्यक्तियाँ हमेशा मान्य होती हैं, किसी समीकरण को हल करने के लिए उनका उपयोग करना तभी सुविधाजनक होता है जब इसे गुणनखंडित किया जा सके।

अर्जित ज्ञान को समेकित करने का कार्य

आइए एक गणितीय समस्या हल करें जिसमें हम लेख में चर्चा की गई सभी तकनीकों का प्रदर्शन करेंगे। समस्या की स्थितियाँ इस प्रकार हैं: आपको दो संख्याएँ ढूंढनी होंगी जिनका गुणनफल -13 है और योग 4 है।

यह स्थिति हमें तुरंत विएटा के प्रमेय की याद दिलाती है; वर्गमूलों और उनके उत्पाद के योग के सूत्रों का उपयोग करते हुए, हम लिखते हैं:

एक्स 1 + एक्स 2 = -बी / ए = 4;

एक्स 1 * एक्स 2 = सी/ए = -13.

यदि हम मान लें कि a = 1, तो b = -4 और c = -13. ये गुणांक हमें दूसरे क्रम का समीकरण बनाने की अनुमति देते हैं:

x 2 - 4x - 13 = 0.

आइए विवेचक के साथ सूत्र का उपयोग करें और निम्नलिखित मूल प्राप्त करें:

x 1.2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.

यानी, समस्या संख्या √68 खोजने तक सिमट कर रह गई। ध्यान दें कि 68 = 4 * 17, फिर, वर्गमूल गुण का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं: √68 = 2√17।

आइए अब सुविचारित वर्गमूल सूत्र का उपयोग करें: a 0 = 4, फिर:

ए 1 = 1/2(4 + 17/4) = 4.125;

ए 2 = 1/2(4.125 + 17/4.125) = 4.1231।

3 की गणना करने की कोई आवश्यकता नहीं है क्योंकि पाए गए मानों में केवल 0.02 का अंतर है। इस प्रकार, √68 = 8.246. इसे x 1,2 के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं:

x 1 = (4 + 8.246)/2 = 6.123 और x 2 = (4 - 8.246)/2 = -2.123।

जैसा कि हम देख सकते हैं, प्राप्त संख्याओं का योग वास्तव में 4 के बराबर है, लेकिन यदि हम उनका गुणनफल पाते हैं, तो यह -12.999 के बराबर होगा, जो 0.001 की सटीकता के साथ समस्या की शर्तों को पूरा करता है।

हम विषय का अध्ययन जारी रखते हैं " समीकरण हल करना" हम रैखिक समीकरणों से पहले ही परिचित हो चुके हैं और परिचित होने की ओर अग्रसर हैं द्विघातीय समीकरण.

सबसे पहले, हम देखेंगे कि द्विघात समीकरण क्या है, इसे सामान्य रूप में कैसे लिखा जाता है, और संबंधित परिभाषाएँ देंगे। इसके बाद, हम उदाहरणों का उपयोग करके विस्तार से जांच करेंगे कि अपूर्ण द्विघात समीकरणों को कैसे हल किया जाता है। इसके बाद, हम संपूर्ण समीकरणों को हल करने के लिए आगे बढ़ेंगे, मूल सूत्र प्राप्त करेंगे, द्विघात समीकरण के विभेदक से परिचित होंगे, और विशिष्ट उदाहरणों के समाधान पर विचार करेंगे। अंत में, आइए मूलों और गुणांकों के बीच संबंध का पता लगाएं।

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द्विघात समीकरण क्या है? उनके प्रकार

सबसे पहले आपको यह स्पष्ट रूप से समझने की आवश्यकता है कि द्विघात समीकरण क्या है। इसलिए, द्विघात समीकरण की परिभाषा के साथ-साथ संबंधित परिभाषाओं के साथ द्विघात समीकरणों के बारे में बातचीत शुरू करना तर्कसंगत है। इसके बाद, आप मुख्य प्रकार के द्विघात समीकरणों पर विचार कर सकते हैं: कम और कम नहीं, साथ ही पूर्ण और अपूर्ण समीकरण।

द्विघात समीकरणों की परिभाषा और उदाहरण

परिभाषा।

द्विघात समीकरणरूप का एक समीकरण है ए एक्स 2 +बी एक्स+सी=0, जहां x एक चर है, a, b और c कुछ संख्याएं हैं, और a गैर-शून्य है।

आइए तुरंत कहें कि द्विघात समीकरणों को अक्सर दूसरी डिग्री के समीकरण कहा जाता है। यह इस तथ्य के कारण है कि द्विघात समीकरण है बीजगणितीय समीकरणदूसरी उपाधि।

बताई गई परिभाषा हमें द्विघात समीकरणों के उदाहरण देने की अनुमति देती है। तो 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0, आदि। ये द्विघात समीकरण हैं.

परिभाषा।

नंबर ए, बी और सी कहलाते हैं द्विघात समीकरण के गुणांक a·x 2 +b·x+c=0, और गुणांक a को पहला, या उच्चतम, या x 2 का गुणांक कहा जाता है, b दूसरा गुणांक है, या x का गुणांक है, और c मुक्त पद है .

उदाहरण के लिए, आइए 5 x 2 −2 x −3=0 के रूप का एक द्विघात समीकरण लें, यहां अग्रणी गुणांक 5 है, दूसरा गुणांक −2 के बराबर है, और मुक्त पद −3 के बराबर है। कृपया ध्यान दें कि जब गुणांक b और/या c ऋणात्मक होते हैं, जैसा कि अभी दिए गए उदाहरण में है, तो द्विघात समीकरण का संक्षिप्त रूप 5 x 2 +(−2) के बजाय 5 x 2 −2 x−3=0 है। ·x+(−3)=0 .

यह ध्यान देने योग्य है कि जब गुणांक a और/या b 1 या −1 के बराबर होते हैं, तो वे आमतौर पर द्विघात समीकरण में स्पष्ट रूप से मौजूद नहीं होते हैं, जो कि ऐसे लिखने की ख़ासियत के कारण होता है। उदाहरण के लिए, द्विघात समीकरण y 2 −y+3=0 में अग्रणी गुणांक एक है, और y का गुणांक −1 के बराबर है।

लघुकृत और अघटीकृत द्विघात समीकरण

अग्रणी गुणांक के मूल्य के आधार पर, कम और कम न किए गए द्विघात समीकरणों को प्रतिष्ठित किया जाता है। आइए हम संबंधित परिभाषाएँ दें।

परिभाषा।

वह द्विघात समीकरण जिसमें अग्रणी गुणांक 1 हो, कहलाता है द्विघात समीकरण दिया गया है. अन्यथा द्विघात समीकरण है अछूता.

