मैन्युअल रूप से किसी संख्या की जड़ की गणना कैसे करें। विषय पर शोध पत्र: "बिना कैलकुलेटर के बड़ी संख्या से वर्गमूल निकालना"

गणित और भौतिकी के पाठ्यक्रम से विभिन्न समस्याओं को हल करते समय, विद्यार्थियों और छात्रों को अक्सर दूसरी, तीसरी या n-th डिग्री की जड़ें निकालने की आवश्यकता का सामना करना पड़ता है। बेशक, सूचना प्रौद्योगिकी के युग में, कैलकुलेटर का उपयोग करके ऐसी समस्या को हल करना मुश्किल नहीं होगा। हालांकि, ऐसी स्थितियां हैं जब इलेक्ट्रॉनिक सहायक का उपयोग करना असंभव है।

उदाहरण के लिए, कई परीक्षाओं में इलेक्ट्रॉनिक्स लाना मना है। इसके अलावा, कैलकुलेटर हाथ में नहीं हो सकता है। ऐसे मामलों में, रेडिकल्स की मैन्युअल रूप से गणना करने के लिए कम से कम कुछ विधियों को जानना उपयोगी होता है।

जड़ों की गणना करने के सबसे सरल तरीकों में से एक है एक विशेष तालिका का उपयोग करना... यह क्या है और इसका सही तरीके से उपयोग कैसे करें?

तालिका का उपयोग करके, आप 10 से 99 तक किसी भी संख्या का वर्ग पा सकते हैं। इस स्थिति में, तालिका की पंक्तियों में दसियों का मान होता है, स्तंभों में - इकाइयों के मान। एक पंक्ति और एक कॉलम के चौराहे पर सेल में दो अंकों का वर्ग होता है। वर्ग 63 की गणना करने के लिए, आपको 6 के मान के साथ एक पंक्ति और 3 के मान के साथ एक कॉलम खोजने की आवश्यकता है। चौराहे पर, हम 3969 संख्या के साथ एक सेल पाते हैं।

चूँकि एक जड़ निकालना चुकता के विपरीत है, इस क्रिया को करने के लिए, आपको इसके विपरीत करना होगा: पहले, उस संख्या के साथ सेल खोजें, जिसके मूलांक की आप गणना करना चाहते हैं, फिर स्तंभ और पंक्ति के मानों द्वारा उत्तर निर्धारित करें . एक उदाहरण के रूप में, 169 के वर्गमूल की गणना करने पर विचार करें।

हम तालिका में इस संख्या के साथ एक सेल पाते हैं, क्षैतिज रूप से हम दसियों -1 को परिभाषित करते हैं, लंबवत रूप से हम इकाइयों - 3 पाते हैं। उत्तर: √169 = 13।

इसी तरह, आप उपयुक्त तालिकाओं का उपयोग करके घन और n-th डिग्री की जड़ों की गणना कर सकते हैं।

इस पद्धति का लाभ इसकी सादगी और अतिरिक्त गणनाओं की अनुपस्थिति है। नुकसान स्पष्ट हैं: विधि का उपयोग केवल सीमित संख्या में किया जा सकता है (जिस संख्या के लिए रूट स्थित है वह 100 से 9801 की सीमा में होना चाहिए)। इसके अलावा, यदि दी गई संख्या तालिका में नहीं है तो यह काम नहीं करेगा।

प्रधानीय कारन निकालना

यदि वर्गों की तालिका हाथ में नहीं है या इसकी मदद से जड़ को खोजना असंभव हो गया है, तो आप कोशिश कर सकते हैं मूल के नीचे की संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंड करें... अभाज्य गुणनखंड वे होते हैं जो केवल स्वयं या एक से पूर्ण रूप से (बिना शेष) विभाज्य हो सकते हैं। उदाहरण 2, 3, 5, 7, 11, 13, आदि होंगे।

आइए 576 के उदाहरण का उपयोग करके रूट की गणना पर विचार करें। आइए इसे प्रमुख कारकों में विघटित करें। हमें निम्नलिखित परिणाम मिलते हैं: 576 = (2 2 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 3 ∙ 3) = √ (2 ∙ 2 ∙ 2) ² 3²। जड़ों की मूल संपत्ति √a² = a का उपयोग करके, हम जड़ों और वर्गों से छुटकारा पाते हैं, जिसके बाद हम उत्तर की गणना करते हैं: 2 2 2 ∙ 3 ​​= 24।

क्या होगा यदि किसी भी कारक में युग्म नहीं है? उदाहरण के लिए, 54 की गणना पर विचार करें। फैक्टरिंग के बाद, हमें निम्नलिखित रूप में परिणाम मिलता है: 54 = (2 ∙ 3 ​​∙ 3 ∙ 3) = √3² (2 ∙ 3) = 3√6। अप्राप्य भाग को जड़ के नीचे छोड़ा जा सकता है। ज्यामिति और बीजगणित की अधिकांश समस्याओं के लिए यह उत्तर अंतिम माना जाएगा। लेकिन अगर अनुमानित मूल्यों की गणना करने की आवश्यकता है, तो आप उन विधियों का उपयोग कर सकते हैं जिनकी चर्चा नीचे की जाएगी।

बगुला की विधि

क्या करें जब आपको कम से कम यह जानने की आवश्यकता हो कि निकाली गई जड़ क्या है (यदि पूर्णांक मान प्राप्त करना असंभव है)? एक त्वरित और काफी सटीक परिणाम हेरॉन की विधि के आवेदन द्वारा प्रदान किया जाता है... इसका सार एक अनुमानित सूत्र के उपयोग में निहित है:

√R = a + (R - a) / 2√a,

जहाँ R वह संख्या है जिसके मूल की गणना की जानी है, a निकटतम संख्या है जिसका मूल मान ज्ञात है।

आइए विचार करें कि यह विधि व्यवहार में कैसे काम करती है और मूल्यांकन करती है कि यह कितना सही है। आइए गणना करें कि 111 के बराबर क्या है। 111 की निकटतम संख्या, जिसका मूल ज्ञात है - 121। इस प्रकार, R = 111, a = 121। मानों को सूत्र में रखें:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

आइए अब विधि की सटीकता की जांच करें:

10.55² = 111.3025।

विधि त्रुटि लगभग 0.3 थी। यदि विधि की सटीकता को बढ़ाने की आवश्यकता है, तो आप पहले बताए गए चरणों को दोहरा सकते हैं:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

आइए गणना की सटीकता की जांच करें:

10.536² = 111.0073।

सूत्र को फिर से लागू करने के बाद, त्रुटि बहुत महत्वहीन हो गई।

लंबे विभाजन द्वारा जड़ की गणना

वर्गमूल मान ज्ञात करने का यह तरीका पिछले वाले की तुलना में थोड़ा अधिक कठिन है। हालांकि, कैलकुलेटर के बिना अन्य गणना विधियों में यह सबसे सटीक है।.

