लघुगणक का आधार कैसे बदलें. लघुगणक के गुण और उनके समाधान के उदाहरण। व्यापक गाइड (2019)

इसकी परिभाषा से अनुसरण करता है. और इसलिए संख्या का लघुगणक बीपर आधारित एको उस घातांक के रूप में परिभाषित किया गया है जिससे किसी संख्या को बढ़ाया जाना चाहिए एनंबर पाने के लिए बी(लघुगणक केवल सकारात्मक संख्याओं के लिए मौजूद है)।

इस सूत्रीकरण से यह निष्कर्ष निकलता है कि गणना x=लॉग ए बी, समीकरण को हल करने के बराबर है ए एक्स =बी.उदाहरण के लिए, लॉग 2 8 = 3क्योंकि 8 = 2 3 . लघुगणक का निरूपण इसे उचित ठहराना संभव बनाता है यदि बी=ए सी, फिर संख्या का लघुगणक बीपर आधारित एके बराबर होती है साथ. यह भी स्पष्ट है कि लघुगणक का विषय किसी संख्या की शक्तियों के विषय से निकटता से संबंधित है।

लघुगणक के साथ, किसी भी संख्या की तरह, आप ऐसा कर सकते हैं जोड़, घटाव की क्रियाएँऔर हर संभव तरीके से परिवर्तन करें। लेकिन इस तथ्य के कारण कि लघुगणक पूरी तरह से सामान्य संख्याएँ नहीं हैं, उनके अपने विशेष नियम यहाँ लागू होते हैं, जिन्हें कहा जाता है मुख्य गुण.

लघुगणक जोड़ना और घटाना.

आइए समान आधार वाले दो लघुगणक लें: एक x लॉग करेंऔर एक y लॉग इन करें. फिर जोड़ और घटाव संचालन करना संभव है:

लॉग ए एक्स+ लॉग ए वाई= लॉग ए (एक्स·वाई);

लॉग ए एक्स - लॉग ए वाई = लॉग ए (एक्स:वाई)।

लॉग ए(एक्स 1 . एक्स 2 . एक्स 3 ... एक्स क) = एक x लॉग करें 1 + एक x लॉग करें 2 + एक x लॉग करें 3 + ... + लॉग ए एक्स के.

से लघुगणक भागफल प्रमेयलघुगणक का एक और गुण प्राप्त किया जा सकता है। यह सामान्य ज्ञान है कि लॉग करें एइसलिए, 1= 0

लकड़ी का लट्ठा ए 1 /बी=लॉग ए 1 - लॉग ए बी= - लॉग ए बी.

इसका मतलब है कि समानता है:

लॉग ए 1 / बी = - लॉग ए बी।

दो पारस्परिक संख्याओं के लघुगणकएक ही कारण से केवल संकेत द्वारा एक दूसरे से भिन्न होंगे। इसलिए:

लॉग 3 9= - लॉग 3 1/9 ; लॉग 5 1/125 = -लॉग 5 125।

प्राकृतिक लघुगणक, ग्राफ, परिभाषा का क्षेत्र, मूल्यों का सेट, मूल सूत्र, व्युत्पन्न, अभिन्न, शक्ति श्रृंखला विस्तार और जटिल संख्याओं का उपयोग करके फ़ंक्शन एलएन एक्स का प्रतिनिधित्व के मूल गुण दिए गए हैं।

परिभाषा

प्राकृतिकफलन y = है एलएन एक्स, घातांक का व्युत्क्रम, x = e y, और संख्या e के आधार का लघुगणक है: एलएन एक्स = लॉग ई एक्स.

गणित में प्राकृतिक लघुगणक का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है क्योंकि इसके व्युत्पन्न का रूप सबसे सरल है: (एलएन एक्स)′ = 1/ एक्स.

आधारित परिभाषाएं, प्राकृतिक लघुगणक का आधार संख्या है इ:
ई ≅ 2.718281828459045...;
.

फ़ंक्शन का ग्राफ़ y = एलएन एक्स.

प्राकृतिक लघुगणक का ग्राफ़ (फ़ंक्शन y = एलएन एक्स) सीधी रेखा y = x के सापेक्ष दर्पण प्रतिबिंब द्वारा घातीय ग्राफ से प्राप्त किया जाता है।

प्राकृतिक लघुगणक को चर x के सकारात्मक मानों के लिए परिभाषित किया गया है। यह अपनी परिभाषा के क्षेत्र में नीरस रूप से बढ़ता है।

x → पर 0 प्राकृतिक लघुगणक की सीमा शून्य से अनंत (-∞) है।

जैसे x → + ∞, प्राकृतिक लघुगणक की सीमा प्लस इनफिनिटी (+ ∞) है। बड़े x के लिए, लघुगणक काफी धीरे-धीरे बढ़ता है। धनात्मक घातांक वाला कोई भी घात फलन x a लघुगणक की तुलना में तेजी से बढ़ता है।

प्राकृतिक लघुगणक के गुण

परिभाषा का क्षेत्र, मूल्यों का समुच्चय, चरम सीमा, वृद्धि, कमी

प्राकृतिक लघुगणक एक नीरस रूप से बढ़ने वाला कार्य है, इसलिए इसका कोई चरम नहीं है। प्राकृतिक लघुगणक के मुख्य गुण तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं।

एलएन एक्स मान

एलएन 1 = 0

प्राकृतिक लघुगणक के लिए मूल सूत्र

व्युत्क्रम फलन की परिभाषा से निम्नलिखित सूत्र:

लघुगणक का मुख्य गुण और उसके परिणाम

आधार प्रतिस्थापन सूत्र

किसी भी लघुगणक को आधार प्रतिस्थापन सूत्र का उपयोग करके प्राकृतिक लघुगणक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

इन सूत्रों के प्रमाण "लघुगणक" खंड में प्रस्तुत किए गए हैं।

उलटा काम करना

प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्क्रम घातांक है।

तो अगर

तो अगर।

व्युत्पन्न एलएन एक्स

प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न:
.
मापांक x के प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न:
.
nवें क्रम का व्युत्पन्न:
.
सूत्र व्युत्पन्न करना > > >

अभिन्न

अभिन्न की गणना भागों द्वारा एकीकरण द्वारा की जाती है:
.
इसलिए,

सम्मिश्र संख्याओं का उपयोग करते हुए व्यंजक

जटिल चर z के फ़ंक्शन पर विचार करें:
.
आइए जटिल चर को व्यक्त करें जेडमॉड्यूल के माध्यम से आरऔर तर्क φ :
.
लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हुए, हमारे पास है:
.
या
.
तर्क φ विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं है। यदि आप डालते हैं
, जहां n एक पूर्णांक है,
यह अलग-अलग n के लिए समान संख्या होगी।