के अनुसार यह परिभाषा, द्विघात समीकरण x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0, आदि। - दिया गया है, उनमें से प्रत्येक में पहला गुणांक एक के बराबर है। A 5 x 2 −x−1=0, आदि। - अनिर्धारित द्विघात समीकरण, उनके अग्रणी गुणांक 1 से भिन्न होते हैं।

किसी भी अघटीकृत द्विघात समीकरण से, दोनों पक्षों को अग्रणी गुणांक से विभाजित करके, आप कम किए गए समीकरण पर जा सकते हैं। यह क्रिया एक समतुल्य परिवर्तन है, अर्थात, इस तरह से प्राप्त कम किए गए द्विघात समीकरण की जड़ें मूल अघटीकृत द्विघात समीकरण के समान होती हैं, या, इसकी तरह, इसकी कोई जड़ नहीं होती है।

आइए एक उदाहरण देखें कि एक अघटीकृत द्विघात समीकरण से कम किए गए द्विघात समीकरण में संक्रमण कैसे किया जाता है।

उदाहरण।

समीकरण 3 x 2 +12 x−7=0 से संबंधित घटे हुए द्विघात समीकरण पर जाएँ।

समाधान।

हमें बस मूल समीकरण के दोनों पक्षों को अग्रणी गुणांक 3 से विभाजित करने की आवश्यकता है, यह गैर-शून्य है, इसलिए हम यह क्रिया कर सकते हैं। हमारे पास (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 है, जो समान है, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, और फिर (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, कहां से। इस प्रकार हमने घटा हुआ द्विघात समीकरण प्राप्त किया, जो मूल समीकरण के समतुल्य है।

उत्तर:

पूर्ण और अपूर्ण द्विघात समीकरण

द्विघात समीकरण की परिभाषा में शर्त a≠0 शामिल है। यह शर्त आवश्यक है ताकि समीकरण a x 2 + b x + c = 0 द्विघात हो, क्योंकि जब a = 0 यह वास्तव में b x + c = 0 के रूप का एक रैखिक समीकरण बन जाता है।

जहां तक गुणांक बी और सी का सवाल है, वे अलग-अलग और एक साथ, शून्य के बराबर हो सकते हैं। इन मामलों में, द्विघात समीकरण को अपूर्ण कहा जाता है।

परिभाषा।

द्विघात समीकरण a x 2 +b x+c=0 कहलाता है अधूरा, यदि कम से कम एक गुणांक b, c शून्य के बराबर है।

इसकी बारी में

परिभाषा।

पूर्ण द्विघात समीकरणएक समीकरण है जिसमें सभी गुणांक शून्य से भिन्न हैं।

ऐसे नाम संयोग से नहीं दिये गये। निम्नलिखित चर्चा से यह स्पष्ट हो जायेगा।

यदि गुणांक b शून्य है, तो द्विघात समीकरण a·x 2 +0·x+c=0 का रूप लेता है, और यह समीकरण a·x 2 +c=0 के बराबर है। यदि c=0, अर्थात द्विघात समीकरण का रूप a·x 2 +b·x+0=0 है, तो इसे a·x 2 +b·x=0 के रूप में पुनः लिखा जा सकता है। और b=0 और c=0 के साथ हमें द्विघात समीकरण a·x 2 =0 मिलता है। परिणामी समीकरण पूर्ण द्विघात समीकरण से इस मायने में भिन्न होते हैं कि उनके बाएँ पक्ष में चर x वाला कोई पद, या कोई मुक्त पद, या दोनों नहीं होते हैं। इसलिए उनका नाम - अपूर्ण द्विघात समीकरण।

तो समीकरण x 2 +x+1=0 और −2 x 2 −5 x+0.2=0 पूर्ण द्विघात समीकरणों के उदाहरण हैं, और x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 अपूर्ण द्विघात समीकरण हैं।

अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करना

पिछले पैराग्राफ की जानकारी से यह पता चलता है कि वहाँ है तीन प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरण:

a·x 2 =0, गुणांक b=0 और c=0 इसके अनुरूप हैं;
a x 2 +c=0 जब b=0 ;
और a·x 2 +b·x=0 जब c=0.

आइए हम क्रम से जांच करें कि इनमें से प्रत्येक प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरण कैसे हल किए जाते हैं।

ए एक्स 2 =0

आइए अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने से शुरुआत करें जिनमें गुणांक b और c शून्य के बराबर हैं, यानी a x 2 =0 के रूप के समीकरणों के साथ। समीकरण a·x 2 =0, समीकरण x 2 =0 के समतुल्य है, जो मूल से दोनों भागों को एक गैर-शून्य संख्या a से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है। जाहिर है, समीकरण x 2 =0 का मूल शून्य है, क्योंकि 0 2 =0 है। इस समीकरण का कोई अन्य मूल नहीं है, जिसे इस तथ्य से समझाया गया है कि किसी भी गैर-शून्य संख्या p के लिए असमानता p 2 >0 कायम रहती है, जिसका अर्थ है कि p≠0 के लिए समानता p 2 =0 कभी प्राप्त नहीं होती है।

तो, अपूर्ण द्विघात समीकरण a·x 2 =0 का एक ही मूल x=0 है।

उदाहरण के तौर पर, हम अपूर्ण द्विघात समीकरण -4 x 2 =0 का समाधान देते हैं। यह समीकरण x 2 =0 के समतुल्य है, इसका एकमात्र मूल x=0 है, इसलिए, मूल समीकरण का एक ही मूल शून्य है।

इस मामले में एक संक्षिप्त समाधान इस प्रकार लिखा जा सकता है:
−4 x 2 =0 ,
एक्स 2 =0,
एक्स=0 .

ए एक्स 2 +सी=0

अब आइए देखें कि अपूर्ण द्विघात समीकरणों को कैसे हल किया जाता है जिसमें गुणांक b शून्य है और c≠0 है, अर्थात a x 2 +c=0 के रूप के समीकरण। हम जानते हैं कि किसी पद को समीकरण के एक पक्ष से दूसरे पक्ष में ले जाना विपरीत संकेत, साथ ही समीकरण के दोनों पक्षों को एक गैर-शून्य संख्या से विभाजित करने पर एक समतुल्य समीकरण प्राप्त होता है। इसलिए, हम अपूर्ण द्विघात समीकरण a x 2 +c=0 के निम्नलिखित समतुल्य परिवर्तन कर सकते हैं:

c को दाईं ओर ले जाएँ, जिससे समीकरण a x 2 =−c प्राप्त होता है,
और दोनों पक्षों को a से विभाजित करने पर हमें प्राप्त होता है।

परिणामी समीकरण हमें इसकी जड़ों के बारे में निष्कर्ष निकालने की अनुमति देता है। a और c के मानों के आधार पर, अभिव्यक्ति का मान ऋणात्मक हो सकता है (उदाहरण के लिए, यदि a=1 और c=2, तो ) या सकारात्मक (उदाहरण के लिए, यदि a=−2 और c=6, फिर ), यह शून्य नहीं है, क्योंकि शर्त c≠0 के अनुसार। आइए मामलों को अलग से देखें।

यदि, तो समीकरण की कोई जड़ नहीं है। यह कथन इस तथ्य का अनुसरण करता है कि किसी भी संख्या का वर्ग एक गैर-ऋणात्मक संख्या है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि जब, तब किसी भी संख्या p के लिए समानता सत्य नहीं हो सकती।

यदि, तो समीकरण की जड़ों के साथ स्थिति अलग है। इस मामले में, अगर हम के बारे में याद रखें, तो समीकरण की जड़ तुरंत स्पष्ट हो जाती है; यह संख्या है, क्योंकि। यह अनुमान लगाना आसान है कि संख्या वास्तव में समीकरण का मूल भी है। इस समीकरण की कोई अन्य जड़ नहीं है, जिसे उदाहरण के लिए, विरोधाभास द्वारा दिखाया जा सके। चलो यह करते हैं।