मान लीजिए कि आप 4 दशमलव स्थानों के साथ वर्गमूल खोजना चाहते हैं। आइए एक मनमाना संख्या 1308.1912 के उदाहरण का उपयोग करके गणना एल्गोरिथ्म का विश्लेषण करें।

1. कागज की शीट को एक ऊर्ध्वाधर रेखा के साथ 2 भागों में विभाजित करें, और फिर उसमें से दाईं ओर एक और रेखा खींचें, जो ऊपरी किनारे से थोड़ा नीचे है। आइए बाईं ओर की संख्या को 2 अंकों के समूहों में विभाजित करते हुए, अल्पविराम के दाएं और बाएं तरफ ले जाएं। बाईं ओर सबसे पहला अंक बिना जोड़ी के हो सकता है। यदि संख्या के दायीं ओर का चिन्ह गायब है, तो आपको 0 जोड़ना चाहिए। हमारे मामले में, हमें 13 08.19 12 मिलता है।
2. आइए सबसे बड़ी संख्या का चयन करें जिसका वर्ग संख्याओं के पहले समूह से कम या उसके बराबर होगा। हमारे मामले में यह 3 है। आइए इसे ऊपर दाईं ओर लिखें; 3 परिणाम का पहला अंक है। नीचे दाईं ओर, हम 3 × 3 = 9; बाद की गणना के लिए इसकी आवश्यकता होगी। एक कॉलम में 13 में से 9 घटाने पर हमें 4 का शेषफल मिलता है।
3. आइए संख्याओं की अगली जोड़ी को शेष 4 में जोड़ें; हमें 408 मिलते हैं।
4. ऊपर दाईं ओर की संख्या को 2 से गुणा किया जाता है और नीचे दाईं ओर लिखा जाता है, इसमें _ x _ = जोड़ा जाता है। हमें 6_ x _ = मिलता है।
5. डैश के बजाय, आपको उसी संख्या को 408 से कम या उसके बराबर स्थानापन्न करने की आवश्यकता है। हमें 66 × 6 = 396 मिलता है। शीर्ष दाईं ओर 6 लिखें, क्योंकि यह परिणाम का दूसरा अंक है। 396 को 408 से घटाकर 12 प्राप्त करें।
6. आइए चरण 3-6 दोहराएं। चूंकि नीचे किए गए अंक संख्या के भिन्नात्मक भाग में हैं, इसलिए 6 के बाद ऊपरी दाएँ भाग में एक दशमलव बिंदु रखना आवश्यक है। आइए दोहरे परिणाम को डैश के साथ लिखें: 72_ x _ =। एक उपयुक्त संख्या 1: 721 × 1 = 721 होगी। आइए इसे प्रत्युत्तर में लिखें। घटाएं 1219 - 721 = 498।
7. आइए दशमलव स्थानों की आवश्यक संख्या प्राप्त करने के लिए पिछले पैराग्राफ में दिए गए कार्यों का क्रम तीन बार और करें। यदि आगे की गणना के लिए पर्याप्त संकेत नहीं हैं, तो बाईं ओर वर्तमान संख्या में दो शून्य जोड़े जाने चाहिए।

परिणामस्वरूप, हमें उत्तर मिलता है: 1308.1912 36.1689। यदि आप कैलकुलेटर के साथ कार्रवाई की जांच करते हैं, तो आप यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि सभी संकेतों को सही ढंग से पहचाना गया है।

वर्गमूल मान की बिटवाइज़ गणना

विधि अत्यधिक सटीक है... इसके अलावा, यह काफी समझ में आता है और इसे याद रखने वाले फ़ार्मुलों या क्रियाओं के एक जटिल एल्गोरिथ्म की आवश्यकता नहीं होती है, क्योंकि विधि का सार सही परिणाम का चयन करना है।

आइए संख्या 781 की जड़ लें। आइए क्रियाओं के क्रम पर विस्तार से विचार करें।

1. आइए जानें कि वर्गमूल का कौन सा बिट सबसे महत्वपूर्ण होगा। ऐसा करने के लिए, हम 0, 10, 100, 1000, आदि का वर्ग करेंगे और पता लगाएंगे कि उनमें से किसके बीच मूलांक स्थित है। हम पाते हैं कि 10²< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
2. चलो दहाई के मान का चयन करें। ऐसा करने के लिए, हम बारी-बारी से घात 10, 20, ..., 90 तक बढ़ाएंगे, जब तक कि हमें 781 से अधिक संख्या न मिल जाए। हमारे मामले में, हमें 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900 मिलता है। परिणाम n का मान 20 . के भीतर होगा< n <30.
3. इसी तरह पिछले चरण के लिए, इकाई के अंक का मान चुना जाता है। आइए हम वर्ग 21.22, ..., 29: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28² = 784। हमें वह 27 मिलता है।< n < 28.
4. प्रत्येक बाद के अंक (दसवें, सौवें, आदि) की गणना उसी तरह की जाती है जैसे ऊपर दिखाया गया है। आवश्यक सटीकता प्राप्त होने तक गणना की जाती है।

