क्यूबिक इक्वेशन को कैसे सॉल्व करें। घन समीकरणों को कैसे हल करें परिभाषा का क्षेत्र, मानों का समुच्चय

एक घन समीकरण में, उच्चतम घातांक 3 है, ऐसे समीकरण के 3 मूल (समाधान) होते हैं और ऐसा दिखता है। कुछ घन समीकरणों को हल करना इतना आसान नहीं है, लेकिन यदि आप सही विधि (अच्छी सैद्धांतिक तैयारी के साथ) लागू करते हैं, तो आप सबसे जटिल घन समीकरण की जड़ें भी पा सकते हैं - ऐसा करने के लिए, द्विघात समीकरण को हल करने के सूत्र का उपयोग करें, पूर्णांक मूल खोजें या विवेचक की गणना करें।

कदम

फ्री टर्म के बिना क्यूबिक इक्वेशन को कैसे सॉल्व करें

पता करें कि घन समीकरण में एक अवरोधन है या नहीं डी (\डिस्प्लेस्टाइल डी) . घन समीकरण का रूप है a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 (\displaystyle ax^(3)+bx^(2)+cx+d=0). एक समीकरण को घन माना जाने के लिए, यह पर्याप्त है कि केवल पद x 3 (\displaystyle x^(3))(अर्थात, कोई अन्य सदस्य बिल्कुल नहीं हो सकता है)।

इसे कोष्ठक से बाहर निकालो एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स) . चूँकि समीकरण में कोई मुक्त पद नहीं है, समीकरण के प्रत्येक पद में एक चर शामिल है एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स). इसका मतलब है कि एक एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स)समीकरण को सरल बनाने के लिए कोष्ठक में रखा जा सकता है। इस प्रकार, समीकरण इस प्रकार लिखा जाएगा: एक्स (ए एक्स 2 + बी एक्स + सी) (\displaystyle x(ax^(2)+bx+c)).

द्विघात समीकरण (यदि संभव हो तो) का गुणनखण्ड (दो द्विपदों के गुणनफल द्वारा) करें।फार्म के कई द्विघात समीकरण a x 2 + b x + c = 0 (\displaystyle ax^(2)+bx+c=0)गुणनखंडित किया जा सकता है। ऐसा समीकरण प्राप्त होगा यदि एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स)कोष्ठक के लिए। हमारे उदाहरण में:

एक विशेष सूत्र का उपयोग करके द्विघात समीकरण को हल करें।ऐसा करें यदि द्विघात समीकरण का गुणनखण्ड नहीं किया जा सकता है। किसी समीकरण के दो मूल ज्ञात करने के लिए, गुणांकों के मान ए (\displaystyle a), बी (\displaystyle b), सी (\डिस्प्लेस्टाइल सी)सूत्र में प्लग करें।

• हमारे उदाहरण में, गुणांकों के मानों को प्रतिस्थापित करें ए (\displaystyle a), बी (\displaystyle b), सी (\डिस्प्लेस्टाइल सी) (3 (\डिस्प्लेस्टाइल 3), − 2 (\displaystyle -2), 14 (\displaystyle 14)) सूत्र में: − b ± b 2 − 4 a c 2 a (\displaystyle (\frac (-b\pm (\sqrt (b^(2)-4ac)))(2a))) − (− 2) ± ((− 2) 2 − 4 (3) (14) 2 (3) (\displaystyle (\frac (-(-2)\pm (\sqrt (((-2)^(2)) )-4(3)(14))))(2(3)))) 2 ± 4 − (12) (14) 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt (4-(12)(14))))(6)) 2 ± (4 − 168 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt ((4-168))))(6))) 2 ± − 164 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt (-164)))(6)))
• पहली जड़: 2 + − 164 6 (\displaystyle (\frac (2+(\sqrt (-164)))(6))) 2 + 12 , 8 i 6 (\displaystyle (\frac (2+12,8i)(6)))
• दूसरा जड़: 2 − 12 , 8 i 6 (\displaystyle (\frac (2-12,8i)(6)))