आइए हम x 1 और −x 1 के रूप में घोषित समीकरण की जड़ों को निरूपित करें। मान लीजिए कि समीकरण का एक और मूल x 2 है, जो संकेतित मूल x 1 और −x 1 से भिन्न है। यह ज्ञात है कि किसी समीकरण में x के स्थान पर उसके मूलों को प्रतिस्थापित करने से समीकरण सही संख्यात्मक समानता में बदल जाता है। x 1 और −x 1 के लिए हमारे पास है, और x 2 के लिए हमारे पास है। संख्यात्मक समानता के गुण हमें सही संख्यात्मक समानता के पद-दर-अवधि घटाव करने की अनुमति देते हैं, इसलिए समानता के संगत भागों को घटाने पर x 1 2 −x 2 2 =0 प्राप्त होता है। संख्याओं के साथ संक्रियाओं के गुण हमें परिणामी समानता को (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0 के रूप में फिर से लिखने की अनुमति देते हैं। हम जानते हैं कि दो संख्याओं का गुणनफल शून्य के बराबर होता है यदि और केवल यदि उनमें से कम से कम एक शून्य के बराबर हो। इसलिए, परिणामी समानता से यह निष्कर्ष निकलता है कि x 1 −x 2 =0 और/या x 1 +x 2 =0, जो समान है, x 2 =x 1 और/या x 2 =−x 1। तो हम एक विरोधाभास पर आ गए, क्योंकि शुरुआत में हमने कहा था कि समीकरण x 2 का मूल x 1 और −x 1 से भिन्न है। इससे साबित होता है कि समीकरण का और के अलावा कोई मूल नहीं है।

आइए इस पैराग्राफ में दी गई जानकारी को संक्षेप में प्रस्तुत करें। अपूर्ण द्विघात समीकरण a x 2 +c=0 उस समीकरण के समतुल्य है

इसकी कोई जड़ नहीं है यदि ,
इसकी दो जड़ें हैं और , यदि .

आइए a·x 2 +c=0 रूप के अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने के उदाहरणों पर विचार करें।

आइए द्विघात समीकरण 9 x 2 +7=0 से प्रारंभ करें। मुक्त पद को समीकरण के दाईं ओर ले जाने के बाद, यह 9 x 2 =−7 का रूप ले लेगा। परिणामी समीकरण के दोनों पक्षों को 9 से विभाजित करने पर, हम पहुंचते हैं। चूँकि यह दाहिनी ओर निकला एक ऋणात्मक संख्या, तो इस समीकरण का कोई मूल नहीं है, इसलिए, मूल अपूर्ण द्विघात समीकरण 9 x 2 +7=0 का कोई मूल नहीं है।

आइए एक और अधूरा द्विघात समीकरण हल करें -x 2 +9=0। हम नौ को दाईं ओर ले जाते हैं: −x 2 =−9. अब हम दोनों पक्षों को −1 से विभाजित करते हैं, हमें x 2 =9 प्राप्त होता है। दाहिनी ओर एक धनात्मक संख्या है, जिससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि या। फिर हम अंतिम उत्तर लिखते हैं: अपूर्ण द्विघात समीकरण −x 2 +9=0 के दो मूल x=3 या x=−3 हैं।

ए एक्स 2 +बी एक्स=0

c=0 के लिए अंतिम प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरणों के समाधान से निपटना बाकी है। a x 2 + b x = 0 के रूप के अपूर्ण द्विघात समीकरण आपको हल करने की अनुमति देते हैं गुणनखंडन विधि. जाहिर है, हम समीकरण के बाईं ओर स्थित हो सकते हैं, जिसके लिए सामान्य कारक x को कोष्ठक से बाहर निकालना पर्याप्त है। यह हमें मूल अपूर्ण द्विघात समीकरण से x·(a·x+b)=0 के रूप के समतुल्य समीकरण में जाने की अनुमति देता है। और यह समीकरण दो समीकरणों x=0 और a·x+b=0 के एक सेट के बराबर है, जिनमें से उत्तरार्द्ध रैखिक है और इसका मूल x=−b/a है।

तो, अपूर्ण द्विघात समीकरण a·x 2 +b·x=0 के दो मूल x=0 और x=−b/a हैं।

सामग्री को समेकित करने के लिए, हम एक विशिष्ट उदाहरण के समाधान का विश्लेषण करेंगे।

उदाहरण।

प्रश्न हल करें।

समाधान।

कोष्ठक से x निकालने पर समीकरण प्राप्त होता है। यह दो समीकरण x=0 और के बराबर है। हम परिणामी रैखिक समीकरण को हल करते हैं:, और मिश्रित संख्या को विभाजित करते हैं सामान्य अंश, हम देखतें है । इसलिए, मूल समीकरण की जड़ें x=0 और हैं।

आवश्यक अभ्यास प्राप्त करने के बाद, ऐसे समीकरणों के समाधान संक्षेप में लिखे जा सकते हैं:

उत्तर:

x=0 , .

विवेचक, द्विघात समीकरण के मूलों का सूत्र

द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एक मूल सूत्र होता है। चलो इसे लिख लें द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्र: , कहाँ डी=बी 2 −4 ए सी- तथाकथित द्विघात समीकरण का विभेदक. प्रविष्टि का मूलतः यही अर्थ है।

यह जानना उपयोगी है कि मूल सूत्र कैसे प्राप्त किया गया और इसका उपयोग द्विघात समीकरणों की जड़ों को खोजने में कैसे किया जाता है। आइए इसका पता लगाएं।

द्विघात समीकरण के मूलों के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति

आइए हमें द्विघात समीकरण a·x 2 +b·x+c=0 को हल करने की आवश्यकता है। आइए कुछ समतुल्य परिवर्तन करें:

हम इस समीकरण के दोनों पक्षों को एक गैर-शून्य संख्या a से विभाजित कर सकते हैं, जिसके परिणामस्वरूप निम्नलिखित द्विघात समीकरण प्राप्त होता है।
अब एक पूर्ण वर्ग चुनेंइसके बाईं ओर: . इसके बाद समीकरण बनेगा.
इस स्तर पर, अंतिम दो पदों को विपरीत चिह्न के साथ दाईं ओर स्थानांतरित करना संभव है, हमारे पास है।
और आइए अभिव्यक्ति को दाईं ओर भी रूपांतरित करें:।

परिणामस्वरूप, हम एक ऐसे समीकरण पर पहुंचते हैं जो मूल द्विघात समीकरण a·x 2 +b·x+c=0 के बराबर है।

जब हमने जांच की तो हमने पहले ही पिछले पैराग्राफ में समान रूप वाले समीकरणों को हल कर लिया है। यह आपको ऐसा करने की अनुमति देता है निम्नलिखित निष्कर्षसमीकरण की जड़ों के संबंध में:

यदि, तो समीकरण का कोई वास्तविक समाधान नहीं है;
यदि , तो समीकरण का रूप , इसलिए , है , जिससे उसका एकमात्र मूल दिखाई देता है ;
यदि , तो या , जो या के समान है , अर्थात समीकरण के दो मूल हैं।

इस प्रकार, समीकरण की जड़ों की उपस्थिति या अनुपस्थिति, और इसलिए मूल द्विघात समीकरण, दाईं ओर अभिव्यक्ति के चिह्न पर निर्भर करती है। बदले में, इस अभिव्यक्ति का चिह्न अंश के चिह्न द्वारा निर्धारित किया जाता है, क्योंकि हर 4·a 2 हमेशा सकारात्मक होता है, अर्थात, अभिव्यक्ति b 2 −4·a·c के चिह्न द्वारा। इस अभिव्यक्ति को b 2 −4 a c कहा गया द्विघात समीकरण का विभेदकऔर पत्र द्वारा निर्दिष्ट डी. यहां से विवेचक का सार स्पष्ट है - इसके मूल्य और चिह्न के आधार पर, वे यह निष्कर्ष निकालते हैं कि क्या द्विघात समीकरण की वास्तविक जड़ें हैं, और यदि हां, तो उनकी संख्या क्या है - एक या दो।