कैलकुलेटर के आगमन से पहले, छात्र और शिक्षक हाथ से वर्गमूल की गणना करते थे। किसी संख्या के वर्गमूल की मैन्युअल रूप से गणना करने के कई तरीके हैं। उनमें से कुछ केवल अनुमानित समाधान प्रदान करते हैं, अन्य सटीक उत्तर प्रदान करते हैं।

कदम

प्रधानीय कारन निकालना

उस मूलांक का गुणनखंड करें जो वर्ग है।मूल संख्या के आधार पर, आपको अनुमानित या सटीक उत्तर मिलेगा। वर्ग संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिनसे एक पूर्ण वर्गमूल निकाला जा सकता है। गुणनखंड वे संख्याएँ हैं जिन्हें गुणा करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है। उदाहरण के लिए, 8 के गुणनखंड 2 और 4 हैं, क्योंकि 2 x 4 = 8, 25, 36, 49 वर्ग संख्याएँ हैं, क्योंकि 25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. वर्ग गुणनखंड ऐसे गुणनखंड हैं जो हैं वर्ग संख्या। सबसे पहले, रूट नंबर को स्क्वायर करने का प्रयास करें।

• उदाहरण के लिए, 400 (हाथ से) के वर्गमूल की गणना करें। पहले 400 वर्ग करने का प्रयास करें। 400, 100 का गुणज है, जो 25 से विभाज्य है - यह एक वर्ग संख्या है। यदि आप 400 को 25 से विभाजित करते हैं, तो आपको 16 मिलता है। 16 भी एक वर्ग संख्या है। इस प्रकार, 400 को 25 और 16 के वर्ग गुणनखंडों में विभाजित किया जा सकता है, अर्थात 25 x 16 = 400.
• इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: 400 = √ (25 x 16)।

1. कुछ पदों के गुणनफल का वर्गमूल प्रत्येक पद के वर्गमूल के गुणनफल के बराबर होता है, अर्थात (a x b) = a x b। इस नियम का प्रयोग करें और प्रत्येक वर्ग गुणनखंड का वर्गमूल लें और अपना उत्तर खोजने के लिए परिणामों को गुणा करें।

   • हमारे उदाहरण में, 25 और 16 का रूट निकालें।
     • (25 x 16)
     • 25 x 16
     • 5 x 4 = 20

2. यदि मूलांक दो वर्ग गुणनखंडों में विघटित नहीं होता है (और ज्यादातर मामलों में ऐसा होता है), तो आप पूर्णांक के रूप में सटीक उत्तर नहीं खोज पाएंगे। लेकिन आप संख्या के मूल को एक वर्ग गुणनखंड और एक साधारण गुणनखंड (एक संख्या जिससे पूरा वर्गमूल नहीं निकाला जा सकता) में गुणनखंड करके समस्या को सरल बना सकते हैं। फिर आप वर्ग गुणक का वर्गमूल लेंगे और आप साधारण गुणनखंड का मूल लेंगे।

   • उदाहरण के लिए, संख्या 147 के वर्गमूल की गणना करें। संख्या 147 को दो वर्ग कारकों में विभाजित नहीं किया जा सकता है, लेकिन इसे निम्नलिखित कारकों में विभाजित किया जा सकता है: 49 और 3. समस्या को निम्नानुसार हल करें:
     • = (49 x 3)
     • = 49 x 3
     • = 7√3

3. यदि आवश्यक हो, जड़ के मूल्य का मूल्यांकन करें।अब आप मूल संख्या के निकटतम (संख्या रेखा पर दोनों तरफ) वर्ग संख्याओं की जड़ों के मानों के साथ तुलना करके रूट के मान (अनुमानित मान पाएं) का अनुमान लगा सकते हैं। आपको दशमलव अंश के रूप में मूल मान मिलेगा, जिसे मूल चिह्न के पीछे की संख्या से गुणा किया जाना चाहिए।

   • आइए अपने उदाहरण पर वापस जाएं। मूलांक 3। इसकी निकटतम वर्ग संख्याएँ संख्याएँ 1 (√1 = 1) और 4 (√4 = 2) होंगी। तो 3 1 और 2 के बीच है। चूँकि 3 शायद 1 से 2 के करीब है, हमारा अनुमान √3 = 1.7 है। हम इस मान को मूल चिह्न पर संख्या से गुणा करते हैं: 7 x 1.7 = 11.9। यदि आप कैलकुलेटर पर गणना करते हैं, तो आपको 12.13 मिलता है, जो हमारे उत्तर के काफी करीब है।
     • यह विधि बड़ी संख्या के साथ भी काम करती है। उदाहरण के लिए, 35 पर विचार करें। मूल संख्या 35 है। इसकी निकटतम वर्ग संख्याएँ संख्याएँ 25 (√25 = 5) और 36 (√36 = 6) होंगी। तो 35, 5 और 6 के बीच है। चूँकि 35, 5 की तुलना में 6 के काफी करीब है (क्योंकि 35, 36 से केवल 1 कम है), हम कह सकते हैं कि 35, 6 से थोड़ा कम है। कैलकुलेटर से जाँच करने पर हमें एक 5.92 का उत्तर - हम सही थे।

4. दूसरा तरीका है मूलांक को अभाज्य संख्याओं में गुणनखंड करना।अभाज्य गुणनखंड वे संख्याएँ हैं जो केवल 1 और स्वयं से विभाज्य हैं। अभाज्य गुणनखंडों को एक पंक्ति में लिखिए और समान गुणनखंडों के युग्म ज्ञात कीजिए। ऐसे कारकों को मूल चिह्न से बाहर निकाला जा सकता है।

   • उदाहरण के लिए, 45 के वर्गमूल की गणना करें। हम मूल संख्याओं को अभाज्य संख्याओं में विभाजित करते हैं: 45 = 9 x 5, और 9 = 3 x 3। इस प्रकार, 45 = √ (3 x 3 x 5)। 3 को मूल चिह्न के बाहर ले जाया जा सकता है: 45 = 3√5। अब आप 5 का अनुमान लगा सकते हैं।
   • एक अन्य उदाहरण पर विचार करें: 88।
     • = (2 x 44)
     • = (2 x 4 x 11)
     • = (2 x 2 x 2 x 11)। आपको 2 के तीन गुणक मिले; उनमें से कुछ लें और उन्हें मूल चिह्न के बाहर रखें।
     • = 2√ (2 x 11) = 2√2 x 11। अब आप √2 और 11 का मूल्यांकन कर सकते हैं और एक मोटा उत्तर ढूंढ सकते हैं।

