Két kifejezés összegének négyzete
Számos olyan eset van, amikor egy polinom polinommal való szorzása nagymértékben leegyszerűsíthető. Ilyen például (2 x+ 3y) 2 .
Kifejezés (2 x+ 3y) 2 két polinom szorzata, amelyek mindegyike egyenlő (2 x+ 3y)
(2x+ 3y) 2 = (2x+ 3y)(2x+ 3y)
Megkaptuk egy polinom szorzatát egy polinommal. Végezzük el:
(2x+ 3y) 2 = (2x+ 3y)(2x+ 3y) = 4x 2 + 6xy + 6xy + 9y 2 = 4x 2 + 12xy+ 9y 2
Vagyis a kifejezés (2 x+ 3y) 2 egyenlő 4x 2 + 12xy + 9y 2
(2x+ 3y) 2 = 4x 2 + 12xy+ 9y 2
Oldjunk meg egy hasonló példát, ami egyszerűbb:
(a+b) 2
Kifejezés ( a+b) 2 két polinom szorzata, amelyek mindegyike egyenlő ( a+b)
(a+b) 2 = (a+b)(a+b)
Végezzük el ezt a szorzást:
(a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2
Ez a kifejezés (a+b) 2 egyenlő a 2 + 2ab + b 2
(a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
Kiderült, hogy az eset ( a+b) 2 bármelyre kiterjeszthető aés b. Az első példa, amit megoldottunk, nevezetesen (2 x+ 3y) 2 az identitás segítségével megoldható (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 . Ehhez a változók helyett helyettesíteni kell aés b kifejezés megfelelő kifejezései (2 x+ 3y) 2. Ebben az esetben a változó a meccs fasz 2 x, és a változó b meccs fasz 3 y
a = 2x
b = 3y
És akkor használhatjuk az identitást (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 , hanem változók helyett aés b be kell cserélnie a kifejezéseket 2 xés 3 y illetőleg:
(2x+ 3y) 2 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 3 y + (3y) 2 = 4x 2 + 12xy+ 9y 2
Mint legutóbb, kaptunk egy polinomot 4x 2 + 12xy+ 9y 2 . A megoldást általában rövidebben írják le, minden elemi átalakítást végrehajtva az elmében:
(2x+ 3y) 2 = 4x 2 + 12xy+ 9y 2
Identitás (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 két kifejezés összege négyzetének képletének nevezzük. Ez a képlet így olvasható:
Két kifejezés összegének négyzete egyenlő az első kifejezés négyzetével, plusz az első kifejezés, a második és a második kifejezés négyzetének szorzatával.
Tekintsük a (2 + 3) 2 kifejezést. Kétféleképpen számítható ki: hajtsa végre az összeadást zárójelben, és négyzetesítse az eredményt, vagy használja a képletet két kifejezés összegének négyzetére.
Első út:
(2 + 3) 2 = 5 2 = 25
Második út:
(2 + 3) 2 = 2 2 + 2 × 2 × 3 + 3 2 = 4 + 12 + 9 = 25
2. példa. Kifejezés konvertálása (5 a+ 3) 2 polinommá.
Használjuk a képletet két kifejezés összegének négyzetére:
(a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(5egy + 3) 2 = (5a) 2 + 2 × 5 a × 3 + 3 2 = 25a 2 + 30a + 9
Eszközök, (5egy + 3) 2 = 25a 2 + 30a + 9.
Próbáljuk meg megoldani ezt a példát az összegnégyzet képlet használata nélkül. Ugyanazt az eredményt kell kapnunk:
(5egy + 3) 2 = (5egy + 3)(5egy + 3) = 25a 2 + 15a + 15a + 9 = 25a 2 + 30a + 9
A két kifejezés összegének négyzetére vonatkozó képlet geometriai jelentéssel bír. Emlékezzünk arra, hogy egy négyzet területének kiszámításához fel kell emelni az oldalát a második hatványra.
Például egy négyzet területe egy oldallal a egyenlő lesz a 2. Ha növeli a négyzet oldalát b, akkor a terület egyenlő lesz ( a+b) 2
Tekintsük a következő ábrát:
Képzelje el, hogy az ábrán látható négyzet oldala eggyel megnő b. Egy négyzetnek minden oldala egyenlő. Ha az oldalát megnöveljük b, akkor a többi oldal is megnő b
Az eredmény egy új négyzet, amely nagyobb, mint az előző. Hogy jól lássuk, egészítsük ki a hiányzó oldalakat:
A négyzet területének kiszámításához külön kiszámíthatja a benne szereplő négyzeteket és téglalapokat, majd hozzáadhatja az eredményeket.
Először is kiszámíthat egy négyzetet, amelynek oldala van a- területe egyenlő lesz a 2. Ezután kiszámíthatja az oldalsó téglalapokat aés b- egyenlőek lesznek ab. Ezután kiszámíthat egy négyzetet, amelynek oldala van b
Az eredmény a következő területek összege:
a 2 + ab+ab + b 2
Az egyforma téglalapok területének összege 2 szorzásával helyettesíthető ab, ami szó szerint azt jelenti "ismételje meg az ab téglalap területének kétszeresét" . Algebrailag ezt a hasonló kifejezések redukálásával kapjuk meg abés ab. Az eredmény egy kifejezés a 2 + 2ab+ b 2 , amely két kifejezés összegének négyzetére vonatkozó képlet jobb oldala:
(a+b) 2 = a 2 + 2ab+ b 2
Két kifejezés különbségének négyzete
A két kifejezés különbségének négyzetének képlete a következő:
(a-b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
Két kifejezés különbségének négyzete egyenlő az első kifejezés négyzete mínusz az első kifejezés és a második kifejezés szorzatának kétszerese plusz a második kifejezés négyzete.
A két kifejezés különbségének négyzetének képlete ugyanúgy származik, mint a két kifejezés összegének négyzetének képlete. Kifejezés ( a-b) 2 két polinom szorzata, amelyek mindegyike egyenlő ( a-b)
(a-b) 2 = (a-b)(a-b)
Ha ezt a szorzást végrehajtja, polinomot kap a 2 − 2ab + b 2
(a-b) 2 = (a-b)(a-b) = a 2 − ab− ab+ b 2 = a 2 − 2ab + b 2
1. példa. Kifejezés konvertálása (7 x− 5) 2 polinomba.
Használjuk a két kifejezés különbségének négyzetének képletét:
(a-b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
(7x− 5) 2 = (7x) 2 − 2 × 7 x × 5 + 5 2 = 49x 2 − 70x + 25
Eszközök, (7x− 5) 2 = 49x 2 + 70x + 25.
Próbáljuk meg megoldani ezt a példát a különbség négyzetes képlete nélkül. Ugyanazt az eredményt kell kapnunk:
(7x− 5) 2 = (7x− 5) (7x− 5) = 49x 2 − 35x − 35x + 25 = 49x 2 − 70x+ 25.
A két kifejezés különbségének négyzetére vonatkozó képletnek geometriai jelentése is van. Ha egy négyzet területe egy oldallal a egyenlő a 2, akkor annak a négyzetnek a területe, amelynek oldalát csökkentjük b, egyenlő lesz ( a-b) 2
Tekintsük a következő ábrát:
Képzelje el, hogy az ábrán látható négyzet oldala lecsökken b. Egy négyzetnek minden oldala egyenlő. Ha az egyik oldalt csökkentik b, akkor a többi oldal is csökkenni fog b
Az eredmény egy új négyzet, amely kisebb, mint az előző. Az ábrán sárgával van kiemelve. Az oldala az a− b a régi oldal óta a-vel csökkent b. A négyzet területének kiszámításához használhatja a négyzet eredeti területét a 2 vonja ki a téglalapok területeit, amelyeket a régi négyzet oldalainak csökkentése során kapott. Mutassuk meg ezeket a téglalapokat:
Ekkor felírhatjuk a következő kifejezést: régi terület a 2 mínusz terület ab mínusz terület ( a-b)b
a 2 − ab − (a-b)b
Bontsa ki a zárójeleket a kifejezésben ( a-b)b
a 2 − ab - ab + b 2
Itt vannak hasonló kifejezések:
a 2 − 2ab + b 2
Az eredmény egy kifejezés a 2 − 2ab + b 2 , amely a két kifejezés különbségének négyzetére vonatkozó képlet jobb oldala:
(a-b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
Az összeg négyzetének és a különbség négyzetének képleteit általában ún rövidített szorzóképletek. Ezekkel a képletekkel jelentősen leegyszerűsítheti és felgyorsíthatja a polinomok szorzásának folyamatát.
Korábban azt mondtuk, hogy ha egy polinom egy tagját külön tekintjük, akkor azt az előtte elhelyezkedő jellel együtt kell figyelembe venni.
De a rövidített szorzási képletek alkalmazásakor az eredeti polinom előjelét nem szabad ennek a tagnak az előjelének tekinteni.
Például, ha az (5 x − 2y) 2 , és a képletet szeretnénk használni (a-b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 , majd ahelyett b helyettesíteni kell a 2-t y, nem -2 y. Ez a képletekkel való munka sajátossága, amelyet nem szabad elfelejteni.
