घन विस्तार सूत्र। संक्षिप्त गुणन सूत्र

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दो भावों के योग का वर्ग

ऐसे कई मामले हैं जहां बहुपद के बहुपद के गुणन को बहुत सरल किया जा सकता है। ऐसा, उदाहरण के लिए, मामला है (2 .) एक्स+ 3आप) 2 .

अभिव्यक्ति (2 एक्स+ 3आप) 2 दो बहुपदों का गुणन है, जिनमें से प्रत्येक (2 .) के बराबर है एक्स+ 3आप)

(2एक्स+ 3आप) 2 = (2एक्स+ 3आप)(2एक्स+ 3आप)

हमें एक बहुपद का एक बहुपद से गुणन प्राप्त होता है। आइए इसे निष्पादित करें:

(2एक्स+ 3आप) 2 = (2एक्स+ 3आप)(2एक्स+ 3आप) = 4एक्स 2 + 6xy + 6xy + 9आप 2 = 4एक्स 2 + 12xy+ 9आप 2

अर्थात्, व्यंजक (2 .) एक्स+ 3आप) 2 बराबर है 4एक्स 2 + 12xy + 9आप 2

(2एक्स+ 3आप) 2 = 4एक्स 2 + 12xy+ 9आप 2

आइए एक समान उदाहरण को हल करें, जो सरल है:

(ए+बी) 2

अभिव्यक्ति ( ए+बी) 2 दो बहुपदों का गुणन है, जिनमें से प्रत्येक बराबर है ( ए+बी)

(ए+बी) 2 = (ए+बी)(ए+बी)

आइए यह गुणा करें:

(ए+बी) 2 = (ए+बी)(ए+बी) = ए 2 + अब + अब + बी 2 = ए 2 + 2अब + बी 2

यही अभिव्यक्ति है (ए+बी) 2 बराबर है ए 2 + 2अब + बी 2

(ए+बी) 2 = ए 2 + 2अब + बी 2

यह पता चला है कि मामला ( ए+बी) 2 को किसी के लिए भी बढ़ाया जा सकता है एऔर बी. पहला उदाहरण हमने हल किया, अर्थात् (2 .) एक्स+ 3आप) 2 को पहचान का उपयोग करके हल किया जा सकता है (ए+बी) 2 = ए 2 + 2अब + बी 2 . ऐसा करने के लिए, आपको चर के बजाय स्थानापन्न करने की आवश्यकता है एऔर बीव्यंजक से संगत पद (2 एक्स+ 3आप) 2. इस मामले में, चर एमैच डिक 2 एक्स, और चर बीमैच डिक 3 आप

ए = 2एक्स

बी = 3आप

और फिर हम पहचान का उपयोग कर सकते हैं (ए+बी) 2 = ए 2 + 2अब + बी 2 , लेकिन चर के बजाय एऔर बीआपको भाव 2 . को स्थानापन्न करने की आवश्यकता है एक्सऔर 3 आपक्रमश:

(2एक्स+ 3आप) 2 = (2एक्स) 2 + 2 × 2 एक्स× 3 आप + (3आप) 2 = 4एक्स 2 + 12xy+ 9आप 2

पिछली बार की तरह, हमें एक बहुपद मिला है 4एक्स 2 + 12xy+ 9आप 2 . समाधान आमतौर पर छोटा लिखा जाता है, जो दिमाग में सभी प्राथमिक परिवर्तन करता है:

(2एक्स+ 3आप) 2 = 4एक्स 2 + 12xy+ 9आप 2

पहचान (ए+बी) 2 = ए 2 + 2अब + बी 2 दो व्यंजकों के योग के वर्ग का सूत्र कहलाता है। इस सूत्र को इस प्रकार पढ़ा जा सकता है:

दो व्यंजकों के योग का वर्ग पहली व्यंजक के वर्ग के बराबर होता है और पहली व्यंजक के गुणनफल का दुगुना और दूसरा जोड़ दूसरी व्यंजक के वर्ग के बराबर होता है।

व्यंजक (2 + 3) 2 पर विचार करें। इसकी गणना दो तरह से की जा सकती है: कोष्ठक में योग करना और परिणाम का वर्ग करना, या दो भावों के योग के वर्ग के लिए सूत्र का उपयोग करना।

पहला तरीका:

(2 + 3) 2 = 5 2 = 25

दूसरा तरीका:

(2 + 3) 2 = 2 2 + 2 × 2 × 3 + 3 2 = 4 + 12 + 9 = 25

उदाहरण 2. अभिव्यक्ति परिवर्तित करें (5 ए+ 3) 2 एक बहुपद में।

आइए दो भावों के योग के वर्ग के लिए सूत्र का उपयोग करें:

(ए+बी) 2 = ए 2 + 2अब + बी 2

(5ए + 3) 2 = (5ए) 2 + 2 × 5 एक × 3 + 3 2 = 25ए 2 + 30ए + 9

माध्यम, (5ए + 3) 2 = 25ए 2 + 30ए + 9.

आइए योग वर्ग सूत्र का उपयोग किए बिना इस उदाहरण को हल करने का प्रयास करें। हमें वही परिणाम मिलना चाहिए:

(5ए + 3) 2 = (5ए + 3)(5ए + 3) = 25ए 2 + 15ए + 15ए + 9 = 25ए 2 + 30ए + 9

दो भावों के योग के वर्ग के सूत्र का एक ज्यामितीय अर्थ होता है। हमें याद है कि एक वर्ग के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आपको इसके पक्ष को दूसरी शक्ति तक बढ़ाने की आवश्यकता है।

उदाहरण के लिए, एक भुजा वाले वर्ग का क्षेत्रफल एके बराबर होगा ए 2. यदि आप वर्ग की भुजा को बढ़ाते हैं बी, तो क्षेत्रफल बराबर होगा ( ए+बी) 2

निम्नलिखित आकृति पर विचार करें:

कल्पना कीजिए कि इस आकृति में दर्शाए गए वर्ग की भुजा को से बढ़ा दिया गया है बी. एक वर्ग की सभी भुजाएँ समान होती हैं। यदि इसकी भुजा को से बढ़ा दिया जाए बी, तो अन्य पक्ष भी बढ़ जाएंगे बी

परिणाम एक नया वर्ग है, जो पिछले वाले से बड़ा है। इसे अच्छी तरह से देखने के लिए, आइए लापता पक्षों को पूरा करें:

इस वर्ग के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आप इसमें शामिल वर्गों और आयतों की अलग-अलग गणना कर सकते हैं, फिर परिणाम जोड़ सकते हैं।