   मैन्युअल रूप से वर्गमूल की गणना

   लम्बा विभाजन

   1. इस पद्धति में लंबे विभाजन के समान एक प्रक्रिया शामिल है और सटीक उत्तर देती है।सबसे पहले, शीट को दो हिस्सों में विभाजित करने वाली एक लंबवत रेखा खींचें, और फिर, दाएं और शीट के शीर्ष किनारे से थोड़ा नीचे, लंबवत रेखा पर एक क्षैतिज रेखा खींचें। अब कट्टरपंथी संख्या को दशमलव बिंदु के बाद भिन्नात्मक भाग से शुरू करते हुए, संख्याओं के जोड़े में विभाजित करें। तो, संख्या 79520789182.47897 को "7 95 20 78 91 82, 47 89 70" के रूप में लिखा जाता है।

      • उदाहरण के लिए, आइए 780.14 के वर्गमूल की गणना करें। दो रेखाएँ खींचिए (जैसा कि चित्र में दिखाया गया है) और ऊपर बाईं ओर इस संख्या को "7 80, 14" लिखें। यह सामान्य है कि बाईं ओर से पहला अंक एक अयुग्मित अंक है। उत्तर (दिए गए नंबर का मूल) ऊपर दाईं ओर लिखा होगा।

   2. बाईं ओर संख्याओं के पहले युग्म (या एक संख्या) के लिए, सबसे बड़ा पूर्णांक n ज्ञात कीजिए जिसका वर्ग प्रश्न में संख्याओं के युग्म (या एक संख्या) से कम या उसके बराबर है। दूसरे शब्दों में, वह वर्ग संख्या ज्ञात कीजिए जो बाईं ओर संख्याओं के पहले युग्म (या एक संख्या) से निकटतम लेकिन कम है, और उस वर्ग संख्या का वर्गमूल निकालें; आपको नंबर n मिलता है। ऊपर दाईं ओर पाए गए n को लिखें, और निचले दाईं ओर वर्ग n लिखें।

      • हमारे मामले में, बाईं ओर पहला नंबर 7 नंबर होगा। अगला, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. संख्या n का वर्ग घटाएं जो आपको बाईं ओर (या एक संख्या) की पहली जोड़ी से मिला है।घटाए गए (संख्या n का वर्ग) के तहत गणना का परिणाम लिखें।

      • हमारे उदाहरण में, 7 में से 4 घटाकर 3 प्राप्त करें।

   4. संख्याओं के दूसरे जोड़े को नीचे खींचिए और इसे पिछले चरण में प्राप्त मान के पास लिखिए।फिर ऊपर दाईं ओर की संख्या को दोगुना करें और नीचे दाईं ओर अपना परिणाम "_ × _ =" जोड़कर लिखें।

      • हमारे उदाहरण में, संख्याओं की दूसरी जोड़ी "80" है। 3 के बाद "80" लिखें। फिर, ऊपर दाईं ओर की संख्या का दोगुना 4 देता है। नीचे दाईं ओर "4_ × _ =" लिखें।

   5. दाईं ओर डैश भरें।

      • हमारे मामले में, यदि डैश के बजाय हम संख्या 8 डालते हैं, तो 48 x 8 = 384, जो 380 से अधिक है। इसलिए, 8 बहुत बड़ी संख्या है, लेकिन 7 करेगा। डैश के बजाय 7 लिखें और प्राप्त करें: 47 x 7 = 329। ऊपर दाईं ओर से 7 लिखें - यह 780.14 के आवश्यक वर्गमूल में दूसरा अंक है।

   6. परिणामी संख्या को बाईं ओर वर्तमान संख्या से घटाएं।पिछले चरण के परिणाम को बाईं ओर वर्तमान संख्या के तहत रिकॉर्ड करें, अंतर खोजें और इसे घटाए गए के नीचे लिखें।

      • हमारे उदाहरण में, 329 को 380 से घटाएँ, जो 51 है।

   7. चरण 4 दोहराएं।यदि संख्याओं का ध्वस्त युग्म मूल संख्या का भिन्नात्मक भाग है, तो पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों के विभाजक (अल्पविराम) को ऊपर दाईं ओर से वांछित वर्गमूल में रखें। बाईं ओर, संख्याओं के अगले जोड़े को नीचे खींचें. ऊपर दाईं ओर संख्या को दोगुना करें और नीचे दाईं ओर अपना परिणाम "_ × _ =" जोड़कर लिखें।

      • हमारे उदाहरण में, ध्वस्त की जाने वाली संख्याओं की अगली जोड़ी संख्या 780.14 का भिन्नात्मक भाग होगी, इसलिए पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों के विभाजक को ऊपर दाईं ओर वांछित वर्गमूल में रखें। 14 को नीचे ले जाएं और नीचे बाईं ओर लिख लें। ऊपर दाईं ओर (27) की दोगुनी संख्या 54 है, इसलिए नीचे दाईं ओर "54_ × _ =" लिखें।

   8. चरण 5 और 6 दोहराएं।दाईं ओर डैश के स्थान पर इतनी बड़ी संख्या ज्ञात करें (डैश के बजाय, आपको उसी संख्या को स्थानापन्न करने की आवश्यकता है) ताकि गुणन परिणाम बाईं ओर की वर्तमान संख्या से कम या उसके बराबर हो।

      • हमारे उदाहरण में, 549 x 9 = 4941, जो बाईं ओर की वर्तमान संख्या (5114) से कम है। ऊपर दाईं ओर 9 लिखें और बाईं ओर वर्तमान संख्या से गुणा घटाएं: 5114 - 4941 = 173।

   9. यदि आपको वर्गमूल के लिए और अधिक दशमलव स्थानों को खोजने की आवश्यकता है, तो वर्तमान संख्या के बाईं ओर कुछ शून्य लिखें और चरण 4, 5 और 6 दोहराएं। चरणों को तब तक दोहराएं जब तक आपको वांछित सटीकता नहीं मिल जाती (दशमलव स्थानों की संख्या) )

   प्रक्रिया को समझना

   इस पद्धति में महारत हासिल करने के लिए, उस संख्या की कल्पना करें जिसका वर्गमूल एक वर्ग S के क्षेत्रफल के रूप में पाया जाना है। इस मामले में, आप ऐसे वर्ग के पक्ष L की लंबाई की तलाश कर रहे होंगे। हम L के मान की गणना करते हैं जिसके लिए L² = S.