आइए समीकरण पर वापस लौटें और विभेदक संकेतन का उपयोग करके इसे फिर से लिखें:। और हम निष्कर्ष निकालते हैं:

यदि डी<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
यदि D=0, तो इस समीकरण का एक ही मूल है;
अंत में, यदि D>0, तो समीकरण के दो मूल हैं या, जिन्हें या के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, और विस्तार करने और भिन्नों को एक सामान्य हर में लाने के बाद हम प्राप्त करते हैं।

इसलिए हमने द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्र निकाले, वे इस तरह दिखते हैं, जहां विभेदक डी की गणना सूत्र डी=बी 2 −4·एसी द्वारा की जाती है।

उनकी सहायता से, एक सकारात्मक विवेचक के साथ, आप द्विघात समीकरण की दोनों वास्तविक जड़ों की गणना कर सकते हैं। जब विवेचक शून्य के बराबर होता है, तो दोनों सूत्र द्विघात समीकरण के अद्वितीय समाधान के अनुरूप मूल का समान मान देते हैं। और एक नकारात्मक विभेदक के साथ, जब एक द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्र का उपयोग करने का प्रयास किया जाता है, तो हमें एक नकारात्मक संख्या का वर्गमूल निकालने का सामना करना पड़ता है, जो हमें दायरे से परे ले जाता है और स्कूल के पाठ्यक्रम. एक नकारात्मक विभेदक के साथ, द्विघात समीकरण की कोई वास्तविक जड़ें नहीं होती हैं, लेकिन एक जोड़ी होती है जटिल सन्युग्मजड़ें, जिन्हें हमारे द्वारा प्राप्त उन्हीं मूल सूत्रों का उपयोग करके पाया जा सकता है।

मूल सूत्रों का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम

व्यवहार में, द्विघात समीकरणों को हल करते समय, आप तुरंत उनके मानों की गणना करने के लिए मूल सूत्र का उपयोग कर सकते हैं। लेकिन यह जटिल जड़ों को खोजने से अधिक संबंधित है।

हालाँकि, स्कूल बीजगणित पाठ्यक्रम में हम आमतौर पर जटिल के बारे में नहीं, बल्कि द्विघात समीकरण की वास्तविक जड़ों के बारे में बात करते हैं। इस मामले में, यह सलाह दी जाती है कि, द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्रों का उपयोग करने से पहले, पहले विवेचक को ढूंढें, सुनिश्चित करें कि यह गैर-नकारात्मक है (अन्यथा, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि समीकरण की वास्तविक जड़ें नहीं हैं), और उसके बाद ही जड़ों के मूल्यों की गणना करें।

उपरोक्त तर्क हमें लिखने की अनुमति देता है द्विघात समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिदम. द्विघात समीकरण a x 2 +b x+c=0 को हल करने के लिए, आपको यह करना होगा:

विभेदक सूत्र D=b 2 −4·a·c का उपयोग करके, इसके मूल्य की गणना करें;
यह निष्कर्ष निकालें कि यदि विभेदक नकारात्मक है तो द्विघात समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है;
यदि D=0 है तो सूत्र का उपयोग करके समीकरण के एकमात्र मूल की गणना करें;
यदि विवेचक सकारात्मक है तो मूल सूत्र का उपयोग करके द्विघात समीकरण के दो वास्तविक मूल खोजें।

यहां हम केवल यह नोट करते हैं कि यदि विवेचक शून्य के बराबर है, तो आप सूत्र का भी उपयोग कर सकते हैं; यह वही मान देगा।

आप द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम का उपयोग करने के उदाहरणों पर आगे बढ़ सकते हैं।

द्विघात समीकरणों को हल करने के उदाहरण

आइए सकारात्मक, नकारात्मक और शून्य विभेदक वाले तीन द्विघात समीकरणों के समाधान पर विचार करें। उनके समाधान से निपटने के बाद, सादृश्य द्वारा किसी भी अन्य द्विघात समीकरण को हल करना संभव होगा। चलो शुरू करें।

उदाहरण।

समीकरण x 2 +2·x−6=0 के मूल ज्ञात कीजिए।

समाधान।

इस मामले में, हमारे पास द्विघात समीकरण के निम्नलिखित गुणांक हैं: a=1, b=2 और c=−6। एल्गोरिदम के अनुसार, आपको सबसे पहले विवेचक की गणना करने की आवश्यकता है; ऐसा करने के लिए, हम संकेतित ए, बी और सी को विभेदक सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं, हमारे पास है D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. चूँकि 28>0, अर्थात् विवेचक शून्य से बड़ा है, द्विघात समीकरण के दो वास्तविक मूल हैं। आइए उन्हें मूल सूत्र का उपयोग करके खोजें, हमें मिलता है, यहां आप परिणामी अभिव्यक्तियों को सरल बना सकते हैं गुणक को मूल चिह्न से आगे ले जानाअंश में कमी के बाद:

उत्तर:

आइए अगले विशिष्ट उदाहरण पर चलते हैं।

उदाहरण।

द्विघात समीकरण −4 x 2 +28 x−49=0 को हल करें।

समाधान।

हम विवेचक को ढूंढ़कर प्रारंभ करते हैं: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. इसलिए, इस द्विघात समीकरण का एक ही मूल है, जिसे हम इस प्रकार पाते हैं, अर्थात,

उत्तर:

एक्स=3.5.

नकारात्मक विभेदक के साथ द्विघात समीकरणों को हल करने पर विचार करना बाकी है।

उदाहरण।

समीकरण 5·y 2 +6·y+2=0 को हल करें.

समाधान।

यहां द्विघात समीकरण के गुणांक हैं: a=5, b=6 और c=2। हमारे पास इन मानों को विभेदक सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. विवेचक नकारात्मक है, इसलिए, इस द्विघात समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है।

यदि आपको जटिल जड़ें निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है, तो उपयोग करें सुप्रसिद्ध सूत्रएक द्विघात समीकरण की जड़ें, और निष्पादित करें जटिल संख्याओं के साथ संचालन:

उत्तर:

कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं, जटिल जड़ें हैं:।

आइए एक बार फिर ध्यान दें कि यदि द्विघात समीकरण का विभेदक नकारात्मक है, तो स्कूल में वे आमतौर पर तुरंत एक उत्तर लिखते हैं जिसमें वे संकेत देते हैं कि कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं, और जटिल जड़ें नहीं पाई जाती हैं।

सम द्वितीय गुणांक के लिए मूल सूत्र

द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्र, जहां D=b 2 −4·a·c आपको अधिक सघन रूप का सूत्र प्राप्त करने की अनुमति देता है, जिससे आप x के सम गुणांक के साथ (या बस a के साथ) द्विघात समीकरणों को हल कर सकते हैं गुणांक जिसका रूप 2·n है, उदाहरण के लिए, या 14· ln5=2·7·ln5 )। चलो उसे बाहर निकालें.

मान लीजिए कि हमें a x 2 +2 n x+c=0 के रूप का एक द्विघात समीकरण हल करना है। आइए हमारे ज्ञात सूत्र का उपयोग करके इसकी जड़ें खोजें। ऐसा करने के लिए, हम विवेचक की गणना करते हैं D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), और फिर हम मूल सूत्र का उपयोग करते हैं:

आइए अभिव्यक्ति n 2 −a c को D 1 के रूप में निरूपित करें (कभी-कभी इसे D "के रूप में दर्शाया जाता है)। फिर दूसरे गुणांक 2 n के साथ विचाराधीन द्विघात समीकरण की जड़ों का सूत्र रूप लेगा। , जहाँ D 1 =n 2 −a·c.