1. घन समीकरण के समाधान के रूप में शून्य और द्विघात समीकरण की जड़ों का उपयोग करें।द्विघात समीकरण के दो मूल होते हैं, जबकि घन समीकरण के तीन मूल होते हैं। आपने पहले ही दो समाधान खोज लिए हैं - ये द्विघात समीकरण के मूल हैं। यदि आप "x" को कोष्ठक से बाहर रखते हैं, तो तीसरा समाधान है।

   मल्टीप्लायरों का उपयोग करके पूर्णांक जड़ों को कैसे खोजें

   1. सुनिश्चित करें कि घन समीकरण में एक अवरोधन है डी (\डिस्प्लेस्टाइल डी) . यदि फॉर्म के समीकरण में a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 (\displaystyle ax^(3)+bx^(2)+cx+d=0)एक स्वतंत्र सदस्य है डी (\डिस्प्लेस्टाइल डी)(जो शून्य के बराबर नहीं है), यह "x" को कोष्ठक से बाहर करने के लिए काम नहीं करेगा। इस मामले में, इस खंड में वर्णित विधि का उपयोग करें।

      गुणांक गुणकों को लिखें एक (\डिस्प्लेस्टाइल ए) और मुक्त सदस्य डी (\डिस्प्लेस्टाइल डी) . अर्थात्, संख्या के गुणनखंड ज्ञात कीजिए जब x 3 (\displaystyle x^(3))और बराबर के चिह्न से पहले की संख्याएँ। याद रखें कि किसी संख्या के कारक वे संख्याएँ होती हैं, जिन्हें आपस में गुणा करने पर वह संख्या प्राप्त होती है।

      प्रत्येक गुणक को विभाजित करें एक (\डिस्प्लेस्टाइल ए) प्रत्येक गुणक के लिए डी (\डिस्प्लेस्टाइल डी) . परिणाम कई अंश और कई पूर्णांक होंगे; एक घन समीकरण की जड़ें पूर्णांकों में से एक होंगी, या पूर्णांकों में से एक का ऋणात्मक मान होगा।

      • हमारे उदाहरण में, कारकों को विभाजित करें ए (\displaystyle a) (1 तथा 2 ) कारकों द्वारा डी (\डिस्प्लेस्टाइल डी) (1 , 2 , 3 तथा 6 ). आपको मिलेगा: 1 (\डिस्प्लेस्टाइल 1), , , , 2 (\displaystyle 2)तथा । अब परिणामी भिन्नों और संख्याओं के ऋणात्मक मानों को इस सूची में जोड़ें: 1 (\डिस्प्लेस्टाइल 1), − 1 (\displaystyle -1), 1 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))), − 1 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2))), 1 3 (\displaystyle (\frac (1)(3))), − 1 3 (\displaystyle -(\frac (1)(3))), 1 6 (\displaystyle (\frac (1)(6))), − 1 6 (\displaystyle -(\frac (1)(6))), 2 (\displaystyle 2), − 2 (\displaystyle -2), 2 3 (\displaystyle (\frac (2)(3)))तथा − 2 3 (\displaystyle -(\frac (2)(3))). घन समीकरण के पूर्णांक मूल इस सूची से कुछ संख्याएँ हैं।

   2. पूर्णांकों को घन समीकरण में डालें।यदि यह समानता देखी जाती है, तो प्रतिस्थापित संख्या समीकरण की जड़ है। उदाहरण के लिए, समीकरण में प्लग करें 1 (\डिस्प्लेस्टाइल 1):

      द्वारा बहुपदों को विभाजित करने की विधि का प्रयोग करें हॉर्नर की योजनाजल्दी से एक समीकरण की जड़ें खोजने के लिए।यदि आप मैन्युअल रूप से संख्याओं को समीकरण में नहीं डालना चाहते हैं तो ऐसा करें। हॉर्नर की योजना में, पूर्णांकों को समीकरण के गुणांकों के मानों से विभाजित किया जाता है ए (\displaystyle a), बी (\displaystyle b), सी (\डिस्प्लेस्टाइल सी)तथा डी (\डिस्प्लेस्टाइल डी). यदि संख्याएँ समान रूप से विभाज्य हैं (अर्थात, शेष है), तो पूर्णांक समीकरण का मूल है।