   उत्तर में प्रत्येक अंक के लिए एक अक्षर दीजिए।आइए हम एल (आवश्यक वर्गमूल) के मान में ए द्वारा पहले अंक को निरूपित करें। बी दूसरा अंक होगा, सी तीसरा अंक होगा, और इसी तरह।

   पहले अंकों के प्रत्येक जोड़े के लिए एक अक्षर निर्दिष्ट करें।हम एस द्वारा एस के मूल्य में अंकों की पहली जोड़ी, एस बी - अंकों की दूसरी जोड़ी, और इसी तरह से निरूपित करते हैं।

   इस विधि का दीर्घ विभाजन से संबंध को समझिए।जैसा कि डिवीजन ऑपरेशन में होता है, जहां हर बार हम विभाजित होने वाली संख्या के केवल एक अगले अंक में रुचि रखते हैं, वर्गमूल की गणना करते समय, हम अंकों की एक जोड़ी के साथ क्रमिक रूप से काम करते हैं (वर्ग के मूल्य में एक अगला अंक प्राप्त करने के लिए) जड़)।

   1. संख्या S (हमारे उदाहरण में Sa = 7) के अंक Sa के पहले जोड़े पर विचार करें और इसका वर्गमूल ज्ञात करें।इस स्थिति में, वांछित वर्गमूल मान का पहला अंक A ऐसा अंक होगा जिसका वर्ग S a से कम या उसके बराबर है (अर्थात, हम A की तलाश कर रहे हैं जैसे कि असमानता A² Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • मान लीजिए कि आप 88962 को 7 से भाग देना चाहते हैं; यहां पहला चरण समान होगा: हम लाभांश संख्या 88962 (8) के पहले अंक पर विचार करते हैं और सबसे बड़ी संख्या का चयन करते हैं, जिसे 7 से गुणा करने पर 8 से कम या उसके बराबर मान मिलता है। एक संख्या d जिसके लिए असमानता सत्य है: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. एक वर्ग की कल्पना करें जिसका क्षेत्रफल आपको गणना करने की आवश्यकता है।आप एल की तलाश कर रहे हैं, यानी एक वर्ग के किनारे की लंबाई जिसका क्षेत्रफल एस है। ए, बी, सी संख्या एल में अंक हैं। आप इसे अलग तरह से लिख सकते हैं: 10 ए + बी = एल (दो के लिए- अंक संख्या) या 100A + 10B + C = L (तीन अंकों की संख्या के लिए) और इसी तरह।

      • रहने दो (10A + B) = L² = S = 100A² + 2 × 10A × B + B²... याद रखें कि 10A + B एक ऐसी संख्या है जहाँ B इकाई के लिए और A का अर्थ दहाई है। उदाहरण के लिए, यदि ए = 1 और बी = 2, तो 10 ए + बी 12 के बराबर है। (10ए + बी)पूरे वर्ग का क्षेत्रफल है, 100ए- बड़े आंतरिक वर्ग का क्षेत्रफल, ब- छोटे आंतरिक वर्ग का क्षेत्रफल, 10ए × बीदो आयतों में से प्रत्येक का क्षेत्रफल है। वर्णित आकृतियों के क्षेत्रों को जोड़ने पर, आप मूल वर्ग का क्षेत्रफल पाएंगे।

वर्गमूल क्या है?

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो बहुत "बहुत नहीं ..." हैं
और उन लोगों के लिए जो "बहुत सम ...")

यह अवधारणा बहुत सरल है। स्वाभाविक, मैं कहूंगा। गणितज्ञ प्रत्येक क्रिया के लिए प्रतिक्रिया खोजने का प्रयास करते हैं। जोड़ है तो घटा भी है। गुणन है - विभाजन भी है। एक वर्ग है ... तो वहाँ है वर्गमूल की निकासी!बस इतना ही। यह क्रिया ( वर्गमूल निष्कर्षण) गणित में इस चिह्न द्वारा दर्शाया गया है:

आइकन को ही एक सुंदर शब्द कहा जाता है " मौलिक".

आप जड़ कैसे निकालते हैं?पर विचार करना बेहतर है उदाहरण.

9 का वर्गमूल क्या होता है? कौन सी संख्या का वर्ग हमें 9 देगा? 3 चुकता हमें 9 देता है! वे:

लेकिन जीरो का वर्गमूल कितना होता है? कोई दिक्कत नहीं है! कौन सी संख्या का वर्ग शून्य देता है? हाँ, यह स्वयं शून्य देता है! माध्यम:

पकड़ा है वर्गमूल क्या है?तब हम विचार करते हैं उदाहरण:

उत्तर (अव्यवस्था में): 6; 1; 4; नौ; 5.

तय? वास्तव में, यह बहुत आसान है?!

लेकिन... कोई व्यक्ति जब किसी कार्य को जड़ से देखता है तो क्या करता है?

मनुष्य तरसने लगता है... वह जड़ों की सादगी और हल्केपन में विश्वास नहीं करता। हालांकि, ऐसा लगता है, वह जानता है वर्गमूल क्या है...

ऐसा इसलिए है क्योंकि जड़ों का अध्ययन करते समय व्यक्ति ने कई महत्वपूर्ण बिंदुओं को नजरअंदाज कर दिया। फिर ये सनक परीक्षा और परीक्षा से क्रूर बदला लेती हैं...

पहला बिंदु। जड़ों को नजर से ही पहचानना चाहिए!