इसलिए, एक जटिल चर के एक फ़ंक्शन के रूप में प्राकृतिक लघुगणक, एक एकल-मूल्यवान फ़ंक्शन नहीं है।

शक्ति शृंखला विस्तार

जब विस्तार होता है:

सन्दर्भ:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेन्डयेव, इंजीनियरों और कॉलेज के छात्रों के लिए गणित की पुस्तिका, "लैन", 2009।

हम लघुगणक का अध्ययन करना जारी रखते हैं। इस लेख में हम बात करेंगे लघुगणक की गणना, इस प्रक्रिया को कहा जाता है लोगारित्म. सबसे पहले हम परिभाषा के अनुसार लघुगणक की गणना को समझेंगे। आगे, आइए देखें कि लघुगणक के मान उनके गुणों का उपयोग करके कैसे पाए जाते हैं। इसके बाद, हम अन्य लघुगणक के आरंभिक निर्दिष्ट मानों के माध्यम से लघुगणक की गणना पर ध्यान केंद्रित करेंगे। अंत में, आइए जानें कि लघुगणक तालिकाओं का उपयोग कैसे करें। संपूर्ण सिद्धांत विस्तृत समाधानों के साथ उदाहरणों के साथ प्रदान किया गया है।

पेज नेविगेशन.

परिभाषा के अनुसार लघुगणक की गणना

सबसे सरल मामलों में इसे बहुत जल्दी और आसानी से निष्पादित करना संभव है परिभाषा के अनुसार लघुगणक ज्ञात करना. आइए विस्तार से देखें कि यह प्रक्रिया कैसे होती है।

इसका सार संख्या b को a c के रूप में प्रस्तुत करना है, जिसमें से, लघुगणक की परिभाषा के अनुसार, संख्या c लघुगणक का मान है। अर्थात्, परिभाषा के अनुसार, समानता की निम्नलिखित श्रृंखला लघुगणक खोजने से मेल खाती है: log a b=log a a c =c।

तो, परिभाषा के अनुसार लघुगणक की गणना करने से एक संख्या c ज्ञात होती है जैसे कि a c = b, और संख्या c स्वयं लघुगणक का वांछित मान है।

पिछले पैराग्राफ में दी गई जानकारी को ध्यान में रखते हुए, जब लघुगणक चिह्न के तहत संख्या लघुगणक आधार की एक निश्चित शक्ति द्वारा दी जाती है, तो आप तुरंत संकेत कर सकते हैं कि लघुगणक किसके बराबर है - यह घातांक के बराबर है। आइए उदाहरणों से समाधान दिखाएं.

उदाहरण।

लघुगणक 2 2 −3 ज्ञात कीजिए और संख्या e 5,3 का प्राकृतिक लघुगणक भी परिकलित कीजिए।

समाधान।

लघुगणक की परिभाषा हमें तुरंत यह कहने की अनुमति देती है कि लघुगणक 2 2 −3 =−3. दरअसल, लघुगणक चिह्न के नीचे की संख्या आधार 2 से −3 घात के बराबर है।

इसी प्रकार, हम दूसरा लघुगणक पाते हैं: lne 5.3 =5.3.

उत्तर:

लघुगणक 2 2 −3 =−3 और lne 5,3 =5,3.

यदि लघुगणक चिन्ह के नीचे संख्या b को लघुगणक के आधार की शक्ति के रूप में निर्दिष्ट नहीं किया गया है, तो आपको यह देखने के लिए ध्यान से देखने की आवश्यकता है कि क्या a c के रूप में संख्या b का प्रतिनिधित्व करना संभव है। अक्सर यह प्रतिनिधित्व काफी स्पष्ट होता है, खासकर जब लघुगणक चिह्न के नीचे की संख्या आधार की घात 1, या 2, या 3 के बराबर होती है, ...

उदाहरण।

लघुगणक लॉग 5 25, और की गणना करें।

समाधान।

यह देखना आसान है कि 25=5 2, यह आपको पहले लघुगणक की गणना करने की अनुमति देता है: लॉग 5 25=लॉग 5 5 2 =2।

आइए दूसरे लघुगणक की गणना के लिए आगे बढ़ें। संख्या को 7 की घात के रूप में दर्शाया जा सकता है: (यदि आवश्यक हो तो देखें)। इस तरह, .

आइए तीसरे लघुगणक को फिर से लिखें निम्नलिखित प्रपत्र. अब आप वह देख सकते हैं , जिससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं . इसलिए, लघुगणक की परिभाषा के द्वारा .

संक्षेप में, समाधान इस प्रकार लिखा जा सकता है:।

उत्तर:

लॉग 5 25=2 , और .

जब लघुगणक के चिह्न के नीचे पर्याप्त रूप से बड़ा हो प्राकृतिक संख्या, तो इसे अभाज्य कारकों में शामिल करने से कोई नुकसान नहीं होगा। यह अक्सर लघुगणक के आधार की कुछ शक्ति के रूप में ऐसी संख्या का प्रतिनिधित्व करने में मदद करता है, और इसलिए परिभाषा के अनुसार इस लघुगणक की गणना करता है।

उदाहरण।

लघुगणक का मान ज्ञात कीजिए।

समाधान।

लघुगणक के कुछ गुण आपको लघुगणक का मान तुरंत निर्दिष्ट करने की अनुमति देते हैं। इन गुणों में एक के लघुगणक का गुण और आधार के बराबर संख्या के लघुगणक का गुण शामिल है: log 1 1=log a 0 =0 और log a a=log a a 1 =1। अर्थात्, जब लघुगणक के चिह्न के नीचे कोई संख्या 1 या लघुगणक के आधार के बराबर कोई संख्या हो, तो इन मामलों में लघुगणक क्रमशः 0 और 1 के बराबर होते हैं।

उदाहरण।

लघुगणक और लघुगणक 10 किसके बराबर हैं?

समाधान।

चूँकि, तब लघुगणक की परिभाषा से यह अनुसरण करता है .

दूसरे उदाहरण में, लघुगणक चिह्न के नीचे की संख्या 10 इसके आधार से मेल खाती है, इसलिए दस का दशमलव लघुगणक एक के बराबर है, अर्थात, lg10=lg10 1 =1.

उत्तर:

और एलजी10=1 .

ध्यान दें कि परिभाषा के अनुसार लघुगणक की गणना (जिसकी हमने पिछले पैराग्राफ में चर्चा की थी) में समानता लॉग a a p =p का उपयोग शामिल है, जो लघुगणक के गुणों में से एक है।

व्यवहार में, जब लघुगणक चिह्न और लघुगणक के आधार के नीचे की संख्या को एक निश्चित संख्या की शक्ति के रूप में आसानी से दर्शाया जाता है, तो सूत्र का उपयोग करना बहुत सुविधाजनक होता है , जो लघुगणक के गुणों में से एक से मेल खाता है। आइए एक लघुगणक खोजने का एक उदाहरण देखें जो इस सूत्र के उपयोग को दर्शाता है।

उदाहरण।

लघुगणक की गणना करें.

समाधान।

उत्तर:

ऊपर वर्णित लघुगणक के गुणों का उपयोग गणना में भी किया जाता है, लेकिन हम इसके बारे में निम्नलिखित पैराग्राफ में बात करेंगे।

अन्य ज्ञात लघुगणक के माध्यम से लघुगणक ढूँढना

इस पैराग्राफ की जानकारी लघुगणक की गणना करते समय उनके गुणों का उपयोग करने के विषय को जारी रखती है। लेकिन यहां मुख्य अंतर यह है कि लघुगणक के गुणों का उपयोग मूल लघुगणक को दूसरे लघुगणक के रूप में व्यक्त करने के लिए किया जाता है, जिसका मान ज्ञात होता है। आइए स्पष्टीकरण के लिए एक उदाहरण दें। मान लें कि हम जानते हैं कि लॉग 2 3≈1.584963, तो हम, उदाहरण के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके थोड़ा परिवर्तन करके लॉग 2 6 पा सकते हैं: लॉग 2 6=लॉग 2 (2 3)=लॉग 2 2+लॉग 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

उपरोक्त उदाहरण में, हमारे लिए किसी उत्पाद के लघुगणक की संपत्ति का उपयोग करना पर्याप्त था। हालाँकि, अक्सर दिए गए लघुगणक के माध्यम से मूल लघुगणक की गणना करने के लिए लघुगणक के गुणों के व्यापक शस्त्रागार का उपयोग करना आवश्यक होता है।

उदाहरण।

यदि आप जानते हैं कि लघुगणक 60 2=ए और लघुगणक 60 5=बी, तो 27 से आधार 60 के लघुगणक की गणना करें।

समाधान।

इसलिए हमें लॉग 60 27 खोजने की जरूरत है। यह देखना आसान है कि 27 = 3 3, और मूल लघुगणक, घात के लघुगणक के गुण के कारण, 3·लॉग 60 3 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।

अब आइए देखें कि लॉग 60 3 को ज्ञात लघुगणक के रूप में कैसे व्यक्त किया जाए। आधार के बराबर संख्या के लघुगणक का गुण हमें समानता लघुगणक 60 60=1 लिखने की अनुमति देता है। दूसरी ओर, लॉग 60 60=लॉग60(2 2 3 5)= लॉग 60 2 2 +लॉग 60 3+लॉग 60 5= 2·लॉग 60 2+लॉग 60 3+लॉग 60 5। इस प्रकार, 2 लॉग 60 2+लॉग 60 3+लॉग 60 5=1. इस तरह, लॉग 60 3=1−2·लॉग 60 2−लॉग 60 5=1−2·ए−बी.

अंत में, हम मूल लघुगणक की गणना करते हैं: लघुगणक 60 27=3 लघुगणक 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

उत्तर:

लॉग 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

अलग से, प्रपत्र के लघुगणक के नए आधार पर संक्रमण के लिए सूत्र के अर्थ का उल्लेख करना उचित है . यह आपको किसी भी आधार वाले लघुगणक से एक विशिष्ट आधार वाले लघुगणक में जाने की अनुमति देता है, जिसके मान ज्ञात हैं या उन्हें ढूंढना संभव है। आमतौर पर, मूल लघुगणक से, संक्रमण सूत्र का उपयोग करते हुए, वे आधार 2, ई या 10 में से किसी एक में लघुगणक में चले जाते हैं, क्योंकि इन आधारों के लिए लघुगणक की तालिकाएँ होती हैं जो एक निश्चित डिग्री के साथ उनके मूल्यों की गणना करने की अनुमति देती हैं शुद्धता। अगले पैराग्राफ में हम दिखाएंगे कि यह कैसे किया जाता है।

लघुगणक तालिकाएँ और उनके उपयोग

लघुगणक की अनुमानित गणना के लिए मानों का उपयोग किया जा सकता है लघुगणक तालिकाएँ. सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली आधार 2 लघुगणक तालिका है प्राकृतिक लघुगणकऔर दशमलव लघुगणक की एक तालिका। दशमलव संख्या प्रणाली में काम करते समय, आधार दस पर आधारित लघुगणक की तालिका का उपयोग करना सुविधाजनक होता है। इसकी सहायता से हम लघुगणक का मान ज्ञात करना सीखेंगे।

प्रस्तुत तालिका आपको एक दस-हज़ारवें हिस्से की सटीकता के साथ 1,000 से 9,999 (तीन दशमलव स्थानों के साथ) संख्याओं के दशमलव लघुगणक के मान खोजने की अनुमति देती है। हम दशमलव लघुगणक की तालिका का उपयोग करके लघुगणक का मान ज्ञात करने के सिद्धांत का विश्लेषण करेंगे विशिष्ट उदाहरण- यह इस तरह से स्पष्ट है। आइए लॉग 1.256 खोजें।

दशमलव लघुगणक की तालिका के बाएं कॉलम में हमें संख्या 1.256 के पहले दो अंक मिलते हैं, यानी, हमें 1.2 मिलता है (स्पष्टता के लिए यह संख्या नीले रंग में सर्कल है)। संख्या 1.256 (अंक 5) का तीसरा अंक दोहरी रेखा के बाईं ओर पहली या अंतिम पंक्ति में पाया जाता है (यह संख्या लाल रंग में गोलाकार होती है)। मूल संख्या 1.256 (अंक 6) का चौथा अंक दोहरी रेखा के दाईं ओर पहली या अंतिम पंक्ति में पाया जाता है (यह संख्या हरे रंग की रेखा से घिरी होती है)। अब हम लघुगणक तालिका के कक्षों में चिह्नित पंक्ति और चिह्नित स्तंभों के प्रतिच्छेदन पर संख्याएँ पाते हैं (ये संख्याएँ हाइलाइट की गई हैं) नारंगी). अंकित संख्याओं का योग दशमलव लघुगणक का वांछित मान दशमलव के चौथे स्थान तक सटीक देता है, अर्थात लॉग1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

क्या ऊपर दी गई तालिका का उपयोग करके, उन संख्याओं के दशमलव लघुगणक के मान ज्ञात करना संभव है जिनमें दशमलव बिंदु के बाद तीन से अधिक अंक हैं, साथ ही वे संख्याएँ जो 1 से 9.999 तक की सीमा से आगे जाती हैं? हाँ तुम कर सकते हो। आइए एक उदाहरण से दिखाएं कि यह कैसे किया जाता है।

आइए lg102.76332 की गणना करें। सबसे पहले आपको लिखना होगा मानक रूप में संख्या: 102.76332=1.0276332·10 2. इसके बाद, मंटिसा को दशमलव के तीसरे स्थान तक पूर्णांकित किया जाना चाहिए, हमारे पास है 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, जबकि मूल दशमलव लघुगणक परिणामी संख्या के लघुगणक के लगभग बराबर है, अर्थात, हम log102.76332≈lg1.028·10 2 लेते हैं। अब हम लघुगणक के गुण लागू करते हैं: एलजी1.028·10 2 =एलजी1.028+एलजी10 2 =एलजी1.028+2. अंत में, हम दशमलव लघुगणक lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012 की तालिका से लघुगणक lg1.028 का मान पाते हैं। परिणामस्वरूप, लघुगणक की गणना की पूरी प्रक्रिया इस तरह दिखती है: लॉग102.76332=लॉग1.0276332 10 2 ≈एलजी1.028 10 2 = लॉग1.028+एलजी10 2 =लॉग1.028+2≈0.012+2=2.012.

अंत में, यह ध्यान देने योग्य है कि दशमलव लघुगणक की तालिका का उपयोग करके आप किसी भी लघुगणक के अनुमानित मूल्य की गणना कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, दशमलव लघुगणक पर जाने, तालिका में उनके मान खोजने और शेष गणना करने के लिए संक्रमण सूत्र का उपयोग करना पर्याप्त है।

उदाहरण के लिए, आइए लॉग 2 3 की गणना करें। लघुगणक के एक नए आधार पर संक्रमण के सूत्र के अनुसार, हमारे पास है। दशमलव लघुगणक की तालिका से हम log3≈0.4771 और log2≈0.3010 पाते हैं। इस प्रकार, .

ग्रंथ सूची.

कोलमोगोरोव ए.एन., अब्रामोव ए.एम., डुडनित्सिन यू.पी. और अन्य। बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत: सामान्य शिक्षा संस्थानों के ग्रेड 10 - 11 के लिए पाठ्यपुस्तक।
गुसेव वी.ए., मोर्दकोविच ए.जी. गणित (तकनीकी स्कूलों में प्रवेश करने वालों के लिए एक मैनुअल)।

*के तहत मास्टर के छात्र वैज्ञानिक मार्गदर्शनइसाखोवा ए.ए.,गणितीय और कंप्यूटर मॉडलिंग में पीएचडी

क्या आपने कभी सोचा है कि प्राचीन काल में, जब कोई कैलकुलेटर या कंप्यूटर नहीं थे, लोग कैसे गिनती करते थे? गणनाएँ मैन्युअल रूप से, कागज पर या दिमाग में की जाती थीं। हालाँकि जिन कार्यों का उन्हें सामना करना पड़ा वे आधुनिक कार्यों की तरह ही जटिल थे।

अनुपस्थिति कंप्यूटरप्राचीन गणितज्ञों को गणनाओं को सरल बनाने के लिए प्रेरित किया। वे पहले से ही गणना की गई अभिव्यक्तियों (उदाहरण के लिए, एक गुणन तालिका) के साथ तालिकाओं के साथ आए, और जटिल संचालन को सरल संचालन से बदलने के तरीकों की तलाश की। आज हम ऐसे ही एक "सरलीकरण" के बारे में बात करेंगे या कैसे लोगों ने गुणा को जोड़ से और भाग को घटाव से बदलना सीखा। इसके लिए धन्यवाद, लघुगणक का आविष्कार किया गया था। यह क्या है यह समझने के लिए आपको केवल तीन कदम उठाने होंगे।

चरण 1: सरल बनाएं और फिर से सरल बनाएं

आइए एक सरल उदाहरण से शुरू करें।

2 + 2 = 4

आइए समस्या को जटिल बनाएं और पाँच दोहों का योग ज्ञात करें।

2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10

और हमने इस कार्य को आसानी से पूरा कर लिया। यदि आपको 1,000,000 दो का योग ज्ञात करना हो तो क्या होगा? समान गणना पद्धति का उपयोग करने में बहुत अधिक स्थान और समय लगेगा। लेकिन चालाक गणितज्ञों को एहसास हुआ कि ऐसा करना कितना आसान है। वे गुणन संक्रिया लेकर आये। आइए देखें कि यह कैसा दिखता है:

2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 128

इस अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए, गणितज्ञ घातांक की संक्रिया लेकर आए। स्पष्ट है कि हम एक ही संख्या को n बार गुणा करने की बात कर रहे हैं, उसे डुप्लिकेट करके बार-बार क्यों लिखें? क्या इसे इस तरह लिखना आसान नहीं है?

यहाँ ए- डिग्री का आधार, एन– प्रतिपादक. इस प्रकार, हमने रिकॉर्डिंग को काफी छोटा कर दिया है। घातांक के मान के बावजूद, अभिव्यक्ति बहुत संक्षिप्त दिखेगी:

माइकल स्टिफ़ेल(1487-1567) - जर्मन गणितज्ञ, ने बीजगणित और उसके क्षेत्रों जैसे प्रगति, घातांक और ऋणात्मक संख्याओं के विकास में महत्वपूर्ण योगदान दिया। स्टिफ़ेल "प्रतिपादक" और "मूल" की अवधारणाओं का उपयोग करने वाले पहले व्यक्ति थे। इस तथ्य के बावजूद कि वैज्ञानिक ने वास्तव में लघुगणक का उपयोग किया था, खोजकर्ता की महिमा स्कॉटिश गणितज्ञ जॉन नेपियर (1550-1617) को मिली।

चरण 2: डिग्री के गुणों को समझें

जैसा कि हम पहले ही कह चुके हैं, प्राचीन गणितज्ञों को जब भी संख्याओं को गुणा करने या जोड़ने की आवश्यकता होती थी, तो वे खुद पर गणनाओं का बोझ नहीं डालते थे, बल्कि पूर्व-गणना किए गए परिणामों के साथ तालिकाओं का उपयोग करते थे। बहुत आराम से! एक जर्मन गणितज्ञ ने ऐसी ही तालिका का उपयोग किया माइकल स्टिफ़ेलअंकगणित और ज्यामितीय प्रगति के बीच एक दिलचस्प पैटर्न देखा।

अंकगणितीय प्रगति	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
ज्यामितीय अनुक्रम	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024
शक्ति संकेतन	2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6	2 7	2 8	2 9	2 10

चलो उसे भी देखने की कोशिश करते हैं. आख़िरकार, यह पैटर्न आपको संचालन को सरल बनाने की अनुमति देता है गुणन और भाग. आइए हमें दो संख्याओं के गुणनफल की गणना करने की आवश्यकता है:

16 × 64 = ?

इससे पहले कि आप गणना करना शुरू करें, तालिका पर एक नज़र डालें और इन संख्याओं को खोजें: ये शर्तें हैं ज्यामितीय अनुक्रम 2 की वृद्धि में। शीर्ष पंक्ति में उनके ऊपर की संख्याएँ: 16 से ऊपर 4; 6 बटा 64 एक अंकगणितीय प्रगति के पद हैं। आइए इन संख्याओं को जोड़ें: 4 + 6 = 10। अब देखते हैं कि दूसरी पंक्ति में संख्या 10 के अंतर्गत कौन सी संख्या है - 1024। लेकिन यदि हम अपना प्रारंभिक कार्य 16x64 पूरा करते हैं, तो परिणाम 1024 के बराबर होगा। इसका मतलब है कि, तालिका का उपयोग करके और केवल संख्याओं को जोड़ने का तरीका जानने से, आप आसानी से उत्पाद पा सकते हैं।

अब डिविजन ऑपरेशन पर विचार करें:

तालिका को फिर से देखें और शीर्ष पंक्ति से संबंधित संख्याएँ खोजें। हमें क्रमशः 10 और 7 मिलते हैं। यदि गुणा करते समय हम जोड़ते हैं, तो विभाजित करते समय हम घटाते हैं: 10–7 = 3. हम दूसरी पंक्ति में संख्या 3 के नीचे की संख्या को देखते हैं, यह 8 है। इसलिए, 1024:128 = 8.

इसी तरह, आप संचालन के लिए एक तालिका का उपयोग कर सकते हैं घातांक और जड़ निष्कर्षण.

उदाहरण के लिए, हमें वर्ग 32 की आवश्यकता है। हम शीर्ष पंक्ति में 32 से ऊपर की संख्या को देखते हैं। हमें 5 मिलता है। 5 को 2 से गुणा करें। परिणाम 10 है, फिर 10 के नीचे की संख्या देखें: 1024। इसलिए 32 2 = 1024।

आइए जड़ निष्कर्षण पर विचार करें। उदाहरण के लिए, आइए संख्या 512 का तीसरा मूल ज्ञात करें। शीर्ष पंक्ति में संख्या 512 के ऊपर 9 है। 9 को 3 से विभाजित करने पर हमें 3 प्राप्त होता है। दूसरी पंक्ति में संबंधित संख्या ज्ञात करें। हमें 8 मिलता है। इसलिए, 83 = 512।

सभी चार उदाहरण डिग्री के गुणों का परिणाम हैं, जिन्हें इस प्रकार लिखा जा सकता है:

चरण 3: आइए इसे लघुगणक कहें

डिग्रियों से निपटने के बाद, आइए एक छोटे समीकरण को हल करने का प्रयास करें:

2 एक्स = 4

इस समीकरण को कहा जाता है सूचक. क्योंकि एक्स, जिसे हमें खोजने की आवश्यकता है सूचक 4 प्राप्त करने के लिए 2 की शक्ति को बढ़ाया जाना चाहिए। समीकरण x = 2 का समाधान।

आइए इसी तरह का एक और उदाहरण देखें:

2 एक्स = 5

आइए शर्त को फिर से कहें: हम उस संख्या x की तलाश कर रहे हैं जिस पर 5 प्राप्त करने के लिए 2 को बढ़ाया जाना चाहिए। यह प्रश्न हमें परेशान करता है। संभवतः एक समाधान मौजूद है; उदाहरण के लिए, यदि आप इन फ़ंक्शंस के ग्राफ़ बनाते हैं, तो वे प्रतिच्छेद करते हैं। लेकिन इसे खोजने के लिए हमें परीक्षण और त्रुटि के माध्यम से इसकी तलाश करनी होगी। और इसमें काफी समय लग सकता है.

इसीलिए प्राचीन वैज्ञानिक लघुगणक लेकर आए; वे जानते थे कि समीकरण का एक समाधान मौजूद है, लेकिन इसकी तुरंत तुरंत आवश्यकता नहीं थी। गणितीय रूप से इसे इस प्रकार लिखा जाता है: x = log 2 5. तो हमने समीकरण 2 x = 5 का हल ढूंढ लिया है। उत्तर: x = log 2 5. यदि हम सटीक उत्तर देते हैं, तो x = 2.32192809489..., और यह भिन्न कभी समाप्त नहीं होती है।

अभिव्यक्ति इस प्रकार है: 5 से आधार 2 का लघुगणक. यह याद रखना आसान है: आधार हमेशा नीचे लिखा होता है, घातांकीय और लघुगणकीय अंकन दोनों में।

लघुगणक के गुण

लघुगणक है प्रतिबंध. गणित में दो कठिन सीमाएँ हैं।

a) आप शून्य से भाग नहीं दे सकते

ख) किसी ऋणात्मक संख्या का सम मूल निकालें(चूँकि एक ऋणात्मक संख्या का वर्ग सदैव धनात्मक होगा)।

लिखने के बराबर

ए एक्स = बी

ए पर प्रतिबंध

a वह आधार है जिसे b प्राप्त करने के लिए x शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए।

यदि a = 1. किसी भी शक्ति को एक देगा।

और यदि ए शून्य से भी कम? नकारात्मक संख्याएँ- मनमौजी. उन्हें एक डिग्री तक तो बढ़ाया जा सकता है, लेकिन दूसरे तक नहीं। इसलिए, हम उन्हें भी बाहर कर देते हैं. परिणामस्वरूप, हमें मिलता है: a > 0; ए ≠ 1

बी पर प्रतिबंध

यदि किसी धनात्मक संख्या को किसी घात तक बढ़ा दिया जाए तो हमें भी एक धनात्मक संख्या प्राप्त होती है। इसलिए: b > 0. x कोई भी संख्या हो सकती है, क्योंकि हम किसी भी घात तक बढ़ा सकते हैं।

यदि b = 1. है तो किसी भी a के लिए मान x = 0 है।

लघुगणक पर संचालन

घातों के मूल गुणों को ध्यान में रखते हुए, हम लघुगणक के लिए समान गुण प्राप्त करते हैं:

जोड़. उत्पाद का लघुगणक कारकों के लघुगणक के योग के बराबर है:

अंतर. भागफल का लघुगणक लाभांश और भाजक के लघुगणक के बीच के अंतर के बराबर है:

डिग्री. किसी घात का लघुगणक घातांक के गुणनफल और उसके आधार के लघुगणक के बराबर होता है।

मुख्य गुण.

लॉगैक्स + लॉगे = लॉगा(x y);
logax − logay = loga (x: y).

समान आधार

लॉग6 4 + लॉग6 9.

अब कार्य को थोड़ा जटिल बनाते हैं।

लघुगणक हल करने के उदाहरण

क्या होगा यदि लघुगणक का आधार या तर्क एक शक्ति है? फिर इस डिग्री के घातांक को निम्नलिखित नियमों के अनुसार लघुगणक के चिह्न से बाहर निकाला जा सकता है:

निःसंदेह, यदि लघुगणक का ODZ देखा जाए तो ये सभी नियम समझ में आते हैं: a > 0, a ≠ 1, x >

काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

एक नई नींव में परिवर्तन

मान लीजिए लघुगणक लघुगणक दिया गया है। फिर किसी भी संख्या c के लिए जैसे कि c > 0 और c ≠ 1, समानता सत्य है:

काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

यह सभी देखें:

लघुगणक के मूल गुण

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

प्रतिपादक 2.718281828 है... प्रतिपादक को याद रखने के लिए, आप नियम का अध्ययन कर सकते हैं: प्रतिपादक 2.7 के बराबर है और लियो निकोलाइविच टॉल्स्टॉय के जन्म के वर्ष का दोगुना है।

लघुगणक के मूल गुण

इस नियम को जानकर आप जान जायेंगे और सही मूल्यप्रदर्शक, और लियो टॉल्स्टॉय की जन्म तिथि।

लघुगणक के उदाहरण

लघुगणक अभिव्यक्तियाँ

उदाहरण 1।
ए)। x=10ac^2 (a>0,c>0).

गुण 3.5 का उपयोग करके हम गणना करते हैं

4. कहाँ .

उदाहरण 2. यदि x ज्ञात करें

उदाहरण 3. मान लीजिए लघुगणक का मान दिया गया है

यदि लॉग(x) की गणना करें

लघुगणक के मूल गुण

लघुगणक, किसी भी संख्या की तरह, हर तरह से जोड़ा, घटाया और परिवर्तित किया जा सकता है। लेकिन चूंकि लघुगणक बिल्कुल सामान्य संख्याएं नहीं हैं, इसलिए यहां नियम हैं, जिन्हें कहा जाता है मुख्य गुण.

आपको निश्चित रूप से इन नियमों को जानने की आवश्यकता है - इनके बिना, एक भी गंभीर लघुगणकीय समस्या का समाधान नहीं किया जा सकता है। इसके अलावा, उनमें से बहुत कम हैं - आप एक दिन में सब कुछ सीख सकते हैं। तो चलो शुरू हो जाओ।

लघुगणक जोड़ना और घटाना

समान आधार वाले दो लघुगणक पर विचार करें: लॉगैक्स और लॉगे। फिर उन्हें जोड़ा और घटाया जा सकता है, और:

लॉगैक्स + लॉगे = लॉगा(x y);
logax − logay = loga (x: y).

तो, लघुगणक का योग उत्पाद के लघुगणक के बराबर है, और अंतर भागफल के लघुगणक के बराबर है। कृपया ध्यान दें: यहां मुख्य बिंदु यह है समान आधार. यदि कारण भिन्न हों तो ये नियम काम नहीं करते!

ये सूत्र आपको एक लघुगणकीय अभिव्यक्ति की गणना करने में मदद करेंगे, भले ही इसके अलग-अलग हिस्सों पर विचार न किया गया हो (पाठ "लघुगणक क्या है" देखें)। उदाहरणों पर एक नज़र डालें और देखें:

चूँकि लघुगणक का आधार समान होता है, हम योग सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग6 4 + लॉग6 9 = लॉग6 (4 9) = लॉग6 36 = 2।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log2 48 − log2 3.

आधार समान हैं, हम अंतर सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग2 48 - लॉग2 3 = लॉग2 (48:3) = लॉग2 16 = 4।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log3 135 − log3 5.

फिर से आधार वही हैं, इसलिए हमारे पास है:
लॉग3 135 - लॉग3 5 = लॉग3 (135:5) = लॉग3 27 = 3।

जैसा कि आप देख सकते हैं, मूल अभिव्यक्तियाँ "खराब" लघुगणक से बनी हैं, जिनकी गणना अलग से नहीं की जाती है। लेकिन परिवर्तनों के बाद वे काफी हद तक बदल जाते हैं सामान्य संख्या. कई लोग इस तथ्य पर आधारित हैं परीक्षण पत्र. हाँ, एकीकृत राज्य परीक्षा में परीक्षण जैसी अभिव्यक्तियाँ पूरी गंभीरता से (कभी-कभी वस्तुतः बिना किसी बदलाव के) पेश की जाती हैं।

लघुगणक से घातांक निकालना

यह देखना आसान है कि अंतिम नियम पहले दो का पालन करता है। लेकिन फिर भी इसे याद रखना बेहतर है - कुछ मामलों में यह गणनाओं की मात्रा को काफी कम कर देगा।

बेशक, ये सभी नियम तब समझ में आते हैं जब लघुगणक का ODZ देखा जाता है: a > 0, a ≠ 1, x > 0. और एक और बात: सभी सूत्रों को न केवल बाएं से दाएं, बल्कि इसके विपरीत भी लागू करना सीखें , अर्थात। आप लघुगणक पर हस्ताक्षर करने से पहले की संख्याओं को लघुगणक में ही दर्ज कर सकते हैं। इसकी सबसे अधिक आवश्यकता होती है।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log7 496।

आइए पहले सूत्र का उपयोग करके तर्क में डिग्री से छुटकारा पाएं:
लॉग7 496 = 6 लॉग7 49 = 6 2 = 12

काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

ध्यान दें कि हर में एक लघुगणक होता है, जिसका आधार और तर्क सटीक घात हैं: 16 = 24; 49 = 72. हमारे पास है:

मुझे लगता है कि अंतिम उदाहरण में कुछ स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। लघुगणक कहाँ चले गए? अंतिम क्षण तक हम केवल हर के साथ काम करते हैं।

लघुगणक सूत्र. लघुगणक उदाहरण समाधान.

हमने वहां खड़े लघुगणक के आधार और तर्क को घातों के रूप में प्रस्तुत किया और घातांक निकाले - हमें एक "तीन-कहानी" अंश मिला।

अब आइए मुख्य अंश पर नजर डालें। अंश और हर में समान संख्या होती है: log2 7. चूँकि log2 7 ≠ 0, हम भिन्न को कम कर सकते हैं - 2/4 हर में रहेगा। अंकगणित के नियमों के अनुसार, चार को अंश में स्थानांतरित किया जा सकता है, जो कि किया गया था। परिणाम यह उत्तर था: 2.

एक नई नींव में परिवर्तन

लघुगणक जोड़ने और घटाने के नियमों के बारे में बोलते हुए, मैंने विशेष रूप से जोर दिया कि वे केवल समान आधारों के साथ काम करते हैं। यदि कारण भिन्न हों तो क्या होगा? क्या होगा यदि वे एक ही संख्या की सटीक घातें नहीं हैं?

नई नींव में परिवर्तन के सूत्र बचाव में आते हैं। आइए हम उन्हें एक प्रमेय के रूप में तैयार करें:

विशेष रूप से, यदि हम c = x सेट करते हैं, तो हमें मिलता है:

दूसरे सूत्र से यह पता चलता है कि लघुगणक के आधार और तर्क की अदला-बदली की जा सकती है, लेकिन इस मामले में संपूर्ण अभिव्यक्ति "उलट" है, अर्थात। लघुगणक हर में प्रकट होता है।

ये सूत्र सामान्य संख्यात्मक अभिव्यक्तियों में बहुत कम पाए जाते हैं। लघुगणकीय समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय ही यह मूल्यांकन करना संभव है कि वे कितने सुविधाजनक हैं।

हालाँकि, ऐसी समस्याएँ हैं जिन्हें नई नींव पर जाने के अलावा बिल्कुल भी हल नहीं किया जा सकता है। आइए इनमें से कुछ पर नजर डालें:

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log5 16 log2 25.

ध्यान दें कि दोनों लघुगणक के तर्कों में सटीक शक्तियाँ होती हैं। आइए संकेतक निकालें: लॉग5 16 = लॉग5 24 = 4लॉग5 2; लॉग2 25 = लॉग2 52 = 2लॉग2 5;

अब दूसरे लघुगणक को "उल्टा" करते हैं:

चूंकि कारकों को पुनर्व्यवस्थित करने पर उत्पाद नहीं बदलता है, इसलिए हमने शांति से चार और दो को गुणा किया, और फिर लघुगणक से निपटा।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log9 100 lg 3.

प्रथम लघुगणक का आधार और तर्क सटीक घात हैं। आइए इसे लिखें और संकेतकों से छुटकारा पाएं:

आइए अब एक नए आधार पर जाकर दशमलव लघुगणक से छुटकारा पाएं:

बुनियादी लघुगणकीय पहचान

अक्सर समाधान प्रक्रिया में किसी संख्या को किसी दिए गए आधार पर लघुगणक के रूप में प्रस्तुत करना आवश्यक होता है। इस मामले में, निम्नलिखित सूत्र हमारी मदद करेंगे:

पहले मामले में, संख्या n तर्क में प्रतिपादक बन जाती है। संख्या n बिल्कुल कुछ भी हो सकती है, क्योंकि यह केवल एक लघुगणक मान है।

दूसरा सूत्र वास्तव में एक संक्षिप्त परिभाषा है। इसे ही कहते हैं: .

वास्तव में, यदि संख्या b को इतनी घात तक बढ़ा दिया जाए कि इस घात की संख्या b, संख्या a दे दे तो क्या होगा? यह सही है: परिणाम वही संख्या है। इस पैराग्राफ को दोबारा ध्यान से पढ़ें - कई लोग इस पर अटक जाते हैं।

नए आधार पर संक्रमण के सूत्रों की तरह, मुख्य लघुगणकीय पहचानकभी-कभी यह एकमात्र संभावित समाधान होता है।

काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

ध्यान दें कि लॉग25 64 = लॉग5 8 - बस लघुगणक के आधार और तर्क से वर्ग लिया। समान आधार से घातों को गुणा करने के नियमों को ध्यान में रखते हुए, हम पाते हैं:

यदि कोई नहीं जानता है, तो यह एकीकृत राज्य परीक्षा का एक वास्तविक कार्य था :)

लघुगणकीय इकाई और लघुगणकीय शून्य

अंत में, मैं दो पहचान दूंगा जिन्हें शायद ही गुण कहा जा सकता है - बल्कि, वे लघुगणक की परिभाषा के परिणाम हैं। वे लगातार समस्याओं में दिखाई देते हैं और आश्चर्यजनक रूप से, "उन्नत" छात्रों के लिए भी समस्याएं पैदा करते हैं।

लोगा = 1 है. एक बार और हमेशा के लिए याद रखें: किसी भी आधार का लघुगणक स्वयं एक के बराबर होता है।
लॉगा 1 = 0 है. आधार कुछ भी हो सकता है, लेकिन यदि तर्क में एक है, तो लघुगणक शून्य के बराबर है! क्योंकि a0 = 1 परिभाषा का प्रत्यक्ष परिणाम है।

बस इतनी ही संपत्ति है. उन्हें अभ्यास में लाने का अभ्यास अवश्य करें! पाठ की शुरुआत में चीट शीट डाउनलोड करें, उसका प्रिंट आउट लें और समस्याओं का समाधान करें।

यह सभी देखें:

आधार a से b का लघुगणक अभिव्यक्ति को दर्शाता है। लघुगणक की गणना करने का अर्थ है एक घात x() ज्ञात करना जिस पर समानता संतुष्ट होती है

लघुगणक के मूल गुण

उपरोक्त गुणों को जानना आवश्यक है, क्योंकि लघुगणक से संबंधित लगभग सभी समस्याओं एवं उदाहरणों का समाधान इन्हीं के आधार पर किया जाता है। शेष विदेशी गुण इन सूत्रों के साथ गणितीय हेरफेर के माध्यम से प्राप्त किए जा सकते हैं

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

लघुगणक (3.4) के योग और अंतर के सूत्र की गणना करते समय आपका सामना अक्सर होता है। बाकी कुछ हद तक जटिल हैं, लेकिन कई कार्यों में जटिल अभिव्यक्तियों को सरल बनाने और उनके मूल्यों की गणना करने के लिए वे अपरिहार्य हैं।

लघुगणक के सामान्य मामले

कुछ सामान्य लघुगणक वे हैं जिनका आधार सम दस, घातांकीय या दो है।
आधार दस के लघुगणक को आमतौर पर दशमलव लघुगणक कहा जाता है और इसे केवल lg(x) द्वारा दर्शाया जाता है।