यह देखना आसान है कि D=4·D 1, या D 1 =D/4. दूसरे शब्दों में, डी 1 विवेचक का चौथा भाग है। यह स्पष्ट है कि D 1 का चिन्ह D के चिन्ह के समान है। अर्थात्, चिन्ह D 1 द्विघात समीकरण के मूलों की उपस्थिति या अनुपस्थिति का भी सूचक है।

तो, दूसरे गुणांक 2·n के साथ एक द्विघात समीकरण को हल करने के लिए, आपको इसकी आवश्यकता है

गणना करें D 1 =n 2 −a·c ;
यदि डी 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
यदि डी 1 =0, तो सूत्र का उपयोग करके समीकरण के एकमात्र मूल की गणना करें;
यदि D 1 >0, तो सूत्र का उपयोग करके दो वास्तविक जड़ें खोजें।

आइए इस अनुच्छेद में प्राप्त मूल सूत्र का उपयोग करके उदाहरण को हल करने पर विचार करें।

उदाहरण।

द्विघात समीकरण 5 x 2 −6 x −32=0 को हल करें।

समाधान।

इस समीकरण के दूसरे गुणांक को 2·(−3) के रूप में दर्शाया जा सकता है। यानी, आप मूल द्विघात समीकरण को 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 के रूप में फिर से लिख सकते हैं, यहां a=5, n=−3 और c=−32, और चौथे भाग की गणना कर सकते हैं। विभेदक: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. चूँकि इसका मान धनात्मक है, समीकरण के दो वास्तविक मूल हैं। आइए उचित मूल सूत्र का उपयोग करके उन्हें खोजें:

ध्यान दें कि द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सामान्य सूत्र का उपयोग करना संभव था, लेकिन इस मामले में अधिक कम्प्यूटेशनल कार्य करना होगा।

उत्तर:

द्विघात समीकरणों के स्वरूप को सरल बनाना

कभी-कभी, सूत्रों का उपयोग करके द्विघात समीकरण की जड़ों की गणना शुरू करने से पहले, यह प्रश्न पूछने में कोई हर्ज नहीं है: "क्या इस समीकरण के रूप को सरल बनाना संभव है?" सहमत हूं कि गणना के संदर्भ में द्विघात समीकरण 11 x 2 −4 x−6=0 को 1100 x 2 −400 x−600=0 की तुलना में हल करना आसान होगा।

आमतौर पर, द्विघात समीकरण के रूप को सरल बनाने के लिए दोनों पक्षों को एक निश्चित संख्या से गुणा या विभाजित किया जाता है। उदाहरण के लिए, पिछले पैराग्राफ में समीकरण 1100 x 2 −400 x −600=0 को दोनों पक्षों को 100 से विभाजित करके सरल बनाना संभव था।

एक समान परिवर्तन द्विघात समीकरणों के साथ किया जाता है, जिनके गुणांक नहीं हैं। इस मामले में, समीकरण के दोनों पक्षों को आमतौर पर इसके गुणांकों के निरपेक्ष मूल्यों से विभाजित किया जाता है। उदाहरण के लिए, आइए द्विघात समीकरण 12 x 2 −42 x+48=0 लें। इसके गुणांकों का निरपेक्ष मान: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6। मूल द्विघात समीकरण के दोनों पक्षों को 6 से विभाजित करने पर, हम समतुल्य द्विघात समीकरण 2 x 2 −7 x+8=0 पर पहुंचते हैं।

और द्विघात समीकरण के दोनों पक्षों को गुणा करना आमतौर पर भिन्नात्मक गुणांक से छुटकारा पाने के लिए किया जाता है। इस मामले में, गुणन इसके गुणांकों के हर द्वारा किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि द्विघात समीकरण के दोनों पक्षों को LCM(6, 3, 1)=6 से गुणा किया जाए, तो यह सरल रूप x 2 +4·x−18=0 लेगा।

इस बिंदु के निष्कर्ष में, हम ध्यान देते हैं कि वे लगभग हमेशा सभी पदों के संकेतों को बदलकर द्विघात समीकरण के उच्चतम गुणांक पर ऋण से छुटकारा पाते हैं, जो दोनों पक्षों को −1 से गुणा (या विभाजित) करने के अनुरूप होता है। उदाहरण के लिए, आमतौर पर कोई व्यक्ति द्विघात समीकरण −2 x 2 −3 x+7=0 से समाधान 2 x 2 +3 x−7=0 की ओर बढ़ता है।

द्विघात समीकरण के मूलों और गुणांकों के बीच संबंध

द्विघात समीकरण के मूलों का सूत्र समीकरण के मूलों को उसके गुणांकों के माध्यम से व्यक्त करता है। मूल सूत्र के आधार पर, आप मूलों और गुणांकों के बीच अन्य संबंध प्राप्त कर सकते हैं।

विएटा के प्रमेय से सबसे प्रसिद्ध और लागू सूत्र और के रूप में हैं। विशेष रूप से, दिए गए द्विघात समीकरण के लिए, मूलों का योग विपरीत चिह्न वाले दूसरे गुणांक के बराबर होता है, और मूलों का गुणनफल मुक्त पद के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, द्विघात समीकरण 3 x 2 −7 x + 22 = 0 के रूप को देखकर, हम तुरंत कह सकते हैं कि इसके मूलों का योग 7/3 के बराबर है, और मूलों का गुणनफल 22 के बराबर है। /3.

पहले से लिखे गए सूत्रों का उपयोग करके, आप द्विघात समीकरण की जड़ों और गुणांकों के बीच कई अन्य कनेक्शन प्राप्त कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, आप किसी द्विघात समीकरण के मूलों के वर्गों के योग को उसके गुणांकों के माध्यम से व्यक्त कर सकते हैं:।

ग्रंथ सूची.

बीजगणित:पाठयपुस्तक आठवीं कक्षा के लिए. सामान्य शिक्षा संस्थान / [यु. एन. मकार्यचेव, एन. जी. माइंड्युक, के. आई. नेशकोव, एस. बी. सुवोरोवा]; द्वारा संपादित एस. ए. तेल्यकोवस्की। - 16वाँ संस्करण। - एम.: शिक्षा, 2008. - 271 पी। : बीमार। - आईएसबीएन 978-5-09-019243-9।
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", यानी, पहली डिग्री के समीकरण। इस पाठ में हम देखेंगे द्विघात समीकरण किसे कहते हैंऔर इसे कैसे हल करें।

द्विघात समीकरण क्या है?

महत्वपूर्ण!

किसी समीकरण की डिग्री उस उच्चतम डिग्री से निर्धारित होती है जिस पर अज्ञात खड़ा होता है।

यदि अधिकतम शक्ति जिसमें अज्ञात "2" है, तो आपके पास एक द्विघात समीकरण है।

द्विघात समीकरणों के उदाहरण

5x 2 − 14x + 17 = 0
−x 2 + x +
1
3
= 0
x 2 + 0.25x = 0
एक्स 2 − 8 = 0

महत्वपूर्ण! द्विघात समीकरण का सामान्य रूप इस प्रकार दिखता है:

ए एक्स 2 + बी एक्स + सी = 0

"ए", "बी" और "सी" नंबर दिए गए हैं।

"ए" पहला या उच्चतम गुणांक है;
"बी" दूसरा गुणांक है;
"सी" एक स्वतंत्र सदस्य है.