सबसे पहले, आप एक पक्ष के साथ एक वर्ग की गणना कर सकते हैं ए- इसका क्षेत्रफल के बराबर होगा ए 2. फिर आप पक्षों के साथ आयतों की गणना कर सकते हैं एऔर बी- वे बराबर होंगे अब. तब आप एक भुजा वाले वर्ग की गणना कर सकते हैं बी

परिणाम निम्नलिखित क्षेत्रों का योग है:

ए 2 + एबी+एबी + बी 2

समरूप आयतों के क्षेत्रफलों के योग को 2 . से गुणा करके बदला जा सकता है अब, जिसका शाब्दिक अर्थ है "आयत ab के क्षेत्रफल का दो गुना दोहराएं" . बीजगणितीय रूप से, यह समान पदों को कम करके प्राप्त किया जाता है अबऔर अब. परिणाम एक अभिव्यक्ति है ए 2 + 2अब+ बी 2 , जो दो भावों के योग के वर्ग के लिए सूत्र का दाहिना भाग है:

(ए+बी) 2 = ए 2 + 2अब+ बी 2

दो भावों के अंतर का वर्ग

दो भावों के अंतर के वर्ग का सूत्र इस प्रकार है:

(ए-बी) 2 = ए 2 − 2अब + बी 2

दो व्यंजकों के अंतर का वर्ग पहली व्यंजक के वर्ग के बराबर होता है जो पहली व्यंजक के गुणनफल का दुगुना और दूसरा जोड़ दूसरी व्यंजक के वर्ग के बराबर होता है।

दो व्यंजकों के अंतर के वर्ग का सूत्र उसी प्रकार निकाला जाता है जैसे दो व्यंजकों के योग के वर्ग का सूत्र। अभिव्यक्ति ( ए-बी) 2 दो बहुपदों का गुणनफल है, जिनमें से प्रत्येक बराबर है ( ए-बी)

(ए-बी) 2 = (ए-बी)(ए-बी)

यदि आप इस गुणन को करते हैं, तो आपको एक बहुपद प्राप्त होता है ए 2 − 2अब + बी 2

(ए-बी) 2 = (ए-बी)(ए-बी) = ए 2 − अब− अब+ बी 2 = ए 2 − 2अब + बी 2

उदाहरण 1. अभिव्यक्ति बदलें (7 एक्स- 5) 2 एक बहुपद में।

आइए दो भावों के अंतर के वर्ग के सूत्र का उपयोग करें:

(ए-बी) 2 = ए 2 − 2अब + बी 2

(7एक्स− 5) 2 = (7एक्स) 2 - 2 × 7 एक्स × 5 + 5 2 = 49एक्स 2 − 70एक्स + 25

माध्यम, (7एक्स− 5) 2 = 49एक्स 2 + 70एक्स + 25.

आइए अंतर वर्ग सूत्र का उपयोग किए बिना इस उदाहरण को हल करने का प्रयास करें। हमें वही परिणाम मिलना चाहिए:

(7एक्स− 5) 2 = (7एक्स− 5) (7एक्स− 5) = 49एक्स 2 − 35एक्स − 35एक्स + 25 = 49एक्स 2 − 70एक्स+ 25.

दो भावों के अंतर के वर्ग के सूत्र का एक ज्यामितीय अर्थ भी होता है। यदि एक भुजा वाले वर्ग का क्षेत्रफल एके बराबर है ए 2 , तो उस वर्ग का क्षेत्रफल जिसकी भुजा को घटा दिया जाता है बी, के बराबर होगा ( ए-बी) 2

निम्नलिखित आकृति पर विचार करें:

कल्पना कीजिए कि इस आकृति में दिखाए गए वर्ग की भुजा को से कम कर दिया गया है बी. एक वर्ग की सभी भुजाएँ समान होती हैं। यदि एक पक्ष को से कम किया जाता है बी, तो अन्य पक्ष भी कम हो जाएंगे बी

परिणाम एक नया वर्ग है, जो पिछले वाले से छोटा है। इसे चित्र में पीले रंग में हाइलाइट किया गया है। इसका पक्ष है ए− बीपुराने पक्ष के बाद से एसे कम हुआ बी. इस वर्ग के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आप वर्ग के मूल क्षेत्रफल का उपयोग कर सकते हैं ए 2 पुराने वर्ग के पक्षों को कम करने की प्रक्रिया में प्राप्त आयतों के क्षेत्रों को घटाएं। आइए इन आयतों को दिखाते हैं:

तब हम निम्नलिखित व्यंजक लिख सकते हैं: पुराना क्षेत्र ए 2 घटा क्षेत्र अबऋण क्षेत्र ( ए-बी)बी

ए 2 − अब − (ए-बी)बी

व्यंजक में कोष्ठक का विस्तार करें ( ए-बी)बी

ए 2 − अब - अबू + बी 2

यहाँ समान शब्द हैं:

ए 2 − 2अब + बी 2

परिणाम एक अभिव्यक्ति है ए 2 − 2अब + बी 2 , जो दो भावों के अंतर के वर्ग के लिए सूत्र का दाहिना पक्ष है:

(ए-बी) 2 = ए 2 − 2अब + बी 2

योग के वर्ग और अंतर के वर्ग के सूत्रों को आम तौर पर कहा जाता है संक्षिप्त गुणन सूत्र. ये सूत्र आपको बहुपदों को गुणा करने की प्रक्रिया को काफी सरल और तेज करने की अनुमति देते हैं।

पहले हमने कहा था कि एक बहुपद के सदस्य को अलग से देखते हुए, उसके सामने स्थित चिन्ह के साथ उस पर विचार करना चाहिए।

लेकिन संक्षिप्त गुणन सूत्रों को लागू करते समय, मूल बहुपद के चिन्ह को इस पद का चिन्ह नहीं माना जाना चाहिए।

उदाहरण के लिए, दिया गया व्यंजक (5 .) एक्स − 2आप) 2 , और हम सूत्र का उपयोग करना चाहते हैं (ए-बी) 2 = ए 2 − 2अब + बी 2 , तो इसके बजाय बी 2 . को स्थानापन्न करने की आवश्यकता है आप, नहीं -2 आप. यह सूत्रों के साथ काम करने की एक विशेषता है जिसे भुलाया नहीं जाना चाहिए।

(5एक्स − 2आप) 2
ए = 5एक्स
बी = 2आप
(5एक्स − 2आप) 2 = (5एक्स) 2 - 2 × 5 एक्स×2 आप + (2आप) 2 = 25एक्स 2 − 20xy + 4आप 2

यदि हम -2 . को प्रतिस्थापित करते हैं आप, तो इसका अर्थ यह होगा कि मूल व्यंजक के कोष्ठकों में अंतर को योग से बदल दिया गया है:

