Az iskolából mindannyian ismerjük a hatványozás szabályát: bármely N kitevővel rendelkező szám egyenlő azzal az eredménnyel, hogy ezt a számot megszorozzuk önmagával N számú alkalommal. Más szóval, 7 3 hatványára 7 szorozva önmagával háromszor, azaz 343. Egy másik szabály az, hogy ha bármilyen mennyiséget 0 hatványra emelünk, akkor egyet adunk, a negatív mennyiség emelése pedig a szokásos emelés eredménye. a hatvány, ha páros, és ugyanez az eredmény mínuszjellel, ha páratlan.
A szabályok arra is választ adnak, hogyan kell számot emelni negatív fokozat. Ehhez a szokásos módon meg kell emelni a kívánt értéket a mutató modulusával, majd el kell osztani az egységet az eredménnyel.
Ezekből a szabályokból világossá válik, hogy a végrehajtás valódi problémákat nagy mennyiségek kezelése rendelkezésre állást igényel technikai eszközökkel. Manuálisan megszorozhatja saját magával a számok maximumát húsz-harmincig, majd legfeljebb háromszor vagy négyszer. Arról nem is beszélve, hogy el kell osztani egyet az eredménnyel. Ezért azok számára, akiknek nincs kéznél speciális mérnöki számológép, elmondjuk, hogyan lehet egy számot negatív hatványra emelni az Excelben.
Problémamegoldás Excelben
A hatványozással kapcsolatos problémák megoldásához az Excel két lehetőség egyikét teszi lehetővé.
Az első egy szabványos „fedél” jellel ellátott képlet használata. Írja be a következő adatokat a munkalap celláiba:
Ugyanígy bármely hatványra emelheti a kívánt értéket - negatív, tört. Csináljuk a következő műveleteketés válaszoljon arra a kérdésre, hogyan lehet egy számot negatív hatványra emelni. Példa:
A =B2^-C2 közvetlenül a képletben javítható.
A második lehetőség a kész „Fok” függvény használata, amely két szükséges argumentumot vesz igénybe - egy számot és egy kitevőt. Használatának megkezdéséhez tegye be az egyenlőségjelet (=) bármely szabad cellába, amely a képlet kezdetét jelzi, és írja be a fenti szavakat. Nincs más hátra, mint kijelölni két cellát, amelyek részt vesznek a műveletben (vagy manuálisan megadni bizonyos számokat), és megnyomni az Enter billentyűt. Nézzünk néhány egyszerű példát.
Képlet | Eredmény |
||||
FOK(B2;C2) | |||||
FOK(B3;C3) |
|
Amint látja, nincs semmi bonyolult abban, hogyan lehet egy számot negatív és reguláris hatványra emelni az Excel használatával. Végül is a probléma megoldásához használhatja az ismerős „fedél” szimbólumot és a program beépített funkcióját, amely könnyen megjegyezhető. Ez egy határozott plusz!
Térjünk tovább a továbbiakra összetett példák. Emlékezzünk arra a szabályra, hogyan kell egy számot negatív törthatványra emelni, és látni fogjuk, hogy ez a probléma nagyon könnyen megoldható az Excelben.
Törtmutatók
Röviden, a tört kitevővel rendelkező szám kiszámításának algoritmusa a következő.
- A tört átváltása megfelelő vagy helytelen törtté.
- Emeljük fel a számunkat a kapott átváltott tört számlálójára.
- Az előző bekezdésben kapott számból számítsuk ki a gyökét azzal a feltétellel, hogy a gyök kitevője lesz az első lépésben kapott tört nevezője.
Egyetért azzal, hogy még kis számokkal és helyes törtek Az ilyen számítások sok időt vehetnek igénybe. Még jó, hogy az Excel táblázatkezelőt nem érdekli, hogy milyen számot milyen fokozatra emelnek. Próbálja meg megoldani a következő példát egy Excel munkalapon:
A fenti szabályok segítségével ellenőrizheti és megbizonyosodhat arról, hogy a számítás helyesen történt-e.