"ए", "बी" और "सी" को खोजने के लिए आपको अपने समीकरण की तुलना द्विघात समीकरण "ax 2 + bx + c = 0" के सामान्य रूप से करनी होगी।

आइए द्विघात समीकरणों में गुणांक "ए", "बी" और "सी" निर्धारित करने का अभ्यास करें।

5x 2 − 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

समीकरण	कठिनाइयाँ
ए = 5 बी = −14 सी = 17
ए = −7 बी = −13 सी = 8

= 0

ए = −1
बी = 1
सी =
1
3

x 2 + 0.25x = 0

ए = 1
बी = 0.25
सी = 0

एक्स 2 − 8 = 0

ए = 1
बी = 0
सी = −8

द्विघात समीकरणों को कैसे हल करें

रैखिक समीकरणों के विपरीत, द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एक विशेष विधि का उपयोग किया जाता है। जड़ें खोजने का सूत्र.

याद करना!

द्विघात समीकरण को हल करने के लिए आपको चाहिए:

द्विघात समीकरण को कम करें सामान्य उपस्थिति"ax 2 + bx + c = 0"। अर्थात् दाहिनी ओर केवल “0” ही रहना चाहिए;
जड़ों के लिए सूत्र का प्रयोग करें:

आइए एक उदाहरण देखें कि द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग कैसे करें। आइए एक द्विघात समीकरण को हल करें.

एक्स 2 − 3एक्स − 4 = 0

समीकरण "x 2 - 3x - 4 = 0" को पहले ही सामान्य रूप "ax 2 + bx + c = 0" में घटा दिया गया है और अतिरिक्त सरलीकरण की आवश्यकता नहीं है। इसे हल करने के लिए हमें बस आवेदन करने की जरूरत है द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने का सूत्र.

आइए इस समीकरण के लिए गुणांक "ए", "बी" और "सी" निर्धारित करें।

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

इसका उपयोग किसी भी द्विघात समीकरण को हल करने के लिए किया जा सकता है।

सूत्र "x 1;2 = " में मूल अभिव्यक्ति को अक्सर बदल दिया जाता है
अक्षर "D" के लिए "b 2 − 4ac" को विवेचक कहा जाता है। विवेचक की अवधारणा पर "विभेदक क्या है" पाठ में अधिक विस्तार से चर्चा की गई है।

आइए द्विघात समीकरण का एक और उदाहरण देखें।

x 2 + 9 + x = 7x

इस रूप में, गुणांक "ए", "बी" और "सी" निर्धारित करना काफी कठिन है। आइए पहले समीकरण को सामान्य रूप "ax 2 + bx + c = 0" तक कम करें।

एक्स 2 + 9 + एक्स = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

अब आप जड़ों के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।

एक्स 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
एक्स =

एक्स = 3
उत्तर: एक्स = 3

ऐसे समय होते हैं जब द्विघात समीकरणों का कोई मूल नहीं होता। यह स्थिति तब होती है जब सूत्र में मूल के अंतर्गत एक ऋणात्मक संख्या होती है।

मुझे आशा है कि इस लेख का अध्ययन करने के बाद आप सीखेंगे कि पूर्ण द्विघात समीकरण के मूल कैसे ज्ञात करें।

विवेचक का उपयोग करके, केवल पूर्ण द्विघात समीकरणों को हल किया जाता है; अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए, अन्य विधियों का उपयोग किया जाता है, जो आपको लेख "अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करना" में मिलेगा।

किस द्विघात समीकरण को पूर्ण कहा जाता है? यह ax 2 + b x + c = 0 के रूप के समीकरण, जहां गुणांक ए, बी और सी शून्य के बराबर नहीं हैं। इसलिए, एक पूर्ण द्विघात समीकरण को हल करने के लिए, हमें विवेचक डी की गणना करने की आवश्यकता है।

डी = बी 2 - 4एसी।

विवेचक के मूल्य के आधार पर, हम उत्तर लिखेंगे।

यदि विवेचक एक ऋणात्मक संख्या है (D< 0),то корней нет.

यदि विवेचक शून्य है, तो x = (-b)/2a. जब विवेचक एक धनात्मक संख्या (D > 0) हो,

तब x 1 = (-b - √D)/2a, और x 2 = (-b + √D)/2a।

उदाहरण के लिए। प्रश्न हल करें एक्स 2– 4x + 4= 0.

डी = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

उत्तर: 2.

समीकरण 2 हल करें एक्स 2 + एक्स + 3 = 0.

डी = 1 2 – 4 2 3 = – 23

उत्तर: कोई जड़ नहीं.

समीकरण 2 हल करें एक्स 2 + 5x – 7 = 0.

डी = 5 2 – 4 2 (-7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

उत्तर:- 3.5; 1.

तो आइए चित्र 1 में दिए गए आरेख का उपयोग करके पूर्ण द्विघात समीकरणों के समाधान की कल्पना करें।

इन सूत्रों का उपयोग करके आप किसी भी पूर्ण द्विघात समीकरण को हल कर सकते हैं। आपको बस सावधान रहने की जरूरत है समीकरण को मानक रूप के बहुपद के रूप में लिखा गया था

ए एक्स 2 + बीएक्स + सी,अन्यथा आप गलती कर सकते हैं. उदाहरण के लिए, समीकरण x + 3 + 2x 2 = 0 लिखते समय, आप गलती से यह तय कर सकते हैं कि

ए = 1, बी = 3 और सी = 2. फिर

डी = 3 2 – 4 1 2 = 1 और फिर समीकरण के दो मूल हैं। और ये सच नहीं है. (ऊपर उदाहरण 2 का समाधान देखें)।

इसलिए, यदि समीकरण को मानक रूप के बहुपद के रूप में नहीं लिखा गया है, तो पहले पूर्ण द्विघात समीकरण को मानक रूप के बहुपद के रूप में लिखा जाना चाहिए (सबसे बड़े घातांक वाला एकपदी पहले आना चाहिए, अर्थात) ए एक्स 2 , फिर कम के साथ – बीएक्सऔर फिर एक स्वतंत्र सदस्य साथ।

दूसरे पद में घटे हुए द्विघात समीकरण और सम गुणांक वाले द्विघात समीकरण को हल करते समय, आप अन्य सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं। आइये इन सूत्रों से परिचित होते हैं। यदि पूर्ण द्विघात समीकरण में दूसरे पद का गुणांक सम (b = 2k) है, तो आप चित्र 2 में आरेख में दिखाए गए सूत्रों का उपयोग करके समीकरण को हल कर सकते हैं।

यदि गुणांक पर हो तो पूर्ण द्विघात समीकरण को घटा हुआ कहा जाता है एक्स 2 एक के बराबर है और समीकरण का रूप ले लेता है एक्स 2 + पीएक्स + क्यू = 0. ऐसा समीकरण समाधान के लिए दिया जा सकता है, या समीकरण के सभी गुणांकों को गुणांक से विभाजित करके प्राप्त किया जा सकता है ए, पर खड़ा है एक्स 2 .

चित्र 3 घटे हुए वर्ग को हल करने के लिए एक आरेख दिखाता है
समीकरण. आइए इस आलेख में चर्चा किए गए सूत्रों के अनुप्रयोग का एक उदाहरण देखें।

उदाहरण। प्रश्न हल करें

3एक्स 2 + 6x – 6 = 0.