49 का वर्गमूल कितना होता है? सात? सही! आप उस सात को कैसे जानते थे? क्या आपने 7 का वर्ग किया है और 49 प्राप्त किया है? सही! कृपया ध्यान दें कि जड़ निकालें 49 में से हमें रिवर्स ऑपरेशन करना था - वर्ग 7 तक! और सुनिश्चित करें कि हम चूकें नहीं। या वे चूक सकते थे ...

यही कठिनाई है जड़ों का निष्कर्षण. वर्गकिसी भी संख्या को बहुत अधिक परेशानी के बिना किया जा सकता है। एक कॉलम में संख्या को अपने आप से गुणा करें - और बस इतना ही। लेकिन के लिए जड़ निकालनाऐसी कोई सरल और परेशानी मुक्त तकनीक नहीं है। के लिए है पिक अपउत्तर दें और इसे वर्ग करने के लिए जांचें।

यह जटिल रचनात्मक प्रक्रिया - एक उत्तर चुनना - बहुत सरल है यदि आप याद करनालोकप्रिय संख्याओं के वर्ग। गुणन तालिका की तरह। यदि, मान लें, आपको 4 को 6 से गुणा करने की आवश्यकता है - आप 4 को 6 बार नहीं जोड़ते हैं, है ना? उत्तर तुरंत आता है 24। हालाँकि, सभी इसके साथ नहीं आते हैं, हाँ ...

जड़ों के साथ एक स्वतंत्र और सफल कार्य के लिए, 1 से 20 तक की संख्याओं के वर्गों को जानना पर्याप्त है। इसके अलावा वहांतथा वापस।वे। आपको आसानी से दोनों को नाम देना चाहिए, जैसे 11 वर्ग और 121 का वर्गमूल। इस याद को प्राप्त करने के दो तरीके हैं। सबसे पहले वर्गों की तालिका सीखना है। उदाहरणों को हल करने के लिए यह बहुत अच्छा है। दूसरा अधिक उदाहरणों को हल करना है। यह आपको वर्गों की तालिका को याद रखने में बहुत मदद करेगा।

और कोई कैलकुलेटर नहीं! केवल सत्यापन उद्देश्यों के लिए। अन्यथा, आप बेरहमी से परीक्षा को धीमा कर देंगे ...

इसलिए, वर्गमूल क्या हैऔर कैसे जड़ें निकालें- मुझे लगता है कि यह समझ में आता है। अब आइए जानें कि आप उन्हें किससे निकाल सकते हैं।

दूसरा बिंदु। रूट, मैं तुम्हें नहीं जानता!

आप किन संख्याओं से वर्गमूल प्राप्त कर सकते हैं? हाँ, लगभग कोई भी। यह समझना आसान है क्या यह निषिद्ध हैउन्हें निकालें।

आइए निम्नलिखित रूट की गणना करने का प्रयास करें:

ऐसा करने के लिए, आपको एक संख्या चुननी होगी जो चुकता हमें -4 देगा। हम चुनते हैं।

क्या नहीं चुना जा रहा है? 2 2 +4 देता है। (-2) 2 फिर से +4 देता है! बस... ऐसी कोई संख्या नहीं है, जो चुकता करने पर हमें एक ऋणात्मक संख्या देगी! हालांकि मुझे ऐसे नंबर पता हैं। लेकिन मैं आपको नहीं बताऊंगा)। कॉलेज जाओ - आप अपने लिए पता लगा लेंगे।

यही कहानी किसी भी नेगेटिव नंबर की होगी। इसलिए निष्कर्ष:

वर्गमूल चिह्न के नीचे ऋणात्मक संख्या वाला व्यंजक - कोई मतलब नहीं है! यह एक निषिद्ध ऑपरेशन है। जैसा कि शून्य से विभाजन के रूप में निषिद्ध है। इस तथ्य को विडंबना से याद रखें!या, दूसरे शब्दों में:

वर्गमूल ऋणात्मक संख्याओं से नहीं निकाले जा सकते!

लेकिन अन्य सभी से - आप कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, गणना करना काफी संभव है

पहली नज़र में, यह बहुत मुश्किल है। भिन्नों को चुनें और उनका वर्ग करें... चिंता न करें। जब हम जड़ों के गुणों के बारे में बात करते हैं, तो ऐसे उदाहरणों को उसी वर्ग तालिका में घटा दिया जाएगा। जीवन आसान हो जाएगा!

अच्छा, ठीक अंश। लेकिन हम अभी भी इस तरह के भावों में आते हैं:

ठीक है। सब एक जैसे। दो का वर्गमूल वह संख्या है, जिसका वर्ग करने पर हमें दो प्राप्त होते हैं। केवल संख्या पूरी तरह से असमान है ... यहाँ यह है:

दिलचस्प बात यह है कि यह भिन्न कभी समाप्त नहीं होती... ऐसी संख्याओं को अपरिमेय कहा जाता है। वर्गमूल में, यह सबसे आम बात है। वैसे, इसीलिए जड़ वाले व्यंजक कहलाते हैं तर्कहीन... यह स्पष्ट है कि इस तरह के अनंत अंश को हर समय लिखना असुविधाजनक है। इसलिए, अनंत भिन्न के बजाय, वे इसे इस तरह छोड़ देते हैं:

यदि, उदाहरण को हल करते समय, आप कुछ अप्राप्य के साथ समाप्त होते हैं, जैसे:

तो हम इसे वैसे ही छोड़ देते हैं। यह उत्तर होगा।

आपको यह स्पष्ट रूप से समझने की जरूरत है कि आइकन के तहत

बेशक, अगर संख्या की जड़ निकाली जाती है निर्बाध, आपको अवश्य करना होगा। प्रपत्र में कार्य प्रतिक्रिया, उदाहरण के लिए

काफी पूर्ण उत्तर।

और, ज़ाहिर है, आपको अनुमानित मूल्यों को दिल से जानना होगा:

यह ज्ञान कठिन कार्यों में स्थिति का आकलन करने में बहुत मदद करता है।

तीसरा बिंदु। सबसे शातिर।

जड़ों के साथ काम करने में मुख्य भ्रम इस बिंदु से लाया जाता है। यह वह है जो अपनी क्षमताओं में आत्मविश्वास की कमी देता है ... आइए इस सनक से ठीक से निपटें!