(5एक्स − 2आप) 2 = (5एक्स + (−2आप)) 2

और इस मामले में अंतर के वर्ग के सूत्र को लागू करना आवश्यक नहीं है, लेकिन योग के वर्ग का सूत्र:

(5एक्स + (−2आप) 2
ए = 5एक्स
बी = −2आप
(5एक्स + (−2आप)) 2 = (5एक्स) 2 + 2 × 5 एक्स× (−2 आप) + (−2आप) 2 = 25एक्स 2 − 20xy + 4आप 2

एक अपवाद प्रपत्र के भाव हो सकते हैं (एक्स− (−आप)) 2 . इस मामले में, सूत्र का उपयोग कर (ए-बी) 2 = ए 2 − 2अब + बी 2 के बजाय बीप्रतिस्थापित किया जाना चाहिए (- आप)

(एक्स− (−आप)) 2 = एक्स 2 - 2 × एक्स× (− आप) + (−आप) 2 = एक्स 2 + 2xy + आप 2

लेकिन रूप के वर्ग भाव एक्स − (−आप) , घटाव को जोड़ से बदलना अधिक सुविधाजनक होगा एक्स+वाई. तब मूल व्यंजक रूप लेगा ( एक्स +आप) 2 और योग के वर्ग के सूत्र का उपयोग करना संभव होगा, न कि अंतर का:

(एक्स +आप) 2 = एक्स 2 + 2xy + आप 2

योग घन और अंतर घन

दो भावों के योग के घन और दो भावों के अंतर के घन के सूत्र इस प्रकार हैं:

(ए + बी) 3 = ए 3 + 3ए 2 बी + 3अब 2 + बी 3

(ए-बी) 3 = ए 3 − 3ए 2 बी + 3अब 2 − बी 3

दो भावों के योग के घन का सूत्र इस प्रकार पढ़ा जा सकता है:

दो व्यंजकों के योग का घन पहली व्यंजक के घन के बराबर है और पहली व्यंजक के वर्ग के तीन गुणा दूसरे व्यंजक के गुणनफल के तीन गुणा, दूसरे व्यंजक के वर्ग के गुणनफल के गुणनफल से दूसरे व्यंजक के घन के बराबर है अभिव्यक्ति।

और दो भावों के अंतर के घन का सूत्र इस प्रकार पढ़ा जा सकता है:

दो भावों के अंतर का घन पहली अभिव्यक्ति के घन के बराबर है, पहली अभिव्यक्ति के वर्ग के गुणनफल का तीन गुना और दूसरा जोड़ पहली अभिव्यक्ति के गुणनफल का तीन गुना और दूसरे का वर्ग घटा घन दूसरी अभिव्यक्ति का।

समस्याओं को हल करते समय, इन सूत्रों को दिल से जानना वांछनीय है। अगर आपको याद नहीं है, तो चिंता न करें! आप इन्हें खुद ही निकाल सकते हैं। हम पहले से ही जानते हैं कि कैसे।

आइए योग का घन सूत्र स्वयं प्राप्त करें:

(ए+बी) 3

अभिव्यक्ति ( ए+बी) 3 तीन बहुपदों का गुणनफल है, जिनमें से प्रत्येक बराबर है ( ए+ बी)

(ए+बी) 3 = (ए+ बी)(ए+ बी)(ए+ बी)

लेकिन अभिव्यक्ति ( ए+बी) 3 को के रूप में भी लिखा जा सकता है (ए+ बी)(ए+ बी) 2

(ए+बी) 3 = (ए+ बी)(ए+ बी) 2

इस मामले में, कारक ( ए+ बी) 2 दो भावों के योग का वर्ग है। योग का यह वर्ग व्यंजक के बराबर है ए 2 + 2अब + बी 2 .

फिर ( ए+बी) 3 को के रूप में लिखा जा सकता है (ए+ बी)(ए 2 + 2अब + बी 2) .

(ए+बी) 3 = (ए+ बी)(ए 2 + 2अब + बी 2)

और यह एक बहुपद का एक बहुपद से गुणा है। आइए इसे निष्पादित करें:

(ए+बी) 3 = (ए+ बी)(ए 2 + 2अब + बी 2) = ए 3 + 2ए 2 बी + अब 2 + ए 2 बी + 2अब 2 + बी 3 = ए 3 + 3ए 2 बी + 3अब 2 + बी 3

इसी तरह, आप दो भावों के अंतर के घन के लिए सूत्र प्राप्त कर सकते हैं:

(ए-बी) 3 = (ए- बी)(ए 2 − 2अब + बी 2) = ए 3 − 2ए 2 बी + अब 2 − ए 2 बी + 2अब 2 − बी 3 = ए 3 − 3ए 2 बी+ 3अब 2 − बी 3

उदाहरण 1. अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें ( एक्स+ 1) 3 एक बहुपद में।

(ए + बी) 3 = ए 3 + 3ए 2 बी + 3अब 2 + बी 3

(एक्स+ 1) 3 = एक्स 3+3× एक्स 2×1 + 3× एक्स× 1 2 + 1 3 = एक्स 3 + 3एक्स 2 + 3एक्स + 1

आइए दो भावों के योग के घन सूत्र का उपयोग किए बिना इस उदाहरण को हल करने का प्रयास करें

(एक्स+ 1) 3 = (एक्स+ 1)(एक्स+ 1)(एक्स+ 1) = (एक्स+ 1)(एक्स 2 + 2एक्स + 1) = एक्स 3 + 2एक्स 2 + एक्स + एक्स 2 + 2एक्स + 1 = एक्स 3 + 3एक्स 2 + 3एक्स + 1

उदाहरण 2. अभिव्यक्ति परिवर्तित करें (6ए 2 + 3बी 3) 3 एक बहुपद में।

आइए दो भावों के योग के लिए घन सूत्र का उपयोग करें:

(ए + बी) 3 = ए 3 + 3ए 2 बी + 3अब 2 + बी 3

(6ए 2 + 3बी 3) 3 = (6ए 2) 3 + 3 × (6 .) ए 2) 2×3 बी 3+3×6 ए 2 × (3बी 3) 2 + (3बी 3) 3 = 216ए 6+3×36 ए 4×3 बी 3+3×6 ए 2×9 बी 6 + 27बी 9

उदाहरण 3. अभिव्यक्ति परिवर्तित करें ( एन 2 - 3) 3 एक बहुपद में।

(ए-बी) = ए 3 − 3ए 2 बी + 3अब 2 − बी 3

(एन 2 − 3) 3 = (एन 2) 3 - 3 × ( एन 2) 2×3 + 3× एन 2 × 3 2 - 3 3 = एन 6 − 9एन 4 + 27एन 2 − 27