(5x − 2y) 2
a = 5x
b = 2y
(5x − 2y) 2 = (5x) 2–2 × 5 x×2 y + (2y) 2 = 25x 2 − 20xy + 4y 2
Ha behelyettesítjük −2 y, akkor ez azt jelenti, hogy az eredeti kifejezés zárójelében lévő különbséget az összeg váltotta fel:
(5x − 2y) 2 = (5x + (−2y)) 2
és ebben az esetben nem a különbség négyzetének képletét kell alkalmazni, hanem az összeg négyzetének képletét:
(5x + (−2y) 2
a = 5x
b = −2y
(5x + (−2y)) 2 = (5x) 2 + 2 × 5 x× (−2 y) + (−2y) 2 = 25x 2 − 20xy + 4y 2
Kivételt képezhetnek a forma kifejezései (x− (−y)) 2 . Ebben az esetben a képlet segítségével (a-b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 ahelyett b helyettesíteni kell (- y)
(x− (−y)) 2 = x 2–2 × x× (− y) + (−y) 2 = x 2 + 2xy + y 2
De a forma négyzetes kifejezései x − (−y), kényelmesebb lesz a kivonást összeadásra cserélni x+y. Ekkor az eredeti kifejezés a ( x +y) 2, és használható lesz az összeg négyzetének képlete, nem pedig a különbség:
(x +y) 2 = x 2 + 2xy + y 2
Sum Cube és Difference Cube
A két kifejezés összegének kockájának és a két kifejezés különbségének kockájának képlete a következő:
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a-b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3
A két kifejezés összegének kockájának képlete a következőképpen olvasható:
A két kifejezés összegének kockája egyenlő az első kifejezés kockájával, plusz az első kifejezés négyzetének háromszorosával a másodikkal plusz az első kifejezés szorzatával és a második négyzetével plusz a második kockájával. kifejezés.
A két kifejezés különbségének kockájának képlete pedig a következőképpen olvasható:
A két kifejezés különbségének kockája egyenlő az első kifejezés kockájával mínusz az első kifejezés négyzetének háromszorosa, a másodiké plusz az első kifejezés és a második kifejezés négyzetének szorzata háromszorosa mínusz a kocka a második kifejezés.
A feladatok megoldása során kívánatos ezeket a képleteket fejből tudni. Ha nem emlékszel, ne aggódj! Kiveheti őket egyedül. Már tudjuk, hogyan.
Vezessük le az összegkocka képletet magunktól:
(a+b) 3
Kifejezés ( a+b) 3 három polinom szorzata, amelyek mindegyike egyenlő ( a+ b)
(a+b) 3 = (a+ b)(a+ b)(a+ b)
De a kifejezés ( a+b) 3 úgy is felírható (a+ b)(a+ b) 2
(a+b) 3 = (a+ b)(a+ b) 2
Ebben az esetben a tényező ( a+ b) 2 a két kifejezés összegének négyzete. Az összegnek ez a négyzete egyenlő a kifejezéssel a 2 + 2ab + b 2 .
Azután ( a+b) 3 úgy írható fel (a+ b)(a 2 + 2ab + b 2) .
(a+b) 3 = (a+ b)(a 2 + 2ab + b 2)
Ez pedig egy polinom szorzása egy polinommal. Végezzük el:
(a+b) 3 = (a+ b)(a 2 + 2ab + b 2) = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + a 2 b + 2ab 2 + b 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Hasonlóképpen levezetheti a képletet a két kifejezés különbségének kockájára:
(a-b) 3 = (a- b)(a 2 − 2ab + b 2) = a 3 − 2a 2 b + ab 2 − a 2 b + 2ab 2 − b 3 = a 3 − 3a 2 b+ 3ab 2 − b 3
1. példa. Konvertálja a kifejezést ( x+ 1) 3 polinomba.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(x+ 1) 3 = x 3+3× x 2×1 + 3× x× 1 2 + 1 3 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1
Próbáljuk meg megoldani ezt a példát a két kifejezés összegének kockaképletének használata nélkül
(x+ 1) 3 = (x+ 1)(x+ 1)(x+ 1) = (x+ 1)(x 2 + 2x + 1) = x 3 + 2x 2 + x + x 2 + 2x + 1 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1
2. példa. Kifejezés konvertálása (6a 2 + 3b 3) 3 polinomba.
Használjuk a kockaképletet két kifejezés összegére:
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(6a 2 + 3b 3) 3 = (6a 2) 3 + 3 × (6 a 2) 2×3 b 3+3×6 a 2 × (3b 3) 2 + (3b 3) 3 = 216a 6+3×36 a 4×3 b 3+3×6 a 2×9 b 6 + 27b 9
3. példa. Kifejezés konvertálása ( n 2 − 3) 3 polinomba.
(a-b) = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3
(n 2 − 3) 3 = (n 2) 3 − 3 × ( n 2) 2×3 + 3× n 2 × 3 2 − 3 3 = n 6 − 9n 4 + 27n 2 − 27
4. példa. Kifejezés konvertálása (2x 2 − x 3) 3 polinomba.