संख्या इएक महत्वपूर्ण गणितीय स्थिरांक है जो प्राकृतिक लघुगणक का आधार है। संख्या इएक सीमा के साथ लगभग 2.71828 के बराबर (1 + 1/एन)एन पर एन अनंत की ओर अग्रसर।

घातीय फलन का मान ज्ञात करने के लिए x का मान दर्ज करें भूतपूर्व

एक अक्षर के साथ संख्याओं की गणना करने के लिए इघातीय से पूर्णांक रूपांतरण कैलकुलेटर का उपयोग करें

गलती सूचित करें

'; सेटटाइमआउट (फ़ंक्शन () ($ ('फ़ॉर्म: पहला: बटन: पहला, # फॉर्म_का: पहला: बटन: पहला, फॉर्म: पहला: सबमिट करें: पहला, # फॉर्म_का: पहला: सबमिट करें: पहला')। सीएसएस (('प्रदर्शन) ':'इनलाइन-ब्लॉक')); $("#boxadno").remove(); $('form:first:button:first , #form_ca:first:button:first , form:first:submit:first , #form_ca:first:submit:first').click(); सीएसएस (('डिस्प्ले': 'कोई नहीं')); सबमिट करें: पहले')। माता-पिता ()। प्रीपेन्ड ("); ), 32000); ) क्या इस कैलकुलेटर ने आपकी मदद की?
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जिसके चलते आपमदद करना हमविकासशील में नए कैलकुलेटरऔर पुराने का शुद्धिकरण।

बीजगणित कैलक्यूलेटर गणना

संख्या ई एक महत्वपूर्ण गणितीय स्थिरांक है जो प्राकृतिक लघुगणक को रेखांकित करता है।

पावर एक्स पर 0.3 को पावर एक्स द्वारा 3 से गुणा किया जाता है

संख्या ई लगभग 2.71828 है जिसकी सीमा (1 + 1/एन)एन है, जहां एन अनंत तक जाता है।

इस संख्या को यूलर संख्या या नेपियर संख्या भी कहते हैं।

घातीय - एक चरघातांकी फलन f (x) = exp (x) = ex, जहाँ e यूलर संख्या है।

एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन ex का मान ज्ञात करने के लिए x का मान दर्ज करें

नेटवर्क में एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन के मान की गणना।

जब यूलर संख्या (ई) शून्य तक जाती है, तो उत्तर 1 होता है।

जब आप एक से अधिक स्तर तक रेज़ करते हैं, तो उत्तर मूल से बड़ा होगा। यदि गति शून्य से अधिक लेकिन 1 से कम है (उदाहरण के लिए 0.5), तो उत्तर 1 से अधिक लेकिन मूल से कम होगा (चिह्न E)। जब घातांक एक ऋणात्मक शक्ति तक बढ़ जाता है, तो 1 को दी गई शक्ति के लिए संख्या e से विभाजित किया जाना चाहिए, लेकिन धन चिह्न के साथ।

परिभाषाएं

प्रदर्शकयह एक चरघातांकी फलन y (x) = e x है, जिसका अवकलज फलन के समान ही है।

सूचक के रूप में चिह्नित किया गया है, या।

ई नंबर

प्रतिपादक का आधार ई है।

यह एक अपरिमेय संख्या है। यह उसी के बारे में है
इ ≈ 2,718281828459045 …

संख्या ई को अनुक्रम सीमा के बाहर परिभाषित किया गया है। यह तथाकथित अन्य असाधारण सीमा है:
.

संख्या ई को श्रृंखला के रूप में भी दर्शाया जा सकता है:
.