उदाहरण 4. अभिव्यक्ति परिवर्तित करें (2एक्स 2 − एक्स 3) 3 एक बहुपद में।

आइए दो भावों के अंतर के घन सूत्र का उपयोग करें:

(ए-बी) = ए 3 − 3ए 2 बी + 3अब 2 − बी 3

(2एक्स 2 − एक्स 3) 3 = (2एक्स 2) 3 - 3 × (2 .) एक्स 2) 2× एक्स 3+3×2 एक्स 2×( एक्स 3) 2 − (एक्स 3) 3 =
8एक्स 6 - 3 × 4 एक्स 4× एक्स 3+3×2 एक्स 2× एक्स 6 − एक्स 9 =
8एक्स 6 − 12एक्स 7 + 6एक्स 8 − एक्स 9

दो भावों के अंतर को उनके योग से गुणा करना

ऐसी समस्याएं हैं जिनमें दो अभिव्यक्तियों के अंतर को उनके योग से गुणा करना आवश्यक है। उदाहरण के लिए:

(ए-बी)(ए+बी)

इस व्यंजक में, दो व्यंजकों का अंतर एऔर बीसमान दो भावों के योग से गुणा किया जाता है। आइए यह गुणा करें:

(ए-बी)(ए+बी) = ए 2 + अब − अब − बी 2 = ए 2 − बी 2

यही अभिव्यक्ति है (ए-बी)(ए+बी) बराबरी ए 2 − बी 2

(ए-बी)(ए+बी) = ए 2 − बी 2

हम देखते हैं कि दो व्यंजकों के अंतर को उनके योग से गुणा करने पर हमें इन व्यंजकों के वर्गों का अंतर प्राप्त होता है।

दो भावों के अंतर और उनके योग का गुणनफल इन भावों के वर्गों के अंतर के बराबर होता है।

हो रहा (ए-बी)(ए+बी) किसी के लिए बढ़ाया जा सकता है एऔर बी. सीधे शब्दों में कहें, यदि किसी समस्या को हल करते समय दो भावों के अंतर को उनके योग से गुणा करना आवश्यक है, तो इस गुणन को इन भावों के वर्गों के अंतर से बदला जा सकता है।

उदाहरण 1. गुणन करें (2एक्स − 5)(2एक्स + 5)

इस उदाहरण में, व्यंजक अंतर 2 . है एक्सऔर 5 को इन्हीं भावों के योग से गुणा किया जाता है। फिर सूत्र के अनुसार (ए-बी)(ए+बी) = ए 2 − बी 2 अपने पास:

(2एक्स − 5)(2एक्स + 5) = (2एक्स) 2 − 5 2

हम दाईं ओर की गणना करते हैं, हमें 4 . मिलता है एक्स 2 − 25

(2एक्स − 5)(2एक्स + 5) = (2एक्स) 2 − 5 2 = 4एक्स 2 − 25

आइए इस उदाहरण को सूत्र का उपयोग किए बिना हल करने का प्रयास करें (ए-बी)(ए+बी) = ए 2 − बी 2 . हमें वही परिणाम मिलेगा 4 एक्स 2 − 25

(2एक्स − 5)(2एक्स + 5) = 4एक्स 2 − 10एक्स + 10एक्स − 25 = 4एक्स 2 − 25

उदाहरण 2. गुणन करें (4एक्स − 5आप)(4एक्स + 5आप)

(ए-बी)(ए+बी) = ए 2 − बी 2

(4एक्स − 5आप)(4एक्स + 5आप) = (4एक्स) 2 − (5आप) 2 = 16एक्स 2 − 25आप 2

उदाहरण 3. गुणन करें (2ए+ 3बी)(2ए− 3बी)

आइए दो व्यंजकों के अंतर को उनके योग से गुणा करने के लिए सूत्र का उपयोग करें:

(ए-बी)(ए+बी) = ए 2 − बी 2

(2ए + 3बी)(2ए- 3बी) = (2ए) 2 − (3बी) 2 = 4ए 2 − 9बी 2

इस उदाहरण में, पदों का योग 2 . है एऔर 3 बीइन शर्तों के अंतर से पहले स्थित है। और सूत्र में (ए-बी)(ए+बी) = ए 2 − बी 2 अंतर पहले स्थित है।

इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि कारकों को कैसे व्यवस्थित किया जाता है ( ए-बी) में ( ए+बी) सूत्र में। उन्हें इस प्रकार लिखा जा सकता है (ए-बी)(ए+बी) , और (ए+बी)(ए-बी) . परिणाम अभी भी होगा ए 2 − बी 2 , चूंकि उत्पाद कारकों के क्रमपरिवर्तन से नहीं बदलता है।

तो इस उदाहरण में, कारक (2 .) ए + 3बी) और 2 ए- 3बी) के रूप में लिखा जा सकता है (2ए + 3बी)(2ए- 3बी) , और (2ए- 3बी)(2ए + 3बी) . परिणाम अभी भी 4 होगा। ए 2 − 9बी 2 .

उदाहरण 3. गुणन करें (7 + 3एक्स)(3एक्स − 7)

आइए दो व्यंजकों के अंतर को उनके योग से गुणा करने के लिए सूत्र का उपयोग करें:

(ए-बी)(ए+बी) = ए 2 − बी 2

(7 + 3एक्स)(3एक्स − 7) = (3एक्स) 2 − 7 2 = 9एक्स 2 − 49

उदाहरण 4. गुणन करें (एक्स 2 − आप 3)(एक्स 2 + आप 3)

(ए-बी)(ए+बी) = ए 2 − बी 2

(एक्स 2 − आप 3)(एक्स 2 + आप 3) = (एक्स 2) 2 − (आप 3) 2 = एक्स 4 − आप 6

उदाहरण 5. गुणन करें (−5एक्स− 3आप)(5एक्स− 3आप)

व्यंजक में (−5 एक्स− 3आप) हम −1 निकालते हैं, फिर मूल व्यंजक निम्नलिखित रूप लेगा:

(−5एक्स− 3आप)(5एक्स− 3आप) = −1(5एक्स + 3आप)(5एक्स − 3आप)

कार्य (5एक्स + 3आप)(5एक्स − 3आप) वर्गों के अंतर से बदलें:

(−5एक्स− 3आप)(5एक्स− 3आप) = −1(5एक्स + 3आप)(5एक्स − 3आप) = −1((5एक्स) 2 − (3आप) 2)