आइए चित्र 1 में दिखाए गए सूत्रों का उपयोग करके इस समीकरण को हल करें।

डी = 6 2 - 4 3 (- 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = -1 + √3

उत्तर:-1 – √3; –1 + √3

आप देख सकते हैं कि इस समीकरण में x का गुणांक एक सम संख्या है, अर्थात b = 6 या b = 2k, जहाँ से k = 3. तो आइए आकृति D के आरेख में दिखाए गए सूत्रों का उपयोग करके समीकरण को हल करने का प्रयास करें 1 = 3 2 - 3 · (- 6 ) = 9 + 18 = 27

√(डी 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

उत्तर:-1 – √3; –1 + √3. यह ध्यान में रखते हुए कि इस द्विघात समीकरण में सभी गुणांक 3 से विभाज्य हैं और विभाजन करने पर, हमें लघु द्विघात समीकरण x 2 + 2x – 2 = 0 प्राप्त होता है। लघु द्विघात समीकरण के सूत्रों का उपयोग करके इस समीकरण को हल करें।
समीकरण चित्र 3.

डी 2 = 2 2 – 4 (-2) = 4 + 8 = 12

√(डी 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

उत्तर:-1 – √3; –1 + √3.

जैसा कि हम देखते हैं, इस समीकरण को हल करते समय विभिन्न सूत्रहमें वही उत्तर मिला. इसलिए, चित्र 1 में दिखाए गए सूत्रों में पूरी तरह से महारत हासिल करने के बाद, आप हमेशा किसी भी पूर्ण द्विघात समीकरण को हल करने में सक्षम होंगे।

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मान लीजिए द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c = 0 दिया गया है।
आइए हम द्विघात त्रिपद ax 2 + bx + c पर वही परिवर्तन लागू करें जो हमने § 13 में किया था, जब हमने प्रमेय साबित किया था कि फ़ंक्शन y = ax 2 + bx + c का ग्राफ एक परवलय है।
हमारे पास है

आमतौर पर अभिव्यक्ति b 2 - 4ac को अक्षर D द्वारा निरूपित किया जाता है और इसे द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c = 0 (या द्विघात त्रिपद ax + bx + c का विभेदक) कहा जाता है।

इस प्रकार

इसका मतलब यह है कि द्विघात समीकरण ax 2 + there + c = O को इस रूप में दोबारा लिखा जा सकता है

किसी भी द्विघात समीकरण को रूप (1) में बदला जा सकता है, जो सुविधाजनक है, जैसा कि हम अब देखेंगे, द्विघात समीकरण की जड़ों की संख्या निर्धारित करने और इन जड़ों को खोजने के लिए।

सबूत। यदि डी< 0, то правая часть уравнения (1) — отрицательное число; в то же время बाईं तरफसमीकरण (1) x के किसी भी मान के लिए गैर-नकारात्मक मान लेता है। इसका मतलब यह है कि x का एक भी मान ऐसा नहीं है जो समीकरण (1) को संतुष्ट कर सके, और इसलिए समीकरण (1) का कोई मूल नहीं है।

उदाहरण 1।समीकरण 2x 2 + 4x + 7 = 0 को हल करें।
समाधान। यहाँ a = 2, b = 4, c = 7,
डी = बी 2 -4एसी = 4 2 . 4. 2. 7 = 16-56 = -40.
चूंकि डी< 0, то по теореме 1 данное квадратное уравнение не имеет корней.

सबूत। यदि D = 0 है, तो समीकरण (1) का रूप लेता है

समीकरण का एकमात्र मूल है.

नोट 1। क्या आपको याद है कि x = - परवलय के शीर्ष का भुज है, जो फलन y = ax 2 + there + c के ग्राफ़ के रूप में कार्य करता है? यह क्यों
मान द्विघात समीकरण ax 2 + there + c - 0 का एकमात्र मूल निकला? "कास्केट" सरलता से खुलता है: यदि D 0 है, तो, जैसा कि हमने पहले स्थापित किया था,

उसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक बिंदु पर शीर्ष के साथ एक परवलय है (उदाहरण के लिए, चित्र 98 देखें)। इसका मतलब यह है कि परवलय के शीर्ष का भुज और D = 0 के लिए द्विघात समीकरण का एकमात्र मूल एक ही संख्या है।

उदाहरण 2.समीकरण 4x 2 - 20x + 25 = 0 को हल करें।
समाधान। यहां a = 4, b = -20, c = 25, D = b 2 - 4ac = (-20) 2 - 4. 4 . 25 = 400 - 400 = 0.

चूँकि D = 0 है, तो प्रमेय 2 के अनुसार इस द्विघात समीकरण का एक मूल है। यह मूल सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है

उत्तर: 2.5.

नोट 2। ध्यान दें कि 4x 2 - 20x +25 एक पूर्ण वर्ग है: 4x 2 - 20x + 25 = (2x - 5) 2.
यदि हमने तुरंत इस पर ध्यान दिया होता, तो हमने समीकरण को इस प्रकार हल किया होता: (2x - 5) 2 = 0, जिसका अर्थ है 2x - 5 = 0, जिससे हमें x = 2.5 मिलता है। सामान्य तौर पर, यदि D = 0 है, तो

ax 2 + bx + c = - हमने इसे पहले टिप्पणी 1 में नोट किया था।
यदि D > 0, तो द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c = 0 के दो मूल हैं, जो सूत्रों द्वारा पाए जाते हैं

सबूत. आइए द्विघात समीकरण ax 2 + b x + c = 0 को (1) के रूप में फिर से लिखें

चलो रखो
शर्त के अनुसार, D > 0, जिसका अर्थ है कि समीकरण का दाहिना भाग एक धनात्मक संख्या है। फिर समीकरण (2) से हमें वह प्राप्त होता है

तो, दिए गए द्विघात समीकरण की दो जड़ें हैं:

नोट 3। गणित में, ऐसा कम ही होता है कि प्रस्तुत शब्द की, लाक्षणिक रूप से, रोजमर्रा की पृष्ठभूमि न हो। आइए कुछ नया लें
संकल्पना-विभेदक. "भेदभाव" शब्द याद रखें। इसका मतलब क्या है? इसका अर्थ है कुछ का अपमान और दूसरों का उत्थान, अर्थात्। अलग रवैया
विभिन्न लोगों के लिए tion. दोनों शब्द (विभेदक और भेदभाव) लैटिन डिस्क्रिमिनन - "भेदभाव करने वाले" से आए हैं। विवेचक मूलों की संख्या के आधार पर द्विघात समीकरणों को अलग करता है।

उदाहरण 3.समीकरण 3x 2 + 8x - 11 = 0 को हल करें।
समाधान। यहाँ a = 3, b = 8, c = - 11,
डी = बी 2 - 4एसी = 8 2 - 4. 3. (-11) = 64 + 132 = 196.
चूँकि D > 0, तो प्रमेय 3 के अनुसार इस द्विघात समीकरण के दो मूल हैं। ये जड़ें सूत्र (3) के अनुसार पाई जाती हैं

वास्तव में, हमने निम्नलिखित नियम विकसित किया है:

समीकरण को हल करने का नियम
कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = 0

यह नियम सार्वभौमिक है; यह पूर्ण और अपूर्ण दोनों द्विघात समीकरणों पर लागू होता है। हालाँकि, अपूर्ण द्विघात समीकरण आमतौर पर इस नियम का उपयोग करके हल नहीं किए जाते हैं; उन्हें हल करना अधिक सुविधाजनक है जैसा कि हमने पिछले पैराग्राफ में किया था।

उदाहरण 4.समीकरण हल करें:

ए) एक्स 2 + 3एक्स - 5 = 0; बी) - 9एक्स 2 + 6एक्स - 1 = 0; ग) 2x 2 -x + 3.5 = 0.