प्रदर्शक चार्ट

ग्राफ डिग्री दिखाता है इचरण में एक्स.
वाई (एक्स) = पूर्व
ग्राफ से पता चलता है कि यह नीरस रूप से तेजी से बढ़ता है।

सूत्र

आधार स्तर ई के साथ घातीय फ़ंक्शन के लिए मूल सूत्र समान हैं।

एक्सपोनेंट के अर्थ में मनमाना आधार ए के साथ घातीय कार्यों की अभिव्यक्ति:
.

सेक्शन "एक्सपोनेंशियल फंक्शन" >>> भी

निजी मूल्य

माना y (x) = e x.

5 से घात x और बराबर 0

घातीय गुण

एक्सपोनेंट में डिग्री के आधार पर एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन के गुण होते हैं इ> पहले

परिभाषा क्षेत्र, मूल्यों का सेट

x के लिए, सूचकांक y (x) = e x निर्धारित किया जाता है।
इसकी मात्रा:
— ∞ < x + ∞.
इसका अर्थ:
0 < Y < + ∞.

अति, वृद्धि, कमी

प्रतिपादक एक मोनोटोनिक बढ़ता हुआ कार्य है, इसलिए इसकी कोई चरम सीमा नहीं है।

इसके मुख्य गुण तालिका में दिखाए गए हैं।

उलटा काम करना

पारस्परिक प्राकृतिक लघुगणक है।
;
.

संकेतकों के डेरिवेटिव

यौगिक इचरण में एक्सयह इचरण में एक्स :
.
व्युत्पन्न एन-आदेश:
.
सूत्रों का निष्पादन >>>

अभिन्न

खंड "अनिश्चित समाकलों की तालिका" >>> भी

जटिल कमरे

का उपयोग करके जटिल संख्याओं के साथ संचालन किया जाता है यूलर सूत्र:
,
काल्पनिक इकाई कहाँ है:
.

अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के संदर्भ में भाव

त्रिकोणमितीय कार्यों के संदर्भ में भाव

पावर सीरीज एक्सटेंशन

एक्स कब शून्य के बराबर है?

नियमित या ऑनलाइन कैलकुलेटर

नियमित कैलकुलेटर

मानक कैलक्यूलेटर आपको सरल कैलकुलेटर संचालन जैसे जोड़, घटाव, गुणा और भाग देता है।

आप एक त्वरित गणित कैलकुलेटर का उपयोग कर सकते हैं

वैज्ञानिक कैलक्यूलेटर आपको अधिक जटिल संचालन करने की अनुमति देता है और साइन, कोसाइन, उलटा साइन, उलटा कोसाइन जैसे कैलकुलेटर भी स्पर्श करता है, स्पर्शरेखा, एक्सपोनेंट, एक्सपोनेंट, लॉगरिदम, ब्याज और वेब मेमोरी कैलकुलेटर में व्यापार भी करता है।

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गणित कैलकुलेटर ऑनलाइन.
0 + 1 = 2.
यहाँ दो कैलकुलेटर हैं:

1. हमेशा की तरह पहले गणना करें
2. दूसरा इसे इंजीनियरिंग के रूप में गणना करता है

नियम सर्वर पर गणना किए गए कैलकुलेटर पर लागू होते हैं

नियम और कार्य दर्ज करने के नियम

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अभिव्यक्तियों में कार्य शामिल हो सकते हैं (वर्णानुक्रम में लिखे गए):

पूर्ण (एक्स)निरपेक्ष मूल्य एक्स
(मापांक एक्सया | एक्स |) आर्ककोस (एक्स)कार्य - आर्कोक्सिन से एक्सआर्ककोश (एक्स)आर्कोसिन अतिशयोक्तिपूर्ण है एक्सआर्क्सिन (एक्स)अलग बेटा एक्सआर्कसिंह (एक्स)हाइपरएक्स हाइपरबोलिक एक्सआर्कटग (एक्स)फलन की चाप स्पर्शज्या है एक्सआर्कटघ (एक्स)आर्कटैंजेंट अतिशयोक्तिपूर्ण है एक्सइइसंख्या - लगभग 2.7 ऍक्स्प (एक्स)समारोह - सूचक एक्स(कैसे इ^एक्स) लॉग (एक्स)या एलएन (एक्स)प्राकृतिक एक्स
(हाँ लॉग 7 (एक्स), लॉग (x) / लॉग (7) टाइप करने की आवश्यकता है (या उदाहरण के लिए लॉग 10 (एक्स)= लॉग (एक्स) / लॉग (10)) अनुकरणीयसंख्या "पाई" जो लगभग 3.14 है पाप (एक्स)समारोह - साइन एक्सक्योंकि (एक्स)समारोह - शंकु से एक्ससिंह (एक्स)समारोह - ज्या अतिशयोक्तिपूर्ण एक्सनकद (एक्स)कार्य - कोसाइन-हाइपरबोलिक एक्सवर्ग (एक्स)फलन का वर्गमूल है एक्सवर्ग (एक्स)या एक्स ^ 2कार्य - वर्ग एक्सटीजी (एक्स)समारोह - स्पर्शरेखा से एक्सटीजीएच (एक्स)समारोह की एक अतिशयोक्तिपूर्ण स्पर्शरेखा है एक्ससीबीआरटी (एक्स)समारोह एक घनमूल है एक्समिट्टी (एक्स)गोलाई समारोह एक्सनीचे (मिट्टी का उदाहरण (4.5) == 4.0) प्रतीक (एक्स)कार्य - प्रतीक एक्सएर्फ़ (एक्स)त्रुटि फ़ंक्शन (लाप्लास या संभाव्यता अभिन्न)

निम्नलिखित परिचालनों का उपयोग शब्दों में किया जा सकता है:

वास्तविक संख्याप्रपत्र में दर्ज करें 7,5 , नहीं 7,5 2*x- गुणन 3/x- विभाजन एक्स ^ 3— घातांक एक्स + 7- अलावा, एक्स - 6- उलटी गिनती

डाउनलोड पीडीऍफ़

घातीय समीकरण रूप के समीकरण हैं

एक्स - अज्ञात प्रतिपादक,

एकतथा बी- कुछ नंबर।

घातीय समीकरण के उदाहरण:

और समीकरण:

अब प्रतिनिधि नहीं होंगे।

घातीय समीकरणों को हल करने के उदाहरणों पर विचार करें:

उदाहरण 1
समीकरण की जड़ खोजें:

वास्तविक एक्सपोनेंट के साथ डिग्री की संपत्ति का उपयोग करने के लिए हम डिग्री को उसी आधार पर कम करते हैं

तब डिग्री के आधार को हटाना और संकेतकों की समानता के लिए आगे बढ़ना संभव होगा।

आइए समीकरण के बाईं ओर रूपांतरित करें:

आइए समीकरण के दाहिने पक्ष को रूपांतरित करें:

डिग्री संपत्ति का उपयोग करना

उत्तर: 4.5।

उदाहरण 2
असमानता को हल करें:

समीकरण के दोनों पक्षों को से विभाजित करें

उलटा प्रतिस्थापन:

उत्तर: एक्स = 0।

समीकरण को हल करें और दिए गए अंतराल पर जड़ें खोजें:

हम सभी शर्तों को एक ही आधार पर लाते हैं:

प्रतिस्थापन:

हम मुक्त पद के गुणकों का चयन करके समीकरण की जड़ों की तलाश कर रहे हैं:

- उपयुक्त, क्योंकि

समानता रखती है।
- उपयुक्त, क्योंकि

कैसे तय करें? e^(x-3) = 0 e की घात x-3

समानता रखती है।
- उपयुक्त, क्योंकि समानता रखती है।
- उपयुक्त नहीं, क्योंकि समानता नहीं मिलती।

उलटा प्रतिस्थापन:

एक संख्या 1 हो जाती है यदि उसका घातांक 0 है

उपयुक्त नहीं है, क्योंकि

दायां पक्ष 1 के बराबर है, क्योंकि

यहाँ से:

प्रश्न हल करें:

प्रतिस्थापन: तब

उलटा प्रतिस्थापन:

1 समीकरण:

यदि संख्याओं के आधार बराबर हैं, तो उनके घातांक बराबर होंगे, तब

2 समीकरण:

आधार 2 के दोनों भागों का लघुगणक:

प्रतिपादक अभिव्यक्ति से पहले आता है, क्योंकि

बाईं ओर 2x है क्योंकि

यहाँ से:

प्रश्न हल करें:

आइए बाईं ओर रूपांतरित करें:

हम सूत्र के अनुसार डिग्री गुणा करते हैं:

आइए सरल करें: सूत्र के अनुसार:

आइए इसे फॉर्म में रखें:

प्रतिस्थापन:

आइए भिन्न को अनुचित में बदलें:

a2 - उपयुक्त नहीं है, क्योंकि

उलटा प्रतिस्थापन:

आइए नीचे की रेखा पर जाएं:

यदि एक

उत्तर: एक्स = 20।

प्रश्न हल करें:

O.D.Z।

आइए बाईं ओर सूत्र के अनुसार रूपांतरित करें:

प्रतिस्थापन:

हम विवेचक की जड़ की गणना करते हैं:

a2-फिट नहीं है, क्योंकि

नकारात्मक मान नहीं लेता है

आइए नीचे की रेखा पर जाएं:

यदि एक

आइए दोनों पक्षों का वर्ग करें:

लेख संपादक: गवरिलिना अन्ना विक्टोरोवना, एगेवा हुनोव अलेक्सांद्रोव्ना

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बड़े लेख का अनुवाद "घातीय कार्यों और ई के लिए एक सहज ज्ञान युक्त गाइड"

संख्या ई ने हमेशा मुझे उत्साहित किया है - एक अक्षर के रूप में नहीं, बल्कि एक गणितीय स्थिरांक के रूप में।

ई वास्तव में क्या मतलब है?

विभिन्न गणितीय पुस्तकें और यहां तक ​​​​कि मेरे प्रिय विकिपीडिया ने इस राजसी स्थिरांक का पूरी तरह से मूर्खतापूर्ण वैज्ञानिक शब्दजाल में वर्णन किया है:

गणितीय स्थिरांक ई प्राकृतिक लघुगणक का आधार है।

यदि आप रुचि रखते हैं कि प्राकृतिक लघुगणक क्या है, तो आपको निम्नलिखित परिभाषाएँ मिलेंगी:

प्राकृतिक लघुगणक, जिसे पहले अतिशयोक्तिपूर्ण लघुगणक के रूप में जाना जाता था, आधार e वाला लघुगणक है, जहाँ e एक अपरिमेय स्थिरांक है, जो लगभग 2.718281828459 के बराबर है।

परिभाषाएँ, निश्चित रूप से, सही हैं।

लेकिन उन्हें समझना बेहद मुश्किल है। बेशक, इसके लिए विकिपीडिया को दोष नहीं देना है: आमतौर पर गणितीय स्पष्टीकरण शुष्क और औपचारिक होते हैं, जो विज्ञान की पूर्ण सीमा तक संकलित होते हैं। इस वजह से, शुरुआती लोगों के लिए इस विषय में महारत हासिल करना मुश्किल है (और एक बार हर कोई शुरुआती था)।

मैं इस पर हूँ! आज मैं के बारे में अपने अत्यधिक बौद्धिक विचार साझा करता हूं ई नंबर क्या हैऔर यह इतना अच्छा क्यों है! अपनी मोटी, डराने वाली गणित की किताबें एक तरफ रख दें!