वर्गों का अंतर कोष्ठकों में संलग्न किया गया था। यदि ऐसा नहीं किया जाता है, तो यह पता चलेगा कि -1 को केवल (5 .) से गुणा किया जाता है एक्स) 2. और इससे एक त्रुटि होगी और मूल अभिव्यक्ति का मान बदल जाएगा।

(−5एक्स− 3आप)(5एक्स− 3आप) = −1(5एक्स + 3आप)(5एक्स − 3आप) = −1((5एक्स) 2 − (3आप) 2) = −1(25एक्स 2 − 9एक्स 2)

अब −1 को कोष्ठक में दिए गए व्यंजक से गुणा करें और अंतिम परिणाम प्राप्त करें:

(−5एक्स− 3आप)(5एक्स− 3आप) = −1(5एक्स + 3आप)(5एक्स − 3आप) = −1((5एक्स) 2 − (3आप) 2) =
−1(25एक्स 2 − 9आप 2) = −25एक्स 2 + 9आप 2

दो व्यंजकों के अंतर को उनके योग के अधूरे वर्ग से गुणा करना

ऐसी समस्याएं हैं जिनमें दो व्यंजकों के अंतर को उनके योग के अधूरे वर्ग से गुणा करना आवश्यक है। यह टुकड़ा इस तरह दिखता है:

(ए-बी)(ए 2 + अब + बी 2)

पहला बहुपद ( ए-बी) दो भावों का अंतर है, और दूसरा बहुपद (ए 2 + अब + बी 2) इन दो भावों के योग का अपूर्ण वर्ग है।

योग का अपूर्ण वर्ग रूप का बहुपद है ए 2 + अब + बी 2 . यह योग के सामान्य वर्ग के समान है ए 2 + 2अब + बी 2

उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति 4एक्स 2 + 6xy + 9आप 2 व्यंजकों के योग का एक अपूर्ण वर्ग है 2 एक्सऔर 3 आप .

दरअसल, अभिव्यक्ति का पहला शब्द 4एक्स 2 + 6xy + 9आप 2 , अर्थात् 4 एक्स 2 व्यंजक का वर्ग है 2 एक्स, चूंकि (2 एक्स) 2 = 4एक्स 2. व्यंजक का तीसरा पद 4एक्स 2 + 6xy + 9आप 2 , अर्थात् 9 आप 2 3 . का वर्ग है आप, क्योंकि (3 आप) 2 = 9आप 2. मध्य डिक 6 xy, व्यंजक 2 . का गुणनफल है एक्सऔर 3 वाई

तो चलिए अंतर को गुणा करते हैं ( ए-बी) योग के अपूर्ण वर्ग द्वारा ए 2 + अब + बी 2

(ए-बी)(ए 2 + अब + बी 2) = ए(ए 2 + एबी + बी 2) − बी(ए 2 + अब + बी 2) =
ए 3 + ए 2 बी + अब 2 − ए 2 बी − अब 2 − बी 3 = ए 3 − बी 3

यही अभिव्यक्ति है (ए-बी)(ए 2 + अब + बी 2) बराबरी ए 3 − बी 3

(ए-बी)(ए 2 + अब + बी 2) = ए 3 − बी 3

इस सर्वसमिका को दो व्यंजकों के अंतर को उनके योग के अधूरे वर्ग से गुणा करने का सूत्र कहते हैं। इस सूत्र को इस प्रकार पढ़ा जा सकता है:

दो व्यंजकों के अंतर और उनके योग के अपूर्ण वर्ग का गुणनफल इन व्यंजकों के घनों के अंतर के बराबर होता है।

उदाहरण 1. गुणन करें (2एक्स − 3आप)(4एक्स 2 + 6xy + 9आप 2)

पहला बहुपद (2 .) एक्स − 3आप) दो भावों का अंतर है 2 एक्सऔर 3 आप. दूसरा बहुपद 4एक्स 2 + 6xy + 9आप 2 दो भावों के योग का अपूर्ण वर्ग है 2 एक्सऔर 3 आप. यह हमें लंबी गणना किए बिना सूत्र का उपयोग करने की अनुमति देता है (ए-बी)(ए 2 + अब + बी 2) = ए 3 − बी 3 . हमारे मामले में, गुणा (2एक्स − 3आप)(4एक्स 2 + 6xy + 9आप 2) 2 . के घनों के अंतर से बदला जा सकता है एक्सऔर 3 आप

(2एक्स − 3आप)(4एक्स 2 + 6xy + 9आप 2) = (2एक्स) 3 − (3आप) 3 = 8एक्स 3 − 27आप 3

(ए-बी)(ए 2 + अब+ बी 2) = ए 3 − बी 3 . हमें वही परिणाम मिलता है, लेकिन समाधान लंबा हो जाता है:

(2एक्स − 3आप)(4एक्स 2 + 6xy + 9आप 2) = 2एक्स(4एक्स 2 + 6xy + 9आप 2) − 3आप(4एक्स 2 + 6xy + 9आप 2) =
8एक्स 3 + 12एक्स 2 आप + 18xy 2 − 12एक्स 2 आप − 18xy 2 − 27आप 3 = 8एक्स 3 − 27आप 3

उदाहरण 2. गुणन करें (3 − एक्स)(9 + 3एक्स + एक्स 2)

पहला बहुपद (3 − एक्स) दो व्यंजकों का अंतर है, और दूसरा बहुपद इन दो व्यंजकों के योग का अधूरा वर्ग है। यह हमें सूत्र का उपयोग करने की अनुमति देता है (ए-बी)(ए 2 + अब + बी 2) = ए 3 − बी 3

(3 − एक्स)(9 + 3एक्स + एक्स 2) = 3 3 − एक्स 3 = 27 − एक्स 3

दो व्यंजकों के योग को उनके अंतर के अधूरे वर्ग से गुणा करना

ऐसी समस्याएं हैं जिनमें दो अभिव्यक्तियों के योग को उनके अंतर के अपूर्ण वर्ग से गुणा करना आवश्यक है। यह टुकड़ा इस तरह दिखता है:

(ए+बी)(ए 2 − अब + बी 2)

पहला बहुपद ( ए+बी (ए 2 − अब + बी 2) इन दो भावों के अंतर का अधूरा वर्ग है।

अंतर का अधूरा वर्ग प्रपत्र का बहुपद है ए 2 − अब + बी 2 . यह सामान्य चुकता अंतर के समान है ए 2 − 2अब + बी 2 सिवाय इसके कि इसमें पहले और दूसरे भाव का गुणनफल दोगुना नहीं है।

उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति 4एक्स 2 − 6xy + 9आप 2 व्यंजकों के अंतर का एक अपूर्ण वर्ग है 2 एक्सऔर 3 वाई।