Cikkünk végén táblázat formájában képletekkel és eredményekkel mutatunk be számos példát arra, hogyan lehet egy számot negatív hatványra emelni, valamint számos példát a törtszámokkal és hatványokkal való műveletekre.
Példa táblázat
Tekintse meg az alábbi példákat az Excel-munkalapon. Ahhoz, hogy minden megfelelően működjön, vegyes hivatkozást kell használnia a képlet másolásakor. Rögzítse az emelendő számot tartalmazó oszlop számát és a mutatót tartalmazó sor számát. A képletnek így kell kinéznie: "=$B4^C$3."
Szám/fok | |||||
Kérjük, vegye figyelembe, hogy a pozitív számok (még a nem egész számok is) probléma nélkül számíthatók bármely kitevőre. Nincs probléma a számok egész számokra emelésével. De az építkezés negatív szám törthatvány hibává válik az Ön számára, mivel lehetetlen betartani a cikkünk elején jelzett szabályt a negatív számok emeléséről, mivel a paritás kizárólag EGÉSZ számra jellemző.
Folytatva a beszélgetést egy szám erejéről, logikus, hogy kitaláljuk, hogyan találjuk meg a hatvány értékét. Ezt a folyamatot ún hatványozás. Ebben a cikkben megvizsgáljuk, hogyan történik a hatványozás, és mindent érintünk lehetséges mutatók fokozatok – természetes, egész, racionális és irracionális. És a hagyomány szerint részletesen megvizsgáljuk a számok különféle hatalmakba emelésének példáit.
Oldalnavigáció.
Mit jelent a "hatványosítás"?
Kezdjük azzal, hogy elmagyarázzuk, mit nevezünk hatványozásnak. Itt van a vonatkozó meghatározás.
Meghatározás.
Hatványozás- ez egy szám hatványértékének megállapítása.
Így az a szám hatványának r kitevőjű megtalálása és az a szám r hatványra emelése ugyanaz. Például, ha a feladat „számítsa ki a hatvány (0,5) 5 értékét”, akkor a következőképpen lehet újrafogalmazni: „Emelje fel a 0,5-öt 5-ös hatványra.”
Most közvetlenül léphet a szabályokhoz, amelyek alapján a hatványozás történik.
Egy szám természetes hatványra emelése
A gyakorlatban a alapú egyenlőséget általában a formában alkalmazzák. Azaz egy a szám m/n törthatványra emelésekor először az a szám n-edik gyökét veszik fel, majd az eredményt m egész hatványra emelik.
Nézzük meg a törthatványra emelés példáit.
Példa.
Számítsa ki a fokozat értékét!
Megoldás.
Két megoldást mutatunk be.
Első út. A törtkitevős fok definíciója szerint. Kiszámoljuk a fok értékét a gyökérjel alatt, majd kivonjuk a kockagyököt: 
.
Második út. A tört kitevővel rendelkező fok definíciója alapján és a gyökök tulajdonságai alapján a következő egyenlőségek igazak: 
. Most kivonjuk a gyökeret 
, végül egész hatványra emeljük 
.
Nyilvánvalóan a törthatványra emelés kapott eredményei egybeesnek.
Válasz:
Figyeljük meg, hogy a tört kitevő felírható tizedes törtként vagy vegyes számként is, ilyenkor le kell cserélni a megfelelő közönséges törtre, majd hatványra kell emelni.
Példa.
Számítsd ki (44,89) 2.5.
Megoldás.
Írjuk be a kitevőt a formába közönséges tört(ha szükséges, lásd a cikket): 
. Most végrehajtjuk az emelést törthatványra: 
Válasz:
(44,89) 2,5 =13 501,25107 .
Azt is el kell mondani, hogy a számok racionális hatványokra emelése meglehetősen munkaigényes folyamat (főleg, ha a törtkitevő számlálója és nevezője jó néhányat tartalmaz nagy számok), amelyet általában a használatával hajtanak végre számítógépes technológia.
Ennek a pontnak a befejezéseként nézzük meg, hogy a nulla számot törthatványra emeljük. Az alak nulla törthatványának a következő jelentést adtuk: amikor van 
, és nullánál az m/n teljesítmény nincs meghatározva. Tehát a nullától a tört pozitív hatványhoz nulla, például, 
. És a nullának egy tört negatív hatványban nincs értelme, például a 0 -4,3 kifejezéseknek nincs értelme.
Irracionális hatalommá emelés
Néha szükségessé válik egy irracionális kitevővel rendelkező szám hatványértékének kiderítése. Ebben az esetben gyakorlati célokra általában elegendő egy bizonyos előjelre pontos fok értékét meghatározni. Azonnal jegyezzük meg, hogy a gyakorlatban ezt az értéket elektronikus számítógépek segítségével számítják ki, mivel irracionális teljesítményre emeléséhez manuálisan kell nagy mennyiség nehézkes számítások. De akkor is leírjuk általános vázlat az akció lényege.
Egy irracionális kitevővel rendelkező a szám hatványának közelítő értékének meghatározásához a kitevő tizedes közelítését veszik, és kiszámítják a hatvány értékét. Ez az érték az a szám hatványának közelítő értéke irracionális kitevővel. Minél pontosabb egy szám decimális közelítését veszi kezdetben, annál többet pontos érték diplomát a végén szereznek.
Példaként számítsuk ki a 2 hatvány közelítő értékét 1,174367... . Vegyük az irracionális kitevő következő decimális közelítését: . Most felemeljük a 2-t az 1,17 racionális hatványra (a folyamat lényegét az előző bekezdésben leírtuk), így 2 1,17 ≈2,250116 kapunk. És így, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Ha például az irracionális kitevő pontosabb decimális közelítését vesszük, akkor az eredeti kitevő pontosabb értékét kapjuk: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .
Bibliográfia.
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika tankönyv 5. osztálynak. oktatási intézmények.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: tankönyv 7. osztálynak. oktatási intézmények.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: tankönyv 8. osztálynak. oktatási intézmények.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: tankönyv 9. osztálynak. oktatási intézmények.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Algebra és az elemzés kezdetei: Tankönyv az általános oktatási intézmények 10-11.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (kézikönyv a műszaki iskolákba lépők számára).
A negatív hatványra emelés a matematika egyik alapeleme, és gyakran találkozunk vele az algebrai feladatok megoldásában. Az alábbiakban részletes utasításokat talál.
Hogyan lehet negatív hatványra emelni - elmélet
Ha egy számot közönséges hatványra emelünk, az értékét többszörösére szorozzuk. Például 3 3 = 3×3×3 = 27. Negatív törttel ennek az ellenkezője igaz. A képlet általános alakja a következő lesz: a -n = 1/a n. Így egy szám negatív hatványra emeléséhez el kell osztani egyet a megadott számmal, de pozitív hatványra.
Hogyan lehet negatív hatványra emelni - példák közönséges számokra
A fenti szabályt szem előtt tartva oldjunk meg néhány példát.
4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Válasz: 4 -2 = 1/16
4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Válasz -4 -2 = 1/16.
De miért ugyanaz a válasz az első és a második példában? A helyzet az, hogy ha egy negatív számot páros hatványra emelünk (2, 4, 6 stb.), az előjel pozitív lesz. Ha páros lenne a fok, akkor maradna a mínusz:
4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)
Hogyan emeljünk számokat 0-ról 1-re negatív hatványra
Emlékezzünk vissza, hogy ha egy 0 és 1 közötti számot pozitív hatványra emelünk, az érték a hatvány növekedésével csökken. Tehát például 0,5 2 = 0,25. 0,25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.
3. példa: Számíts ki 0,5 -2
Megoldás: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Válasz: 0,5 -2 = 4
Elemzés (műveletek sorrendje):
- Mi fordítunk decimális 0,5-től tört 1/2-ig. Könnyebb így.
Emelje fel 1/2-ét negatív hatványra. 1/(2) -2. Elosztjuk 1-et 1/(2) 2-vel, így kapjuk 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4
4. példa: Számíts ki 0,5 -3
Megoldás: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8
5. példa: -0,5 -3 kiszámítása
Megoldás: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Válasz: -0,5 -3 = -8
A 4. és 5. példa alapján több következtetést is levonhatunk:
- Egy 0-tól 1-ig terjedő tartományba eső pozitív szám esetén (4. példa), negatív hatványra emelve, hogy a hatvány páros vagy páratlan, nem számít, a kifejezés értéke pozitív lesz. Ráadásul minél nagyobb a fokozat, annál nagyobb az érték.
- A 0-tól 1-ig terjedő tartományba eső negatív számok esetén (5. példa), negatív hatványra emelve, nem számít, hogy a hatvány páros vagy páratlan, a kifejezés értéke negatív lesz. Ebben az esetben minél magasabb a fokozat, annál alacsonyabb az érték.
Hogyan lehet negatív hatványra emelni - törtszám formájában megjelenő hatványt
Kifejezések ebből a típusból a következő formájúak: a -m/n, ahol a szabályos szám, m a fokszám számlálója, n a fokozat nevezője.
Nézzünk egy példát:
Számítsd ki: 8 -1/3
Megoldás (műveletek sorrendje):
- Emlékezzünk a szám negatív hatványra emelésének szabályára. A következőt kapjuk: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
- Figyeljük meg, hogy a nevezőben a 8-as szám törthatványban van. A törthatvány kiszámításának általános formája a következő: a m/n = n √8 m.
- Így 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). A nyolc kockagyökét kapjuk, ami egyenlő 2-vel. Innen 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
- Válasz: 8 -1/3 = 2
Az egyik korábbi cikkben már említettük a számok erejét. Ma megpróbálunk eligazodni a jelentésének megtalálásának folyamatában. Tudományosan szólva, meg fogjuk találni, hogyan lehet helyesen hatványra emelni. Ki fogjuk találni, hogyan hajtják végre ezt a folyamatot, és ugyanakkor érinteni fogjuk az összes lehetséges kitevőt: természetes, irracionális, racionális, egész.
Tehát nézzük meg közelebbről a példák megoldásait, és derítsük ki, mit jelent ez:
- A fogalom meghatározása.
- Negatív művészetre emelés.
- Egy egész mutató.
- Egy szám irracionális hatványra emelése.
Íme egy meghatározás, amely pontosan tükrözi a jelentést: „A hatványozás egy szám hatványértékének meghatározása.”
Ennek megfelelően az a szám emelése az Art. r és az a fok értékének az r kitevővel történő megtalálásának folyamata azonos fogalmak. Például, ha a feladat a hatvány (0,6) 6″ értékének kiszámítása, akkor ez leegyszerűsíthető a „Emelje fel a 0,6-ot 6 hatványára” kifejezésre.
Ezt követően közvetlenül folytathatja az építési szabályokat.
Negatív hatalommá emelés
Az érthetőség kedvéért figyeljen a következő kifejezésláncokra:
110=0,1=1* 10 mínusz 1 evőkanál,
1100=0,01=1*10 mínusz 2 fokban,
11000=0,0001=1*10 mínusz 3 st.-ban,
110000=0,00001=1*10 - mínusz 4 fok.
Ezeknek a példáknak köszönhetően jól látható, hogy azonnal ki lehet számítani 10-et bármilyen mínusz teljesítményre. Ebből a célból elég egyszerűen eltolni a decimális komponenst:
- 10 a -1 fokig - egy előtt 1 nulla van;
- -3-ban - három nulla egy előtt;
- -9-ben 9 nulla van és így tovább.
Ebből a diagramból is könnyen megérthető, hogy mennyi lesz 10 mínusz 5 evőkanál. -
1100000=0,000001=(1*10)-5.
Hogyan emeljünk egy számot természetes hatványra
Emlékezve a meghatározásra, figyelembe vesszük azt természetes szám a az Art. n egyenlő n tényező szorzatával, amelyek mindegyike egyenlő a-val. Szemléltessük: (a*a*…a)n, ahol n a szorzott számok száma. Ennek megfelelően ahhoz, hogy a-t n-re emeljük, ki kell számítani a szorzatot a következő típus: a*a*…a osztva n-szeresével.
Ebből nyilvánvalóvá válik, hogy természetes szt. a szorzás képességére támaszkodik(erről az anyagról a valós számok szorzásáról szóló rész foglalkozik). Nézzük a problémát:
Emelje fel a -2-t a 4. st.
Természetes indikátorral van dolgunk. Ennek megfelelően a döntés menete a következőképpen alakul: (-2) a Kbt. 4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Most már csak meg kell szorozni az egész számokat: (-2)*(-2)*(-2)*(-2). 16-ot kapunk.
Válasz a problémára:
(-2) bekezdésében foglaltak szerint. 4=16.
Példa:
Számítsa ki az értéket: három pont két heted négyzet.
Ez a példa a következő szorzattal egyenlő: három pont két heted szorozva három pont két heteddel. Felidézve a vegyes számok szorzását, befejezzük a konstrukciót:
- 3 pont 2 hetedik szorozva önmagával;
- egyenlő 23 heteddel szorozva 23 heteddel;
- egyenlő 529 negyvenkilenceddel;
- csökkentjük, és 10 harminckilenc negyvenkilencet kapunk.
Válasz: 10 39/49
Az irracionális kitevőre emelés kérdésével kapcsolatban meg kell jegyezni, hogy a számításokat a fokalap előzetes kerekítésének befejezése után kell elvégezni bármely olyan számjegyre, amely lehetővé teszi az érték adott pontosságú megszerzését. Például négyzetre kell emelnünk a P (pi) számot.
Kezdjük azzal, hogy P-t századokra kerekítünk, és megkapjuk:
P négyzet = (3,14)2 = 9,8596. Ha azonban P-t tízezredre csökkentjük, akkor P = 3,14159-et kapunk. Ekkor a négyzetesítés egy teljesen más számot ad: 9,8695877281.
Itt kell megjegyezni, hogy sok feladatnál nincs szükség építkezésre irracionális számok bizonyos mértékig. Általában a választ vagy a tényleges fok formájában adják meg, például 6 gyökével 3 hatványára, vagy ha a kifejezés lehetővé teszi, akkor a transzformációt végrehajtják: 5-7 fok gyöke = 125 gyöke az 5-ből.
Hogyan emeljünk egy számot egész hatványra
Ez az algebrai manipuláció megfelelő figyelembe venni következő eseteket:
- egész számokhoz;
- nulla mutató esetén;
- pozitív egész kitevő esetén.
Mivel szinte minden pozitív egész egybeesik a természetes számok tömegével, a pozitív egész hatvány beállítása ugyanaz, mint az Art. természetes. Ezt a folyamatot az előző bekezdésben ismertettük.
Most beszéljünk a st. nulla. Fentebb már megtudtuk, hogy az a szám nulla hatványa bármely nem nulla a (valós) esetén meghatározható, míg a az Art. 0 egyenlő lesz 1-gyel.
Ennek megfelelően bármely valós szám nullára emelése st. ad egyet.
Például 10 a st.-ben 0=1, (-3,65)0=1 és 0 a st.-ban. 0 nem határozható meg.
Az egész hatványra való emelés befejezéséhez még dönteni kell a negatív egész értékek opcióiról. Emlékszünk arra, hogy az Art. az a-ból egész kitevővel -z törtként lesz definiálva. A tört nevezője st. pozitív egész értékkel, amelynek értékét már megtanultuk megtalálni. Most már csak egy építési példát kell figyelembe venni.
Példa:
Számítsa ki a negatív egész kitevővel kockázott 2-es szám értékét!
Megoldás menete:
A negatív kitevővel rendelkező fok definíciója szerint jelöljük: két mínusz 3 fok. egyenlő egy-kettővel a harmadik hatványhoz.
A nevező kiszámítása egyszerűen történik: két kocka;
3 = 2*2*2=8.
Válasz: kettő a mínusz 3. art. = egy nyolcad.
szorzás segítségével találhatjuk meg. Például: 5+5+5+5+5+5=5x6. Egy ilyen kifejezésről azt mondják, hogy az egyenlő tagok összegét egy szorzatba hajtjuk. És fordítva, ha ezt az egyenlőséget jobbról balra olvassuk, azt találjuk, hogy kibővítettük az egyenlő tagok összegét. Hasonlóképpen összecsukhatja több egyenlő tényező szorzatát 5x5x5x5x5x5=5 6.
Vagyis a hat azonos tényező 5x5x5x5x5x5 szorzata helyett 5 6-ot írnak, és azt mondják, hogy „öt a hatodik hatványhoz”.
Az 5 6 kifejezés egy szám hatványa, ahol:
5 - fokozatalap;
6 - kitevő.
Azokat a műveleteket, amelyekkel egyenlő tényezők szorzatát hatványra redukáljuk, nevezzük hatalomra emelése.
BAN BEN Általános nézet fokot "a" bázissal és "n" kitevővel így írjuk
Az a szám n hatványra emelése azt jelenti, hogy meg kell találni n tényező szorzatát, amelyek mindegyike egyenlő a-val
Ha az „a” fok alapja 1, akkor bármely n természetes szám fokértéke 1 lesz. Például 1 5 =1, 1 256 =1
Ha az „a” számot arra emeli első fokozat, akkor megkapjuk magát az a számot: a 1 = a
Ha bármilyen számot emel a nulla fok, akkor a számítások eredményeként kapunk egyet. a 0 = 1
Egy szám második és harmadik hatványa különlegesnek számít. Neveket találtak ki nekik: a második fokozatot hívják négyzetre a számot, harmadik - kocka ez a szám.
Bármely szám hatványra emelhető - pozitív, negatív vagy nulla. Ebben az esetben a következő szabályok nem érvényesek:
Ha egy pozitív szám hatványát megtaláljuk, az eredmény egy pozitív szám.
Ha nullát számítunk a természetes hatványra, akkor nullát kapunk.
x m · x n = x m + n
például: 7 1,7 7 - 0,9 = 7 1,7 + (- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8
Nak nek osztja el a hatványokat ugyanazokkal az alapokkal Nem az alapot változtatjuk, hanem kivonjuk a kitevőket:
x m / x n = x m - n , Ahol, m > n,
például: 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6
Számításkor hatalmat hatalommá emelni Nem az alapot változtatjuk, hanem a kitevőket szorozzuk meg egymással.
(m ) n = y m n
például: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6
(X · y) n = x n · y m ,
például:(2 3) 3 = 2 n 3 m,
szerinti számítások végzésekor tört hatványra emelése a tört számlálóját és nevezőjét egy adott hatványra emeljük
(x/y)n = x n / y n
például: (2/5) 3 = (2/5) · (2/5) · (2/5) = 2 3/5 3.
A számítási sorrend, ha fokot tartalmazó kifejezésekkel dolgozik.
Zárójel nélküli, de hatványokat tartalmazó kifejezések számításánál mindenekelőtt hatványozást, majd szorzást és osztást, majd csak azután összeadást és kivonást végeznek.
Ha zárójeleket tartalmazó kifejezést kell kiszámítani, akkor először a zárójelben lévő számításokat végezze el a fent jelzett sorrendben, majd a többi műveletet ugyanabban a sorrendben balról jobbra haladva.
A gyakorlati számításokban nagyon széles körben használnak kész hatványtáblázatokat a számítások egyszerűsítésére.
Betöltés...