समाधान. a) यहां a = 1, b = 3, c = - 5,
डी = बी 2 - 4एसी = जेड 2 - 4. 1 . (- 5) = 9 + 20 = 29.

चूँकि D > 0, इस द्विघात समीकरण के दो मूल हैं। हम सूत्र (3) का उपयोग करके इन जड़ों को ढूंढते हैं

बी) जैसा कि अनुभव से पता चलता है, द्विघात समीकरणों से निपटना अधिक सुविधाजनक है जिसमें अग्रणी गुणांक सकारात्मक है। इसलिए, सबसे पहले हम समीकरण के दोनों पक्षों को -1 से गुणा करते हैं, हमें मिलता है

9x 2 - 6x + 1 = 0.
यहाँ a = 9, b = -6, c = 1, D = b 2 - 4ac = 36 - 36 = 0।
चूँकि D = 0, इस द्विघात समीकरण का एक मूल है। यह मूल सूत्र x = - द्वारा पाया जाता है। मतलब,

इस समीकरण को अलग तरीके से हल किया जा सकता है: चूंकि
9x 2 - 6x + 1 = (Зх - IJ, तो हमें समीकरण (Зх - I) 2 = 0 मिलता है, जहां से हमें Зх - 1 = 0 मिलता है, यानी x =।

सी) यहां ए = 2, बी = - 1, सी = 3.5, डी = बी 2 - 4एसी = 1 - 4। 2. 3.5= 1 - 28 = - 27. चूंकि डी< 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

गणितज्ञ व्यावहारिक, किफायती लोग होते हैं। वे कहते हैं कि द्विघात समीकरण को हल करने के लिए इतने लंबे नियम का उपयोग क्यों करें, तुरंत एक सामान्य सूत्र लिखना बेहतर है:

यदि यह पता चलता है कि विवेचक D = b 2 - 4ac एक ऋणात्मक संख्या है, तो लिखित सूत्र का कोई मतलब नहीं है (वर्गमूल चिह्न के नीचे एक ऋणात्मक संख्या है), जिसका अर्थ है कि कोई जड़ें नहीं हैं। यदि यह पता चलता है कि विवेचक शून्य के बराबर है, तो हमें मिलता है

अर्थात्, एक मूल (वे यह भी कहते हैं कि इस मामले में द्विघात समीकरण की दो समान जड़ें हैं:

अंत में, यदि यह पता चलता है कि b 2 - 4ac > 0, तो हमें दो मूल x 1 और x 2 मिलते हैं, जिनकी गणना ऊपर बताए अनुसार उन्हीं सूत्रों (3) का उपयोग करके की जाती है।

इस मामले में संख्या स्वयं सकारात्मक है (किसी भी अन्य की तरह)। वर्गमूलएक धनात्मक संख्या से), और इसके सामने दोहरे चिह्न का अर्थ है कि एक मामले में (x 1 खोजने पर) यह धनात्मक संख्या संख्या - b में जोड़ दी जाती है, और दूसरे मामले में (x 2 खोजने पर) यह धनात्मक संख्या है निकाला गया
संख्या से पढ़ें - बी.

आपको चयन की स्वतंत्रता है. क्या आप ऊपर दिए गए नियम का उपयोग करके द्विघात समीकरण को विस्तार से हल करना चाहते हैं; यदि आप चाहें, तो तुरंत सूत्र (4) लिखें और आवश्यक निष्कर्ष निकालने के लिए इसका उपयोग करें।

उदाहरण 5. समीकरण हल करें:

समाधान, ए) बेशक, आप इसे ध्यान में रखते हुए सूत्र (4) या (3) का उपयोग कर सकते हैं इस मामले में लेकिन जब पूर्ण संख्याओं से निपटना आसान और, सबसे महत्वपूर्ण बात, अधिक आनंददायक है तो भिन्नों के साथ काम क्यों करें? आइए हरों से छुटकारा पाएं। ऐसा करने के लिए, आपको समीकरण के दोनों पक्षों को 12 से गुणा करना होगा, अर्थात, भिन्नों के सबसे कम सामान्य हर से जो समीकरण के गुणांक के रूप में कार्य करते हैं। हम पाते हैं

जहां से 8x 2 + 10x - 7 = 0.

आइए अब सूत्र का उपयोग करें (4)

बी) हमारे पास फिर से भिन्नात्मक गुणांक वाला एक समीकरण है: ए = 3, बी = - 0.2, सी = 2.77। आइए समीकरण के दोनों पक्षों को 100 से गुणा करें, फिर हमें पूर्णांक गुणांक वाला एक समीकरण मिलता है:
300x 2 - 20x + 277 = 0.
आगे, हम सूत्र (4) का उपयोग करते हैं:

एक सरल गणना से पता चलता है कि विभेदक (कट्टरपंथी अभिव्यक्ति) एक ऋणात्मक संख्या है। इसका मतलब यह है कि समीकरण की कोई जड़ नहीं है।

उदाहरण 6.प्रश्न हल करें
समाधान। यहां, पिछले उदाहरण के विपरीत, संक्षिप्त सूत्र (4) के बजाय नियम के अनुसार कार्य करना बेहतर है।

हमारे पास a = 5, b = -, c = 1, D = b 2 - 4ac = (-) 2 - 4 है। 5 . 1 = 60 - 20 = 40। चूँकि D > 0, द्विघात समीकरण के दो मूल हैं, जिन्हें हम सूत्र (3) का उपयोग करके देखेंगे।

उदाहरण 7.प्रश्न हल करें
एक्स 2 - (2पी + 1)एक्स + (पी 2 +पी-2) = 0

समाधान। यह द्विघात समीकरण अब तक माने गए सभी द्विघात समीकरणों से इस मायने में भिन्न है कि गुणांक विशिष्ट संख्याएँ नहीं हैं, बल्कि अक्षर अभिव्यक्तियाँ हैं। ऐसे समीकरणों को अक्षर गुणांक वाले समीकरण या पैरामीटर वाले समीकरण कहा जाता है। इस मामले में, पैरामीटर (अक्षर) पी दूसरे गुणांक और समीकरण के मुक्त पद में शामिल है।
आइए विभेदक खोजें:

उदाहरण 8. समीकरण px 2 + (1 - p) x - 1 = 0 को हल करें।
समाधान। यह भी पैरामीटर पी वाला एक समीकरण है, लेकिन, पिछले उदाहरण के विपरीत, इसे सूत्र (4) या (3) का उपयोग करके तुरंत हल नहीं किया जा सकता है। तथ्य यह है कि संकेतित सूत्र द्विघात समीकरणों पर लागू होते हैं, लेकिन हम अभी तक किसी दिए गए समीकरण के बारे में ऐसा नहीं कह सकते हैं। दरअसल, क्या होगा यदि पी = 0? तब
समीकरण 0 का रूप लेगा। x 2 + (1-0)x- 1 = 0, यानी x - 1 = 0, जिससे हमें x = 1 मिलता है। अब, यदि आप निश्चित रूप से जानते हैं, तो आप द्विघात की जड़ों के लिए सूत्र लागू कर सकते हैं समीकरण: