A trigonometriában sok képletet könnyebb levezetni, mint megjegyezni. A kettős szög koszinusza csodálatos képlet! Lehetővé teszi a redukciós és félszög képletek beszerzését.
Tehát szükségünk van a kettős szög koszinuszára és a trigonometrikus egységre:
Még hasonlóak is: a kettős szög koszinuszának képletében - a koszinusz és a szinusz négyzetei közötti különbség, valamint a trigonometrikus egységben - az összegük. Ha a trigonometrikus egységből fejezzük ki a koszinuszát:
és behelyettesítjük a kettős szög koszinuszába, kapjuk:
Ez egy másik képlet a kettős szög koszinuszára:
Ez a képlet a kulcs a redukciós képlet megszerzéséhez:
Tehát a szinusz fokának csökkentésére szolgáló képlet a következő:
Ha benne az alfa szöget félszögben alfa helyettesítjük, és a két alfa kettős szöget az alfa szög, akkor megkapjuk a szinusz félszögének képletét:
Most a trigonometrikus egységből fejezzük ki a szinust:
Helyettesítse ezt a kifejezést a kettős szög koszinuszának képletébe:
Kaptunk egy másik képletet a kettős szög koszinuszára:
Ez a képlet a kulcs a koszinuszredukció és a koszinusz félszög képletének megtalálásához.
Így a koszinusz mértékének csökkentésére szolgáló képlet a következő:
Ha α-t α/2-vel helyettesítjük, 2α-t α-val, akkor megkapjuk a koszinusz félargumentumának képletét:
Mivel az érintő a szinusz és a koszinusz aránya, az érintő képlete a következő:
A kotangens a koszinusz és a szinusz aránya. Tehát a kotangens képlete:
Természetesen a trigonometrikus kifejezések egyszerűsítése során nincs értelme félszög-képleteket származtatni, vagy minden alkalommal csökkenteni a fokozatot. Sokkal egyszerűbb egy képletlapot maga elé tenni. És az egyszerűsítés gyorsabban halad előre, és a vizuális memória bekapcsol a memorizáláshoz.
De mégis érdemes többször levezetni ezeket a képleteket. Akkor teljesen biztos leszel abban, hogy a vizsga során, amikor nincs lehetőség csalólap használatára, könnyen beszerezheti őket, ha úgy kívánja.
A szinuszértékek a [-1; 1], azaz -1 ≤ sin α ≤ 1. Ezért ha |a| > 1, akkor a sin x = a egyenletnek nincs gyöke. Például a sin x = 2 egyenletnek nincs gyöke.
Térjünk rá néhány feladatra.
Oldja meg a sin x = 1/2 egyenletet.
Döntés.
Vegyük észre, hogy sin x az egységkör pontjának ordinátája, amelyet az Р (1; 0) pont origó körüli x szöggel való elforgatásának eredményeként kapunk.
Az M 1 és M 2 kör két pontjában ½ ordináta található.
Mivel 1/2 \u003d sin π / 6, akkor az M 1 pontot a P (1; 0) pontból kapjuk az x 1 \u003d π / 6 szögön, valamint az x \u003d π szögeken keresztül. / 6 + 2πk, ahol k \u003d +/-1, +/-2, …
Az M 2 pontot a P (1; 0) pontból kapjuk az x 2 = 5π/6 szög átfordítása eredményeként, valamint az x = 5π/6 + 2πk szögeken keresztül, ahol k = +/- 1, +/-2, ... , azaz. x = π – π/6 + 2πk szögeknél, ahol k = +/-1, +/-2, ….
Tehát a sin x = 1/2 egyenlet összes gyöke megtalálható az x = π/6 + 2πk, x = π - π/6 + 2πk képletekkel, ahol k € Z.
Ezeket a képleteket egybe lehet kombinálni: x \u003d (-1) n π / 6 + πn, ahol n € Z (1).
Valóban, ha n páros szám, azaz. n = 2k, akkor az (1) képletből х = π/6 + 2πk kapjuk, és ha n páratlan szám, azaz. n = 2k + 1, akkor az (1) képletből х = π – π/6 + 2πk kapjuk.
Válasz. x \u003d (-1) n π / 6 + πn, ahol n € Z.
Oldja meg a sin x = -1/2 egyenletet.
Döntés.
A -1/2 ordinátának van az M 1 és M 2 egységkör két pontja, ahol x 1 = -π/6, x 2 = -5π/6. Ezért a sin x = -1/2 egyenlet összes gyöke megtalálható az x = -π/6 + 2πk, x = -5π/6 + 2πk, k ∈ Z képletekkel.