आरंभ करने के लिए, आइए फिर से उनमें से चार का वर्गमूल लें। क्या, क्या मैं तुम्हें पहले ही इस जड़ से मिला चुका हूँ?) कुछ नहीं, अब यह दिलचस्प होगा!

वर्ग 4 में कौन सी संख्या है? खैर, दो, दो - मैं असंतुष्ट उत्तर सुनता हूं ...

सही। दो। लेकिन आखिर घटा दो 4 वर्ग देगा ... इस बीच, उत्तर

सही, और उत्तर

घोर भूल। इस प्रकार सं।

तो सौदा क्या है?

दरअसल, (-2) 2 = 4. और चार . के वर्गमूल की परिभाषा के तहत घटा दोकाफी उपयुक्त है... यह भी चार का वर्गमूल है।

परंतु! गणित के स्कूली पाठ्यक्रम में इसे वर्गमूल के रूप में गिनने की प्रथा है केवल गैर-ऋणात्मक संख्याएँ!यानी शून्य और सभी सकारात्मक। यहां तक ​​कि एक विशेष शब्द गढ़ा गया था: संख्या से ए- यह है गैर नकारात्मकवह संख्या जिसका वर्ग है ए... अंकगणितीय वर्गमूल निकालने पर नकारात्मक परिणाम आसानी से छोड़ दिए जाते हैं। स्कूल में, सभी वर्गमूल हैं अंकगणित... हालांकि इस बारे में विशेष रूप से उल्लेख नहीं किया है।

ठीक है, यह समझ में आता है। नकारात्मक परिणामों से परेशान न होना और भी बेहतर है ... यह अभी तक भ्रम नहीं है।

द्विघात समीकरणों को हल करते समय भ्रम शुरू होता है। उदाहरण के लिए, आपको निम्नलिखित समीकरण को हल करने की आवश्यकता है।

समीकरण सरल है, हम उत्तर लिखते हैं (जैसा सिखाया गया है):

यह उत्तर (बिल्कुल सही, वैसे) सिर्फ एक संक्षिप्त संकेतन है दोउत्तर:

रुक रुक! थोड़ा ऊपर, मैंने लिखा कि वर्गमूल एक संख्या है हमेशागैर नकारात्मक! और यहाँ एक उत्तर है - नकारात्मक! विकार। यह पहली (लेकिन आखिरी नहीं) समस्या है जो जड़ों के अविश्वास का कारण बनती है ... आइए इस समस्या को हल करें। आइए उत्तर लिखें (विशुद्ध रूप से समझने के लिए!) इस तरह:

कोष्ठक उत्तर के सार को नहीं बदलते हैं। मैं अभी-अभी कोष्ठकों से अलग हुआ हूँ लक्षणसे जड़... अब आप स्पष्ट रूप से देख सकते हैं कि मूल स्वयं (कोष्ठक में) अभी भी एक गैर-ऋणात्मक संख्या है! और संकेत हैं समीकरण को हल करने का परिणाम... दरअसल, किसी भी समीकरण को हल करते समय हमें लिखना चाहिए सब x, जो मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर सही परिणाम देगा। हमारा समीकरण प्लस और माइनस दोनों के साथ पांच (सकारात्मक!) की जड़ में फिट बैठता है।

इस प्रकार सं। अगर तुम बस वर्गमूल लेंकिसी भी चीज़ में से, आप हमेशापाना एक गैर नकारात्मकनतीजा। उदाहरण के लिए:

इसकी वजह यह - अंकगणित वर्गमूल.

लेकिन अगर आप किसी प्रकार के द्विघात समीकरण को हल कर रहे हैं जैसे:

फिर हमेशायह पता चला है दोउत्तर (प्लस और माइनस के साथ):

क्योंकि यह समीकरण का हल है।

आशा, वर्गमूल क्या हैअपने छोटे से अंक के साथ, आपने इसे समझ लिया। अब यह पता लगाना बाकी है कि जड़ों का क्या किया जा सकता है, उनके गुण क्या हैं। और फडल्स और अंडरवाटर क्रस्ट क्या हैं ... सॉरी, स्टोन्स!)

यह सब निम्नलिखित पाठों में है।

अगर आपको यह साइट पसंद है ...

वैसे, मेरे पास आपके लिए कुछ और दिलचस्प साइटें हैं।)

आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। त्वरित सत्यापन परीक्षण। सीखना - रुचि के साथ!)

आप कार्यों और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

जड़ एन- प्राकृतिक संख्या की शक्ति एऐसी संख्या कहलाती है, एन- जिसकी डिग्री है ए... रूट को निम्नानुसार नामित किया गया है:। प्रतीक को कहा जाता है मूल चिह्नया कट्टरपंथी संकेत, संख्या ए - मूल संख्या, एन - मूल प्रतिपादक.

वह क्रिया जिसके द्वारा किसी दी गई मात्रा का मूल ज्ञात किया जाता है, कहलाती है जड़ निष्कर्षण.

चूंकि, जड़ की अवधारणा की परिभाषा के अनुसार एन-वीं डिग्री

फिर जड़ निष्कर्षण- किसी शक्ति को ऊपर उठाने की व्युत्क्रम क्रिया, जिसकी सहायता से दी गई डिग्री के अनुसार और दिए गए घातांक के अनुसार डिग्री का आधार पाया जाता है।

वर्गमूल

किसी संख्या का वर्गमूल एएक संख्या है जिसका वर्ग के बराबर है ए.