संख्या ई सिर्फ एक संख्या नहीं है

ई को "लगभग 2.71828 के बराबर एक स्थिरांक ..." के रूप में वर्णित करना पीआई को "3.1415 के लगभग बराबर एक अपरिमेय संख्या ..." कहने जैसा है।

इसमें कोई संदेह नहीं है, लेकिन सार अभी भी हमसे दूर है।

संख्या पाई एक वृत्त की परिधि का उसके व्यास का अनुपात है, जो सभी वृत्तों के लिए समान है।. यह सभी वृत्तों के लिए एक सामान्य मौलिक अनुपात है, और इसलिए, यह वृत्तों, गोलों, बेलनों आदि के लिए परिधि, क्षेत्रफल, आयतन और सतह क्षेत्रफल की गणना करने में शामिल है।

पाई से पता चलता है कि सभी वृत्त जुड़े हुए हैं, मंडलियों (साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा) से प्राप्त त्रिकोणमितीय कार्यों का उल्लेख नहीं करना।

संख्या ई लगातार बढ़ती सभी प्रक्रियाओं के लिए मूल विकास अनुपात है।नंबर ई आपको एक साधारण विकास दर लेने की अनुमति देता है (जहां अंतर केवल वर्ष के अंत में दिखाई देता है) और इस सूचक के घटकों की गणना करें, सामान्य वृद्धि, जिसमें प्रत्येक नैनोसेकंड (या इससे भी तेज) सब कुछ थोड़ा बढ़ता है अधिक।

संख्या ई चरघातांकी और निरंतर विकास दोनों प्रणालियों में शामिल है: जनसंख्या, रेडियोधर्मी क्षय, ब्याज गणना, और कई, कई अन्य।

यहां तक ​​कि स्टेप्ड सिस्टम जो समान रूप से नहीं बढ़ते हैं, उन्हें संख्या ई द्वारा अनुमानित किया जा सकता है।

जैसे किसी भी संख्या को 1 (आधार इकाई) के "स्केल्ड" संस्करण के रूप में माना जा सकता है, किसी भी सर्कल को यूनिट सर्कल (त्रिज्या 1) के "स्केल्ड" संस्करण के रूप में माना जा सकता है।

एक समीकरण दिया गया है: e की शक्ति x \u003d 0. x किसके बराबर है?

और किसी भी विकास कारक को ई के "स्केल्ड" संस्करण ("एकल" विकास कारक) के रूप में माना जा सकता है।

अतः संख्या e यादृच्छिक रूप से ली गई यादृच्छिक संख्या नहीं है। संख्या ई इस विचार का प्रतीक है कि सभी लगातार बढ़ते सिस्टम एक ही मीट्रिक के स्केल किए गए संस्करण हैं।

घातीय वृद्धि की अवधारणा

आइए एक बुनियादी प्रणाली को देखकर शुरू करें जो एक निश्चित समयावधि में दोगुनी हो जाती है।

उदाहरण के लिए:

• बैक्टीरिया हर 24 घंटे में विभाजित और संख्या में "दोगुना" होते हैं
• अगर हम उन्हें आधा तोड़ दें तो हमें दोगुने नूडल्स मिलते हैं
• आपका पैसा हर साल दोगुना हो जाता है अगर आपको 100% लाभ मिलता है (भाग्यशाली!)

और ऐसा कुछ दिखता है:

दो से भाग देना या दोगुना करना एक बहुत ही सरल प्रगति है। बेशक, हम तिगुना या चौगुना कर सकते हैं, लेकिन स्पष्टीकरण के लिए दोहरीकरण अधिक सुविधाजनक है।

गणितीय रूप से, यदि हमारे पास x भाग हैं, तो हमें शुरुआत की तुलना में 2^x गुना अधिक अच्छा मिलता है।

यदि केवल 1 विभाजन किया जाता है, तो हमें 2^1 गुना अधिक मिलता है। यदि 4 विभाजन हैं, तो हमें 2^4 = 16 भाग मिलते हैं। सामान्य सूत्र इस तरह दिखता है:

दूसरे शब्दों में, दोहरीकरण 100% वृद्धि है।

हम इस सूत्र को इस प्रकार पुनः लिख सकते हैं:

वृद्धि = (1+100%)x

यह समान समानता है, हमने अभी "2" को इसके घटक भागों में विभाजित किया है, जो संक्षेप में यह संख्या है: प्रारंभिक मूल्य (1) प्लस 100%। स्मार्ट, है ना?

बेशक, हम 100% के बजाय किसी अन्य संख्या (50%, 25%, 200%) को स्थानापन्न कर सकते हैं और इस नए अनुपात के लिए वृद्धि सूत्र प्राप्त कर सकते हैं।

समय श्रृंखला की एक्स अवधियों के लिए सामान्य सूत्र इस तरह दिखेगा:

वृद्धि = (1+वृद्धि)x

इसका सीधा सा मतलब है कि हम वापसी की दर, (1 + वृद्धि), "x" बार एक पंक्ति में उपयोग करते हैं।

आओ हम इसे नज़दीक से देखें

हमारा सूत्र मानता है कि विकास असतत चरणों में होता है। हमारे बैक्टीरिया प्रतीक्षा करते हैं और प्रतीक्षा करते हैं, और फिर बैम!, और अंतिम समय में उनकी संख्या दोगुनी हो जाती है। जमा से ब्याज पर हमारा लाभ ठीक 1 वर्ष के बाद जादुई रूप से प्रकट होता है।

ऊपर लिखे फॉर्मूले के आधार पर मुनाफा चरणों में बढ़ता है। हरे बिंदु अचानक दिखाई देते हैं।

लेकिन दुनिया हमेशा ऐसी नहीं रहती है।

यदि हम ज़ूम इन करते हैं, तो हम देख सकते हैं कि हमारे बैक्टीरिया मित्र लगातार विभाजित हो रहे हैं:

हरे रंग का बच्चा शून्य से नहीं निकलता है: यह धीरे-धीरे नीले माता-पिता से बढ़ता है। 1 समय के बाद (हमारे मामले में 24 घंटे), हरा दोस्त पहले से ही पूरी तरह से पका हुआ है। परिपक्व होने के बाद, वह झुंड का एक पूर्ण नीला सदस्य बन जाता है और स्वयं नई हरी कोशिकाएँ बना सकता है।

क्या यह जानकारी किसी तरह हमारे समीकरण को बदल देगी?

बैक्टीरिया के मामले में, आधी-गठित हरी कोशिकाएं तब तक कुछ नहीं कर सकतीं जब तक कि वे बड़े होकर अपने नीले माता-पिता से पूरी तरह अलग न हो जाएं। अतः समीकरण सही है।

अगले लेख में, हम आपके पैसे की घातीय वृद्धि का एक उदाहरण देखेंगे।

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं ..."
और उनके लिए जो "बहुत अधिक ...")

क्या "वर्ग असमानता"?कोई सवाल नहीं!) अगर आप लेते हैं कोईद्विघात समीकरण और इसमें चिह्न बदलें "=" (बराबर) किसी भी असमानता आइकन के लिए ( > ≥ < ≤ ≠ ), हमें एक द्विघात असमानता मिलती है। उदाहरण के लिए:

1. x2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 + 3x > 0

3. x2 ≤ 4

खैर, आप विचार समझ गए...)

मैंने जानबूझकर यहां समीकरणों और असमानताओं को जोड़ा है। तथ्य यह है कि हल करने में पहला कदम है कोईवर्ग असमानता - उस समीकरण को हल करें जिससे यह असमानता बनी है।इस कारण से - द्विघात समीकरणों को हल करने में असमर्थता स्वचालित रूप से असमानताओं में पूर्ण विफलता की ओर ले जाती है। क्या संकेत स्पष्ट है?) यदि कुछ है, तो किसी भी द्विघात समीकरण को हल करने का तरीका देखें। वहां सब कुछ विस्तृत है। और इस पाठ में हम असमानताओं से निपटेंगे।

समाधान के लिए तैयार असमानता का रूप है: बायां - चौकोर ट्रिनोमियल कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी, दाईं ओर - शून्य।असमानता का चिन्ह बिल्कुल कुछ भी हो सकता है। पहले दो उदाहरण यहाँ हैं निर्णय के लिए तैयार हैं।तीसरा उदाहरण अभी तैयार करने की जरूरत है।

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आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। तत्काल सत्यापन के साथ परीक्षण। सीखना - रुचि के साथ!)

आप कार्यों और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।