Ezeket a képleteket egyesíthetjük egybe: x \u003d (-1) n (-π / 6) + πn, n € Z (2).
Valóban, ha n = 2k, akkor a (2) képlet alapján x = -π/6 + 2πk, ha pedig n = 2k – 1, akkor a (2) képlet alapján x = -5π/6 + 2πk.
Válasz. x \u003d (-1) n (-π / 6) + πn, n € Z.
Így a sin x = 1/2 és sin x = -1/2 egyenletek mindegyikének végtelen számú gyöke van.
A -π/2 ≤ x ≤ π/2 szakaszon ezen egyenleteknek csak egy gyöke van:
x 1 \u003d π / 6 - a sin x \u003d 1/2 és x 1 \u003d -π / 6 egyenlet gyökere - a sin x egyenlet gyöke \u003d -1/2.
A π/6 számot az 1/2 szám arcszinuszának nevezzük, és felírjuk: arcsin 1/2 = π/6; a -π/6 számot a -1/2 szám arcszinuszának nevezik, és ezt írják: arcsin (-1/2) = -π/6.
Általában a sin x \u003d a egyenletnek, ahol -1 ≤ a ≤ 1, a -π / 2 ≤ x ≤ π / 2 szakaszon csak egy gyöke van. Ha a ≥ 0, akkor a gyökér be van zárva az intervallumba; Ha egy< 0, то в промежутке [-π/2; 0). Этот корень называют арксинусом числа а и обозначают arcsin а.
Így az a szám arcszinusza € [–1; 1] egy ilyen számot € [–π/2; π/2], melynek szinusza a.
arcsin a = α, ha sin α = a és -π/2 ≤ x ≤ π/2 (3).
Például arcsin √2/2 = π/4, mivel sin π/4 = √2/2 és – π/2 ≤ π/4 ≤ π/2;
arcsin (-√3/2) = -π/3, mivel sin (-π/3) = -√3/2 és – π/2 ≤ 
– π/3 ≤ π/2.
Hasonlóan az 1. és 2. feladat megoldásához, kimutatható, hogy a sin x = a egyenlet gyökei, ahol |a| ≤ 1 értékét a képlet fejezi ki
x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n € Z (4).
Azt is bebizonyíthatjuk, hogy bármely € [-1; 1] érvényes az arcsin (-a) = -arcsin a képlet.
A (4) képletből az következik, hogy az egyenlet gyökei
sin x \u003d a \u003d 0, a \u003d 1, a \u003d -1 esetén egyszerűbb képletekkel is megtalálható:
sin x \u003d 0 x \u003d πn, n € Z (5)
sin x \u003d 1 x \u003d π / 2 + 2πn, n € Z (6)
sin x \u003d -1 x \u003d -π / 2 + 2πn, n € Z (7)
oldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.
|BD| - az A pontban középpontba állított kör ívének hossza.
α a radiánban kifejezett szög.
Érintő ( tgα) egy trigonometrikus függvény, amely egy derékszögű háromszög befogója és szára közötti α szögtől függ, amely egyenlő a szemközti szár hosszának arányával |BC| a szomszédos láb hosszára |AB| .
Kotangens ( ctgα) egy trigonometrikus függvény, amely egy derékszögű háromszög befogója és szára közötti α szögtől függ, amely egyenlő a szomszédos szár hosszának arányával |AB| a szemközti láb hosszára |BC| .
Tangens
Ahol n- egész.
A nyugati irodalomban az érintőt a következőképpen jelölik:
.
;
;
.
Az érintőfüggvény grafikonja, y = tg x
Kotangens
Ahol n- egész.
A nyugati irodalomban a kotangenst a következőképpen jelölik:
.
A következő jelölést is elfogadták:
;
;
.
A kotangens függvény grafikonja, y = ctg x
Az érintő és a kotangens tulajdonságai
Periodikaság
y= függvények tg xés y= ctg x periodikusak π periódussal.
Paritás
Az érintő és a kotangens függvények páratlanok.
Definíciók és értékek tartományai, növekvő, csökkenő
A tangens és a kotangens függvények definíciós tartományukon folytonosak (lásd a folytonosság bizonyítását). Az érintő és a kotangens fő tulajdonságait a táblázat tartalmazza ( n- egész szám).
| y= tg x | y= ctg x | |
| Hatály és folytonosság | ||
| Értéktartomány | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Emelkedő | - | |
| Csökkenő | - | |
| Extrémek | - | - |
| Nullák, y= 0 | ||
| Az y tengellyel való metszéspontok, x = 0 | y= 0 | - |
Képletek
Kifejezések szinuszban és koszinuszban
;
;
;
;
;
Az összeg és a különbség érintőjének és kotangensének képlete
A többi képlet például könnyen beszerezhető
Érintők szorzata
Az érintők összegének és különbségének képlete
Ez a táblázat az érv egyes értékeinek érintők és kotangensek értékeit mutatja. 
Kifejezések komplex számokkal
Kifejezések hiperbolikus függvényekkel
;
;
Származékok
; .
.
Az n-edik sorrend deriváltja a függvény x változójára vonatkozóan:
.
Az érintő képletei származtatása > > > ; kotangensre >>>
Integrálok
Bővítések sorozatokká
Ahhoz, hogy megkapjuk az érintő kiterjesztését x hatványaiban, a függvények hatványsorában több tagot kell felvenni a kiterjesztésre. bűn xés cos xés osszuk fel ezeket a polinomokat egymásra, . Ez a következő képleteket eredményezi.
Nál nél .
nál nél .
ahol B n- Bernoulli számok. Meghatározásuk vagy az ismétlődési relációból történik:
;
;
ahol .
Vagy a Laplace-képlet szerint: 
Inverz függvények
Az érintő és a kotangens inverz függvényei az arctangens és az arckotangensek.
Arctangens, arctg
, ahol n- egész.
Ív érintő, arcctg
, ahol n- egész.
Referenciák:
BAN BEN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematika kézikönyve mérnököknek és felsőoktatási intézmények hallgatóinak, Lan, 2009.
G. Korn, Matematika kézikönyve kutatóknak és mérnököknek, 2012.
A legegyszerűbb trigonometrikus azonosságok
Az alfa szög szinuszának az azonos szög koszinuszával való osztásának hányadosa egyenlő ennek a szögnek az érintőjével (1. képlet). Lásd még a legegyszerűbb trigonometrikus azonosságok transzformációjának helyességének bizonyítását.
Az alfa szög koszinuszának az azonos szög szinuszával való osztásának hányadosa egyenlő ugyanazon szög kotangensével (2. képlet)
Egy szög szekánsa egyenlő egy osztva ugyanazon szög koszinuszával (3. képlet)
Az azonos szögű szinusz és koszinusz négyzeteinek összege eggyel egyenlő (4. képlet). lásd még a koszinusz és a szinusz négyzetösszegének bizonyítását.
Az egység és a szög érintőjének összege egyenlő az egységnek a szög koszinuszának négyzetéhez viszonyított arányával (5. képlet)
Az egység plusz a szög kotangense egyenlő az egységnek a szög szinusz négyzetével való osztásának hányadosával (6. képlet)
Ugyanazon szög érintőjének és kotangensének szorzata eggyel egyenlő (7. képlet).
Trigonometrikus függvények negatív szögeinek konvertálása (páros és páratlan)
Annak érdekében, hogy a szinusz, koszinusz vagy érintő kiszámításakor megszabaduljon a szög fokmértékének negatív értékétől, a következő trigonometrikus transzformációkat (azonosságokat) használhatja a páros vagy páratlan trigonometrikus függvények elve alapján.
Mint látható, koszinusz a secant pedig az páros funkció, a szinusz, az érintő és a kotangens páratlan függvények.
Egy negatív szög szinusza megegyezik ugyanazon pozitív szög szinuszának negatív értékével (mínusz az alfa szinusza).
A "mínusz alfa" koszinusz ugyanazt az értéket adja, mint az alfa szög koszinusza.
Az érintő mínusz alfa egyenlő a mínusz alfa érintővel.
Kettős szögredukciós képletek (dupla szög szinusz, koszinusz, tangens és kotangens)
Ha fel kell osztania a szöget, vagy fordítva, kettős szögből egyetlen szögbe kell lépnie, használhatja a következő trigonometrikus azonosságokat:
Kétszögű átalakítás (kettős szög szinusz, kettős szög koszinusz és kettős szög érintő) egybe a következő szabályok szerint történik:
Kettős szög szinusza egyenlő egyetlen szög szinuszának és koszinuszának szorzatának kétszeresével
Kettős szög koszinusza egyenlő az egyetlen szög koszinuszának négyzete és e szög szinuszának négyzete közötti különbséggel
Kettős szög koszinusza egyenlő egyetlen szög koszinuszának négyzetének kétszeresével mínusz egy
Kettős szög koszinusza egyenlő eggyel mínusz egyetlen szög kettős szinusz négyzete
Kettős szög érintő egyenlő egy törttel, amelynek számlálója kétszerese egyetlen szög érintőjének, nevezője pedig eggyel mínusz egyetlen szög négyzetének érintője.
Kettős szög kotangens egyenlő egy törttel, amelynek számlálója egyetlen szög kotangensének négyzete mínusz egy, nevezője pedig egyetlen szög kotangensének kétszerese
Univerzális trigonometrikus helyettesítési képletek
Az alábbi konverziós képletek hasznosak lehetnek, ha el kell osztani a trigonometrikus függvény argumentumát (sin α, cos α, tg α) kettővel, és a kifejezést a szög felének értékére kell hozni. α értékéből α/2-t kapunk.Ezeket a képleteket ún az univerzális trigonometrikus helyettesítés képletei. Értékük abban rejlik, hogy a segítségükkel a trigonometrikus kifejezés a félszög érintőjének kifejezésére redukálódik, függetlenül attól, hogy eredetileg milyen trigonometrikus függvények (sin cos tg ctg) szerepeltek a kifejezésben. Ezt követően a fél szög érintőjével egyenlet sokkal könnyebben megoldható.
Trigonometrikus félszög transzformációs azonosságok
Az alábbi képletek egy szög értékének felének egész számmá való trigonometrikus átalakítására szolgálnak.Az α/2 trigonometrikus függvény argumentumának értéke az α trigonometrikus függvény argumentumának értékére csökken.
Trigonometrikus képletek szögek összeadásához
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α
sin (α - β) = sin α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
A szögek összegének érintője és kotangense Az alfa és a béta a következő szabályok szerint konvertálható a trigonometrikus függvények konvertálására:
Szögek összegének érintője egyenlő egy törttel, amelynek számlálója az első szög érintőjének és a második szög érintőjének összege, a nevező pedig egy mínusz az első szög érintőjének és a második szög érintőjének szorzata.
Szögkülönbség érintő egyenlő egy törttel, amelynek számlálója egyenlő a csökkentett szög érintője és a kivonandó szög érintője közötti különbséggel, a nevező pedig egy plusz e szögek érintőinek szorzata.
A szögek összegének kotangense egyenlő egy törttel, amelynek számlálója egyenlő ezen szögek kotangensének plusz egy szorzatával, a nevezője pedig egyenlő a második szög kotangensének és az első szög kotangensének különbségével.
A szögkülönbség kotangense egyenlő egy törttel, amelynek számlálója e szögek kotangenseinek mínusz egy szorzata, nevezője pedig e szögek kotangenseinek összege.
Ezek a trigonometrikus azonosságok kényelmesen használhatók, ha például ki kell számítani a 105 fokos érintőt (tg 105). Ha tg-ként ábrázoljuk (45 + 60), akkor használhatja a szögösszeg érintőjének megadott azonos transzformációit, amelyek után egyszerűen helyettesítheti a 45 érintő és az érintő táblázatos értékeit. 60 fokos.
Képletek trigonometrikus függvények összegének vagy különbségének konvertálására
A sin α + sin β alak összegét reprezentáló kifejezések a következő képletekkel konvertálhatók:
Háromszög képletek - sin3α cos3α tg3α konvertálása sinα cosα tgα-ra
Néha át kell alakítani a szög hármas értékét, hogy az α szög legyen a trigonometrikus függvény argumentuma 3α helyett.Ebben az esetben a képleteket (identitásokat) használhatja a hármasszög transzformációjához:
Képletek trigonometrikus függvények szorzatának átalakítására
Ha szükségessé válik a különböző szögű koszinuszok különböző szögű szinuszainak, vagy akár a szinusz és a koszinusz szorzatának átszámítása, akkor a következő trigonometrikus azonosságokat használhatja:
Ebben az esetben a különböző szögek szinusz-, koszinusz- vagy érintőfüggvényeinek szorzata összeggé vagy különbséggé alakul át.
Képletek trigonometrikus függvények redukálására
Az öntött asztalt az alábbiak szerint kell használnia. A sorban válassza ki a minket érdeklő funkciót. Az oszlop egy szög. Például a szög (α+90) szinusza az első sor és az első oszlop metszéspontjában, azt találjuk, hogy sin (α+90) = cos α .
Betöltés...