वर्गमूल की गणना करने की क्रिया को वर्गमूल कहते हैं।

वर्गमूल का निष्कर्षण- चुकता करने की विपरीत क्रिया (या किसी संख्या को दूसरी घात तक बढ़ाना)। वर्ग करते समय, संख्या ज्ञात होती है, आपको इसका वर्ग ज्ञात करना होता है। वर्गमूल निकालने पर संख्या का वर्ग ज्ञात होता है, उसमें से ही संख्या ज्ञात करना आवश्यक होता है।

इसलिए, निष्पादित क्रिया की शुद्धता की जांच करने के लिए, आप पाए गए रूट को दूसरी शक्ति तक बढ़ा सकते हैं, और यदि शक्ति रेडिकल संख्या के बराबर है, तो रूट सही ढंग से पाया गया था।

आइए एक वर्गमूल निकालने और एक उदाहरण के साथ इसकी जाँच करने पर एक नज़र डालें। आइए गणना करें या (2 के मान के साथ रूट का एक्सपोनेंट आमतौर पर नहीं लिखा जाता है, क्योंकि 2 सबसे छोटा एक्सपोनेंट है और यह याद रखना चाहिए कि यदि रूट के साइन के ऊपर कोई एक्सपोनेंट नहीं है, तो एक्सपोनेंट 2 निहित है), इसके लिए हमें संख्या ज्ञात करने की आवश्यकता है, जब इसे दूसरी तक बढ़ाने पर डिग्री 49 होगी। जाहिर है, यह संख्या 7 है, क्योंकि

7 7 = 7 2 = 49.

वर्गमूल की गणना

यदि दी गई संख्या 100 या उससे कम है, तो गुणन सारणी का उपयोग करके इसका वर्गमूल निकाला जा सकता है। उदाहरण के लिए, 25 का वर्गमूल 5 है, क्योंकि 5 5 = 25.

आइए अब कैलकुलेटर का उपयोग किए बिना किसी भी संख्या का वर्गमूल निकालने का तरीका देखें। उदाहरण के लिए, आइए 4489 नंबर लें और इसकी गणना चरण दर चरण शुरू करें।

1. आइए निर्धारित करें कि आवश्यक रूट में कौन से बिट्स शामिल होने चाहिए। चूँकि 10 2 = 10 10 = 100, और 100 2 = 100 100 = 10000, यह स्पष्ट हो जाता है कि वांछित जड़ 10 से अधिक और 100 से कम होनी चाहिए, अर्थात। दसियों और इकाइयों से मिलकर बनता है।
2. जड़ के दसियों की संख्या ज्ञात कीजिए। दहाई को गुणा करने से सैकड़ों प्राप्त होते हैं, हमारी संख्या में 44 होते हैं, इसलिए जड़ में दहाई इतनी होनी चाहिए कि दहाई का वर्ग लगभग 44 सौ देता है। इसलिए, जड़ में 6 दहाई होनी चाहिए, क्योंकि 60 2 = 3600, और 70 2 = 4900 (यह बहुत अधिक है)। इस प्रकार, हमने पाया कि हमारी जड़ में 6 दहाई और कई इकाइयाँ हैं, क्योंकि यह 60 से 70 के बीच है।
3. गुणन तालिका जड़ में इकाइयों की संख्या निर्धारित करने में मदद करेगी। संख्या 4489 को देखते हुए, हम देखते हैं कि इसमें अंतिम अंक 9 है। अब हम गुणन तालिका को देखते हैं और देखते हैं कि 9 इकाइयाँ तभी प्राप्त की जा सकती हैं जब संख्याएँ 3 और 7 का वर्ग हो। तो संख्या का मूल होगा 63 या 67।
4. 63 और 67 का वर्ग करके हम उन संख्याओं की जाँच करते हैं: 63 2 = 3969, 67 2 = 4489।

आइए उदाहरण के द्वारा इस एल्गोरिदम पर विचार करें। पाना

पहला कदम। हम मूल के नीचे की संख्या को दो अंकों (दाएं से बाएं) में विभाजित करते हैं:

दूसरा चरण। हम पहले फलक का वर्गमूल निकालते हैं, अर्थात संख्या 65 से हमें संख्या 8 प्राप्त होती है। पहले फलक के नीचे हम संख्या 8 का वर्ग लिखते हैं और घटाते हैं। हम शेष (59) के लिए दूसरा पहलू निर्दिष्ट करते हैं:

(संख्या 159 पहला शेषफल है)।

तीसरा चरण। हम पाए गए रूट को दोगुना करते हैं और परिणाम को बाईं ओर लिखते हैं:

चौथा चरण। हम शेष (159) में दाईं ओर एक अंक अलग करते हैं, बाईं ओर हमें दहाई की संख्या मिलती है (यह 15 के बराबर है)। फिर हम 15 को मूल के दोगुने पहले अंक से, यानी 16 से भाग देते हैं, क्योंकि 15, 16 से विभाज्य नहीं है, तो भागफल में हमें शून्य मिलता है, जिसे हम मूल के दूसरे अंक के रूप में लिखते हैं। तो, भागफल में, हमें संख्या 80 मिलती है, जिसे हम फिर से दोगुना करते हैं, और हम अगले चेहरे को ध्वस्त कर देते हैं

(संख्या 15 901 दूसरा शेषफल है)।

5 वां चरण। दायीं ओर शेष एक अंक के दूसरे अंक को अलग करें और परिणामी संख्या 1590 को 160 से विभाजित करें। परिणाम (नंबर 9) को मूल के तीसरे अंक के रूप में लिखें और इसे संख्या 160 पर असाइन करें। परिणामी संख्या 1609 को 9 से गुणा करें और खोजें निम्नलिखित शेष (1420):

एल्गोरिथ्म में इंगित अनुक्रम में आगे की क्रियाएं की जाती हैं (जड़ को सटीकता की आवश्यक डिग्री के साथ निकाला जा सकता है)।

टिप्पणी। यदि मूल अभिव्यक्ति एक दशमलव अंश है, तो इसका पूर्णांक भाग दाएं से बाएं दो अंकों में विभाजित होता है, आंशिक भाग - बाएं से दाएं दो अंक, और निर्दिष्ट एल्गोरिदम के अनुसार रूट निकाला जाता है।

उपदेशात्मक सामग्री

1. संख्या का वर्गमूल निकालें: a) 32; बी) 32.45; ग) 249.5; घ) 0.9511.