रिकॉर्डिंग से साफ़ है कि रिकॉर्डिंग में मूल बातें नहीं लिखी गई हैं. उदाहरण के लिए

एक प्राकृतिक लघुगणक एक लघुगणक है जिसका आधार एक घातांक है (ln(x) द्वारा दर्शाया गया है)।

प्रतिपादक 2.718281828 है... प्रतिपादक को याद रखने के लिए, आप नियम का अध्ययन कर सकते हैं: प्रतिपादक 2.7 के बराबर है और लियो निकोलाइविच टॉल्स्टॉय के जन्म के वर्ष का दोगुना है। इस नियम को जानने से आपको प्रतिपादक का सटीक मान और लियो टॉल्स्टॉय की जन्म तिथि दोनों पता चल जाएगी।

और आधार दो को एक और महत्वपूर्ण लघुगणक द्वारा दर्शाया गया है

किसी फ़ंक्शन के लघुगणक का व्युत्पन्न चर द्वारा विभाजित एक के बराबर होता है

अभिन्न या प्रतिअवकलन लघुगणक संबंध द्वारा निर्धारित होता है

दी गई सामग्री आपके लिए लघुगणक और लघुगणक से संबंधित विभिन्न प्रकार की समस्याओं को हल करने के लिए पर्याप्त है। सामग्री को समझने में आपकी सहायता के लिए, मैं केवल कुछ सामान्य उदाहरण दूंगा स्कूल के पाठ्यक्रमऔर विश्वविद्यालय.

लघुगणक के उदाहरण

लघुगणक अभिव्यक्तियाँ

उदाहरण 1।
ए)। x=10ac^2 (a>0,c>0).

गुण 3.5 का उपयोग करके हम गणना करते हैं

2.
हमारे पास लघुगणक के अंतर के गुण के आधार पर

3.
गुण 3.5 का उपयोग करके हम पाते हैं

4. कहाँ .

एक प्रतीत होने वाली जटिल अभिव्यक्ति को कई नियमों का उपयोग करके सरल बनाया जाता है

लघुगणक मान ढूँढना

उदाहरण 2. यदि x ज्ञात करें

समाधान। गणना के लिए, हम अंतिम पद 5 और 13 गुणों पर लागू होते हैं

हम इसे रिकॉर्ड पर रखते हैं और शोक मनाते हैं

चूँकि आधार बराबर हैं, हम व्यंजकों को बराबर करते हैं

लघुगणक. प्रथम स्तर।

मान लीजिए लघुगणक का मान दिया गया है

यदि लॉग(x) की गणना करें

समाधान: आइए चर के पदों के योग के माध्यम से लघुगणक लिखने के लिए चर का एक लघुगणक लें

यह लघुगणक और उनके गुणों से हमारे परिचय की शुरुआत मात्र है। गणनाओं का अभ्यास करें, अपने व्यावहारिक कौशल को समृद्ध करें - लघुगणकीय समीकरणों को हल करने के लिए आपको जल्द ही ज्ञान की आवश्यकता होगी। ऐसे समीकरणों को हल करने की बुनियादी विधियों का अध्ययन करने के बाद, हम आपके ज्ञान को एक और समान रूप से महत्वपूर्ण विषय - लघुगणकीय असमानताओं तक विस्तारित करेंगे...

लघुगणक के मूल गुण

लघुगणक जोड़ना और घटाना

लॉगैक्स + लॉगे = लॉगा(x y);
logax − logay = loga (x: y).

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log6 4 + log6 9।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log2 48 − log2 3.

आधार समान हैं, हम अंतर सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग2 48 - लॉग2 3 = लॉग2 (48:3) = लॉग2 16 = 4।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log3 135 − log3 5.

फिर से आधार वही हैं, इसलिए हमारे पास है:
लॉग3 135 - लॉग3 5 = लॉग3 (135:5) = लॉग3 27 = 3।

जैसा कि आप देख सकते हैं, मूल अभिव्यक्तियाँ "खराब" लघुगणक से बनी हैं, जिनकी गणना अलग से नहीं की जाती है। लेकिन परिवर्तनों के बाद, पूरी तरह से सामान्य संख्याएँ प्राप्त होती हैं। कई परीक्षण इसी तथ्य पर आधारित होते हैं. हाँ, एकीकृत राज्य परीक्षा में परीक्षण जैसी अभिव्यक्तियाँ पूरी गंभीरता से (कभी-कभी वस्तुतः बिना किसी बदलाव के) पेश की जाती हैं।

लघुगणक से घातांक निकालना

अब कार्य को थोड़ा जटिल बनाते हैं। क्या होगा यदि लघुगणक का आधार या तर्क एक शक्ति है? फिर इस डिग्री के घातांक को निम्नलिखित नियमों के अनुसार लघुगणक के चिह्न से बाहर निकाला जा सकता है:

लघुगणक कैसे हल करें

इसकी सबसे अधिक आवश्यकता होती है।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log7 496।

काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

मुझे लगता है कि अंतिम उदाहरण में कुछ स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। लघुगणक कहाँ चले गए? अंतिम क्षण तक हम केवल हर के साथ काम करते हैं। हमने वहां खड़े लघुगणक के आधार और तर्क को घातों के रूप में प्रस्तुत किया और घातांक निकाले - हमें एक "तीन-कहानी" अंश मिला।

एक नई नींव में परिवर्तन

विशेष रूप से, यदि हम c = x सेट करते हैं, तो हमें मिलता है:

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log5 16 log2 25.

अब दूसरे लघुगणक को "उल्टा" करते हैं:

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log9 100 lg 3.

आइए अब एक नए आधार पर जाकर दशमलव लघुगणक से छुटकारा पाएं:

बुनियादी लघुगणकीय पहचान

दूसरा सूत्र वास्तव में एक संक्षिप्त परिभाषा है। इसे ही कहते हैं: .

नए आधार पर जाने के सूत्रों की तरह, मूल लघुगणकीय पहचान कभी-कभी एकमात्र संभावित समाधान होती है।

काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:

यदि कोई नहीं जानता है, तो यह एकीकृत राज्य परीक्षा का एक वास्तविक कार्य था :)

लघुगणकीय इकाई और लघुगणकीय शून्य

लोगा = 1 है. एक बार और हमेशा के लिए याद रखें: किसी भी आधार का लघुगणक स्वयं एक के बराबर होता है।
लॉगा 1 = 0 है. आधार कुछ भी हो सकता है, लेकिन यदि तर्क में एक है, तो लघुगणक शून्य के बराबर है! क्योंकि a0 = 1 परिभाषा का प्रत्यक्ष परिणाम है।