(2एक्स) 2 − 2एक्स× 3 आप + (3आप) 2 = 4एक्स 2 − 6xy + 9आप 2

आइए मूल उदाहरण पर वापस जाएं। आइए योग को गुणा करें ए+बीअंतर के अधूरे वर्ग से ए 2 − अब + बी 2

(ए+बी)(ए 2 − अब + बी 2) = ए(ए 2 - एबी + बी 2) + बी(ए 2 − अब + बी 2) =
ए 3 − ए 2 बी + अब 2 + ए 2 बी − अब 2 + बी 3 = ए 3 + बी 3

यही अभिव्यक्ति है (ए+बी)(ए 2 − अब + बी 2) बराबरी ए 3 + बी 3

(ए+बी)(ए 2 − अब + बी 2) = ए 3 + बी 3

इस सर्वसमिका को दो व्यंजकों के योग को उनके अंतर के अधूरे वर्ग से गुणा करने का सूत्र कहा जाता है। इस सूत्र को इस प्रकार पढ़ा जा सकता है:

दो व्यंजकों के योग और उनके अंतर के अपूर्ण वर्ग का गुणनफल इन व्यंजकों के घनों के योग के बराबर होता है।

उदाहरण 1. गुणन करें (2एक्स + 3आप)(4एक्स 2 − 6xy + 9आप 2)

पहला बहुपद (2 .) एक्स + 3आप) दो भावों का योग है 2 एक्सऔर 3 आप, और दूसरा बहुपद 4एक्स 2 − 6xy + 9आप 2 इन भावों के अंतर का अधूरा वर्ग है। यह हमें लंबी गणना किए बिना सूत्र का उपयोग करने की अनुमति देता है (ए+बी)(ए 2 − अब + बी 2) = ए 3 + बी 3 . हमारे मामले में, गुणा (2एक्स + 3आप)(4एक्स 2 − 6xy + 9आप 2) घनों के योग से प्रतिस्थापित किया जा सकता है 2 एक्सऔर 3 आप

(2एक्स + 3आप)(4एक्स 2 − 6xy + 9आप 2) = (2एक्स) 3 + (3आप) 3 = 8एक्स 3 + 27आप 3

आइए सूत्र का उपयोग किए बिना उसी उदाहरण को हल करने का प्रयास करें (ए+बी)(ए 2 − अब+ बी 2) = ए 3 + बी 3 . हमें वही परिणाम मिलता है, लेकिन समाधान लंबा हो जाता है:

(2एक्स + 3आप)(4एक्स 2 − 6xy + 9आप 2) = 2एक्स(4एक्स 2 − 6xy + 9आप 2) + 3आप(4एक्स 2 − 6xy + 9आप 2) =
8एक्स 3 − 12एक्स 2 आप + 18xy 2 + 12एक्स 2 आप − 18xy 2 + 27आप 3 = 8एक्स 3 + 27आप 3

उदाहरण 2. गुणन करें (2एक्स+ आप)(4एक्स 2 − 2xy + आप 2)

पहला बहुपद (2 .) एक्स+ आप) दो व्यंजकों का योग है, और दूसरा बहुपद (4एक्स 2 − 2xy + आप 2) इन भावों के अंतर का एक अधूरा वर्ग है। यह हमें सूत्र का उपयोग करने की अनुमति देता है (ए+बी)(ए 2 − अब+ बी 2) = ए 3 + बी 3

(2एक्स+ आप)(4एक्स 2 − 2xy + आप 2) = (2एक्स) 3 + आप 3 = 8एक्स 3 + आप 3

आइए सूत्र का उपयोग किए बिना उसी उदाहरण को हल करने का प्रयास करें (ए+बी)(ए 2 − अब+ बी 2) = ए 3 + बी 3 . हमें वही परिणाम मिलता है, लेकिन समाधान लंबा हो जाता है:

(2एक्स+ आप)(4एक्स 2 − 2xy + आप 2) = 2एक्स(4एक्स 2 − 2xy + आप 2) + आप(4एक्स 2 − 2xy + आप 2) =
8एक्स 3 − 4एक्स 2 आप + 2xy 2 + 4एक्स 2 आप − 2xy 2 + आप 3 = 8एक्स 3 + आप 3

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य

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इस पाठ में, हम योग के वर्ग और अंतर के वर्ग के सूत्रों से परिचित होंगे और उन्हें व्युत्पन्न करेंगे। आइए हम योग के वर्ग के लिए सूत्र को ज्यामितीय रूप से सिद्ध करें। इसके अलावा, हम इन सूत्रों का उपयोग करके कई अलग-अलग उदाहरणों को हल करेंगे।

योग के वर्ग के सूत्र पर विचार करें:

इसलिए, हमने योग के वर्ग के लिए सूत्र निकाला है:

मौखिक रूप से, यह सूत्र इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: योग का वर्ग पहली संख्या के वर्ग के बराबर होता है और पहली संख्या के गुणनफल से दूसरी और दूसरी संख्या के वर्ग के बराबर होता है।

यह सूत्र ज्यामितीय रूप से निरूपित करना आसान है।

भुजा वाले वर्ग पर विचार करें:

वर्गाकार क्षेत्र।

दूसरी ओर, एक ही वर्ग को भुजा को a और b में विभाजित करके अलग-अलग तरीके से दर्शाया जा सकता है (चित्र 1)।

चावल। 1. स्क्वायर

तब वर्ग के क्षेत्रफल को क्षेत्रफलों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है:

चूँकि वर्ग समान थे, उनके क्षेत्रफल समान हैं, जिसका अर्थ है:

इसलिए, हमने योग के वर्ग के लिए ज्यामितीय रूप से सूत्र को सिद्ध कर दिया है।

उदाहरणों पर विचार करें:

टिप्पणी:योग वर्ग सूत्र का उपयोग करके उदाहरण को हल किया जाता है।

हम अंतर के वर्ग के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं:

इसलिए, हमने अंतर के वर्ग के लिए सूत्र निकाला है:

मौखिक रूप से, यह सूत्र इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: अंतर का वर्ग पहली संख्या के वर्ग के बराबर होता है, पहली संख्या के गुणनफल का दुगुना और दूसरी संख्या का वर्ग।

उदाहरणों पर विचार करें:

योग के वर्ग और अंतर के वर्ग के सूत्र बाएँ से दाएँ और दाएँ से बाएँ दोनों काम कर सकते हैं। जब बाएं से दाएं उपयोग किया जाता है, तो ये संक्षिप्त गुणन सूत्र होंगे, इनका उपयोग उदाहरणों की गणना और परिवर्तन करते समय किया जाता है। और जब दाएँ से बाएँ - फ़ैक्टराइज़ेशन फ़ार्मुलों का उपयोग किया जाता है।