Használjuk a két kifejezés különbségének kockaképletét:
(a-b) = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3
(2x 2 − x 3) 3 = (2x 2) 3–3 × (2 x 2) 2× x 3+3×2 x 2×( x 3) 2 − (x 3) 3 =
8x 6–3 × 4 x 4× x 3+3×2 x 2× x 6 − x 9 =
8x 6 − 12x 7 + 6x 8 − x 9
Két kifejezés különbségét megszorozzuk az összegükkel
Vannak olyan problémák, amelyekben két kifejezés különbségét meg kell szorozni az összegükkel. Például:
(a-b)(a+b)
Ebben a kifejezésben két kifejezés különbsége aés b megszorozva ugyanazon két kifejezés összegével. Végezzük el ezt a szorzást:
(a-b)(a+b) = a 2 + ab − ab − b 2 = a 2 − b 2
Ez a kifejezés (a-b)(a+b) egyenlő a 2 − b 2
(a-b)(a+b) = a 2 − b 2
Látjuk, hogy ha két kifejezés különbségét megszorozzuk az összegükkel, megkapjuk e kifejezések négyzeteinek különbségét.
Két kifejezés különbségének és összegének szorzata egyenlő e kifejezések négyzeteinek különbségével.
Esemény (a-b)(a+b) bármelyikre kiterjeszthető aés b. Egyszerűen fogalmazva, ha egy feladat megoldása során két kifejezés különbségét meg kell szorozni az összegükkel, akkor ez a szorzás helyettesíthető ezen kifejezések négyzeteinek különbségével.
1. példa. Hajtsa végre a szorzást (2x − 5)(2x + 5)
Ebben a példában a kifejezés különbsége 2 xés 5-öt megszorozva ugyanezen kifejezések összegével. Majd a képlet szerint (a-b)(a+b) = a 2 − b 2 nekünk van:
(2x − 5)(2x + 5) = (2x) 2 − 5 2
Kiszámoljuk a jobb oldalt, 4-et kapunk x 2 − 25
(2x − 5)(2x + 5) = (2x) 2 − 5 2 = 4x 2 − 25
Próbáljuk meg megoldani ezt a példát a képlet használata nélkül (a-b)(a+b) = a 2 − b 2 . Ugyanazt az eredményt kapjuk 4 x 2 − 25
(2x − 5)(2x + 5) = 4x 2 − 10x + 10x − 25 = 4x 2 − 25
2. példa. Hajtsa végre a szorzást (4x − 5y)(4x + 5y)
(a-b)(a+b) = a 2 − b 2
(4x − 5y)(4x + 5y) = (4x) 2 − (5y) 2 = 16x 2 − 25y 2
3. példa. Hajtsa végre a szorzást (2a+ 3b)(2a− 3b)
Használjuk a képletet, amellyel két kifejezés különbségét megszorozzuk az összegükkel:
(a-b)(a+b) = a 2 − b 2
(2egy + 3b)(2a- 3b) = (2a) 2 − (3b) 2 = 4a 2 − 9b 2
Ebben a példában a tagok összege 2 aés 3 b korábban található, mint e kifejezések különbsége. És a képletben (a-b)(a+b) = a 2 − b 2 a különbség korábban található.
Nem mindegy, hogy a tényezők hogyan vannak elrendezve ( a-b) ban ben ( a+b) a képletben. Így írhatók (a-b)(a+b) , és (a+b)(a-b) . Az eredmény akkor is lesz a 2 − b 2, mivel a szorzat nem változik a tényezők permutációjától.
Tehát ebben a példában a tényezők (2 egy + 3b) és 2 a- 3b) így írható (2egy + 3b)(2a- 3b) , és (2a- 3b)(2egy + 3b) . Az eredmény továbbra is 4 lesz. a 2 − 9b 2 .
3. példa. Hajtsa végre a szorzást (7 + 3x)(3x − 7)
Használjuk a képletet, amellyel két kifejezés különbségét megszorozzuk az összegükkel:
(a-b)(a+b) = a 2 − b 2
(7 + 3x)(3x − 7) = (3x) 2 − 7 2 = 9x 2 − 49
4. példa. Hajtsa végre a szorzást (x 2 − y 3)(x 2 + y 3)
(a-b)(a+b) = a 2 − b 2
(x 2 − y 3)(x 2 + y 3) = (x 2) 2 − (y 3) 2 = x 4 − y 6
5. példa. Hajtsa végre a szorzást (−5x− 3y)(5x− 3y)
A kifejezésben (-5 x− 3y) kivesszük a −1-et, akkor az eredeti kifejezés a következő alakot ölti:
(−5x− 3y)(5x− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y)
Munka (5x + 3y)(5x − 3y) cserélje ki a négyzetek különbségével:
(−5x− 3y)(5x− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y) = −1((5x) 2 − (3y) 2)
A négyzetek különbségét zárójelbe tettük. Ha ez nem történik meg, akkor kiderül, hogy −1 csak (5 x) 2. Ez hibához vezet, és megváltoztatja az eredeti kifejezés értékét.
(−5x− 3y)(5x− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y) = −1((5x) 2 − (3y) 2) = −1(25x 2 − 9x 2)
Most megszorozzuk a −1-et a zárójelben lévő kifejezéssel, és megkapjuk a végeredményt:
(−5x− 3y)(5x− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y) = −1((5x) 2 − (3y) 2) =
−1(25x 2 − 9y 2) = −25x 2 + 9y 2
Két kifejezés különbségét megszorozzuk az összegük hiányos négyzetével
Vannak olyan problémák, amelyekben két kifejezés különbségét meg kell szorozni az összegük hiányos négyzetével. Ez a darab így néz ki:
(a-b)(a 2 + ab + b 2)
Első polinom ( a-b) két kifejezés és a második polinom különbsége (a 2 + ab + b 2) e két kifejezés összegének nem teljes négyzete.
Az összeg nem teljes négyzete az alak polinomja a 2 + ab + b 2 . Hasonló az összeg szokásos négyzetéhez a 2 + 2ab + b 2
Például a kifejezés 4x 2 + 6xy + 9y 2 a 2 kifejezések összegének egy nem teljes négyzete xés 3 y .
Valóban, a kifejezés első tagja 4x 2 + 6xy + 9y 2 , nevezetesen 4 x A 2 a 2 kifejezés négyzete x, mivel (2 x) 2 = 4x 2. A kifejezés harmadik tagja 4x 2 + 6xy + 9y 2 , nevezetesen 9 y A 2 a 3 négyzete y, mert (3 y) 2 = 9y 2. középfasz 6 xy, a 2. kifejezések szorzata xés 3 y.
Tehát szorozzuk meg a különbséget ( a-b) az összeg nem teljes négyzetével a 2 + ab + b 2
(a-b)(a 2 + ab + b 2) = a(a 2 + ab + b 2) − b(a 2 + ab + b 2) =
a 3 + a 2 b + ab 2 − a 2 b − ab 2 − b 3 = a 3 − b 3
Ez a kifejezés (a-b)(a 2 + ab + b 2) egyenlő a 3 − b 3
(a-b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3
Ezt az azonosságot nevezzük képletnek, amellyel két kifejezés különbségét megszorozzuk összegük hiányos négyzetével. Ez a képlet így olvasható:
Két kifejezés különbségének és összegük hiányos négyzetének szorzata egyenlő e kifejezések kockáinak különbségével.
1. példa. Hajtsa végre a szorzást (2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2)
Első polinom (2 x − 3y) két kifejezés különbsége 2 xés 3 y. Második polinom 4x 2 + 6xy + 9y 2 két kifejezés összegének nem teljes négyzete 2 xés 3 y. Ez lehetővé teszi a képlet használatát hosszadalmas számítások elvégzése nélkül (a-b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3 . Esetünkben a szorzás (2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2) helyettesíthető a kockák különbségével 2 xés 3 y
(2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2) = (2x) 3 − (3y) 3 = 8x 3 − 27y 3
(a-b)(a 2 + ab+ b 2) = a 3 − b 3 . Ugyanazt az eredményt kapjuk, de a megoldás hosszabb lesz:
(2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2) = 2x(4x 2 + 6xy + 9y 2) − 3y(4x 2 + 6xy + 9y 2) =
8x 3 + 12x 2 y + 18xy 2 − 12x 2 y − 18xy 2 − 27y 3 = 8x 3 − 27y 3
2. példa. Hajtsa végre a szorzást (3 − x)(9 + 3x + x 2)
Az első polinom (3 − x) a két kifejezés különbsége, a második polinom pedig e két kifejezés összegének nem teljes négyzete. Ez lehetővé teszi a képlet használatát (a-b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3
(3 − x)(9 + 3x + x 2) = 3 3 − x 3 = 27 − x 3
Két kifejezés összegét megszorozzuk a különbségük hiányos négyzetével
Vannak olyan problémák, amelyekben két kifejezés összegét meg kell szorozni a különbségük hiányos négyzetével. Ez a darab így néz ki:
(a+b)(a 2 − ab + b 2)
Első polinom ( a+b (a 2 − ab + b 2) e két kifejezés különbségének egy nem teljes négyzete.
A különbség nem teljes négyzete az alak polinomja a 2 − ab + b 2 . Hasonló a szokásos négyzetes különbséghez a 2 − 2ab + b 2 kivéve, hogy benne az első és a második kifejezés szorzata nem duplázódik meg.
Például a kifejezés 4x 2 − 6xy + 9y 2 a 2 kifejezések különbségének egy nem teljes négyzete xés 3 y .
(2x) 2 − 2x× 3 y + (3y) 2 = 4x 2 − 6xy + 9y 2
Térjünk vissza az eredeti példához. Szorozzuk meg az összeget a+b a különbség nem teljes négyzetével a 2 − ab + b 2
(a+b)(a 2 − ab + b 2) = a(a 2 − ab + b 2) + b(a 2 − ab + b 2) =
a 3 − a 2 b + ab 2 + a 2 b − ab 2 + b 3 = a 3 + b 3
Ez a kifejezés (a+b)(a 2 − ab + b 2) egyenlő a 3 + b 3
(a+b)(a 2 − ab + b 2) = a 3 + b 3
Ezt az azonosságot két kifejezés összegének a különbségük hiányos négyzetével való megszorzására szolgáló képletnek nevezzük. Ez a képlet így olvasható:
Két kifejezés összegének és különbségük hiányos négyzetének szorzata egyenlő e kifejezések kockáinak összegével.
1. példa. Hajtsa végre a szorzást (2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2)
Első polinom (2 x + 3y) két kifejezés összege 2 xés 3 y, és a második polinom 4x 2 − 6xy + 9y 2 e kifejezések különbségének nem teljes négyzete. Ez lehetővé teszi a képlet használatát hosszadalmas számítások elvégzése nélkül (a+b)(a 2 − ab + b 2) = a 3 + b 3 . Esetünkben a szorzás (2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2) helyettesíthető a 2 kocka összegével xés 3 y
(2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2) = (2x) 3 + (3y) 3 = 8x 3 + 27y 3
Próbáljuk meg megoldani ugyanezt a példát a képlet használata nélkül (a+b)(a 2 − ab+ b 2) = a 3 + b 3 . Ugyanazt az eredményt kapjuk, de a megoldás hosszabb lesz:
(2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2) = 2x(4x 2 − 6xy + 9y 2) + 3y(4x 2 − 6xy + 9y 2) =
8x 3 − 12x 2 y + 18xy 2 + 12x 2 y − 18xy 2 + 27y 3 = 8x 3 + 27y 3
2. példa. Hajtsa végre a szorzást (2x+ y)(4x 2 − 2xy + y 2)
Első polinom (2 x+ y) két kifejezés és a második polinom összege (4x 2 − 2xy + y 2) ezeknek a kifejezéseknek a különbségének egy nem teljes négyzete. Ez lehetővé teszi a képlet használatát (a+b)(a 2 − ab+ b 2) = a 3 + b 3
(2x+ y)(4x 2 − 2xy + y 2) = (2x) 3 + y 3 = 8x 3 + y 3
Próbáljuk meg megoldani ugyanezt a példát a képlet használata nélkül (a+b)(a 2 − ab+ b 2) = a 3 + b 3 . Ugyanazt az eredményt kapjuk, de a megoldás hosszabb lesz:
(2x+ y)(4x 2 − 2xy + y 2) = 2x(4x 2 − 2xy + y 2) + y(4x 2 − 2xy + y 2) =
8x 3 − 4x 2 y + 2xy 2 + 4x 2 y − 2xy 2 + y 3 = 8x 3 + y 3
Önálló megoldási feladatok
Tetszett a lecke?
Csatlakozzon új Vkontakte csoportunkhoz, és kapjon értesítéseket az új leckékről
Ebben a leckében megismerkedünk az összeg négyzetének és a különbség négyzetének képleteivel, és levezetjük azokat. Bizonyítsuk be geometriailag az összeg négyzetének képletét. Ezen kívül sok különböző példát fogunk megoldani ezekkel a képletekkel.
Tekintsük az összeg négyzetének képletét:
Tehát levezettük az összeg négyzetének képletét:
Verbálisan ezt a képletet a következőképpen fejezzük ki: az összeg négyzete egyenlő az első szám négyzetével, plusz az első szám és a második szorzatának kétszerese plusz a második szám négyzete.
Ez a képlet könnyen ábrázolható geometriailag.
Vegyünk egy négyzetet, amelynek oldala:
Négyzet alakú terület.
Másrészt ugyanaz a négyzet másképp ábrázolható, ha az oldalt a-ra és b-re osztjuk (1. ábra).
Rizs. 1. Négyzet
Ekkor a négyzet területe a területek összegeként ábrázolható:
Mivel a négyzetek azonosak voltak, területük egyenlő, ami azt jelenti:
Tehát geometriailag igazoltuk az összeg négyzetének képletét.
Vegye figyelembe a példákat:
Megjegyzés: a példát az összegnégyzet képlet segítségével oldjuk meg.
Levezetjük a különbség négyzetének képletét:
Tehát levezettük a különbség négyzetének képletét:
Verbálisan ezt a képletet a következőképpen fejezzük ki: a különbség négyzete egyenlő az első szám négyzete mínusz az első szám és a második szorzatának kétszerese plusz a második szám négyzete.
Vegye figyelembe a példákat:
Az összeg négyzetének és a különbség négyzetének képlete balról jobbra és jobbról balra egyaránt működhet. Balról jobbra haladva ezek rövidített szorzóképletek lesznek, a példák kiszámításakor és átalakításakor használatosak. És jobbról balra használva - faktorizációs képletek.
Tekintsünk olyan példákat, amelyekben egy adott polinomot az összeg négyzetére és a különbség négyzetére vonatkozó képletekkel kell faktorizálni. Ehhez nagyon alaposan meg kell néznie a polinomot, és pontosan meg kell határoznia, hogyan kell helyesen bővíteni.
Megjegyzés: egy polinom faktorizálásához meg kell határoznia, hogy mi szerepel ebben a kifejezésben. Tehát látjuk a négyzetet és az egység négyzetét. Most meg kell találnunk a kettős terméket – ez a . Tehát minden szükséges elem megvan, csak meg kell határozni, hogy ez az összeg négyzete vagy a különbség. A duplázott szorzat előtt van egy plusz jel, ami azt jelenti, hogy megvan az összeg négyzete.
Rövidített szorzóképletek.
A rövidített szorzás képleteinek tanulmányozása: két kifejezés összegének négyzete és különbségének négyzete; két kifejezés négyzeteinek különbsége; két kifejezés összegének kockája és különbségének kockája; két kifejezés kockáinak összegei és különbségei.
Példák megoldásánál rövidített szorzási képletek alkalmazása.
A kifejezések egyszerűsítésére, a polinomok faktorizálására és a polinomok szabványos formára való redukálására rövidített szorzási képleteket használnak. Rövidített szorzóképletek, amelyeket fejből kell tudni.
Legyen a, b R. Ezután:
1. Két kifejezés összegének négyzete a az első kifejezés négyzete plusz az első kifejezés szorzata és a második plusz a második kifejezés négyzete.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. Két kifejezés különbségének négyzete az az első kifejezés négyzete mínusz az első kifejezés szorzata és a második plusz a második kifejezés négyzete.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. A négyzetek különbsége két kifejezés egyenlő e kifejezések különbségének és összegének szorzatával.
a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)
4. összeg kocka két kifejezésből egyenlő az első kifejezés kockája plusz az első kifejezés négyzetének háromszorosa a második és az első kifejezés szorzata a második négyzete plusz a második kifejezés kockája háromszorosa.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. különbség kocka két kifejezésből egyenlő az első kifejezés kockájával mínusz az első kifejezés négyzetének háromszorosa, a másodiké plusz az első kifejezés és a második kifejezés négyzetének szorzata háromszorosa mínusz a második kifejezés kockájának szorzata.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Kockák összege két kifejezés egyenlő az első és a második kifejezés összegének e kifejezések különbségének hiányos négyzetével.
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. A kockák különbsége két kifejezés egyenlő az első és a második kifejezés különbségének e kifejezések összegének hiányos négyzetével.
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Példák megoldásánál rövidített szorzási képletek alkalmazása.
1. példa
Kiszámítja
a) A két kifejezés összegének négyzetére vonatkozó képlet segítségével megkaptuk
(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
b) A két kifejezés négyzetes különbségének képletével megkapjuk
98 2 \u003d (100 - 2) 2 \u003d 100 2 - 2 100 2 + 2 2 \u003d 10000 - 400 + 4 = 9604
2. példa
Kiszámítja
A két kifejezés négyzeteinek különbségére vonatkozó képlet segítségével megkapjuk
3. példa
Kifejezés egyszerűsítése
(x - y) 2 + (x + y) 2
Két kifejezés összegének és különbségének négyzetére a képleteket használjuk
(x - y) 2 + (x + y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 \u003d 2x 2 + 2y 2
Rövidített szorzóképletek egy táblázatban:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Lesznek majd önálló megoldási feladatok is, amelyekre a válaszokat láthatjátok.
A rövidített szorzási képletek lehetővé teszik a kifejezések - polinomok - azonos átalakításait. Segítségükkel a polinomok faktorozhatók, és a képleteket fordított sorrendben használva a binomiálisok, négyzetek és kockák szorzatai polinomként ábrázolhatók. Tekintsük a rövidített szorzás összes általánosan elfogadott képletét, azok származtatását, a kifejezések e képletekkel történő azonos transzformációira vonatkozó gyakori feladatokat, valamint a házi feladatokat (a válaszokat hivatkozások nyitják meg).
összeg négyzet
Az összeg négyzetének képlete az egyenlőség
(két szám összegének négyzete egyenlő az első szám négyzetével, plusz az első szám és a második szám és a második szám szorzatának kétszeresével).
Ahelyett aés b tetszőleges szám behelyettesíthető ebbe a képletbe.
Az összeg-négyzet képletet gyakran használják a számítások egyszerűsítésére. Például,
Az összeg-négyzet képlet segítségével a polinom faktorizálható, azaz két azonos tényező szorzataként ábrázolható.
1. példa
.
2. példaÍrd meg polinomiális kifejezésként
Döntés. Az összeg négyzetének képletével azt kapjuk, hogy
A különbség négyzete
A különbség négyzetének képlete az egyenlőség
(két szám különbségének négyzete egyenlő az első szám négyzete mínusz az első szám és a második szám szorzatának kétszerese plusz a második szám négyzete).
A négyzetes különbség képletet gyakran használják a számítások egyszerűsítésére. Például,
A különbség négyzetes képletével a polinom faktorizálható, azaz két azonos tényező szorzataként ábrázolható.
A képlet a polinom polinommal való szorzásának szabályából következik:
5. példaÍrd meg polinomiális kifejezésként
Döntés. A különbség négyzetének képletével azt kapjuk, hogy
.
Alkalmazza saját maga a rövidített szorzási képletet, majd nézze meg a megoldást
Teljes négyzetkiválasztás
A másodfokú polinom gyakran tartalmazza az összeg vagy a különbség négyzetét, de rejtett formában tartalmazza. Ahhoz, hogy a teljes négyzetet egyértelműen megkapjuk, transzformálni kell a polinomot. Ehhez általában a polinom egyik tagját duplaszorzatként ábrázoljuk, majd ugyanazt a számot hozzáadjuk a polinomhoz, és kivonjuk belőle.
7. példa
Döntés. Ez a polinom a következőképpen alakítható át:
Itt bemutattuk az 5 x 5/2-es duplaszorzat formájában x, hozzáadjuk a polinomhoz és kivonjuk belőle ugyanazt a számot, majd alkalmazzuk a binomiális összegnégyzet képletét.
Tehát bebizonyítottuk az egyenlőséget
,
egyenlő egy teljes négyzettel plusz a számmal.
8. példa Tekintsünk egy másodfokú polinomot
Döntés. Végezzük el rajta a következő átalakításokat:
Itt mutatjuk be a 8 x kettős termék formájában x 4-gyel, hozzáadva a polinomhoz és kivonva belőle ugyanazt a számot 4², a különbség négyzet képletét alkalmazta a binomiálisra x − 4 .
Tehát bebizonyítottuk az egyenlőséget
,
megmutatja, hogy egy másodfokú polinom
egyenlő egy teljes négyzettel plusz a −16 számmal.
Alkalmazza saját maga a rövidített szorzási képletet, majd nézze meg a megoldást
összeg kocka
Az összeg-kocka képlete az egyenlőség
(két szám összegének kockája egyenlő az első szám kockájával plusz az első szám négyzetének háromszorosa a második négyzetével plusz az első szám szorzatának a második négyzetével, plusz a kocka szorzatával a második szám).
Az összeg-kocka képlet a következőképpen származik:
10. példaÍrd meg polinomiális kifejezésként
Döntés. Az összegkockák képlete szerint azt kapjuk
Alkalmazza saját maga a rövidített szorzási képletet, majd nézze meg a megoldást
különbség kocka
A különbség kocka képlete az egyenlőség
(két szám különbségének kockája egyenlő az első szám kockájával mínusz az első és a második szám négyzetének háromszorosa, plusz az első szám és a második szám négyzetének szorzatának háromszorosa mínusz a szám kockája a második szám).
Az összegkocka képlet segítségével a polinom faktorokra bontható, azaz három azonos tényező szorzataként ábrázolható.
A különbség kocka képlete a következőképpen származik:
12. példa.Írd meg polinomiális kifejezésként
Döntés. A különbségkocka képlet segítségével azt kapjuk
Alkalmazza saját maga a rövidített szorzási képletet, majd nézze meg a megoldást
A négyzetek különbsége
A négyzetek különbségének képlete az egyenlőség
(két szám négyzetének különbsége egyenlő e számok összegének és különbségük szorzatával).
Az összeg-kocka képlet segítségével az alak bármely polinomja faktorizálható.
A képlet bizonyítását a polinomok szorzási szabályával kaptuk meg:
14. példaÍrja fel a szorzatot polinomként!
.
Döntés. A négyzetek különbségi képletével azt kapjuk, hogy
15. példa Tényezőkre bont
Döntés. Ez a kifejezett kifejezés semmilyen identitásra nem illeszkedik. De a 16-os szám 4-es bázisú hatványként is ábrázolható: 16=4². Ekkor az eredeti kifejezés más formát ölt:
,
és ez a négyzetek különbségének képlete, és ezt a képletet alkalmazva azt kapjuk
Betöltés...