उन उदाहरणों पर विचार करें जिनमें आपको योग के वर्ग और अंतर के वर्ग के सूत्रों का उपयोग करके दिए गए बहुपद को कारकों में विभाजित करने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, आपको बहुपद को बहुत ध्यान से देखना होगा और यह निर्धारित करना होगा कि इसे सही तरीके से कैसे विस्तारित किया जाए।

टिप्पणी:एक बहुपद का गुणनखंड करने के लिए, आपको यह निर्धारित करना होगा कि इस व्यंजक में क्या दर्शाया गया है। तो हम एकता के वर्ग और वर्ग को देखते हैं। अब हमें दोहरा उत्पाद खोजने की जरूरत है - यह है . तो, सभी आवश्यक तत्व हैं, आपको बस यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि यह योग या अंतर का वर्ग है या नहीं। दुगने गुणनफल से पहले एक धन चिह्न होता है, जिसका अर्थ है कि हमारे पास योग का वर्ग है।

संक्षिप्त गुणन सूत्र।

संक्षिप्त गुणन के सूत्रों का अध्ययन: योग का वर्ग और दो भावों के अंतर का वर्ग; दो भावों के वर्गों का अंतर; योग का घन और दो भावों के अंतर का घन; दो भावों के घनों का योग और अंतर।

उदाहरणों को हल करते समय संक्षिप्त गुणन सूत्रों का अनुप्रयोग।

व्यंजकों को सरल बनाने, बहुपदों का गुणनखंडन करने और बहुपदों को मानक रूप में कम करने के लिए संक्षिप्त गुणन सूत्र का उपयोग किया जाता है। संक्षिप्त गुणन सूत्र जिन्हें आपको दिल से जानना आवश्यक है.

मान लीजिए a, b R. तब:

1. दो भावों के योग का वर्ग हैपहली अभिव्यक्ति का वर्ग प्लस पहली अभिव्यक्ति के उत्पाद का दोगुना और दूसरा प्लस दूसरी अभिव्यक्ति का वर्ग।

(ए + बी) 2 = ए 2 + 2एबी + बी 2

2. दो भावों के अंतर का वर्ग हैपहली व्यंजक का वर्ग घटा पहली व्यंजक के गुणनफल का दुगुना और दूसरा जोड़ दूसरी व्यंजक का वर्ग।

(ए - बी) 2 = ए 2 - 2 एबी + बी 2

3. वर्गों का अंतरदो व्यंजक इन व्यंजकों और उनके योग के अंतर के गुणनफल के बराबर हैं।

ए 2 - बी 2 \u003d (ए - बी) (ए + बी)

4. योग घनदो व्यंजकों का योग पहली व्यंजक के घन के बराबर है और पहली व्यंजक के वर्ग के तीन गुणा दूसरे व्यंजक के गुणनफल के गुणनफल के गुणा दूसरे व्यंजक के वर्ग के गुणनफल के गुणनफल के दूसरे व्यंजक के घन के बराबर है।

(ए + बी) 3 = ए 3 + 3 ए 2 बी + 3एबी 2 + बी 3

5. अंतर घनदो व्यंजकों का योग पहली व्यंजक के घन के बराबर है, पहली व्यंजक के वर्ग के गुणनफल का तीन गुना और दूसरा जोड़ पहली व्यंजक के गुणनफल का तीन गुना और दूसरे व्यंजक का वर्ग दूसरी व्यंजक का घन घटाता है।

(ए - बी) 3 = ए 3 - 3 ए 2 बी + 3एबी 2 - बी 3

6. घनों का योगदो व्यंजक पहले और दूसरे व्यंजकों के योग के गुणनफल के बराबर होते हैं जो इन व्यंजकों के अंतर के अधूरे वर्ग से होते हैं।

ए 3 + बी 3 \u003d (ए + बी) (ए 2 - एबी + बी 2)

7. घनों का अंतरदो व्यंजकों का योग इन व्यंजकों के योग के अधूरे वर्ग द्वारा पहली और दूसरी व्यंजकों के अंतर के गुणनफल के बराबर है।

ए 3 - बी 3 \u003d (ए - बी) (ए 2 + एबी + बी 2)

उदाहरणों को हल करते समय संक्षिप्त गुणन सूत्रों का अनुप्रयोग।

उदाहरण 1

गणना

a) दो व्यंजकों के योग के वर्ग के लिए सूत्र का उपयोग करते हुए, हमारे पास है

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

ख) दो व्यंजकों के वर्ग अंतर के लिए सूत्र का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

98 2 \u003d (100 - 2) 2 \u003d 100 2 - 2 100 2 + 2 2 \u003d 10000 - 400 + 4 \u003d 9604

उदाहरण 2

गणना

दो व्यंजकों के वर्गों के अंतर के सूत्र का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

उदाहरण 3

अभिव्यक्ति को सरल बनाएं

(एक्स - वाई) 2 + (एक्स + वाई) 2

हम योग के वर्ग और दो भावों के अंतर के वर्ग के लिए सूत्रों का उपयोग करते हैं

(एक्स - वाई) 2 + (एक्स + वाई) 2 \u003d एक्स 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 \u003d 2x 2 + 2y 2

एक तालिका में संक्षिप्त गुणन सूत्र:

(ए + बी) 2 = ए 2 + 2एबी + बी 2
(ए - बी) 2 = ए 2 - 2 एबी + बी 2
ए 2 - बी 2 = (ए - बी) (ए + बी)
(ए + बी) 3 = ए 3 + 3 ए 2 बी + 3एबी 2 + बी 3
(ए - बी) 3 = ए 3 - 3 ए 2 बी + 3एबी 2 - बी 3
ए 3 + बी 3 \u003d (ए + बी) (ए 2 - एबी + बी 2)
ए 3 - बी 3 \u003d (ए - बी) (ए 2 + एबी + बी 2)

एक स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य भी होंगे, जिनके उत्तर आप देख सकते हैं।

संक्षिप्त गुणन सूत्र आपको अभिव्यक्तियों के समान परिवर्तन करने की अनुमति देते हैं - बहुपद। उनकी सहायता से, बहुपदों का गुणनखंड किया जा सकता है, और सूत्रों का उल्टे क्रम में उपयोग करते हुए, द्विपद, वर्ग और घन के उत्पादों को बहुपद के रूप में दर्शाया जा सकता है। आइए संक्षिप्त गुणन, उनकी व्युत्पत्ति, इन फ़ार्मुलों का उपयोग करके अभिव्यक्तियों के समान परिवर्तनों के लिए सामान्य कार्यों के साथ-साथ होमवर्क असाइनमेंट (उनके उत्तर लिंक द्वारा खोले जाते हैं) के लिए आम तौर पर स्वीकृत सभी फ़ार्मुलों पर विचार करें।

योग वर्ग

योग के वर्ग का सूत्र समानता है

(दो संख्याओं के योग का वर्ग पहली संख्या के वर्ग के बराबर होता है और पहली संख्या के गुणनफल का दुगुना और दूसरा जोड़ दूसरी संख्या के वर्ग के बराबर होता है)।

के बजाय एऔर बीइस सूत्र में किसी भी संख्या को प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

योग वर्ग सूत्र का उपयोग अक्सर गणनाओं को सरल बनाने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए,

योग वर्ग सूत्र का उपयोग करके, बहुपद को गुणनखंडित किया जा सकता है, अर्थात्, दो समान कारकों के उत्पाद के रूप में दर्शाया जाता है।

उदाहरण 1

.

उदाहरण 2बहुपद व्यंजक के रूप में लिखें

फेसला। योग के वर्ग के सूत्र से, हम प्राप्त करते हैं

अंतर का वर्ग

अंतर के वर्ग का सूत्र समानता है

(दो संख्याओं के बीच के अंतर का वर्ग पहली संख्या के वर्ग के बराबर होता है, पहली संख्या के गुणनफल का दोगुना और दूसरा जोड़ दूसरी संख्या का वर्ग)।

चुकता अंतर सूत्र का उपयोग अक्सर गणनाओं को सरल बनाने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए,

अंतर वर्ग सूत्र का उपयोग करके, बहुपद को गुणनखंडित किया जा सकता है, अर्थात्, दो समान कारकों के उत्पाद के रूप में दर्शाया जाता है।

एक बहुपद को एक बहुपद से गुणा करने के नियम से सूत्र इस प्रकार है:

उदाहरण 5बहुपद व्यंजक के रूप में लिखें

फेसला। अंतर के वर्ग के सूत्र से, हम प्राप्त करते हैं

.

संक्षिप्त गुणन सूत्र को स्वयं लागू करें, और फिर समाधान देखें

पूर्ण वर्ग चयन

अक्सर दूसरी डिग्री के बहुपद में योग या अंतर का वर्ग होता है, लेकिन यह एक छिपे हुए रूप में समाहित होता है। पूर्ण वर्ग को स्पष्ट रूप से प्राप्त करने के लिए, आपको बहुपद को बदलना होगा। ऐसा करने के लिए, एक नियम के रूप में, बहुपद की शर्तों में से एक को दोहरे उत्पाद के रूप में दर्शाया जाता है, और फिर उसी संख्या को बहुपद में जोड़ा और घटाया जाता है।

उदाहरण 7

फेसला। इस बहुपद को इस प्रकार रूपांतरित किया जा सकता है:

यहां हमने प्रस्तुत किया है 5 एक्स 5/2 by . के दोहरे गुणनफल के रूप में एक्स, बहुपद में जोड़ा और उसमें से वही संख्या घटाई, फिर द्विपद के लिए योग वर्ग सूत्र लागू किया।

इसलिए हमने समानता साबित कर दी है

,

एक पूर्ण वर्ग और संख्या के बराबर होता है।

उदाहरण 8दूसरी डिग्री बहुपद पर विचार करें

फेसला। आइए इस पर निम्नलिखित परिवर्तन करें:

यहां हमने प्रस्तुत किया है 8 एक्सदोहरे उत्पाद के रूप में एक्स 4 से, बहुपद में जोड़ा जाता है और उसमें से वही संख्या 4² घटा दी जाती है, द्विपद के लिए अंतर वर्ग सूत्र लागू किया जाता है एक्स − 4 .

इसलिए हमने समानता साबित कर दी है

,

दिखा रहा है कि एक दूसरी डिग्री बहुपद

एक पूर्ण वर्ग और संख्या −16 के बराबर होती है।

संक्षिप्त गुणन सूत्र को स्वयं लागू करें, और फिर समाधान देखें

योग घन

घन का योग सूत्र समानता है

(दो संख्याओं के योग का घन पहली संख्या के घन के बराबर है और पहली संख्या के वर्ग का तीन गुना दूसरी संख्या का गुणा है, साथ ही पहली संख्या के गुणनफल को दूसरे के वर्ग के गुणनफल का तीन गुना, साथ ही घन दूसरे नंबर का)।

घन का योग सूत्र इस प्रकार प्राप्त होता है:

उदाहरण 10बहुपद व्यंजक के रूप में लिखें

फेसला। घन के योग सूत्र के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं

संक्षिप्त गुणन सूत्र को स्वयं लागू करें, और फिर समाधान देखें

अंतर घन

अंतर घन सूत्र समानता है

(दो संख्याओं के अंतर का घन पहली संख्या के घन के बराबर है, पहली संख्या के वर्ग का तीन गुना और दूसरी, साथ ही पहली संख्या के गुणनफल का तीन गुना और दूसरी संख्या का वर्ग घटाकर का घन दूसरा नंबर)।

योग घन सूत्र की सहायता से, बहुपद को कारकों में विघटित किया जा सकता है, अर्थात् इसे तीन समान कारकों के उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है।

अंतर घन सूत्र निम्नानुसार प्राप्त होता है:

उदाहरण 12.बहुपद व्यंजक के रूप में लिखें

फेसला। अंतर घन सूत्र का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं

संक्षिप्त गुणन सूत्र को स्वयं लागू करें, और फिर समाधान देखें

वर्गों का अंतर

वर्गों के अंतर का सूत्र समानता है

(दो संख्याओं के वर्गों का अंतर इन संख्याओं के योग और उनके अंतर के गुणनफल के बराबर होता है)।

योग घन सूत्र का उपयोग करके, रूप के किसी भी बहुपद को गुणनखंडित किया जा सकता है।

बहुपद के लिए गुणन नियम का उपयोग करके सूत्र का प्रमाण प्राप्त किया गया था:

उदाहरण 14उत्पाद को बहुपद के रूप में लिखें

.

फेसला। वर्ग सूत्र के अंतर से, हम प्राप्त करते हैं

उदाहरण 15खंड करना

फेसला। स्पष्ट रूप में यह अभिव्यक्ति किसी पहचान के अनुरूप नहीं है। लेकिन संख्या 16 को आधार 4: 16=4² के साथ एक शक्ति के रूप में दर्शाया जा सकता है। तब मूल अभिव्यक्ति एक अलग रूप लेगी:

,

और यह वर्गों के अंतर का सूत्र है, और इस सूत्र को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं